MASARYKOVA UNIVERZITA • PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA
Anton Galaev
ÚLOHY Z GLOBÁLNÍ ANALÝZY
100 -i
-100-1
Brno 2013
Obsah
Předmluva
1. Podvariety číselných prostorů
2. Hladké variety a hladká zobrazení
3. Tečné bandly a vektorová pole
4. Tenzory
5. Tenzorová pole
6. Vnější diferenciální formy
7. Lineární konexe a Riemannovy prostory Návody a výsledky cvičení
Použitá literatura
2
3
4
5
6 8 8
10 13 18
Předmluva
Tato sbírka úloh vznikla během výuky předmětu "Globální analýza"v letech 2011-2013 na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně jako doplnění ke skriptu prof. RNDr. Ivana Koláře, DrSc [2].
Autor děkuje prof. RNDr. Janu Slovákovi, DrSc za všeobecnou podporu a Mgr. Martinu Panákovi, Ph.D. za opravu textu.
1. Podvariety číselných prostorů
1.1. Vypočtěte Jakobiho matice a Jakobiány (pokud existují) následujících zobrazení. Které z těchto zobrazení jsou imerse, submerse a difeomorfismy na svůj obraz?
a) :r = 3pcos£,    í/ = 4psin£,    (p, t) G (0,1) x (0, 2%);
b) x = coswcos v,    y = sin-u cos v,    z = sinv,    (u, v) G (0, 2%) x (—|, |);
c) x = y^pcos ip,   y = y/psimp,    z = p,    (p, (f) G (0, +oo) x (0,2n);
d) ^ = TTfc)   tf=i+fo> (u,v)ERxR.
1.2. Ukažte, že podmnožina M C M" je podvarietou dimenze 0 právě tehdy když McK" je diskrétní podmnožina, tj. pro každý bod x G M existuje jeho okolí U dW1 takové, že
Mnu = {x}.
1.3. Ukažte, že podmnožina M C Kn je podvarietou dimenze n právě tehdy, když McK" je otevřená podmnožina.
1.4- Dokažte, že podmnožina M = {(x, y) \ xy = 0} C IR2 není podvarietou prostoru IR2.
1.5. Dokažte, že trojúhelník není podvarietou roviny.
1.6. Dokažte, že množina
{(0,y) e M2| - 1 < y < 1} u <j ( x,sm \ l
x > 0
není podvarietou prostoru IR2.
1.7. Rozhodněte, je-li řešení rovnice x5 + y5 + z5 + w5 = 1 podvarietou IR4.
1.8. Rozhodněte, je-li řešení soustavy rovnic x3 + y3 + z3 = 1, z = xy podvarietou prostoru IR3.
1.9. Pro které hodnoty konstanty c je množina
{(x,y,z) G R3\x2 + y2 - z2 = c} dvourozměrnou podvarietou prostoru IR3?
1.10. Ukažte, že množina GL(n,IR) všech čtvercových matic n-tého řádu s nenulovým
2
determinantem je podvarietou prostoru IRn . Určete její dimenzi.
1.11. Ukažte, že množina SL(n,IR) všech čtvercových matic n-tého řádu s determinantem
2
1 je podvarietou prostoru IRn . Určete její dimenzi.
1.12. Ukažte, že množina 0(n) všech ortogonálních čtvercových matic n-tého řáduje pod-
2
varietou prostoru IRn . Určete její dimenzi.
1.13. Nechť Mi C IRni a M2 C IR™2 jsou ni\ a m2 rozměrné podvariety. Dokažte, že Mi x M2 C ]Rni+n2 je (mi + m2)-rozměrnou podvarietou.
1.14- Ukažte aspoň dvěma způsoby, že anuloid (též torus) Tm = S1 x • • • x S1 je podvarietou prostoru IR2m.
4
1.15. Dokažte, že graf zobrazení / : IRn —> Rm třídy Cr je n-rozměrnou podvarietou prostoru Rn+m třídy C'.
2. Hladké variety a hladká zobrazení
2.1. Ověřte, je-li dvojice ((—1,1), f(x) = y/l — x2) mapou slučitelnou se standardní mapou na R.
2.2. Ukažte, že dvojice (IR, x \—> x3) je mapou na množině R. Ukažte, že tato mapa není slučitelná se standardní mapou na R. Nechť IR' je varieta, jejíž diferenciální strukturu určuje tato mapa. Ukažte, že varieta IR' je difeomorfní varietě R se standardní diferenciální strukturou.
2.3. Nechť Ai &A2 jsou atlasy na topologickém prostoru M. Dokažte, že následující tvrzení jsou ekvivalentní:
• atlasy A± a A2 jsou slučitelné (tj. A± U A2 je zase atlasem na M);
• každá mapa s A± je slučitelná s každou mapou s A2;
• Ai a A2 jsou podmnožinami stejného maximálního atlasu;
• Ai a A2 určují stejnou množinu hladkých funkcí na každé otevřené podmnožině U C M.
2.4- Dokažte, že relace slučitelnosti atlasů je relací ekvivalence.
2.5. Sestrojte atlasy na elipsu x2 + ^- = 1.
2.6. Sestrojte atlasy na sféře S2 C IR3 pomocí stereografické projekce (viz. obrázek 1) a pomocí ortogonální projekce na souřadnicové roviny. Ukažte, že tyto atlasy jsou ekvivalentní.
obrázek 1. Stereografická projekce
2.7. Sestrojte atlas na povrchu Lobačevského
L2 = {(t, x, y) G R3\t2 - x2 - y2 = 1, t > 0}
5
pomocí stereografické projekce (viz. obrázek 1) a pomocí ortogonální projekce na rovinu t = 0. Ukažte, že tyto atlasy jsou ekvivalentní.
2.8. Ukažte, že na sféře neexistuje atlas obsahující jenom jednu mapu.
2.9. Dokažte, že souřadnicové funkce x,y,z jsou hladké na sféře S2 C IR3.
2.10. Ukažte, že kanonická projekce 7r : S2 —> IRP2 je hladké zobrazení.
2.11. Dokažte, že konstantní zobrazení variet / : M —>• N, f(x) = yo pro všechna x E M, je hladké.
2.12. Ukažte, že rotace kružnice je difeomorfismem.
2.13. Ukažte, že zobrazení hladkých variet / : M —> N je hladké právě tehdy, když zobrazení / o g je hladké pro libovolné hladké zobrazení g : U —>• M libovolné otevřené podmnožiny U C
3. Tečné bandly a vektorová pole
3.1. Dokažte, že difeomorfní hladké variety mají stejné dimenze.
3.2. Určete tečný prostor k elipse x2Vui = lv bodě (jy, \/2^ • Určete relace mezi bázovými tečnými vektory odpovídajícím různým lokálním mapám v tomto bodě.
3.3. Ukažte, že T{X:y)M x N = TXM © TyN', kde M a N jsou variety a x E M, y E N. 3.4- Určete tečný prostor variety SL(n,IR) v bodě E.
3.5. Určete tečný prostor variety O (n) v bodě E.
3.6. Pro hladké zobrazení variet / : M —^ N ukažte, že tečné zobrazení /* : T M —> TN je hladké.
3.7. Určete X f, kde X = x-^ + ÍJ-§^ Je vektorové pole a f = x2 + y2 + z2 je funkce na IR3.
3.8. Nechť X = x-^ + y3^ a f = x2 + xy. Určete funkce X f.
3.9. Určete Lieovy závorky následujících vektorových polí:
a) X = sin-UTT- + cosVtt, Y = u-§- + v-§-\
' ov au' au        av'
b) X = z2-!- + xy%-, Y = xyzi- + w2|- + x-%-;
' ax        'y ay' a   ox      v  oy az'
c) X = x-2- +        Y = -y+ X-2-.
' ox      a oy' ox oy
3.10. Nechť M je varieta dimenze 1 a X, Y jsou vektorová pole na M, při tom Xx ^ 0 pro všechna x E Ma platí, že [X, Y] = 0. Ukažte, že Y = cX pro nějakou konstantu cel.
3.
11. Určete tvar vektorového pole \jx2 + y2      + t^J v polárních souřadnicích.
3.12. Nechť x1,..., xn, y1,... yn jsou standardní souřadnice na IR2n. Ukažte, že zúžení vektorového pole
\ ^ dx'1       dy%)
6
na sféru S2n~ľ C IR2n je vektorovým polem bez nulových bodů na sféře.
3.13. Ukažte, že následující zobrazení určují toky, a určete odpovídající vektorová pole:
a) Fl?(x,y) = (5t + x,U + y);
b) Fl* (x,y) = (x cos ip — y sin 99, x sin ip + y cos ip);
c) Fl?(x,y) = (éx.e^y).
3.14- Určete integrální křivky následujících vektorových polí:
a) X = x£+y%;
b) X = (x + y)£ + y%;
c) X = x2^-+y2-^-.
' ax      <* ay
3.15. Určete integrální křivku vektorového pole X procházející bodem a pro
a) X = ysinx-^ + xcosy-^,    a =(0,0);
b) X = -y£ + (x + 2y)£   a =(2,-1);
c) X = y£-x%,    a = (1,1);
d) X = (2x -5y)£ + 2x^y,   a = &
3.16. Pro vektorové pole X určete integrální křivku procházející bodem (1,1), tok Flf, pevné body toku a obraz čtverce [—1,1] x [—1,1] C IR2 v toku, jestliže
a) X = ~xíx +
d   ,  „ d
dy
b) X = -y-^ + x
3.17. Určete tok vektorového pole X = x2-^ + y^. Kam ten tok zobrazuje body (0, 0) a (—1, 2) během času t = 1?
3.18. Určete, které z následujících distribucí na {(x, y, z) G WL3\x, y, z > 0} jsou involutivní:
a) distribuce generovaná vektorovými poli
^      ^ dx      y dy      ^ dz ' ^       dx      dy '
b) distribuce generovaná vektorovými poli X = xyzfx+y2l,Y = xfx + {z + y)§-z.
3.19. Ukažte, že každá distribuce dimenze 1 je involutivní.
4. Tenzory
4-1. Nechť A G (g)r V, r > 2. Ukažte, že platí následující tvrzení:
a) SjmA G SrV; A G SrV     SjmA = A;
b) A\tA G ArV; A G ArV     A\tA = A;
c) Sym(SymA) = SjmA; Alt (Alt A) = Alt A; Sym(AltA) = 0; Alt(SymA) = 0;
d) ArV n SrV = {0}.
4-2. Určete dimenzi prostorů ArV a SrV, jestliže dimV = n. 4.3. Ukažte, že (g)2 V = S2V 0 A2 V.
7
4-4- Nechť A G A2V, B G V jsou tensory se souřadnicemi a B\ Určete souřadnice tensoru A A B.
4-5. Nechť A G ®2IR2 <g> (IR2)* je tensor se souřadnicemi
< = 3,   ^ = 0,   A{2 = 2,   ^2 = 1,
A21 = 0,   Af = l,   A22 = 0,   A22 = 5. Určete kontrakce dolního indexu s každým z horních indexů.
4-6. Určete vztah mezi souřadnicemi Áí1'"'^ a A%1,"'%r, tenzoru A G 0r V <g> 0S F* v různých bázích.
4-7. Přepište výsledek předchozí úlohy pomoci matic pro následující hodnoty (r, s): a) (1, 0); b) (0,1); c) (2,0); d) (0,2); e) (1,1).
4-8. Ukažte, že následující zobrazení jsou tenzory na euklidovském prostoru IR3. Určete jejich typy a souřadnice vzhledem ke standardní bázi prostoru IR3. Předpokládejme, že X,Y,Z G M3 a £,77 G IR3*.
a) g(X,Y) = (X, F) je skalární součin vektorů;
b) f(X,Y) = [X,Y] je vektorový součin vektorů;
c) f(X,Y,0=Z([X,Y]);
d) f(X, Y, Z) = (X, Y, Z) je smíšený součin vektorů;
e) f(X, £) = £(A(u)), kde A : IR3 —>• IR3 je lineární zobrazení;
f) f(X Y £ n) =
4-9. Uvažujeme na IR3 tenzory s následujícími souřadnicemi:
= Q ,    (&) = (3 7 1),    (Ty) =
Určete souřadnice následujících tenzorů: a) £(X); b) £<g>X; c) tr(£(g>X); d) T<8>£; e) T(g>X; f) tr*(T <g> X); g) ti\(T <g> X); h) tvf2{T <g> X <g> X).
Nechť (ej) je báze prostoru IR3 a (e*) je odpovídající kobáze. Vypočtete (£(g)?y)(X, F), jestliže
a) £ = e1 - e2 + 3e3, 77 = e1 + 2e2 - e3, X = ex - 2e2 + e3, F = -ei + e2;
b) £ = e1 + e2 - e3, rj = e1 - e2 + e3, X = 2ex - 2e2 - e3, F = ex + e2 - 3e3.
^.ii. Nechť (,)] G V* jsou nenulové. Ukažte, že pokud £ (g> rj = i] (g) £, pak £ = Ary, kde A G IR.
^.iž. Určete souřadnice tenzorů Sym(£(g>?7), Sym(X(g)F), tr]J(Sym(£(g)?7) (g>Sym(X(g>F)), tr22(Sym(£ (g) rj) (g) Sym(X (g) F)), jestliže kovektory £, ?y a vektory X, F mají následující souřadnice:
a) £ = (1, -2), V = (1,1), X = (1, 2), F = (1, -2);
b) £ = (2,1), ^ = (1, -1), X = (3, 2), F = (1,1).
8
4-13. Nechť b G ®2V*. Ukažte, že pokud b(X,X) = 0 pro všechna X e V, pak Sym6 = 0. 4.14. Nechť A G A2V a b E S2V*. Určete tľ\2(A (g) B).
4-15. Ukažte, že vektory Xi, ...,Xr G V jsou lineárne nezávislé právě tehdy, když
Xi A • • • A Xr Ý 0.
5. Tenzorová pole
5.1. Určete vztah mezi souřadnicemi tenzorového pole T typu (r, s) na IRn ve dvou souřadnicových systémech x1,xn a rr1 ,xn .
5.2. Nechť (x,y) a (r, </?) jsou standardní a polární souřadnice na IR2. Určete souřadnice kovektorového pole £ = rrcřrr + í/cřy vůči polárním souřadnicím a souřadnice kovektorového pole i] = rdr + </?d</? vůči standardním souřadnicím.
5.3. Nechť a:1,^2,^3 a re1',re2',x3' jsou souřadnicové systémy, pro které
V 1 2' 1 2 3' 1 23
ry. - ľ - T*        I       f f - T* I       I ■        I       1 ■
Určete souřadnice tensorového poli X vůči prvnímu systému, jestliže
9/     0 9/ ,    1/ 9/,     <9 .1/ 01 0
X = xz —— <g> dar - (a:1 + )—— <g> cřx1 + xó —— C
OT1 OX OXó
5-4- Nechť xx,x2,x3 a x1 ,x2 ,x3 jsou souřadnicové systémy, pro které
ľ      1      2'      1      2      3'      1      2 3
tX./ tX/     • tX/ tX/ tXj    * tXj tXj tXj tXj *
Určete tvar tensorového pole X vůči druhému systému, jestliže
1 9       9 d       o d
ŕ). 1. Určete uj{X), kde w = zdx — dz, X = y-i- + x 9
dx1       dx2 dx3
6. Vnější diferenciální formy
— + x—
dx dy
6.2. Určete a A /3, jestliže
a = a\dx + ci2dy + a^dz,    (3 = b\dy A dz + b2dz A dx + b%dx A dy.
6.3. Nechť uj = {x2 + y2)dx + a^cřz a 9 = zdy Adx + xdz A dx Určete du, d9, u A u, 9 A 9, u A 9, d(u A 9).
6.4. Určete du, jestliže a) uj = x2ydy — xy2dx; b) uj = xdy + ydx; c) uj = f{x)dx + g(y)dy; d) uj = xdy A dz + ydz A dx + zdx A dy; e) uj = xdJ^vÍv; f) uj = xydx A dz + zudz A du.
9
6.5. Ověřte, které z následujících 1-forem uj jsou uzavřené na D. Určete všechny funkce ip splňující dip = uj.
a) uj = xydx + \dy, D = R2;
b) uj = xdx + xzdy + xydz, D = R2;
c) oj = (j; + 4.) (yda: - ardy), -D = {{x,y) G R2\x,y > 0}.
6.6. Pro 1-formu
(3x2 - 3yz + 2)tfe + (3y2 - 3xz +       + (3z2 - 3xy + l)dz = 0 na IR3 určete všechny funkce / splňující df = uj.
6.7. Určete duj, jestliže uj = d9 A 9 a 9 je 2-formou na varietě M.
6.8. Nechť M je souvislá varieta. Ukažte, že H°(M) = R.
6.9. Ukažte, že vnější formy uj = xdx + ydy a rj = ydx + xdy na IR2 jsou uzavřené. Ověřte, jestli tyto formy patří do stejné kohomologické třídy.
6.10. Nechť uj je exaktní forma a £ je libovolná forma. Ukažte, že forma uj A £ je exaktní.
6.11. Nechť / : IR2 \ {0} —> IR2 \ {0}, f(r,íp) = (r cos 99, r sin ip) je zobrazení. Ukažte, že a) ľ (^ä) = dV; b) f* (xdx + y^) = rdr.
6.12. Nechť g : IR2 —y IR3, g(u,v) = (uv,ucosv,ev) je zobrazení. Určete gLj, g*uj, g*duj pro následující formy uj na IR3: a) w = rrcří/; b) uj = ydz A dx; c) uj = dx A dy A dz.
6.13. Nechť uj = dp1 A dq1 + • • • + dpn A dqn je 2-forma na IR2n. Ukažte, že uj je uzavřená a že pro její n-tou vnější mocninu platí
n(n—1) -, -,
uj A ■ ■ ■ A uj = (-l)^^nlcřp1 A dq A ■ ■ ■ A dpn A dqn. 6.14- Ukažte, že 2-forma
uj = xydx A dy + Ixdy A dz + lydx A dz na IR3 je uzavřená, a určete aspoň jednu 1-formu 9 splňující d9 = uj.
6.15. Určete jM uj, kde uj je 1-forma z předchozí úlohy a
M = {(x, y, z) G R3\x2 + y2 + z3 = 1, z > 0}.
6.16. Určete Jmoj, kde
a) uj = (x — y)dx + (x + y)cřy a M je úsečka AB, A = (2, 3), B = (3,5);
b) uj = ydx + xdy, M = {(cosi, siní)\t G (0,f)} C IR2;
c) uj = xdx + ydy + (x + y — l)dz a M je úsečka AB, A = (1,1,1), B = (2, 3,4).
6.17. Určete
dx3 A dx^ + x1x3dx2 A dx^,
10
kde M = T2 = {(xi,X2,x%,X4) £ IR4|:r2 + x\ = 1, x2 + x\ = 1}. Uvažujte parametrizaci g(u,v) = (cos u, sin u, cos v, sin v), (u, v) G (0, 2%) x (0,27r).
ŕ>. Í5. Pomocí Stokesovy věty určete fMu), kde
a) = (x2 +y2)dx + (x2 — y2)dy a M je obvod trojúhelníku s vrcholy A = (0, 0), B = (1, 0), C =(0,1);
b) w = xycří/ A dz + í/zcb A <ir + rrzcřrr A dy a M je hranice standardního trojrozměrného simplexu v IR3.
6.19. Ukažte, že 2-forma uj = (x2+y2+z2Y^.(xdy/\dz+ydz/\dx+zdx/\dy) na IR3\{(0, 0, 0)} je uzavřená, ale není exaktní.
6.20. Ukažte, že 1-forma u = ~v^2^yŕv na H^2 \ {(0, 0)} je uzavřená, ale není exaktní.
7. Lineární konexe a Riemannovy prostory
7.1. Nechť V je lineární konexe na IR2 s nulovými Christoffelovými symboly vůči souřadnicím x, y. Určete symbol      konexe V vůči polárním souřadnicím r, ip.
7.2. Nechť V je lineární konexe bez torse na varietě M a S* je paralelní distribuce na M, tj. VyX G T(S) pro všechna X G r(S'), Y G T(TM). Ukažte, že distribuce S je involutivní.
7.3. Ukažte jak vypadají souřadnicové vzorce pro kovariantní derivace tenzorů následujících typů: a) (0, 0); b) (1, 0); c) (0,1); d) (1,1); e) (2, 0); f) (0, 2).
7.4- Určete Vj5£, kde je V je lineární konexe.
7.5. Nechť tenzorové pole T typu (0,2) na IR2 má následující souřadnice:
m,) = (2°2 ^\xl
Určete kovariantní derivace tenzoru T vůči symetrické konexi bez torze mající Christoffe-lovy symboly
r11 = {x ) , r12 = x x , r22 = (x ) ,
r2 — n    r2 — í_    r2 — n 111 — u>   112 —   2'     22 —
xz
7.6. Nechť V je lineární konexe na IR2, která má vůči standardním souřadnicím nulové Christoffelovy symboly, pouze r22 = — 1- Určete výsledek paralelního přenášení vektoru X = (1,0) podél dráhy
x1(2) = 2í + l,   x2(t) = -t,   0 < t < 1 z bodu a0 (t0 = 0) do bodu aľ (íx = 1).
7.7. Nechť V je lineární konexe na IR2, která má vůči standardním souřadnicím nulové
Christoffelovy symboly, pouze rj;2 = 1. Určete symbol      vůči souřadnicím y1 = x1 + x2,
2      1 2 y = x — x .
11
7.8. Nechť V je lineární konexe na IR2, která má vůči standardním souřadnicím nulové Christoffelovy symboly, pouze T22 = 1.
a) Nechť g = dx1 <8> dx1 + dx2 <8> dx2. Určete V±gi2-
b) Najděte Vw, jestliže w = dx1 A cřx2.
7.5. Určete Christoffelovy symboly Riemannovy metriky
g = e2/ (dx1 ®dxlj^-----h dx11 <g> <irn),
kde / je funkce. Najděte tenzor Ricciho metriky g pro n = 2.
7. i0. Nechť V je lineární konexe na IR2, která má nulové Christoffelovy symboly kromě
r2 — r2 — ^
1 10 — 1 1
12 — 1 22 —      i   . 2 1 + í/2
vůči souřadnicím Určete souřadnice tenzorů torze a křivostí.
7.11. Nechť Rlki - jsou souřadnice tenzoru křivosti Riemannovy konexe metriky g^. Určete 9iJRlkij-
7.12. Určete metriku na sféře S2 vůči
a) sférickým souřadnicím;
b) vůči souřadnicím definovaným pomocí stereografické projekce.
7.13. Určete Christoffelovy symboly pro metriku na sféře vůči souřadnicím z předchozí úlohy.
7.14- Řešte rovnice paralelního přenosu na sféře s metrikou (d6)2 + sin2 6(díp)2 podél rovnoběžky 9 = 9q, ip = t G [0, 2tt]. Určete úhel mezi tečným vektorem ke sféře a jeho obrazem při paralelním přenosu podél této rovnoběžky.
7.15. Určete R, V i?, Ric, VRic a skalární křivost metriky na sféře vůči sférickým souřadnicím.
7.16. Uvažujeme metriku Minkowského
-(dtf + (dx)2 + (dy)2
v číselném prostoru IR3 a definujeme metriku g na povrchu Lobačevského L2 C R3 jako metriku indukovanou. Určete metriku g
a) vůči souřadnicím (x, f), kde (a,x,f) jsou pseudosférické souřadnice prostorů IR3, tj. t = a cosh x, x = a sinh x cos Lp, y = a sinh x sin p;
b) vůči souřadnicím (u, v) definovaným pomocí stereografické projekce (kruhový model Poincarého geometrie Lobačevského);
c) vůči souřadnicím (r, s) modelu geometrie Lobačevského v horní polorovině
H = {(r, s) G R2\s > 0}, souřadnice (r, s) jsou definovaný vzorcem
1 + u + iv
r + is = i-.
1 — u — iv
12
7.17. Určete Christoffelovy symboly pro metriku povrchu Lobačevského vůči souřadnicím z předchozí úlohy.
7.18. Určete délku kružnice (x + l)2 + (y — 5)2 = 1
a) vůči metrice g = {1+J+y2)2 {{dxf + (dy2));
b) vůči metrice g = -^((dr)2 + (ds)2).
7.19. Určete geodetické dráhy modelu geometrie Lobačevského a) v kruhu; b) v horní polorovině.
7.20. Nechť dvě konexe a mají stejné geodetické dráhy. Ukažte, že každá konexe r^. = aV^j + /3Ťij (a + (3 = 1) má tytéž geodetické dráhy.
7.21. Nechť V je lineární konexe na IR2, pro kterou
Vjl— = —,     ^^—=^^—=^^— = 0.
OX       OX 9x (ýy dy (ýx dy (ýy
Najděte geodetiku ^(t) takovou, že 7(0) = (0,0), 7(0) = (^)0-
7.22. Nechť 7(í) = (t, t), 0 < t < 1 je geodetika nějaké konexe na IR2. Určete výsledek paralelního přenosu vektoru X = (2, 2) G T7(o)M2 podél 7.
7.23. Nechť V je lineární konexe na IR2, která má nulové Christoffelovy symboly, pouze
-pl   _ r2___2x
1 11 — 1 12 — ^
Najděte geodetiky této konexe.
x2
7.24- Najděte nutné a postačující podmínky pro to, aby každá křivka splňující x = const byla geodetickou křivkou dané lineární konexe V na IR2.
7.25. Ukažte, že Ricciho tenzor Riemannovy variety je symetrický.
7.26. Ukažte, že pro Riemannův prostor platí
k—            1 <9Scal q VfcRiCj,- =--——.
y    h    13    2 dx3
7.27. Nechť je (M,g) Einsteinova varieta, tj. platí
Ric = Xg
pro vhodnou funkci A. Najděte skalární křivost této variety. Ukažte, že pokud dimenze variety je větší než 2, pak funkce A je konstantní.
7.28. Nechť V je lineární konexe na IR2, která má nulové Christoffelovy symboly, pouze
■pí _ -pí _ 1 111 — 1 22 — 1-
Najděte Ricciho tenzor této konexe.
7.29. Nechť Rlki - jsou souřadnice tenzoru křivosti lineární konexe bez torze. Určete f?2ii a R{2i, jestliže R\i2 = x1.
13
7.30. Nechť M je varieta s lineární konexí V a x G M. Ukažte, že množina paralelních přenosu podél po částech uzavřených hladkých drahách y bodu x tváři podgrupu grupy GL(TXM) všech lineárních izomorfizmů tečného prostoru TXM. Tato grupa se jmenuje holonomickou grupou konexe V z bodu x.
7.31. Ukažte, že pokud M je souvislá varieta, pak holonomcké grupy v různých bodech jsou izomorfní.
7.32. Určete holonomckou grupu dvourozměrné sféry.
7.33. Nechť n-dimenzionální Riemannovská varieta (M,g) je plochá, tj. v okolí každého její bodu existuje n paralelních, bodově lineárně nezávislých vektorových polí. Dokažte, že
a) tenzor křivosti je nulový;
b) v okolí každého bodu existují souřadnice x1,..., xn takové, že g = 8ijdx%dxK
Návody a výsledky cvičení
LI.   a) J=    3,COSt, -3pSÍní);detJ = 12p; je imerse, submerse a difeomorfismus na svůi
'          ^4smí 4pcosí J                   '   J J
obraz;
(—sin u cos v —cos u sin v\
cos u cos v —sin u sin v    je imerse, není submerse, je difeomorfismus na svůj obraz;
0 cos v I
je imerse, není submerse, je difeomorfismus na svůj obraz;
2^ sin ip    ^fp cos p \   "i 0 /
f - U2 + V2 -2UV      \ _ 4(l-M2-t.2)
c) J
d) J = -7-r,—->   ->v> I ,      99); det J = 7^—■> , ■> j není imerse, není submerse, a
> (l+«2+u2)2 ^     -2uv l + u2 - V2J (l+M2+-u2)3 ' '
není difeomorfismus na svůj obraz.
I.4. Předpokládejte, že existuje difeomorfismus ip nějakého okolí U bodu (0, 0) G M2 na otevřenou podmnožinu v M2, který zobrazuje M n U na podmnožinu množiny {(x, 0)| x G M} a ukažte, že Jakobián zobrazení ip v bodě (0, 0) je roven 0.
1.7. Je podvarietou.
1.8. Je podvarietou.
1.9. c Ý 0.
1.10. n2.
1.11. n2 - f.
1.12.
I.I4. f. způsob: aplikujte předchozí úlohu; 2. způsob: zadejte anuloid jako řešení soustavy rovnic. 2.1. Není slučitelnou mapou.
2.8. Tato mapa by musela být homeomorfismem sféry (což je kompaktní topologický prostor) a otevřené podmnožiny eukleidovského prostoru.
3.1. Ukažte, že tečné zobrazení v libovolném bodě je isomorfismem.
14
3.2. Přímka 2x + y - 2^2 = 0.
3.4- Množina čtvercových matic řádu n s nulovou stopou. 3.5. Množina antisymetrických čtvercových matic řádu n.
3.7. 2x2 + 2y2.
3.8. 2x2 + xy3 + xy.
3.9. a) (cos v + v sin v) ^ + (sin u — u cos u) Jjj;
0.
b) (yzd - 2xz + x yz)-^ + (xy 3. .Z L r(cos</> + sin</5)^: + (cos</5 - sin</>)^.
3.13. a) 5^ +4q^, b)   ž/g^ ""^^^j/' ^) ^ Qx    y dy'
3.14. a) x(í) = x0e*, y(y) = y0e*; b) x(ť) = (xQ+y^ŕjé, y (t) = y^é; c) x (t)
3.15. a) x (t) = 0, y(í) = 0; b) x (t) = (2 - í)e*, y(í) = (í - ľ) é; c) x(í) :
XQ
v(t)
yo
cos í — sin í; d) x (t) = e (cos 3í —jr sin 3í), y (t)
í cos 3í + i sin 3í
l-zoť tfw l-í/oí' cos í + siní, y (t) =
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ w \ \ \
OBRÁZEK 2. Integrální křivky vektorových poli b), c), d) z úlohy 3.15
3.16. a) Integrální křivka: x (t) = e t, y (t) = et, t G M; tok: Fl^(x,y) = {xe t,yet); pevný bod: (0,0); obrazem čtverce je obdélník [—e_í,e_í] x [—e1, e1];
b) Integrální křivkou je kružnice: x (t) = cos í — sint, y (t) = cos í + siní, í G M; tok je soustava rotací: Fl^-(x,y) = (x cos í — y siní, x siní + y cos í); pevný bod: (0,0); obrazem čtverce je čtverec [—1,1] x [—1,1] otočený o úhel í.
3.17. Tok: Fl?(x,y)
xt
l-lť
yet); bod (0,0) zůstává na místě; tok zobrazuje bod ( — 1,2) na
bod
2e).
3.18. a) je involutivní; b) není involutivní. n\   f n + r — 1
4.5. Af = 4; Af = 5; Af = 4; Af = 7.
4-6. Aj j = U] ■ ■ ■ l'',J'j ■ ■ ■ />'•; .l'ŕ kde (BÍ,) je matice přechodu od první báze (e^) k druhé bázi (ej/), tj     = B\,ei, a (B\ ) = i?-1 je inverzní matice, tj. B'^B'j = 6'j
4.7. a) (A*') = B-1 ■ (A*); b) (A,) = B • (A,); c) (Á1'i') = B'1 • (A*) ■ (B^)T- d) = BT-(Aij)-B; e) (A*',) = B^1 ■ (A*) • i3.
4.8. a) 5 G 02K3,      = 6,tj;
b), c) / G (^M3, nenulové souřadnice: ff2 =         =      = -f?3 =      = -f£2 = 1;
d) / G (g>3M3, nenulové souřadnice: /i23 = /231 = /312 = -/213 = -/132 = -/321 = 1;
e) / G (X^M3, f j = Aj kde (Alj) je matice lineárního zobrazení A;
f) / e ^M3, f% = 6\6\ - 6\6{.
/6 14 2\
^.9. a) 13; b) (£<g> *)$.)=    3 7    1   ; c) 13; f) (4 0 5); g) (2 4 1); h) 8.
\0 0 0/
4.10. a) 6; b) -6.
4.12. a) (Sym(£®77)i3-) = (_\ ~|) , (Sym(X ® Y)*) = (j , tr^Sym^) 0 Sym(X 0
y)) = 9, tri2(Sym(£ 0 ??) ® Sym{X 0 Y)) = 9;
b) (Symfé®^) = (_2i (Sym(X®y)ý') = (5   |^ tr^Sym^)0Sym(X0y)) = §,
t42(Sym(£ 0 ??) 0 Sym(X ® y)) = jj. 0.
5.1.
a' i'     dx'1'^     dxl'r dx^1     dx^a ,•
jí-fs ~ ,-;./•' ''' (•;./•' <).<■<' ''' (h-'' jl-js'
x--t^—7 arctan ^ ) dx + f u H—?x ? arctan ^ ) dy.
xÁ+yÁ x J \a      xÁ+yÁ x J a
X1 + X2 X1 + X2 0
Sx1 - 2x2        -x1 - x2 0 Sx1 + 2x2 + x3   x1 + x2 + x3   x1 + x2 + x3
xi   Y - r-1'   9     i  r-2'   9     i  r-3' 9
ox o x axó
6.1. y z.
6.2. (ai&i + a2^2 + a^b^)dx Ady A dz.
#.3. dej = — 2ydx Ady + zdx Adz, d9 = —dxAdyAdz, loAlo = 0, #A# = 0, wA# = — xz2dxAdyAdz, d(u A 9) = 0.
^j.^. a) Axydx A dy; b) 0; c) 0; d) 3dx Ady A dz; e) 0; í) —xdx Ady A dz.
6.5. a) ip = \x2y + c; b) uj není uzavřená; c) ip = | — ^ + c.
6.6. f = x3 + y3 + z3 — 3xyz + 2x + ylmy + z + c. ^ 7. 0.
6.9. Patří do stejné kohomologické třídy.
16
6.10. Nechť ui = d9, pak d(0 A £) = ui A £.
a) dui = dx A dy, g*w = uvcosvdu — u2v sinvdv, g*(dui) = — {uvsinv + u cos v) du A ďu; b) dui = dx /\dy f\ dz, g*ui = —evuv cos vdu A dv, g*dui = 0; c) dui = 0, g*w = 0, g*dui = 0.
6.14- 0 = \x2ydy + 2xydz.
6.15. 0.
6.16. a) f; b) 0; c) 13.
6.17. tv2.
6.18. a) f; b) |.
Důkaz neexaktnosti: 1. ukažte, že fs2w ^ 0; 2. pomocí Stokesovy věty ukažte, že pro libovolnou exaktní 2-formu ui je Js2 ui = 0.
7.3. a) / eC°°(M), Vkf = dkf;
b) x g r(TM), vfcx< = dfcxř + r;,xj:
c) ^ e r(T*M), vfe& =    - r;,.^:
d) A g r(®ÍTM), Vfc^ =        + T\kA\ - T\kA\-
e) A g r(®2TM), vfeAý' =      + rj^' + r^Aíř;
f) A g r(®2TM), Vfc^ =        - r^,l;; - TljkAu.
7.4. 0.
o 1
(x'+x2) ({x1)2-^
2x\l + x1^2)     -24 - Oc1 + -v2!./-./-'
{xľ+3x2)^     1- (x1 +x2)x1x2
-(x1 +3x2)(x2)2 )'
7.6. (1,0).
7.7. i.
7.5. a) 0; b) nenulové komponenty VjWjfc: V1CJ12 = — Vicj2i = —1.
7.9. r£. =      +      - <ji3-afe/; rícii = ríc22 = -d2j - d2f, ríc12 = ríc21 = o.
7.10. Nenulové komponenty: T?2 = -T^ = R212 = ~R22i = ~2 (í+žľ2)2'
7.11. 0.
7.12. a)g = (d0)2 + sin2 0{dip)2; b) g = (1+J+V^ {{du)2 + {dv)2).
7.13. a) Nenulové symboly: T22 = — sin 0 cos 0, T2X = cotané?;
m   -pí — ri —   r2 —    2»       r1 — r2 —   r2 — ^ bj ~L 11 ~ 1 22 - _i 12 - i+u2+'t^' _i 12 - 111 - _i 22 - i+u^+v2 ■
7.14- X1(í) = sinř?o(ci sin(cos#oí) - c2 cos(cos 9ot)), X2{t) = c\ cos(cosř?oí) + c2 sin(cos 6ot), úhel je 2tt cos 6q.
7.15. Nenulové komponenty R: R\12 - -R\2\ = sin2 6, R\v2 = -R\2\ = -1, {x1 = 9, x2 = </?); VR = 0, Ric = g, VRic = 0, Seal = 2.
17
7.16. a) g = (dX? + sinh2 x(^)2; b) g c)g = 4((dr)2 + (dS)2).
(1—U2—U2)
^w((dn)2 + (dv)
7.17. a) Nenulové symboly: T\2 = — sinhxcoshx, T2X M r1 — -r1 — r2 —    2tt     r1 — _r2
UJ 1 11 —    1 22 — 1 12 — i_u2_,„2 ) 1 12 —    1 11
c) nenulové symboly: — T\2 — r2 —   r2 — 1
r2
1 22
cotanhx;
2v
l-M2
r2 1 ii
-r2
1 22
7.18. a)
2tt
b)
/170' "y v^"
7. i9. a) oblouky kružnic kolmých na hranici kruhu, a průměry kruhu; b) polokružnice se středy na ose x a polopřímky kolmé na ose x (viz. obrázek 3).
OBRÁZEK 3. Geodetické dráhy geometrie Lobačevského
7.20. Pro důkaz faktu, že každá geodetická dráha konexe T (a V) je geodetickou drahou konexe f, stačí uvažovat odpovídající rovnice. Opačně, nechť 7 je geodetická dráha pro T. Nechť 7 je geodetická dráha pro T (a T) splňující 7(0) = 7(0), 7(0) = 7(0). Pak 7 je geodetickou drahou pro f. Z uvedených podmínek vyplývá, že 7 = 7.
7.21. x{ť) =ln(í + l), y(ť) =0.
7.22. (2,2) G t7(1)M2.
7.23. ax + by + c = 0, kde a, 6, c jsou libovolné konstanty a a2 + b2 7^ 0.
7.^. ri2 = 0.
7.^5. Využijte první Bianchiho identitu.
7.26. Využijte druhou Bianchiho identitu.
7.27. Seal = nX; pro důkaz konstantnosti A využijte předchozí úlohu.
7.28. Nenulová komponenta: RÍC22 = 1-
0; R\
121
7.29. Rln
7.31. Pokud 7 je uzavřenou křivkou v bodě x a u je křivka s počátkem v bodě x a koncem v bodě y, pak kompozice u a A je uzavřená křivka v bodě y. Zvolíme-li pevně u a uvažujeme-li paralelní přenosy, dostaneme jisté zobrazení z grupy holonomie v bodě x do grupy holonomie v bodě y.
7.32. SO(2), tj. grupa všech rotací tečné roviny.
7.33. b) nechť lokální vektorová pole X±, ■ ■ ■ Xn jsou paralelní. Ukažte, že jejích Lieovy závorky
jsou nulové. To znamená, že existují souřadnice x1,
, xn takové, že Xi = -J^
18
Použitá literatura
[1] Agricola L; Friedrich Th. Global analysis. Differential forms in analysis, geometry and physics. Translated from the 2001 German original by Andreas Nestke. Graduate Studies in Mathematics, 52. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. xiv+343 pp.
[2] KOLÁŘ I. Úvod do globální analýzy. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2003. iv, 118 s.
[3] MalakhaltsevM. A., Fomin B. E. Sborník zadačpo tenzornomu analizu. (Russian) [Collection of problems in tensor analys] Kazan, Kazanskij gosudarstvennyj universitet. 2008. 91 s. [4] Mishchenko A. S.; Solov'ev Yu. P.; FomenkoA. T. Sborník zadač po differentsiaVnoj geometrii i topologii. (Russian) [Collection of problems in differential geometry and topology] Moskov. Gos. Univ., Moscow, 1981. 184 s.
[5] Novikov, S.P.; Fomenko, A. T. Basic elements of differential geometry and topology. Translated from the Russian by M. V. Tsaplina. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 60. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1990. x+490 pp. [6] Novikov S. P.; Taimanov I. A. Modern geometric structures and fields. Translated from the 2005 Russian original by Dimitry Chibisov. Graduate Studies in Mathematics, 71. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. xx+633 pp.
[7] Robbin J.W., Salamon D. A. Introduction to Differential Geometry. ETH, Lecture Notes. 2013. Available on http://www.math.ethz.ch/ salamon/PREPRINTS/diffgeo.pdf [8] Tu L. W. An introduction to manifolds. Second edition. Universitext. Springer, New York, 2011. xviii+411 pp.