V Brně 8. dubna 2001 Diplomová práce Diferenční rovnice ve středoškolské matematice Aleš Kobza Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně podle pokynů vedoucího diplomové práce a s použitím uvedené literatury. Děkuji vedoucímu diplomové práce, Doc. RNDr. Ondřeji Došlému, DrSc. za cenné rady a připomínky k tématu diplomové práce. Obsah 1 Úvod 2 2 Základy diferenčního počtu 7 2.1 Pojem a vlastnosti diference funkce................. 7 2.2 Diference některých elementárních posloupností.......... 10 2.3 Diference vyšších řádů........................ 12 2.4 Úlohy na procvičení......................... 14 3 Základy sumačního počtu 15 3.1 Pojem a vlastnosti sumace...................... 15 3.2 Sumace některých elementárních posloupností........... 17 3.3 Součet n členů posloupnosti..................... 21 3.4 Určité sumy.............................. 23 3.5 Sumace vyšších řádů......................... 25 3.6 Úlohy na procvičení......................... 27 4 Pojem diferenční rovnice 29 5 Pojem a vlastnosti lineární diferenční rovnice 33 6 Homogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty 37 6.1 Charakteristická rovnice má k různých reálných kořenů...... 38 6.2 Charakteristická rovnice má imaginární kořeny.......... 39 6.3 Charakteristická rovnice má vícenásobný kořen.......... 40 6.4 Úlohy na procvičení......................... 41 7 Nehomogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty 43 7.1 Metoda neurčitých koeficientů.................... 43 7.2 Metoda variace konstant....................... 45 7.3 Úlohy na procvičení......................... 49 8 Lineární diferenční rovnice 1. řádu s nekonstantními koeficienty 50 Literatura 53 1 1 Úvod V případě, že definiční obor funkce jsou ekvidistantní body, jak je tomu např. u posloupností, používá se k jejich vyšetřování diferencí (místo derivací) a sumací (místo integrálů). Diferenční rovnice jsou tedy obdobou diferenciálních rovnic pro funkce s diskrétním definičním oborem. Najdeme je v ekonomii, v počtu pravděpodobnosti, matematické statistice, fyzice, chemii a všude tam, kde je povaha problému taková, že vyžaduje řešení metodami diskrétního charakteru. i ve středoškolské matematice se setkáme s některými problémy, které je výhodné řešit pomocí diferenčních rovnic, a to především v kombinatorice a v učivu o posloupnostech. Některé diferenční rovnice totiž představují rekurentní vzorce pro posloupnosti u(n) nebo součty jejích členů s(n). Řešit tyto rovnice znamená najít vzorce pro u(n) (resp. s(n)) jako funkce n. Tuto práci je možné využít jako výukový text tématu „Diferenční rovnice" na gymnáziích s rozšířenou výukou matematiky. Vyložíme zde základy diferenčního a sumačního počtu nutné k tomu, abychom v dalším dokázali řešit jisté typy lineárních diferenčních rovnic, na něž se především zaměříme. K mechanickému řešení lineárních diferenčních rovnic přitom stačí středoškolské znalosti. Teoretický výklad je vždy doplněn řešenými příklady, navíc v závěru skoro každé kapitoly je větší počet úloh na procvičení včetně výsledků a případně i návodů k jejich řešení. Poznamenejme, že podobně jako pro diferenciální rovnice, tak i pro diferenční rovnice neexistuje obecná metoda řešení. Pro některé funkce platí jisté analogie mezi spojitým a diskrétním případem. Na některé z nich upozorníme i v této práci. Tyto poznámky však nejsou nutné pro pochopení ostatního textu, proto jsou psány menším písmem. Čtenář s hlubším zájmem o probíranou problematiku má v textu možnost najít odkazy na další literaturu. Dříve, než přistoupíme k samotnému výkladu, uveďme několik motivačních příkladů, které naznačí, jaké typy úloh zvládneme po prostudování této práce řešit. Příklad 1.1: Určete nej větší možný počet u(n) oblastí, na které lze rovinu rozdělit pomocí n přímek, které v ní leží. Řešení: Mějme v rovině n přímek pi,p2,--iVn v obecné poloze, tj. n přímek takových, že žádné tři se neprotnou v jednom bodě (v termínech geometrie to znamená, že žádné tři přímky nepatří do tzv. svazku přímek 1.druhu - viz skripta [7]) a žádné dvě nejsou rovnoběžné (tedy žádné dvě z těchto přímek neurčují svazek přímek 2.druhu). Těmito přímkami je rovina rozdělena právě na u(n) oblastí. Přidejme přímku pn+i tak, aby všech n + 1 přímek opět bylo v obecné poloze, tzn. přímkapn+i je rozdělena průsečíky s přímkamipi,p2, ..^Pn na n + 1 částí. Každá z těchto částí dělí jednu z původních oblastí roviny na dvě „nové". Přidáním přímky pn+i tedy počet částí roviny vzrostl o n + 1. Je zřejmé, že počet oblastí, na které je rovina rozdělena přímkamipi,p2, ...,pn+i je u(n + 1). Tímto jsme odvodili vztah u(n + 1) = u(n) + n + 1. Označíme-li u(n + 1) — u(n) = Au(n), pak Au{n) = n + 1. (1.1) Z kapitoly 3 vyplyne, že u(n) lze předpokládat ve tvaru: u(n) = an2 + bn + c, kde a, b, c jsou konstanty, které musíme určit. Tedy Au{n) = a{n + l)2 + b{n + 1) + c - {an2 + bn + c), 2 což po úpravě dá Au(n) = 2an + a + b. (1.2) Pravé strany rovnic (1.1) a (1.2) se musí identicky rovnat n + 1 = 2an + a + b a konstanty a, b proto můžeme určit porovnáním koeficientů u stejných mocnin: n1 : 2a = 1 =>• a = ^ n°: a + 6 = 1 =>• 6 = ^ Zbývá určit konstantu c. Zřejmě platí u(l) = 2, tedy u(l)=a + 6 + c =>• 2=^ + ^+c c=1-Pro hledaný počet u(n) oblastí jsme odvodili vztah u(n) = ^(n2 +n + 2). (1.3) Příklad 1.2: Určete hodnotu součtu 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + ... + n(n + l)(n + 2) pro libovolné n e N. Řešení: Máme najít vzorec pro součet prvních n členů posloupnosti s(n) = u(l) + u{2) + ... + u(n), kde u(n) = n(n + l)(n + 2). V podkapitole 3.3 se dozvíme, že platí s(n) = ^2 u(n + !)• Naším úkolem je určit tzv. sumaci u(n + 1). Seznámíme se rovněž s pojmem zobecněná mocnina (viz Definice 2.18), pomocí níž tento výpočet snadno provedeme. Platí totiž s(n) = J2{n + ^){n + 2){n + 3) = J2(n + 3){3) = \(n + 3)(4)+c = = ^n(n + l)(n + 2)(n + 3) + c. Konstantu c určíme z faktu, že s(l) = u(l), tj. 1 „ l-2-3-4 + c=l-2-3 ^ c = 0. 4 Vypočetli jsme 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + ... + n(n + l)(n + 2) = ^n(n + l)(n + 2)(n + 3). (1.4) Právě vyřešený příklad lze nalézt např. ve sbírce [10], která je určena pro gymnázia, ovšem v zadání se mluví o důkazu vzorce (1.4). To lze samozřejmě provést matematickou indukcí, zvídavý student si však jistě položí otázku, jak lze vzorce podobné (1.4) odvodit. Odpověď na ni podává i tato práce. 3 Rovněž Příklad 1.1 lze najít ve středoškolské sbírce [9]. i ten je formulován jako důkaz vzorce (1.3) matematickou indukcí. Ve stejné knize je ale popsána metoda, jak lze u posloupnosti dané rekurentně najít vzorec pro n—tý člen (funkční vzorec). Postup je následující. Po vypsání několika prvních členů vyslovíme hypotézu, jejíž platnost potvrdíme matematickou indukcí. Tímto způsobem lze „uhodnout" funkční vzorce, které nejsou příliš komplikované a Příklad 1.1 bychom takto možná vyřešili. Již v následujícím příkladu by byl tento postup těžko proveditelný a oceníme v něm výhody diferenčního počtu. Příklad 1.3: Kolika způsoby můžete vyběhnout n schodů, děláte-li kroky o jeden nebo o dva schody (n e N)? Řešení: Označme v(n) počet způsobů pro n schodů. Uvažujme o vyběhnutí n + 2 schodů. Uděláme-li první krok o jeden schod, pak nám zbývá v(n + 1) způsobů pro další schody. Ve druhém případě, tj. uděláme-li první krok o dva schody, zbývá vyběhnout n schodů, což lze udělat v(n) způsoby. Tímto jsme odvodili rekurentní vztah v{n + 2) =v{n + l) + v{n), (1.5) přičemž zřejmě platí v(l) = 1, v(2) = 2. Podle terminologie zaváděné ve 4. a 5. kapitole je vlastně (1.5) homogenní lineární diferenční rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty a danými počátečními podmínkami. Rovnici (1.5) nyní vyřešíme způsobem podrobně vyloženým v 6. kapitole. Její charakteristická rovnice A2 — A — 1 = 0 má kořeny Ai^ = ■ Obecné řešení je proto tvaru Konstanty C\, C2 určíme z počátečních podmínek 1 = C^+ftl^ Rozřešíme-li tuto soustavu, dostaneme C\ = , C2 = 5 1^. Vypočetli jsme v{n) = ^r-(^) +^ď~- -2- • (L6) Posloupnost, se kterou jsme pracovali v Příkladu 1.3 se nazývá Fibonacciho posloupnost (Fibonacci, vlastním jménem Leonardo Pisánský (1170 - 1240), italský matematik). Všimněme si, že kdybychom postupně počítali její jednotlivé členy z rekurentního vzorce (1.5) při podmínkách v(l) = 1, v(2) = 2, dostali bychom přirozená čísla 1,2,3,5,8,13,21,... Proto i hodnotami vypočtenými ze vzorce (1.6) musí být pro libovolné n e N přirozená čísla, i když tvar (1.6) obsahuje zlomky a iracionální čísla. Poslední příklad, který v této kapitole uvedeme, je z oblasti počtu pravděpodobnosti. Příklad 1.4: (Hráčův problém) Hráč se účastní hry, v jejímž každém kole sází vždy stejnou částku (1$). S pravděpodobností p (0 < p < 1) přitom vyhraje dvojnásobek vsazené částky, v opačném případě sázku ztrácí. Hru končí, jestliže dosáhne stanovené výhry N§, nebo 4 prohraje-li výchozí částku M$ (0 < M < N). Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost toho, že hráč prohraje výchozí částku M$. Řešení: Označme P(n) pravděpodobnost, že hráč prohraje částku n$. Pak zřejmě platí P(0) = 1 a P(N) = 0. Nechť 0 < n +1 < N. Ze stavu, kdy má hráč (n + l)$ se může dostat buď do stavu, kdy má (n + 2)$, a to s pravděpodobností p a nebo se s pravděpodobností 1—p dostane do stavu, kdy má n$. Tuto skutečnost vyjadřuje vzorec P(n + 1) = pP{n + 2) + (1 - p)P{n), což je lineární diferenční rovnice 2. řádu, kterou můžeme přepsat do tvaru P(n + 2) - -P(n + 1) + —-P(n) = 0. (1.7) P P Tuto rovnici nyní vyřešíme způsobem podrobně vyloženým v 6. kapitole. Nejprve najděme kořeny charakteristické rovnice A2 — ^A + = 0 : 1 _|_ fl 4(1-p) . p±y^-^lT^ 1 1 rr^—r—r 1± 2p-l 2 2p 2p 2p Tedy Ai = 1 a X2 =-. P Nyní musíme rozlišit dva případy. Charakteristická rovnice totiž má buď dvojnásobný kořen a nebo dva reálné různé kořeny. 1. Případ Ai = A2 = 1 nastane právě když p=\. Obecné řešení rovnice (1.7) je v tomto případě P(n) = Ci + C2n. Konstanty Ci, C2 určíme z podmínek P(0) = Ci = 1, P(N) = C1+C2N = 0 => C2 = ~. Pro P= \ jsme vypočetli '(-) = i- £ = V- <-> 2. V případě, kdy Ai 7^ A2, což nastane právě když p ^ |, je obecné řešení rovnice (1.7) tvaru P(n) = Ci+C2 ' l~P P Podobným způsobem jako výše vypočteme konstanty Ci, C2 ■ P(0) = Ci + c2 = 1, /I — \ N P(N) = Ci +C2 \—^J = 0. Vyřešením této soustavy dostaneme Ci = ^~^n_pn a C2 = pn_'^1_py Tedy P(n)= V-pF +_P-__(Iz* " V> {l-p)N-pN pN-{l-p)N \ p Po úpravě pro p 7^ | máme: _ (l-p)"[(l-^-"-^-"] (1 g) 5 Pro konkrétnější představu vypočtěme hodnotu P{n) pro dva případy: 1. Je-li M = 20$, N = 40$ a p = |, pak podle (1.8) vypočteme: P(20) = 0,5. 2. Je-li M = 20$, N = 40$ a p = || (což zachycuje reálnou situaci, sází-li hráč v ruletě s jednou nulou na červenou resp. černou barvu), pak podle (1.9) vypočteme: P(20) = 0, 75. 6 2 Základy diferenčního počtu Než se budeme moci zabývat diferenčními rovnicemi, musíme se seznámit s pojmem „diference11, což v překladu znamená „rozdíl". V následující podkapitole uvedeme definici diference funkce a ukážeme si její základní vlastnosti. 2.1 Pojem a vlastnosti diference funkce Definice 2.1: Nechť je dán bod xq a číslo h > 0. Nechť funkce y = f (x) je definována v bodech xq a xq + h. Číslo f(xo + h) — f{xo) nazveme diference funkce f(x) v bodě xq- Píšeme A/Oro) = f{x0 + h) - f{x0) a čteme „delta f(xo)"- Číslu h říkáme diferenční krok, bodu xq počáteční bod diference. Pokud by nebylo jasné, jaký diferenční krok právě uvažujeme, případně pokud chceme zdůraznit jeho délku, pak diferenci označíme: Ahf(xo)- Nechť h je pevně zvolený diferenční krok. Je-li f(x) definována v bodech xq a xq + h, můžeme v bodě xq vypočítat diferenci Af(xo)- Abychom však mohli určit diferenci v bodě xq + h, musí být funkce f(x) definována i v bodě xq + 2h. Toto podobně platí i pro každý další bod xq + nh, n e N definičního oboru. K tomu, abychom mohli určit diferenci funkce f(x) v bodech Xq,Xq + h,...,xo + nh, n G N, musí definiční obor M. funkce f(x) obsahovat množinu {x0, Xq + h, Xq + nh, Xq + (n + l)h}. Definice 2.2: Nechť funkce f(x) je definována ve všech bodech neprázdné množiny M.. Funkci, která každému bodu x G M. s vlastností (x + h) G M. přiřazuje hodnotu Af(x) nazýváme diferencí funkce f (x) a značíme Af(x) = f(x + h)-f(x), x G M. Příklad 2.3: Vypočítejte 1. Af(x) pro obecný diferenční krok h, 2. A/(l) pro h = 2, je-li f {x) = x3. Řešení: 1. A f {x) = f {x + h)- f {x) = {x + h)3 -x3 = 3hx2 + 3h2x + h3, 2. A/(l) = 3 • 2 • l2 + 3 • 22 • 1 + 23 = 26. Všimněme si, že diferenci je možno použít i k dennici pojmu derivace. Je totiž Ahf(x) f (x) = hm - Příklad 2.4: Vypočtěte derivaci funkce f (x) = x3. Řešení: Z Příkladu 2.3 víme, že Az3 = Zhx2 + 3h2x + h3. (x3)' = Um 3hx2+3h2x + h3 = ^ (3x2 +3hx + h2)=3x2. h->0+ h h->0+ Poznámka 2.5: V úlohách na diference a diferenční rovnice bývá obvykle definiční obor diference neprázdná množina M. - tzv. diskrétni množina ekvi-distantních bodů {xq + nh}, kde n = 0,1,2,..., počáteční bod diference xq a diferenční krok h jsou předem daná čísla. Označme: M = {x0, x0 + h, x0 + 2h,...}. 7 Poznámka 2.6: Nechť je dáno h > 0 a nechť f (x) je libovolná funkce definovaná na množině M. = {xq,xq + h,xo + 2h,...}. Proveďme lineární substituci x = xq + h(t — 1), kde t je nová proměnná. Označme g(t) = f (x) = f(xo + h(t — 1)), potom Afc/(íc) = f (x + h)- f (x) = f(x0 + h(t -l) + h)- f(x0 + h(t - 1)) = = f{x0 + ht)-f{x0 + h{t-l))=g{t+l)-g{t) = Al9{t). Touto substitucí jsme dostali diferenční krok 1. Substituce t = x~ix°~h) navíc nemění typ vyšetřované funkce (tj. např. polynom stupně k zůstane i po substituci polynomem stupně k). Pro x = xq bude t = 1, pro x = xq + nh bude t = 1 + n. Množina M. se touto substitucí změní v množinu všech přirozených čísel N. Popsanou substitucí lze vždy docílit toho, že xq = 1 a h = 1, tzn. M. = N. Definice 2.7: Funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel N, se nazývá posloupnost. Je-li u : N —> R, bývá obvyklé místo u(n) psát un. Aby však v dalším nemohlo dojít k nedorozumění, kdy jde o index a kdy máme na mysli proměnnou, zůstaneme u označení u(n), jak je tomu např. i v knihách [2] a [3]. Příklad 2.8: Najděte posloupnost, která má stejnou diferenci jako funkce f(x) = 36x2 + 120x + 100 definovaná na množině M. = {— |, — |, — |, |, §,•••}• Řešení: Hledáme posloupnost g(n) takovou, aby platilo Ai#(n) = Ahf(x). Podle Poznámky 2.6 víme, že požadovanou posloupnost nalezneme pomocí substituce x = Xq + h(n — 1), tedy x = — | + |(n — 1) = f — Protože g{n) = f{x) = /(f - ^), dostáváme g(n) = 36 ^ - y) + 120 (| - y) + 100 = 9n2 - 6n + 1. Hledaná posloupnost je tedy g{n) = 9n2 - 6n + 1. Poznamenejme, že v některé literatuře (např. v knize [1]) jsou diferenční rovnice uvažovány na obecné množině M. (viz Poznámka 2.5). Výklad další problematiky se však zpřehlední i zjednoduší, učiníme-li následující úmluvu. Úmluva 2.9: Nebude-li řečeno jinak, v dalším se vždy budeme zabývat posloupnostmi, tzn. budeme předpokládat, že xq = 1 a h = 1, tedy M. = N, což lze podle Poznámky 2.6 předpokládat bez újmy na obecnosti. Obdobným způsobem, jakým jsme přešli od funkce k poslopnosti, můžeme přejít od posloupnosti k funkci s libovolným definičním oborem M. ve smyslu Poznámky 2.5. Proto všechny věty, které uvedeme v dalším pro posloupnosti, platí rovněž pro zmíněné funkce s definičním oborem Ai. Věta 2.10: Pro všechna n, pro něž jsou současně definovány posloupnosti Au(n),Av(n) platí: 1. A[u{n) ± v{n)] = Au{n) ± Av{n) 2. A[c ■ u(n)] = cAu(n), kde c e R je libovolná konstanta 3. A[u(n)v(n)] = v(n)Au(n) + u(n + l)Av(n) = u(n)Av(n) + v(n + l)Au(n) 8 4- A[fg}] = «n)A&-£gŕvín), je-li v(n)v(n + 1) # O Důkaz: 1. A [u{n) ± u(n)] = [u(n +1) ±v{n +1)] - [u{n) ±v{n)] = [u{n +1) -u(n)] ± [v{n + 1) - u(n)] = Au(n) ± Aw(n) 2. A[c • u(n)] = cu(n + 1) — cu(n) = c[u(n + 1) — u(n)] = cAu(n) 3. A[u(n)w(n)] = u(n+l)v(n+l)—u(n)v(n) = u(n+l)v(n+l)—u(n+l)v(n)+ v(n)u(n + l)—u(n)v(n) = v(n)[u(n + l)—u(n)] + u(n + l)[v(n + l) — v(n)] = v(n)Au(n) + u(n + l)Av(n) Podobně bychom dokázali druhou rovnost. 4. Nechť v{n)v{n + 1)^0 ^ru(n) i _ u(n+l) _ u(n) _ v(n)u(n+l)— u(n)v(n-\-l) _ L-y(n)-l v(n-\-l) v(n) v(n)v(n-\-l) _ v(n)u(n+l)— v(n)u(n)— u(n)v(n+l)+u(n)v(n) _ v(n)v(n+l) _ v(n)[u(n-\-l)— u(n)]— u(n)[v(n+l)— v(n)] _ v(n)Au(n)—u(n)Av(n) v(n)v(n+l) v(n)v(n+l) Obdobné vlastnosti, které jsme uvedli ve Větě 2.10 platí i pro poěítání s derivacemi. Za povšimnutí stojí tzv. posuny (viz vlastnost 3. a 4.), které se ve spojitém případě neobjevují. Tyto posuny rovněž způsobují jisté odlišnosti mezi diskrétním a spojitým případem. Ale pozor: v diferenciálním počtu platí vzorec pro derivaci složené funkce [f(g(x))]' =f'(g(x))-g'(x), v diferenčním počtu však žádná analogie k tomuto vzorci neexistuje! V dalším textu vyslovíme věty, které jsou opět diskrétními analogiemi známých vět z diferenciálního počtu. Pro tuto práci však zmíněné věty nejsou stěžejními, proto je zde nebudeme dokazovat. Zájemce o hlubší proniknutí do nastíněné problematiky odkážeme např. na knihu [2]. Čtenář seznámený s diferenciálním počtem se případně může pokusit o samostatný důkaz těchto tvrzení. Nejprve stručně vysvětlíme některé pojmy, které budou použity: • Budeme používat následující označení: N(a) = {a, a + 1,...}; N(a,6) = {a, a + 1, •••,&}, kde o < 6< oo aa,6e N. • Nechť posloupnost u(n) je definována na N(a,6). Pak n se nazývá uzel posloupnosti u(n), jestliže je splněna aspoň jedna z podmínek: * pro n = a platí u(n) = 0 * pro a < n < b platí u(n) = 0 nebo u(n — l)u(n) < 0. Věta 2.11: (Diskrétní Rolleova věta) Nechť posloupnost u(n) definovaná na N(l, m) má Pm uzlů a posloupnost Ait(n) na N(l, m—1) má Qm uzlů. Pak Qm > Věta 2.12: (Diskrétní Lagrangeova věta) Nechť posloupnost u(n) je definována na N(a,6). Pak existuje no £ N(a + 1,6 — 1) takové, že Au(no) < »W-»(Q) < v«(n0) nebo AU(n0) > "(&) ~ "(q) > V«(n0), b — a b — a kde Vu(no) := u(no) — u(no — 1). Věta 2.13: (Diskrétní 1'Hospitalovo pravidlo) Nechť u(n),v(n) jsou definovány na N(a). Dále nechť v(n) > 0, Au(ra) < 0 a limn-^oo u(n) = limn-j-oo v(n) = 0 (resp. v(n) > 0,Au(n) > 0 a limn-j-oo v(n) = oo). Potom platí: jestliže existuje limita limn-j-oo ^"(n) > P8^ existuje i limita limn-j-oo a obě limity jsou si rovny. Příklad 2.14: Vypočtěte: HmMOO Řešení: Nejprve bude vhodné provést úpravu: n-2n+1 2n lim - = lim . n—>oo 3n n—>oo í|j 9 Snadno se přesvědčíme, že jsou splněny předpoklady Věty 2.13 a k vypočtu tedy lze použít 1'Hospitalovo pravidlo 2ra ,. 2(n +1) - 2n ,. 2 lim -—r^r = lim---rr^- = hm — " »-.<»(§)" „-,»(f)"+1-(f)" — Čtenář si jistě všiml, že podmínky Věty 2.13 byly splněny již u zadané limity. Kdybychom ovšem použili 1'Hospitalovo pravidlo už na tomto místě, dostali bychom však opět výraz typu Pro výpočet této limity je rovněž možno použít 1'Hospitalovo pravidlo známé z diferenciálního počtu (což po formální stránce znamená nahradit diference derivacemi). Čtenáři obeznámenému s touto problematikou doporučujeme provést příslušný výpočet, čímž si ověří, že výsledek vyjde v obou případech stejně. 2.2 Diference některých elementárních posloupností Nyní si odvodíme vzorce pro diference nejběžnějších posloupností, které se nám budou hodit pro praktické počítání. Dohodněme se ještě, že polynom stupně k nad přirozenými čísly budeme značit k Pfe(n) =a0 + ain + ... + aunk = ^Oj-n-7, 3=0 kde au ^ 0. Nenulovou konstantu přitom budeme chápat jako polynom nultého stupně (Po(n) = ao,ao ^ 0). Věta 2.15: Pro všechna n e N platí: 1. Ac = 0, kde c e R je libovolná konstanta 2. Ank = Pfc_i(n), kde k G N a Pk-i{n) je jistý polynom stupně k — l 3. Aqn = qn{q - 1), kde q G R 4. A sinán = (cos a — 1) sinán + sin a cos an, kde a G R je libovolná konstanta 5. A cos an = (cos a — 1) cos an — sin a sinán, kde a G R je libovolná konstanta Důkaz: 1. Ac = c-c = 0 2. Anfe = (n + l)k -nk = nk + (J)n*-1 + (5)n*~2 + - + (fc*i)n + 1 - nfe = = fen*5"1 + \k{k - l)nk~2 + ... + kn + 1 = Pk-i(n) 3. Aqn = qn+1 - qn = qn{q- 1) 4. A sinán = sin(cm + a) — sinán = sinán cos a + cos an sin a — sinán = (cos a — 1) sin an + sin a cos an 5. A cos an = cos (an + a) — cos an = cos an cos a — sin an sin a — cos an = (cos a — 1) cos an — sin a sin an Důsledek 2.16: Pro všechna n G N platí: 1. APfc(n) = Qfe-i(n), kde Qk-i(n) je jistý polynom stupně k — l 2. pro q G R - {1} je A[Pk(n)qn] = Qk{n)qn, kde Qk{n) je jistý polynom stupně k 10 Důkaz: 1. APfe(n) = AY,kj=0ajnj. Podle Vět 2.10.1 a 2.10.2 platí: A£*=0Oj-n' = S*=o ajAn^ = $^*=0 ajRj-Án) ivlz Věta 2.15.2). Protože výsledný koeficient u mocniny nk~1 je nenulový, platí:^*L0 ajRj-i (n) = Qfe_i(n). 2. Podle Věty 2.10.3 platí: A[Pk{n)qn] = qnAPk(n) + Pk{n + l)Aqn = qnRk-1{n) + J2kj=0aj{n + l)jqn{q-l) (viz Důsledek 2.16.1 a Věta 2.15.3). Tedy A[Pk{n)qn] = 1 kromě termínu k—tá diference říkáme též diference k—tého řádu nebo souhrnně hovoříme o diferencích vyšších řádů. Nechť u(n) je posloupnost. Její k—tá diference je opět posloupností. Jestliže do této posloupnosti dosadíme za n dané přirozené číslo no, dostaneme „k—tou diferenci posloupnosti u(n) v bodě no", což je určitá hodnota této posloupnosti (určité číslo). V tomto případě budeme psát Aku(no). Věta 2.21: Nechť n, k G N a u(n) je posloupnost. Pak Aku{n) = u(n +k) - ^ju(n +k-í) + ^ju(n +k-2)- - ■■■ +(-l)^(n) = £(-l)fe-^W + j). Důkaz: Provedeme úplnou matematickou indukcí: 1. k = 1 : A^n) = u{n + 1) + (-l)1?^) = u{n + 1) - u{n) = Au{n), tedy pro k = 1 vzorec platí. 2. Předpokládejme, že vzorec platí pro jisté k a dokažme jeho platnost i pro k + 1: Ak+1u{n) = A[Aku{n)] = [u{n + k + l)- (k)u{n + k)+ ©u(n + fc-l)-...+ {^)u{n + k + l-j) + ... + {-l)ku{n + 1)] - [u(n + *)-- (J)u(n + k -1) +... + (-l)í (*)u(n + fc - j) +... + (-I)*"1 +1)+ +{-l)ku{n)] =u{n + k + l)- [(J) + l]u(n + fc) + [(J) + (J)]u(n + * - 1)-+ (-l)í [(*) + (/JWn + fc + 1 - j) + ... + (-1)* [1 + (fc* jMn + 1)+ +(-l)fe+1u(n). Použitím identit (*) = 1 = (*) a (k) + (.*J = C**1) dostaneme Afe+1u(n) = u(n + k + 1) - (k^)u(n + k) + (k^)u(n + k - 1) + ...+ +(-1)' {kf)u{n + k + l-j) + ... + (-l)k {^Hn + 1) + (-l)fe+Mn), což jsme měli dokázat. 12 Příklad 2.22: Nalezněte čtvrtou diferenci posloupnosti u(n) = e" a čtvrtou diferenci této posloupnosti v bodě no = 2. Řešení: Využijeme Větu 2.21: A4u(n) i4„n _ e«+4 4\ /4\ /4\ ^e«+3 + r)e"+2 - [3)en+1 +en AV = e"(e4-4e3 + 6e2-4e+l). Dosazením no = 2 dostáváme: A4u(n0) = e2(e4 - 4e3 + 6e2 - 4e + 1). Příklad 2.23: Vypočítejte třetí diferenci polynomu u(n) = n5—6n4 + lln3 — 4n2 - 3. Řešení: I v tomto případě lze použít Větu 2.21: A3u(n) = A3 (n5 - 6n4 + lln3 - 4n2 - 3) = = (n + 3)5 - 6 (n + 3)4 + 11 (n + 3)3 - 4 (n + 3)2 - 3 - J [(n + 2)5 - 6(n + 2)4 + ll(n + 2)3 - 4(n + 2)2 - 3] + - (n5 - 6n4 + lln3 - 4n2 - 3) = • • • Vidíme, že pokračování ve výpočtu elementárními algebraickými úpravami by bylo relativně pracné. Postupujme proto rekurentně přímo podle Definice 2.20. Zapišme zadaný polynom pomocí zobecněných mocnin. To provedeme postupným dělením n, (n — 1),(n — 4), což pomocí Hornerova schématu zapisujeme následujícím způsobem: 1 -6 11 -4 0 -3 1 1 -5 6 2 2 2 1 -3 0 2 3 1 0 0 4 1 4 Tedy: u(n) = n5 - 6n4 + lln3 - 4n2 - 3 = n(5) + 4n(4) + 2n(2) + 2n - 3. Podle Vět 2.10.1, 2.10.2 a 2.19 platí: Au{n) = A (n(5) + 4n(4) + 2n(2) + 2n - 3) = 5n(4) + 16n(3) + 4n + 2, A2u(n) = A [Au(n)] = A (on*4) + 16n^ + 4n + 2) = 20n^ + 48n^ + 4, A3u(n) = A [A2u(n)] = A (20n(3) + 48n(2) + 4) = 60n(2) + 96n = = 60n(n - 1) + 96n = 60n2 + 36n. Vypočetli jsme: A3(n5 - 6n4 + lln3 - 4n2 - 3) = 60n2 + 36n. Věta 2.24: Pro j = 1,2,k je AjPk{n) = Qk-j{n), 13 kde Qk-j{n) je jistý polynom stupně k — j. Speciálně: AfePfe(n) = c^O, kde c je jistá konstanta a tudíž Afc+1Pfc(n) =0. Důkaz: Zřejmé, plyne z Důsledku 2.16.1. 2.4 Úlohy na procvičení Úloha 2.25: Vypočtěte Au(n) a Au(no), je-li: 1- u(n) = ^2, n0 = 2 Au(n) = ^^, A«(2) = -A" 2. u(n) = sin |n, no = 5 Au(n) = -| sin f n + ^ cos f n, Au(5) = ^ Úloha 2.26: Spočtěte Au{n), je-li: 1- «(n) = ^ 2" (rt2-2n-2) (n-l)n(n+l)(n+2) 2. u(n) = 3"cosfn [| • 3" (cos f n - 3^ sin f n)] 3. u{n) = (3n2 - 2n - 4)2" [(3n2 + lOn - 2)2"] 4. u(n) = kde k e N Úloha 2.27: Vypočtěte Aku(n), je-li: 1. u(n) =n2-3", fc = 3 [8(n2 + 9n + 18)3"] 2. it(n) = n5 - 4n4 + 2n3 - n2 + 3n + 1, fc = 4 [120n +144] Úloha 2.28: Najděte posloupnost, která má stejnou diferenci jako funkce f(x) definovaná na množině M = {xo, Xq + h, Xq + 2h,...}, je-li: 1. f(x) = 36a;2 + 15a; + 1, x0 = \, h=\ [g{n) = 4n2 + 3n] 2. f{x) = 64a;3 + 144a:2 + 108a; + 30, xQ = -\, h=\ [g{n) = n3 + 3] Úloha 2.29: Určete přímo z definice derivace f'(x), je-li: 1. f(x) = x2 [2x] 14 3 Základy sumačního počtu Doposud jsme znali posloupnost a počítali jsme její diferenci, nyní stojíme před úlohou opačnou. Budeme znát diferenci a budeme hledat posloupnost, kterou jsme diferencovali. Hledanou posloupnost nazveme sumací dané posloupnosti a budeme se zabývat jejími vlastnostmi. Tak jako v předešlé kapitole jsme si všímali některých analogií mezi diferenčním a diferenciálním počtem, rovněž v této kapitole poukážeme na podobu mezi sumačním a integrálním počtem. 3.1 Pojem a vlastnosti sumace Definice 3.1: Nechť u{n) a U(n) jsou posloupnosti takové, že pro všechna n e N platí AU (n) = u(n). Posloupnost U(n) nazýváme sumací posloupnosti u(n) a značíme f/(n) = 5>(n). Věta 3.2: Nechť u(n) je posloupnost. Pak platí: Au{n) = 0 <£> u{n) = c, kde c e R je libovolná konstanta. Důkaz: „<=" Platí podle Věty 2.15.1. Au{n) = 0 =>• u[n + 1) - u{n) = 0 =>• pro Vn G N platí u{n) = u{n + 1). Tuto vlastnost má libovolná konstanta. Věta 3.3: Nechť u(n) a v(n) jsou posloupnosti. Potom Au(n) = Av(n) pro VneN » u(n) = v(n) + c, kde c e R je libovolná konstanta. Neboli, u(n) a v(n) jsou sumacemi téže posloupnosti právě tehdy, když se liší o aditivní konstantu. Důkaz: „<=" u{n) = v{n) + c =>• Au{n) = A[v{n) + c] = Av{n) +Ac= Av{n). Au(n) = Av{n) =>• Au{n) - Av{n) = 0 =>• A[u{n) - v{n)] = 0, což podle Věty 3.2 znamená, že u(n) — v(n) = c, tedy u(n) = v(n) + c. Poznámka 3.4: Z Věty 3.3 vyplývá, že je-li U(n) sumací u(n), pak existuje nekonečně mnoho posloupností y{n), které jsou sumacemi u(n) a každou z nich lze vyjádřit ve tvaru y(n) = X] u(n) = u(n) + c> kde c je vhodná konstanta. Je-li navíc dána dvojice {no, y {no)} (tzv.počáteční podmínka), pak je konstanta c (a tím i sumace y{n)) určena jednoznačně. Podobně jako pojem sumace se v integrálním počtu definuje tzv. primitivní funkce, která má rovněž vlastnosti podobné těm, které byly popsány ve Větě 3.3. Příklad 3.5: Rozhodněte, zda posloupnosti U(n) = —|cos|n a V(n) = sin2 |n jsou sumacemi téže posloupnosti. Řešení: 1. způsob: Postupujme podle Definice 3.1, tzn. hledejme posloupnosti u{n) a v(n), jejichž sumacemi jsou U(n) a,V(n) : 15 u(n) = Af/(n) = A ' 1 7t ' 1 r — cos — n =-- .2 3 2 L cos (šn+3) 7t ' cos — n 3 7t . 7t . 7t cos — n — sin — sin — n 3 3 3 — ~ I — ~ cos — n — 2 \ 2 3 — sin — n 2 3 , 1 7t a/3 . 7t - cos — n H—— sin —n, 4 3 4 3 v(n) AVin) = A sin2 = sin2 ( + ^ ) 6 \6 6/ / . 7t 7t 7t 7t\2 . 2 71" sin — n cos — + cos — n sin — — sin — n V 6 6 6 6/ 6 / \/3 . 7t 1 7t \ . 2 7t — sin—nH—cos—n —sin — n = 2 6 2 6 / 6 sin — n 6 7t 3 . 2 7t \/3 . 7t 7t 1 2 ^ - sin — n H--sin —n cos —n + - cos — n — sin" — n 4626646 6 a/Š . 7t 1 / 2 ^ • 2 ^ \ - cos —n — sin — n 4 V 6 6 / a/3 . 7t 7t H—— • 2 sin —n cos —n 4 6 6 1 7t a/Š . 7t - cos —n H—— sin — n. 4 3 4 3 Vypočetli jsme, že posloupnosti U(n) a F(n) jsou sumacemi téže posloupnosti a to: 1 7t a/3 . 7t u(n) = w(n) = - cos — n + —— sin — n. 4t O 4t o 2. způsob: Využijme Větu 3.3, tzn. počítejme rozdíl U(n) — V(n) : TTl \ tn \ 1 ^ • 2 ^ 1 / 2 ^ • 2 ^ \ • 2 ^ U(n) — V(n) = —cos —n — sin — n = — cos — n — sin — n — sin — n = 23 6 2 V 6 6/ 6 1 Í-, • 2 ^ \ 1 . 2 ^ 1 = —^ 1 —sin —n —-sin — n = — -. 2 V 6/2 6 2 Zjistili jsme, že posloupnosti U(n) a V(n) se liší o konstantu, což znamená, že jsou sumacemi téže posloupnosti. Tento výpočet je sice kratší, nenalezli jsme však posloupnost, jejímiž sumacemi jsou U(n) a V(n). Věta 3.6: Nechť u(n),v(n) jsou posloupnosti. Pak platí: 1. X>(n) ± v(n)] = u(n) ± v{n) 2. X^[cu(n)] = CS u(n)> kde c e R je libovolná konstanta 3. ^2[u(n)Av(n)] = u(n)v(n) — ^2[v(n + l)Au(n)] /tzv. sumace per partes/ Důkaz: Označme J^u(n) = U{n) tj. u{n) = AU{n), ^2v{n) = V{n) tj. v{n) = AV(n). 1. Potřebujeme dokázat, že ^2[u(n)±v(n)] = U(n)±V(n), tj., že u(n)±v(n) = A[U(n) ± V{n)]. To ovšem platí podle Věty 2.10.1. 2. Potřebujeme dokázat, že X^[cu(n)] = cll(n), tj., že cu(n) = A[cll(n)]. To však platí podle Věty 2.10.2. 16 3. Podle Věty 2.10.3 platí: A[u{n)v{n)] = u{n)Av{n) + v{n + l)Au(n). Proveďme sumaci a s využitím části 1 této Věty upravme: ^2A[u{n)v{n)] = ^[u(n)Au(n) + v{n + l)Au(n)] u{n)v{n) = ^[«(n)A«(fj)] + + l)Au(n)] ^[tí(n)At)(n)] = u(n)v(n) — ^[w(n + l)Au(n)] 3.2 Sumace některých elementárních posloupností Věta 3.7: Nechť je dán polynom Pfc(n) = $3*_0 ain^■ Potom existuje polynom Qk+i{n) takový, že AQh+1{n) = Pfe(n), tj- ^]Pfe(n) = Qh+1{n). Důkaz: Hledejme koeficienty b j polynomu Qk+i{n) = Sj=o bjni, kde má být bk+i # 0 : fc+i fc+i fc+i AQk+1 (n) = bj(n + l)j - £ b^ = £ M(" + l)j - n'"]. 3=0 3=0 j=0 Podle binomické věty platí: k+l AQk+i (n) = ^2 b j 3=0 Vidíme, že se „zruší" mocniny n-7 a také „vypadne" &0) tedy: Polynom AQj+i(n) se má identicky rovnat danému polynomu Pfe(n). Hledané hodnoty b j určíme porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin n-7, kde j = 0,1,...,*: nk : = afc, odtud vypočteme bk+i- nk~1 : + = afe-i, odtud vypočteme bk, atd. n° : bk+i + 6fe + ... + 6i = ao, odtud vypočteme bi Snadno nahlédneme, že hodnoty 6fc+i,6fc,...,6i jsou určeny jednoznačně. Navíc bk+i 0, neboť ak ^ 0 (Pfe(n) je polynom k—tého stupně), což jsme měli dokázat. Polynom Qk+i{n) je tedy skutečně (k + 1)—tého stupně. Číslo 6o je však libovolné, protože se nevyskytuje v žádné rovnici. To nás ale nepřekvapuje, protože podle Poznámky 3.4 víme, že hledaných polynomů Qk+i{n) = ^,Pk{n) existuje nekonečně mnoho a vzájemně se liší o aditivní konstantu, tj. o absolutní člen bo- Tímto je věta dokázána. Dodejme ještě, že právě dokončený důkaz je konstruktivní, tzn. při řešení konkrétních úloh postupujeme popsaným způsobem - tzv. metodou neurčitých koeficientů. Čtenář už jistě tuší, že nyní se jako o analogii integrálu mocniny zmíníme o sumaci zobecněné mocniny. AQk+1(n) = ^bj 17 Věta 3.8: Nechť n, k G N. Pak pro sumaci zobecněné mocniny platí: ^ k + 1 kde c e R je libovolná konstanta. Důkaz: A[^n(fe+1) + c] = ^An(fe+1) + Ac = ^(jfe + l)nW = nW. Analogicky ke vzorcům pro diference platí vzorce pro sumace. Věta 3.9: Nechť c, c* e R jsou libovolné konstanty. Pak pro všechna n e N platí: 1. c = cn + c* 2- E• 64 = 1. Vypočetli jsme: v(n) = ^(n3 + 5n + 6). 2.způsob: Budeme postupovat podle Věty 3.8 - s využitím zobecněných mocnin. Postupným dělením n a n — 1 přepíšeme sumovaný polynom pomocí zobecněných mocnin, což dle Hornerova schématu zapíšeme: 1 ?, 1 ?, 1 1 1 ?, 1 Tedy: Av{n) ^n2 + + 1 = ^n(2) + n + 1. Počítejme: \ ■ + + n + c = (n - 1) (n - 2) + (n - 1) + n + c ■■ ^ (n3 - 3n2 + 2n) + ^ (n2 - n) + n + c = ^ (n3 + 5n) + c. 19 Konstantu c určíme z počáteční podmínky: V{1) = i (1 + 5) + c = 2 => c=l. Vypočetli jsme: t;(n) = ^ (n3 + 5n + 6) . Závěr: Prostor může být pomocí n rovin rozdělen nejvýše na | (n3 + 5n + 6) oblastí. Poznamenejme, že pokud se chceme přesvědčit o správnosti výpočtu, ve kterém jsme hledali sumaci nějaké posloupnosti, snadno můžeme provést zkoušku, aplikujeme-li na obdržený výsledek vzorce pro diference uvedené v předchozí kapitole. To však již ponecháme na čtenáři. Věta 3.12: Nechť je dána posloupnost Pk{n)qn, kde q ^ 1. Potom existuje právě jeden polynom Qk{n) takový, že platí: A[Qk(n)qn}=Pk(n)qn, tj- YJ[Pk{n)qn] = Qk{n)qn + c, kde c e R je libovolná konstanta. Důkaz: Je zcela analogický jako důkaz Věty 3.7, proto naznačíme jen jeho postup a nebudeme jej detailně provádět. Hledejme koeficienty b j polynomu Qk{n) = EjĽo bjU*, kde musíme ukázat, že bk ^ 0. A[Qk(n)qn] = A[q" £*=0 b^] = q"+' £*L0 bj(n + l)'- - qn £}=„ = = «nEj=o[^(n + l),'-^ní]-Hodnoty bj určíme porovnáním koeficientů z identity: Odtud rozepsáním zjistíme, že bk ^ 0, a že hodnoty bk, bk-i, &o jsou určeny jednoznačně. Poslední část tvrzení plyne z Poznámky 3.4. Příklad 3.13: Nalezněte všechny posloupnosti y{n), pro které platí y(n) = £[5"(8n2 +8n- 1) +2"]. y(n) = ^ [5"(8n2 + 8n - 1) + 2"] = ^ [5"(8n2 + 8n - 1)] + ^ 2". Označme: tfi(n) = 5][5"(8n2 + 8n-l)], y2 (n) = J] 2". Podle Věty 3.12 platí: ž/i (n) = 5"(6in2 + 62n + 63)+ci, kde 6i, 62,63 jsou hledané konstanty a ci G R je libovolné. Ayi(n) = 5"+1[6i(n + l)2+62(n + l)+63]-5"(6in2+62n + 63) = = 5"[5(6in2 + 26in + 61 + b2n + b2 + 63) - hn2 - b2n - 63 = = 5"[46m2 + (lO&i + 462)n + 5&i + 562 + 463]. 20 Tedy: 5"[46m2 + (106i + 462)n + 5&i + 562 + 463] = 5"(8n2 + 8n - 1). Porovnáním koeficientů: 4&i = 8 => 6i = 2, 106i + 462 = 8 =>• 62 = -3, 56i + 562 + 463 = -1 =>• 63 = 1. Dostali jsme yi(n) = 5"(2n2 - 3n + 1) + ci. Podle Věty 3.9.2 je y2(n) =J22n = YZ\2n + c2 = 2" + c2, kde c2 G R je libovolná konstanta. Označíme-li c = ci + c2, pak můžeme psát y(n) = tfi («) + 2/2(n) = 5"(2n2 - 3n + 1) + 2" + c, kde c e R je libovolná konstanta. Poznamenejme ještě, že při hledání posloupnosti yi{n) jsme mohli rovněž využít sumaci per partes (viz Věta 3.6.3). Provedení tohoto výpočtu však již ponecháme na čtenáři. 3.3 Součet n členů posloupnosti V této kapitole si ukážeme, jak lze pomocí sumace získat vzorce pro součet n členů posloupnosti. Součet s(n) prvních n členů posloupnosti u(n) s{n) = u(l) + u{2) + ... + u{n) se nazývá n—tým částečným součtem členů posloupnosti u{n). Tyto součty tvoří novou posloupnost - posloupnost částečných součtů posloupnosti u{n). Odvoďme nyní funkční vzorec (tj. vzorec, který je elementární funkcí proměnné n) posloupnosti s(n). Platí: s(n) = u(l) + u(2) + ... + u(n), s(n + l) = + u{2) + ... + u{n) + u{n + 1). Odečtením těchto rovností dostáváme: s{n + 1) - s(n) = As(n) = u{n + 1), (3.1) tj. s(n) = J2u(n + !)• (3-2) Je-li u(n) zadána funkčním vzorcem obsahujícím posloupnosti c,nk,qn,sinán, cos an a posloupnosti z nich utvořené součtem nebo součinem, umíme na základě předchozího výkladu tuto úlohu vyřešit. Označíme-li U(n + 1) jednu ze sumací posloupnosti u(n + 1), můžeme psát: s(n) = U{n + 1) +c, kde c je konstanta určená počáteční podmínkou: s(l) = U{2)+c = u{\). 21 Odtud c = u(l) - Z7(2), tedy s(n) = f/(n + l)+u(l)-f/(2). Tímto jsme odvodili větu: Věta 3.14: Nechť posloupnost u(n) je dána funkčním vzorcem. Nechť U(n + 1) je jedna ze sumací posloupnosti u(n + 1). Pak pro n—tý částečný součet posloupnosti u(n) platí: s{n) = U{n + l)+u{l)-U{2). Příklad 3.15: Nalezněte funkční vzorec pro n—tý částečný součet posloupnosti u(n) = sin | (n — 1). Řešení: Hledáme s(n) = u(l) + u{2) + ... + u{n). Podle (3.1) platí: As(n) = sin —n. Podle Poznámky 3.10 budeme s(n) hledat ve tvaru: syn) = a sin —n + o cos —n + c. O o S využitím Vět 2.15.4 a 2.15.5 počítejme: As(n) = A . 7t , 7t a sin — n + o cos — n + c O o sin /7t 7t\ . 7t ' sin —n 3 . + + b + b /7t 7t\ 7t "1 ľ/ 7t \ . 7t . 7t 7t ' cos —n H— — cos —n = a cos--1 sin —n + sin — cos —n V3 3/ 3 J IA 3 / 3 3 3. cos--1 cos —n — sin — sin —? A 3 / 3 3 3 3 1 . 7t \/3 7t \ , -sin-n+ —cos-n +6 1 7t . 7t ^ - cos —n--— sin —n 2 3 2 3, + — -a--—b sin —n + —— a — -b cos —n. 2 2 / 3 2 2 /3 Identicky má platit: 1 VŽA . 7T , /V3 —-o--sin—n+ —— a 2 2/3 2 1 , \ 7t . 7t -o cos —n = sin —n. 2/3 3 Porovnáním koeficientů: 1 y/3 — ^a--Trb 2 2 T1 1, 0, odkud vypočteme, že a = —|, b= tedy -n + c=-sin(-n+-j+c. s(n) = —- sin —n--— cos ■ , „ ____. „, „ ^ ; 2 3 2 3 V3 3- Konstantu c určíme z počáteční podmínky s(l) = u(l), tj.: — sin — + c = sinO, O 22 odkud c = ^. Hledané řešení je s(n) = - sin - (n + 1) + —. Příklad 3.16: Nalezněte vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti. Řešení: Geometrická posloupnost je posloupnost určená rekurentně: u(n + 1) = u{n) ■ q, kde u(l) a q jsou daná čísla. Nejprve potřebujeme znát funkční vzorec pro geometrickou posloupnost. Podle uvedeného rekurentního vzorce platí: u(2) = u(l)-«, u(3) = u(2)-q = u(l)-q2, u(4) = u(3)-í = w(2)-g3, Hledáme u(n + l) = u(n)-gr = u(l) • qn. s{n) = u(l) + u(2) + ... + u{n). Začněme zvláštním případem, je-li q = 1, tzn. u(l) = u{2) = ... = u{n). Pak zřejmě platí s{n) = n ■ u(l). Nyní předpokládejme, že q ^ 1. Podle (3.2) platí s(n) = X^u(n + !)• Tedy S(n) = 5>(1)9"] = «(1) ^ 9" = «(1) • ^ • 9" + c Konstantu c určíme z počáteční podmínky: a(l) = ^-« + c = u(l). Odtud Dostali jsme c=_«(l) q-l -(n) = ^(í»-l)=«(l)-?"-1 Pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti platí: qn - 1 s(n) = m(1) ^_ 1 , je-li q^l, s{n) = n-u(l), je — li q = l. 3.4 Určité sumy Definice 3.17: Nechť u{n) je posloupnost. Nechť a,b jsou přirozená čísla, a (n)> tj. MJ{n) = U{n + 1) - U (n) = u{n). Proto: U{a + 1) - U{a) = u{a), U{a + 2) - U{a + 1) = u{a + l), U{b)-U{b-l) = u{b-l), U{b + 1)-U{b) = u{b). Součtem těchto rovností dostaneme: U{b + 1) - U (a) = u{a) + u{a + 1) + ... + u{b - 1) + u{b), což jsme měli dokázat. Následující věta ukazuje, že určitá suma má tytéž vlastnosti, jaké jsme uvedli pro sumaci ve Větě 3.6. Věta 3.19: Nechť u(n) a v(n) jsou posloupnosti. Nechť a, b G N, a < b. Pak platí: 2. X^n=0[cu(n)] = cE1=0 u{n)i kde c G R je libovolná konstanta 3- E!U>(n)Aw(rc)] = [u{n)v{n)]b+1 -T,bn=a[v{n + l)Au{n)] /tzv. sumace per partes pro určité sumy/ Důkaz: !• T,b„=aWn)±v{n)] =u{a)±v{a) + u{a+l)±v{a + l) + ... + u{b)±v{b) = = u(a) + u(a +1) + ... + u(b) ± [v(a) + v(a +1) + ... + v(b)] = Y,bn=a u(n)± 2- E!UJcu(n)] = cu(a)+cu(a+l) + ...+cu(b) = c[u(a)+u(a+l) + ...+u(b)] = = CY,bn=aU(n) 3. Podle Věty 2.10.3 lze psát: J2[u(n)&v{n) + v{n + l)Au(n)] = u{n)v{n). Podle Věty 3.18 platí: E'=a[tí(n)A«(n) + »(rí + l)Au(n)] = [u{n)v{n)]ba+1. Rovnost upravme s využitím části 1 této věty: Tbn=aHn)Av(n)] = [ufrMn)]?1 - Y,n=aHn + l)AU(n)]. Tímto je věta dokázána. 24 Příklad 3.20: Vypočtěte £^=aN"]> kde a, b G N, a < b a q ^ 1. Řešení: Postupujme podle Věty 3.19.3: u(n) = n Av(n) = qn Au(n) = l v(n) = ^qn, v(n + l) = ^Iqn+1 E N"] Tedy: 9-1 9 6+1 -E ^i — [(b+l)q»+1-aqa]- _\an]b+1 = - 1 .6+1 aq" 6+1 qa). EN"] = —T[(6+l)tf 3.5 Sumace vyšších řádů 6+1 (<7b+1-<7a). Známe-li fc—tou diferenci a hledáme posloupnost, kterou jsme diferencovali, potřebujeme zavést pojem k—té sumace. Definice 3.21: Nechť n, k G N a u(n) je posloupnost. Položme E(°Mn) = u(n), E(1Mn) = EuW- Potom k-tou sumaci posloupnosti u{n) značíme u(n) a definujeme rekurentně vzorcem E(fe)«(n) = E[E(fe"1)uW • Pro k = 1 místo první sumace říkáme jen sumace. Pro k > 1 kromě termínu k—tá sumace říkáme též sumace k—tého řádu. Čtenář si jistě všiml, že definice k—té sumace je naprosto analogická definici k—té diference. Výpočet k—té sumace provádíme rekurentně podle Definice 3.21, tj. analogicky jako výpočet k—té diference, pokud postupujeme podle Definice 2.20 (viz Příklad 2.23). Příklad 3.22: Nalezněte alespoň jednu posloupnost y{n), která je třetí sumací posloupnosti u(n) = 3". Řešení: Využijme Větu 3.9.2, kde stačí zvolit c = 0 : X>(n) = E3n = V3"' E(2Mn) = E[Eu(»)]=E E(3)-w = E[E(2)-H=E Zadání vyhovuje např. posloupnost: •3" •3" ^ \ A on _ ^ on = i y 3" = i -3". 4 ^ X y{n) •3". 25 Podle Poznámky 3.4 víme, že sumace ^ u(n) není určena jednoznačně, ale že těchto posloupností je nekonečně mnoho. Je tedy zřejmé, že nekonečně mnoho je i posloupností, které jsou k—tou sumací posloupnosti u(n). Hledejme tedy obecný vzorec, který by nám umožňoval nalézt všechny posloupnosti y{n), pro které platí y{n) = Y,(h) u{n) = cfe_infe_1 + ck-2nk~2 + ... + c0, kde c; e R pro i = 0,1,k — 1 jsou libovolné konstanty. Důkaz: Důkaz této implikace provedeme postupnými sumacemi, přičemž využijeme Věty 3.2 a 3.7. Nechť Aku{n) = 0, pak Ak-2u{n) = J2{2)° = J2Co1 =Cl2n + c°2' Ak^u{n) = U)° = I>j-2J-i^'"2 + Cj-aj-in*-3 + ... + c0j_i) = = Cj-iju*-1 + Cj-2,jni~2 + ... + cqj, u(n) = (fe)0 = 5Z(cfe_2;ft_irzfe-2 + cft_3,fe-infe-3 + ... + c0,fe-i) = = ck-i,knk~1 + ck-2,knk~2 + ... + cok. V prvním řádku je konstanta Coi podle Věty 3.2 libovolná. Ve druhém řádku je podle Věty 3.9.1 konstanta C02 libovolná a konstanta c\2 se rovná konstantě coi, která je ovšem libovolná, takže i konstanta c\2 nabývá libovolné hodnoty. Takto lze postupně s využitím Věty 3.7 zdůvodnit, že všechny konstanty v posledním řádku jsou libovolné. „<=" Nechť u(n) = Ck-ink~1 +ck-2nk~2 + ...+c0, kde c; € R pro i = 0,1,k — 1 jsou libovolné konstanty. Posloupnost u{n) je v tomto případě polynomem a to nejvýše stupně k — 1. Proto tvrzení platí podle Věty 2.24. Věta 3.24: Nechť n, k G N a nechť u(n) a v(n) jsou posloupnosti. Pak Aku(n) = Akv(n) pro VngN <£> u{n) = v{n) + ck-ink~1 + ck-2nk~2 +... + c0, kde c; e R pro i = 0,l,...,k — 1 jsou libovolné konstanty. Neboli, u(n) a v(n) jsou fc—tými sumacemi téže posloupnosti právě tehdy, když se liší o polynom nejvýše stupně k — 1. Důkaz: Nejprve s využitím Vět 2.21 a 3.19.1 ukažme platnost vzorce, kterého využijeme při důkazu obou implikací. Pro libovolné posloupnosti u(n) a v(n) platí: Aku(n) ± Akv(n) = £^„(-l)*"'' (JM" + J) ± E^„(-l)*"^JM" + i) = = E^oí-l)*-^?)^ + J) ±«(" + J')] = A*W") ± «(")]• Aku{n)-Akv{n) = 0 =>• Afe[u(n) - v{n)] = 0^u{n) = v{n) + ck-1nk-1 + 26 cfe_2nfe-2 + ... + c0 (viz Věta 3.23). „<=u Nechť u(n) = v(n) + Ck-ink~1 + Ck-2nk~2 + ■■■ + cq. Označme pro zjednodušení zápisu w(n) = Ck-ink~1 + Cfc_2nfe~2 + ... + c0. Pak Aku(n) = Ak[v(n) + w{n)] = Akv{n) + Akw{n). Ale Akw{n) = 0 (viz Věta 3.23), tedy Aku{n) = Akv{n). Poznámka 3.25: Z Věty 3.24 vyplývá, že je-li U(n) k—tou sumací u(n), pak existuje nekonečně mnoho posloupností y{n), které jsou k—tými sumacemi u(n) a každou z nich lze vyjádřit ve tvaru: y(n) = ^2 {k)u(n) = U(n) + ck-1nk-1 + ck-2nk~2 + ... + c0, kde c; e R pro i = 0,1,k — 1 jsou libovolné konstanty. Právě vyloženou problematiku ilustrujeme příkladem v další kapitole, kde zjistíme, že úloha na výpočet k—té sumace je zvláštním případem diferenční rovnice k—tého řádu. Uvidíme také, že Poznámka 3.25 vlastně popisuje, jakého tvaru je obecné řešení diferenční rovnice Aky(n) = u(n). 3.6 Úlohy na procvičeni Úloha 3.29: Nalezněte všechny posloupnosti y{n), pro které platí Ay(n) = u{n), je-li: 1. u{n) = 6n2 + 8n [y{n) = 2n3 + n2 - 3n + c] 2. u{n) = (2n2 - 4) • 3" [y{n) = (n2 - 3n + 1) • 3" + c] 3. u(n) = sin [y{n) = -\sin f n - cos f n + c] Úloha 3.30: Nalezněte funkční vzorec pro součet prvních n členů posloupnosti u(n), je-li: 1. u{n) = (2n - l)2 [s{n) = f n3 -\n = \n{2n - l)(2n + 1)] 2. u{n)=n(\)n~1 [S(n)=4-(n + 2)(|)"-1] 3. u{n) = n3 [s{n) = |(n4 + 2n3 + n2) = [|n(n + l)]2] Úloha 3.31: Rozhodněte, zda posloupnosti U(n) = cos(7rn — |) a V(n) = |[(—1)" — y/2] jsou sumacemi téže posloupnosti. [ano; AU(n) = AV(n) = (—1)"+1; U{n) - V{n) = ... = f cosTrn - |(-1)"+ +# = l(-i)"-l(-i)" + f = f] Úloha 3.32: Nalezněte všechny posloupnosti y{n), pro které platí y(n) = ^nsin|n. [Návod: Postupujte metodou sumace per partes. Jejím užitím dostanete: y{n) = 5ľnsmfn = — f (sm fn + cos fn) + I XXC0S fn — sm fn)- Metodou neurčitých koeficientů vypočtete, že XXC0S fn — sm fn) = sm fn-] [j/(n) = | (1 - n) sin |n - | cos |n + c] 27 Úloha 3.33: Nalezněte vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. [Návod: Aritmetická posloupnost je určená rekurentně: u(n + 1) = u(n) + d, kde u(l) a d jsou daná čísla. Funkční vzorec pro aritmetickou posloupnost dostanete ve tvaru u(n) = u(l) + (n—l)d. Výpočtem s(n) = ^2(u(l)+nd), s(l) = u(l) obdržíte vzorec s(n) = |n2 + [u(l) — |]n, který ještě upravte na obvyklejší tvar.] [a(n) = f [«(1)+«(«)]] Úloha 3.34: Určete součet vnitřních úhlů konvexního n—úhelníka (n > 3). [Návod: Součet vnitřních úhlů konvexního n—úhelníka AiA2...An je s(n). Uvažte konvexní (n + 1)—úhelník AiA2...An+i. Součet jeho vnitřních úhlů je dán součtem vnitřních úhlů n—úhelníka AiA2...An a trojúhelníka AiAnAn+i] [Řešením As(n) = 180°, s(3) = 180° vyjde s(n) = (n - 2) • 180°.] Úloha 3.35: Určete počet úhlopříček konvexního n—úhelníka (n > 4). [Návod: Jeden ze způsobů, jak vyřešit tuto úlohu je sestavit rekurentní vztah. Počet úhlopříček v konvexním n—úhelníku AiA2...An je u(n). Uvažte konvexní (n + 1)—úhelník AiA2...An+i. Jeho úhlopříčky tvoří právě všechny úhlopříčky n-úhelníka AiA2...An plus „nové" úhlopříčky AiAn, A2An+í, A3An+i, An-iAn+i.] [Řešením Au(n) = n - 1, u(4) = 2 vyjde u(n) = \n2 - |n = f (n - 3).] Úloha 3.36: Určete největší možný počet u{n) oblastí, na které lze rovinu rozdělit pomocí n kružnic. [Návod: Mějme n kružnic ki,k2, ...,kn v obecné poloze, tj. n kružnic takových, že každé dvě z nich se protnou ve dvou bodech a žádné tři z nich neprocházejí jedním bodem. Uvažte kružnici k„+i tak, aby všech n + 1 kružnic bylo opět v obecné poloze. Kružnice kn+i je 2n průsečíky s kružnicemi ki,k2, ...,kn rozdělena na 2n oblouků, přičemž každý z těchto oblouků dělí jednu z původních oblastí roviny na dvě „nové".] [Řešením Au(n) = 2n, u(l) = 2 vyjde u(n) = n2 — n + 2.] Úloha 3.37: Určete největší možný počet v(n) oblastí, na které lze rozdělit prostor pomocí n kulových ploch. [Návod: Mějme n kulových ploch Ki,K2,...,Kn v obecné poloze, tj. n kulových ploch takových, že každé tři se protínají a žádné čtyři neprocházejí týmž bodem. Uvažte kulovou plochu Kn+Í tak, aby všech n + 1 kulových ploch bylo opět v obecné poloze. Průniky Kn+Í f\Kj, j = l,...,n jsou kružnice, které rozdělí kulovou plochu Kn+i na n2 — n + 2 oblastí (viz Úloha 3.36), přičemž každá z těchto oblastí dělí jednu z původních částí prostoru na dvě „nové".] [Řešením Av(n) = n2 — n + 2, v(l) = 2 vyjde v(n) = |n3 — n2 + |n = = f (n2 -3n + 8).] 28 4 Pojem diferenční rovnice Definice 4.1: Nechť /: N x Rfe+1 —y R je funkce k+ 2 proměnných. Rovnici tvaru f(n,y,Ay,A2y,...,Aky)=0, (4.1) ve které je neznámou posloupnost y = f {n), nazývame diferenční rovnici k-tého řádu a 1. typu definovanou v N. Každou posloupnost y = f {n), která pro všechna n e N splňuje rovnici (4.1), nazveme partikulárním řešením této rovnice. Obecným řešením pak rozumíme vzorec zahrnující všechna partikulární řešení. Definice 4.1 je analogická k definici diferenciální rovnice fc-tého řádu, nahradíme-li diference derivacemi příslušného řádu. Příklad 4.2: Diferenční rovnice 1. typu: 1. Ay — y = 4 je pro VtigN rovnice 1. řádu 2. 3A2y + nAy = 0 je pro VngN rovnice 2. řádu 3. (n — l)2Ay = 5" je pro n^l rovnice 1. řádu 4. {A3y)2 + 2" + 1 = 0 je pro Vn G N rovnice 3. řádu 5. A3y = 6 je pro Vn e N rovnice 3. řádu Ačkoliv ještě diferenční rovnice neumíme řešit, snadno si zdůvodníme, že 4. rovnice nemá reálné řešení, protože {A3y)2 > 0, 2" > 0 a součet na levé straně rovnice nikdy nemůže dát nulu. Povšimněme si nyní 5. rovnice. To je však úloha na fc-tou sumaci (k = 3), kterou jsme se zabývali v předchozím textu. Zvláštním případem diferenčních rovnic 1. typu jsou rovnice tvaru Aky = u{n). Je-li ?/i = ■ c2 = -2, ci = 2 - ica + c* =>• ci = 3. Hledané partikulární řešení tedy je y = n3 - 2n2 + 3n + 1. S diferenční rovnicí 1. typu v dalším příliš pracovat nebudeme. Ukažme si, jak dojdeme k jinému tvaru diferenční rovnice. Podle Věty 2.21 můžeme psát: Ay = f{n +1) - c + k; k tomu nejdříve nalezneme y{c+ k). Dosaďme n = c do rovnice (5.1): a0{c)y{c) + oi(c)y(c + 1) + ... + ak{c)y{c + k) = u (c). Protože ak(c) 7^ 0, můžeme jednoznačně vypočítat y(c + k), neboť hodnoty y(c),y(c+ l),...,y(c+ k — l) jsou předepsány. y{c+k) = —^—[u(c) -a0{c)y{c) - oi(c)y(c + 1) - ... - ak-i(c)y(c+k - 1)]. Předpokládejme, že takto lze jednoznačně vypočítat hodnoty y(c + k),y(c + k + 1),y (c + K) pro jisté K > k. Z toho dokážeme, že lze jednoznačně vypočítat i y(c + K + 1) a to následovně: do rovnice (5.1) dosadíme n = c + K — k + 1 (n e N); protože K — k>0, je n > c + 1 : a0(n)y(c+K-k+l)+a1(n)y(c+K-k+2)+...+ak(n)y(c+K+l) = u{c+K-k+í). Neboť ak(n) 7^ 0, lze jednoznačně vyjádřit y{c + K + l) = —^—\u{c + K -k + 1) - a0{n)y{c +K - k + 1) -ak (n) - a1(n)y(c + K-k + 2) - ... - ak-1(n)y(c +K)]. Protože c + K — fc + l>c+l, jsou tedy hodnoty y(c + K — k + l),y(c + K — k + 2),y (c + K) podle indukčního předpokladu určeny jednoznačně. To ale znamená, že řešení existuje, a to jediné, pro všechna n> c + k. 33 Nyní vypočtěme řešení pro n = 1,2, ...,c— 1. Dosaďme do rovnice (5.1) n = c- 1 G N : o0(c- l)y(c- 1) + oi(c- l)y(c) + ... + afe(c- l)y(c- 1 + fc) = u(c - 1). Odtud můžeme jednoznačně vypočítat y(c — 1), protože v diferenční rovnici předpokládáme oo(n) 7^ 0. Dále, dosadíme-li n = c — 2, vypočteme podobně y(c — 2) atd., až po A'' (konečně mnoha) krocích vypočítáme y(c — N) = y(l). Nyní se budeme zabývat homogenní rovnicí. V následujících větách si ukážeme několik vlastností, které mají řešení této rovnice. Věta 5.4: Rovnice ao{n)y{n) +a1(n)y(n + 1) + ... + ak{n)y(n + k) = 0 (5.2) má pro všechna n G N vždy tzv. triviální řešení y(n) = 0. Důkaz: Je-li pro Vn G N y(n) = 0, pak y{n + j) = 0 pro j = 0,1,k a tedy a0{n)y{n) + ai(n)y(n + 1) + ... + ah{n)y{n + k) = T!j=o ajin)y{n+J) = °- Věta 5.5: Nechť 2 (n + j) = Ci • 0 + C2 • 0 = 0. Z Věty 5.5 plyne následující důsledek: Důsledek 5.6: Nechť x(n + j) + í3tp2(n + j)] = a YJj=o a j(n)^i(n + j) + P Ej=o aj(n)íp2(n + j) = au(n) + j3v{n). 35 Důsledek 5.12: Jsou-li ipi{n),ip2{n) libovolná řešení nehomogenní rovnice (5.1), pak je rozdíl ipi(n) — ip2{n) řešením homogenní rovnice (5.2). Důkaz: Vyplývá přímo z Věty 5.11, je-li a = 1, /? = —1, u(n) = v(n). Důsledek 5.13: Nechť Y(n) = £*=1 Cj" Nechť y(n) = A" je řešením rovnice (6.1) => a0Xn+a1Xn+1+...+akXn+k = 0, A 0, tedy lze rovnici dělit A" => ao + oi A + ... + akXk = 0, neboli A je řešením (6-2). „<=u Zřejmé, neboť stačí „otočit implikace" v předchozí části. Poznámka 6.3: Povšimněme si, že je-li A kořenem charakteristické rovnice (6.2), pak A 0 neboť ao 7^ 0 (viz Definice 5.1). Věta 6.4: Posloupnosti Xn,Xn,...,Xn pro Aj 7í Xj, kde i 7í j, Aj 7^ 0, i,j = 1,2,k, jsou lineárně nezávislé v N. Důkaz: Podle Věty 5.9 potřebujeme dokázat, že existuje no G N takové, že determinant D 7^ o, kde D Xn° xr Aľ no + k — 1 ^rio + k — 1 yno + k — 1 Vytkneme-li z každého sloupce před determinant společného dělitele A"°, dostaneme 1 1 ... 1 Ai A2 ... Afe D \no\no \no Ál Á2 ■■■Ak A: k-1 X k-l 1 ^2 ••• "k Označme D = {X1X2...Xk)n°D*k. Protože (AiA2...Afe)"° 7^ o pro libovolné n0 G N, stačí dokázat, že determinant Dj* 7^ 0. Hodnota determinantu se nezmění, přičteme-li k jednomu řádku násobek jiného řádku. Násobme tedy první řádek číslem —Ai a přičtěme první řádek ke druhému, násobme druhý řádek číslem —Ai a sečtěme ho s řádkem třetím, atd. až (k — 1)— tý řádek vynásobíme číslem —Ai a přičteme k poslednímu řádku. Dostáváme Dl 1 0 A2 - Ai 0 A^2(A2-A!) 1 Afe — Ai Afe 2(Afe - Ai) 37 Rozvineme-li determinant Dj* podle prvního sloupce a vytkneme-li z každého sloupce společného dělitele, obdržíme ^ = (A2-A1)(A3-A1)...(Afe-A1) 1 A2 1 A3 \k-2 \k-2 a2 a3 1 Afe \k-2 Tedy D*k = (A2 - Ai)(A3 - Ai)...(Afc - Ai)^. Podle předpokladu je (A2 — Ai)(A3 — Ai)...(Afc — Ai) ^ 0, což znamená, že potřebujeme dokázat, že -Dj^ ^ 0. Dále postupujeme analogicky, až se dostaneme k determinantu 1 1 D* A k-l A*. Afe — A k-l což jsme potřebovali dokázat. Rovnice (6.2) má nejvýše k různých kořenů Aj, a to podle Poznámky 6.3 nenulových, což podle Vět 6.2 a 6.4 znamená, že známe příslušný počet lineárně nezávislých partikulárních řešení rovnice (6.1). V dalším se budeme zabývat problémem, jak nalézt fundamentální systém řešení v závislosti na charakteru kořenů charakteristické rovnice (6.2). 6.1 Charakteristická rovnice má k různých reálných kořenů Věta 6.5: Nechť Ai, A2,A&, Aj 6 R, A; ^ Xj, kde i ^ j, i, j = 1,2, ...,k, jsou kořeny rovnice (6.2). Pak rovnice (6.1) má v N obecné řešení tvaru y{n) = C1K+C2\% + ...+Ck\nk, kde Ci, C2,C k jsou libovolné konstanty. Důkaz: Věta vyplývá z Vět 5.10, 6.2 a 6.4. Příklad 6.6: Nalezněte obecné řešení rovnice y(n+2)—9y(n+l)+20y(n) = 0. Řešení: Charakteristická rovnice má tvar A2 — 9A + 20 = 0. Její řešení určíme snadno pomocí rozkladu na součin: (A — 4) (A — 5) = 0, tedy Ai = 4, A2 = 5. Podle Věty 6.5 je obecné řešení této rovnice y{n) = Ci4n + C25n. Příklad 6.7: Zjistěte, kolik „slov" délky n lze sestavit z písmen A, B,C tak, aby žádné z nich neobsahovalo „podslovo" typu AA,AB,BA,BB. Řešení: Označme s(n) počet hledaných slov. Rozdělme množinu slov délky n+ 2 vyhovujících zadání na tři disjunktní podmnožiny podle toho, jakým písmenem končí. Ovšem slova končící písmenem A (resp. B) musí mít předposlední písmeno C, aby neobsahovala zakázané podslovo. Touto úvahou dostáváme rekurentní vzorec s{n + 2) = s{n + 1) + 2s(n), což je vlastně lineární diferenční rovnice, kterou lze přepsat do obvyklejšího tvaru s{n + 2) - s{n + 1) - 2s{n) = 0. Zřejmě s(l) = 3, s{2) = 5. 38 Charakteristická rovnice je A2 — A — 2 = 0 a její kořeny Ai = 2, A2 = —1. Obecné řešení má tvar s{n) = Ci2n + ťľ2(-l)n. Konstanty C\, C2 určíme z počátečních podmínek s(l) = 3, s(2) = 5, dosadíme-li do obecného řešení za n = 1, n = 2 : 3 = 2Ci — C2, 5 = 4Ci+ťľ2. Řešením této soustavy jsou hodnoty Ci = |, C2 = — |. Pro hledaný počet slov jsme našli vzorec *(n) = |-2"-|(-l)", tedy s(n) = i [2"+2 + (-1)"+1] . 6.2 Charakteristická rovnice má imaginární kořeny Nejprve si připomeňme známé poznatky o komplexních číslech, o které se opírá následující věta: • Jestliže má charakteristická rovnice (6.2) imaginární kořen Ai = a + if3, pak má i kořen \2 = a — if3. • Každé komplexní číslo a + i/3 7^ 0 lze vyjádřit pomocí jeho absolutní hodnoty a argumentu v goniometrickém tvaru r(cosu; + i sinu;) = a + if3 • Moivreova věta [r(cosu; + i sinu;)]" = r"(cosu;n + i sinům) Věta 6.8: Nechť má rovnice (6.2) imaginární kořeny Aii2 = r (cos co ± i sino;) (tj. r ^ 0 a oj 7^ k-k, k G N). Pak má rovnice (6.1) tato lineárně nezávislá partikulární řešení 2(n0) <ý?i(n0 + l) <ý?2(n0 + l) D = ipi{no)ip2{n0 + 1) - <£i(n0 + 1)^2(^0) = rn coswno • r"0+1 sinu;(no + 1) — r"0+1 coso;(no +1) • rn° sin umo = r2"0+1[cosumo(sinumo cos co + cos umo sinu;) — sinumo(cosumo cos w —sin umo sinu;)] = r2"0+1 (cos2 umo sinu; +sin2 umo sinu;) = r2n0+l únu) Tedy D = r2n0+l ún(jJ Q) nebot' w )t £ N a ľ ^ 0. Příklad 6.9: Najděte obecné řešení rovnice y(n + 2) — 2y(n + l)+4?/(n) = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je A2 — 2A + 4 = 0, její kořeny pak jsou Ai,2 = 2±v24~16 = Iía/Ší- Abychom mohli použít Větu 6.8, musíme tyto kořeny převést do goniometrického tvaru: 1 ± y/Ši = 2(cos | ± isin|), tedy r = 2, oj = |. Obecné řešení je: 7t 7t y(n) = 2"(Ci cos -n + C2 sin -n). Závěrem této podkapitoly uveďme větu, kterou využijeme v dalším textu. Věta 6.10: Nechť rovnice (6.1) má komplexní řešení y(n) = u(n) + iv(n). Pak jsou také posloupnosti u(n) a v(n) řešením dané rovnice. Důkaz: 0 = X)*=0a,j[u(n+j) + iv(n+j)] = Y?j=oaMn+J) + iT,'j=oa3v{n + j), ale tento komplexní výraz je nulový, když £j=o a,ju(n+j) = 0 a £jľo o,jv(n+ j) = 0, což však znamená, že u(n) a v(n) jsou řešením rovnice (6.1). 6.3 Charakteristická rovnice má vícenásobný kořen Následující věta nám dá návod, jak nalézt s nezávislých partikulárních řešení příslušejících s—násobnému kořenu charakteristické rovnice. Věta 6.11: Nechť má charakteristická rovnice dané diferenční rovnice fc-tého řádu s—násobný kořen Ai, kde 1 < s < k. Pak má diferenční rovnice tato lineárně nezávislá partikulární řešení: Mn) = K ip2{n) = n\" p.(n) = n*-1^, tj. má za řešení posloupnost f'i,2,.. .,s{n) = Ps_i(n)A", kde Ps_i(n) je libovolný polynom stupně s — 1. Důkaz zde vzhledem k náročnosti formálních úprav nebudeme provádět. Čtenář ho však může nalézt v knize [1], str. 76. Poznámka 6.12: Jestliže má charakteristická rovnice s—násobný imaginární kořen Ai = r (cos o; + i sino;), pak jsou posloupnosti 2 = 1, dvojnásobný kořen z2}$ = 0 pak ke dvojnásobným imaginárním kořenům \34=i = cos f + i sin | a X^^ = —i = cos f — i sin |. Podle Věty 6.11 a Poznámky 6.12 lze obecné řešení zapsat 7t 7t 7t 7t y(n) = Ci + C2n + C3 cos — n + C^n cos — n + C5 sin — n + C$n sin — n. Po úpravě 7t 7t y(n) = Ci + + cos ~^n[Cz + C^ri) + sin —n((?5 + Cqh). 6.4 Úlohy na procvičeni Úloha 6.14: Nalezněte obecné řešení a partikulární řešení určené počátečními podmínkami: 1. y(n + 2) + y(n + 1) - 6y(n) = 0, y(l) = -13, y(2) =-11 [OŘ: y(n) = Ci2" + C2(-3)", PŘ: y(n) = -5 • 2" + (-3)"] 2. y(n + 2) + 4y(n + 1) - 12y(n) = 0, y(l) = -32, y(2) = 32 [OŘ: y(n) = Ci2" + C2(-6)", PŘ: y(n) = -5 • 2"+1 + 2 • (-6)"] 3. y(n + 2) + 4y(n + 1) + 16y(n) = 0, y(l) = 2, y(2) = -40 [OŘ: y(n) = Ci4" cos + C24" sin ^-n, PŘ: y(n) = 2 • 4" cos + y/Š • 4" sin ^n] Úloha 6.15: Nalezněte funkční vzorec pro posloupnosti dané rekurentně: 1. u{n + 2) =9u(n + l) - 18u(n), u(l) = 1, u(2) = 21 [u(n) = -5 • 3""1 + 6"] 2. u{n + 2) = 2u{n + l) +2u{n), u{l) = -1, u(2) = 1 [U(n) = 5^(1 - VŠ)" + ^^(1 + V5)n] 3. u{n + 2) = 2u{n + l) -2u{n), u{l) = 2, u{2) = -2 [u(n) = \[2 (3 cos |n — sin |n)] Úloha 6.16: Nalezněte obecné řešení následujících diferenčních rovnic 1. y(n + 3) + 8y(n) = 0 [y{n) = Ci(-2)" + C22"cosfn + C32"sinfn] 41 2. y (n + 3) - 12y {n + 2) + 48y(n + 1) - 64y (n) = O [y{n) = Ci4" + C2n4" + C3n24"] 3. y (n + 3) - 5y(n + 2) - 4y(n + 1) + 20y(n) = O [y (n) = Ci2" + C2(-2)" + C35"] 4. y (n + 3) - 3y(n + 2) + 4y(n + 1) - 12y(n) = O [y (n) = Ci2" cos f n + C22" sin f n + C33"] 5. y (n + 4) - 2y(n + 2) + y(n) = 0 [y (n) = Ci + C2n + C3(-l)" + C4n(-1)"] Úloha 6.17: Rešete rovnice 1. typu: [Návod: Rovnice 1. typu nejprve převeďte na rovnice 2. typu, které jsou již doposud vyloženými prostředky řešitelné] 1. A2y - Ay = 0 [y(n) = Ci + C22"] 2. A3y+ 3A2y+ 3Ay = 0 [y(n) = Ci + C2 cos + C3 sin ^n] Úloha 6.18: Zjistěte, kolik „slov" délky n lze sestavit z písmen A, B, C tak, aby žádné z nich neobsahovalo „podslovo" typu AA nebo BA. [Návod: Uvažujte podobně jako v Příkladu 6.7. Je zřejmé, že slova končící písmenem A musí mít na předposledním místě písmeno C] [Řešením rovnice s(n + 2) — 2s(n + l) — s(n) = 0, s(l) = 3, s(2) = 7 dostanete a(n) = |[(1 + v^)n+1 + (1 - v^1]-] Úloha 6.19: Zjistěte, kolik „slov" délky n lze sestavit z písmen A,B,C,D tak, aby žádné z nich neobsahovalo „podslovo" typu AB, BB, BC, CB, CC. [Návod: Promyslete si, že slova končící písmenem B musí mít na předposledním místě písmeno D a slova končící C mohou mít na předposledním místě pouze A nebo D.] [Řešením rovnice s{n + 2) - 2s(n + 1) - 3s(n) = 0, s(l) = 4, s(2) = 11, dostanete s(n) = |[5 • 3" + (-1)"+1].] 42 7 Nehomogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Zabývejme se rovnicí s konstantními koeficienty aoy{n) + oiy(n + 1) + ... + aky{n + k) = u(n), (7.1) kde ao 0 a ak ^ 0 jsou reálné konstanty. Připomeňme, že obecné řešení rovnice (7.1) je dáno součtem obecného řešení zhomogenizované rovnice a libovolného partikulárního řešení rovnice nehomogenní (viz Důsledek 5.13). Homogenní rovnice již umíme řešit, soustřeďme se nyní na nalezení partikulárního řešení nehomogenní rovnice. K tomu lze použít dva postupy: metodu neurčitých koeficientů (též nazýváme jako metodu odhadu partikulárního řešení) a nebo metodu variace konstant, což vyložíme v následujících podkapitolách. 7.1 Metoda neurčitých koeficientů Tuto metodu je možno použít jen pro speciální pravé strany u(n), a to pro posloupnosti typu konst, nk, qn, sinán, cosan a posloupnosti utvořené součtem nebo součinem z nich. Z faktu, že jejich diference 1., 2.,... až k—tého řádu a jejich lineární kombinace jsou opět posloupnosti téhož typu (viz kapitola 2), usuzujeme, že toto platí i obráceně. Známe-li výslednou posloupnost u(n) utvořenou lineární kombinací Y^=o ajZ{n + j)> Pak posloupnost Z(n) je stejného typu jako u(n). Platí následující věta. Věta 7.1: Nechť je dána rovnice s konstantními koeficienty aoy{n) + aiy(n + 1) + ... + aky{n + k) = Pm(n)qn cos an, (7.2) kde Pm{n) je polynom stupně m > 0. 1. Nechť má charakteristická rovnice kořeny Xj ^ q(cosa + i sin a). Pak je partikulárním řešením rovnice (7.2) posloupnost tvaru Z(n) = [QTO (n) sin cm + Rm(n) cos an]qn, kde Qm{n) a Rm{n) jsou jisté polynomy stupně m. 2. Nechť má charakteristická rovnice některý kořen Xj = q(cosa+i siná) a to s—násobný, s > 1. Pak je partikulárním řešením rovnice (7.2) posloupnost tvaru Z(n) = ns[Qm(n) sinán + Rm{n) cos an]qn, kde Qm{n) a Rm{n) jsou jisté polynomy stupně m. Poznámka 7.2: Analogické tvrzení platí pro rovnici aoy{n) + aiy(n + 1) + ... + aky{n + k) = Pm(n)qn sinán. Důkaz zde nebudeme provádět, protože je poměrně obtížný. Pokud se čtenář chce o této problematice dozvědět více, můžeme jej odkázat na knihu [3], kapitola 2.4, str. 70. Při hledání partikulárního řešení nehomogenní rovnice postupujeme tak, že do dané diferenční rovnice dosadíme odhadnutý tvar Z(n) (podle Věty 7.1, resp. Poznámky 7.2) s neurčitými koeficienty, které pak získáme porovnáním s koeficienty pravé strany u(n). Příklad 7.3: Najděte obecné řešení rovnice y(n + 2) — 8y(n +1) + 15j/(n) = 130 sin f n. 43 Řešení: Nejprve najdeme obecné řešení zhomogenizované rovnice y(n + 2) — 8y(n +1) + 15y(n) = 0. Její charakteristická rovnice A2 — 8A +15 = 0 má kořeny Ai = 3 a A2 = 5, takže obecné řešení homogenní rovnice je Y{n) = Ci3" + C25". To znamená, že partikulární řešení nehomogenní rovnice předpokládáme ve tvaru ni \ ■ T 1 K Z (n) = a sin —n + 6 cos — n. Dosaďme do dané rovnice: asin^(n + 2) + 6 cos ^(n + 2) - 8[asin^(n + 1) + 6cos^(n + 1)] + 7t 7t 7t +15la sin — n + 6 cos — n] = 130 sin —n. L 2 2 1 2 Užitím součtových vzorců po úpravě dostáváme: (14a + 86) sin + (-8a + 146) cos = 130 sin ^n. Nyní porovnejme koeficienty: 14a + 86 = 130 -8a +146 = 0, odkud a = 7, 6 = 4. Partikulární řešení rovnice je Z (n) = 7 sin — n + 4 cos — n. Konečně obecné řešení jsme nalezli ve tvaru y(n) = Ci 3" + C25" + 7sin^n + 4cos^n. Příklad 7.4: Nalezněte obecné řešení rovnice y(n + 2) + 6y(n +1) + 9y(n) = (4n2+4n)(-3)"+3. Řešení: Charakteristická rovnice zhomogenizované rovnice je A2 +6A + 9 = 0 a má dvojnásobný kořen Aii2 = —3. Obecné řešení homogenní rovnice je tedy Y{n) = Ci(-3)" + C2n(-3)". Proto partikulární řešení nehomogenní rovnice musíme hledat ve tvaru Z{n) = n2{an2 +bn + c)(-3)". Po dosazení do dané rovnice dostaneme: (n+2)2[a(n+2)2+6(n+2)+c](-3)"+2+6(n+l)2[a(n+l)2+6(n+l)+c](-3)"+1+ +9n2(an2 + bn + c)(-3)" = (4n2 + 4n)(-3)"+3. Rovnici vydělíme (—3)" a zjednodušíme: 108an2 + (216a + 546)n + 126a + 546 + 18c = -108n2 - 108n. Porovnáním koeficientů snadno vypočteme: 108a = -108 =^ a = -1, 216a + 546 = -108 6 = 2, 126a + 546 + 18c = 0 =^ c = 1. 44 Hledané partikulární řešení je Z(n) = n2(-n2 +2n + l)(-3)n. Obecné řešení diferenční rovnice je tvaru y(n) = Ci (-3)" + C2n(-3)n + n2(-n2 +2n + l)(-3)n. Snadno nahlédneme, že právě probíraný odhad partikulárního řešení Z(n) úzce souvisí s výpočtem k—té sumace vyloženém v předchozím textu. Podle Věty 2.21 je B-i)*-'(fc = a tedy rovnice 1. typu Aky = Pk(n)qn cos an je speciálním případem rovnice (7.2). Poznámka 7.5: Metodou neurčitých koeficientů lze řešit i rovnice se „složitější" pravou stranou, než bylo uvedeno ve Větě 7.1. Je-li pravá strana rovnice (7.1) součtem ui(n) + U2{n), kde ui(n) a U2{n) jsou speciálního tvaru ve smyslu Věty 7.1, je-li Zi(n) partikulární řešení rovnice EjĽo aiVkn +Í) = ui{n) a je—li Z2{n) partikulární řešení rovnice EjĽo ajV(n +Í) = u2{n), pak podle principu superpozice (Věta 5.11) víme, že Zi(n) + Z2{n) je partikulární řešení rovnice EjU ajV(n + J) = uÁn) + u2{n). V následující podkapitole uvedeme příklad, ve kterém zmíněné skutečnosti využijeme. 7.2 Metoda variace konstant Tato metoda je obecná a nevyžaduje speciální tvar pravé strany řešené rovnice (7.1). Nechť k Y(n) = Y,Cj = 15 •(!)"-5ľ Podle vlastností sumace předpokládáme Ci(n) = a- 4" + b- 5", C2(n) = c- (^j +dn. Vypočteme-li odtud ACi(n) a AC2(n) a porovnáme-li koeficienty, získáme Ci(n) = -1.4" +^-5", 47 Po dosazení a úpravě dostáváme partikulární řešení ve tvaru přičemž člen ^ • 5" lze zahrnout do obecného členu takže obecné řešení je y(n) = Ci+ť725"-|- 4"-^n-5". 2. způsob: Hledejme partikulární řešení nehomogenní rovnice metodou neurčitých koeficientů. Postupujme podle Poznámky 7.5. Nejprve hledejme partikulární řešení rovnice y{n + 2) - 6y(n + 1) + 5y(n) = 2-4". Podle Věty 7.1 toto řešení předpokládáme ve tvaru Z1{n) = a-An. Dosaďme do dané rovnice a . 4"+2 - 6a • 4"+1 + 5a • 4" = 2 • 4", odkud přímo vypočteme, že a = — |. Tedy Nyní hledejme partikulární řešení rovnice y{n + 2) - 6y(n + 1) + 5y(n) = -7 • 5". Protože A2 = 5 je kořenem charakteristické rovnice, musíme toto řešení předpokládat ve tvaru Z2(n)=n-a-5n. Dosaďme do výchozí rovnice (n + 2) • a ■ 5"+2 - 6(n + 1) • a ■ 5"+1 + 5n • a ■ 5" = -7 • 5". Přímým výpočtem dostaneme a = — ^. Tudíž Z2(n) = -^n-5n. Podle principu superpozice je partikulární řešení naší rovnice Z(n) = Zx{n) + Z2(n) = ~ • 4" - • 5". Obecné řešení je tedy y(n) = C1+C25"-^-4"-^n-5". Všimněme si, že partikulární řešení vypočtené metodou variace konstant nemusí být stejné jako partikulární řešení, které nalezneme metodou neurčitých koeficientů, jak je vidět i v Příkladu 7.7. To nás však nemusí překvapovat, protože víme, že partikulární řešení není určeno jednoznačně. 48 7.3 Úlohy na procvičení Úloha 7.8: Nalezněte obecné řešení následujících rovnic (partikulární řešení nehomogenní rovnice hledejte metodou neurčitých koeficientů): 1. y(n + 2) - 3y(n + 1) - 4y(n) = 12n2 - 2n + 15 [y(n) = Ci(-l)n + C24" - 2n2 + n - 3] 2. y{n + 2) - 7y(n + 1) + 10y(n) = -260 cos f n [y (n) = Ci 2" + C25" + 14 sin f n - 18 cos f n] 3. y{n + 2) + 6y(n + 1) + 9y(n) = 2(3n + 2)(-3)"+2 [y(n) = (Ci + C2n)(-3)" + n2(n - l)(-3)»] 4. 9y(n + 2) - 12y(n + 1) + 4y(n) = 3 - 2n [ž/(n) = (Ci+C2n)(f)"-2n + 15] Úloha 7.9: Nalezněte obecné řešení následujících rovnic (partikulární řešení nehomogenní rovnice hledejte metodou variace konstant): 1. 2y{n + 1) - 6y(n) = 3" - n ■ 2"" [y(n) = Ci3" + f • 3""1 + (n + X) . 2-»] 2. y (n + 2) - 5y(n + 1) + 6y(n) = 3" - n [y(n) = Ci 2" + C23" + n • 3""1 - f - f] 3. y (n + 2) - 10y(n + 1) + 25y(n) = 5" - 2n [y(n) = (Ci+C2n)5" + f;-5"-f-i] Úloha 7.10: Zjistěte, kolik „slov" délky n lze sestavit z písmen A, B, C tak, aby žádné z nich neobsahovalo „podslovo" typu AC nebo BC. [Návod: Uvažujte podobně jako v Příkladu 6.7. Promyslete si, že slovo končící písmenem C je jediné, protože musí mít každé předchozí písmeno rovněž C] [Řešením rovnice s(n +1) — 2s(n) = 1, s(l) = 3 dostanete s(n) = 2 • 2" — 1 = 2"+1 - 1.] 49 8 Lineární diferenční rovnice 1. řádu s nekon-stantními koeficienty V této závěrečné kapitole alespoň nastíníme problematiku řešení rovnic s ne-konstantními koeficienty a sice ukážeme postup řešení lineární diferenční rovnice 1. řádu. Uvažujme rovnici ffli(n)y(n + 1) + a0(n)y(n) = u(n). (8.1) Podle Definice 5.1 víme, že ai(n) ^Oa ao(n) ^Oa proto rovnici (8.1) můžeme vydělit ai(n). Označíme-li °°^) = ~A{n) a ^(n) = -®(n)' dostáváme y(n + l)-A(n)y(n)=B(n). (8.2) Nejprve budeme řešit zhomogenizovanou rovnici. Její obecné řešení označme Y(n), y(n) pak bude značit obecné řešení rovnice nehomogenní. Na rovnici Y{n + 1) - A{n)Y{n) = 0 (8.3) můžeme pohlížet jako na rekurentní vzorec, který také říká, že Y{n) = A{n - l)Y{n - 1), Y{n - 1) = A{n - 2)Y{n - 2), Y(2) = A(1)Y(1), kde Y(l) značí počáteční hodnotu posloupnosti Y(n) v bodě n = 1, což je libovolná konstanta; označme ji C. Postupným zpětným dosazováním za Y(2), Y(3), Y(n — 1) dostáváme n-l Y(n) = C ■ A(l) ■ A(2) ■... ■ A(n - 1) = C JJ A(j), (8.4) což je obecné řešení rovnice (8.3). Jedním z prvních pojmů, se kterými se setkáváme ve středoškolské kombinatorice, je permutace z n prvků. Tímto pojmem se rozumí každá uspořádaná n—tice sestavená z daných n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje právě jednou. Následující příklad ukazuje jeden ze způsobů, jak určit počet všech permutací z n prvků. Příklad 8.1: Vypočtěte, kolik permutací lze sestavit z n prvků (n e N). Řešení: Hledaný počet permutací z n prvků označme P(n). Uvažme o rozdělení P(n + 1) permutací do skupin podle toho, který prvek je na prvním místě. Touto úvahou jsme P(n + 1) permutací rozdělili do n + 1 skupin, z nichž každá obsahuje právě P(n) permutací. Tímto jsme odvodili rekurentní vzorec P(n + 1) = (n + l)P(n), což je však homogenní lineární diferenční rovnice 1. řádu s nekonstantními koeficienty, kterou přepišme do obvyklejšího tvaru P(n + 1) - (n + l)P(n) =0. Přitom zřejmě platí P(l) = 1. Podle (8.4) je obecné řešení této rovnice tvaru n-l P(n) = C]l(j + l)=C-2-3-...-n, 50 kde C = P(l) = 1, tedy pro hledaný počet permutací platí P(n) = 1 • 2 • 3 •... • n = n! K nalezení obecného řešení rovnice (8.2) potřebujeme znát aspoň jedno partikulární řešení Z(n) této rovnice. Budeme postupovat metodou variace konstanty. Partikulární řešení Z(n) tedy předpokládáme ve tvaru Z{n) = u{n) ■ v{n), (8.5) kde u(n) je nenulové řešení příslušné homogenní rovnice a,v(n) neznámá posloupnost, kterou potřebujeme určit. Podle (8.4) můžeme psát u(n) = Yl"Zi ^C?)-Snadno se přesvědčíme, že platí Z(n + 1) = u{n + 1) • v{n + 1) = A{n) ■ u{n)[v{n) + Av{n)]. (8.6) Dosaďme (8.6) a (8.5) do (8.2): A(n) ■ u{n)[v{n) + Av(n)] - A(n) ■ u(n) ■ v(n) = B(n), tj- A(n) ■ u{n) ■ Av{n) = B(n). Protože A(n) ^ 0, u(n) ^ 0 platí B{n) B{n) Av{n) A(n) ■ u(n) u(n + 1) Podle Věty 3.18 dostáváme n-l v{n)-v{l) = B(j) kde v(l) značí počáteční hodnotu hledané posloupnosti v(n) v bodě n = 1, což je libovolná konstanta. Protože nám stačí nalézt jedno řešení Z(n), můžeme zvolit v{l) = 0. Máme tedy .w=v-ffa_=v *») . Nyní dosaďme za u(n) a v(n) do (8.5) n-l n-l „, .s Z{n) = u{n) ■ v{n) = JJ A(j) • ^ W (8.7) j=i j=i lli=i A(i) Ve tvaru (8.7) jsme nalezli partikulární řešení rovnice (8.2). Můžeme již zapsat i obecné řešení této rovnice, protože podle Důsledku 5.13 víme, že je součtem obecného řešení (8.4) zhomogenizované rovnice (8.3) a jistého partikulárního řešení (8.7) nehomogenní rovnice (8.2). Tudíž n—l n—1 n — 1 j-./ -\ y(n) = C J] AU) + II m ■ E 3=1 3=1 ťiULiMi) Diferenční rovnici (8.2) jsme vyřešili podobným způsobem, jakým bychom řešili diferenciální rovnici y' - A{x)y = B{x), (8.8) kde A(x), B(x) jsou spojité funkce. Popišme v nejhrubších rysech postup řešení rovnice (8.8). • Nejprve vyřešíme zhomogenizovanou rovnici y' — A(x)y = 0. Její obecné řešení lze psát ve tvaru Y(x) =K-efMx)dx, kde K je reálná konstanta. 51 • Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme metodou variace konstant: řešení předpokládáme ve tvaru Z(x) = K(x) ■ eíA(x)dxt tedy ve tvaru součinu jistého nenulového řešení zhomogenizované rovnice a neznámé funkce K(x), kterou vypočteme po dosazení předpokládaného řešení do rovnice (8.8). • Obecné řešení rovnice (8.8) dostaneme jako součet obecného řešení zhomogenizované rovnice a jednoho partikulárního řešení rovnice nehomogenní. Příklad 8.3: Řešte rovnici ny(n + 1) — (n + 1)y{n) = n3 + 4n2 + 3n. Řešení: Protože n > 0 lze rovnici upravit na tvar n +1 y (n + 1)--y (n) = n2 + 4n + 3, n A(n) = ĽĹ^, B (n) = n2 + 4n + 3. Nejprve podle (8.4) vypočtěme, jakého tvaru je obecné řešení zhomogenizované rovnice: n—l n—l . i o q y(n)=cn^)=cn^=c-r^-~=c»- Partikulární řešení nehomogenní rovnice vypočteme podle vzorce (8.7). K tomu pro větší přehlednost výpočtu nejprve vyjádřeme u(n) a v(n). Již víme, že n-l u{n) = Yl A{j) = n a zbývá nám provést výpočet: v(n) = V* B(j) =-1i2+4i+3=^(i + 1)(i + 3) = n-l J'=l r + 5j i = ^(n2 +5n-6). i 2 Partikulární řešení nehomogenní rovnice je tedy: rw f \ f \ f \ ^ / 2 i» r~> \ ^ 5?7> Z[n) = u(n) ■ v(n) = — (n + on — 6) = — -I—---3n. Konečně pro obecné řešení platí: y(n) = Y(n) + Z(n) = Cn + — + — - 3n = (C - 3)n + — + —. Výraz C — 3 je libovolná konstanta (neboť C je libovolné), označme ji K. Nalezli jsme obecné řešení ve tvaru y(n) = Kn+ — + —. Poznamenejme, že o správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou. To však již ponecháme na čtenáři. Úloha 8.4: Nalezněte obecné řešení následujících rovnic: 1. y{n + 1) - ^±f y{n) = n3 + 6n2 + lln + 6 [y{n) = K{n2 + 3n + 2) + |(n4 + 4n3 + 5n2 + 2n)] 2. ny(n + 1) - (n + 2)y(n) = n4 + 3n3 + 2n2 [