Osnovy základních matematických přenášek Ilustrativní rozpis osnovy všech základních i rozšířených kurzů po jednotlivých přednáškách/týdnech. Skutečná realizace bude samozřejmě závislá na konkrétním vyučujícím, počtu týdnů v daném semestru, apod. V případě prvního semestru je rozšíření popsáno jako dodatečné dvouhodinové přednášky k dvouhodinovým přednáškám základním, v ostatních případech jsou kurzy popsány zcela odděleně (a jedna položka pak představuje 4 hod. přednášek). Popis prvních dvou semestrů je vcelku důkladně ověřený prací z výuky, další dva semestry zahrnují změny oproti stávající výuce, které se ještě budou usazovat. MB101 - Lineární modely Všechny přednášky jsou zaměřeny na řešení konkrétních příkladů, resp. vytváření matematických modelů reálných praktických problémů Rozcvička 1. Skaláry a funkce počítání s reálnými a komplexními čísly, elementární kombinatorika, diferenční rovnice prvního řádu 2. Pravděpodobnost množinová algebra, jevy a jejich pravděpodobnost, klasická pravděpodobnost, geometrická pravděpodobnost 3. Geometrie v rovině analytické vyjádření bodů a přímek v souřadnicích, využití matic pro zápis podobností v rovině, vzdálenost, odchylka 4. Formalizace matematiky relace, uspořádání, ekvivalence Vektory a matice 5. Vektory a matice vektory jako n-tice skalárů, matice jako nástroj na počítání s vektory, Gaussova eliminace systémů lineárních rovnic, inverzní matice, determinanty, 6. Báze a souřadnice generování podprostorů, báze, skalární součin, velikost a kolmost vektorů, ortogonalizace 7. Lineární zobrazení matice zobrazení, hodnost, vlastní čísla, vlastní vektory Lineární modely 8. Modely založené na lineárních rovnicích systémy lineárních rovnic a nerovnic, problém lineárního programování 9. Lineární diferenční rovnice homogenní a nehomogenní diferenční rovnice, rovnice s konstantními koeficienty 10. Iterované procesy Leslieho populační modely, pravděpodobnostní matice, diskrétní Markovovy řetězce Analytická geometrie 11. Afinní geometrie přímka, rovina, (pod)prostor, konvexní množiny, afinní souřadnice, afinní zobrazení 12. Euklidovská geometrie vzdálenost, odchylka, objem, viditelnost, kvadriky MB201 - Lineární modely B Dodatečné přednášky k základní verzi kurzu rozšiřují teorii potřebnou pro efektivní budování modelů Rozcvička 1. Skaláry a funkce axiomatika skalárů, vlastnosti komplexních čísel, iracionální a imaginární kořeny polynomů, principy formálních důkazů a důkazy kombinatorických tvrzení 2. Konečná pravděpodobnost důsledná formalizace pravděpodobnosti, princip inkluze a exkluze, závislost jevů, podmíněná pravděpodobnost 3. Geometrie v rovině transformace souřadnic, užití maticového počtu pro studium podobností v rovině 4. Formalizace matematiky rozklad na třídy ekvivalence, formální konstrukce přirozených, celých a racionálních čísel, počítání v okruzích zbytkových tříd Vektory a matice 5. Determinanty abstraktní pohled na Gaussovu eliminaci a její důsledky, Cauchyova a Laplaceova věta o determinantech, algebraicky adjungované matice 6. Báze a dimenze abstraktní vektorové prostory, existence báze, dimenze podprostorů, unitární prostory 7. Lineární zobrazení matice zobrazení, transformace souřadnic, speciální zobrazení (ortogonální, unitární, samoadjungované, projekce apod.) Lineární modely 8. Modely založené na lineárních rovnicích lineární formy, dualita v lineárním programování, důkaz základní věty o existenci řešení 9. Nezáporné matice, spektrální teorie Perronova-Frobeniova věta pro nezáporné matice, důsledky pro iterované procesy, diagonalizace unitárních a samoadjungovaných zobrazení 10. Rozklady matic kanonické tvary matic, rozklady, pseudoinverze Analytická geometrie 11. Afinní a euklidovská geometrie afinní kombinace bodů, transformace souřadnic, poměry, euklidovská klasifikace kvadrik 12. Projektivní geometrie a kvadriky kvadratické formy, projektivní rozšíření afinních prostorů, afinní klasifikace kvadrik MB102 - Diferenciální a integrální počet Přednášky přibližují základní postupy diferencování a integrování a snaží se zároveň ukazovat související matematické modely reálných praktických problémů; výklad bude zaměřen na osvojení praktických dovedností, včetně schopnosti formulovat příslušný model. Zřízení ZOO 1. Polynomy a spliny interpolace dat polynomy, Lagrangeův problém, derivace polynomu, Hermiteův interpolační problém, kubické spliny 2. Posloupnosti a limity přehled vlastností reálných a komplexních čísel, hromadné body posloupností, limity 3. Limity funkcí, spojitost a derivace limita funkcí, spojitost, derivace, základní vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí 4. Mocninné řady, elementární funkce mocninné řady, poloměr konvergence, přehled elementárních funkcí Diferenciální a integrální počet 5. Taylorův rozvoj a průběh funkce derivace vyšších řádů, Taylorův polynom, kritické body, extrémy a asymptoty funkcí 6. Integrace primitivní funkce, Riemannův integrál, základní vlastnosti 7. Délka, obsah, objem délka křivek, obsah a objem útvarů, nevlastní integrály 8. Posloupnosti a řady funkcí stejnoměrná konvergence posloupnosti a řad funkcí, důsledky pro limitní procesy 9. Numerická derivace a integrace jednoduchá numerická schémata pro diference a numerickou integraci Spojité modely 10. Aproximace funkcí Využití integrace pro definici vzdálenosti funkcí, ortogonální systémy funkcí, aproximace 11. Fourierovy řady Fourierovy řady a jejich diskrétní forma 12. Konvoluce konvoluce funkcí, diskrétní konvoluce MB202 - Diferenciální a integrální počet B Přednášky podávají teoretický i praktický výklad diferencování a integrování; snaží se zároveň poukazovat na související matematické modely reálných praktických problémů; absolventi by měli získat teoretické i praktické dovednosti, včetně schopnosti navrhovat příslušné modely. Zřízení ZOO 1. Polynomy a spliny, axiomatika reálných a komplexních čísel interpolace dat polynomy, Lagrangeův problém, derivace polynomu, Hermiteův interpolační problém, kubické spliny; axiomatika a konstrukce reálných a komplexních čísel, hromadné body posloupností, Cauchyovské posloupnosti, uspořádání, suprema a infima 2. Topologie reálných a komplexních čísel, posloupnosti a limity intervaly, otevřené, uzavřené a kompaktní množiny, limity posloupností a funkcí, rozšířená reálná osa, základní vlastnosti limit 3. Spojitost a derivace spojitost, derivace, základní vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí 4. Mocninné řady, elementární funkce definice mocninných a exponenciálních funkcí (vycházející ze spojitosti), mocninné řady, komplexní exponenciála a goniometrické funkce, poloměr konvergence Diferenciální a integrální počet 5. Taylorův rozvoj a průběh funkce derivace vyšších řádů, Taylorův polynom, kritické body, extrémy a asymptoty funkcí, diferenciál, křivost křivky, analytické a hladké funkce 6. Integrace primitivní funkce, vztah Newtonova a Riemannova integrálu, základní vlastnosti integrace 7. Délka, obsah, objem délka křivek, obsah a objem útvarů, měřitelnost množin, nevlastní integrály 8. Posloupnosti a řady funkcí stejnoměrná konvergence posloupnosti a řad, důsledky pro limitní procesy, Laurantovy řady v komplexní proměnné, silnější koncepty integrace 9. Numerická derivace a integrace jednoduchá numerická schémata pro diference a numerickou integraci, včetně odhadů chyb Spojité modely 10. Aproximace funkcí Využití integrace pro definici vzdálenosti funkcí, ortogonální systémy funkcí, aproximace pomocí ortogonálních projekcí 11. Fourierovy řady Abstraktní Fourierovy řady a jejich diskrétní formy, poznámky k waveletům 12. Konvoluce a Fourierova transformace konvoluce funkcí, odvození Fourierovy transformace pro Riemannovsky integrovatelné funkce, dekonvoluce, diskrétní transformace, konvoluce a dekonvoluce. MB103 - Spojité modely a statistika Přednášky rozšiřují postupy diferencování a integrování na problémy s více parametry, včetně problematiky diferenciálních rovnic; druhá polovina semestru je věnována statistice a pravděpodobnosti; výklad se v obou částech omezí na elementární aspekty a snaží se zároveň průběžně ukazovat související matematické modely reálných praktických problémů; výklad bude zaměřen na osvojení praktických dovedností, včetně schopnosti formulovat příslušný model. Diferenciální a integrální počet více proměnných 1. Funkce více proměnných, diferenciál parciální derivace, diferenciál funkce, parciální derivace vyšších řádů, 2. Derivace zobrazení, Taylorův polynom Taylorova věta pro funkce více proměnných, geometrický význam derivace zobrazení (Jacobiho matice), implicitní funkce 3. Extrémy a vázané extrémy funkcí kritické body, Hessián, extrémy funkcí více proměnných, vázané extrémy 4. Násobné integrály integrace funkcí více proměnných (Riemannův integrál), násobné integrály, záměna mezí integrace (Fubiniho věta) Diferenciální rovnice 5. Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) řešení obyčejných diferenciálních rovnic, rovnice se separovanými proměnnými, homogenní a nehomogenní lineární ODE (algoritmus pro rovnice s konstantními koeficienty) 6. Numerické metody pro řešení ODE přehled základních numerických metod pro řešení ODE Popisná statistika 7. Statistika dat základní číselné charakteristiky (průměr, medián, percentil, rozptyl), příklady prezentace a analýzy dat (krabicové diagramy) Pravděpodobnost 8. Náhodné jevy a veličiny přehled základních rozdělení náhodných veličin (diskrétní i spojité), 9. Číselné charakteristiky rozdělení, korelace náhodných veličin náhodné vektory, střední hodnota, rozptyl, korelace, matice kovariance, nezávislost veličin 10. limitní přechody srovnání spojitých a diskrétních veličin (praktické úlohy a náznak centrální limitní věty) Statistika 11. Výběry a nestranné odhady výběr z populace, číselné charakteristiky a jejich nestranné odhady 12. Odhady parametrů a testování hypotéz kvantilové funkce a kritické hodnoty, příklady testování hypotéz MB203 - Spojité modely a statistika B Přednášky rozšiřují postupy diferencování a integrování na problémy s více parametry, včetně problematiky diferenciálních rovnic a poznámek k variačnímu počtu; druhá polovina semestru je věnována statistice a pravděpodobnosti a jejich teoretickým souvislostem; snaží se zároveň průběžně ukazovat související matematické modely reálných praktických problémů; výklad bude zaměřen na osvojení praktických dovedností, včetně schopnosti formulovat příslušný model. Diferenciální a integrální počet více proměnných 1. Funkce více proměnných, diferenciál parciální derivace, diferenciál funkce, parciální derivace vyšších řádů, souvislosti s lineární algebrou 2. Derivace zobrazení, Taylorův polynom Taylova věta pro zobrazení, geometrický význam derivace zobrazení (Jacobiho matice), věta o inverzním zobrazení, věta o implicitní funkci 3. Extrémy a vázané extrémy funkcí kritické body, Hessián, extrémy funkcí více proměnných, vázané extrémy 4. Násobné integrály integrace funkcí více proměnných (Riemannův integrál), násobné integrály, záměna mezí integrace (Fubiniho věta) Diferenciální rovnice a variační počet 5. Diferenciální rovnice existence a jednoznačnost řešení systémů obyčejných diferenciálních rovnic, rovnice se separovanými proměnnými, homogenní a nehomogenní lineární ODE (algoritmus pro rovnice s konstantními koeficienty), poznámky k parciálním diferenciálním rovnicím, přehled elementárních numerických metod pro řešení obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic 6. Variační počet elementární úvod do variačního počtu, řešené příklady Popisná statistika 7. Statistika dat základní číselné charakteristiky (průměr, medián, percentil, rozptyl), příklady prezentace a analýzy dat (krabicové diagramy), náznak souvislostí s pravděpodobností Pravděpodobnost 8. Náhodné jevy a veličiny přehled základních rozdělení náhodných veličin (diskrétní i spojité), distribuční funkce, transformace veličin 9. Číselné charakteristiky rozdělení, korelace náhodných veličin náhodné vektory, střední hodnota, rozptyl, korelace, matice kovariance, nezávislost veličin 10. limitní přechody srovnání spojitých a diskrétních veličin, centrální limitní věty, příklady Statistika 11. Výběry a nestranné odhady výběr z populace, číselné charakteristiky a jejich nestranné odhady 12. Odhady parametrů a testování hypotéz kvantilové funkce a kritické hodnoty, příklady testování hypotéz MB104 – Diskrétní matematika Přednášky poskytnou základní nástroje teorie čísel a elementární kombinatoriky spolu s využitím některých nástrojů matematické analýzy pro řešení praktických úloh diskrétní matematiky. Teoretické poznatky budou demonstrovány na konkrétních aplikačních úlohách. Teorie čísel 1. Dělitelnost gcd, rozšířený Euklidův algoritmus (Bezout); počítání s velkými čísly (zejména gcd, modulární umocňování) 2. Prvočísla vlastnosti, základní věta aritmetiky, faktorizace, testování prvočíselnosti a složenosti (Rabin-Miller, Mersenneho prvočísla); 3. Kongruence základní vlastnosti; Malá Fermatova věta; Eulerova věta, řád čísla 4. Řešení kongruencí řešení lineárních kongruencí a jejich soustav, čínská zbytková věta 5. Kongruence vyšších řádů binomické kongruence a primitivní kořeny, problém diskrétního logaritmu Aplikace teorie čísel 6. Úvod do asymetrické kryptografie RSA, DH, ElGamal, DSA 7. Základy teorie kódování lineární a polynomiální kódy Kombinatorické výpočty 8. Základy kombinatoriky binomická věta a zobecněná binomická věta; základní kombinatorické identity a jejich odvozování 9. Odvozování kombinatorických identit základní způsoby řešení kombinatorických úloh, Catalanova čísla 10. Vytvořující funkce algebra formálních mocninných řad; (obyčejné) vytvořující funkce; exponenciální vytvořující funkce; pravděpodobnostní vytvořující funkce; řešení kombinatorických úloh pomocí vytvořujících funkcí 11. Řešení základních rekurencí Fibonacciho čísla, Cayleyho formule a další 12. Určování složitosti rekurentního algoritmu využití vytvořujících funkcí, asymptotické odhady MB204 – Diskrétní matematika B Přednášky poskytnou základní nástroje abstraktní algebry, teorie čísel a elementární kombinatoriky spolu s využitím některých nástrojů matematické analýzy pro řešení praktických úloh diskrétní matematiky. Teoretické poznatky budou demonstrovány na konkrétních aplikačních úlohách. Úvod do počítačové algebry 1. Grupy permutace, symetrie, modulární grupy, homomorfismy a faktorgrupy, akce grupy – Burnsideovo lemma 2. Okruhy a tělesa polynomy a jejich kořeny, dělitelnost v oborech integrity, zejména dělitelnost v Z a v okruhu polynomů (nad tělesem), ideály. 3. Algebra v computer science Konečná tělesa a jejich základní vlastnosti, využití v computer science. Polynomy více proměnných – Gröbnerova báze. Teorie čísel 4. Dělitelnost gcd, rozšířený Euklidův algoritmus (Bezout); počítání s velkými čísly (zejména gcd, modulární umocňování); prvočísla - vlastnosti, základní věta aritmetiky, faktorizace, testování prvočíselnosti a složenosti (Rabin-Miller, Mersenneho prvočísla); 5. Kongruence kongruence - základní vlastnosti, Malá Fermatova věta; Eulerova věta; řešení lineárních kongruencí a jejich soustav; 6. Kongruence vyšších řádů binomické kongruence a primitivní kořeny; diskrétní logaritmus; kvadratické kongruence - Legendreův symbol a zákon kvadratické reciprocity 7. testování prvočíselnosti a faktorizace testování prvočíselnosti až po AKS, hledání dělitele, eliptické křivky (úvod); Aplikace teorie čísel 8. Kryptografie a kódování stručný úvod do asymetrické kryptografie (RSA, DH, ElGamal, DSA, ECC); základy teorie kódování - lineární a polynomiální kódy; aplikace Fourierovy transformace pro rychlé výpočty (např. Schönhage- Strassen) Kombinatorické výpočty 9. Základy kombinatoriky binomická věta a zobecněná binomická věta; základní kombinatorické identity a jejich odvozování; základní způsoby řešení kombinatorických úloh, Catalanova čísla 10. Vytvořující funkce algebra formálních mocninných řad; (obyčejné) vytvořující funkce; exponenciální vytvořující funkce; pravděpodobnostní vytvořující funkce; řešení kombinatorických úloh pomocí vytvořujících funkcí 11. Řešení základních rekurencí Fibonacciho čísla, Cayleyho formule a další; určování složitosti rekurentního algoritmu 12. Kombinatorické úlohy computer science grafové aplikace, složitost, analýza hashování