1
Konstrukce křivky teoretického rozdělení
cvičení ze statistických metod č. 4
Zadání:
1) Sestrojte křivku normálního rozdělení průměrných ročních teplot vzduchu na stanici
Praha, Klementinum za období 120 let od ...… do …... (data viz. cvičení 2).
2) Použijte 2
χ test a Kolmogorovův – Smirnovův test (K-S test) ke zhodnocení, zda
existuje statisticky významný rozdíl mezi empirickými a teoretickými četnostmi
průměrných ročních teplot vzduchu.
3) Vhodnost použití normálního rozdělení otestujte dále pomocí tzv.
pravděpodobnostního grafu.
4) Ujistěte se, že pro řadu sum celkové výšky sněhové pokrývky na Milešovce za období
1925-1993 je použití normálního rozdělení nevhodné a z nabídky programu
STATISTIKA zvolte jiný vhodnější typ teoretického rozdělení. Jeho vhodnost opět
dokumentujte výsledkem 2
χ testu, K-S testu a pravděpodobnostním grafem.
5) Výsledky zpracování pro oba statistické soubory prezentujte dvěma typy grafů podle
dodaného vzoru.
Podkladová data:
Soubory Klementinum_cv2.XLS a Mil_snih.XLS ve složce V:\Statistika\Cviceni_04
Poznámky ke zpracování:
1) Spusťte program STATISTIKA
2) Proveďte import výše uvedeného souboru Klementinum.XLS: Soubor – Otevřít, zvolit
Typ souboru *.XLS a najít složku se jmenovaným souborem. Zatrhnout volbu
„Importovat vybraný list do tabulky“. V dalším okénku zatrhněte „1. řádek jako názvy
proměnných“,
3) Z celkového souboru vyberte vašich 120 hodnot (proměnných): Ve druhém pruhu
nástrojů (ikon) vpravo klikněte Proměnné – Vytvořit podmnožinu/náhodné
vzorkování. V políčku Proměnné vyberte Rok i I-XII. Dále klikněte na Případy. Do
políčka „Zahrnout případy konkrétní/vybrané výrazem“ zadejte podmínku, např.:
Rok > 1780 AND Rok < 1901 Pozor – všechna ostatní políčka musejí být
prázdná! (Tato podmínka vybere ze souboru 120 hodnot počínaje rokem 1781)
– viz. obr. 1
Pomocí správce jmen případů převeďte proměnou „ROK“ na jména případů a tuto
proměnou odstraňte.
4) Sestrojení křivky normálního rozdělení: Zvolte „Statistika – Prokládání rozdělení –
Normální“. V dalším okně klikněte na Proměnná a zvolte I-XII a klikněte OK. Pro
výpočet K-S testu je nutné zatrhnout příslušnou položku v záložce Možnosti
(Kolmogorov – Smirnovův test – Ano (spojitý) – viz.obr.2. Dále zvolte „Graf
pozorovaného a očekávaného rozdělení“
5) Upravte jednotlivé prvky grafu podle dodaného vzoru (poklepáním a jednotlivé prvky
grafu – osy, popisky, čáry,… je lze změnit). Dále vyberte graf příkazy Zobrazit –
Umístění grafu. Zkopírujte graf do schránky příkazem Úpravy – Kopírovat. Vložte
graf do dokumentu. V programu WORD zadejte: Úpravy – Vložit jinak – obrázek.
6) Vytvoření pravděpodobnostního grafu. V programu STATISTIKA zvolte: Grafy – 2D
grafy – Grafy typu P-P. V dalším okně klikněte na Proměnné a zvolte I-XII a klikněte
OK. Jako typ rozdělení je vybráno Normální. Upravte jednotlivé prvky grafu (osy x, y
2
budou mít rozsah 0-1, úprava rozsahu os popsána v „úvodu do programu Statistica,
viz. obr. 3) a vložte ho výše popsaným způsobem do dokumentu v programu WORD.
7) Proveďte import souboru Mil_snih.XLS a to stejnými kroky jako v případě
předchozího souboru (viz bod 2).
8) Sestrojte křivku normálního rozdělení podle instrukcí v bodu 4. Z jakého důvodu je
aplikace normálního rozdělení pro tento soubor nevhodná?
9) Na liště ve spodní části obrazovky otevřete opět okno „Proložení spojitých rozdělení“.
Otestujte jiná spojitá rozložení nabízená programem a jedno z nich vyberte. Vaši volbu
ověřte sestrojením P-P grafu podle instrukcí v bodě 6.
10) Oba grafy pro soubor Mil_snih.XLS upravte a zkopírujte do dokumentu v programu
WORD
Poznámka k interpretaci 2
χ testu: Tímto testem se testuje shoda empirického a
teoretického rozdělení. Testování je založeno na stanovení nulové hypotézy o existenci shody
obou rozdělení. Pro interpretaci výsledků testu v programu STATISTIKA je vedle hodnoty
testovacího kritéria rozhodující vypočtená hodnota hladiny významnosti p. Obecně používaná
hladina významnosti testu je p=0,05. Vychází-li tedy p-hodnota podstatě větší než 0,05,
potom nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu a můžeme prohlásit, že mezi empirickými a
teoretickými četnostmi není statisticky významný rozdíl. Jinými slovy – použití normálního
rozdělení je vhodné.
Poznámka k interpretaci K-S testu: Tento test lze použít pro testování významnosti shody
teoretického a empirického rozložení i v případech, kdy nelze použít
2
χ testu. Hodnota
testovacího kritéria u K-S testu však vychází pouze z jedné hodnoty – z maximálního rozdílu
empirických kumulovaných četností. Proto není tak spolehlivým testem. Vhodnost či
nevhodnost testovaného rozdělení posuzujte opět podle p hodnoty jako v případě 2
χ testu.
Zkratka n.s. značí nevýznamný výsledek.
Poznámka k interpretaci pravděpodobnostního grafu (P-P grafu): V tzv. P-P grafu jsou
vyneseny na ose y pravděpodobnosti výskytu empirických (původních, měřených)
kumulativních hodnot studovaného znaku, na ose x potom pravděpodobnosti teoretických
(vypočtených) kumulativních hodnot znaku. Pokud lze body grafu proložit přímku, potom
můžeme tvrdit, že uvažované teoretické rozdělení dobře aproximuje hodnoty studovaného
souboru. Pokud přímku netvoří, zvolené teoretické rozdělení není vhodné a je třeba hledat
jiné.
3
Obr. 1. Filtr pro výběr množství případů
Obr. 2. Proložení spojitých rozdělení
4
Obr. 3. Úprava rozmezí os x,y u P-P grafu
5
Normální rozdělení
Chí-kvadrát test = 2,80353, sv = 5 (uprav.) , p = 0,73024
6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0
t [°C]
0
5
10
15
20
25
30
ni
Obr. 4 Křivka normálního rozdělení průměrných ročních teplot vzduchu v Praze, Klementinu
v období 1781-1900
P-P graf
Rozdělení: Normální(9,33833, 0,978009)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Teoretické kumulativní rozdělení
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Empirickékumulativnírozdělení
Obr. 5 Pravděpodobnostní graf (P-P graf) normálního rozdělení průměrných ročních teplot
vzduchu v Praze, Klementinu v období 1781-1900
6
Vhodný typ rozdělení
Chí-kvadrát test = 14,71775, sv = 17, p = 0,61580
0 1000 2000 3000 4000 50 00 6000 7000 8000 9000
H [cm]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
ni
Obr. 6 Křivka vhodného teoretického rozdělení celkové výšky sněhové pokrývky na
Milešovce v období 1925 – 1993
P-P graf
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Teoretické kumulativní rozdělení
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Empirickékumulativnírozdělení
Obr. 7 Pravděpodobnostní graf (P-P graf) vhodného teoretického rozdělení celkové výšky
sněhové pokrývky na Milešovce v období 1925 – 1993