Část I Lineární algebra Veronika Švandová Masarykova univerzita, 2012 1 Vektory S vektory jste se již setkali na střední škole, proto by Vám neměly dělat problémy. Vektory jsou základem lineární algebry, proto doporučujeme, abyste si v nich udělali jasno - k tomu by Vám měl pomoci náš výukový text. Máte-li potřebné znalosti ze střední školy, můžete rovnou přejít k následující kapitole - maticím. 1.1 Teorie 1.1.1 Základní vlastnosti vektorů a operace s vektory V chemii pracujeme s různými veličinami. Tyto veličiny mohou být buď skalární - mají jedinou složku představující velikost (např. hmotnost, teplota), nebo vektorové - mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci (např. síla, okamžitá rychlost...), nebo mohou představovat data (např. časová řada, souřadnice, pozice, ...). Vektor se na střední škole většinou zavádí zvlášť pro nenulový vektor a zvlášť pro nulový vektor. Stručně si zopakujeme běžně uváděné definice. Nenulovým vektorem je označována množina všech nenulových orientovaných úseček (tj. úseček, u nichž je určen počáteční a koncový bod), které mají stejnou velikost a stejný směr. i: Obrázek 1: Nenulový vektor Směr je definován pouze pro nenulové orientované úsečky - dvě takové úsečky AÉ a CĎ mají stejný směr, jestliže přímky určené těmito úsečkami jsou rovnoběžné a body B, D leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC (obr. 2 vlevo), nebo přímky určené těmito úsečkami jsou totožné a průnikem polopřímek AB a CD je opět polopřímka (obr. 2 vpravo). Nulovým vektorem bývá označována množina všech nulových orientovaných úseček (úsečky, jejichž počáteční bod je totožný s koncovým, tj. mající nulovou velikost). 1 Každá orientovaná úsečka tedy určuje nějaký vektor (je prvkem množiny orientovaných úseček tvořících tento vektor). Vektory se označují malými písmeny se šipkou nahoře (např. u, v), v učebnicích se můžete setkat s jejich označením pomocí tučného písma (např. u, v). Nulový vektor se většinou označuje písmenem "o" - o , resp. o. V obrázcích se označení pro konkrétní vektor (dejme tomu u) může zapsat u každé úsečky která má stejnou velikost a stejný směr jako úsečka určující vektor u. ,D C A Obrázek 3: Označení vektorů Jsou-li body A, B dány souřadnicemi .A[ai,a2] a B[61,62], resp. v prostoru ^[ai, 0^2,03] a B\b\, 62, ^3], přičemž a\, 0,2, «3, b\, &2 a ^3 jsou reálná čísla a je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AĚ, nazývají se čísla u\ = b\ — a\ a U2 = &2 — «2, resp. v prostoru i ČÍSI0M3 = 63 — 0,3 (1-1) souřadnice vektoru u. Zapisujeme u= (u\, «2), resp. u = (u\, u2, u3). Středoškolské pojetí vektorů nyní rozšíříme nejen na dvou a tří-složkové vektory. Množinu M™ uspořádaných n-tic reálných čísel s operacemi definovanými: u + v = (ui,u2, ...,un) + (vi,v2, ... ,vn) = (ui + vi,u2 +v2,...,un+ vn) (1.2) k - u = k ■ (ui,u2, ■ ■ ■ ,un) = (k ■ ui,k ■ u2, ■ ■ ■ ,k ■ un) (1.3) pro všechna k e R a, ů, v e Rn nazýváme reálným algebraickým vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel u = (ui, 112,. .. , un), nazýváme algebraickými vektory1. Číslům u\, 112, ■ ■ ■, un říkáme složky vektoru u, vektoru u + v říkáme součet vektorů u a v, vektoru k ■ u říkáme součin čísla k s vektorem u, číslu n říkáme dimenze prostoru Rn, vektoru o = (0, 0,..., 0) říkáme nulový vektor. existují i jiné vektorové prostory než jen "reálné algebraické". Přívlastkem "Reálný algebraický "máme na mysli, že množina vektorů je tvořena uspořádanými n-ticemi reálných čísel. Obecně však tyto n-tice nemusí být tvořeny pouze reálnými čísly, ale např. čísly racionálními. Vektory dokonce nemusí být jen uspořádané n-tice, ale množinou vektorů může být např. množina všech polynomů. Důležité je, aby vektory a čísla splňovaly tzv. axiomy vektorového prostoru. V tomto textu dále budeme pracovat především s reálným algebraickým vektorovým prostorem a algebraickými vektory a nebude-li řečeno jinak, budeme je stručně nazývat jako vektorový prostor a vektory. 2 Vektory tedy sčítáme (resp. odečítáme) "po složkách". Protože v jednotlivých složkách pracujeme se sčítáním reálných čísel, přenáší se komutativita a asociativita sčítání reálných čísel na sčítání vektorů. Násobení vektoru číslem provádíme rovněž "po složkách". 1.2 Řešené příklady Příklad 1. Vypočtěte a + b, je-li a = (1,2,1) a b= (3,0,-1). Řešení Sčítání vektorů provedeme postupně, po jejich jednotlivých složkách (podle (1.2)): a + b = (1,2,1) + (3,0,-1) = (1 + 3,2 + 0,1 - 1) = (4,2,0). Příklad 2. Vypočtěte 2 • b, je-li b = (3, 0, -1). Řešení Vynásobení vektoru číslem provedeme postupně, po složkách (podle (1.3)): 2 • b = 2 • (3, 0, -1) = (2 • 3, 2 • 0, 2 • -1) = (6,0,-2). Příklad 3. Vypočtěte a + 2-b-c, je-li a = (1,2, í),b= (3,0, -l),c = (2,1,0). Řešení Nejdříve vynásobíme b dvěma (podle (1.3)) a následně všechny vektory sečteme (resp. odečteme - podle (1.2)): a + 2 • b - c = (1, 2,1) + 2 • (3, 0, -1) - (2,1, 0) = (1,2,1) + (6, 0, -2) - (2,1,0) = = (1 + 6-2, 2 + 0-1,1-2-0) = (5,1,-1). 1.3 Příklady k procvičení 1.3.1 Základní vlastnosti vektorů a operace s vektory 1. Vypočtěte: a) a + o, je-li a = (1, 2,1), b) k-a + k-b-k-c, je-li a= (1,2,1), 6 = (3, 0,-1), c = (2,1,0), Ä: = 0, c) a + b-2-c, je-li a= (1,2,1), b= (3,0,-l),c= (2,1,0), d) kx ■ ux + k2 ■ u2 + k3 ■ u3, je-li ux = (3, 1,4),m2 = (2, 0, -5),u3 = (-2,1, -1), kx = 2, h = 3,/j3 = -1, e) k1-u1 + k2-u2 + k3- u3, je-li ui = (1,1,1, l),u2 = (2, -1,3, l),u3 = (0, 0,1,2), kľ = 2, k2 = -2,k3 = 3. Výsledky 1. Vypočtěte: a) (1,2,1), tj. a, b) (0,0,0), c) (0,0,0), d) (14,1,-6), e) (-2,4,-1,6). 3 2 Matice Celá řada úloh z praxe vede na řešení soustav rovnic. V této kapitole si ukážeme, jak se takové soustavy řeší. K tomuto účelu zavedeme základní pojmy lineárni algebry: matice, hodnost matice a determinant matice. Ukážeme si dvě metody řešení soustav lineárních rovnic, a to Gaussovu eliminační metodu a Cramerovo pravidlo. 2.1 Teorie Již ze střední školy umíte řešit soustavu dvou lineárních rovnic ax + by = c, dx + ey = f pro neznámé x, y a nějaká daná reálná čísla a, b, c, d, e, /. Řešení se provádí metodou sčítací, dosazovací, porovnávací, nebo graficky. Podobně nás může zajímat hledání řešení soustavy 3 nebo více lineárních rovnic. Hledání řešení soustavy lineárních rovnic je základní úlohou lineární algebry. Soustava dvou rovnic má buď • právě jedno řešení, nebo • nekonečně mnoho řešení, nebo • žádné řešení. Stejně tak může u soustavy více rovnic nastat pouze jedna z těchto tří možností. Která z nich nastane? Na tuto otázku nám pomohou odpovědět pojmy matice a její hodnost. 2.1.1 Pojem matice Matice typu m/n je tabulka m ■ n čísel sestavená do m řádků a n sloupců. Označujeme ji A resp. Am/n ČÍ («ij): ^«12 «ln ^ «12 • • A = Amjn = (ciij) = «21 «22 • • «2n (2.1) \«ml «m2 «mn J Reálná čísla clíj, i = 1, m, j = 1, n, m, n e N nazýváme prvky matice. Je-li m = n, nazývá se matice A čtvercová matice a číslo n řád této matice. Je-li m =£ n, říkáme matici A obdélníková. Prvky «n, «22, «33, «jj leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky clíj, kde i = j. Prvky a,\n, «2,n-i, «3,n-2, ■■■ leží na tzv. vedlejší diagonále. Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála. 4 Příklad 2 1 3 2 je čtvercová matice řádu 2. Prvky 2, 2 tvoří hlavní diagonálu matice, prvky 1, 3 diagonálu vedlejší. Příklad / 2 1 5 -2 \ 3 6-1 1 15-2-2 je obdélníková matice typu 3/4. Prvky 2, 6, —2 tvoří hlavní diagonálu matice, prvky —2, —1, 5 diagonálu vedlejší. Matice Am/n, která má všechny prvky rovny nule, se nazývá nulová matice. Příklad o o 0 \ / o o a I jsou dvě různé nulové matice. 0 0 0 / \ 0 0 Čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a značí se E. Příklad Příkladem jednotkové matice může být třeba matice E ( 1 0 0 \ 0 1 o 0 0 1 2.1.2 Operace s maticemi Součinem matice A = (clíj) s konstantou k eW. nazveme matici C = (cý), kde Cij k • ciij. (2.2) Zapisujeme C = kA. Příklad Matici tedy vynásobíme konstantou tak, že každý její prvek vynásobíme danou konstantou: 2 1 5-2 3 6-1 1 6 3 15 -6 9 18 -3 3 5 Nechť A = (dij), B = (bij) jsou matice téhož typu m/n. Součtem matic A a, B nazveme matici C = (aj), kde Cij Q>ij + b^j (2.3) Zapisujeme C = A + B. Příklad Matice tedy sčítáme "po odpovídajících si prvcích": í2 -1 2 íl -2 1 ' 2+1 -1 + (-2) 2 + 1 ( 3 -3 3 \ 3 1 -2 + 0 1 3 = 3 + 0 1 + 1 -2 + 3 = 3 2 1 V 2 0 1 ) l2 4 1 ) v 2 + 2 0 + 4 1 + 1 ) l4 4 2 Pro sčítání matic a násobení matice konstantou platí asociativní, komutativní a distributivní zákon. Nechť A = (dij) je matice typu m/r, B = (bij) je matice typu r/n. Součinem matic A a, B (v tomto pořadí) nazveme matici C = (cý) typu typu m/n, kde Cij — Clil ' bij + Cli2 ■ b2j + • • • + Cl,ir ■ brj — ^ dik ■ frfc kj (2.4) pro všechna i = 1,m, j = 1,n. Zapisujeme C = AB (v tomto pořadí). Násobení matic je definováno pouze v případě, že první matice v součinu má stejný počet sloupců (r) jako má druhá matice počet řádků. Při násobení matic je důležité jejich pořadí, obecně AB # BA. Navíc může nastat i situace, že součin AB je definovaný (matice jsou vhodného typu), zatímco součin BA vůbec definovaný není. Ale i v případě, kdy jsou oba součiny AB i BA definovány (tzn. A, B jsou čtvercové matice stejného řádu), neznamená to, že AB = BA. Příklad Matice A a B podle (2.4) násobíme tak, že prvek Cíj, který je ve výsledné matici C umístěn na i-tém řádku a j-tém sloupci, dostaneme tak, že vezmeme i-tý řádek matice A a j-tý sloupec matice B, vynásobíme odpovídající si prvky v tomto řádku a sloupci a tyto součiny sečteme. Celý postup by měl být jasný z následujícího příkladu: V -1 3 2 \ 1 1 0 3-12 3 • (-1) + 0 • 1 + 1 • 3 3-3 + 0-1 + 1-(-1) 3-2 + 0-0 + 1-2 5-(-1)+ 4-1 + 2-3 5 -3 + 4-1 + 2 • (-1) 5-2 + 4-0 + 2-2 5 17 14 6 Matice A = ((%■) typu m/n a matice B = (bij) je matice typu p/q jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu (tj. m = p a n = q) a jestliže jsou si rovny všechny odpovídající si prvky těchto matic, tj. a>ij = hj (2.5) pro každé i, j. Zapisujeme A = B. Příklad /1 2 y .. (1 2, Matice A = | je rovna matici B = | právě tehdy když x=3. 3 4/ \ x 4 2.1.3 Hodnost matice Hodnost matice je důležitým pojmem pro určení počtu řešení soustavy lineárních rovnic. Abychom tento pojem pochopili, musíme si nejprve zopakovat pojmy lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů. Nechť üi, ü2, ■ ■ ■, un je konečná posloupnost vektorů z W1 a k±, &2,..., kn e M. Vektor n v = ki ■ üi + k2 ■ u2 +----h kn ■ un = ^ ki ■ üi (2.6) i = l nazýváme lineární kombinací vektorů ül7ü2 í i • • • i • Vektory ui, u2, ■ ■ ■, un nazýváme lineárně nezávislé (LN), jestliže z rovnosti ki ■ ui + k2 ■ u2 + ■ ■ ■ + kn ■ un = o (2.7) plyne k1 = k2 = ■■■ = kn = 0. (2.8) V opačném případě řekneme, že vektory jsou lineárně závislé. Vidíme, že pojem lineární závislost je opakem pojmu lineární nezávislosti. Co to přesně znamená? Vektory u\,u2,... ,un jsou lineárně závislé (LZ), jestliže platí k\ ■ u\ + k2 ■ u2 + ■ ■ ■ + kn ■ un = o a alespoň jedno h # 0. (2.9) V praktických případech nám pomůže k určení lineární závislosti následující věta. Vektory u\, u2,..., un (pro n > 1) jsou lineárně závislé, je-li aspoň jeden z nich lineární kombinací zbývajících vektorů.2 2Stačí si uvědomit, že pokud jsou vektory LZ, musí ve vektorové rovnici k\ ■ u\ + ki ■ U2 + ■ ■ ■ + k„ ■ u„ — o existovat nenulové fcj. Příslušný vektor Ui pak můžeme z rovnice vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících vektoru: Ui —--■ u\ H---■ u2 + ■ ■ ■ H---■ u„. ki k^ ki 7 Z této věty přímo plyne, že vektory u\, U2,... ,un jsou lineárně závislé např. pokud • jeden z vektorů je násobkem jiného vektoru, • jsou mezi nimi dva vektory stejné, • je mezi nimi alespoň jeden vektor nulový. Jak ale určíme v obecném případě, kolik ze zadaných vektorů může být lineárně závislých/nezávislých? K tomu nám pomůže pojem hodnost matice. Řádky matice totiž můžeme chápat jako vektory. Místo lineární ne/závislosti vektorů pak v případě matic mluvíme o lineární ne/závislosti řádků matice. Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h{A). A jsme u klíčové otázky: Jak určíme hodnost matice? 1. Pomocí tzv. ekvivalentních úprav převedeme matici do tzv. schodovitého tvaru. Řekneme, že matice a je ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející. Příklad Mějme dvě matice: / 2 1 0 A = 0 3 1 0 0-2 a B = 0 1 -2 -2\ 5 2 J Matice A je ve schodovitém tvaru (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly). Matice B ve schodovitém tvaru není, protože 2. a 3. řádek začínají stejným počtem nul. Hodnost matice B, která vznikne z matice A některou z následujících úprav: a) záměnou řádků, b) vynásobením libovolného řádku nenulovým číslem, c) přičtením některého řádku, nebo jeho násobku, k jinému řádku, d) vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků,3 je rovna hodnosti matice A. Vyjmenované úpravy nazýváme ekvivalentními úpravami a zapisujeme A ~ B.4 2. Hodnost původní matice určíme z hodnosti matice ve schodovitém tvaru podle následující věty. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. 3Možnost d - vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků může např. znamenat vynechání řádku složeného ze samých nul, resp. vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo který je násobkem jiného řádku. Tyto úpravy však pro samotné určení hodnosti matice není nutné provádět. Stačí převést kterýkoli z těchto řádků na řádek sestávající se ze samých nul, který se do hodnosti matice nezapočítává. 4Někdy se též tyto úpravy nazývají jako elementární řádkové úpravy. 8 Příklad Mějme dvě matice: ( A = V 2 1 O 3 O O a B = ) \ ) Matice A je ve schodovitém tvaru (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly). Obsahuje 3 nenulové řádky, a proto h(A) = 3. Matice B ve schodovitém tvaru není, protože 2. a 3. řádek začínají stejným počtem nul. Proto je třeba tuto matici nejdříve do schodovitého tvaru převést. Toho dosáhneme např. tak, že 2. řádek vynásobíme číslem (-3) a přičteme ho k třetímu řádku: ( 2 1 0 -2\ ( 2 1 0 -2\ B = 0 1 1 5 - 0 1 1 5 1° 3 -2 2) v° 0 -5 -13 ) Matici B jsme převedli do schodovitého tvaru, ve kterém jsou 3 nenulové řádky. Proto h{B) = 3. 2.1.4 Determinant matice Uvažujme čtvercovou matici A řádu n. Ke každé takové matici přiřadíme jistým způsobem číslo, které nazveme determinantem matice A. Determinant matice se hodí např. k řešení soustav rovnic. V následující definici se omezíme jen na matice řádu 2 a 3, i když samozřejmě existuje obecná definice i pro matice řádu n. Buď A čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je číslo \ A\ přiřazené matici následujícím způsobem: a) je-li n = 2: 1-4.1 = «11 «12 = ana22 — «12«21 (2-10) «21 «22 tzv. křížové pravidlo, b) je-li n = 3: «11 «12 «13 \A\ = «21 «22 «23 — «11«22«33 + «12«23«31 +«13«21«32 ~«13«22«31 — «11«23«32 ~«12«21«33 «31 «32 «33 (2.11) - tzv. Sarussovo pravidlo. Zapamatovat si vzorec pro výpočet determinantu matic řádu 2 není žádný problém. Pro matice řádu 3 se vyplatí uplatnit následující pomůcku: vedle zadaného determinantu opište znovu jeho 1. a 2. sloupec. Cleny determinantu s kladným znaménkem dostanete vynásobením prvků matice na hlavní diagonále a diagonálách s ní rovnoběžných, členy determinantu se zápor- 9 ným znaménkem dostanete vynásobením prvků matice na vedlejší diagonále a diagonálách s ní rovnoběžných: «n »12 »13 «11 »12 1-4.1 = «21 C*22 a23 «21 «22 «31 a-32 a33 «31 a32 — «11«22«33 + «12«23«31 + «13«21«32 ~ «13«22«31 — «11«23«32 ~ «12«21«33- 2.1.5 Soustavy lineárních rovnic Již ze střední školy umíte řešit soustavy (systémy) dvou lineárních rovnic o dvou neznámých (viz úvod k maticím). Nyní budeme uvažovat o řešení obecné soustavy m lineárních rovnic. Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x\, x2, ■ ■ ■, xn nazýváme soustavu rovnic anxi + aí2x2 + ■■■ + ainxn = b\ (2-12) a21xl + «22^2 + ' ' ' + d2nXn = ^2 am\x\ + am2x2 +----h amnxn = bm. Reálné číslo clíj, i = l,...,m,j = 1, ...,n,m,n e N nazýváme koeficient (v i-té rovnici u j-té neznámé), reálné číslo bi nazýváme absolutní člen í-té rovnice. Řešením soustavy rovnic (2.12) je každá uspořádaná n-tice reálných čísel (ki, k2, ■ ■ ■, kn), která dané soustavě vyhovuje, tj. po dosazení čísel k j za neznámé x j (j = l,...,n) do všech rovnic soustavy jsou všechny tyto rovnice splněny. Protože pro řešení soustav rovnic jsou podstatné pouze jednotlivé koeficienty, zavedeme následující definice, které nám umožní zapisovat soustavu (2.12) zjednodušeně. Matici ^ «11 «12 ai „ \ A - «21 «22 ■ ■ «2 n (2.13) \ «ml «m2 nazýváme maticí soustavy (2.12) Matici «11 «12 Gin bi \ A = «21 «22 b2 (2.14) l äml «m2 bm ) nazýváme rozšířenou maticí soustavy (2.12). 10 Poznámka. Označíme-li X seně v maticovém tvaru x2 a B ( h \ b2 V xn J \ bm J AX = B můžeme soustavu (2.12) zapsat zjednodu- (2.15) Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých AX = B má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = h(A). (2.16) Gaussova eliminační metoda Řešení soustavy m lineárních rovnic o n neznámých pomocí tzv. Gaussovy eliminační metody spočívá v tom, že soustavu rovnic nahrazujeme postupně jinými soustavami, které mají stejnou množinu řešení. Toto provádíme tak dlouho, dokud nedojdeme k soustavě, kterou umíme vyřešit. Při řešení postupujeme takto: 1. Zapíšeme rozšířenou matici zadané soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar. 2. Na základě Frobeniovy věty určíme, zda je soustava řešitelná a s pomocí následující věty určíme počet jejích řešení. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých AX = B a) nemá žádné řešení, pokud hodnost matice soustavy není rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. pokud h(A) # h(Á). (2.17) b) má právě jedno řešení, pokud hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je rovna počtu neznámých, tj. pokud h(A) = h(Ä) = n. (2.18) c) má nekonečně mnoho řešení, pokud hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je tato hodnost menší než počet neznámých, tj. pokud h(A) = h(I) < n. (2.19) Tato řešení lze vyjádřit pomocí n—h(A) tzv. volných neznámých - neznámých, za které můžeme volit libovolná čísla. 3. Pokud je soustava řešitelná (tj. pokud nastane jeden z případů 6 či c), vypočítáme postupně jednotlivé neznámé z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. Platí-li v soustavě (2.12) bi = b2 = ■ ■ ■ = bm = 0, nazývá se soustava (2.12) homogenní. 11 Homogenní soustava rovnic má vždy řešení. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x\ = 0, X2 = 0,..., xn = 0, tj. (xi, X2, ■ ■ ■, xn) = (0, 0,..., 0) je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo lze použít pro řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých. Tj. takových soustav, v nichž je počet neznámých roven počtu zadaných rovnic. My si uvedeme toto pravidlo v zjednodušené podobě - pro soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Cramerovo pravidlo: Nechť AX = B je soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých anx + ai2y + a,i3z = b\ a2ix + a22y + «23^ = h a3íx + a32y + a33z = b3. Nechť determinant matice této soustavy je různý od nuly, tj. \A\ # 0, \A\ = (2.20) «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 Nechť Aj je matice, která vznikla z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem absolutních členů rovnic, j = 1, 2, 3. Pro determinanty matic Aj tedy platí: l^i| = bl «12 «13 62 «22 «23 63 «32 «33 \M\ = «11 bi ai3 «21 &2 «23 «31 ^3 «33 «n «12 bi «21 «22 ^2 «31 «32 &3 Pak soustava má jediné řešení (x, y, z) přičemž platí: \A\ \A\ \A\ (2.21) Je-li jAj = 0, pak tato soustavu buď nemá řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení. 2.2 Řešené příklady 2.2.1 Operace s maticemi Příklad 4. Vypočtěte součin matic: Řešení. Připomeňme, že násobení matic je definováno (podle (2.4)) pouze v případě, že první z matic má tolik sloupců, jako druhá řádků. V našem případě je součin definován a platí, že např. prvek na místě 1,1 v nové matici získáme vynásobením prvků 1. řádku matice A prvky 1. sloupce 12 matice B - a tyto součiny sečteme: 2 • 1 + 1 • 1 2 • (-1) + 1-1 3-1 + 2-1 3 • (-1) + 2-1 Příklad 5. Vypočtěte součin matic: ( 1 2 3 \ / -1 -2 2 4 6 3 6 9 -1 -2 -4 1 2 4 -4\ Řešení. Matice vynásobíme podle vzorce (2.4): 2 3 4 6 6 9 -1 -2 -4 -1 -2 -4 1 2 4 \ 1 -2 + 3 -2-4 + 6 -4 -8 + 12 2 -4 + 6 -4-8+12 -8- -16 + 24 3 -6 + 9 -6-12 + 18 -12 -24 + 36 v / o o o \ 0 0 0 0 0 0 Výsledkem je tedy nulová matice. Příklad 6. Vypočtěte AB - BA, je li ( 1 2 1 \ ( 4 1 1 \ A = 2 1 2 1 2 3 -4 2 0 1 2 1 Řešení. Nejdříve vypočteme součiny matic (podle (2.4)): AB = BA = 1 2 1 2 1 2 1 2 3 y 4 1 1 -4 2 0 1 2 1 4 1 1 -4 2 0 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4-8+1 1+4+2 1+0+1 8-4+2 2+2+4 2+0+2 4-8+3 1+4+6 1+0+3 4+2+1 8+1+2 4+2+3 -4 + 4 + 0 -8 + 2 + 0 -4 + 4 + 0 1 + 4+1 2 + 2 + 2 1 + 4 + 3 -3 7 2 \ 6 8 4 -1 11 4 ' 7 11 9 0-6 0 6 6 8 A nyní vypočtené matice odečteme (podle (2.3)): AB — BA ( -3 7 2 6 8 4 -1 11 4 (7 n ( -10 -4 -7\ 0 -6 0 = 6 14 4 V 6 6 8 ) \ -7 5 -4 ) 13 Příklad 7. Vypočtěte f (Ä), je li f (x) = x2 - bx + 3 a A = Řešení Naším úkolem je najít funkční hodnotu zadané funkce / v bodě A, přičemž tímto bodem je zadaná matice A. Funkční hodnotu v bodě zjistíme klasicky dosazením tohoto bodu do předpisu funkce, tj. dosazením x = A do f (x). Místo čísla 3 zapíšeme do maticové rovnice 3E: f (A) = AA-5A + 3E. 2-1 Do získaného předpisu dosadíme zadanou matici A = | |. Protože sčítání matic -3 3 je (podle (2.3)) definováno jen pro matice stejného typu, musí být E řádu 2, tj. dosadíme E 1 0 0 1 f{A) Součin matic AA vypočítáme podle (2.4), součiny 5A a 3E podle (2.2) a takto vypočtené matice sečteme resp. odečteme podle (2.3): - , , 10 -5 \ / 3 0 \ / 0 0 -15 15 / \ 0 3 / \ 0 0 2.2.2 Hodnost matice Příklad 8. Určete hodnost matice A = V -5 -7 -8 1 -1 3\ 2 7 -5 6 / Řešení Zadanou matici převedeme do schodovitého tvaru. Toho dosáhneme např. tak, že první řádek matice opíšeme a zbývající řádky upravíme pomocí ekvivalentních úprav tak, abychom pod prvkem au = 4 měli samé nuly. Vynásobíme 1. řádek číslem (-2) a přičteme ho k 2. řádku, pak vynásobíme 1. řádek číslem (-1) a přičteme ho k 3. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem (-1) a přičteme ho k 4. řádku a nakonec vynásobíme 1. řádek číslem (-2) a přičteme ho k 3. řádku: 3\ 2 7 -5 6 / 0 o o V° 3\ -4 4 -8 -12 14 Shodou okolností se nám objevily samé nuly i pod prvkem a^i = 0. Všechny řádky od druhého počínaje začínají dvěma nulami — 1. a 2. řádek opíšeme a pomocí ekvivalentních úprav se pokusíme získat samé nuly pod prvkem a^z = 3. Nejdříve 2. řádek přičteme k 3. řádku, dále 2. řádek vynásobíme číslem (-2) a přičteme k 4. řádku a nakonec 2. řádek vynásobíme číslem (-3) a přičteme k 5. řádku: 4 3 -5 2 3 \ / 4 3 -5 2 3 \ 0 0 3 0 -4 0 0 3 0 -4 0 0 -3 0 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0 -8 0 0 0 0 0 v 0 0 9 0 -12 7 V 0 0 0 0 0 7 Tím se nám povedlo převést matici do schodovitého tvaru. V této matici jsou dva nenulové řádky, a proto hodnost zadané matice je dva: h(A) = 2. Příklad 9. Určete hodnost matice A V 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 7 Řešení Zadanou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav do schodovitého tvaru. První řádek začíná nulou - bude vhodnější ho umístit jako 2. řádek. Jako první řádek bude nejvýhodnější umístit 4. řádek začínající číslem 1 - jeho násobením čísly (-4) a (-10) a přičítáním k 2. a 3. řádku snadno vytvoříme samé nuly pod prvkem au: 0 4 10 1 \ / 1 7 17 3 \ 4 8 18 7 0 4 10 1 10 18 40 17 0 -20 -50 -5 v 1 7 17 3 7 V 0 -52 -130 -13 7 3. a 4. řádek matice zjednodušíme, aby se nám s nimi lépe počítalo. 3. řádek vydělíme číslem 4, 4. řádek vydělíme číslem 13: 1 7 17 0 4 10 0 -20 -50 v 0 -52 -130 3 1 -5 -13 \ 1 7 17 3 \ 0 4 10 1 0 -4 -10 -1 v 0 -4 -10 -1 7 Nyní vytvoříme samé nuly i pod prvkem = 4 - stačí 1. a 2. řádek opsat a 2. řádek 15 přičíst k 3. a 4. řádku: 1 7 17 0 4 10 0 -4 -10 v 0 -4 -10 3\ 1 -1 -1 1 7 17 3 \ 0 4 10 1 0 0 0 0 v 0 0 0 0 / Tím se nám povedlo převést matici do schodovitého tvaru. V této matici jsou dva nenulové řádky, a proto hodnost zadané matice je dva: h(A) = 2. 2.2.3 Determinant matice Příklad 10. Vypočtěte determinant: a) b) c) 5 2 7 3 cos a — sm a sin a cos a 1 1 1 1 2 3 1 3 6 Řešení. a) Zadaný determinant vypočteme pomocí křížového pravidla (2.10): 5 2 7 3 = 5-3-2-7 = 15-14= 1. b) Zadaný determinant je opět řádu 2 - použijeme také křížové pravidlo (2.10): cos a — sin a sm a cos a cos a — (— sin a) = cos a + sin a = 1. c) Zadaný determinant je řádu 3 - použijeme také Sarussovo pravidlo (2.11). Pro snadnější výpočet využijeme pomůcky - opsání prvních dvou sloupců determinantu (viz vysvětlení pod de- finicí determinantu): 1 1 1 1 2 3 1 3 6 1 1 1 2 = 1-2-6+1-3-1 + 1-1-3-1-2-1-1-3-3-1-1-6 = 1 3 12 + 3 + 3- 2- 9- 6= 18-17= 1. 16 2.2.4 Soustavy lineárních rovnic Příklad 11. Řešte soustavu lineárních rovnic: — 2x2 + x3 + x4 — x5 = 0 + x2 - x3 - x4 + x5 = 0 X\ + 7x2 - 5x3 - 5x4 + 5x5 = 0 3xi — x2 - 2x3 + x4 — x5 = 0 Řešení Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar. První řádek opíšeme a poté jej postupně vynásobíme čísly (-2), (-1) a (-3) a tyto násobky postupně přičteme k 2., 3. a 4. řádku: íl 1 1 -1 -1 -5 -5 -2 1 \ íl ) třetí řádek zjednodušíme vydělíme ho číslem 3: (l-2 1 1 0 5-3-3 0 3-2-2 0 5-5-2 V a třetí řádek prohodíme s druhým řádkem: íl 2 1 1 -2 -2 -3 -3 -5 -2 1 1 -3 -3 -6 -6 0 o o \ Abychom vytvořili pod prvkem a22 = 3 samé nuly, mohli bychom 2. řádek vynásobit číslem (Ťp) a přičíst k 3. a 4. řádku. To bychom však museli sčítat zlomky. Druhou možností je vynásobit 2. řádek číslem (—5) a přičíst ho k trojnásobku 3. a 4. řádku. Abychom se nespletli, můžeme provést výpočet ve dvou krocích - nejdříve vynásobit 3. a 4. řádek číslem 3 a poté k nim přičíst (—5)-násobek 2. řádku: íl -2 1 1 -1 0 \ íl -2 1 1 -1 o\ 0 3 -2 -2 2 0 0 3 -2 -2 2 0 0 15 -9 -9 9 0 0 0 1 1 -1 0 15 -15 -6 6 0 / 0 -5 4 -4 17 a nakonec 3. řádek vynásobíme číslem 5 a přičteme ho ke 4. řádku: íl -2 0 3 0 0 y o o i -i -2 2 1 -1 9 -9 o\ 0 o o Vidíme, že hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = h(A) = 4. Podle Frobeniovy věty to tedy znamená, že soustava má řešení. Zadaná soustava má 5 neznámých (n = 5), a protože h{A) < n, bude mít nekonečně mnoho řešení. Zvolíme n — h(A), tj. 1 volnou neznámou. Nechť x$ = t; t e R. Ze 4. řádku upravené matice dostáváme rovnici: 9aľ4 — 9x5 = 0 9x4 - 9í = 0. X4 = t Ze 3. řádku upravené matice dostáváme rovnici: X3 + X4 — X5 = 0 x3 + t - t = 0. x3 = 0 Ze 2. řádku upravené matice dostáváme rovnici: 3x2 — 2x3 — 2x4 + 2x5 = 0 3x2 - 0 - 2t + 2t = 0. x2 = 0 Z 1. řádku upravené matice dostáváme rovnici: xi — 2x2 + X3 + X4 — X5 = 0 X!-0 + 0 + í- í = 0. xi = 0 Zkoumaná soustava má nekonečně mnoho řešení tvaru (0, 0, 0, í, í); t e Příklad 12. Řešte soustavu lineárních rovnic: Xl + x2 - 3x3 = -1 2xi + x2 - 2x3 = 1 Xi + x2 + x3 = 3 Xl + 2x2 - 3x3 = 1 18 Řešení Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar. První řádek opíšeme a poté jej postupně vynásobíme čísly (-2), (-1) a (-1) a tyto násobky postupně přičteme k 2., 3. a 4. řádku. Analogicky budeme postupovat v dalších krocích: 1 1 -3 -1 \ (l 1 -3 -1 \ (l 1 -3 -l\ /l 1 -3 -1 \ 2 1 -2 1 0 -1 4 3 0 -1 4 3 0 -1 4 3 1 1 1 3 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 4 4 v 1 2 -3 1 / v° 1 0 2 / v° 0 4 57 v° 0 0 1 / Vidíme, že hodnost matice soustavy není rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = 3 ¥= h(A) = 4. Podle Frobeniovy věty to tedy znamená, že soustava nemá řešení. Příklad 13. Řešte soustavu lineárních rovnic: + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11 2xi + 3x2 + 4x3 + X4 = 12 3aľ! + 4x2 + lx3 + 2x4 = 13 4xi + x2 + 2x3 + 3x4 = 14 Řešení. Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar - analogicky, jako v předchozích dvou příkladech: 1 2 3 4 11 \ / 1 2 3 4 11 / i 2 3 4 11 ) 2 3 4 1 12 0 - 1 -2 -7 - 10 0 1 2 7 10 3 4 1 2 13 0 2 -8 -10 - 20 0 2 8 10 20 v 4 1 2 3 14 J l 0 7 -10 -13 - 30 ) V 0 7 10 13 30 j í l 2 3 4 11 \ / 1 2 3 4 11 \ / 1 2 3 4 11 \ 0 1 2 7 10 0 1 2 7 10 0 1 2 7 10 0 0 4 -4 0 0 0 4 -4 0 0 0 1 - 1 0 1° 0 -4 -36 -40 ) l 0 0 0 -40 40 / l 0 0 0 1 1 / Vidíme, že hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = h(A) = 4. Podle Frobeniovy věty to tedy znamená, že soustava má řešení. Zadaná soustava má 4 neznámé (n = 4), a protože h{A) = n, bude mít právě jedno řešení. Ze 4. řádku upravené matice dostáváme rovnici: X4 = 1. Ze 3. řádku upravenématice dostáváme rovnici: X3 — X4 = 0 x3 - 1 = 0. x3 = 1 19 Ze 2. řádku upravené matice dostáváme rovnici: x2 + 2x3 + 7x4 = 10 X2 + 2 + 7 = 10. X2 = 1 Z 1. řádku upravené matice dostáváme rovnici: x\ + 2x2 + 3aľ3 + 4x4 = 11. xi+ 2 + 3 + 4 = 11 x1 = 2 Zkoumaná soustava má právě jedno řešení (2,1,1,1). Příklad 14. Reste soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla: —3x + y + z = 1 x — 3y + z = 1 ■ x + y — 3z = 1 Řešení. Nejprve vypočteme determinant matice A: -3 1 1 \A\= 1 -3 1 1 1 -3 -27+1 + 1 + 3 + 3 + 3 = -16. Vypočtený determinant je různý od nuly, a proto bude mít soustava jediné řešení, které určíme podle Cramerova pravidla. Kdyby se vypočtený determinant rovnal nule, nemohli bychom o počtu řešení rozhodnout a soustavu bychom řešili Gaussovou eliminační metodou. Abychom mohli Cramerovo pravidlo uplatnit, vypočteme determinanty |-Ai|, |A2|, \As\: h «12 «13 1 1 1 \Ai\ = «22 «23 = 1 -3 1 =9+1+1+3-1+3= 16 «32 «33 1 1 -3 «ii bi «13 -3 1 1 \M = «21 b2 «23 = 1 1 1 =9+1+1-1+3+3= 16 «31 «33 1 1 -3 «11 «12 bi -3 1 1 \M = «21 «22 b2 = 1 -3 1 =9+1+1+3+3-1= 16. «31 «32 1 1 1 Dostáváme tak: \Ai\ \A\ \A\ -1, z -1, v Zkoumaná soustava má právě jedno řešení (—1, —1, —1) \A\ -1. 20 2.3 Příklady k procvičení 2.3.1 Operace s maticemi 1. Vypočítejte 2A — 3B pro matice: A = Í2 3\ 1 -1 V° 5 J a B 2 3 -4 2. Vypočítejte AB a £M pro matice: A = I | a £? 1 2 5 3. Vypočítejte AB a BA pro matice: A 3 2 1 -1 a B = 4. Vypočítejte B2 pro matici B 4 2 2 0 6 6 8 -4 -2 5. Vypočítejte A + B, 2A a 3£? — A pro matice: , 1 2 \ /Ol a) A = \ a B = -13/ \ 2 -1 b) A = / 5 1 -2 \ 7 1 -3 3 2 0 a B ( 3 2 1 \ 2 2 1 1 3 3 6. Nalezněte matici C = A2 + A + E, je-li A í-2 1 l\ 1 2 1 1 1 2 Výsledky ŕ -2 3\ V 2. AS 1 -5 1 19 B.A = ( 0 1 14 \ 3 5 1 3 6 15 21 3. A.B - součin není definován, B.A = Í5 5\ 3 2 y 5 io y 4. B2 = B.B 5. a) A + B = b) A + B f 32 12 16 \ 48 12 24 16 0 -4 1 3 \ / 2 4 2A = I I, 3B - A = 1 2 8 3-1 9 3-2 4 5 3 ( 9 6 6 \ 6 9 6 6 6 9 2A- -2 6 / 10 2 -4 \ 14 2 -6 6 4 0 2.3.2 Hodnost matice Určete hodnost matice A: /ž y r\ 3 7 2 1 3 2 1 4 7 a) A V c) A ) 1 0 3 -2 1 0 -1 1 3 -12 9 b) A- 2 1 1 V1 2 d) A 1 -3 -1 \ 1 -2 1 /l 1 ) -1 0 0 1 1 -2 1 -1 1 0 Výsledky i) h(A) = 3, b) h(A) = 4, c) h(A) = 2, d) h(A) = 3 2.3.3 Determinant matice 1. Vypočtěte determinant: 22 1 7 4 1 2 3 a) 3 2 0 , b) 2 1 3 6 5 0 1 4 5 c) 1 + V3 3-V5 3 + V5 1-V3 2. Vypočtěte determinant a vyřešte algebraickou rovnici: a) 9-x 12 12 16 -x 0, b) 5 — x 2 2 — x d) a + 1 a a a — 1 e) 3 0 3 3 3 0 0 3 3 Výsledky 1. a) 12, b) 0, c) -6, d) -1, e) 54 2. a) xi = 0, x2 = 25, b) x\ = 4, x2 = 9 2.3.4 Soustavy lineárních rovnic 1. Řešte nehomogenní soustavu lineárních rovnic: 2xi + x2 + x3 = 2 a) Xi Xi + + 3x2 x2 + + x3 5x3 5 •t -7 2xi + 3x2 - 3x3 = 14 Xi - 2x2 + 2x3 -9 b) 3xi + 5x2 + 4x3 10 5xi + 12x2 + 6x3 29 3xi + 2x2 = 12 c) 5xi + 4x2 + x3 = 27 , Xi + 2x2 + 5x3 = 33 Xi - 3x2 - 4x3 - 2x4 = 3 d) 2xi 2xi — 2x2 3x2 — 2x3 3x3 — x4 2x4 = 0 1 3xi - 4x2 - 3x3 - 2x4 = 2 2xi + x2 - x3 + x4 = 2 e) 2xi 3xi — x2 + + 2x3 x3 _ x4 = 2 2 2xi + x2 - x3 = 1 3xi - 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2 f) 7xi - 4x2 + x3 + 3x4 = 5 •t 5xi + 7x2 — 4x3 — 6x4 = 3 23 2xi — X2 + x% — 2x4 = ~2 —3xi — 2x2 + 2x3 — 2x4 = —18 g) xi + x2 — x3 + 2x4 = 8 —2xi — X2 + X3 = —10 2xi — X2 — X3 + 3x4 = 1 2xi — X2 + 2x3 — 12^4 = 10 h) 4xi — 3x2 — x3 + X4 = 5 6x1 — 3^2 — X3 — X4 = 9 2. Reste homogenní soustavu lineárních rovnic: xi + X2 + x3 + X4 = 0 x\ + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 a) xi + 3x2 + 6x3 + IOX4 = 0 xi + 4x2 + 10x3 + 20x4 = 0 xi + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 Xl + X2 + 2x3 + 3x4 = 0 b) xi + 5x2 + X3 + 2x4 = 0 xi + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 0 xi — 2x2 + 2:3 + X4 — X5 = 0 2xi + X2 — X3 — X4 + X5 = 0 c) xi + 7x2 — 5x3 — 5x4 + 5x5 = 0 3xi — X2 — 2x3 + X4 — X5 = 0 3. Za využití Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic: 2xi + 3x2 + 2x3 = 9 a) xi + 2x2 - 3x3 = 14 , 3xi + 4x2 + X3 = 16 Xi + X2 — X3 = —2 b) xi - 4x2 + 2x3 = -1 , xi — x2 + x3 = 0 2xi + 5x2 — 2x3 = 4 c) 2xi + x2 = 2 ■ 3xi — X2 + 4x3 = ~ 1 Výsledky 1. Nehomogenní soustavy lineárních rovnic: 24 a) x\ = 1, x2 = 2, X3 = —2 b) xi = -25±p; X2 = 37_t2t ^ x3 = t kde ťet c) x\ = 2, X2 = 3, X3 = 5 d) X! = O, x2 = —3, x3 = 2, X4 = 2 e) x\ = O, X2 = 4, X3 = 3, X4 = 1 f) soustava nemá řešení g) x\ = 2, X2 = 6 + í, X3 = t, X4 = 0, kde ťe I h) xi = 2 + t, X2 = 0, X3 = 3 + 5í, X4 = t, kde ťet 2. Homogenní soustavy lineárních rovnic: a) x\ = X2 = x% = X4 = 0 b) xi = X2 = X3 = X4 = 0 c) xi = X2 = X3 = 0, X4 = X5 = í, kde ťe I 3. Cramerovo pravidlo: a) xi = 2, X2 = 3, X3 = —2 b) X! = —1, x2 = 1, x3 = 2 c) Xi = 1, X2 = 0, X3 = —1 25