Co všechno lze spočítat
jednoduchým integrálem
Poznámka: Ve všech případech uvažujeme funkci f(x) definovanou, nezápornou
a spojitou na [a, b]. Všechny vztahy pro geometrické a fyzikální charakteristiky
můžeme použít i pro obecnější případ, kdy bude obrazec omezen
opět přímkami x = a, x = b a grafem funkce f(x), místo přímky y = 0 však
další omezení zajistí graf jiné funkce, řekněme y = g(x) (g(x) ≤ f(x) na [a, b]).
Postupovat budeme tak, že vypočteme příslušnou charakteristiku pro obrazec
omezený přímkami x = a, x = b, y = 0 a grafem funkce f(x), poté odpovídající
charakteristiku pro obrazec omezený přímkami x = a, x = b, y = 0 a grafem
funkce g(x), a výsledky odečteme. Všechny uvažované charakteristiky jsou totiž
ADITIVNÍ!
• Plocha obrazce ohraničeného grafem f(x) a přímkami x = a, x = b, y = 0:
P =
b
a
f(x) dx.
• Hmotnost obrazce ohraničeného grafem funkce f(x) a přímkami x = a,
x = b, y = 0, který má plošnou hustotu σ(x) závislou pouze na proměnné x:
µ =
b
a
σ(x) f(x) dx.
• Poloha těžiště obrazce ohraničeného grafem funkce f(x) a přímkami x = a,
x = b, y = 0, který má plošnou hustotu σ(x) závislou pouze na proměnné x:
xT =
1
µ
b
a
σ(x)xf(x) dx, yT =
1
µ
b
a
1
2
σ(x)f2
(x) dx.
• Momenty setrvačnosti obrazce ohraničeného grafem funkce f(x) a přímkami
x = a, x = b, y = 0, který má plošnou hustotu σ(x) závislou pouze na
proměnné x:
Jx =
1
3
b
a
σ(x) f3
(x) dx, Jy =
b
a
σ(x) x2
f(x) dx.
• Objem tělesa, které vnikne rotací obrazce omezeného grafem f(x) a přímkami
x = a, x = b, y = 0 kolem osy x:
V =
b
a
πf2
(x) dx.
• Hmotnost tělesa, které vnikne rotací obrazce omezeného grafem f(x) a
přímkami x = a, x = b, y = 0 kolem osy x a jehož hustota ̺(x) je funkcí pouze
proměnné x:
µ =
b
a
π̺(x)f2
(x) dx.
• Poloha těžiště tělesa, které vnikne rotací obrazce omezeného grafem f(x)
a přímkami x = a, x = b, y = 0 kolem osy x a jehož hustota ̺(x) je funkcí
pouze proměnné x:
rT =

 1
µ
b
a
π̺(x) x f2
(x) dx, 0, 0

 .
• Moment setrvačnosti (vzhledem k ose symetrie) tělesa, které vnikne rotací
obrazce omezeného grafem f(x) a přímkami x = a, x = b, y = 0 kolem osy x a
jehož hustota ̺(x) je funkcí pouze proměnné x:
Jx =
1
2
π
b
a
̺(x) f4
(x) dx.
• Plocha pláště, který vznikne rotací oblouku grafu funkce f(x) mezi body
[a, f(a)] a [b, f(b)] kolem osy x:
S = 2π
b
a
f(x) 1 + f′(x)
2
dx.
• Hmotnost pláště, který vznikne rotací oblouku grafu funkce f(x) mezi
body [a, f(a)] a [b, f(b)] kolem osy x a který má plošnou hustotu σ(x) závislou
pouze na proměnné x:
µ = 2π
b
a
σ(x) f(x) 1 + f′(x)
2
dx.
• Poloha těžiště pláště, který vznikne rotací oblouku grafu funkce f(x) mezi
body [a, f(a)] a [b, f(b)] kolem osy x a který má plošnou hustotu σ(x) závislou
pouze na proměnné x:
rT =
1
µ

2π
b
a
x σ(x) f(x) 1 + f′(x)
2
dx, 0, 0

 .
• Moment setrvačnosti pláště, který vznikne rotací oblouku grafu funkce
f(x) mezi body [a, f(a)] a [b, f(b)] kolem osy x a který má plošnou hustotu σ(x)
závislou pouze na proměnné x, vzhledem k ose symetrie:
Jx = 2π
b
a
σ(x) f3
(x) 1 + f′(x)
2
dx.
Poznámka: Dále uvažujeme, že x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] je
hladká (tj. všechny tři funkce jsou spojité i se svou první derivací) parametrizace
oblouku, který protíná sám sebe nejvýše v konečně mnoha bodech.
• Délka oblouku:
L =
b
a
x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt
• Hmotnost oblouku s lineární hustotou λ(x(t), y(t), z(t)):
µ =
b
a
λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt.
• Poloha těžiště oblouku s lineární hustotou λ(x(t), y(t), z(t)):
xT =
1
µ
b
a
x(t) λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt ,
yT =
1
µ
b
a
y(t) λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt,
zT =
1
µ
b
a
z(t) λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt .
• Momenty setrvačnosti oblouku s lineární hustotou λ(x(t), y(t), z(t)):
Jx =
b
a
y2
(t) + z2
(t) λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt,
Jy =
b
a
x2
(t) + z2
(t) λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt,
Jz =
b
a
x2
(t) + y2
(t) λ x(t), y(t), z(t) x′(t)
2
+ y′(t)
2
+ z′(t)
2
dt.