Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části • Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část — písemku a teoretickou část — test. Písemka trvá 90 minut a je v ní obsaženo pět příkladů větší obtížnosti. Test trvá 60 minut, obsahuje deset jednodušších otázek, zaměřených na znalosti základních pojmů a metod. Při písemné části není dovoleno používat literaturu, je však povoleno použít tahák vlastní výroby do velikosti formátu A4. (Použití lupy a mikroskopu není dovoleno.) Ukázkový test a písemka jsou uvedeny jako součást tohoto dokumentu. Skutečné testy a písemky u jednotlivých termínů budou nižší (maximálně stejné) obtížnosti. Všechny vaše připomínky k ukázkovému testu i písemce jsou vítány. Bodování: Testové příklady jsou hodnoceny jedním bodem, písemkové dvěma body. Celkem je tedy možné získat 20 bodů z písemné části zkoušky. Další body (maximálně deset) si student přináší od svého cvičícího, který ho ohodnotil za práci v průběhu semestru. Výsledná známka pak odpovídá bodovému ohodnocení takto: 30 - - 27 bodů . ..A 27- - 24 bodů . ..B 24 - - 21 bodů . ..C 21 - - 18 bodů . ..D 18 - - 15 bodů . ..E 15 - - 0 bodů .. .F. • Ústní část: V případě, že student nesouhlasí se známkou (nebo je-li bodové ohodnocení nerozhodně), vyjasní se situace u ústní části zkoušky. Ukázková písemka PÍSEMKA I: 1. Řešte soustavu rovnic s parametrem a, uveďte, pro jaké hodnoty parametru a má soustava právě jedno řešení (a toto řešení nalezněte) resp. pro jaké hodnoty a nemá soustava žádné řešení resp. pro jaké hodnoty a má soustava nekonečně mnoho řešení (tato řešení zapište pomocí parametru(ů)). ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 2. Vyšetřete průběh funkce y = ^-y. 3. Těleso vznikne rotací grafu f(x) = cos x kolem osy x, x G [0, |]. Vypočtěte jeho objem. Vypočtěte polohu těžiště za předpokladu, že hustota tělesa je g(x) = 1. 4. Vypočtěte délku křivky y = coshx = —, ohraničenou přímkami x = 0 zapište integrál pro moment setrvačnosti této křivky kolem osy z v případě, že lineární hustota je fi(x, y) = 1. 5. Při střelbě na terč je možné získat 0,... ,5 bodů. Střelec, který učinil sto pokusů získal i bodů v Ni z těchto pokusů, kde ÍVq = 5, iVi = 25, N2 = 25, N3 = 25, iV4 = 10, Nb = 10. Definujme diskrétní náhodnou veličinu X jako počet bodů získaných při jednom výstřelu. Určete: a) Rozdělení náhodné veličiny X. b) Pravděpodobnosti Pí, že střelec při jednom výstřelu získá nejvýše i bodů. c) Střední hodnotu veličiny X. d) Střední kvadratickou odchylku. e) Pravděpodobnost, že počet bodů získaných při jednom výstřelu bude v intervalu [1,3]. ŘEŠENÍ: 1. Pro a = —2 soustava nemá řešení. Pro a = 1 má soustava nekonečně mnoho řešení: x = 1 + t + s, y = —t, z = —s, kde t, s jsou libovolná reálná čísla. V ostatních případech má soustava právě jedno řešení: x = — = 1 = (g+l)2 3. y = £,T=(f-i,0,0)...Snad :-). 4. L = i(ea - Jz = J(cosh2í + t2) ■ Vl + sinh2ídí = = J(cosh2í + í2) • coshídí. 5. a) {[0,0.05], [1,0.25], [2, 0.25], [3, 0.25], [4, 0.1], [5,0.1]}. b) P0 = 0.05, Pi = 0.3, P2 = 0.55, P3 = 0.80, P4 = 0.90, P5 = 1. c) 2.4. d)1.84 e)0.75. Ukázkový test TEST I. 1. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek v R3 zadaných takto: p : x + y = 2, x — z = — 1 g : x = — 1 — t, y = 1 + 2t, z = —t 2. Rozhodněte, zda následující matice je regulární. Zdůvodněte. / 1 0 0 0 \ 2 10-1 3 12 0 • v 4 o 2 i y 3. Vektor a má v bázi B\ = (ěi, ě^) složky a1 = 1, a2 = — 1, v bázi -ř?2 = (ěi e*2 ') složky a1 ' = 1, a2 ' = 1, vektor e2 1 má v bázi B\ složky (1,1). Určete matice přechodu mezi bázemi a zapište transformaci složek vektoru z jedné báze do druhé pomocí maticového násobení. 4. Doplňte následující systém vektorů na ortogonální bázi R3 a vektory normujte. a= (1,0,1), 6 =(1,1,-1) 5. Určete definiční obor funkce y = |tg(rr)| • ^ a rozhodněte o lichosti (resp. sudosti) funkce. 6. Vypočtěte následující limity: .ln x sin2 x lim —-= a lim —-—. x^oa x x x^O- xó 7. Rozkladem na parciální zlomky vypočtěte: 8. Metodou per partes vypočtěte: J (3x2 + x + 1) ln xdx. 9. Ze skupiny 7 studentů a 4 studentek se má vybrat šestičlenná skupina, ve které budou alespoň 2 studentky. Kolika způsoby to lze provést? 10. Pravdě podobnost, že student A složí zkoušku z Matematiky 1 je p, pravděpodobnost, že student B složí zkoušku z Matematiky 1 je q. Jaká je pravděpodobnost, že zkoušku složí: a) právě jeden ze studentů, b) alespoň jeden ze studentů, c) oba studenti, d) žádný ze studentů. ŘEŠENÍ: 1. Různoběžky, průsečík P — [—3, 5, —2]. 2. Matice není regulární, neboť má ve schodovitém tvaru nulový řádek. !1) s=(-|i (a1', a2') = (a1, a2) . S, (a1, a2) = (a1', a2') • T 4. 111 1 1 1 2 1 (71' '72)'(73'73'_73)'±(76'_76'_76)' 5. £)/ = R — {0, (2k + l)f}, A; e Z, funkce je lichá. 6. 0 a —oo. 7. 4+ln7|x2-l| + C. 8. (x3 + ^ + x) lnx - ^ - ^ - x + C. 9. 371. 10. a) p(l — q) + q(í — p) h) p + q — p ■ q c) p ■ q ď)l—p — q + p-q. Otázky k ústní zkoušce LINEARITA — příklady lineárních vztahů — přímka a rovina v R3 (parametrické a obecné vyjádření) — vzájemná poloha rovin v R3 — vzájemná poloha přímek v R3 — Frobeniova věta SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC — soustava lineárních rovnic, matice soustavy a rozšířená matice soustavy — ekvivalentní úpravy a Gaussova eliminační metoda — Frobeniova věta — soustavy s nekonečně mnoha řešeními (volné neznámé) — vzájemná poloha rovin a přímek — příklady ČÍSELNÉ OBORY — přirozená čísla (princip úplné indukce) — celá čísla — racionální a iracionální čísla — reálná čísla a operace s reálnými čísly, vlastnosti — komplexní čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA — komplexní čísla v algebraickém tvaru — komplexní čísla v goniometrickém tvaru — operace s komplexními čísly, vlastnosti — exponenciální tvar komplexního čísla — Moivrova věta — příklady MATICE — co je to matice, typ matice — matice se speciálním tvarem (diagonální, trojúhelníková — operace s maticemi, vlastnosti — hodnost matice — čtvercové matice (determinant, regulárnost) — metody výpočtu inverzní matice — příklady VEKTORY — co je to vektor — lineární závislost a nezávislost vektorů — operace s vektory, vlastnosti — vektorový prostor Rn a Cn — báze a dimenze — přechod mezi bázemi — příklady SKALÁRNÍ A VEKTOROVÝ SOUČIN V R3 — skalární součin, norma (velikost) vektoru, odchylka vektorů — ortogonalita, ortonormalita — vlastnosti skalárního součinu — vektorový součin, vlastnosti — smíšený součin, vlastnosti — ortonormální báze a matice přechodu mezi ortonormálními bázemi — příklady FUNKCE — co je to funkce (obecně), reálná funkce reálné promněnné — způsoby zadání funkce — definiční obor a obor hodnot funkce — operace s funkcemi, vlastnosti — inverzní funkce a její graf — příklady VLASTNOSTI FUNKCÍ — co je to rálná funkce reálné promněnné — funkce sudá, lichá, periodická — funkce rostoucí, klesající, ... — prostá funkce — kdy k dané funkci existuje inverzní — příklady LIMITA FUNKCE — definice limity, limita zprava a zleva — nevlastní limita a limita v nevlastním bodě — limita a spojitost — vlastnosti limit (limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, limita složené funkce) — věta o sevření — 1'Hospitalovo pravidlo — příklady SPOJITÉ FUNKCE — limita — spojitost zleva, spojitost zprava, spojitost — vlastnosti spojitých funkcí — příklady POSLOUPNOSTI — co je to posloupnost — limita posloupnosti — geometrická posloupnost — aritmetická polsoupnost — řada a její součet ELEMENTÁRNÍ FUNKCE — polynom, rozklad polynomu v R, kořeny — racionálně lomenná funkce (ryze lomenná a neryze lomenná, rozklad na praciální zlomky) — goniometrické a cyklometrické funkce — mocnina a logaritmus — hyperbolické funkce — příklady DERIVACE — definice derivace, derivace zprava a zleva — geometrická interpretace derivace — vlastnosti derivací (derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, derivace složené funkce) — derivace elementárních funkcí — spojitost a derivace — příklady PRŮBĚH FUNKCE — první a druhá derivace funkce — derivace a vlastnosti funkcí (stacionární body, extrémy, monotónnost, konvexnost, konkávnost a inflexní body) — nevlastní derivace — asymptoty se směrnicí a bez směrnice — příklady INTEGRÁL — primitivní funkce — základní integrační metody — určitý a neurčitý integrál — geometrický význam — příklady APLIKACE INTEGRÁLU — plocha pod grafem funkce — těžiště a momenty setrvačnosti plochy — geometrické charakteristiky rotačních těles — křivkový integrál — geometrické charakteristiky rotačních povrchů — příklady KOMBINATORIKA A PRAVDĚPODOBNOST — základní kombinatorické pojmy (variace, kombinace, permutace) — kombinatorické identity (Pascalův trojúhelník) — definice pravděpodobnosti — jevy nezávislé a vylučující se — podmíněná pravděpodobnost — binomická pravděpodobnost PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA — pravděpodobnost — náhodná veličina s diskrétním a spojitým rozložením — funkce hustoty pravděpodobnosti — střední hodnota, střední kvadratická odchylka, ... — příklady