1. Najděte všechna řešení rovnice
|z| = z3
A. Řešení v algebraickém tvaru: z = a + bi
√
a2 + b2 = a3
+ 3a2
bi − 3ab2
− b3
i.
Porovnáním reálných a imaginárních částí levé a pravé strany získáme
dvě rovnice pro dvě neznámá reálná čísla a a b:
√
a2 + b2 = a3
− 3ab2
0 = 3a2
b − b3
Vyjádříme b ze druhé rovnice:
b = 0 ∨ b =
√
3a ∨ b = −
√
3a
Pro každou možnost dosadíme do první rovnice:
b = 0 :
√
a2 = a3
|a| = a3
a = 1 ∨ a = 0
z1 = 0 + 0i
z2 = 1 + 0i
b =
√
3a :
√
a2 + 3a2 = a3
− 9a3
2|a| = −8a3
a = 0 ∨ a = −
1
2
z1 = 0 + 0i
z3 = −
1
2
+
√
3
2
i
b = −
√
3a :
√
a2 + 3a2 = a3
− 9a3
2|a| = −8a3
a = 0 ∨ a = −
1
2
z1 = 0 + 0i
z4 = −
1
2
−
√
3
2
i
B. Řešení v goniometrickém tvaru: z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
|z| = |z|3
(cos 3ϕ + i sin 3ϕ).
Porovnáním reálných a imaginárních částí levé a pravé strany získáme
dvě rovnice pro dvě neznámá reálná čísla |z| a ϕ:
|z| = |z|3
cos 3ϕ
0 = |z|3
sin 3ϕ
Z druhé rovnice získáváme následující možnosti:
|z| = 0 ∨ ϕ = 0 ∨ ϕ =
2
3
π ∨ ϕ =
4
3
π.
Dosazením kterékoli z možností úhlu ϕ do první rovnice:
|z| = |z|3
· 1,
t.j. |z| = 0 ∨ |z| = 1, řešení tedy budou
z1 = 0 + 0i
z2 = 1 + 0i
z3 = −
1
2
+
√
3
2
i
z4 = −
1
2
−
√
3
2
i
2. Zakreslete v Gaussově rovině množinu
|z − 1| = |z + 1| + 3.
Hledáme souřadnice a, b bodu z = a + ib splňující
(a − 1)2 + b2 = (a + 1)2 + b2 + 3.
Umocněním obou stran (to můžeme zjevně udělat, neboť jsou to
kladná čísla) a následnou úpravou získáme
−4a − 9 = 6
√
a2 + 2a + 1 + b2.
Tato rovnice má řešení pouze tehdy, je-li na levé straně nezáporné
číslo, t.j. pro a ≤ −9
4
, toto řešení získáme umocněním rovnice na
druhou:
20a2
+ 36b2
= 45.
To je rovnice elipsy s poloosami 3
2
a 2√
5
. Žádný její bod však nesplňuje
podmínku a ≤ −9
4
, řešením je tedy PRÁZDNÁ MNOŽINA! K
tomuto výsledku dojdeme také snadnou geometrickou úvahou. Hledáme
množinu bodů takových, že rozdíl jejich vzdáleností od bodů
[1, 0] resp. [−1, 0] je roven 3. Když však uvážíme, že body [1, 0] a
[−1, 0] jsou od sebe vzdáleny jen 2, nemůže hledaná situace nikdy
nastat.