1 Řešení úloh
1.1.4
1. Hroch dostane 80 mg prvního a 180 mg druhého přípravku. 2. V hospodě
je 10 čtyřmístných, 6 šestimístných a 4 osmimístné stoly. 3. (i) pro ab = 2
právě jedno řešení: x = −1−5b
1−ab , y = a+5
2−ab , pro a = −5, ab = 2 nekonečně mnoho
řešení: x = −1 + 2
5 t, y = t, pro ab = 2, a = −5 žádné řešení. (ii) Nemá řešení
pro c + b − 2a = 0, nekonečně mnoho řešení pro c + b − 2a = 0. (iii) Nemá
řešení pro a = −3, nekonečně mnoho řešení pro a = 3, v ostatních případech
právě jedno řešení. (iv) Pro všechna a, b, c právě jedno řešení: x = −2+b+5c,
y = 3a − b − 6c, z = −2a + b + 4c. (v) Pro a = 1 nekonečně mnoho řešení:
x = −t, y = t, z = −1, pro a = 0 žádné řešení, pro a = 1, a = 0 právě jedno
řešení: x = a − 1, y = 0, z = −1. 4. První přípravek 8 − t, druhý t − 3, třetí t,
kde t = 3, 4, . . . , 8. Nejlevnější řešení je pro t = 3. 5. (i) (69
39 , −23
39 , 34
39 ), (ii)
(1, 2, 3), (iii) (−3α+8,α+12,6α−16
11 ), (iv) (0, 0, 0), (2, 5, 10), (−2, 8, −2). 6. (i)
(−3, 8), (ii) (1, 2, −2), (iii) (0, 0, 0). 7. Např. rovnice x = 0. Homogenní
soustava nemůže mít právě dvě řešení, neboť každá jejich lineární kombinace by
byla opět řešením. 8. Společné body odpovídají řešením soustavy dvou rovnic o
třech neznámých. Protože je soustava homogenní (roviny procházejí počátkem),
je takových řešení nekonečně mnoho. 9. Ne, neboť hodnost matice soustavy
je vždy menší než počet neznámých, buď nemají žádné řešení, nebo nekonečně
mnoho. 10. (i) rovnoběžné, (ii) mimoběžné. 11. V první síti tečou ve
větvích proudy 5
11 A, 40
11 A a 45
11 A. Ve druhé síti tečou ve větvích proudy 1
4 A,
3
4 A a 1 A. 12. (i) (t, 2t + 2), (ii) žádné řešení, (iii) (0, 0, 0, 0). 13.
(i) různoběžné, průsečík P = (2, 4, 6), (ii) rovnoběžné. 14. (i) různoběžné,
průsečík P = (3, 5, 7), (ii) různoběžné, průsečík P = (1, −2, 3).
1.2.3
1. a) −48
25 i, b) 2+2i, c) −4, d) −4096i, e) 0. 2. a) 48
25 , b) 2
√
2, c) 4, d) 4096, e) 0.
3. a) 2 + i; 1 − i, b) 0, c) 3
2 − 2i, d) 0; 1, e) 1 + 2i; 2 + 3i, f) −1; 1
2 +
√
3
2 i; 1
2 −
√
3
2 i,
g) 1; −1
2 +
√
3
2 i; −1
2 −
√
3
2 i. 4. a)
√
2(cos π
4 + i sin π
4 ), b)
√
2
2 (cos 3π
4 + i sin 3π
4 ),
c) 1(cos 3π
2 + i sin 3π
2 ), d) 1
2 (cos 4π
3 + i sin 4π
3 ). 5. a) uzavřený kruh se středem v
bodě (1+0i) a poloměrem 1, b) prázdná množina, c) doplněk otevřeného kruhu
se středem v bodě (−2 + i) a poloměrem 2, d) mezikruží se středem v bodě
(0 − 1
3 i) a poloměry 1
9 resp. 1
3 , vnitří kružnice do množiny patří, vnější nikoli.
1.3.5
1. AB =


5 6
3 5
1 0

, AD =


a+4 −6a 0 a+4
2a+1 −a −1 2a+1
a 4a 5 a

, BC =


1 3 4
1 −1 −2
2 0 2

 ,
CD =
3a 2a 0 3a
−a+2 0 6 −a+2
, CA =
5 −3 13
3 5 −3
, CB =
3 5
1 −1
. 3.
1
3
2 1
−1 1
; e(ad−bc) = 0, 1
e(ad−bc)


ed −eb 0
−ec ae 0
0 0 ad−bc

 ; 1
3


−2 0 1
−1 3 −1
1 0 1

 ;
1
6


−4 −2 4
−1 −2 7
1 2 −1

 . 4. a) ve schodovitém tvaru jsou A6, B3, B5, trojúhelníkové
jsou B5, B6, b) definované součty jsou A1 + B1, A2 + B6, A3 + B1, součiny
A1B1, A1B5, A1B6, A2B2, A2B4, A3B1, A3B5, A3B6, A6B2, A6B4,
B6A2, B3A2, B1A1, B1A3, B2A4, B2A5, B2A6, c) hA1 = 3, detA1 = −25,
hA2 = 4, detA2 = i(4 + 2
√
2) − (1 + 2
√
2), hA3 = 3, detA3 = −11, hA4 = 2,
detA4 = −(8 − 6i)2
, hA5 = 2, detA5 = 5, hB1 = 3, detB1 = −3, hB2 = 2,
hB3 = 1,hB4 = 1,hB5 = 3,hB6 = 3. 5. AEn = EmA = A. 7. Neplatí,
například matice
0 1
0 1
; je horní trojúhelníková a přesto není ve schodoviém
tvaru. Platí například tvrzení: Je-li čtvercová matice ve schodovitém tvaru,
pak je horní trojúhelníková. Také platí tvrzení: Regulární čtvercová matice je
horní trojúhelníková právě tehdy, když má schodovitý tvar. 8. a) −, b) −, c)
−. 9. n, n − 1, . . . , 2, 1, n(n−1)
2 inverzí. 10. a) (−1)(4n2
−n)
, b) (−1)
1
2 (3n2
−n)
, c)
(−1)
1
2 (3n2
−n)
.
1.4.5
1. a) nezávislé, b) závislé. 2. a) závislé pro a = 2 ∨ a = 1, jinak nezávislé, b)
nezávislé pro každé a. 3. Jsou ortogonální, nejsou ortonormální. 4. a) b = −5 ∧
a = 9
2 , b) a = b = 0 ∨ a = b = 1. 5. x = (0, s, −s, 0). 8. a) např. α = 0, b) např.
α = β = γ = 1, c) α = 0∧β = 0∧γ = 0. 9. a) ±π
4 , b) b = ( 1√
2
, ± 1√
2
); |a×b| = 1√
2
.
10. e1 = −e1 +e2 − 1
2 e3, e2 = −1
2 e3, e3 = 1
2 (e1 +e2 +e3); e1 = −1
2 e1 + 3
2 e2 +e3,
e2 = 1
2 (e1 + e2), e3 = −2e2; S =


−1 1 − 1
2
0 0 − 1
2
1
2
1
2
1
2

 , T =


− 1
2
3
2 1
1
2
1
2 1
0 −2 0

. 11.
Závislé. 12. S =




−1 1 1 0
1 0 2 0
1 1 1 1
3 0 0 1



; T = 1
2




2 0 −2 2
5 −1 −3 3
−1 1 1 −1
−6 0 6 −4



; e1 = e1 −
e3+e4, e2 = 5
2 e1−1
2 e2−3
2 e3+3
2 e4, e3 = 1
2 (−e1+e2+e3−e4), e4 = −3e1+3e3−2e4,
b) (0, −1, −1, −1), c) ne. 13. ±1. 14. T =
cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
. 15. T = T1 · T2;
T1


cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1

; T2


1 0 0
0 cos ϑ sin ϑ
0 − sin ϑ cos ϑ

; na pořadí obecně závisí. 16.
1√
3
. 17. D = [3, 0, 0].
2.1.9
1. a) R − {1, 2}, b) ∪k∈Z(2kπ + 3, 2kπ + π + 3), c) [2 −
√
3, 2 +
√
3], d) R − {0},
e) R − {0}, f) (−1, 0) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞). 2. a) lichá, b) lichá, c) sudá, d) lichá,
e) lichá. 3. a) 2π
3 , b) π, c) π, d) 2π. 4. a) (x − 1)2
(x2
+ 1); kladné v R, b)
(x2
+1)(x4
−x2
+1); kladné v R, c) (x+2)(x−3)(x−5); kladné (−2, 3)∪(5, ∞);
záporné (−∞, −2)∪(3, 5), d) (x−1)(x2
+x+1); kladné (1, ∞); záporné (−∞, 1),
e) (x + 2)(x + 1)2
x; kladné (∞, −2) ∪ (0, ∞); záporné (−2, −1) ∪ (−1, 0), f)
(x + 1)(x − 1)(x4
+ x2
+ 1); kladné (−∞, −1) ∪ (1, ∞); záporné (−1, 1). 5. a)
x = −5y+1
3y−2 ; R − {−5
3 }, b) x = 3 + ln y
ln 10 ; R, c) x = ln(y + y2 + 1); R, d)
x = π
4 + arctan(
√
y) + kπ
2 pro k sudé; x = π
4 − arctan(
√
y) + (k+1)π
2 pro k
liché; ∪k∈Z(kπ
2 + π
4 , (k+1)π
2 + π
4 ), e) x =
√
y − 1 pro x > 0; x = −
√
y − 1 pro
x < 0, f) x = ln(y + y2 − 1) pro x > 0; x = − ln(y + y2 − 1) pro x < 0.
6. a) 1
x4 + 1+2 x
1+x2 − 1
x3 + 1
x2
1
x , b) x2
+ 5 + 5
x−3 + 7
x+5 , c) − 3
16 (x−1) + 1
4 (1+x2) +
3
16 (x+1) + 1
16 (x+1)2 + 1
4 (1+x2)2 + 1
16 (x−1)2 , d) x−1
4 (1+x2) − 1
4 (x+1) + x+1
2 (1+x2)2 , e)
2 + −1+2 x
x2−x+1 + 2
x−1 + 2
(x−1)2 . 7. a) 3
7 , b) 1, c) 1, d) 1, e) 0, f) 2
1
3 , g) 0, h) 2. 8.
a) neexistuje, b) −1.
2.2.7
1. a) −e(−x2)
(2 x2
ln(x)−1)
x ; (0, ∞),
b) −7(−x2
)
e(−5 x)
(2 x ln(7) + 5); R,
c) −3 e(−3 x)
(sin(3 x) − cos(3 x)); R,
d) − 2
−x+a ; (a, ∞),
e) 1
2 (1+
√
x)2
√
x
√
x
(1+
√
x)2
; (0, ∞),
f) 2(1+tan(x2
))
(1 + tan(x2
)2
) x ln(2); R,
g) tan(x)(ln(3)−1)
(1 + tan(x)2
) ln(3); ∪k∈Z(kπ, (2k+1)π
2 ),
h) −1+2 x
x+1 ; (−∞, 1),
i) x(x2
)
(2 x2
ln(x) + 1 + x2
); R,
j) −1
2
x
(−
1+2 x
2 (x+1)
)
(x ln(x)−x−1)
(x+1)2 ; (0, ∞).
2. a) Df = R − {0}, klesající na Df, inflexní bod 0, konkávní na (−∞, 0), konvexní
na (0, ∞). asymptota y = 0. b) Df = R − {−1}, průsečíky [1, 0], [0, −1],
stac. body {−5, 1}, rostoucí na (−∞, −5) ∪ (−1, ∞), klesající na (−5, −1), inflexní
bod 1, konkávní na (1, ∞), konvexní na (−∞, −1) ∪ (−1, 1), asymptoty
y = x, x = −1. c) Df = ∪k∈Z(2kπ, (2k + 1)π), průsečíky [π
2 + 2kπ, 0], k ∈ Z,
stac. body π
2 + 2kπ, k ∈ Z, rostoucí na (2kπ, (2k + 1
2 )π), k ∈ Z, klesající na
((2k + 1
2 )π, (2k + 1)π), k ∈ Z, konvexní na Df, asymptoty y = kπ, k ∈ Z. d)
Df = R, průsečíky [π
2 + kπ, 0], k ∈ Z, [0, 1], stac. body kπ
2 , k ∈ Z, rostoucí na
(π
2 + kπ, π + kπ), k ∈ Z, klesající na ((kπ, π
2 + kπ), k ∈ Z, inflexní body π
4 + k π
2 ,
konkávní (π
4 + k π
2 , 3π
4 + k π
2 ), k ∈ Z, konvexní (−π
4 + k π
2 , π
4 + k π
2 ), k ∈ Z, perioda
π. e) Df = R − {0}, stac. bod 2, rostoucí na (−∞, 0) ∪ (2, ∞), klesající na
(0, 2), konkávní na Df, asymptoty y = 0, x = 0. f) Df = R−{−1, 1}, průsečíky
[−1, 0], [1, 0], [0, 1], stac. bod 0, rostoucí na (0, 1) ∪ (1, ∞), klesající na (−∞, 0),
inflexní body {−1, 1}, konkávní na (−1, 1), konvexní na (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
asymptoty y = 1, x = 0. g) Df = R − {−1}, průsečík [0, 1], stac. body {0, −2},
rostoucí na (−∞, −2) ∪ (0, ∞), klesající na (−2, −1) ∪ (−1, 0), inflexní bod −1,
konkávní na (−1, ∞), konvexní na (−∞, −1), asymptoty y = x, x = −1. h)
Df = R − {1}, průsečíky [
√
3, 0], [−
√
3, 0], [0, 3], rostoucí na Df, inflexní bod
1, konkávní na (−∞, 1), konvexní na (1, ∞), asymptoty y = x + 1, x = 1. i)
Df = R−{0, −1, 1}, stac. body {−
√
3
3 ,
√
3
3 }, rostoucí na (−
√
3
3 , 0)∪(0,
√
3
3 ), klesající
na (−∞, −1) ∪ (−1, −
√
3
3 ∪ (
√
3
3 ), 1) ∪ (1, ∞), konkávní na (−1, 0) ∪ (1, ∞),
konvexní na (−∞, −1) ∪ (0, 1), asymptoty y = 0, x = 0, x = −1, x = 1. j)
Df = [−2, ∞), průsečíky [−2, 0], [1, 0], [0, 21/3
], stac. bod −1, v bodě 1 extrém,
rostoucí na [−2, −1) ∪ (1, ∞), klesající na (−1, 1), konvexní na Df − {1},
asymptota y = x. k) Df = R, průsečík [0, 0], stac. bod −1, rostoucí na (−1, ∞),
klesající na (−∞, −1), inflexní bod −2, konkávní na (−2, ∞), konvexní na
(−∞, −2), asymptota y = 0. l) Df = R − {0}, rostoucí na Df, konkávní na
(−∞, 0), konvexní na (0, ∞), asymptoty y = −1, y = 0, x = 0. m) Df = R, průsečíky
[0, 1], stac. bod 0, rostoucí na (0, ∞), klesající na (−∞, 0), konkávní na R.
n) Df = (−1, 1), průsečíky [1, 0], [−1, 0], [0, 1√
2
], stac. bod 0, rostoucí na (−1, 0),
klesající na (0, 1), konvexní na Df. 3. a) min −16; max −9, b) min 1; max 3
2 ,
c) min −44; max −8, d) min 4; max 9, e) min − sin(sin(1)); max sin(sin(1)). 4.
0,126 m/s; 316 m/s2
. 5. R√
2
. 7. a) 0, b) 0, c) e, d) −∞, e) 1√
2
, f) 1
2 , g) 1, h) 1
2 . 8.
a) 0, b) ∞, c) 1
e , d) 1
e2 . 9. a) −1
2 cos(x) sin(x)+ x
2 , b) 1
3 cos(x) (−3+cos(x)2
), c)
ln( sin(x)
cos(x)+1 ), d) −1
2 cos(2 x)4
+ 1
2 cos(2 x)2
− 1
16 − 1
4 cos(2 x), e) 1
6 − 1
2 cos(x)2
+
1
2 cos(x)4
− 1
6 cos(x)6
, f) − ln(x+2)+ 1
2 ln(x+1)+ 1
2 ln(x+3), g) − ln(x+2)+
1
2 ln(x+1)+ 1
2 ln(x+3), h) (x2
+a2
)(3/2)
3 , i) −
√
3 x−1 x
3 +
√
3 x−1
9 +
√
3 x+1 x
3 +
√
3 x+1
9 ,
j) 2 cos(x), k) 2(1+
√
x)
ln(2) , l) −1
2 cos(1 + x2
), m) 1
4 arctan(x2
2 ), n) 3 x + 2 ln(1 +
x2
) + 3 arctan(x), o)
√
2 + x + x2
4
+
√
2 + x + x2 x
2
+
7
8
arcsinh(
√
7 (1 + 2 x)
7
),
p) −1
2 ex
(cos(x) − sin(x)), q) 1
2 ln(x)2
. 10.a = 21
3, h = 4−1
3.
2.3.8
1. S = πr2
, m = 2
3 r2
. 2. S1 = π
2 , S2 = 2
3 , m1 = π2
4 , m2 = π
3 . 3. S = 1
3 .
4. S = 9
2 . 5. S = 3πr2
. 6. a) S = r2
(arccos r−v
r − r−v
r 1 − (r−v
r )2), b) S = πab,
c) S = 1
2 ava. 7. a) V = πr2
v, J = 1
2 mr2
, z = v
2 , b) V = 1
3 πr2
v, J = 3
10 mr2
,
z = v
4 , c) V = 4
3 πr3
, J = 2
5 mr2
, z = 0, d) V = 4
3 πa2
b, J = 2
5 ma2
, z = 0,
e) V = 1
3 πv2
(3r − v), J = mv(20r2
−15vr+3v2
)
10(3r−v) , z = 3(2r−v)2
4(3r−v) . 8. a) J = mr2
,
b) J = 1
12 ml2
, J = 1
12 ml2
+md2
. 9. a) T = (0, 0, πb), T = (0, 0, 3πb
2 ). 10. l = 6a.
11. a) S = 2πrv, J = 2πr3
v, Xt = v
2 ; b) S = πr
√
r2 + v2, J = πr3
2
√
r2 + v2,
XT = 2
3 v (od vrcholu); c) S = 4πr2
, J = 8
3 πr4
XT = 0. 12. a) M = 4a, XT = a
3 ,
Jy = 28
15 a3
; b) M = aπ
√
1 + 4π2 − 1
2 ln(
√
1 + 4π2 − 2π); c) M =
√
2(eπ
− 1),
XT = −2
5
1+e2π
eπ−1 ; YT = 1
5
1+e2π
eπ−1 , JX = 2
√
2
39 (e3π
− 1), JY = 11
√
2
39 (e3π
− 1),
JZ =
√
2
3 (e3π
− 1); d) M = 2πR, XT = 0, YT = 0, JX = JY = πR3
, JZ = 2πR3
;
e) M = 4r, YT = 16
3 r, JX = 4r3 128
15 ; f) M = 6r, XT = YT = 0, JX = JY = 3
2 r3
,
JZ = 3r3
.
3.1.5
1. a) 6!
66 , b) 1
66 , c)
(6
3)·53
+(6
4)·52
+(6
5)·5+1
66 , d)
(6
3)·53
66 , e) 6
66 , f) 36
66 , g) např. P6 = 1
66 ,
P7 = 6
66 , P8 =
6+(6
2)
66 , P9 =
6+2·(6
2)+(6
3)
66 , P10 =
6+2·(6
2)+(6
2)+3·(6
3)+(6
4)
66 . 2.
a) 1
24 , b) 9
24 , c) 15
24 , d) 8
24 . 4. a) 1 − (a − ϑ)n
, b)
k
i=1
n
i ϑi
(1 − ϑ)n−i
, c)
n
k ϑk
(1−ϑ)n−k
. 5. 371. 6. 242
− 232
2 − 222
2 . 7. 2l
πd . 8. a) p(1−q)+q(1−p),
b) p + q − p · q, c) p · q, d) 1 − p − q + p · q. 9. 10. 11. a) 20
21 , b) 68
81 . 12.
a) 3k+100
400 , b) 100−k
3k+100 13. a) 0,06, b) 0,02.
3.2.3
1. a) {(1, 1
10 ), (2, 2
15 ), (3, 7
30 ), (4, 3
10 ), (5, 7
30 )}, b) P1 = 1, P2 = 27
30 , P3 = 23
30 ,
P4 = 8
15 , P5 = 7
30 , c) 3,43, d) 1,08, e) 2
3 . 2. a) {(0; 0,1), (1; 0,25), (2; 0,25),
(3; 0,35), (4; 0,05)}, b) 1,9; 1,21 c) 0,65. 3. a) k = 1
2 , b) 2
9 , c) 2, d) x0,5 =
√
2,
x0,25 = 1, x0,75 =
√
3, e) F(x) = 0 pro x < 0, F(x) = 1
4 x2
pro 0 ≤ x ≤ 2,
F(x) = 1 pro x > 2. 4. a) k = 1, b) F(x) = x
x+1 pro x > 0, F(x) = 0 pro
x ≤ 0, c) 0, d) x0,5 = 1, x0,25 = 1
3 , x0,75 = 3. 5. k = 2, c = 6, F1(x) = 0 pro
x < 1, F1(x) = 2x−1
x , pro 1 ≤ x ≤ 2, F1(x) = 1 pro x > 2, F2(x) = 0 pro x < 0,
F2(x) = 3x2
−2x3
pro 0 ≤ x ≤ 1, F2(x) = 1 pro x > 1. c) f : 1, 2 ln 2, 2−4 ln2
2,
4
3 , g : 1
2 , 1
2 , 1
20 , 1. 6. a) {(1, 0), (2, 1
36 ), (3, 2
36 ), (4, 3
36 ), (5, 4
36 ), (6, 5
36 ), (7, 6
36 ),
(8, 5
36 ), (9, 4
36 ), (10, 3
36 ), (11, 2
36 ), (12, 1
36 )}, b) F(x) = 0 pro x ≤ 2, F(x) = 1
36
pro x ∈ (2, 3], F(x) = 3
36 pro x ∈ (3, 4], F(x) = 6
36 pro x ∈ (4, 5], F(x) = 10
36
pro x ∈ (5, 6], F(x) = 15
36 pro x ∈ (6, 7], F(x) = 21
36 pro x ∈ (7, 8], F(x) = 26
36
pro x ∈ (8, 9], F(x) = 30
36 pro x ∈ (9, 10], F(x) = 33
36 pro x ∈ (10, 11], F(x) = 35
36
pro x ∈ (11, 12], F(x) = 1 pro x > 12, c) 7, 7, 5, 83 d) 15
36 .
3.3.4
1. 10,0 ± 0,7.
4.1.6
1. a) ano, b) ne, c) ano, d) ano, e) ne, f) ano, g) ano. 2. a) např. P = {σ0 =
(1, 2, 3, 4), σ1 = (1, 2, 4, 3)} není normální podgrupou, b) např. podmnožina P
všech sudých čísel je normální podgrupou, Z/P je grupa zbytkových tříd modulo
2, c) např. podmnožina všech diagonálních regulárních matic není normální
podgrupou, d) např. P = {Z0, Z4} je normální podgrupou, příslušná
faktorgrupa je grupa všech zbytkových tříd modulo 2. 5. σ ◦ ν = (2, 6, 3, 4, 5, 1),
ν ◦ σ = (3, 2, 5, 4, 1, 6), σ−1
= (5, 1, 2, 4, 6, 3), σ5
= (1, 2, 3, 4, 5, 6). 6. Označímeli
σ0 = (1, 2, 3), σ1 = (2, 1, 3), σ2 = (1, 3, 2), σ3 = (3, 2, 1), σ4 = (2, 3, 1) a
σ5 = (3, 1, 2),
◦ σ0 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
σ0 σ0 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
σ1 σ1 σ0 σ4 σ5 σ2 σ3
σ2 σ2 σ5 σ0 σ4 σ3 σ1
σ3 σ3 σ4 σ5 σ0 σ1 σ2
σ4 σ4 σ3 σ1 σ2 σ5 σ0
σ5 σ5 σ2 σ3 σ1 σ0 σ4
7. a) okruh ano, těleso ne, b) ani okruh, ani těleso, c) okruh ano, těleso ne,
d) N ani okruh ani těleso, Z okruh ano, těleso ne, Q, R, C jsou okruhem i
tělesem. 8. Např. podokruh sudých čísel v Z. 9. a) ne, b) ne, c) ano – báze
např. B = {1, x, . . . , xn
}, dimV = n + 1, d) ne, e) ne, f) ano – báze např.
B = {(2, 1)}, dimV = 1, g) ano – báze např. B =
1 0
0 0
,
0 0
0 1
,
dimV = 2. 10. a) α1 = 1, α2 = 0, α3 = 1, b) α1 = −1, α2 = 4, α3 =
−3, c) α1 = 3
2 , α2 = −1
2 , α3 = 1
2 , α4 = −1
2 . 11. a) ano – báze např.
B =
1 0
0 −1
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
, dimP=3, doplňující vektor např
1 0
0 0
, b) ano – báze např. B = {(1, −1)}, dimP = 1, doplňující vektor
např. (1, 0), c) ne, d) ne, e) ano – báze např. B = {1, x2
, x4
}, dimP =
3, doplňující vektory např. {x, x3
}, f) ano – báze např. B = {(x + 1)(x −
1), (x + 1)(x − 1)x, (x + 1)(x − 1)x2
}, dimP = 3, doplňující vektory např.
{1, x}. 12. a) dimV1 = 3, bází jsou jakékoli tři lineárně nezávislé vektory,
doplněk V1 = {o}, dimV2 = 2, báze např. B = {(0, 2, 1), (1, 4, 0)}, doplněk
např. V2 = [|(1, 0, 0)|], V1 + V2 = R3
= V1, V1 ∩ V2 = V2, b) dimV1 = 2,
bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání, doplněk např. V1 =
[|(0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)|], dimV2 = 2, bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů
v zadání, doplněk např. V2 = [|(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)|], V1 +V2 = R4
, V1 ∩V2 = o,
c) dimV1 = 2, bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání, doplněk
např. V1 = [|1, x3
, x4
, x5
, x6
|], dimV2 = 3, zadané vektory jsou bází V2, doplněk
např. V2 = [|x2
, x4
, x5
, x5
|], dim(V1 + V2) = 4, V1 + V2 = [|x + 1, x2
+ 1, 1, x3
|],
dim(V1 ∩ V2) = 1, V1 ∩ V2 = [|x2
+ x + 2|], d) dimV1 = 3, báze a doplněk viz
předchozí příklad, dimV2 = 2, báze např. B =
1 0
0 0
,
0 0
0 1
, doplněk
např. V2 =
0 1
0 0
,
0 0
1 0
, V1 +V2 = Mat2×2, dim(V1 ∩V2) = 1,
báze např.
1 0
0 −1
. 13. dimR+ = 1, báze např. B = {2}, izomorfismus
např. R+ u → ln u ∈ R.
4.2.6
1. a) ne, b) ano, c) ano, d) ne, e) ano. 2. b)


1 0 1
1 −1 0
0 1 1

, Ker = [|(1, −1, −1)|],
Im = [|(1, 0, 1), (1, −1, 0)|], c)
1 1 1
−1 1 0
, Ker = {o}, Im = [|(1, 1, 1), (−1, 1, 0)|],
e)


1
−1
3

, Ker = [|(1, 1, 0), (3, 0, −1)|], Im = R. 4. a) např. f(x, y, z) =
(x − y + z, x − y + z, x − y + z), b) např. f(x, y, z) = (x + y, x + 2y, 0),
d) např. f(x, y) = (x − y, x − y). 5. A = 1
7
3 −9 5
−1 −4 10
, Ker = {o},
Im = [|(−1, 2, 0), (0, −3, 5)|], A =
1 0 0
0 1 0
. 6. a) ano,


1 4
3
0 1
3
0 0

, b) ne.
7. b) Ker = {c|c ∈ R}, Im = Pn−1(x), d = 1, h = n, c) ne, matice A = (ai
j),
ai
j = j − 1 pro j = 2, . . . n + 1, i = j − 1, jinak ai
j = 0, A = (bi
j), bi
j = 1
pro j = 2, . . . n + 1, i = j − 1, jinak bi
j = 0 (matice má pod hlavní diagonálou
jedničky, jinak samé nuly).
4.3.2
1. a) nemá reálné vlastní hodnoty, b) λ1 = 0, k1 = 1, L1 = [|(1, 1, 1)|],
λ2 = 3, k2 = 2, L2 = [|(−2, 1, 4)|], c) λ1 = 0, k1 = 3, L1 = [|(−2, −1, 1)|],
d) λ1 = 2, k1 = 3, L1 = [|(1, 2, 0), (1, 0, 1)|], e) λ1 = 2, k1 = 3, L1 =
[|(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)|], λ2 = −2, k2 = 1, L2 = [|(1, −1, −1, −1)|].
4. a,b) např. otočení o úhel ϕ = kπ v R2
nebo zobrazení z cvičení 1a., c)
např. zobrazení z cvičení 1b, 1c, 1d, d) např. zobrazení z cvičení 5, e,f) skalární
násobek identického zobrazení. 5. λ1 = 0, k1 = n + 1, L1 = [|1|].
Literatura použitá při cvičení:
• Nicholson, Keith: Elementary Linear Algebra with Applications, Wadsworth
Publishers of Canada, Toronto.
• Musilová, Jana; Krupka, Demeter: Lineární a multilineární algebra, UJEP,
Brno 1998
• Budíková, Marie; Mikoláš, Štěpán; Osecký, Pavel: Teorie pravděpodobnosti
a matematická statistika, sbírka příkladů, MU, Brno 1996.
• Gillman, Leonard; McDowell Robert: Matematická analýza, SNTL, Praha
1980.
• Herman, Jiří; Kučera, Radan; Šimša, Jaromír: Seminář ze středoškolské
matematiky, MU Brno 1994.
Poděkování: Michal Lenc (přečtení), Jiří Bartoš (obrázky), Jakub Zlámal, Josef
Klusoň, Tomáš Nečas, Martin Mráz, Lenka Czudková, Tomáš Tyc, Ondřej
Přibyla, Marie Budíková, ...