Uveďte příklady
a) posloupnosti, která má jako hromadné body právě čísla 1,2,3.
b) posloupnosti, která má nekonečně mnoho hromadných bodů,
c) dvou posloupností (an) a (bn) s limitou nula, takových, že limita
posloupnosti (an/bn) neexistuje.
d) funkce f, která má v bodech 0, 1, 2 nevlastní limitu a je shora
ohraničená.
e) funkce f, pro níž limx→1+ f(x) = −∞ a limx→1− f(x) = 0,
f) funkce, která má limitu bodě x = 0 a v žádném jiném bodě
limitu nemá,
g) funkce, která je spojitá v bodech x = 1 a x = 2 a v žádném
jiném bodě spojitá není,
h) dvou rostoucích funkcí, jejichž rozdíl je funkce periodická, s
periodou π,
i) funkce, která je klesající ve všech bodech množiny Df , ale není
klesající.
j) ohraničené periodické funkce, rostoucí ve všech bodech svého
definičního oboru,
k) ohraničené spojité klesající funkce,
l) periodické sudé funkce, která není ohraničená,
m) nelineární funkce s asymptotou y = 2x + 3,
n) funkce, která má derivaci v bodě x = 0, ale v žádném jiném
bodě derivaci nemá,
ň) funkce f = h ◦ g spojité v x0, ale ani h ani g nejsou spojité v
g(x0) resp. v x0,
o) funkce, která je spojitá v bodě x = 1, ale nemá v tomto bodě
derivaci,
p) funkce, pro kterou f−(2) = −∞ a f+(2) = 0,
q) funkce, která má derivaci v nějakém bodě a, ale tato derivace
není v bodě a spojitá,
r) funkce, definované na R, která má první derivaci všude, ale její
druhá derivace neexistuje v bodě x = −1,
ř) funkce spojité na [a, b], pro kterou neexistuje bod c ∈ [a, b] tak,
že f (c) = (f(b) − f(a))/(b − a),
s) funkce, která má nevlastní derivaci v bodě x = −1,
š) funkce spojité na [0, ∞) takové, že obor hodnot je ohraničený
polouzavřený interval,
t) funkce spojité na [0, ∞) takové, že obor hodnot je ohraničený
otevřený interval,
ť) funkcí f a g, pro které limita limx→a(f /g ) neexistuje, ale limita
limx→a(f/g) = 1,
u) funkce, pro kterou f+(0) = 0 a f−(0) = 1,
v) funkce, která má na intervalu [−1, 1] právě tři ostrá lokální
maxima a právě jedno ostré lokální minimum,
w) funkce, pro kterou f (5) = 0, ale v bodě x = 5 nenastává lokální
extrém,
x) funkce, která není integrovatelná na [0, 1], ale |f| integrovatelná
je,
y) funkce, jejíž dolní Riemannův integrál od nuly do jedné je -2 a
horní 3,
z) funkce, k níž neeistuje primitivní funkce. Zdůvodněte.
ž) Určitě dál dokážete pokračovat sami.