MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta
Uvod do fyziky plazmatu
skripta k přednášce
evropský
sociální fond v ČR
EVROPSKÁ UNIE
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
doc. Mgr. Lenka Zajíčková, Ph.D.
Obsah
1 Úvod 8
1.6   Kritéria pro definici plazmatu.......................................... 8
1.6.1 Kvazineutralita............................................... 8
1.6.2 Debyeovské stínění............................................ 8
1.6.3 Plazmová frekvence ........................................... 9
2 Pohyb částic v elektromagnetických polích 10
2.1 Úvod........................................................ 10
2.2 Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum ........................ 10
2.2.1 Formální řešení pohybové rovnice.............. ...................... 10
2.2.2 Magnetický moment........................................... 11
2.2.3 Magnetizační proud........................................... 11
2.3 Homogenní elektrostatické a magnetostatické pole .............................. 12
2.4 Drift způsobený externí silou.......................................... 12
2.5 Prostorově nehomogenní magnetické pole ................................... 13
2.5.1 Divergentní členy............................................. 13
2.5.2 Gradient a zakrivení........................................... 14
2.6 Aproximativní řešení pohybové rovnice v nehomogenním magnetostatickém poli.............. 14
2.7 Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody ........... 15
2.7.1 Paralelní síla............................................... 15
2.7.2 Kolmá sila ................................................ 16
2.7.3 Celková strední sila ........................................... 17
2.8 Gradientní drift VB............................................... 17
2.9 Paralelní zrychlení gyračního středu ...................................... 17
2.9.1   Invariantnost magnetického orbitálního momentu a magnetického toku............... 17
Obsah 3
2.9.2   Efekt magnetického zrcadla....................................... 18
2.10 Drift zakřivení .................................................. 19
2.11 Kombinovaný drift gradient-zakřivení ..................................... 20
2.12 Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli ........................ 20
2.12.1 Pohybová rovnice a polarizační drift.................................. 20
2.12.2 Dielektrická konstanta plazmatu.................................... 21
3 Základy kinetické teorie plazmatu 23
3.1 Úvod........................................................ 23
3.2 Fázový prostor.................................................. 23
3.2.1 Jednočásticový fázový prostor...................................... 23
3.2.2 Vícečásticový fázový prostor ...................................... 23
3.3 Objemové elementy................................................ 24
3.4 Rozdělovači funkce................................................ 24
3.5 Hustota a průměrná rychlost .......................................... 25
3.6 Boltzmannova kinetická rovnice......................................... 25
3.6.1 Bezsrážková BKR ............................................ 25
3.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru.............................. 26
3.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi ...................................... 26
3.7 Relaxační model pro srážkový člen....................................... 27
3.8 Vlasovova rovnice................................................. 28
4 Střední hodnoty a makroskopické veličiny 29
4.1 Střední hodnota fyzikální veličiny........................................ 29
4.2 Driftová a tepelná rychlost ........................................... 29
4.3 Tok ........................................................ 29
4.4 Tok částic..................................................... 30
4.5 Tenzor toku hybnosti............................................... 31
4.6 Tenzor tlaku ................................................... 31
4.6.1 Definice tlaku............................................... 31
4.6.2 Síla na jednotku plochy (způsobená tepelným pohybem)....................... 32
4.6.3 Síla na jednotku objemu (způsobená tepelným pohybem) ...................... 32
4 Obsah
4.6.4   Skalární tlak a absolutí teplota..................................... 32
4.7 Vektor toku tepla................................................. 33
4.8 Tenzor toku tepelné energie........................................... 33
4.9 Tenzor toku celkové energie................. .......................... 34
4.10 Vyšší momenty rozdělovači funkce ....................................... 34
5 Rovnovážný stav 35
5.1 Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu.................................... 35
5.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky ......................... 35
5.1.2 Sumační invariant ............................................ 35
5.1.3 Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce.............................. 35
5.1.4 Určení konstatních koeficientů ..................................... 36
5.1.5 Lokální Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce.......................... 36
5.2 Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce............................. 36
5.2.1 Rozdělení komponenty rychlosti..................................... 36
5.2.2 Rozdělení velikosti rychlosti....................................... 37
5.2.3 Střední hodnoty související s rychlostí molekul ............................ 37
5.2.4 Náhodný tok částic............................................ 37
5.2.5 Kinetický tlak a tok tepla........................................ 38
5.3 Rovnováha za přítomnosti vnějších sil..................................... 38
5.4 Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice........................... 39
6 Interakce částic v plazmatu 41
6.1 Úvod........................................................ 41
6.2 Binární srážky .................................................. 41
6.3 Dynamika binární srážky ............................................ 42
6.4 Vyjádření úhlu rozptylu............................................. 44
6.4.1 Dvě perfektně elastické tuhé koule................................... 44
6.4.2 Coulombovský interakční potenciál................................... 45
6.5 Účinný průřez................................................... 45
6.5.1 Diferenciální účinný průřez............... ........................ 46
6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu..................................... 46
Obsah 5
6.5.3   Účinný průřez pro přenos hybnosti................................... 46
6.6 Další srážkové parametry ............................................ 47
6.7 Účinné průřezy pro srážku tuhých koulí.................................... 47
6.7.1 Diferenciální účinný průřez pro rozptyl................................. 47
6.7.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl................................... 48
6.7.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti................................... 48
6.8 Účinné průřezy pro Coulombovský potenciál.................................. 48
6.8.1 Diferenciální účinný průřez....................................... 48
6.8.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl................................... 49
6.8.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti................................... 49
6.9 Stínění Coulombovského potenciálu....................................... 49
7 Makroskopické transportní rovnice 52
7.1 Momenty Boltzmannovy rovnice ........................................ 52
7.2 Obecná transportní rovnice........................................... 52
7.3 Zákon zachování hmotnosti........................................... 53
7.3.1 Odvození rovnice kontinuity z BKR .................................. 53
7.3.2 Odvození pomocí dynamiky tekutin .................................. 54
7.3.3 Srážkový člen............................................... 54
7.4 Zákon zachování hybnosti............................................ 54
7.4.1 Odvození pohybové rovnice....................................... 54
7.4.2 Srážkový člen............................................... 55
7.5 Zákon zachování energie............................................. 56
7.5.1 Odvození rovnice pro transport energie................................. 56
7.5.2 Fyzikální interpretace.......................................... 57
7.5.3 Zjednodušující předpoklady....................................... 58
7.5.4 Model studeného plazmatu....................................... 59
7.5.5 Moclel teplého plazmatu......................................... 59
8 Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu 60
8.1 Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu......................... 60
8.2 Rovnice kontinuity................................................ 61
6 Obsah
8.3 Pohybová rovnice................................................. 62
8.4 Rovnice energie.................................................. 62
8.5 Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu................................ 64
8.5.1 Maxwellovské rovnice rotace ...................................... 64
8.5.2 Zákon zachování el. náboje....................................... 64
8.5.3 Zobecněný Ohmův zákon........................................ 65
8.6 Zjednodušené magnetohyclroclynamieké rovnice................................ 67
9 Vodivost plazmatu a difúze 68
9.1 Langevin rovnice................................................. 68
9.2 Linearizace Langevinovy rovnice ................ ........................ 69
9.3 Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů................................ 69
9.3.1 Izotropní plazma............................................. 70
9.3.2 Anizotropní magnetoplazma....................................... 70
9.4 Střídavá vodivost a elektronová pohyblivost.................................. 72
9.5 Vodivost při uvažování pohybu iontů...................................... 72
9.6 Plazma jako dielektrikum............................................ 73
9.7 Difúze volných elektronů............................................. 73
9.8 Difúze elektronů v mg. poli........................................... 75
9.9 Ambipolarní difúze................................................ 76
10 Některé základní jevy v plazmatu 78
10.1 Elektronové plazmové oscilace.......................................... 78
10.2 Problém Debyeovského stínění ......................................... 79
10.2.1 Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice ............................... 81
10.2.2 Stěnová vrstva.............................................. 82
11 Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen 86
11.1 Boltzmannova rovnice.................. ............................ 86
11.1.1 Odvození Boltzmannova srážkového integrálu............................. 86
11.1.2 Jakobián transformace.......................................... 87
11.1.3 Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek ......................... 88
11.2 Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu ......................... 88
Obsah 7
11.2.1 Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu ...................... 88
11.2.2 Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu ...................... 89
11.2.3 Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek.............................. 90
11.3 Fokker-Planckova rovnice ............................................ 90
11.3.1 Odvození Fokker-Planckova srážkového členu............................. 90
Kapitola 1
Uvod
1.6   Kritéria pro definici plazmatu
1.6.1 Kvazineutralita
Pokud nejsou přítomny nějaké vnější poruchy je plazma makroskopicky neutrální, tzv. kvazineutrální. V opačném případě vznik velkých Coulombovských sil obnovujících kvazineutralitu. Musely by být vyvažovány enormně velkou kinetickou (tepelnou) energií částic.
Odchylky od kvazineutrality jen na vzdálenostech, na kterých je možné elstat. potenciální energii vyvážit tepelnou energií částic « charakteristická délková míra v plazmatu, tzv. Debyeovská délka.
1.6.2 Debyeovské stínění
Debyeovská délka je důležitý fyzikální parametr popisující plazma: míra vzdálenosti, na kterou nabitá částice "pocítí" vliv jiné nabité částice nebo plochy s nenulovým potenciálem. Odstínění je důsledkem kolektivního chování částic.
Pokud je v plazmatu nějaká stěna, jím vytvořená perturbace se může šířit do vzdálenosti řádově Ad od tohoto povrchu. Oblast v blízkosti stěny, která se nedá považovat za kvazineutrální se nazývá stěnová vrstva (angl. sheath).
Ad je velmi malé
• výboje v plynech T — 104 K a ne — 1016 m~3 =>• Ad — 10-4 m
• ionosféra T — 103 K a ne — 1012 m~3 =>• Ad — 10~3 m.
• mezihvězdné plazma => Debyeovská délka až několik metrů
Definujeme Debyeovu kouli: koule uvnitř plazmatu o poloměru Ad- Elstat. pole mimo tuto kouli je odstíněno => každý náboj v plazmatu interaguje kolektivně pouze s nabitými částicemi v Debyeově kouli.
Počet elektronů v Debyeově kouli je roven
(1.1)
(1.2)
Debyeovské stínění je charakteristické pro všechny typy plazmatu => první tři kritéria pro definici plazmatu: 1. V médium musí být dostatek prostoru pro kolektivní stínící efekt
L > AD,
(1.3)
kde L jsou fyzikální rozměry plazmatu. 2. dostatečně velký počet částic uvnitř Debyeovy koule
neAD
> 1.
(1.4)
Definujeme plazmový parametr
1
(1.5)
9 =
a podmínka g <C 1 je tzv. plazmová aproximace.
1.6. Kritéria pro defínici plazmatu
3. Ačkoliv vztah (1.3) již vyjadřuje podmínku kvazineutrality často se tato podmínka zdůrazňuje nezávisle:
1.6.3   Plazmová frekvence
Důležitou vlastností plazmatu je stabilita jeho kvazineutrality. Pokud je plazma vychylováno z rovnovážných podmínek, kolektivních pohybů částic kvůli obnovení nábojové neutrality =>•. charakterizováno přirozenou frekvencí, tzv. plazmová frekvence. Perioda oscilací — přirozené časové měřítko pro srovnání s disipativními mechanizmy potlačujícími kolektivní pohyby elektronů.
Elektronová plazmová frekvence
^)     ■ (1.7)
čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu:
Srážky mezi elektrony a neutrály tlumí oscilace, ty nesmí být potlačovány příliš
fpe > "en, (1-8)
kde ven je srážková frekvence elektronů s neutrály, vve — cjpe/27r. Alternativně
CJpet > 1, (1.9)
kde t — l/Ven vyjadřuje průměrnou dobu, kterou elektron putuje mezi dvěma srážkami s neutrály. Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu také vyjadřuje, že průměrná doba mezi srážkami elektron-neutrál musí být velká ve srovnání s charakteristickou dobou, během níž se mění fyzikální parametry plazmatu.
Kapitola 2
Pohyb částic v elektromagnetických polích
2.1 Uvod
Studium pohybu nabitých částic v silových polích umožňuje získat fyzikální náhled na dynamické procesy v plazmatu, protože přírodní i laboratorní plazmata jsou často ovlivňována externími silovými poli. Zároveň to umožňuje získat informace o některých makroskopických jevech, které jsou výsledkem kolektivního chování velkého počtu částic.
Magnetické pole B udržuje nabité částice v plazmatu, a tím udržuje samotné plazma. Elektrické pole E je v laboratoři často využíváno pro generaci plazmatu. Pohybová rovnice pro Lorentzovu sílu F je
^ = F = q(E+VxB), (2.1)
kde p je moment hybnosti částice a v jeho rychlost. Rovnice je relativisticky správná pokud
p = jmv , (2.2) kde to je klidová hmotnost částice a 7 je Lorentzův faktor definovaný
7 = (1 - t,2/c2r1/2 • (2.3)
V mnoha případech však vystačíme s nerelativistiským přiblížením
dv
to— =g(E+vxB). (2.4) dí
Řešení v homogenním elektrostatickém poli je triviálním opakováním. Stručně si tedy v následující kapitole zopakujeme řešení v homogenním magnetostatickém poli a v kombinaci obou.
2.2   Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum 2.2.1   Formální řešení pohybové rovnice
V případě neexistence elektrického pole řešíme pohybovou rovnici
dv
to— = q(v x B). (2.5)
Je výhodné rozložit rychlost v na komponentu paralelní se směrem B & v± kolmou na B. Pak pro tyto dvě komponenty rychlosti dostaneme následující formální řešení
—   konst (2-6) v±   =   Í2cxrc, (2.7)
kde
S2C =   ^ = = ncS2c. (2.8)
TO TO
Výsledná trajektorie částice je superpozicí pohybu s konstantní rychlostí podél B a kruhového pohybu v rovině kolmé na B, takže částice opisuje šroubovici. Uhel mezi B a směrem pohybu částice (úhel sklonu)
a = 8Ín-1(^)=tan-^(^). (2.9)
Poloměr kruhové dráhy nazývaný též gyračni, cyklotronový nebo Larmorův poloměr je
V±_ TOfJ_
nc \q\B
(2.10)
2.2. Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum
11
2.2.2   Magnetický moment
Magnetický moment m asociovaný s cirkulačním pohybem náboje, tj. proudem /, je kolmý k ploše A, kterou definuje trajektorie cirkulujícího náboje a má opačný směr než externě aplikované pole B. Jeho velikost je dána
\m\=IA. (2.11)
Proud můžeme vyjádřit jako tok náboje:
/=M = Mfi£, (212)
Tc 2-7T
kde Tc — 2tt/ÍIc je perioda orbitálního pohybu (cyklotronová nebo Larmorova perioda). Velikost m může tedy vyjádřit i jako
M = ^^ = \\iM (2.i3)
nebo použitím vztahu fžc — \q\B/m a rc — t>j_/fžc jako
,   ,     \mv2, Wj_
h = = , (2.14)
kde Wj_ vyjadřuje část kinetické energie částice asociované s transverzální rychlostí v±. Ve vektorové podobě pak můžeme psát
m=-^B. (2.15)
2.2.3   Magnetizační proud
Uvažujme nyní soubor nabitých částic, kladných a záporných ve stejném počtu (např. případ plazmatu s malou hustotou, kde můžeme zanedbat srážky částic). Pak platí, že střední doba mezi srážkami je mnohem větší než gyrační perioda (tato podmínka je splněna pro mnoho plazmat ve vesmíru). Pak magnetické momenty, které jsou spojené s pohybem částic (hustotou proudu), vytváří vnitřní magnetické pole, které může být tak silné, že významně mění vnější magnetické pole.
Abychom vyjádřili výslednou hustotu el. proudu, uvažujme makroskopický objem, který obsahuje velké množství částic. Nechť S je část plochy v tomto objemu a křivka C tuto plochu ohraničuje. Na rozdíl od částic na trajektoriích, které protínající plochu S jedenkrát (trajektorie 1 na obrázku), částice na trajektoriích protínající S dvakrát (trajektorie 2 na obrázku) nepřispívají k výslednému proudu.
Označíme dl element křivky C. Počet trajektorií, které obkrouží dl je nA ■ dl, kde n je počet trajektorií odpovídajících proudu I na jednotkový objem a A je orientovaná plocha, kterou každá trajektorie uzavírá. Výsledný proud protínající S je pak dán integrací proudu kolem dl přes celou křivku C:
In = j> InA-dl. (2.16)
Protože m — IA je magnetický moment na jednotku objemu, je magnetizační vektor M dán
M — nm — nIA , (2.17)
takže
In — <j) M ■ dl — J (V x M) • dS .
Můžeme definovat průměrnou hustotu magnetizačního proudu protínající plochu S:
(2.18)
Jn= / JM-dS, (2.19)
Js
takže dostáváme
JM = V x M, (2.20)
kde
M — nm — - ——
B. (2.21)
Hustotu náboje pm spojenou s hustotou magnetizačního proudu Jm můžeme vyjádřit z rovnice kontinuity
^f + V-JM = 0. (2.22)
12
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
Protože Jm — V x M a protože pro libovolný vektor a platí V • (V x a) — 0, je hustota náboje pu konstantní v čase. V Maxwellově rovnici
VxB^,|j|f„^J (2.23)
můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na dvě složky: magnetizační hustotu proudu Jm a hustotu J' odpovídající jiným zdrojům, tj.
J = JM + J'- (2.24)
Když vyjádříme Jm pomocí M, dostaneme
VxB=w|vxM + J' + e„^J, (2.25)
což můžeme ještě přeuspořádat jako
Vx(-8-M|=/ + f„?. (2.26) Definujeme-li efektivní magnetické pole H vztahem
B = fi0(H + M) (2.27)
můžeme rovnici (2.26) napsat jako
VxH = J'|f„?. (2.28) ot
Pokud je M úměrné B nebo H
M = XmH, (2.29)
existuje jednoduchý lineární vztah mezi B a H. Konstanta xm se nazývá magnetická susceptibilita prostředí. Pro plazma je však M a l/B (viz rovnice (2.21)), takže není výhodné popisovat plazma jako magnetické prostředí.
2.3   Homogenní elektrostatické a magnetostatické pole
Provedeme opět formální řešení pohybové rovnice
to^ = q(E + v x B) (2.30)
dí
B
v(t) =í2cxrc+ ~^p2    + g^ít + y|| (0). (2.31)
První člen představuje gyrační kruhový pohyb, druhý člen je drift ve gyračního středu ve směru kolmém na Ej_ a B), třetí člen je konstantní zrychlení gyračního středu podél B a poslední člen je počáteční rychlost rovnoběžná s B. Rychlost ve nezávisí na hmotnosti ani znaménku náboje a často se nazývá plazmová driftová rychlost nebo elektromagnetický plazmový drift. Protože E|| x B — 0, můžeme psát
2.4   Drift způsobený externí silou
Jestliže je přítomna nějaká další externí síla (gravitační nebo inerciální, pokud uvažujeme neinerciální souřadný systém), musí se pohybová rovnice modifikovat:
áv
to— = q(E + v x B) + F . (2.33)
Efekt této síly je formálně podobný působení el. síly. Předpokládejme, že F je homogenní a konstantní v čase. Potom analogicky k elektromagnetické driftové rychlosti, tato síla způsobí drift, jehož komponenta kolmá na B je
F x B
~q~B
V případě homogenního gravitačního pole F — mg
m g x B
vf = -ZET ■ (2'34)
(2.35)
2.5. Prostorově nehomogenní magnetické pole
13
2.5   Prostorově nehomogenní magnetické pole
Pro prostorově nehomogenní pole je integrace pohybové rovnice matematicky náročný problém. Pokud nás však nezajímají detaily pohybu částice a můžeme předpokládat, že magnetické pole je silné a pomalu se měnící, zatímco el. pole je slabé. Prostorovou škálou je v tomto případě gyrační poloměr:
|VSlrc«l. (2.36)
B
Řešení pohybu částic založeném na této aproximaci se často říká aproximace gyračního středu nebo Alfvénova aproximace. Pokud se může libovolná ze tří komponent vektoru B měnit v prostoru, máme celkem 9 parametrů.
/ dBx/dx  dBy/dx  dBz/dx \ / x \
VB — (x   y   z)     dBx/dy   dBy/dy   ÔBz/dy ý (2.37)
\ dBx/dz   dBy/dz   dBz/dz ) \ z )
Pouze osm jich je však nezávislých, protože
dBx    dBv dBz
V • B = —- + —^ + —- = 0 2.38
ox       oy oz
V následujícím budeme předpokládat kartézský systém souřadnic, v němž
B(0,0,0) = B0 = B0ž (2.39)
Devět komponent tenzoru VB můžeme seskupit do čtyř skupin:
divergentní členy dBx/dx,    dBy/dy, dBz/dz gradientní členy dBz/dx, dBz/dy členy zakřivení dBx/dz, dBy/dz smykové členy dBx/dy, dBy/dx
2.5.1   Divergentní členy
Abychom lépe rozumněli prostorové nehomogenitě magnetického pole, je dobré si znázornit magnetické siločáry pro jednotlivé případy. Diferenciální element siločáry vyjádříme jako
ds = dxx + dyý + dzž (2.40)
Pak musí platit, že
ds x B = 0 (2.41)
což dává vztah
dx     dy     dz . .
— = — = — . (2.42) Bx     By Bz
Protože nás nyní zajímá jen divergentní člen a kolem počátku směřuje pole především podél osy z, můžeme rozvést Bx a By do Taylorovy řady:
/dB \ (dB \
5,(^,0,0) = 5,(0, 0,0)+ i-g^Ui = \ -qŽ)xi (2'43)
By(0,yi,0) = 5,(0,0,0) + {^f)y^ (2'44)
Magnetické siločáry protínající rovinu z — 0 y bodě (xi,yi, 0) splňují následující rovnice
dx     Bx      1 (dBx\
áy    _By    _       1 (8By
dz     Bz     Bz \ dy
yi      (x = 0) (2.46)
14
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
2.5.2   Gradient a zakřivení
Magnetické pole vyjádřené následujícím vztahem vykazuje gradient ve směru x
B = Bzž = B0(í + ax)ž (2.47)
Musíme si uvědomit, že v oblasti, kde J — 0, by toto pole nesplňovalo Maxwellovu rovnici V x B — 0, takže musíme přidat i člen zakřivení Bxx — Bgazx a magnetické pole vyjádříme jako.
B — B0 [azx + (1 + ax)ž] (2.48)
Většinou ovšem nastává situace, kdy jsou přítomny všechny členy odpovídající divergenci, gradientu a zakřivení (např. magnetické pole Země). Smykové členy nevyvolávají v aproximaci prvního řádu žádné drifty, a proto se jimi dále nebudeme zabývat.
2.6   Aproximativní řešení pohybové rovnice v nehomogenním magnetostatickém poli
Opět uvažujeme případ
B(0,0,0) = B0 = B0ž (2.49)
Blízko počátku můžeme provést Taylorův rozvoj
B(r) = B0 + r-(VB) + ... (2.50)
a předpokládáme
ÔB = |r • (VB)| < |B0|. (2.51)
takže magnetické pole působící na částici se liší velmi málo od pole ve gyračním středu. Clen prvního řádu Taylorova rozvoje r ■ (VB) můžeme explicitně zapsat jako
r.(VB) = (r.V)B=(z±+y±+z£)B =
dBx      dBx      dBx\ „    / dBv      dBv dBv ox        oy        oz J       \   ox        oy oz
dBz      dBz      dBz\ „ x—^+y—^+z—^)ž (2.52) ox        oy        Oz J
přičemž derivace musí být provedeny v počátku souřadného systému.
Jestliže dosadíme aproximativní vyjádření B (2.50) do pohybové rovnice, dostáváme
áv
to— — q(v x B0) + qv x [r ■ (VB)] (2.53)
Rychlost částice je přibližně součtem
,= ,(o) + ,(i) = ^ + d^ (2 54)
dí dí
kde       je porucha prvního řádu
,(o)
(2.55)
a v(°) je řešením rovnice nulového řádu
to——— — q (v^ x Bq j (2.56)
dí
které již bylo diskutováno dříve. Pokud dosadíme rozvoj rychlosti do rovnice (2.53) a zanedbáme členy druhého řádu
= q(v x B0) + qVW x [/0) • (VB)] (2.57)
Druhý člen představuje jakousi dodatečnou sílu k případu homogenního magnetického pole. Tato síla však není konstantní a závisí na okamžité poloze částice. Proto se během jedné gyrační periody objeví malé oscilace. Pokud nás zajímá jen pohyb gyračního středu, stačí se zajímat o tuto sílu vystředovanou přes jednu gyrační periodu.
2.7. Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody
15
2.7   Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody
Zavedeme souřadný systém, jehož počátek se pohybuje počáteční rychlostí částice ve směru rovnoběžném s B. V homogenním poli by pak částice konala kruhový pohyb. V uvažovaném slabě nehomogenním poli se trajektorie částice nebude příliš lišit. Pokud by ale byly siločáry mg pole zakřivené, nebyl by náš zvolený souřadný systém inerciální, museli bychom uvažovat inerciální síly a v důsledku toho by se projevil další drift. Prozatím budeme předpokládat, že siločáry zakřiveny nejsou a tomuto problému se budeme věnovat v jedné z dalších kapitol.
Vzhledek k výše uvedeným předpokladům se vektory nulového řádu, i/0-1 a r^-°\ nachází v rovině (x, y). Silový člen
F = ai/0)
r(0) • (VB) (2.58)
můžeme rozdělit na komponentu F\\ podél Bq (osy z) a komponentu F±_ kolmou k Bo- Použijeme-li lokální válcové souřadnice (r, 6, z), jejichž osa z míří ve směru Bq, máme
r(°)-(VB)=r(°)?. (2.59)
ar
Protože (9-složka mg pole je rovnoběžná s        nepřispívá k F, zatímco BTr přispívá k F|| a Bzž k Fj_. Proto
F,   =   q(x ř) r<°>^ = Mi/°V°) (2.60) n \ J       dr ar
F±   =   q(vWxž)rW^ = -\q\vWrW^ř, (2.61) V /       ar ar
kde r(°) je cyklotronový poloměr odpovídající Bq
rl0'=nľ = Ä' (2'62)
Použijeme-li vztah pro velikost magnetického momentu (2.14), můžeme vztahy přepsat
.dBr
dr
Střední hodnoty F|| a Fj_ přes jednu gyrační periodu jsou
1   ľ dBr ,n\    n. ,„,ídBr
F,,   =   2\m\ —-Ž (2.63)
" ar
F±   =   -2\m\^P (2.64)
(F„)   =   2\m\£{-f-£-dB)=2\m\£(\c^)) (2.65)
(F±)   =   -2\m\(^f^řáB^=-2\m\((ř^j). (2.66)
Vlivem střední síly (F||) dané vztahem (2.65) dochází ke zrychleni gyračního středu ve směru paralelním k Bq. Jde o efekt divergentních členů B. Střední síla (Fj_) je odpovědná za drift gyračního středu ve směru kolmém. Jde o vliv gradientních členů B.
2.7.1   Paralelní síla
Budeme se snažit nějak lépe vyjádřit ((^r)}- Maxwellova rovnice V • B — 0 ve válcových souřadnicích:
~{rBr) + ~{Bo) + ^{Bz) = 0 . (2.67) r or r ou oz
První člen můžeme rozepsat
1 d , „ ,     dBr Br
- — (rBr) = —^ + ^. 2.68 r or or r
Protože pro r — 0 máme BT — 0 a protože blízko počátku se BT mění jen málo, můžeme psát
Ba = *j± (2.69)
r or
16
Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích
a využitím předchozích dvou rovnic máme z V • B — 0
dBr       1/1 dBe dBz
dr        2 \r 88 dz Nyní vyjádříme střední hodnotu přes jednu gyrační periodu:
dr )'       2r\ 89
(2.70)
(2.71)
Dále platí
a protože dBz/dz je uvnitř trajektorie částice pomalu se měnící funkce, můžeme ji vytknout před integrál Navíc jsme nahradili Bz polem B, protože všechny prostorové změny jsou velmi malé. Konečně tedy dostáváme
£)>=-Kši).
což využijeme pro vyjádření střední hodnoty paralelní síly
,dB
F||) = -|m|— z = -|m|(Vi?)||
nebo
m
(F||) = (m.V)Bz = -y [(B-v)B]n
(2.75)
(2.76)
2.7.2   Kolmá síla
V rovině (x, y) budeme nyní uvažovat kartézskou soustavu souřadnic x — r cos((9) s. y — rsm{&). Pak
ř = cos((9)x + sin((9)ý
9     dx d ^ dy d d ^ . d
dr     dr dx    dr dy dx dy
Odtud
(ň,dBz . dBz cos(6»)-^— + sm(0)-^—
(2.77)
(2.78)
dB
dBz
= (cos2(6»)—ii) + (sin((9)cos(60—-ý>+
9x
9x
+ (cos(0) sin(0)^x) + (Sin2(ř?)^ý)
(2.79)
Dále budeme aproximovat (dBz/dx) výrazem (dB/dx) a (dBz/dy) výrazem (dB/dy). Protože jde o pomalu se měnící členy, můžeme je vytknout před integrál střední hodnoty a s využitím (sin(0) cos(0)) — 0, (sin2((9)) — (cos2((9)) = 1/2 dostaneme
,„dBz.     1&B„ 1&B„ ar       2 oi      2 dy
Tento výraz dosadíme do (2.66) pro sílu
<fj-> = -h ('Ítä+|^) = -h(vb)±.
(2.81)
2.8. Gradientní drift V B
17
2.7.3   Celková střední síla
S využitím výsledků předchozím dvou odstavců můžeme napsat výslednou střední sílu
(F) = -|m|(VB)|| - |m|(VB)_L = -\m\VB. (2.82) Alternativně můžeme využít vektorové identity
(VxB)x6 = (6-V)e-V^B2j (2.83)
a psát
(F> = —^[(B-V)B-(Vx B) x B] . (2.84) B
Protože m — —\m\B/B, dostáváme
(F) = (m-V)B + m x (V x B). (2.85)
Toto je obvyklý tvar pro sílu působící na malý prstencový proud vnořený v nehomogenním magnetickém poli. První člen na pravé straně udává sílu působící jen na magnetický dipól.
2.8   Gradientní drift VB
Ze vztahů (2.34) a (2.81) vidíme, že síla (F±) způsobí drift gyračního středu s rychlostí
W=(^ = -J!!!£5>ř». (2.80)
qBz q Bz
Tento gradientní drift je kolmý na B a jeho gradient. Jeho směr závisí na znaménku náboje, což může způsobit elektrický proud.
Fyzikální důvod gradientního driftu: gyrační poloměr klesá, když se pole zvětšuje —> poloměr zakřivení dráhy se zmenšuje v místech se silnějším B. Kladné ionty rotují po směru hodinových ručiček pro B směřující k pozorovateli, záporné náboje opačně (viz obr. ??) —> kladné ionty driftují vlevo, elektrony vpravo.
V případě bezsrážkového plazmatu je hustota magnetizačního proudu Jq způsobená gradientním driftem dána vztahem
JG = ^7 (2-87)
i
kde sumace běží přes všechny nabité částice ve vhodně zvoleném objemovém elementu ôV. Z předchozích dvou vztahů máme
2.9   Paralelní zrychlení gyračního středu
V případě existence divergentních členů nehomogenity magnetického pole, tj. jeho podélné změny (divergence nebo konvergence siločar ve směru osy z) urychluje síla (F||) částice ve směru klesajícího pole nezávisle na znaménku náboje (viz obr. ??). V následující části budeme diskutovat některé důsledky tohoto odpuzování gyračního středu od oblastí konvergujících magnetických siločar.
2.9.1   Invariantnost magnetického orbitálního momentu a magnetického toku
Vyjdeme ze vztahu (2.75) pro (F||)
m^f=<Fll) = -Hfi. (2-89)
Jestliže vynásobíme obě strany rovnice t>|| — dz/dt a nahradíme \m\ — Wj_/B dostaneme
18
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
Protože v magnetostatickém poli platí
W\\ + W± = konst. (2.91)
neboli
íW=->=-í(H)' <2-92»
dostaneme za pomoci (2.90)
d(W ,_W±dBdz _W±dB
ďt{W±)-^^ďi --B~ďľ' (2'93) kde dB/dt představuje změnu B, jak ji vidí pohybující se částice. Srovnáme-li tento výsledek s následující identitou
d /Tlr ^     d (Wi_B\     W^dB       d (W±_ ,
ďt^-ďt{^r)-if^ + Bďt{if^ (2-94)
dojdeme k závěru, že
neboli
\m\ = —±- = konst.. (2.96)
Jestliže se tedy částice pohybuje do oblasti konvergujícího nebo divergujícího B, mění se její gyrační poloměr, ale magnetický moment zůstává konstantní. Magnetický moment se ovšem zachovává pouze v použité aproximaci, tj. pokud jsou prostorové změny B uvnitř uzavřené části trajektorie malé ve srovnání s velikostí B. Proto se říká, že v tomto případě je orbitální magnetický moment adiabatickým invariantem, obvykle se mluví o prvním adiabatickém invariantu.
Magnetický tok <í>m plochou uzavřené části trajektorie částice je
ľ „   , -        9 m2v2,        2-7TTO / W± \
Proto
d ,      „       2-7TTO d , i .
ďí(<řm)^ďíH = 0 (2'98)
a částice pohybující se v oblasti konvergujícího pole B bude obíhat po dráze se stále menším poloměrem, aby magnetický tok uzavřený touto orbitou zůstal konstantní.
2.9.2   Efekt magnetického zrcadla
Částice pohybující se směrem ke konvergujícím magnetickým siločárám získává Wj_ v důsledku adiabatické invariance \m\ a <í>m (W±/B — konst. a B roste). Protože celková kinetická energie je v magnetostatickém poli konstantní, klesá W||    =>    pro dostatečně silné mg pole se může částice zastavit a pohybovat zpět    =>    odraz částice
Pokud máme dvě mg zrcadla, částice je uvězněna mezi nimi => magnetická nádoba. Toto zachycení ale není úplně perfektní. Jeho účinnost se udává jako "poměr zrcadla" Bm/Bq, kde Bm je intenzita mg pole v bodě reflexe (zde je úhel sklonu šroubovice tt/2) a -Bq je mg pole ve středu mg nádoby.
Uvažujme nabitou částici, která má ve středu nádoby úhel sklonu ao- Nechť v je rychlost částice, která v magnetostatickém poli zůstává konstantní. Protože se ani magnetický moment \m\ — Wj_/B nemění, platí
^mv2(sm2 a)/B = ^mv2(sm2 a0)/B0 , (2.99) kde a je úhel sklonu částice v místě s mg indukcí B. Proto pro tuto částici v libovolném bodě mg nádoby platí
sin^z) = sin^ao _ B{z) Bq
Předpokládejme nyní, že částice se odráží u ústí zrcadla, tj. a — tt/2 pro B (z) — Bm a proto
(sin2 a0)/B0 = 1/Bm . (2.101)
2.10. Drift zakřivení
19
To znamená, že částice mající úhel sklonu ao ve středu nádoby rovný
a0 = sin-1 [(So/S™)1/2] = sin-1 (v±/v)0 (2.102)
je odražena v bodě, kde je mg indukce Bm. V mg nádobě s poměrem Bm/Bo se částice mající úhel sklonu ve středu nádoby větší než ao odrazí před koncem mg nádoby. Na druhou stranu, jestliže má částice úhel sklonu ve středu nádoby menší než ao, nedosáhne tento úhel nikdy hodnoty tt/2 => částice unikne => existuje tedy ztrátový kužel se středem ve středu nádoby a s vrcholovým úhlem 2ao daným podle vztahu (2.102) poměrem Bm/Bo-
Kvůli výše uvedeným závěrům mají zařízení bez otevřených konců, tj. s mg siločárami uzavřenými do sebe, podstatnou výhodu při udržení plazmatu. Jednou z možností je torodiální geometrie. Zde ovšem činí problémy v udržení radiální nehomogenita pole. Proto je superponováno poloidální magnetické pole, což dává spirálové siločáry jako v tokamaku. Bohužel nestability a malé fluktuace opět ztěžují udržení horkého plazmatu.
Dobrým příkladem mg nádoby je magnetické pole Země, které zachycuje nabité částice z vesmíru nebo vzniklé ionizací atmosféry. Tyto částice tvoří Van Allenovi radiační pásy (viz obr. ??).
2.10   Drift zakřivení
Až doposud nebyly diskutovány jevy způsobené zakřivením mg siločar. Zde budeme studovat pouze drift způsobený zakřivením siločar (členy dBx/dz a dBy/dz), ale je dobré si uvědomit, že v tomto případě pole nesplňuje podmínku V x B — 0, takže drifty způsobené zakřivením a gradientem pole se vyskytují pohromadě.
Budeme předpokládat, že členy dBx/dz a dBy/dz jsou tak malé, že zakřivení siločar je velmi velké ve srovnání s gyračním poloměrem. Zavedeme lokální systém souřadnic pohybující se podél siločar rychlostí . Jednotkové vektory systému budou B ve směru siločáry, h\ ve směru hlavní normály k siločáře a «2 ve směru kolmém na siločáru. Protože nejde o inerciální systém, objeví se odstředivá síla. Fc
mvf,
Fc =---i «i, (2.103)
kde R označuje lokální poloměr zakřivení mg siločar a v\\
F x B mv\
^1^->XB)' (2'104)
Chceme vyjádřit jednotkový vektor h\ pomocí vektoru B (podél siločar). Uvažujme element úseku siločáry ds svírající úhel d(f> s B:
ds = Rd(p. (2.105) Jestliže dB označí změnu B díky posunu o ds, pak dB míří ve směru h\ a jeho velikost je
|dB| = \B\d<f> = d<f>. (2.106)
Následně
dB = ňid(/>. (2.107)
Když podělíme tuto rovnici rovnicí (2.105) dostáváme
dB _ n'i
ds R
Derivaci d/ds podél B můžeme zapsat jako (B • V), takže tuto rovnici můžeme dále upravit
"i
(2.108)
R     (B-V)B. (2.109)
Poslední rovnici můžeme dosadit do rovnice (2.103)
Fc = -mvj(B -V)B . (2.110)
20 Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích
Protože síla Fc je kolmá ke směru mg indukce B (její směr je dán vektorem —rii), způsobí drift s rychlostí
mv\
"c = -^j[(B-V)B]xB (2.111)
Protože B — BB, můžeme předchozí dvě rovnice zapsat také jako
2W\\ .
Fc = --g/[(B-V)B]±, (2.112)
2W» .
„c = --J[(B-V)B]xB. (2.113)
Protože pro náboje opačného znaménka je drift zakřivení opačného směru, objeví se elektrický proud
2.11   Kombinovaný drift gradient-zakřivení
Drift zakřivení a gradientní drift se vždy objevují společně a oba míří stejným směrem, protože V-B míří opačným směrem než Fc. Proto mohou být tyto dva drifty jednoduše sečteny:
ľGC = ľG + ľc = -^(VB) xB-^L[(B-V)B] x B. (2.115)
Jestliže neexistují objemové proudy (např. ve vakuu), takže V x B — 0, umožňuje vektorová identita (2.83) zápis v kompaktnější podobě
"GC = ~WiV*1 + \vl)iy\B2) X 8 ■ (2'116)
V zemské magnetosféře blízko rovníku gradientní drift (B klesá s výškou) a drift zakřivení způsobují pomalý drift kladně nabitých částic západním směrem a záporně nabitých částic východním směrem, tzv. prstencový proud.
2.12   Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli
V následujících kapitolách budeme analyzovat pohyb nabitých částic v přítomnosti časově proměnných polí. V prvních dvou případech budeme uvažovat kombinaci homogenního časově proměnného el. pole a homogenního magnetostatického pole B. Tento předpoklad je splněn pokud je toto magnetostatické pole mnohem větší než magnetické pole indukované časovou změnou E. El. pole můžeme považovat za homogenní, pokud jsou jeho prostorové změny zanedbatelné vzhledem ke gyračnímu poloměru.
2.12.1   Pohybová rovnice a polarizační drift
Na okamžik budeme předpokládat, že charakteristický čas změny el. pole je mnohem větší než gyrační perioda. Složka rychlosti částice model mg siločar je dána vztahem mdv\\/dt — qE\\, takže můžeme obecně psát
„„(^-„„(O)^ /ťE||(ť)dř', (2.117)
171 Jo
což nám zatím nepřináší žádnou novou zajímavou informaci.
Protože pole E je pomalu se měnící, nečekáme, že složka rychlosti kolmá na mg siločáry se bude příliš lišit od stacionárního případu. Proto je rozumné hledat analogické řešení k řešení ve tvaru v± — v'j_ + ve, tj.
v± = v'_L + vE+vp,
(2.118)
2.12. Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli
21
kde ve — E x B jB2 je elektromagnetická driftová rychlost, která se s časem pomalu mění. Dosazení tohoto vztahu do kolmé složky pohybové rovnice dává
TO^0i + ve + vP) = q[E± + (i/i + vE+ vp) x B] . (2.119)
Protože také ve — E± x B/B2, můžeme vztah přepsat jako
dv\ d ,E± x B.       dvv        .     „ „ ,„„N
m-± + m-i-^-) + m^.^xB + í,pxe. (2.120)
Jestliže položíme
můžeme rovnici (2.120) přepsat jako
dv\ dv,
m—p + m—1 dt dt
i i m—P — qV'± x B . (2.122)
Pokud by se druhý člen na levé straně dal položit roven nule, jde o rovnici, která popisuje kruhový pohyb kolem mg siločar. Porovnáme-li relativní velikosti druhého členu nalevo s pravou stranou rovnice, dostaneme
\mdvp/dt\ \{m2,qB2){d2Ejd2n = l{EJB)/v^m2)/{q2B2) = KK|(w/fic)2, (2.123)
\qv'± x B\ \qv'±B\
kde jsme předpokládali, že Ej_ je harmonicky časově proměnná veličina s kruhovou frekvencí uj. Bude-li tato frekvence mnohem menší než cyklotronová frekvence fžc, tj.
lo < nc (2.124)
a pokud je člen |t>E/t>i| rovněž malý, můžeme člen m(di/p/dí) ve srovnání s jinými členy rovnice (2.122) zanedbat a získáme rovnici ^
m^L=qv\xB, (2.125)
dt
která je identická případu statických polí. Z toho důvodu odpovídá v'j_ obvyklému kruhovému pohybu kolem mg siločar a nezávisí na změnách el. pole. Následující dva typy rychlostí tento kruhový pohyb doplňují:
= (2.126)
Pomalé změny el. pole tedy způsobí drift s rychlostí t>p nazývaný polarizační driftová rychlost.
Protože Vp má opačný směr pro částice opačného znaménka, časově závislé el. pole produkuje čistý polarizační proud v neutrálním plazmatu a plazma se tedy chová jako dielektrikum. Hustota polarizačního proudu Jv je rychlost toku kladných a záporných nábojů skrz jednotkovou plochu a je dána vztahem
i i
kde sčítáme přes všechny kladné a záporné náboje nacházející se v malém objemovém elementu ôV a pm je hustota hmotnosti plazmatu.
2.12.2   Dielektrická konstanta plazmatu
Polarizační vlastnosti plazmatu souvisí s časovou změnou el. pole. V konst. poli se totiž mohou elektrony a ionty nerušeně pohybovat, a tedy zachovávat kvazineutralitu. Protože se plazma chová jako dielektrikum, můžeme vzít do úvahy hustotu polarizačního proudu Jp tak, že zavedeme dielektrickou konstantu plazmatu. Za tím účelem můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na hustotu polarizačního proudu Jp a hustotu proudu způsobenou jinými zdroji Jo
J = JP + J0. (2.129)
Kombinací Jp se členem eodE/dt, který se objevuje na pravé straně Maxwellovy rovnice V x B, dostaneme
dE±    pmdE± pm   dE±      dE± ,01„n.
eo^r + B~2^r -eo(1 +        = e^r > (2-130)
22
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
kde
e = e0er = e0(l + -^ô) (2.131)
je efektívni elektrická permitivita ve směru kolmém na mg pole. V některých případech můžeme být relativní permitivita er velmi vysoká.
Výsledná hustota náboje pp, která se akumuluje jako důsledek polarizačního proudu Jp, musí splňovat rovnici kontinuity
^ + V-Jp = 0. (2.132)
pp = -^V-Ei. (2.133)
Z (2.132) a (2.128) máme
Pn B2
Celková hustota náboje může být rozdělena na
P = Po+PP, (2.134) kde po odpovídá Jo- Za předpokladu, že paralelní složka el. pole zmizí vidíme, že
V • E = -(po + PP) = ^ - -^V • £. (2.135)
Odtud s pomocí (2.131) máme Hustotu náboje pv můžeme tedy vzít korektně do úvahy zavedením efektivní elektrické permitivity e
V-E=^. (2.136)
Správnost zavedení efektivní elektrické permitivity plazmatu můžeme dále ověřit výpočtem celkové hustoty energie odpovídající poli £, která je pro dielektrické médium o efektivní permitivitě e dána eE2/2. Hustota energie el. pole je dána jako
WE = ^e0E2 (2.137)
Abychom vyjádřili dodatečnou driftovou kinetickou energii získanou částicí v důsledku polarizačního driftu, uvědomíme si, že vychýlení gyračního středu Ar pro změnu AEj_ za čas Aí je
m ,(9£j, .        7Yí  . . „
Ar — VpAt — —^(—^-)At — —^AE± . (2.138)
Příslušná práce vykonaná el. polem je pak
AW = qE± ■ (Ar) = ^E± • (AE±) = A(im£Í/B2). (2.139)
Kinetickou energii částice odpovídající polarizačnímu driftu pak vyjádříme s využitím (2.126) jako
AW = A(^mv2E). (2.140)
Sečteme-li přes všechny částice v jednotkovém objemu příspěvky, dostaneme celkovou změnu energie systému
AWV = A{l-Pmv2E) = A(iPmSÍ/B2). (2.141)
Hustota kinetické energie odpovídající kruhovému pohybu částice není ovlivněna změnami el. pole. Celková hustota energie Wt — We + Wy odpovídající el. poli je
WT = \e0E2 + \pmv2E = \e0E2{l + -gj) = \eE2 (2.142)
za předpokladu, že neexistuje paralelní složka el. pole. Tento výsledek dokončuje ověření správnosti zavedení efektivní el. permitivity plazmatu.
Kapitola 3
Základy kinetické teorie plazmatu
3.1 Úvod
Plazma je systém obsahující velké množství interagujících částic, takže je vhodné využít pro jeho analýzu statistický přístup.
3.2 Fázový prostor
V každém časovém okamžiku je částice plazmatu lokalizována pomocí polohového vektoru r
r — xx + yy + zz, (3.1) kde x, ý a z označuje jednotkové vektory ve směru os x, y a z. Rychlost těžiště částice je dána vektorem
v — vxx + Vyý + vzž, (3.2)
kde vK — dx/dt, vy — dy/dt a vz — dz/dt.
Analogicky ke konfigurační prostoru definovaném souřadnicemi poloh (x,y,z) zavedeme rychlostní prostor (fx,fy,fz) (viz obr. 3.2).
3.2.1 Jednočásticový fázový prostor
Klasická mechanika - dynamický stav každé částice určen polohovým vektorem a vektorem rychlosti => zavádíme fázový prostor (x,y, z,vK,vy,vz) (/i-prostor).
Dynamický stav každé částice reprezentován jedním bodem. Když se částice pohybuje, její reprezentativní bod opisuje trajektorii ve fázovém prostoru. Systém N částic je v každém okamžiku popsán N body fázového /i-prostoru.
3.2.2 Vícečásticový fázový prostor
T-prostor: systém N částic bez vnitřních stupňů volnosti reprezentován jedním bodem v 6-/V-dim prostoru, 3N souřadnice poloh (ri, ť2,»"n) a 3N souřadnice rychlostí (i/i, 1/2,     vn)- Jeden bod v T-prostoru koresponduje s mikroskopickým
Obrázek 3.1: Konfigurační a rychlostní prostor.
24
Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu
dA3r
dA3r dA3v
O v dA3v
Obrázek 3.2: Schematické znázornění objemového elementu d3rd3v se souřadnicemi r a, v v šestirozměrném prostoru.
stavem celého systému částic.
3.3 Objemové elementy
Malý objemový element v konfiguračním prostoru je dán jako d3r — dxdydz. Zde konečně velký objemový element obsahující dostatečné množství částic. Na druhou stranu dostatečně malý ve srovnání s charakteristickými rozměry prostorových změn fyzikálních veličin. Pokud v plynu obsahujícím 1018 molekul/m3 vezmeme v úvahu např. d3r — 1CP12 m3 (bod), nachází se v objemu d3r stále ještě 106 molekul.
Ve fázovém prostoru (/i-prostoru) je diferenciální objemový element zobrazen jako 6D kostka:
d3r d3v — dx dy dz dvx dvy dvz, (3-3)
Počet bodů uvnitř objemového elementu d3r d3v je obecně funkcí času a polohy objemového elementu ve fázovém prostoru. Souřadnice r a v fázového prostoru jsou navzájem nezávislé, protože představují polohu individuálních objemových elementů ve fázovém prostoru.
3.4 Rozdělovači funkce
deNa(r, v, ť) počet částic typu a uvnitř objemového elementu d?rd?v kolem souřadnic fázového prostoru (r,v) v čase t. Rozdělovači funkce ve fázovém prostoru je hustota bodů reprezentujících částice a
d6Na(r,v,t)
/Q(r, v, t) = ———- (3.4)
drr drv
/a(r, v,t) je kontinuální, kladná a konečná funkce svých argumentů. Klesá k nule, když se rychlost blíží k nekonečnu. Rozdělovači funkce je obecně funkcí polohového vektoru r => nehomogenní plazma.
V rychlostním prostoru může být rozdělovači funkce anizotropní, pokud závisí na orientaci vektoru rychlosti v, nebo izotropní pokud nezávisí na orientaci v, ale pouze na jeho velikosti, tj. na rychlosti částice v — \ v \.
Plazma v termodynamické rovnováze je popsáno homogenní, izotropní a časově nezávislou rozdělovači funkcí.
3.5. Hustota a průměrná rychlost
25
Jeden ze základních problémů kinetické teorie je určení rozdělovači funkce daného systému.
3.5 Hustota a průměrná rychlost
Hustota na(r, ť)
nQ(r,t) = ^ JďNa(r,v,t) (3.5)
nebo za použití definice (3.4)
na(r,t) = í fa(r,v,t)d3v. (3.6)
J v
Průměrná (driftová) rychlost uQ(r, í) je definovaná jako makroskopická rychlost toku částic a v okolí bodu s polohým vektorem r v čase t
ua(r,t) =       1        í vdeNa(r, v,ť). (3.7)
Použijeme-li definici rozdělovači funkce (3.4) dostáváme
ua(r,t) = —^— í vfa(r, v,t)d3v. (3.8) na(r,t) Jv
Tento vztah reprezentuje obvyklý statistický postup pro vyjadřování průměrných hodnot veličin. na{r,ť) a ua(r,t) jsou makroskopické proměnné, které závisí pouze na souřadnicích raí.
3.6 Boltzmannova kinetická rovnice
Závislost rozdělovači funkce na nezávislých proměnných (r, v) a t se řídí tzv. Boltzmannovou kinetickou rovnicí (BKR). Zde odvodíme bezsrážkovou BKR i obecnou podobu BKR zahrnující vliv interakcí mezi částicemi, aniž bychom explicitně odvodili konkrétní výraz pro srážkový člen.
3.6.1   Bezsrážková BKR
Připomeneme si, že
d6Na(r, v,ť) = fa(r, v,t)d3rd3v (3.9) Předpokládejme, že na každou částici působí vnější síla F. Bez interakcí bude částice za čas dt v bodě:
r'(t + dt) = r(ť) + vdt (3.10) v'{t + dt)   =   v(t) + adt, (3.11)
kde a — F/ma je zrychlení částice a ma její hmotnost. =>• částice a nacházející se v čase t v okolí (r, v) uvnitř d3rd3v budou za čas dt zaujímat objem d3r' d3v' v okolí bodu (r', v'). Jde o stále stejné částice a neuvažujeme žádné srážky:
fa(r', v', t + dť)d3r' d3v' = /Q(r, i/, í)d3r d3t;. (3.12)
Objemový element d3r d3f může mít zdeformovaný tvar v důsledku pohybu částic:
d3r' d3v' — \ J \ d3rd3v, (3.13) kde J označuje Jakobián transformace z (r, i/) na (ť, v'). Platí | J \— 1, takže
rfVdV^Ad3!) (3.14)
a z rovnice (3.12) dostáváme
[fa(ť, v',t + dt) - fa(r, v,ť)]d3rd3v = 0. (3.15)
První člen na levé straně rovnice (3.15) rozvineme do Taylorovy řady okolo /Q(r, v,t):
d f d f d f
fa(r + vdř, v + adt, t + dt) = fa(r, v, t) +        + (vx^- + vy^- + (3.16)
v^) + {a*d^ + ayd^ + azd^z)]dt'
26
Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu
přičemž zanedbáváme členy řádu (dt)2 a vyšší. Použijeme-li operátor nabla
V    ~ ^     ~ ^     ~ ^ (3 17)
dx    ^ dy dz
a podobně definujeme nabla operator v rychlostním prostoru
Vv = x— +y— + z—, (3.18)
OVX OVy ovz
dostáváme z (3.16)
'dfa(r, v,ť)
fa(r + vdt, v + adt, t + dt) — /Q(r, v, t) +
dt
+ v • V/Q(r, i/, t) + a • V„/Q(r, v, t)
dt. (3.19)
Po dosazení do vztahu (3.15) máme
dfa(r, v,ť)
dt
což je Boltzmannova kinetická rovnice v bezsrážkovém případě Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru
+ v • V/Q(r, v, t) + a • V„/Q(r, i/, í) = 0, (3.20)
"MLLŘ = o, (3.21)
kde operátor
g = |+v.V + a.V„ (3.22)
představuje úplnou derivaci vzhledem k času, ve fázovém prostoru. => zákon zachování hustoty bodů ve fázovém prostoru, tzv. Liouvillův teorém - srážky stejně jako radiační ztráty a procesy vzniku a zániku částic nepovažujeme za důležité.
3.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru
3.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi
Vliv interakcí mezi částicemi? => modifikace vztahu (3.20). Díky srážkám mohou během času dt některé částice a, které byly původně v d?rd?v, z tohoto elementu zmizet a obráceně jiné částice, které byly mimo tento objemový element, se v něm mohou objevit. Čistý zisk nebo úbytek částic a z d?rd?v způsobený srážkami v průběhu časového intervalu dt označíme
ôfg(r, v, t) j ^
St
ďrďvdt, (3.23)
srazk
kde (ôfa(r, v,t)/ôt)srazk představuje rychlost změny fa(r, v,t) díky srážkám. Pokud tedy uvažujeme srážky, musíme vztah (3.15) přepsat jako
[fa(r', v', t + dt)- fa(r, v, t)]d3r d3v = (^°('?    ^ )       d3rd3vdt (3.24)
V      ot      J srazk
a Boltzmannova rovnice modifikována pro tento případ má tvar
1 v-V/Q(r, v,t)+a-Wvfa(r, v,t) =--- . (3.25)
dt V    st    7 srazk
Za použití operátoru úplného diferenciálu podle času definovaného vztahem (3.22) můžeme tento vztah přepsat do kompaktní podoby
Vfa(r,v,t) fSfa(r,v,ty
V    st    *     ■ (3'26)
Přesná podoba srážkového členu tímto ale není definována.
3.7. Relaxační model pro srážkový člen
27
r
(t + dt)
O
dA3r dA3 v
Obrázek 3.3: Schematické znázornění pohybu objemového elementu ve fázovém prostoru a částic vstupujících nebo vystupujících z tohoto elementu v důsledku srážek.
3.7   Relaxační model pro srážkový člen
Uvažujeme velmi jednoduché vyjádření srážkového členu, tzv. Krookův model nebo relaxační model. Existuje i mnohem propracovanější vyjádření, např. Boltzmannův srážkový integrál nebo Fokker-Planckův srážkový člen.
Předpokládá se, že srážky obnovují lokální rovnováhu (lokálně rovnovážná rozdělovači fce fao(r, v)). Pokud nepůsobí externí síly, systém, který původně není v rovnováze a je popsán rozdělovači funkcí /Q(r, v,t), dosáhne v průběhu času díky srážkám lokální rovnováhy podle exponenciálního zákona. Doba charakteristická pro tento proces je tzv. relaxační doba t. Relaxační doba řádově odpovídá době mezi dvěma srážkami a může být rovněž vyjádřena jako v-1, kde v je relaxační srážková frekvence. Model byl původně vyvinut Krookem:
fôfa(ľ,V,t)\ (fa - /qQ)
V    ôt    / srazk
Podle tohoto vztahu pro srážkový člen platí, že když fa — fa$ máme (5/Q(r, v,t)/ôt)srazk — 0, takže ve stavu lokální rovnováhy se rozdělovači funkce díky srážkám nemění.
Fyzikální smysl relaxačního modelu? Uvažujme BKR se srážkovým členem bez vnějších sil a prostorových gradientů, fao a T jsou na čase nezávislé:
~dt~               T          ' (3'28)
což můžeme přepsat jako
OJ^ + U^U0^ (3 29)
Ot T T
Řešení této jednoduché nehomogenní diferenciální rovnice dostaneme pomocí řešení příslušné homogenní rovnice, tj. Ce~llT (C je konstanta). Kompletní řešení rovnice je tedy
/a(v,í) = fa0 + [/Q(v,0) - /Q0]e-t/T. (3.30) Tedy, rozdíl mezi fa a fao exponencielně klesá v čase rychlostí, která odpovídá relaxační srážkové frekvenci v — 1/t.
28
Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu
Užitečný srážkový model, v mnoha případech vede k výsledků téměř identickým s těmi, které získáme pomocí Bolt-zmannova srážkového integrálu. Především vhodný pro slabě ionizované plazma (pouze srážky iontů s neutrály). Ale relaxační model se dá použít pouze pro srážky částic přibližně stejných hmotností.
3.8   Vlasovova rovnice
Aproximace - pohyb částic plazmatu je řízen jednak vnějšími silovými poli a jednak makroskopicky vystředovanými
Vlasovova rovnice je parciální diferenciální rovnice, která popisuje časový vývoj rozdělovači funkce ve fázovém prostoru a která přímo využívá makroskopicky vystředovaných elektromagnetických polí. Tuto rovnici můžeme získat z Boltzmannovy rovnice (3.20), když zahrneme do silového členu makroskopická pole
d f 1
-^f + v • V/Q +-[Fe,t + qa(Emt + v x Bmt)] ■ Vvfa = 0. (3.31)
ot ma
Zde Fext představuje vnější síly včetně síly Lorentzovi odpovídající externě přiloženým elektrickým a magnetickým polím a Eint, Bi„t jsou vystředované vnitřní elektrické a magnetické pole vznikající v důsledku přítomnosti a pohybu všech nabitých částic uvnitř plazmatu. Aby byly vnitřní makroskopické elmag pole Ei„t a Bi„t konzistentní s makroskopickým nábojem a proudy existující v plazmatu, musí splňovat Maxwellovy rovnice
V-Emt   = (3.32)
V-Bmt   =   0 (3.33)
VxEmi   = (3.34) ot
VxBml   =   Mo(j + e0^|^, (3.35) kde hustota náboje v plazmatu p a hustota proudu v plazmatu J jsou dány výrazy
p(r,t)   =   ^2qana(r,t) = ^qa j fa(r,v,t)d3v (3.36)
a a •>■"
J(r,í)   =   ^2qana(r, í)uQ(r,í) = ^qa / v/Q(r,v, t)d3v, (3.37)
a a •>■"
kde sumace probíhá přes různé nabité částice v plazmatu a uQ(r, ť) je makroskopická průměrná rychlost pro částice typu a daná vztahem (3.8).
Rovnice (3.31 až (3.35) představují kompletní soustavu self-konzistentních rovnic, které se musí řešit zároveň. Takže např. v iterativní postupu začneme s nějakými přibližnými hodnotami Ej„t(r, ť) a Bj„t(r, ť). Vyřešíme rovnici (3.31 a získáme /Q(r, v, ť) pro různé typy částic. Z rovnic (3.36) a (3.37) pak za použití vypočítaných rozdělovačích funkcí fa dostáváme hustotu náboje a proudu (p a J) v plazmatu. Jejich velikosti pak substitujeme do Maxwellových rovnic, které řešíme pro Ei„t(r, ť) a Bj„t(r, ť). Nyní hodnoty vystředovaných makroskopických elmag polí opět dosadíme do Vlasovovy rovnice a pokračujeme v postupu znovu dokola, abychom získali self-konzistentní řešení pro rozdělovači funkce jednotlivých typů částic.
Ačkoliv Vlasovova rovnice explicitně nezahrnuje srážkový člen na pravé straně, tj. nebere v úvahu krátkodosahové srážky, není až tak v tomto směru restriktivní, jak by se mohlo zdát, protože část efektů spojených s interakcí částic je už zahrnuta v Lorentzově síle přes vnitřní self-konzistetní vystředované elmag pole.
Kapitola 4
Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.1 Střední hodnota fyzikálni veličiny
Ke každé částici v plazmatu můžeme přiřadit nějakou její vlastnost %(r, v, t).
Celková velikost veličiny %(r, v,t) pro částice a uvnitř objemového elementu fázového prostoru d3rd3v je
X(r, v, t)d6Na(r, v, t) = x(r, v, t)fa(r, v, t)d3r d3v. (4.1) Velikost této veličiny uvnitř objemového elementu d3r nezávisle na rychlosti
d3r í X(r,v,t)fa(r,v,t)d3v. (4.2)
J v
Střední hodnota
(%(r, v, t))a = / x(r, i/, t)/a(r, v, í)d3«- (4.3)
na(r,t) Jv
4.2 Driftová a tepelná rychlost
Nechť %(r, i/,í) — v =>• střední neboli driftová (unášivou) rychlost ua{r,ť)
(4.4)
uQ(r,í) = (v)Q = —t1—- / vfa(r,v,t)d3v, na(r,t) Jv
Pokud x(r, i/,í) je nezávislá na rychlosti částic
(x(r,t)>a=x(r,t), (4.5)
takže např. (uQ) = tiQ.
Rychlost tepelného neuspořádaného pohybu neboli náhodná rychlost je definována vzhledem k ua(r,t) takto
Va = v-ua. (4.6)
Následně vždy platí, že (Va) — 0, neboť (v)a — ua.
4.3 Tok
Makroskopické veličiny hustota proudu částic (nebo tok částic), tenzor tlaku a vektor toku tepla (nebo tok tepelné energie) zahrnují vždy tok nějaké mikroskopické veličiny %(r, v,t). Tok %(r, v,ť) je definován jako velikost veličiny x(r, v, t) přenesené skrze daný povrch na jednotku plochy a jednotku času.
Uvažujme povrchový element
dS = dSň, (4.7) kde ň je jednotkový vektor ve směru normály povrchového elementu. Konveční orientace normály ň:
• pro uzavřený povrch => kladná normála ven,
• pro otevřený povrch => postup obvodem se jeví proti směru hodinových ručiček ze směru normály.
30 Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny
Částice v plazmatu se pohybují skrz povrchový element dS nesouce s sebou vlastnost x(r, v, t). Počet těchto částic typu za čas dtl
Částice mající rychlost (v, v + dv) a projdou skrze dS v časovém intervalu (t, t + dť) musí ležet v objemu hranolu o základně dS a stěně vdt. Objem hranolu:
d3r = dS-vdt = ň- vdSdt. (4.8)
Počet těchto částic v tomto objemu:
/Q(r, v,ť)d3rd3v = /Q(r, v,t)ň ■ vdSdtd3v, (4.9)
celková přenesená velikost x(r, v,t) během času dt skrze plochu ňdS:
/ x(r, v,t)fa(r, v,t)ň ■ vd3v dS dt.
J v
(4.10)
(4.11)
Čistý zisk transportu (tok) veličiny x(r, v, t) ve směru ň:
^an(x) = / x(r, v,t)fa(r, v,t)ň ■ vd3v
nebo za použití symbolů pro střední hodnotu
$cm(x) = na(r,t)(x(r, v,ť)h ■ v)a = na{xvn)a, (4.12) kde vn — ň ■ v označuje komponentu v ve směru jednotkového vektoru ň.
• x(ri vit) je skalární veličina => $an(x) Je komponenta vektoru toku <řQ(x) ve směru h, tj.
*a„(x) = ň-«a(x), (4.13)
kde
4>a(x) = na(Xv}a. (4.14)
• x(ri vit) je vektorová veličina => Qaix) je tenzor (2. řádu) toku:
4>a{x)=na{x®v)a. (4.15)
• x(ri vit) je tenzor 2. řádu => tok ve tvaru tenzoru 3. řádu a tak dále.
Můžeme oddělit příspěvek díky driftové rychlosti ua(r,t) a příspěvek související s náhodnou tepelnou rychlostí Va:
®an(x) = na{xVan) +na{xuan), (4.16)
kde Van — n ■ Va a uan — ň ■ ua.
Je-li ua — 0 nebo zvolíme dS v souřadném systému, který se pohybuje driftovou rychlostí ua
$an(x) = na{XVan), (4.17)
4.4   Tok částic
Tbfc částic: počet částic, které projdou daným povrchem na jednotku plochy za jednotku času. Vezmeme-li %(r, v, ť) — 1 ve vztahu (4.12):
^an{r,t) = na{vn)a = nauan, (4-18)
protože (Van) — 0.
Jestliže ua — 0, můžeme uvažovat tok pouze z kladného směru místo celkového čistého toku
Ttn(r,t)= f    h-Vafa(r,V,t)d3v, (4.19)
Jv{+)
kde integrujeme pouze přes rychlosti ň ■ Va > 0.
Náhodný tok hmoty v kladném směru ň je tedy dán vztahem mQ,r+rt, kde ma je hmotnost částic a.
4.5. Tenzor toku hybnosti 31
4.5   Tenzor toku hybnosti
• • • celková hybnost přenesená skrze povrchový element ňdS na jednotku plochy a času.
Xj=mav-j, (4.20) kde j je jednotkový vektor =>• složka TLajn(r, ť) tenzoru toku hybnosti
Iíajn(r,t) =na(ma(j ■ v)(ň ■ v))a = gma(vjVn)a, (4-21) kde gma — nama je hustota hmotnosti částic a. Platí ((uaVa) = ua(Va) = 0)
(4.22)
nebo v tenzorové podobě
ňa(r,t) = gma{Va <g> Í/Q) + £»mQtiQ (8> tiQ. (4.23)
V kartézských souřadnicích definovaných jednotkovými vektory x — (1,0,0), ý — (0,1,0), ž — (0,0,1) můžeme tenzot toku hybnosti zapsat
nn — x <e
nebo podle pravidel maticového násobení
-axx H~	x (g) ýUaXy + x í		(4.24)
-ayx H~	ý (g) ýnayy + ý í	5> ZHayZ	
-azx H~	ž (g) ýUazy + ž č	D zYLazz.	
			
	n^yy       YlayZ J	y	(4.25)
na2a;	n^^y naZz J		
Obvykle ovšem tenzor 2. řádu zapisujeme jen jako matici 3x3 obsahující prvky nQjj.
Ilajj = nQji =>• matice 3x3 je symetrická => pouze 6 prvků tenzoru toku hybnosti na sobě nezávislých.
4.6 Tenzor tlaku 4.6.1   Definice tlaku
Tlak plynu - sila na jednotku plochy vytvářená chaoticky se pohybujícími se molekulami plynu díky srážkám se stěnou nádoby obsahující plyn. Tato síla je rovna rychlosti přenosu hybnosti molekul na stěnu nádoby díky tepelnému (chaotickému) pohybu.
Definici tlaku zobecníme na jakýkoliv bod uvnitř plynu (myšlený plošný element dS — ňdS pohybující se střední rychlostí toku uvnitř plynu). Tlak na dS - tok hybnosti na plochu dS díky náhodnému pohybu částic.
Definujeme parciální tlak každého druhu částic a.
Vezmeme-li %(r, v, ť) — maVaj, dostaneme prvek Pajn tenzoru tlaku
Pctjn — Qmct (Vaj Van) ■ (4.26)
Tenzor tlaku je tedy dán jako
Pct — Qmct
(Va®Va). (4.27) Z (4.25) získáme vztah mezi tenzorem tlaku Pa a tenzorem toku hybnosti ľla
Pa = tla      QmaUct ® Ua. (4.28)
32
Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.6.2 Sila na jednotku plochy (způsobená tepelným pohybem)
Mějme malý objemový element ohraničený uzavřeným povrchem S a dS — hdS jako element povrchu patřící k S, jehož normála ň směřuje ven.
Předpokládejme na okamžik, že všechny částice a mají stejnou rychlost Va.
• Va svírá úhel menší než 90° s ň 4
na(Va ■ ň)dS je počet částic, které opouštějí objem => pokles hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —namaVa(Va ■ ň)dS, protože (Va ■ ň) > 0
• Va svírá úhel větší než 90° s n ^
na(Va ■ ň)dS je počet částic, které přicházejí do objemu => vzrůst hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —namaVa(Va ■ ň)dS, protože (Va ■ ň) < 0
Zobecněním, rychlost změny hybnosti plazmatu v uzavřeném objemu S, díky výměně částic a skrz povrchový element hdS:
-nama(Va{Va ■ h))dS = -Pa- ňdS (4.29)
Síla na jednotku plochy fa působící na plošný element ňdS jako výsledek náhodného pohybu částic je
fa = -Pa-ň = -Qma(Va(Va-ň)). (4.30)
Jestliže vezmeme ň — x, máme
Pa ' " —     xPaxx      yPctyx      zPazx, (4-31)
kde Paxx je normála k ploše => hydrostatický tlak, zatímco prvky Payx a Pazx jsou tlaky díky tangenciálním silám.
4.6.3 Síla na jednotku objemu (způsobená tepelným pohybem)
Sílu na jednotku objemu uvnitř plazmatu způsobená náhodným pohybem získáme integrací (4.29)
- lim Ú- l PandS] — —V • Pa (4.32) v^oLV Js
a z Gaussova teorému
- I Pa.ndS = - / VPQďV (4.33) J s Jv
4.6.4 Skalární tlak a absolutí teplota
Důležitá makroskopická veličina je skalární tlak neboli střední hydrostatický tlak:
Pa — ~Z ^ ^ P*ai,j        — ~Z ^ ^ Pai,i — ~zi^Paxx      Payy      Pazz)> (4.34)
3
kde Ôíj je Kronekerovo delta. Ze vztahu (4.26)
Pa = \pma(Vlx + Vay + Vaz) (4-35)
Protože V2 — V2X + V£y + V2Z, dostaneme
Pa = \pmaiV2) (4.36)
Dalším důležitým makroskopickým parametrem je teplota. Absolutní teplota Ta pro částice a je mírou střední kinetické energie náhodného pohybu částic. Z termodynamiky: střední tepelná energie kTai/2 přísluší každému translačnímu stupni volnosti (i — x,y,z):
lkTal = \raa(V^ (4-37) Jestliže je rozdělení izotropní (např. Maxwell-Boltzmannovo)
P a. — Pctxx — Pctyy — Pctzz — Pmct {Y^cti) (4.38)
4.7. Vektor toku tepla
33
P L CtXX	0	0
0	p ayy	0
0	0	p 1 ctzz
a tedy dostáváme stavovou rovnici pro ideálni plyn
Va — nakTa (4.39)
Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělelní
Pa = (x (g> x + ý (g> ý + ž (g) ž)pa = lpa, (4.40)
kde 1 je jednotkový tenzor
-     I1   ° °\
1=0   1   0 (4.41)
V o o i y
V tomto případě
-V • Pa = -(x—pa + ý^-pa + z—pa) = -VpQ, (4.42) čte az
takže pro izotropní rozdělení rychlosti je síla na jednotkový objem způsobená náhodným pohybem dána gradientem skalárního tlaku.
V některých praktických příkladech předpokládáme, že
Pa = X (g> xPaxx +ý <g> ýPayy + Ž <E> zPazz (4.43)
nebo
/ Paxx   0       0 \
(4.44)
což vyjadřuje anizotropii náhodných rychlostí, ale nepřítomnost tangenciálních sil, tj. viskozity. V tomto případě máme rozdílnou absolutní teplotu Tai pro každý směr.
4.7 Vektor toku tepla
Komponenta vektoru toku tepla qan je def. jako tok náhodné neboli tepelné energie skrz povrch s normálou h. Vezmeme x(r, v, ť) — raaV^/2 a dostaneme
qan = qa n = -pma{Va Va.n) (4.45)
Vektor toku tepla je tedy
qa = ^pma(VŠVa). (4.46)
4.8 Tenzor toku tepelné energie
Standardně můžeme zavést tenzor 3. řádu toku tepelné energie
Qa = pma (Va <g> Va <g> Va) (4.47)
a jeho složky
Qaijk = Pma(VmVajVak} (4.48)
Za použití kartézských souřadnic
Qa = Qax®x + Qay®ý,+Qaz®z (4.49) kde každé Qan (n — x, y, z) je tenzor 2. řádu
(Qaxxn     Qaxyn     Qaxzn \ Qayxn     Qayyn Qayzn (4.50) Qazxn     Q a z y n     Q a z z n J
Abychom získali vztah mezi vektorem toku tepla qa a tenzorem toku tepelné energie Qa, přepišme vztah (4.45) jako
qan = \Pma((VlVan) + (VlyVan) + (V^zVan)) (4.51)
a tedy
Qan — 2 (.Qctxxn H~ Qayyn H~ Qctzzn) (4.52)
34
Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.9 Tenzor toku celkové energie
Analogicky jako při definici tenzoru toku tepelné energie
Emjk(r,t) = pma(viVjVk)a, (4.53) což představuje jednu z 9 složek tenzoru toku celkové energie Ea{r,ť). Tato složka je vlastně součtem tří výrazů
(viVjVk)a   =   (VmVajVak + umVajVak + uajVakVm (4.54)
^akVaiVaj      ^ai^ajVak ^aj^ak^ai Uctk^aiVaj      ^ etiket j^ ak) ■
Neboť (uai) — uai a (Vai) — 0 a za použití (4.48) a (4.26)
Pma(viVjVk)a — Pma^ai^aj^ak      ("a, Pa)ijk      Qaijki (4.55)
kde jsme použili zápis
(ila, Pct)ijk — ^ai-Pajk      ^ctjPctki      UakPaij. (4.56)
Takže vztah (4.53) můžeme zapsat ve tvaru tenzoru 3. řádu
Éa(r,t) = pma{v <g> v <g> v)a = pmaua ® ua ® ua + (ua, Pa) + Qa (4.57)
Tenzor celkového toku energie je tedy součtem toku energie přenesené konvektivním pohybem částic (1. dva členy) a toku tepelné energie Qa způsobeného náhodným tepelným pohybem částic.
4.10 Vyšší momenty rozdělovači funkce
První čtyři momenty rozdělovači funkce jsou hustota na(r,t), driftová rychlost uai(r,t), tenzor 2. řádu toku hybnosti Uaij(r,t) a tenzor 3. řádu toku celkové energie Eaijk(r,t):
a(r,t)   =    / fa(r,v,t)d3v (4.58)
um(r,t)   =   (vi)a = —j—-ívlfa(r,v,t)d3v (4.59) na(r,t) Jv
Uaij(r,t)   =   pma{viVj)a = ma / vlvjfa(r,v,t)d3v (4.60)
J v
Emjk(r,t)   =   pma{viVjVk)a = ma    vlvjvkfa(r,v,t)d3v (4.61)
Jestliže uai(r,t) — 0, máme i/Q = 1/Q =>• z tenzoru toku hybnosti /7Q(r, í) se stane tenzor tlaku Pa a z tenzoru toku celkové energie Ea(r,t) se stane tenzor toku tepelné energie Qa.
Jako formální rozšíření výše uvedených definicí, můžeme, pokud je to nutné, zavést vyšší momenty rozdělovači funkce
«S..feM)= í viVj...vkfa(r,v,t)d3v, (4.62)
J V
kde složky rychlosti Ví se v integrálu objeví TV-krát.
Kapitola 5
Rovnovážný stav
5.1   Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu
Předpokládej me
• pouze jeden druh částic
• Fext = 0
• homogenně distribuované částice
• časově nezávislé řešení BKR
Jf)      =° ^
5í/Sraz
Později odvodíme výraz pro rovnovážnou rozdělovači funkci pomocí Boltzmannova srážkového integrálu, ale nyní budeme jednoduše pracovat s obecným principem detailní rovnováhy tak, jak se používá ve statistické fyzice.
5.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky
Za rovnovážných podmínek je pravděpodobnost výskytu jakéhokoliv fyzikálního jevu rovna pravděpodobnosti jevu inverzního (kompenzace).
fhďvďv! = /'/ídVdM (5.2)
a protože můžeme dokázat, že d?vd3vi — d3v'd3v[ dostaneme
/M/iKWVO/ÍK) (5.3)
Předpoklad, že rychlosti částic nejsou korelované je tzv. předpoklad molekulárního chaosu. Dobře platí pokud hustota plynu je tak malá, že střední volná dráha je větší něž charakteristický dosah sil mezi částicemi. Ačkoliv toto obecně není případ plazmatu, experiment ukazuje, že Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce je často použitelná.
5.1.2 Sumační invariant
Je výhodné zavést koncept sumačního invariantu srážky:
x(») + ^)-x(0 + x(ľí) (5-4)
Ze zákona zachování hmotnosti, hybnosti a energie získáváme tyto sumační invarianty:
m + mi   —   m + nii (5-5) mv + m\V\   —   mv'+ miv[ (5-6)
^mv2 + \^m,\v\   =   ]^m(v'ý + ^m1(v'1)2 (5.7)
(5.8)
5.1.3   Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce
Použijeme přirozený logaritmus na rovnici (5.3)
lnZ + lniWn/' + ln/í
(5.9)
36
Kapitola 5. Rovnovážny stav
=> ln / je sumační invariant srážkového procesu
=>■ lineární kombinace sumačních invariantů m, mv a mv2/2:
ln/ = m(a0 + 3i • v-a2v2/2), (5.10)
kde ao, a± — a\xx + a\yy + a\yy a a2 jsou konstanty.
ln/   =   m[a0 + (a\x + a2y + a2J/(2a2)] - -ma2[(vx - alx/a2)2 + (vy - aly/a2)2 + (vz - alz/a2)2
—   m{a0 + a2/(2a2)]-^ma2(v - ai/a2)2 (5-H) a definujeme konstanty
lnC = m[a0 + a2/(2a2)] (5.12)
v0 = ai/a2, (5.13)
takže
f = Cexp[--ma2(v - v0)2}, (5.14) což je Maxwell-Boltzmannovo nebo Maxwellovo rozdělení.
5.1.4   Určení konstatních koeficientů
Při určení pěti neznámých konstantních koeficientů v Maxwellově rozdělení vycházíme z
Následně dostáváme
mV2
n —	f d3
	Jv
u —	<*> =
3 ,	1
—nkT —	—nml
2	2 K
f (V) = n	f m
	\2iTkT
v (5.15)
- / fvd3v (5.16)
n J y
V2) = \m ( fV2d3v. (5.17)
Uvědomme si, že n a T jsou konstanty nezávislé na r a í.
5.1.5   Lokálni Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce
Často sice nejsme ve stavu termodynamické rovnováhy, ale velmi blízko. Dobrou aproximací je pak zavedení lokálni Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce
5.2   Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce
Předpokládáme, že u — 0 nebo se pozorovatel pohybuje střední rychlostí plynu => v — V:
/(•'>A'=K^)3M-i?)'ft'' (5-20)
5.2.1   Rozdělení komponenty rychlosti
g(vx)dvx = f(v)dvxdvydvz (5-21)
J Vy    J Vz
a dosazením M.-B. rozdělovači funkce
9{v*)dv*=n(^f2^{-^)dv*j_O0 exp(-i^K /_„ exp(-s)^- (5-22)
5.2. Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce
37
Každý integrál je roven (2ttkTjm)1I2, takže
/  m   \ V2      /   mv2 \
9Mdvx=n( — )     exp (- — jdu, (5.23)
=>■ každá komponenta rychlosti ma Gaussovské rozdělení, které je symetrické kolem [vi) — 0 pro i — x, y, z. Ale (v2) je kladné a vyjadřuje disperzi
1   /"+00 kT
(v2) = -         g{Vl)v2dVl = —. (5.24)
n _
Tento výsledek je v souladu s ekvipartičním teorémem
\m(vi) = \kT (5.25)
5.2.2   Rozdělení velikosti rychlosti
Protože M.-B. rozdělení je izotropní, můžeme definovat rozdělení velikosti rychlosti v = \v\. Přejdeme do sférických souřadnic
d3v = v2 sin 9d9d(f>dv. (5.26)
Rozdělovači funkce velikosti rychlosti F(v)
a tedy
F(v)dv= / / f (v)v2 sin 9d9d(f>dv (5.27)
5.2.3   Střední hodnoty související s rychlostí molekul
Střední hodnota velikosti rychlosti
1   ľ 1 í'°°
(v) = - / fvd3v = - /    F(v)vdv (5.29)
n ./,, n
o
a po výpočtu
Střední hodnota čtverce rychlosti
(v) = (S/rf^íkT/m)1'2. (5.30)
{v2) = " / / /      fv2dvxdvydvz = — /    ^/(iOcfo (5.31)
n J   J   J-co 71 JO
a tedy
(i,2) = 3/jT/to, (5.32)
y   1     z ^ \ xl       \ yl
Nejpravděpodobnější rychlost vp:
což odpovídá také vztahu v2 — v2 + v2 + v2 a (v2) — (v2) — (v2)
dv
a tedy
^       =0 (5.33)
v=v„
vp = (2kT/m)1/2. (5.34)
5.2.4   Náhodný tok částic
Tok částic
T„ = n(vn) =    fv ňd3v
J v
je pro náhodný pohyb částic roven nule. Jaký je tok na jednu stranu myšlené plochy?
(5.35)
/ kT \ 1/2 1
r = „   —       =-n{v) (5.36)
38
Kapitola 5. Rovnovážny stav
5.2.5   Kinetický tlak a tok tepla
Z definice tenzoru kinetického tlaku
P = Pm{V <8> V) = m í V® Vfd3v (5.37)
a vektoru toku tepla
<l=\pm(V*V) = ±mJv2Vfd3v (5.38)
dostaneme za použití M.-B. rozdělení
P = pm{{VŽ)x <g)x+ (V2)ý <g)ý + {V2)z <g> ž) = nÄ;T(x <8>x + ý<8>ý + ž(8)ž) (5.39)
a
q = 0, (5.40) protože integrály s lichými integrandy jsou rovny nule. Skalární tlak je tedy
p = nfcT. (5.41)
5.3   Rovnováha za přítomnosti vnějších sil
Plyn za rovnovážných podmínek vložený do pole konzervativních sil je popsán rozdělovači funkcí, která se liší od M.-B. rozdělovači funkce exponenciálním tzv. Boltzmannovým faktorem. Pole konzervativních sil popíšeme pomocí potenciální energie U(r):
F{r) = -Ví/(r). (5.42) Protože jde pouze o funkci r, předpokládáme, že řešení BKR je ve tvaru
f(r,v) = f0(yWr), (5.43)
kde fo(v) je M.-B. rovnovážná rozděl, fce. Určíme neznámou funkci ip(r) z BKR za rovnovážných podmínek v přítomnosti konzervativních sil:
v.V[f0(v)il>(r)] --[VU(r)].Vv[f0(vWr)] = 0. (5.44)
Ze vztahu pro fo(v) můžeme ověřit
mv
V„/oM = —j^Mv), (5-45)
takže rovnice (5.44) se zjednodušuje
f0(y)v.[Vý(r) + ^(r)VU(r)} = 0 (5.46)
a odtud
Protože dip — Vi/> ■ dr, můžeme vztah (5.47) přepsat jako
a řešení této rovnice je
kde An určíme z
takže
kT
Označíme uq hustotu v oblasti, kde U(r) — 0 za rovnovážných podmínek, takže
V,(r)=A0exp[-^], (5.49)
f(r,v)d3v = n(r), (5.50)
n(r) = A,exp[-^] / /„(u)^. (5.51)
no = / /o(«)^, (5-52)
5.4. Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice
39
kde jsme museli zvolit Aq — 1. Za rovnovážných podmínek, pro u — 0 a v přítomnosti konzervativnívh sil máme tedy rozdělovači funkci ve tvaru
f(r,v) = /o(^)exp[-^^] = n0
2^řJ   eXp[--*Ť-]
Hustota částic v systému s touto rozdělovači funkcí je popsána vztahem:
n(r) = n0exp[——]. Faktor exp[—U(r)/kT], který určuje nehomogenitu /(r, v) je Boltzmannův faktor. Důležitým případem v plazmatu je přítomnost elstat. pole
E = -V0(r),
kde <j>(r) je elstat. skalární potenciál. Potenciální energie je
U(r) = #(r)
a hustota částic s nábojem q v rovnovážném stavu
n(r) = n0exp[--—].
(5.53)
(5.54)
(5.55)
(5.56)
(5.57)
5.4   Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice
Ze statistické mechaniky můžeme určit stupeň ionizace plynu v termodynam. rovnováze za teploty T bez znalosti detailů ionizačního procesu. Pouze musíme rozumět pojmu ionizační energie (potenciál), který se udává v elektronvoltech. Hodnoty 1. ionizačního potenciálu některých atomů:
Element	U(eV)	
Helium (He)	24	59
Argon (Ar)	15	76
Nitrogen (N)	14	53
Oxygen (0)	13	62
Hydrogen (H)	13	60
Mercury (Hg)	10	44
Iron (Fe)	7	87
Sodium (Na)	5	14
Potassium (K)	4	34
Cesium (Cs)	3	89
Tepelná energie kT velikosti 1 eV ~ 11600 K ^> pouze při velmi vysokých teplotách tepelná enrgie částice 3kT/2 dosáhne ionizační energie. Přesto můžeme dosáhnout značného stupně ionizace i při nižších teplotách <ř=> částice z ocasu Maxwellova rozdělení u vysokých energií mají dostatečnou energii!
Použijeme vztah (5.54), ale musíme uvažovat kvantově-mechanicky:
na     ga     r {Ua - Ub)
— = —exp[--—-
m     gb kl
(5.58)
kde ga a gb jsou statistické váhy stavů s energiemi Ua a Ub, tj. degenerace těchto stavů. Pro konkrétní příklad systému majícího pouze tyto dva stavy je část a všech částic s vyšší energií Ua:
40
Kapitola 5. Rovnovážny stav
nebo z (5.58) a pro U — Ua — Ub
=    (9a/9b) exp(-U/kT) (ga/gb)exp(-U/kT) + l
Pokud při řešení problému ionizace vezmeme stav a jako stav iont-elektronového páru a stav b jako stav neutrálního atomu => U — Ua — Ub je ionizační energie a a je stupeň ionizace.
Teplota, při níž je a — 0.5 =>
^exp(--£-) = l, (5.61) 9b kl1/2
tj-
Tl/2     k \n(ga/gb)
Procento částic v ionizovaném stavu se mění z téměř nuly na téměř jedničku v úzkém teplotním intervalu, který můžeme odhadnout. Aproximujme a(T) přímkou a hledejme interval AT, na němž a — 0 a a — 1:
ída(T)\ 1
V  dT  )T       AT' ^
v 7 -il/2
Ze vztahu (5.60) za předpokladu d{ga/gb) / dT — 0
fda(T)\ T t^a2
V   dT L
x ' J-l/2
takže
T2(ga/gb)exp(-U/kT)
U (5.64)
AT2,
AT_     4TV2 _*L_
Hn(Ja/Jt)     [fcln(ffo/ff6)]2 l°-D0;
odkud vidíme, že čím vyšší je ga/gb, tím menší je AT. Degenerace ionizovaného stavuje mnohem vyšší => téměř skoková fce kolem Ti/2.
Degeneraci (váhy) ga a gb stavů musíme určit kvantově-mechanicky. Zde jen výsledek pro zanedbání malé interakce mezi volným elektronem a iontem a zanedbání vnitřních stupňů volnosti všech částic:
g a     { 2irmekT\3^2 1
gb     V     h2     ) n%
kde h je Planckova konstanta a    je hustota iontů. Dosazením do (5.58) dostáváme Sahovu rovnici
3/2
/ 2Trmek\     t3/2í_ ,_V_, nn     \   h2    j ni kT
(5.66)
(5.67)
Nebo vyjádřením konstatních faktorů, teploty T v eV a     v m
-3
^ = 3.00 x 1027T3/2- exp(-^). (5.68)
nn nt 1
=> Pokud je celková hustota n — ni + nn nízká, můžeme i při teplotách hodně pod ionizační energií dosáhnout značného stupně ionizace.
Kapitola 6
Interakce částic v plazmatu
6.1 Úvod
Slova srážka a interakce mohou být používány v mikroskopickém světě jako synonyma. Srážky dělíme na
• elastické, tj. pružné - platí zákon zachovaní hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, vzniku ani zániku částic.
• neelastické, tj. nepružné - změna vnitřního stavu několika nebo všech zúčastněných částic, možnost vzniku nebo zániku částic; rekombinace nabitých částic za vzniku částice neutrální; záchyt nabité částice částicí neutrální za vzniku větší nabité částice; energie elektronu atomu se může zvýšit => excitace elektronu do vyššího stavu nebo dokonce oddělení elektronu od atomu, tj. ionizace.
V plazmatu musí především rozlišovat
• interakce mezi nabitými částicemi: podle Coulombova zákona, tj. závislost 1/r2 =>• dalekodosáhové interakce => mnohonásobné interakce
• interakce mezi nabitou částicí a neutrálem nebo dvěma neutrály: silové pole neutrální částice dostatečně silné pouze v oblasti elektronového obalu => krátkodosahové interakce => neutrální částice neinteragují často s dalšími částicemi a naprosto zřídka s více částicemi zaráz => především binárni srážky
Mnoha-časticové Coloumbovské interakce můžeme popsat také jako současné binární interakce, v praxi jako sérii následných binárních interakcí s malým úhlem. Tyto interakce jsou důležité pro chování plazmatu. Nicméně ve slabě ionizovaném plazmatu nehrají několikanásobné interakce velkou roli a jednoduché binární srážky adektávně popisují jevy v plazmatu. Největší roli v těchto typech plazmatu pak hrají elektrony, protože rychle reagují na el. a mg. pole.
6.2   Binární srážky
Uvažujme pružnou srážku dvou částic o hmotnosti m a m\ o rychlostech v a V\ před srážkou a v' a v[ po srážce. V následujícím textu budou veličiny s čárkou označovat veličiny po srážce.
Můžeme pracovat v laboratorním systému souřadnic, ale konvečně spíše v systému, kde částice m je v klidu a částice mi se přibližuje relativní rychlostí
9=vi    v (6.1)
Po srážce je relativní rychlost
9' = "í - (6-2)
Záměrná vzdálenost b je definována jako definována jako minimální vzdálenost přiblížení, pokud by nedošlo k interakci. Uhel rozptylu je % a úhel orientace orbitální roviny (nebo roviny srážky) vzhledem k nějakému danému směru kolmému na orbitální rovinu je e.
Rychlost těžiště srážejících se částic před srážkou je
mv + mxvx
c0 =-■- (6.3)
m + mi
a po srazce
m + mi
Počáteční rychlosti můžeme vyjádřit pomocí Cq a g
(6.4)
v =   c0 - — g (6.5)
m
vi =   c0 + —g, (6.6)
Tlil
42
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
kde /i označuje redukovanou hmotnost Podobně obdržíme i rychlosti po srážce
mmi ía ~x
M=-:-■ (6-7
to + mi
v'   =   c'0-^g' (6.8)
m
v\   =   c^ + ^fi,'. (6.9) mi
Ze zákona zachování hybnosti během pružné srážky
mv + m\V\ — mv' + m\v[ (6.10)
nebo ze vztahů (6.3) a (6.4)
(to + toi)co — (m + toi)cq, (6-H)
takže
c0 = c0 (6.12)
Ze zákona zachování energie během pružné srážky máme
-(mv2 + mi«[) = — [to(i>')2 + TOi(f^)2] (6.13) a přímou úpravou vztahů (6.5), (6.6), (6.8) a (6.9)
\^mv2 + mxvl) = Í(to + toi)cq + ^g2 (6.14)
Í[to(i;')2+^iK)2] = \ (m + mi)co +\pg'2- (6.15)
Protože Co = Cq dostáváme
£ř = (6.16)
tedy velikost, ale nikoliv směr, je zachována při binárních pružných srážkách.
Uhel x mezi g a g' je ú/ieí rozptylu nebo také deflekční úhel. Abychom dostali vztah mezi vektory g a zvolíme např. kartézké souřadnice s osou z ve směru g. Máme tedy
ffx = ffy = 0 (6.17)
gz = g = g' (6.18)
g4 — g sin x cos e (6.19) = g sin x sin e (6.20) g'z = gcosx, (6-21)
kde e určuje relativní orientaci roviny srážky. Pokud tedy známe počáteční rychlosti a úhel rozptylu x můžeme určit rychlosti po srážce. Opačně, pokud známe konečné rychlosti a x, můžeme určit původní rychlosti. Tento fakt umožňuje jednoduše uvažovat o inverzní srážce, protože x je stejné jako pro přímou srážku (b, vzájemná síla a g jsou stejné).
Uhel rozptylu je jediná veličina, která závisí na detailech srážkového procesu. V případě vzájemné síly, která závisí pouze na vzdálenosti mezi interagujícími částicemi, x závisí na následujících parametrech:
1. zákon vzájemného silového působení
2. velikost vzájemné rychlosti g
3. záměrná vzdálenost b.
6.3   Dynamika binární srážky
Dynamika binární srážky je řízena zákonem vzájemného silového působení. Pro každé b existuje odpovídající x a jejich vztah je nezávislý na zákonu vzájemných sil. Tento vztah je obsažen v diferenciálním účinném průřezu definovaném v odstavci 6.5.
6.3. Dynamika binární srážky
43
Uvažujme srážku dvou částic m a m\ v souřadném systému částice m. Polohový vektor částice ui\ bude r. Předpokládáme, že síla interakce je centrální síla, tj.
F(r) = F(r)ř
a potenciální energii lze tedy vyjádřit takto
F(r) = -VU(r)
<9e/(r) dr
(6.22)
(6.23)
Pro centrální sílu je torze N — r x F(r) nulová. Torze je časová změna momentu hybnosti L — r x p
=>■ moment hybnosti je pohybová konstanta; r je stále kolmé na konstantní směr L => pohyb leží v rovině.
Použijeme polární souřadnice (r, 9) a uvědomíme si, že jednotkové vektory ŕ a 9 závisí na 9:
dr     dr _      dŕ     dr _      dŕ dŕ? — = —r + r— = —r + r--.
dí     dt        dt     dt       dd dt
Protože dr/d9 — 9 nebo jinak zapsáno
dr dr _ (iŕ? ~ — = —r + r—6»
dt     dt dt
ŕ — ŕŕ + r00.
(6.24)
(6.25)
(6.26)
(6.27)
Trajektorii částice nalezneme ze zákona zachování energie a momentu hybnosti pomocí analogie s jednočásticovým problémem. Kinetická energie relativního pohybu je
1
Ze ZZE
1
/i(ř2 +r292)
1
fi(ř2 + rz9z) + U(r) = — >Li£ř
(6.28)
(6.29)
Moment hybnosti vzhledem k počátku je dán
t=rx ((iř) — (ir29(ř x 9). Původní hodnota momentu hybnosti je b(ig, a tedy
r29 = bg.
Pomocí předchozích vztahů získáme diferenciální rovnici pro dráhu r (9). Napíšeme
dr     dr d9 dt     d9 dt '
použijeme (6.31) a (6.29) k eliminaci dB/dt a dr/dt. Diferenciální rovnice trajektorie:
dr\2 r4
d9 J b2
což přeskupíme takto
dO = ±-
i    b2 2U(r) r2 (ig2
-1/2
dr.
Výběr znaménka se musí udělat z fyzikálního náhledu. Kladné znaménko se použije pro 9 > 9m, záporné pro kde 9m je úhel v bodě největšího přiblížení (vertexa trajektorie). Polohový vektor v tomto bodě označíme rm.
Vzdálenost největšího přiblížení rm dostaneme z (6.33), když si uvědomíme dr/d9 — 0 a r — rm:
1     b2     2U(rm) ^ Q r?n lig2
(6.30)
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
< em.
(6.35)
44
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
Obrázek 6.1: Schematické znázornění srážky tuhých koulí.
tedy
= b
1 -
2U(rm)'
-1/2
(6.36)
Abychom určili úhel rozptylu x, uvědomme si, že
a integrujme vztah (6.34) od 6m po jiný úhel 6:
±
x = tt-29n
b2 2U{x) x2 ng2
-1/2
(stejná konvence znamének). Pro r —> oo máme 9i\ —> 0, zatímco 9i+\ —> 28m, takže
(-)
oo b
7(+)
' _ IP _ 2U(r) r2 ng2
-1/2
a úhel rozptylu je
X(b,g) = TT-2
1 _ &2 _ 2U(r) r2 ng2
dr
-1/2
dr.
(6.37)
(6.38)
(6.39)
(6.40)
Abychom mohli vypočítat x musíme znát záměrnou vzdálenost b, počáteční rychlosti g a vzájemnou potenciální energii intergajících částic U(r).
6.4   Vyjádření úhlu rozptylu
Ukážeme si dvě konkrétní použití vztahu (6.40) k určení úhlu rozptylu x pomocí záměrné vzdálenosti b a počáteční rychlosti g.
6.4.1   Dvě perfektně elastické tuhé koule
Uvažujme srážku dvou perfektně elastických tuhých koulí o poloměru i?i a i?2- Potenciální energie je dána
U(r)   =   Opror > i?i + i?2 (6.41) —   oo pro r < i?i + i?2.
6.5.  Účinný průřez
45
Protože koule nemohou do sebe pronikat je jejich vzdálenost r > i?i + R2 a tedy zjednodušíme vztah (6.40) jako
Použijeme substituci y — b j r:
což dává
oo b b/r„
1 -
-1/2
dr.
(1 - y2)-1/2dy, Jo
X = 7r-2sin 1(b/rm).
Pro b > i?i + i?2 nedochází k žádné interakci =>• rm — b. Pro 6 < i?i + i?2 se koule sráží =>• rm — Ri + R2.
b
X
tt — 2 arcsin
i?l + i? 2
=   0 pro b > i?i + i?2
pro b < i?i + i?2
(6.42)
(6.43)
(6.44)
(6.45)
6.4.2   Coulombovský interakční potenciál
Uvažujme případ Coulombovského pole, jehož interakční potenciální energie je
ttí  \ 1
U(r) =---,
47T£o r
kde q a qi jsou elektrické náboje částic o hmotnosti m a mi. Dosazenín do vztahu (6.40) dostaneme
-1/2
X(b, g) = Tr-2
oo b
_ lP_ _ qqi r2 2tt£oiig2r
dr.
Vzdálenost nejbližšího přiblížení rm můžeme dostat z (6.36) a (6.46). Zavedeme konstantu
qqi
b0 =
Airsong2
(6.46)
(6.47)
(6.48)
takže bg vyjadřuje vzdálenost, na které je el. potenciální energii interakce dvakrát větší než relativní kinetická energie nekonečnu. Substitucí proměnné y — l/r a použitím bg ve vztahu (6.47) dostaneme
X(b, g) = TT-2b {-b2y2 - 2b0y + iy1/2dy.
Jo
Použijeme standardní vztah pro integraci (Rektorys):
(ax2 + j3x + 7) xl2d,x — —j=
arcsm
—2ax — j3
-a L(/32-4a7)V2
kde v našem případě a — —b2, j3 — — 2bg a 7 — 1. Použijeme meze integrálu, kde rm je dáno vztahem (??):
x(b, g) — 2 arcsin Tato rovnice se ekvivalentně dá přepsat jako
,1
tan(-X) b
(b2 + b2y/2
bo
• X — k => b — 0
• x = V2 => b = b0
• x — 0 =>■ b —>• 00
• znaménko náboje částic stejné => bg a x jsou kladné
• znaménko náboje částic různé => bg a x Jsou záporné
(6.49)
(6.50)
(6.51)
(6.52)
6.5   Účinný průřez
Zatím interakce pouze dvou částic ALE účinný průřez definován ve smyslu svazku totožných částic dopadajících na terč => mějme svazek částic o hmotnosti ui\ rovnoměrně rozprostřených v prostoru dopadajících rychlostí g — Vi — v na částici m. Částice se záměrnou vzdáleností b se rozptylují pod úhlem x, se vzdáleností b + db pod úhlem x + dx- Počet částic rozptýlených za ls do (x, X + dx) závisí na toku částic ľ.
46
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
6.5.1 Diferenciální účinný průřez
Počet částic rozptýlených za jednotku času do prostorového úhlu díl vyjádřeného pomocí úhlů % a e:
^=a(X,e)Tdn, (6.53)
kde ít(x, e) je diferenciální účinný průřez nebo úhlová rozdělovači funkce. Stejný počet částic dopadá před srážkou z oblasti dané intervaly (b, b + db) a (e, e + de):
^=Tbdbde. (6.54)
A tedy
(7(x,e)dfl — b db de. (6.55)
Protože díl — sin xdxde:
a{x, e)sm \dx — b db (6.56)
a dále
,     ,       b db
<r(x,e) = --      t ■ 6.57
srn x dx
Absolutní hodnota je použita, protože b klesá, když x stoupá ALE dif. účinný průřez vyjadřuje kladnou veličinu - počet rozptýlených částic. Veličinu db/dx vyjádříme ze vztahu (6.40), jestliže budeme znát U(r). ct(x, e) má rozměr plochy.
6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu
ct je definován jako počet částic rozptýlený za jednotku času a jednotku toku částic do všech směrů od rozptylového centra:
f t — / (y(x,e)díl— I    de I   er(x, e) sinxcžx- (6.58) Jn Jo Jo
Účinný průřez samozřejmě závisí na relativní rychlosti g.
Ve speciálním případě, kdy je interakční poteciál izotropní (např. Coulombovský), máme
ert = 2-7t /   cr(x) sin xdx- (6.59) Jo
6.5.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti
Účinný průřez lze definovat pro různé interakční procesy. Jeden z důležitých je přenos hybnosti:
prenos hybnosti za sekundu
dopadající tok hybnosti   ' ^ ^
kde hybnosti před srážkou je T/ig. Po srážce je hybnost ve směru dopadu /igcosx, takže přenesená hybnost je /ig(l — cosx). Celkový přenos hybnosti všemi dopadajícími částicemi
Yng I (1 - cosx)cr(x,e)dfi, (6.61) Jn
a protože celkový tok hybnosti dopadajících částic je T/ig
om= / (1-cosxMx,e)dfi- (6.62) Jn
V případě izotropní interakce a využitím díl — sin xdxde
am = 2tt /   (1 - cosxMx)sinxcžX- (6-63) Jo
Protože ct(x) můžeme chápat jako úhlovou rozdělovači funkci lze ji brát jako váhovou funkci pro výpočet střední hodnotu jakékoliv funkce F(x) závislé na úhlu rozptylu:
což můžeme psát jako
2-k /"r
(F(x)) = —      F(xMx)smXdx (6-65) Jo
a podle definice střední hodnoty
<?m = crt(l - cosx)- (6.66)
6.6. Další srážkové parametry
47
6.6   Další srážkové parametry
Uvažujme tok T — nv částic o hmotnosti m, hustotě n a konstantní rychlosti v dopadajících z jedné strany na terč složený z "nekonečně"hmotných částic o hustotě ng, které jsou v klidu. Pak g = v. Nechť dn je počet dopadajících částic na jednotku objemu ve vzdálenosti x, které interagují s částicemi terče na vzdálenosti dx a jsou tedy odstraněny ze svazku dopadajících částic (proto znaménko mínus):
dn — —<jtnngdx, (6.67)
kde konstanta úměrnosti ot je celkový účinný průřez. Podobný vztah pro tok získáme vynásobením (6.67) rychlostí v
dT — —atTngdx (6.68)
neboli
— — — — —ngatdx (6.69)
a po integraci
T(x) — Tq exp(—ngatx) — Tq exp(—x/X), (6.70)
kde
A=— (6.71)
ng(7t
je střední volná dráha úbytku částic v dopadajícím svazku. Střední doba mezi interakcemi je
A
t — — .
V
(6.72)
Její převrácená hodnota je interakční neboli srážková frekvence
v = t-1 — ng(7tv, (6.73)
což je počet interakcí za jednu sekundu, které má dopadající částice, s částicemi terče. Můžeme také definovat srážkovou frekvenci na jednotku hustoty
K = (Ttv, (6.74)
což se nazývá rychlostní konstanta. Samozřejmě
v = Kng. (6.75)
6.7   Účinné průřezy pro srážku tuhých koulí 6.7.1   Diferenciální účinný průřez pro rozptyl
Využijeme vztah (6.45) pro úhel rozptylu a b < Ri + R2
b = (R1+R2)cos(^X) (6.76)
48
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
a tedy
|£| = I(Ä1 + Ä2)sin(lX). (6.77)
Dosazením do vztahu (6.57)
(7= i(i?! + i?2)2 (6.78)
ot = 2tí f  - (i?! + i?2)2 sin x^x = 7r(Äi + i?2)2 (6.79)
6.7.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl
/o
Dva speciální případy: elektron s molekulou o poloměru R, a — R2/4 a at — irR2; dvě stejné molekuly o průměru D, a = D2/4 a crt = ttZ?2.
Uvědomme si, že pro srážku tuhých koulí existuje mezní hodnota b, nad kterou nedochází ke srážce. Právě toto způsobí, že celkový účinný průřez ot není nekonečná hodnota.
6.7.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti
Ze vztahu (6.63) pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.78)
pír pír pír
am = 2-7t /   -(i?i + i?2)2(l - cosx)sinxáx = ^''"(•Ri + i?2)2( /   sinx^X-/   cos x sin x^x) ■ Jo  4 ^ Jo Jo
a dle vztahu (6.63)
dx
260cos2(x/2)'
takže diferenc. účinný průřez je
nebo za použití tanx/2 — bg/b
2
což je vztah pro Rutherfordovský rozptyl. Protože 2 sin (x/2) = (1 — cosx), máme
(6.80)
Po integraci
<rm = 7T(Ä1 + Ä2)2 (6.81)
Střední hodnota změny hybnosti na jednu částici je dána vztahem (6.65)
(ng(í - cosx)) = — /   Mff(l - cosxMx)sinxdx (6-82) <?t Jo
<Mff(l -cosx)) = Mff —, (6-83)
což zjednodušíme za použití výrazů pro účinné průřezy (6.81) a (6.79)
(Mff(l -cosx)) = Mff (6-84)
6.8   Účinné průřezy pro Coulombovský potenciál 6.8.1   Diferenciální účinný průřez
Derivací vztahu (6.52)
(6.85)
CT(x) = ^—:-(6.86)
VA;     260sinxcos2(x/2) v ;
°(X) = —-fe-rzr, (6-87) 4 srn (x/2)
6.9. Stínění Coulomhovského potenciálu
49
6.8.2   Celkový účinný průřez pro rozptyl
Protože dif. účinný průřez prudce roste pro % —> 0, bude celkový účinný průřez ot nekonečný. Ze vztahů (6.59) a (??)
kde Xmin — 0. Integrováním
/                               ? /          sin X (7t = 2Tr (7(x)smxdx = 2Trb0 ——--d\, (6.89)
JXm.» JXmm   V COS X)
°t=*bl\ .      1 -1], (6.90)
Sm (Xmm/2)
což jasně dává ot = oo pro Xmin — 0. Příspěvek částic s velmi malými deflekčními úhly činí tedy celkový účinný průřez nekonečným.
6.8.3   Účinný průřez pro přenos hybnosti
Substitucí (??) do (6.63) dostáváme
C                                           ? C        sin x (7m = 2Tr        (1 -cosx)cr(x)smxdx = 2tt60 / ——--dx, (6.91)
kde opět Xmin — 0 a integrací máme
<rm = 4^ln[ .      1        ], (6.92)
Sm (Xmm/2)
což opět dává crm = oo pro Xmin — 0.
6.9   Stínění Coulombovského potenciálu
Nekonečné hodnoty pro ot a um pro Coulombovský potenciál jsou interpretovány jako chybějící mezní hodnota záměrné vzdálenosti b (malé x velké b). Abychom tedy získali rozumné hodnoty a t a um musíme nějak modifikovat naše úvahy a na základě rozumného důvodu zavést max. hodnotu záměrné vzdálenosti b — bc.
Ze vztahu ct(x, s)díl — b db de a definice celk. účinného průřezu (6.58):
at = 2tt í ° b db, (6.93) ./o
kde jsem zavedli max. hodnotu b — bc, takže
<jt = -nb\. (6.94) Zavedení max. hodnoty •<=> nedochází k interakcím pro částice ve vzdálenostech b > bc
Rozptyl pro úhly (tt/2, tt), tj. (0, &o) se obvykle nazývá rozptyl pod velkými úhly nebo těsné srážky. Pokud se budou brát v úvahu pouze těsné srážky, máme
Ot,velke =             5      (^/2<X<^), (6.95)
kde b0 = qq1/(4Tre0pg2).
Víme, že v případě nabitých částic v plazmatu dojde k jejich stínění oblakem částic s opačným znaménkem. Míra efektivnosti tohoto stínění je Debyeova délka:
XD = (e-^)h. (6.96) Koule o poloměru A^i je Debyeova koule. Vezmeme-li do úvahy toto stínění:
tf(r) = -^-^exp(--^) (6.97) 4-7re0 r ad
tedy pro r <C A^i jde o potenciální energii velmi blízkou Coulombovské, zatímco pro r ^> A^i je to téměř nula.
Výpočet (Ti za použití Debyovské potenciální energie je velmi komplikovaný a vyžaduje numerické řešení. Je ovšem možné použít alternativní zjednodušující přístup, který vede k dobrému souhlasu s řešením numerickým: vezmeme Coulombovský potenciál pro r < Xo a nula pro r > Ač => bc — Xd- Obecně platí
Xd > b0. (6.98)
50
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
Rozptyl pro bg < b < Xd vedoucí k % < 7r/2 se nazývá rozptyl pod malými úhly a jeho příspěvek k celk. účinnému průřezu je
<rt,maie = 2tt f D b db = tt(X2d - bl)   ;    (x<tt/2). (6.99)
Jbo
Porovnáme-li
^^ = §-l~§. (6.100)
Cf,velké        Oq Oq
=>■ důležité jsou srážky způsobující rozptyl pod malými úhly, nemůžeme je zanedbat a z integrace pro bc — Xd =>
ot=^X2D (6.101)
Zavedeme max. hodnotu bc — Xd i pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.92) máme
(7m = 27r6gln(l + ^), (6.102)
b2
protože
sin(-xc) = (l + ^)-1/2. (6.103)
Použijeme označení
A = ^, (6.104)
přičemž A ^> 1, takže
'>m — "o
am = AirbllnA (6.105)
Funkce A se mění relativně pomalu, pro většinu laboratorních typů plazmatu je ln A — 10-20. Abychom mohli vypočítat A uvažujme zjednodušeně:
• q = -e, qi = e
• no hustota elektronů a iontů
• T teplota obou
• Maxwell, rozdělení pro oba typy částic, žádná driftová rychlost
{g2) = -J í UUv.-vfd^vdS^- ífe(— +v2)dsv = — (6.106) n-o Jv JVl n0 Jv      ml /i
a tedy
e2 e2
(6.107)
A = í27TerT XD = 127m0Af) = 9A^, (6.108)
kde A^d je počet částic v Debyově kouli.
6.9. Stínění Coulomhovského potenciálu
51
Tabulka 6.1: Hodnoty parametru A pro teploty T v K a ne v cm
T/ne	103	106	109	1012	1015	1018	1021
102	12.8	9.43	5.97				
103	16.3	12.8	9.43	5.97			
104	19.7	16.3	12.8	9.43	5.97		
105	23.2	19.7	16.3	12.8	9.43	5.97	
106	26.3	22.8	19.3	15.9	12.4	8.96	5.54
107	28.5	25.1	21.6	18.1	14.7	11.2	7.85
108	30.9	27.4	24.0	20.5	17.0	13.6	10.1
Kapitola 7
Makroskopické transportní rovnice
7.1 Momenty Boltzmannovy rovnice
Pokud známe rozdělovači fci => makroskopické veličiny jako hustota, střední rychlost, teplota apod. V termodynamické rovnováze => Maxwell-Boltzmannova rozd. fce. V jiném případě musíme řešit komplikovanější BKR. ALE rovnice pro časové a prostorové změny makroskopických proměnných mohou být odvozeny z BKR bez jejího řešení => makroskopické transportní rovnice
Makroskopické veličiny souvisí s momenty rozdělovači fce a trasportní rovnice pro tyto proměnné získáme z momentů Boltzmannovy rovnice. První tři momenty: vynásobením rovnice výrazy ma, mav a mav2/2 a integrací přes rychlostní prostor => zákon zach. hmotnosti, hybnosti a energie. Vždy se nám ale objeví nějaká neznámá makrskop. veličina navíc, takže abychom mohli soustavu vyřešit, musíme udělat nějaké vhodné předpoklady o nejvyšším momentu rozděl, fce.
V této kapitole se konstruuje pro každý typ částic vlastní transportní rovnice.
Existuje mnoho možností vytvoření soustavy transportních rovnic podle zjednodušujících předpokladů, např. model studeného nebo teplého plazmatu.
7.2 Obecná transportní rovnice
Uvažujme fyzikální vlastnost částic v plazmatu x(v) a vezměme obecnou BKR:
^ + „.V/„ + ..V./„=(f)__. (7.1)
Každý člen BKR vynásobíme x(v) a z analogie výpočtu střední hodnoty x(v) uděláme totéž s celou BKR
x^t   + / xv'vfa   + / xavvfadv = x(ôt> (7-2)
sraz
Dále upravíme každý člen rovnice zvlášť. První člen:
xiidv-dt (xf«dv - Mtdv (7-3)
Poslední člen je nula a z definice střední hodnoty:
X^<ľv = jt{na(X)) (7.4)
Druhý člen:
f xv ■ Vfad3v = V • ( í vXfad3v) - í favVXd3v - í faXV ■ vd3v
J v J v J v J v
Clen V • v a V x Jsou nula:
/ xv ■ Vvad3v = V • (na(xv)a)
J v
Třetí člen:
(7.5)
(7.6)
/ xa ■ Vvfad3v = / V„ ■ aXfad3v - / faa ■ VvXd3v - / /ttxV„ • ad3v (7.7)
J v J v J v J v
7.3. Zákon zachovaní hmotnosti 53 Poslední integrál vymizí pokud
V„-a=-V„-F = 0, (7.8)
ma
složka vektoru sily Fi nezávisí na příslušné složce rychlosti ví, kde i — x, y z. Toto omezení nevylučuje mg. silu FQ = qav x B:
Fx = qa(vyBz -vzBy) (7.9) První integrál na pravé straně rovnice (??) je součtem tří trojných integrálů:
j Vv ■ (axfo)cŕv = ^ y J J     -7^(aixfa)dvxdvydvz. (7-10)
Pro každý z těchto tří integrálů (i — x, y, z) máme
f + CO      Q ľ ľ+CO
~   (a.xXfa)dvxdvydvz = /  /      d^di;z(a2;x/Q|í^) = 0, (7-H) protože fa(r, v, t) —> 0 pro t>i —> ±oo. Protože první a poslední integrál vztahu (7.7) je roven nule, máme
/ xa ■ Vvfad3v = -na(a ■ \7vX)a (7.12)
J v
Kombinací předchozích výsledků dostáváme obecnou transportní rovnici
S
d
T^(na{x)a) + V • (na(xv)a) - na(a ■ \7vX)a =
ôt (na(x)a)
kde člen na pravé straně označuje rychlost změny veličiny x na jednotku objemu v důsledku srážek:
jt{na(x)a)
7.3   Zákon zachování hmotnosti 7.3.1   Odvození rovnice kontinuity z BKR
Rovnici (7.13) zde využijeme pro x — ma- Vyjádříme
sraz
a dostaneme rovnici kontinuity kde pma — nama a srážkový člen
(7.13)
X (       )     d3v (7.14)
{x)a = ma (7-15) (xv)a = ma(v)a = maua ^vX — V„mQ = 0
%^ + V-(pmQiiQ) = SQ, (7.16)
5Q = mQ |(^)sraz^ = (7.17)
vyjadřuje rychlost produkce nebo ztráty částic a na jednotku objemu v důsledku interakcí. Pokud k nim nedochází
dt
neboli
+ V • (Pmaua) = 0 (7.18)
^ + V • (naua) = 0 (7.19)
Rovnici zákona zachování náboje odtud dostaneme násobením nábojem qa
dp,
m   i V • Ja — 0, (7.20)
kde pa — naqa je hustota náboje a Ja — paua je hustota el. proudu.
54
Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice
7.3.2   Odvození pomoci dynamiky tekutin
Uvažujme objem tekutiny V uzavřený plochou S s elementem plochy dS — ňdS. Střední počet částic opouštějící objem V skrz dS za jednotku času je
naua ■ dS (7.21)
=>• počet částic opouštějící celý objem: Celkový počet částic v objemu:
naua ■ dS. (7.22)
S
nadAr. (7.23)
v
d
naua ■ dS = -— / nad3r (7.24)
Pokud nedochází k produkci nebo ztrátě částic v objemu, musí platit
d_
IS dtjy
a za použití Gaussova teorému divergence
f naua ■ dS — / V(naua)d3r (7-25) J s Jv
dostaneme
J   ^ + V-(nQuQ) d3r = 0, (7.26) což musí platit pro libovolný objem V, takže dostáváme rovnici kontinuity (7.19).
7.3.3   Srážkový člen
Procesy spojené se změnou počtu částic => obvykle nepružné srážky (ionizace, rekombinace, zachycení náboje). Jak je můžeme reprezentovat v rci kontinuity:
• efekt ionizace - rychlostní koeficient pro ionizaci Kí, tj. počet párů elektron/iont produkovaných za jednotku času je Kineng, kde ng je hustota neutrálního plynu. Ve slabě ionizovaném plazmatu je možné považovat ng za konstantní a počet vzniklých párů zapsat pomocí srážkové frekvence v\ne
• efekt rekombinace - rychlostní koeficient pro rekombinaci KT, tj. úbytek párů elektron/iont za jednotku času, za předpokl. jednoho druhu iontů (n; — ne) je KTn2
• efekt záchytu záporného náboje - rychlost úbytku elektronů Kanen& neboli podobně jako pro ionizaci ľane
Se — me(v\ne    KTn2    fane) (7.27)
7.4   Zákon zachování hybnosti 7.4.1   Odvození pohybové rovnice
Nahradíme x(v) výrazem mav v (7.13). Vezmeme-li v úvahu, že v — Va + ua a (Va) — 0, můžeme členy transportní rovnice upravit takto:
-Qf{pma{v) a) = pma—Q^ + ua (7.28)
V • (pma(w}a) = V • [pma(uaUa + Ua(Va) + (Va)ua + (7.29)
+ (VaVa))] = V • (pmauaua + pma(VaVa})
d   . „  d   . „ d
Vy
-na(F ■ Vvv}a = -na((Fx— + Fy— + Fz — )v)a = (7.30)
dvx        dví, dvz
na(Fxx + Fyy + Fzz)a = -na(F)c
7.4. Zákon zachovaní hybnosti
55
A dosadíme-li do (7.13), dostaneme rovnici zachování hybnosti
Pma-Q^ + ua    ™a + V • (pmauaua) + V • (pma(VaVa)) - na(F)a = Aa, (7-31)
kde Aa označuje srážkový člen
St
dua dua dua        ,d(pmauax)    d (p ma^ay ) , d(p
ma
; ~~7,     ~r Uay —r     -|- íiQ2 —r     -\- Ua I ^ ~r ^ ~r ^ I —
ox oy oz ox oy oz
P ma ma Ua )
Dosazením (7.33) a (7.34) do (7.31) a za použití rovnice kontinuity (7.16) dostáváme
(7.32)
Výraz pma(VaVa) je tenzor kinetického tlaku Va-
V ■(ŕma(l4ľa))=V -Va (7.33)
Třetí člen na levé straně rovnice (7.31) můžeme rozepsat takto
d d d
V • (pmaUaUa) — T^(pmaUaxUa) + T^(PmaUayUa) + T^(pmaUazbfua) — (7.34)
d u
Pma[-Q^ + (ua ■ V)wJ + V ■ Va - na(F)a = Aa - uaSa. (7.35) Clen v hranaté závorce můžeme zapsat pomocí totálního diferenciálu:
což odpovídá časové změně pozorované ze souřadného systému pohybujícího se střední rychlostí ua. Jestliže uvažujeme elektromg. Lorentzovu sílu a gravitační sílu, je poslední člen rce (7.35)
-na(F}a = -naqa(E + ua x B) - namag, (7.37) kde pole E a B představují vyhlazené makroskopické pole. Pohybová rovnice je tedy
Pmcr^^ = naqa(E + uax B) + pmag - V • Va + Aa - uaSa (7.38)
Fyzikální význam: časová změna hybnosti v každém elementu kapaliny je způsobena externími silami, třením (viskozitou) a tlakovými silami samotné kapaliny a dále vnitřními silami, které odpovídají interakcím => z.z. hybnosti
Často můžeme viskozitu zanedbat, tj. neuvažujeme nediagonální členy Va- Pokud je navíc rozdělovači funkce izotropní, jsou diagonální členy Va stejné a rovné skalárnímu kinetickému tlaku pa. Zanedbáme-li dále člen vedoucí k tvorbě nebo zániku částic, máme
Pmcr^^ = naqa(E + uax B) + pmag - \7Pa + Aa (7.39)
7.4.2   Srážkový člen
Člen Aa označuje rychlost změny střední hodnoty hybnosti na jednotku objemu způsobenou srážkami. Důsledek zachování celkové hybnosti při elastických srážkách stejných částic => Aa — 0. ALE pro kapalinu složenou z různých částic
Aa^O.
Často používaný vztah pro přenos hybnosti srážkami (nemusí platit vždy, předp. Maxwell, r. fce a relatině malý rozdíl středních rychlostí částic):
Aa = -Pma ^ V<*p(U<* ~ "Z?)' (7.40)
(í
56
Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice
kde konstanta úmernosti vap je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi částicemi a a ji. Protože během srážky se musí zachovávat celková hybnost
PmaVafiiUa - Up) + pmj3Vj3a{Uj3 - Ua) = 0. (7-41)
^>
PmaVafj — PmfjVfia (7.42)
7.5   Zákon zachování energie
7.5.1   Odvození rovnice pro transport energie
Nahradíme x(v) výrazem mav2/2 v (7.13). Platí
na{x)a = 7^pma{V2) + ^pmau2a = ^(3pa + pmau2a) (7.43) \7vX = ^ma\7v(v.v) = ma(v ■ \7v)v = mav (7.44)
Cleny na levé straně obecné transportní rovnice (7.13) jsou tedy
9 ,    i \ \     3 dpa     d  1 2
Wt{na{x)a) = -2^T + Jt{-2Pmaua) (7.45)
V • (na{xv)a) = V • [^pma{(v ■ v)v)a] (7.46) -na((F/ma) ■ Vvx)a = -na(F ■ v)a (7.47)
Součtem těchto členů získáme rovnici zachování energie
3 dpa   ,   d fl 2 \  ,  vr   r 1
kde MQ je rychlost změny hustoty energie v důsledku srážek
Ma = ^ma  í w2(^)sraz
St
(7.49)
Alternativně se může rovnice také zapsat jinak, viz dále. Vezměme nejprve část třetího členu (7.48) a v — va + ua:
([(ua + 14) ■ (ua + Va)]{ua + 14)) = (7.50) = {(u2a + 2ua ■ 14 + V2)(ua + 14)) = = u2aua + (V2)ua + 2(vaVa) ■ ua + (V2va).
Clen pma(vaVa) představuje tenzor kinetického tlaku Va a ^pma(V2va) je vektor toku tepla qa. Ukázali jsme, že \pma{V2) = 3pQ/2. Proto
V • [^pmQ((« • v)v)a] = V • [^pmau2aua + ^(3pa)ua +Va- ua + qa] = (7-51) = V • (^pmau2aua) + ^(3pQ)(V • ua) + \{ua- V)(3pQ) + V • (PQ • uQ) + V • qa Dosazením do (7.48) a za použití označení D/Dt pro úplný diferenciál, máme
_D (^) + (3|,)v _ Uq + d_{lpmau2a) + y . {l_pmau2aua) + (752) V • (PQ • uQ) + V • qa - na{F ■ v)a = Ma
7.5. Zákon zachovaní energie
57
Třetí a čtvrtý člen na levé straně můžeme psát jako
d  1 1
-Q-^PmaUa ■ Ua) + V ■ [(-pma(ua ■ Ua)ua] = (7.53)
1_ 2 dpma   , dua       1 2
-u
PmaUa ■ —— + ~UaV ■ (pmaUa + pmaUa ■ [(ua ■ V)uQ] —
2 a dt   1 ,ma a   Ot  ' 2
1 2,9P
V • (pmatla)] + pmaUa
Za použití rovnice kontinuity (7.16) a pohybové rovnice (7.38) můžeme poslední vztah přepsat jako
^u2aSa + naua ■ {F)a    ua ■ (V • Va) + ua-Aa- u2aSa. (7.54)
Dosazením zpět do (7.52)
R(^L) + í^v • ua + V • (Pa ■ ua) - ua ■ (V • Va) - (7.55) na(F ■ v)a + naua ■ (F}a + V • qa —
— Ma — Ua ■ Aa + -M^a.
Třetí a čtvrtý člen můžeme kombinovat jako
V • (Ta ■ ua)    ua ■ (V • Va) = (Ta • V) • tiQ (7.56)
a podobně pátý a šestý:
-na(F ■ v)a + naua ■ (F}a = -na(F ■ Va), (7-57)
protože
(F • u)Q = (F • (Uq + 14)) = (F)Q • tiQ + (F • yQ). (7.58)
V případě síly nezávislé na rychlosti je výraz (7.57) roven nule:
(F ■ Va) — F ■ (Va) = 0 (7.59)
V případě mg. síly zjistíme totéž:
(F-Va) = qa((vxB)-Va)= (7.60) = qa(ua X B) ■ (Va) + qa((Va X B) ■ Va) = 0,
kde oba členy jsou rovny nule, protože (Va) = 0 a (Va x B) je kolmé na Va. Dostáváme tedy tu alternativní formu rovnice zachováni energie
_g(3|«) + 3|« y .Ua + {Pa.v).Ua + v.qa= (7_61)
— Ma — ua ■ Aa + -u^a
7.5.2   Fyzikální interpretace
• První člen levé strany rce (7.61) - celková změna hustoty tepelné energie v objemovém elementu pohybujícím se driftovou rychlostí ua: 3pa/2 — pma{V2)/2.
• Druhý člen LS - změna hustoty tep. energie díky vstupu částic o střední rychlosti ua do objemového elementu.
• Třetí člen LS - práce vykonaná na jednotkovém objemu díky tenzoru tlaku, který působí na povrch tohoto objemu
• Čtvrtý člen LS - změna hustoty tepelné energie díky toku tepla
• Pravá strana - změna hustoty tepelné energie díky srážkám (pro pouze jeden druh částic je člen roven nule)
První dva členy můžeme ještě zkombinovat pomocí rce kontinuity (7.16), kde rozepíšeme člen V • (pmaUa)
d
(— + ua ■ V)pmQ + pmaS ■ ua = Sa, (7.62)
58
Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice
takže
V ■!!<, = - — (7.63)
Pma
Dosazením (7.63) do (7.61) a použitím rovností pma — nama, pa — nakTa, dostaneme další alternativní tvar rovnice energie vyjádřené pomocí teploty Ta
3      DT 1        3 kT
-nak—^ + (PQ • V) • ua + V • qa = Ma - ua.Aa + {-ul - -—)Sa (7.64) 2        Dt 2 2 mQ
7.5.3   Zjednodušující předpoklady
Podle okolností můžeme uplatnit různé zjednodušující předpoklady
• srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; driftová rychlost ua je nula; vezmeme vektoru toku tepla
qa = -KVTa (7.65) => rce (7.64) se redukuje na difúzni rovnici pro Ta
3 DT
kde K je koeficient tepelné vodivosti (souvisí s koeficientem viskozity)
• srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; neviskózní kapalina, tj. tenzor tlaku se redukuje na skalární tlak; neuvažujeme tepelnou vodivost (qa — 0); vztah (7.61) =>
§-t(^) + ^(V • ua) +Pq(V • ua) = 0. (7.67)
Dosazením (7.63) za V • ua pro Sa — 0 dává
DV 2 '    2pma Dt
D ^&pa^ ^   hpa   Dpma _ q ^ gg-j
tedy
Dpa _ 5 D Pma Pa 3 Pma
a po integraci
(7.69)
^ = (^)f, (7.70)
PO PmO
kde po a PmO jsou konstanty, takže
PaPma3 = konSt- (7.71)
Toto je adiabatická rovnice energie pro plyn, v němž je poměr specifických tepel při konst. tlaku a konst. objemu 7 = 5/3.
Parametr 7 fcí počtu stupňů volnosti N
7=(2 + A0/AT. (7-72) Pro částice, které nemají vnitřní stupně volnosti (jednoatomový plyn), je N — 3. Adiabatická rovnice energie používaná v termodynamice je obecně ve tvaru
pPm1 — konst. (7.73)
Derivováním
Pm^dp - lPPmil+1) dpm = 0 (7.74)
nebo
dp = (—) dpm = K2 dpm, (7-75)
kde jsme definovali
Vs = (7P/pm)1/2 = (7^/^)1/2, (7.76) což je adiabatická rychlost zvuku v kapalině.
• ideální plyn; konstantní teplota kapalin => izotermálni rovnice energie. Vezmeme stavovou rovnici pro ideální plyn p — nkT a pro T — konst
dp — kTdn = (p/pm) dpm — V? dpm, (7.77)
kde izotermálni rychlost zvuku je
Vt = (p/pm)1/2 = {kT/m)1'2 (7.78)
7.5. Zákon zachovaní energie
59
7.5.4   Model studeného plazmatu
• 1. moment BKR => rce kontinuity => hustota částic na (nebo hustota hmotnosti pa) ve vztahu s driftovou rychlostí ua => 2 makroskopické veličiny => potřebujeme 2 makroskopické transportní rce
• 2. moment BKR => pohybová rce (rce zachování hybnosti) => driftová rychlost ua ve vztahu s hustotou částic na a tenzorem kinetického tlaku Va => 3 makroskopické veličiny => potřebujeme 3 makroskopické transportní rce
• 3. moment BKR => rce energie => neznámé veličiny na, ua, Va a vektoru toku tepla qa
Zadný konečný systém transportních rovnic nemůže tvořit uzavřený systém, takže musíme zavést nějaké aproximace. Nejjednodušší model je model studeného plazmatu. Model používá pouze rovnici kontinuity a hybnosti. Tenzor tlaku se položí roven nule, tj. zanedbává se vliv tepelného pohybu částic a síla způsobená změnou tlaku. Máme tedy dvě transportní rce:
dpn,
dt
V • (pmaua) = Sa (7.79)
Pma^jr- = naqa(E + uax B) + pmag + Aa - uaSa (7.80)
Pokud můžeme navíc zanedbat vznik a ztrátu částic a => Sa — 0. Vztah používaný pro srážkový člen pro přenos hybnosti Aa je dán vztahem (7.40).
Model vlastně předpokládá, že teplota plazmatu je nulová, takže rozdělovači fce je Diracova delta fce fa(r, v,t) = 6\v - u(r,t)\.
7.5.5   Model teplého plazmatu
Zde se uvažují tři transportní rovnice a ve třetí rci se zanedbává člen s vektorem toku tepla V • qa — 0. Tato aproximace se nazývá adiabatická aproximace. Protože tepelná vodivost je nula, není plazma viskózni a nediagonální členy tenzoru tlaku jsou nula. Dále s předpokládá, že diagonální členy jsou stejné, a tedy V • Va — V • pa.
V modelu teplého plazmatu tedy máme tyto tři transportní rce
dpm,
dt
V • (pmaua) = Sa (7.81)
Pracr^^ = naqa(E + uax B) + pmag - \7Pa + Aa - uaSa (7.82)
JL(*E±) + ^{V.Ua) = Ma-ua-Aa+ l-ulSa. (7.83)
Pokud navíc předpokládáme, že změna energie v důsledku srážek je zanedbatelná, redukuje se rovnice (7.83) na adiaba-tickou rovnici
PaPm7a = konst. (7.84)
Kapitola 8
Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
8.1   Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu
Uvažujme plazma jako celek a celkové makroskopické veličiny. Hustota hmotnosti:
Pm — ^Pma — nama, (8.1)
a a
hustota náboje:
p = ^2naqa, (8.2)
a
střední rychlost kapaliny u:
pmu = ^2pmaiia. (8.3)
a
Střední rychlost každého typu částic uvažovaná vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u je difúzni rychlost wa
wa = ua    u = ua--P™aUa (8-4)
Hustota toku hmotnosti neboli hmotnostní tok
Jm = ^ noĽmaua = pmu (8.5)
a hustota el. proudu neboli tok náboje
J = ^2naqaiia = pu + ^2naqawa (8.6)
a a
Tenzor kinetického tlaku jednotlivých komponent plazmatu jsme definovali jako
K = pma{Va® Va), (8.7)
kde Va — v — ua je náhodná rychlost. Jde vlastně o přenos hybnosti částicemi skrze povrchový element pohybující se driftovou rychlostí. Pro celé plazma definujeme alternativní náhodnou rychlost Vao pro částice a vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u
Va0 = v- u. (8.8)
Celkový tlak je tedy definován jako rychlost přenosu hybnosti všemi částicemi plazmatu skrze element povrchu pohybující se celkovou střední rychlostí u. Tenzor celkového kineticého tlaku P je tedy
P = 5ľ/w(l/Qo®»/tto)- (8.9)
Platí
Va0 = Va+wa (8.10)
a tedy
p = Y^p™*((va + w*)®(va + wa)), (8.11)
a
což roznásobíme jako
P ^^2pma{{Va <8> Va) + (Va ® wa) + (wa ® Va) + (wa ® wa)). (8.12)
8.2. Rovnice kontinuity
61
Z dennice wa vidíme, že (wa) — wa, a proto
P = ^PQ + ^pmQwQ® wa. (8.13)
a a
Celkový skalární kinetický tlak p je
P=IY,P»=\J2J2 Pma(Va0iVQOi) = l 5ľ Ana(^Q2o) (8-14)
3
Pomoci (8.13)
Definujeme vektor celkového toku tepla q
a hustotu tepelné energie
Je užitečné najít vztah mezi
a q. Takže pomocí Vao — Va + wa dostaneme
'= + \ £pma"'a (8-15)
f ^E^^o) (8-17)
9 2
jE^^^+^w+2^ •     + (8-19)
+ (V2)wa + wlwa + 2((Va) ■ wa)wa],
přičemž (Va) — 0, takže
«7 = \J2 P^\(Vya) + 2wa ■ (Va)Va) + (V2}wa + w2aWa] (8.20)
a
Ze vztahu (8.18), (8.7) a pa — pma(V2)/3 přepíšeme předchozí vztah jako
__v -3 1
q = £(<7a + wa ■ Pa + -pawa + -pmaw2awa). (8.21)
a
Pro izotropní případ
q = ^2(qa+~pawa +-zPmawlwa). (8.22)
8.2   Rovnice kontinuity
Rovnici kontinuity pro jednotlivé částice sumujeme
E              + E V ' (Analla) = E ^ ^
a Ol Ol
což dává
^+V.(Pm«,) = 0, (8.24)
neboť suma Sa je nula díky zachování celkové hmostnosti v systému. Rovnici můžeme také přepsat pomocí D/Dt = d/dt + u ■ V jako
^+PmV-u = 0 (8.25)
62 Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
8.3   Pohybová rovnice
Podobně postupuje i v případě rovnice z.z. hybnosti:
^Pmai-^f +      ' = ^2naqaE + ^2naqa(ua x B) + (8.26)
Oĺ Oĺ Oĺ
+Y pma9     ' Pa+^2Aa~^2UaSa
Protože celk. hybnost všech částic se zachovává je srážk. člen nula
Y + 0« ' V)uQ] = pE+ J x B + pmg-V ■ P + (8.27)
Člen obsahující Sa můžeme eliminovat pomocí rovnice kontinuity. Zapíšeme rovnost
5>QSQ=]>>Q[^+V>mQtiQ)], (8.28)
což kombinujeme se členy na levé straně rovnice (8.27) a členem       uaSa na její pravé straně. Dostáváme výraz
Y^[9{p™"a) +V-(Pmauaua)], (8.29) kde využijeme vztah pro celkovou střední rychlost (8.3), druhý člen expandujeme nahrazením ua — wa + u. Vidíme, že
^PmaWa = ^ pma(ua - u) = pmU - pmU = 0. (8.30)
a a
Vztah (8.29) upravíme tedy jako
J2ld{PJtUa) + V(pmQuQ ® ua)] =            + V • (pmu ®u)+ (8.31)
a
+ ^2^(PmaWa <g> WQ) = + (" ' VH + U[~frf + V ' (P™")} +
a
+ 5ľ V ' (PmaWQWQ) = Pm^y + ^ V(/5mQWQ <g> Wa),
a a
kde jsme využili rci kontinuity. Potom pohybová rovnice je
Pm^f = pE + J x B + pmg-V ■ P. (8.32)
8.4   Rovnice energie
Vezmeme rovnici vyjádřenou v rychlostech a opět sumujeme rovnici energie pro jednotlivé typy částic:
^(^ma(«2)tt) +      V ' (\pma(v2v)a) - ]TnQ(F • v)a = 0, (8.33)
a a a
kde srážkový člen Ma sumovaný přes všechny částice je nula. Nahradíme v — Vao + u a expandujeme každý člen rovnice. Pro první člen máme
d_ di
1 i     d 1
^        2^<^o> j + Qi [Y ~2P^U )-dt\-2) + dt {-2PmU
(8.34)
kde jsme použili vztah (8.17) a fakt, že ~ž2a pmaWa — 0
8.4. Rovnice energie
63
Před úpravou druhého členu si uvědomíme, že
(v2v)a   =   ((V20 + u2 + 2Va0-u)(Va0 + u)} (8.35) =   (Vq20í/q0) + m2wq + 2(Va0 ® Vq0) • ti + (VQ20)u + w2u + 2{wa ■ u)u,
protože Vao — Va + wa a (Va) — 0. Proto
V-(]T^mQ(i;2 .,)«) = (8.36)
=     V ' ^Pma(V^o^ao)) + V ■ Pma (1^0 ® Va0) ■ u) +
a a
+   V-(^|pmQ(l/Q20)ti) + V-(^|pmQtt2ti)
2' 1
a a
Když použijeme definici celkového toku tepla q a tenzoru celkového kinetického tlaku P, můžeme toto dále upravit jako
V • ($2 \pma{v2v)a) = V • q + V • (P • u) + (8.37)
-V.(^u) + V.(^wí2u)
Pro íŕeíŕ člen máme
52na(F ■ v)a = ^nQ[gQ(£ • u)Q + gQ((v x B) ■ v)a +ma(g ■ v)a], (8.38)
a a
kde jsme uvažovali elmag sílu a silu gravitační. Protože (v)a — ua a pro lib. vektor v platí (1/ x B) • v — 0, máme
52noí{F-v)a^J-E + Jm-g, (8.39)
kde E & g jsou vystředovaná makroskopická pole. Kombinováním předchozích výsledků dostaneme
^(f) + V • (|u) + lt{\pmu2) + V • (\Pmu2u) + (8.40) V • q + V • (P • u) - J ■ E - Jm ■ g = 0.
Třetí a čtvrtý člen zkombinujeme jako
§~t(\p^2) + V • (\pmU2u) = ^'[^f + V • (Pmll)] + II • (Pm^), (8.41)
což dále upravíme za použití rce kontinuity a pohybové rovnice: 9 11
^(^P™-"2) + V • (-pmm2u) — pu ■ E + u ■ (J x B) + Jm ■ g — u ■ (y ■ P). (8.42) Tento výsledek použijeme opět v rci energie a dostaneme tvar
_g(3|) + 3^ y .u + v.q+(p.V).tJ = j.E_ u.(J x B) - pu ■ E. (8.43)
• 1. člen - časová změna celk. hustoty tepelné energie vzhledem k referenčnímu systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí ti
• 2. člen - přispívá ke změně celk. hustoty tepelné energie díky přenosu tepelné energie v objem, elementu v důsledku pohybu částic
• 3. člen - tok tepla
• 4. člen - práce vykonaná na objem, elementu tlakovými silami (normálovými i tečnými)
• členy na pravé straně - práce vykonaná na objem, elementu el. silami existujícími v referenčním systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u. Tento fakt je zřejmý po úpravách níže.
64
Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
Před další úpravou si uvědomme, že hustota el. proudu se skládá ze dvou částí
J = ^2naqaua = ^nQgQivQ + ^nQgQti = J' + pu, (8.44)
a a a
kde pu je hustota el. proudu konvekčni, tj. tok prostorového náboje s rychlostí u a J' je hustota el. proudu vodivostni, tj. hustota el. proudu v systému pohybujícím se rychlostí u. Na druhé straně můžeme psát
u ■ (J x B) — —J ■ (u x B) — —J' ■ (u x B). (8.45)
Dosazením obou horních výrazů do rce energie dostaneme
^(f) + f V • u + V • q + (P ■ V) • u = J' • £', (8.46)
kde E' = £ + u x B je el. pole existující v souř. systému pohybujícím se rychlostí u. Clen J' ■ E' představuje tedy rychlost změny hustoty energie díky Joulovskému ohřevu.
8.5   Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu
Makroskopické transportní rovnice pro vodivou kapalinu netvoří uzavřený systém (podobně jako u transportních rovnic pro jednotlivé typy částic). Navíc obsahují elektrodynamické veličiny E, B, J a p => kromě hydrodynamických transportních rovnic potřebujeme elektrodynamické rovnice.
8.5.1   Maxwellovské rovnice rotace
VxE = -f (8.47)
dE
V x B = p0(J + e0 —)
8.5.2   Zákon zachování el. náboje
získáme z rovnice kontinuity pro jednotlivé typy částic vynásobení rovnice výrazem qa/ma a sumací přes všechny částice:
dt z čehož
9 (J2+ V • (En«qaua) =      — (8-49)
?r + V • J = 0 (8.50) ot
Musíme si uvědomit, že tato rovnice se dá odvodit i z Maxwell, rce (8.47) a z Maxwell, rovnice pro divergenci E
V-E=-. (8.51)
Vezmeme divergenci (8.48)
V-J + eoj^(V-E) = 0, (8.52) zkombinujeme s (8.51) a dostáváme (8.50). => rovnice (8.51) tedy není nezávislá na rovnici (8.50).
Dále si uvědomíme, že uděláme-li divergenci vztahu (8.47), dostaneme
^(V-B) = 0 (8.53)
neboli
V • B = konst. (8.54)
Takže Maxwellova rovnice
V • B = 0 (8.55)
je vlastně počáteční podmínkou rovnice (8.47).
8.5. Elektro dynamické rovnice pro vodivou kapalinu
65
8.5.3   Zobecněný Ohmův zákon
Postupujeme stejně jako u zákona zach. el. náboje - vezmeme pohybovou rovnici (zákon zach. hybnosti) pro jednotlivé typy částic, vynásobíme qa/ma a sumujeme přes všechny částice:
^2na<la(^r) + ^2naqa(ua ■ V)uQ = ^nQ( — )(F)Q - (8.56)
Cfv 777 q
-v • [£(—)pq] + - E(—)«^ (8-57)
Úprava druhého členu na pravé straně rovnice (8.56): Definujeme tenzor elektrokinetického tlaku      pro částice a
pE = ( 9a )pQ = nQÍjQ(í/Q ® VQ) (8.58)
ma
a pro plazma jako vodivou kapalinu máme analogicky
pE = E ^ + E n«fe wQ ® wQ. (8.59)
Tedy
-V • E( —)PQ] = -V • P£ + V • (J2 naqawa ® Wq) (8.60)
Úprava čtvrtého členu na pravé straně rovnice (8.56): Použijeme rovnici kontinuity a ua — wa + u
-^2(—)uaSa =         wa^-(naqa) - ^ wa[^ ■ (naqawa)] - (8.61)
ol
-^wQ[V ■ (naqau)] -        - u(V .J) (8.62)
Podobně první a druhý členu na levé straně rovnice (8.56) upravíme jako
E™«9«""^ + ^(nQgQwQ • V)wa + ^2(naqau • V) • wa +       + (J.V)ti (8.63)
Zjednodušení ceřé rovnice (8.56): Použijeme následující vztah pro dva vektory:
V • (aů) = Ď(V • a) + (a • V)Ď, (8.64)
využijeme vyjádření hustoty el. proudu (8.44) a předchozí zjednodušené výrazy:
% + V • (uf + Ju) + V • PE = VnQ(^)(F)Q + V( —)/»Q. (8.65)
Rovnice (8.4-7), (8.4-8), (8.50) a (8.65) tvoří soustavu deseti rovnic, které doplňují rovnici zachování hmotnosti, hybnosi a energie pro vodivou kapalinu.
Rovnice (8.65) je ale stále v obecném, pro praxi nepoužitelném tvaru. Jednoduchý a používaný tvar této rovnice můžeme získat pro plně ionizované plazma s jedním druhem iontů: Vyjádříme hustotu el. proudu a náboje jako
J — ^2 na<laUa — e^jiij - neue) (8.66)
a
p — ^2naqa — e(nt - ne). (8.67)
66
Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
Globální střední rychlost je
U = -(pmelle+ PmiUi, (8.68)
Pra
kde pm — pme + pmi. Zkombinováním této rovnice s (8.66) dává
ui = ME^ + i) (8.69)
Pmi    TYle &
ue = ^-(^ + ^), (8.70)
Pme    rrii &
kde p — memi/(mem,i) označuje redukovanou hmotnost.
Dále předpokládáme, že střední rychlosti elektronů a iontů vztažené ke globální střední rychlosti u, tj. difuzní rychlosti we a Wi, jsou malé ve srovnání s tepelnými. Pak zjednodušíme vztah (8.59) takto
PE = pf + pf = e(^ - (8.71)
mi me
Silový člen v rovnici (8.65) nahradíme elekromagnetickým polem
ľ«a(-(F)a = yjna{^)[qa{E + ua x £?)] = (8.72)
rrii     me m,- me
V něm nahradíme ue a    ze vztahů (8.70) a (8.69) a zjednodušíme
Yna(^)(F)a = e2(^ + ^)£ + e2(^ + x B + e(—--— )J x £?. (8.73)
a
Tento vztah dále zjednodušíme za použití následujících aproximací (rrii ^ rne, ne — rii — n):
(8.74)
(8.75)
(8.76)
llle lili llle
takže máme PE — —(e/me)Pe a z (8.73)
2
ľn«(-)(F)« = - (E + uxB)-— JxB (8.77)
1	1		1
ml	me		me
nt	ne		n
mi	me		me
rit	ne		n
me	rrii		
Srážkový člen v (8.65) napíšeme ve dříve uvedeném tvaru
Ae = -pmeľel(Ue - Ui) (8.78) M     =     -PmiVie(Ui-Ue), (8.79)
přičemž platí pmí^íe — pmevei, takže
9a,. , 11
E(—)Aa = epmevel(ue - Ui)(--1--) = -vmJ, (8.80) m _                                                       m ■       m _
kde jsem použili (8.66) pro J, ne — rii — n a aproximaci mt ^> me.
Nyní můžeme použít výsledky z (8.71), (8.77) a (8.80) a dosadit je do (8.65)
dJ e
^-+V-(uJ' + JU)-—V-P = (8.81)
nc c
-(E + u x B)--J x B - veiJ.
rríp rríp
8.6. Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice
67
Protože jsme předpokládali ne — rii, musí p — OaJ — J'.V určitých situacích se dá předpokládat, že J a u jsou malé perturbace, a proto je jejich součin zanedbatelný. Dále zavedeme označení
9
ne
<r0 = -, (8.82)
mevel
což představuje podélnou el. vodivost. Pak dostáváme z (8.81)
— VPe = E + uxB— JxB    — J. (8.83)
ne1 ot     ne ne <jq
Tato rovnice se nazývá zobecněný Ohmův zákon. V magnetohydrodynamice se obvykle členy na levé straně zanedbávají, což ovšem není vždy dost dobře zdůvodnitelné.
Pokud se J nemění v čase, tj. za ustálených podmínek, máme dJ/dt — 0. Pokud dále předpokládáme, že jsou zanedbatelné prostorové změny tlaku, tj. V • Pe — 0, pak dostáváme zjednodušení
J = cr0(£ + ti x B) - —J x B. (8.84)
ne
Poslední člen v této rovnici vyjadřuje Hallův jev. Tento člen je malý pokud 0o|B| ^ ne- Pak
J — cr0(E + u x B) (8.85)
a bez přítomnosti mg. pole
J = cr0£, (8.86)
což je obecně známý Ohmův zákon.
8.6   Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice
Rovnice kontinuity, zjednodušená pohybová rovnice, adiabatická rovnice energie, Maxwellovy rovnice pro el. intenzitu a mg. indukci (zde zenadbáváme čas. změnu el. intenzity) a zjednodušený Ohmův zákon:
+ V • (pmu) = 0	(8.87)
u - — JxB Vp t	(8.88)
dp — V2dpm	(8.89)
dB	(8.90)
	
V x B — /iqJ	(8.91)
x B)-—J xB	(8.92)
ne
Kapitola 9
Vodivost plazmatu a difúze
9.1   Langevin rovnice
Předtím než budeme diskutovat dva důležité jevy v plazmatu, vodivost a difúzi, uvedeme si velmi jednoduchou pohybovou rovnici pro slabě ionizované (ne <C ng) studené plazma - Langevinovu rovnici. Předpokládáme, že co se týče interakcí, bude dominantní interakce nabitých částic s neutrály. Dále uvažujeme pouze el. a mg. sílu (zanedbáváme gravitační pole a sílu způsobené gradienty tlaku). Dříve uvedená pohybová rovnice
Pma^j^ = naqa(E + uax B)+ pmag - \7Pa + Aa (9.1)
se tedy zjednodušuje jako
me^ = -e(£ + «exfi) + ^. (9.2)
Dt ne
Makroskopický srážkový člen Ae/ne můžeme vyjádřit
— = -vcmeue, (9.3)
kde vc je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi elektrony a těžkými neutrálními částicemi. V tomto vztahu jsme zanedbali střední rychlosti neutrálních částic, protože tyto částice jsou mnohem hmotnější než elektrony (ALE nezanedbáváme jejich tepelnou rychlost). Dosadíme srážkový člen a dostáváme Langevinovu rovnici
me~Ďt = ~e(E + ue x B) - vcmeue (9.4)
Fyzikální smysl srážkového členu? Pokud nepůsobí el. a mg. síla
Du,
Dt
což můžeme vyřešit
-vcue, (9.5)
tie(í) = ue{0)exp{-vct). (9.6)
Tedy srážky elektronů s neutrály snižují střední rychlost elektronů exponencielně rychlostí odpovídající srážkové frekvenci.
9.2. Linearizace Langevinovy rovnice
69
Rovnici analogickou k (??) můžeme napsat pro ionty
mi~rJt ~ Ze(E + Uj x B) — VinmiUi, (9.7)
kde Ze je náboj iontu. V mnoha případech jako je např. vysokofrekvenční plazma, můžeme zanedbat pohyb iontů, tj. Ui — 0. Plazma, v nemž je důležitý pouze pohyb elektronů se obvykle nazývá Lorentzův plyn.
9.2   Linearizace Langevinovy rovnice
Langevinova rovnice ve tvaru (9.4) obsahuje nelineární členy - součin dvou proměnných. V mnoha případech můžeme situaci zjednodušit linearizací těchto členů, která je použitelná v případě změn o malých amplitudách.
• Totální diferenciál ue obsahuje člen (ue • V)ue. Zanedbání tohoto členu je možné pokud jsou střední rychlost a její prostorové změny malé nebo pokud je střední rychlost kolmá na svůj gradient (transverzální vlny)
• V nelineární členu ue x B budeme separovat mg. indukci B(r, í) na dva členy
B{r,t) = B0 + B\r,t), (9.8)
takže
q(E + tie x B) = q(E + ue x B0 + ue x B'). (9.9)
Pokud můžeme předpokládat, že
|ue x B'| < |£| (9.10)
můžeme člen \ue x B'\ v (9.9) zanedbat.
S využitím dvou výše uvedených linearizačních zjednodušení získáváme následující Langevinovu rci
Ou
me-ř^ = -e(E + ue x B0) - vcmeue (9-H)
V mnoha praktických problémech se proměnné E, B' a ue mění harmonicky v čase i prostoru. Využijeme rovinných vln, protože jde o jednoduchý případ a jakákoliv fyzikálně realizovatelná vlna se dá vyjádřit jako superpozice rovinných vln.
£, B', tie oc exp[i(k ■ r — uoť)], (9.12)
kde lú je kruhová frekvence, k vlnový vektor ve směru šíření vlny. Diferenciální operátory V a d/dt se pak transformují na ík a — íuj. Dosazením (9.8) do Maxwell, rce V x E — —dB/dt dostaneme
takže
Nyní můžeme ověřit nerovnost (9.10)
ikxE = iuB', (9.13)
B' = ^^. (9.14)
\ue x (k x E)/uj\ < \E\. (9.15)
Velikost nelineárního členu \ue x B'\ může být tedy rovna nebo menší než \ (uekE)/uj\. Nelineární člen můžeme zanedbat pokud
\ue(k/u)\< 1 (9.16)
nebo ekvivalentně
KI«^A|, (9.17)
kde uj/k představuje fázovou rychlost rovinné vlny. Protože tento člen obvykle dosahuje rychlosti světla, zatímco amplituda střední rychlosti elektronů ue je mnohem menší, můžeme skutečně nelineární člen zanedbávat. Pokud ale dojde k rezonanci, je uj/k velmi malé, zatímco ue se stává velké. V tomto případě se pak nelineární člen zanedbat nedá.
9.3   Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů
Použijeme Langevinovu rovnici pro ustálený stav, abychom odvodili stejnosměrnou vodivost plazmatu. V této kapitole předpokládáme slabě ionizované homogenní plazma, ve kterém můžeme použít model Lorentzova plynu. Předpokládáme, že aplikované el. pole je konstantní a homogenní.
70
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
9.3.1 Izotropní plazma
Pokud nepůsobí mg. síla, můžeme Langevinovu rci pro ustálený stav zapsat jako
—eE — meľcue — 0. (9.18)
Hustota el. proudu
J — —enetie. (9.19)
Kombinací předchozích dvou rovnic
j^Ih^E. (9.20)
meve
Z Ohmová zákona J — u^E můžeme pak vyjádřit stejnosměrnou vodivost pro izotropní elektronový plyn
<y0 = —• (9.21)
mevc
Pohyblivost elektronů /ie je definovaná jako
Me = ^, (9.22)
takže dostáváme
Me =--— = -— (9.23)
meľc nee
9.3.2 Anizotropní magnetoplazma
V případě přítomnosti mg. pole se plazma stává anizotropní. Langevinova rce pro ustálený stav je
-e(E + ue x B0) - mevcue — 0, (9.24) kde Bq je konstantní a homogenní mg. pole. Použijeme (9.19)
ryl   ] /
—= e(£ + uex B0), (9.25)
nee
takže
J = cr0(E + ue x B0), (9.26)
což je zjednodušená podoba Ohmová zákona.
Chtěli bychom přepsat tento zákon tak, aby hustota el. proudu byla přímo úměrná aplikovanému el. poli. Definujeme tedy tenzor stejnosměrné vodivosti S
J — S E. (9.27)
Abychom získali jeho vyjádření, uvažujme kartézské souřadnice a mg. pole rovnoběžné s osou z, tj. Bo — BqŽ. Nahradíme Ue = -J/(ene) v (9.26)
J = a0E-^^(J x ž). (9.28)
ene
Uvědomíme si, že
a dostáváme tuto soustavu rovnic
J x vecz — Jyx — Jxvecy (9.29)
x   : JX = CT0EX-—Jy (9.30)
ý   : Jy=cT0Ey + —Jx (9.31)
ž   : Jz=cr0Ez, (9.32)
kde Í2ce — eBo/me označuje elektronovou cyklotronovou frekvenci. Z prních dvou rovnic dostáváme
J^(Ä^'+(Ä^- (9'34)
9.3. Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů
71
V maticové podobě tedy
Jx
Jy
Jz
	
("f+fiL)	
vidce	-1
(v|+f2|e)	
0	0
Tenzor ss vodivosti je tedy
kde
S
oh
	-<TJÍ 0
	CT_l 0
0	0 (7||
	
	
	
nee2
meve
(9.35)
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
Abychom pochopili fyzikální smysl komponent tenzoru S je vhodné rozložit el. intenzitu do směru rovnoběžného s Bo a kolmého. Element uj_ se nazývá kolmá nebo transverzální vodivost (rovněž Pedersonova vodivost), protože řídí tok el. proudu ve směru rovnoběžném s Ej_ a kolmém na Bq, zatímco u h (Hallova vodivost) řídí tok. el. proudu ve směru kolmém na el. i mg. pole. Element uq je podélná vodivost, protože určuje tok el. proudu ve směru rovnoběžném s mg. polem.
72
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
Dále odvodíme vztah pro pohyblivost elektronů. Díky anizotropii půjde o tenzor
ue = Me- E. (9.40)
Protože J — —eneue — SE, máme
Me =--—S. (9.41)
9.4 Střídavá vodivost a elektronová pohyblivost
Předpokládejme nyní, že el. pole E(r,t) a střední rychlost elektronů ue (r, ť) se harmonicky mění s časem jako exp(—iujť). Linearizovanou Langevinovu rovnici (9.11)
—ÍLúmeue — —e(E + tie x Bo) — mevcue (9.42)
můžeme tedy přepsat jako
—e(E + ue x B0) — me(vc — iuj)ue — 0 (9.43)
Tato rovnice je analogická k rovnici (9.24) až na změnu členu srážkové frekvence, tj. místo vc na vc — íuj. Takže podobně dostáváme tenzor tlaku, kde frekvenčně závislá kolmá vodivost, Hallova vodivost a podélná vodivost jsou
" = <»■«>
nee2 nee2(vc-íur) co —--,-~t —-t^>-(9.45)
Pohyblivost dostáváme opět analogicky podle vztahu (9.41).
Pokud můžeme zanedbat elektron-neutrál srážkovou frekvenci (yc — 0), dostáváme
°H = W^řLf0 (9'48)
do   =   i— (9.49)
meuj
9.5 Vodivost při uvažování pohybu iontů
Vezmeme v úvahu pohyb iontů. Linearizovaná Langevinova rovnice pro částice typu a
0 u
ma-Q^ = qa(E + ua x B0) - mavcaua, (9.50)
kde vca je efektivní srážková frekvence neboli tlumící člen, jenž je výsledkem srážek částic a s neutrály. Langevinova rovnice pro jednotlivé typy nabitých částic jsou nezávislé. Celkový proud je tedy dán jako
J = ^2naqaua = ^2 Ja = C^Sa) ■ E (9.51)
a a a
a celkový tenzor vodivosti je jednoduše
s = ^sQ. (9-52)
a
Pro plazma obsahující elektrony a několik typů iontů (index j) dostáváme ze vztahů (9.44), (9.45) a (9.46) pomocí plazmové frekvence ujpa a £o
a± - eo[J^—WTWe+^J^WT%] (9'53)
3 J
°H ~ eo[J^—WTWe'^J^WT%] (9'54)
(yce - Vjj)    t—* (ycj - iuj)
9.6. Plazma jako dielektrikum
73
9.6   Plazma jako dielektrikum
Až doposud jsme ale uvažovali o nabitých částicích pohybujících se ve vlastních vnitřních polích, takže jsme brali v úvahu tyto rovnice
D = e0E (9.56) B   =   hqH, (9.57)
které jsou používané pro volný prostor bez nábojů. Efekt existence plazmatu se pak projevoval pohybem a interakcí nabitých částic uvnitř plazmatu.
Pokud neuvažujeme vnitřní pohyb částic, můžeme plazma popisovat jako dielektrikum charakterizované dielektrickým tenzorem. Pak nás zajímají pouze obecné makroskopické vlastnosti a nikoliv elementární pohyb částic. Místo Langevinovy rovnice vezměme Maxwellovu rovnici
VxB^ofJf^) (9.58) a zde zahrňme efekt plazmatu pomocí tenzoru vodivosti S definovaném vztahem
J — S E. (9.59) Dosadíme do Maxwellovy rovnice a předpokládáme časově proměnné harmonické variace el. pole:
V x B — mu0S ■ E — iujii0eoE. (9.60)
Pokud 1 označíme jednotkový tenzor
nebo ekvivaletně kde
iS
V x B =-jw/íoeofU--)•£ (9.61)
V x B = -iujpoS ■ E, (9.62)
S = e0(l + —) (9.63)
se nazývá dielektrický tenzor plazmatu. Používání tohoto tenzoru představuje jiný přístup pro popisování plazmatu než jsme používali doposud:
D — £ E. (9.64)
Poznamenejme, že £ závisí na frekvenci uj a můžeme ho zapsat v maticové podobě
ei   £2 0
£ = e0 I   e2   ei    0   I , (9.65)
kde
0    0 e3
ei   =   l + — <7± (9.66)
-i
UJ6Q
£2 — —-7ah (9.67) e3   =   1 + —loq (9.68)
9.7   Difúze volných elektronů
Přítomnost gradientů tlaku v transportní rovnici hybnosti představuje sílu, která vyrovnává jakékoliv nehomogenity hustoty plazmatu. Difúze částic je výsledkem této síly.
Zde dovodíme difuzní koeficient pro elektrony v " teplém" slabě ionizavaném plazmatu.
• trasportní pohybová rovnice pro elektrony s konstantní elektron-neutrál srážkovou frekvencí
• odchylky od rovnováhy způsobené nehomogenitami v hustotě jsou velmi malé
ne(r,t) =n0+<(#-, í), (9.69)
kde \n'e \ <C uq je veličina prvního řádu "malosti", takže tyto odchylky můžeme ve druhém řádu zanedbat
74
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
• tenzor tlaku Ve nahradíme skalárním tlakem pe
pe(r, t) = ne(r, t)kTe = (n0 + n'e)kTe (9.70)
• E a B jsou nula, Te =konst
Protože tie je veličina prvnho řádu "malosti", můžeme rovnici kontinuity zapsat
3nf
-f + n0V • tie = 0, (9.71)
ot
kde jsme zanedbali součin n'eue. Podobně pro transportní rovnici hybnosti
9tie       kTe ,
no—- =--Vne — riQVcue. (9.73)
dostaneme po linearizaci Vezmeme divergenci této rovnice a dosadíme za no V • tie z (9.71) což můžeme přepsat i jako
dt
TOe
d(V-tie)       kTe~ , „
n0  V „,   7 =---V2< - n0^V • tie 9.74
d2<     ^£VV -    M (9 75)
dt e    vc dt2
kde jsme definovali koeficient difúze volných elektronů
De = — (9.77)
mevc
Chceme získat odhad velikosti jednotlivých členů v rovnici (9.76). Nechť t a. L představují charakteristický čas a délku,
na které se významně mění n'e =>• prostorová derivace je velikosti řádu L-1 a časová derivace velikosti řádu t_1:
£ ~ <»■">
CeV2<    ~    De-^f (9.79)
19V     - (9.80)
í^c 9t2 ^c7"2
Porovnáme-li (9.78) a (9.80) vidíme, že je-li vvt 1, tj. průměrný počet srážek elektronů s neutrály během časového intervalu t je dosti velký, můžeme poslední člen v (9.76) zanedbat a dostáváme difúzni rovnici
^f=DeV2n'e. (9.81)
Takže pokud je rychlost změny hustoty pomalá ve srovnání se srážkovou frekvencí, je hustota elektronů řízena difuzní rovnicí, v níž je difuzní koeficient dán vztahem (9.77).
Podmínka vvt 1 znamená zanedbání členu zrychlení v transportní pohybové rovnici, tj. zanedbání due/dt. Pokud zanedbáváme časové změny tie dostáváme z linearizované pohybové rovnice (9.73)
kT
n0vcue =---Vn'e, (9.82)
me
což můžeme napsat jako
Te = -DeVn'e, (9.83)
kde ľe — noUe je linearizovaný tok elektronů. Vztah (9.83) je analogický k jednoduchému Ohmovu zákonu J — ugE, takže tok elektronů způsobený gradientem hustoty je analogický k el. proudu způsobenému el. polem, pokud uvažujeme ustálený stav pro tie.
9.8. Difúze elektronů v mg. poli
75
9.8   Difúze elektronů v mg. poli
Uvažujme nyní konst. a homogenní pole Bq. Uděláme podobné zjednodušení jako v předchozím a zanedbáme due/dt. Z linearizované pohybové rovnice dostáváme
re = -DeV<-—(rexB0). (9-84)
meve
Uvažujeme kartézskou soustavu souřadnic, osa z ve směru Bq, tj. Bq — BqŽ:
re = -DeVn'e-—(rexŽ). (9.85)
Tato rovnice je analogická k (9.28), kde ľe nahradíme J, De nahradíme ae a — Wn'e nahradíme E. Dále Qce/uc — gqBq/(ene). Takže analogicky s výrazem J — S ■ E můžeme psát
kde T> je tenzor difúze v mg. poli
pricemz
re = -V-Vn'e, (9.86)
D±    DH 0
V=  -DH   Dj_    0    | , (9.87) 0       0 £>||
1 ce
DH   =   -^D, (9.89)
v
kT
Dm    =   De = ^- (9.90)
mevc
Podobně jako v předchozí kapitole můžeme odvodit difúzni rovnici pro n'e. Nejprve zapíšeme rovnici kontinuity (9.71) jako
^+V-re = 0. (9.91) ot
Dosadíme (9.86) za ľe
M = V.p.Víí;). (9-92) Za použití matice (9.87) a výpočtu v kartézských souřadnicích dostaneme
V-Vn'e=x(D±^+DH^)+ (9-93)
dx dy dn'e  ^ c dx   '       dy dz
~y(-DHd-^+D^) + ŽDed4. (9.94)
Tento výsledek dosadíme do (9.92)
Bn' 82n'     d2rí d2rí
ot dx1      oy oz1
Protože D± < De a protože D± klesá s rostoucím Vlce/vc (podobně jako <r±), je difúze částic ve směru kolmém na mg. pole vždy menší než ve směru rovnoběžném.
Transportní pohybová rovnice pro elektronový plyn, pokud zanedbáme člen zrychlení ale vezmeme v úvahu elmag sílu, je obecně (konst. teplota)
re — Me(neE + Te x B) — DeVne. (9.96)
Vidíme, že tok elektronů je výsledkem obojího, elmag síly i gradientu tlaku. Podíl skalární pohyblivosti Me a difuzního koeficientu je znám jako Einsteinova relace
*± = -J- (9.97)
De        kTe y
76
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
9.9   Ambipolarní difúze
Ukázali jsme si, že časově ustálená transportní rovnice hybnosti v případě nepřítomnosti elmag sil a konst. teplotě dává tuto difuzní rovnici pro elektrony:
Te = -DeVn'e, (9.98)
kde difúzni koeficient volných elektronů je definován
DP
Pokud budeme uvažovat podobnou rovnici pro ionty ve slabě ionizovaném plazmatu máme
-DeVn'
kde
Di =
kTi
(9.99)
(9.100)
(9.101)
označuje difuzní koeficient volných iontů.
=>■ neuvažovali jsme interakci mezi elektrony a ionty ALE elektrony difundují rychleji a zanechávají za sebou kladný náboj. Difúze, při které neuvažujeme prostorový náboj, se nazývá volná difúze.
V mnoha případech ovšem nemůžeme zanedbat prostorový náboj, vzniklé el. pole ja dáno Maxwellovou rovnicí
p _ e(nl - ne)
V • £
(9.102)
Odhadneme důležitost prostorového náboje pro difúzi => použijeme bezrozměrnou analýzu: L je char. délka, na které se podstatně mění hustota náboje. Ze vztahu (9.73)
enL
E
takže el. síla na jednotk. hmotnost
"Difuzní síla"na jednotk. hmotnost z (9.73)
eE     e nL
m meo
/B = ___|Vn|
kTn
mrio mrioL => El. pole prostorového náboje může být zanedbáno pokud f e <C f d, tj.
L2«^ = A2D, rioez
kde Xd je Debyeova délka. To je splněno zřídka a musíme uvažovat tzv. ambipolárni difúzi. Předp., že změny hustoty elektronů i iontů jsou prvního řádu "malosti"
na(r,ť) = n0 +n'a(r,t),
kde a — e, i a n'a <C no, a že ua mají velmi malou amplitudu. Použijeme linearizovanou rovnici kontinuity
dn'
(9.103)
(9.104)
(9.105)
(9.106)
dt
n0V • ua — 0
a linearizovanou rovnici hybnosti za předp. konstantních teplot a bez mg. pole
dua _ qa_
dt ma
kTa man0
Vn'a - ucaua,
(9.107)
(9.108)
(9.109)
kde pole prostorového náboje splňuje rci (9.102). Rovněž předp. že střední rychlost neutrálů je nulová a zanedbáváme srážky elektron-iont. Vezmeme divergenci (9.109) a použijeme rovnici kontinuity (9.108):
d2n'a dt2
qan0 ,       .     ktav72 f dn'a
--(V • £) H--Wzna - vca^-
mn mn ot
(9.110)
9.9. Amhipolarní difúze
77
Nahradíme V • E z Maxwellovy rovnice (9.102) a dostáváme soustavu rovnic
Ffin' hT Fin'
- O + — V2< - (9.112)
Musíme provést další zjednodušení. Podobně jako dříve jestliže vct 1, kde t je charakteristická doba difúze, můžeme členy na levé straně rovnic zanedbat. Jejich zkombinováním tedy dostáváme
K - <)(w2e - w2,) + kTeV2n'e + fcTiV2< - meVCe^ - mii/d-^ = 0. (9.113) Pomocí další aproximace nj, = ?í ■ = n'
A:(Te + T4) W - {meuce + mlVcl) — = 0, (9.114)
ot
což můžeme přepsat jako
| = O.W, (9.115)
kde
Ca =    fc(Te + T° (9.116)
je koeficient amhipolarní difúze. 0
Kapitola 10
Některé základní jevy v plazmatu
10.1   Elektronové plazmové oscilace
Pro studium charakteristických plazmových oscilací elektronů použijeme model studeného plazmatu, tj. nebudeme uvažovat tepelný pohyb částic a gradienty tlaku. Dále zanedbáme pohyb iontů a uvažujeme velmi malou perturbaci v koncetrace elektronů:
ne(r,t) =n0+n'e(r,t), (10.1)
kde no je konstantní hustota elektronů a \n'e\ <C uq. Podobně uvažujeme, že vzniklé el. pole E(r, í) a průměrná rychlost elektronů ue(r,t) jsou perturbace prvního řádu, takže můžeme použít linearizované rovnice - linearizovanou rovnici kontinuity a rovnici hybnosti
dn'(r,t) , ,
eV ' ; +n0V • tie(r,í) = 0. (10.2)
&t
due(r,t) e
■£(r,í) (10.3)
V rovnice hybnosti jsme předpokládali, že změna momentu hybnosti elektronů v důsledku srážek je zanedbatelná. Za předpokladu jedenkrát ionizovaných iontů je hustota náboje
p(r, i) — -e [n0 + ne(r, t)] + en0 — -ene(r, i), (10-4)
kde jsme předp. konstantní a homogenní hustotu iontů rovnou uq. Proto
V-E(r,t) = ^ = --<(r,t) (10.5)
eo eo
Rovnice (10.2),(10.3) a (10.5) tvoří kompletní sadu, kterou je třeba vyřešit pro neznámé n'e(r,ť), ue(r,t) a E(r,ť). Uděláme divergenci (10.3), abych ji mohli dosadit do (10.2)
^"^™ = o
Kombinujeme (10.5) a (10.6), abychom vyloučili V • E
d2n'e(r,t) i    2 , dt2
kde
Wpe=(^l (10.8)
se nazývá elektronová plazmová frekvence. Rovnice (10.7) ukazuje, že n'e(r,t) se mění harmonicky v čase s plazmovou frekvencí
n'e(r, t) = n'e(r) exp(-íujpet) (10.9)
+ í^X(r,t) = 0, (10-7)
2 \ 1/2
Všechny perturbace prvního řádu se mění harmonicky v čase s plazmovou frekvencí cjpe. Abychom to dokázali, je vhodné začít s předpokladem, že se tyto veličiny mění harmonicky v čase jako exp(—iujť). Rovnice (10.2) a (10.3) jsou pak
n'e = --n0V • tie (10.10)
1 p
«e =--—E, (10.11)
Lome
což můžeme zkombinovat jako
n^-^V-E. (10.12)
10.2. Problém Debyeovského stínění
79
Nahrazením tohoto výrazu pro n'e do (10.5) dostáváme
V • E = 0.
(10.13)
Netriviální řešení této rovnice vyžaduje uj — cjpe. Perturbace navíc nemění fázi v prostoru, takže se nešíří žádná vlna a oscilace jsou stacionární a podélné (rychlost ve stejném směru jako pole).
Elektronové plazmové oscilace mají také elektrostatický charakter. Uvažujme Maxwellovy rovnice rotace
V x E = ílúB V x B — /Iq (J — iujeoE)
Hustota el. proudu je
kde jsme použili (10.11) pro ue. Proto kde definujeme relativní permitivitu
in0e*
J — —erioUe — -c
ujme
V x B — —íuiiioeoeľE
:,2
(10.14)
(10.15)
(10.16)
(10.17)
(10.18)
V případě el. plazmových oscilací uj — cjpe, takže er — 0 a (10.17) se redukuje na
VxB = 0 (10.19)
Protože rotace gradientu je rovna nule, můžeme psát
B — VV> (10.20) kde ij} je magnet, skalární potenciál. Dosazením (10.20) do (??) a divergencí obou stran dostáváme Lablaceovou rovnici
V • (VV>) — V2i/> — 0 (10.21) Jediné řešení této rovnice, které není singulární a konečné v nekonečnu je ip — konst., takže B — 0.
Elektronové plazmové (Langmuirovy) oscilace jsou tedy stacionární, podélné a elektrostatické. Pokud by se uvažovala existence gradientů tlaku a sada rovnic doplnila adiabatickou rovnicí energie, staly by se tyto oscilace šířícími se vlnami (vlny prostorového náboje nebo také Langmuirovy vlny).
10.2   Problém Debyeovského stínění
Uvažujme vliv el. pole přidané nabité částice. Testovací částice nechť má kladný náboj +Q. Zvolíme sférické souřadnice. Zajímá nás el. potenciál 4>(r). Blízko částice bude ne(r) a n;(r) mírně odlišné, zatímco ve velkých vzdálenostech elstat. potenciál mizí ne(oo) — n;(oo) — uq. Protože jde o ustálený stav a konzervativní pole
a platí
£(r) = -V0(r)
"e<A(r)
ne(r) — n0 exp
kT e<A(r)
kT
rii (ľ) — no exp
kde předpokládáme stejnou elektronovou i iontovou teplotu T.
Celková hustota náboje p(r) včetně testovacího náboje Q
p(r) = -e [ne(r) - n{{r)] + QS(r) kde S(r) je Diracova delta funkce. Použitím (10.23) a (10.24)
(10.22)
(10.23)
(10.24)
-erio < exp
kT
exp
kT
>5(r)
(10.25)
(10.26)
80
Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu
Substitucí (10.22) a (10.26) do následující Maxwell, rce
dává
V20(r) - ^ i exp
V • £(r)
P(r)
kT
exp
--5(r)
(10.27)
(10.28)
která umožní vyjádřit elstat. potenciál 4>{r).
Abychom mohli postupovat analyticky, předpokládáme, že rušivý náboj je slabý, takže potenciální energie je mnohem menší než střední tepelná energie
Za těchto předpokladů
a tedy
kde Ad je Debyeova délka
exp
±
e<t>{r) < kT
kT
1 , e^(r)
kT
V20(r)- _0(r) = -^5(r)
An =
fe0kT\1/2      1 íkT^1/2
\n0e2 )
(10.29)
(10.30)
(10.31)
(10.32)
Protože problém má sférickou symetrii, elstat. potenciál závisí jen na velikosti r. Vztah (10.31) se může přepsat (pro r^0) jako
l__d r2 dr
dr
\2 1
(0 = 0
Abychom to vyřešili, uvědomme si, že el. pole izolované částice je
(r^0)
(10.33)
(10.34)
takže elstat. Coulombovský potenciál
1
47ren r
(10.35)
Ve velmi těsné blízkosti testovací částice má být potenciál přibližně stejný jako okolo textovací částice ve vakuu. Takže je vhodné hledat řešení v tomto tvaru.
Q   F (r)
(r) — 4>c(r) F (r)
(10.36)
47reo r
kde F(r) —> 1 pokud r —> 0. Dále se vyžaduje, aby <f> —> 0 pro r —> oo. Substitucí předpokládaného tvaru potenciálu (10.36) do (10.33)
d2F(r) dr2
Tato jednoduchá diferenciální rovnice pro F(r) má řešení
/V2rS
F(r) — A exp
Ar
72-F{r)
B exp
V2i
(10.37)
(10.38)
Podmínka, že 4>{r) vymizí pro velké hodnoty r vyžaduje A — 0. Podmínka, že F(r) se blíží jedniččce pro r jdoucí k nule vyžaduje B — 1. Řešení rovnice (10.33) je tedy
(r) = 0C (r) exp
\/2j
1
47ren r
exp
V2i
(10.39)
Tento výsledek je všeobecně známý jako Debyovský potenciál, protože toto řešení bylo poprvé ukázáno pány Debye a Huckel v jejich teorii o elektrolytech. Z tohoto řešení vyplývá, že 4>[r) je mnohem menší než Coulombovský potenciál, jestliže vzdálenost r překročí vzdálenost Ad, nazývanou Debyova délka.
10.2. Problém Debyeovského stínění
81
Náboj Q je neutralizován rozložením náboje v okolí. Z (10.26) a (10.30) dostáváme hustotu náboje ve tvaru
n0e2(p(r)
p{r) = -2-
kT
Dosazením <p(r) Debyovského potenciálu (10.39) dostáváme
P(r) = -
2titAd
exp
\/2j
>5(r).
Celkový náboj zísáme integrací přes celý prostor
P{r)d3r = -2^ki ;6XP
9t
\/2j
47rr2 dr + Q / / / 5(r) ddr
(10.40)
(10.41)
(10.42)
První integrál je roven —Q zatímco druhý dává +Q. Celkový náboj je tedy qt — 0.
Měli bychom si uvědomit, že Debyevský potenciál se stává zančně velký pro r —> 0 a podmínka e</>(r) <C kT již zřejmě není splněna. Abychom ověřili platnost této aproximace a tedy vztahu (10.39), poznamenejme, že za použití (10.39) pro Q — e máme
e<j> _ e2 exp (—v^r/Ao) _  Ad exp (—\/2V/Ad) Ä-T ~        4ire0rkT        ~ 3ŤVĎ ř
kde N d je počet částic v Debyově sféře. Protože tento počet je v plazmatu velmi velký, je zřejmě, že poměr e(p/kT <C 1 s výjimkou r < Xo/Nrj. Musíme se tedy omezit na vzdálenosti od testovací částice větší než Xd/Nd
(10.43)
<t>(r) = —!— — exp(-r/AD) 47reo r
(10.44)
10.2.1   Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice
v- V/e + — (V</>) -V„/e =0
v-V/i--(V0) - V*./; =0
to,
nQ(r) = / /„(r^dS
p(r) = -e    (fe-fi)d3v + QÔ(r)
V20-- í(/e-/ť)d3^-^(r)
fa(r,v) = /0Q(«)exp -
ga0(r)
6XP|Ž) / /oed3«-exp(-g
-5(r)
™o = / /oa(«)d3w      a = e, z
82
Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu
10.2.2   Stěnová vrstva
Když je nějaký pevný povrch vnořen do plazmatu, získává automaticky záporný náboj, a tedy záporný potenciál vzhledem k plazmatu. Blízko tohoto povrchu je tzv. stěnová vrstva, v níž je rozdílná hustota elektronů a iontů. Uvnitř stěnové vrstvy roste potenciál monotónně ze záporné hodnoty u stěny až na hodnotu plazmového potenciálu. Tloušťka vrstvy, v niž není splněna kvazineutralita je řádově rovna Debyově délce.
Řešení problému silně závisí na geomterii. Ukážeme si aproximativní řešení pro nekonečnou plochu x — 0.
Fyzikální mechanismus jejího vzniku
Nabité částice, které dopadají z plazmatu na stěnu, jsou většinou ztraceny. Ionty rekombinují a vrací se do plazmatu jako neutrály. Elektrony buď rekombinují nebo vstupují do vodivostního pásu pevné látky, pokud jde o kov. Již dříve jsme odvodili, že tok částic na jednu stranu desky, je v případě izotropní rozdělovači funkce dán vztahem:
Tin M
TQ = -^y*, (10.45) kde (v)   je střední rychlost částic a. Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení jsme zjistili, že
(v)a = J-J— (10-46)
V 7T V   TU n
a tok částic je tedy
ra = nj^. (10.47) V Zirma
Je zřejmé že, pokud je hustota elektronů a iontů stejná, tok elektronů na plochu značně převýší tok iontů protože člen y/Te/me je mnohem vyšší než y/Ti/nrii. Pro nejméně hmotný iont, tj. iont vodíku, je me/rrii — 1836. Proto stěna v kontaktu s plazmatem rychle akumuluje záporný náboj, protože na počátku na ni dopadne mnohem více elektronů. Záporný potenciál začne elektrony postupně odpuzovat až se tok elektronů a iontů vyrovná a stěna získá záporný potenciál, který se nazývá plovoucí.
Záporný potenciál na stěně
Chceme odhadnout potenciál na stěně v ustáleném stavu, kdy se vytvořila stěnová vrstva. Tento potenciál pro x — 0 označíme
<A(0) = <t>w. (10.48)
Referenční potenciál v nekonečnu:
4>{oo) = 0. (10.49)
Elektrony a ionty budou v termodynamické rovnováze, mají teplotu T, a působí na ně pole konzervativních sil nabité desky. V x —> oo je plazma neporušené a jeho hustota je uq. Platí tedy
ne(r)=n0exp(^) , (10.50)
n^r^noexp^-^). (10.51)
V těchto vztazích nebereme v úvahu driftovou rychlost částic, ačkoliv nabité částice jsou na stěně ztraceny, takže musí existovat jejich ustálený tok vyrovnávající hustotu. Později, když budeme aproximativně studovat vnitřní strukturu stěnové vrstvy pomocí hydrodynamických rovnic, vezmeme tuto driftovou rychlost do úvahy.
Jedna z okrajových podmínek problému je skutečnost, že v ustáleném stavu se nesmí měnit potenciál stěny, takže
Je(0) = Ji(0). (10.52)
Použijeme rovnice (10.47), (10.50) a (10.51)
což přepíšeme jako
exP(-^)=A/3 (10-54)
10.2. Problém Debyeovského stínění
83
a dále
Ačkoliv jsme udělali zanedbání driftové rychlosti, tento výsledek souhlasí s přesnějším odvozením pro případ Te — Ti.
Poznamenejme, že velikost potenciální energie blízko stěny \e<j)w\ je stejného řádu jako střední tepelná energie částic v plazmatu, neboť
Např. pro vodíkový iont je tento poměr roven dvěma, zatímco pro těžší ionty se blíží třem.
Vnitřní struktura stěnové vrstvy
Abychom něco zjistili o vnitřní struktuře stěnové vrstvy vezmeme do úvahy rovnici zachování částic a hybnosti pro elektrony a ionty za ustálených podmínek a s prostorovou závislostí pouze ve směru osy x. Rovnice kontinuity zapíšeme pro a — e, i
d(naua)        dua dna
—j-= n"^--\-ua——=0. (10.57)
dx dx dx
V rovnici hybnosti zanedbáme viskózni jevy, takže aproximujeme tenzor tlaku skalárem. Použijeme ideální rovnici plynu Pa — nakTa, abychom zavedli teplotu, o které předpokládáme, že je konstantní. Zanedbáme srážky, protože tkoušťka stěnové vrstvy je mnohem menší než střední volná dráha částic. Za těchto předpokladů, bez magnetického pole a uvážíme-li E(r) — — V </>(#"), D/Dt — d/dt+ tiQV — uad/dx
m u ^ - _ a ^_ no 58)
dx na   dx dx
Pro zjednodušení ještě uděláme dvě aproximace. Ze vztahu (10.57) máme
dnr
dx        ua d.x
Pak můžeme poměr levé strany rovnice (10.58) a prvního členu její pravé strany vyjádřit jako
'a "a dx
kTa dna
kTfy
(10.59)
(10.60)
Dvě aproximace, které uděláme:
• pro elektrony zanedbáme levou stranu (10.58), tj. setrvačnost elektronů:
ne  dx dx
pro ionty zanedbáme 1. člen na pravé straně (10.58), tj. jejich teplotu:
m^^+e^O (10.62) dx dx
Podle poměru (10.60) jsou tyto dvě aproximace splněny pouze pokud tepelná energie elektronů je mnohem větší než jejich kinetická energie a pokud tepelná energie iontů je mnohem menší než jejich kinetická energie, tj.
meu\ < kT < mtu2. (10.63)
Tento předpoklad dokážeme později.
Pro elektrony integrujeme (10.61) a dostáváme
e(t>(x) = kT\iíne(x) + (konst). (10.64) Za předpokladu, že ne — rii a pro <f> — 0 máme
ne(x) = n0 exp [^J ■ (10.65)
84
Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu
Tento výraz je identický k (10.50), což není překvapující, protože podmínka meu2 <C kT odpovídá zanedbání setrvačnosti elektronu (me — 0) a následně jeho kinetické energie.
Pro ionty nejprve integrujeme (10.57) a dostáváme
rii(x)ui(x) — Ci. (10.66)
Pak integrujeme (10.62) a máme
e<p(x) + -miU2(x) — C2, (10.67)
kde Ci a C2 jsou konstanty. Okrajové podmínky vyžadují, že pro že pro x —> 00 musí </>(oo) — 0, 7^(00) — uq a Mi (00) = uoí- Takže
C4 = n0M0í;       C2 = 2míM0í (10.68) a využitím těchto rovností v (10.66) a (10.67) dostáváme
nl(x)ul(x) — n0u0l, (10.69)
1 2, , 1
2 íW 2
Tyto dvě rovnice můžeme zkombinovat, abychom eliminovali Ui{x) a získali rii{x)
e<p(x) + -miuf(x) — —rriiU^. (10.70)
ni(x)=n0(l-^$)   \ (10.71)
Tento vztah se podstatně liší od vztahu (10.51) pro rii{x), protože se projeví vliv driftové rychlosti iontů. Odtud pak vyplývá, že rii{x) ve stěnové vrstvě, kde plattí 4>{x) < 0, pomalu klesá ačkoliv vztah (10.51) předpovídal růst. Fyziálně to znamená, že záporný potenciál na stěně zvyšuje Ui{x), jak se ionty ke stěně přibližují, a protože tok iontů uí(x)uí(x) musí zůstat podle vztahu (10.69) konstantní, musí se rii{x) snižovat. Ttot chování je znázorněno na obrázku.
Abychom dostali rovnici pro potenciál 4>(x) dosadíme (10.65) a (10.71) do Poissonovy rovnice
V2(/>=— (rie-rii) (10.72)
a dostáváme
d2<f> noe dx2 6g
(10.73)
Musíme nějak určit uqí daleko od stěny. Navíc je rovnice nelineární, takže abychom ji mohli analyticky vyřešit, je nutné udělat další aproximaci. Viděli jsme, že | e<f> \ nabývá hodnot od nuly (v plazmatu) do hodnot řádu kT (na stěně). Dále jsme předpokládali, že je miU^ větší než kT. Proto se budeme zabývat jen oblastí blízko hranice plazma-stěnová vrstva a předpokládat dále, že | e<f> \ je malé ve srovnání s kT i miU^. Proto můžeme nahradit členy na pravé straně (10.73) pro e<f>/kT C 1 a e</>/(mi?íqi <C 1 vztahy
i-^-V^i + ^r («"»)
a diferenciální rovnice se zjednodušuje na
kde
Řešení s okrajovou podmínkou 4>{oo) — 0 je
miuoi/ m*uk
d24> _ <f> dx2 ~ X2'
kT
(10.76)
X2 = x2D [ 1 -       )   ■ (10-77)
4>(x) = Aexp (-^) ,kde (10.78) A je konstanta. Protože jsme předpokládali, že kT <C rriiU^, je X reálné číslo přibližně rovné Xjj.
Z řešení rovnice vyplývý, že absolutní hodnota 4>{x) exponencielně klesá (protože je A záporné, 4>{x) vlastně roste), jak se pohybujeme stěnovou vrstvou směrem k plazmatu a asymptoticky se bliží k nule. Protože X ~ Xo, dějí se tyto
10.2. Problém Debyeovského stínění
85
variace na vzdálenostech řádově Debyovy délky. Řešení je striktně řečeno platné jen pro hranici plazma-stěnová vrstva, ale pokud bychom jej extrapolovali až na stěnu s okrajovou podmínkou </>(0) — <f>w, platí A — 4>w.
Kdyby kT bylo větší než TOiií2^, bylo by X imaginární a el. potenciál by osciloval. Proto pro vytvoření stěnové vrstvy platí
kT < Trnuli, (10.79)
tzv. Bohmovo kritérium.
Určit potenciál na stěně za použití hydrodynamických rovnic není triviální záležitost. Všechny přibližné metody navržené pro případ Te — T dávají řešení (??) již dříve odvozené za velmi zjednodušených předpokladů. Navíc neexistuje konzistentní způsob jak určit driftovou rychlost iontů pro x — oo, ale můžeme ji aproximovat následovně. Tok iontů musí být konstantní, takže se rovná riQUoi toku na stěnu. Odtud
27TTO,; V kT
Podobně pro elektrony
M        /-^Lexp(-^). (10.80)
"oe^/^expř^l. (10-81)
1^me       V kT a použitím (10.53)
"Oe — UQi (10.82)
Ještě bychom měli ověřit platnost předpokladu (10.63). Tok částic na(x)ua(x) je konstantní pro všechna x a je roven noiiQ. Z (10.65) vidíme, že minimální hodnota ne{x) je ng exp(e(pw/kT), protože <f>w je záporné. Proto
ue = — u0e < u0eexp I —— I (10.83)
a s použitím (10.81)
nebo
v souhlasu s (10.63). Podobně pro ionty
kT
"'^2= (10'84)
kT
ZTT2 ^ 27r (10.85)
Ut — —u0l > u0l (10.86)
Tli
"'^/^"■•Hil (10-87)
kT   ^n__ [2e<t>.
~fcŤ
2 <2^exp( ) -0,1 (10.88)
1
Kapitola 11
Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
Odvodíme Boltzmannův srážkový člen pro binárni srážky. Srážkový člen obsahuje integrály přes rychlosti částic, takže BKR je vlastně integro-diferenciální rovnice. Platnost omezená na slabě ionizované plazma. Coulombovské interakce můžeme ale započítat jako sérii po sobě následujících slabých binárních srážek a dostáváme Fokker-Planckův srážkový člen.
11.1   Boltzmannova rovnice
11.1.1   Odvození Boltzmannova srážkového integrálu
Srážk. člen (ôfa/ôť)Siazk představuje změnu rozděl, fce v důsledku srážek. Jde o bilanci částic ANa uvnitř objemového elementu d3r d3v kolem (r, v) Zel CäS dt
ANa = ( % )       d3rd3vdt. (11.1)
V st ysrazk
Je výhodné separovat ANa do dvou částí
ANa — AN^ — AN~, (11.2)
kde AN^ označuje přírůstek částic ležících v d3r, které mají po srážce rychlost ležící v objemu d3v a AN~ označuje úbytek částic ležících v d3r, které mají před srážkou rychlost ležící v intervalu d3v.
Vyjádříme AiV^. Uvažujme částice ležící v d3r kolem r, které mají rychlost ležící v d3v kolem v. Tyto jsou rozptýleny srážkami s jinými částicemi (nemusí jít o částice a) ležícími ve stejném prostorovém elementu a majícími rychlost z d3vi kolem v\. Uvažujme, že jde o částice j3 a jejich tok dopadající na částice a je
I> = fp(r, v1,t)d3v1\v1 -v\ = fp(r, vi,t)d3vig. (11.3)
Průměrný počet interakcí jedné částice a v čas. intervalu dt je
Tpbdbdedt — fp{r, Vi,t)d3vig b db de dt, (11-4)
kde záměrná vzdálenost leží v intervalu b a b + db a rovina srážky mezi úhly e a e + de. Předpokládáme, že čas dt je velký ve srovnání s interakční dobou částic. Počet srážek částic ft se všemi částicemi a ležící v d3rd3v kolem (r, v) za čas dt je dán součinem
fa(r, v,ť)d3rd3vfp(r, v1,t)d3v1gbdbdedt. (11.5)
Zde jsme předpokládali, že počet srážek počet srážek těchto dvou druhů srážek je úměrný součinu a(r, v, t) ,fp{f, v\, ť). Takže zanedbáváme jakoukoliv korelaci => molekulárni chaos. Celkový počet částic, které jsou rozptýleny dostaneme integrací a sumací
AN-= fa(r,v,t)d3rd3vdtJ2 f   í ífp(r,v1,ť)d3v1gbdbde (11.6)
Podobně vyjádříme Uvažujeme inverzní srážku v prostorovém elementu d3r kolem r, v níž se částice a s původní
rychlostí v d3v' kolem v' sráží s částicemi j3 majícími původní rychlost z d3v[. Výsledek je rozptyl částic a do d3v kolem v. Průměrný počet srážek mezi jednou částicí a a částicemi j3 je
fp(r,ví,t)d3v[g'bdbdedt. (11.7)
Potom
AN+ = fa(r,v',t)d3rd3v'dtJ2 í   í í ffi(r, v[,t)d3v'ig'bdbde. (11.8)
11.1. Boltzmannova rovnice
87
Víme, že g' — g — \ Vi — v\ a z teorie Jakobiánu
d3v'd3v'1 = \J\d3vd3v1. (11.9) V následující podkapitole ukážeme, že \J\ — 1, takže
d3v'd3v[ = d3vd3Vl. (11.10)
Vztah (11.11) můžeme tedy zapsat jako
AN+= fa(r,v',t)d3rd3vdtJ2 f   í í fp{r, v[,t)d3vigbdbde. (H-H)
p   J vi J b J e
Nyní zkombinujeme výrazy pro AN~ a AiV+ a výraz bdbde nahradíme výrazem a (Q,) díl, takže dostáváme výraz pro Boltzmannův srážkový integrál
/ x t \ /a at+     a i\t— \
(11.12)
5_U\       = /AJV+-AJV-
^/srazk       V d?rd?vdt
= E / / (/á/^i - fMd3vl9cr(n)dsi,
kde jsme použili označení
/;   =   /Q(r,i/',í) (11.13)
fPjl = UM,t) (n.14)
/Q   =   /Q(r,i/,í) (11.15) =   fp{r,vuť) (11.16)
(11.17)
Explicitně tedy můžeme BKR zapsat jako
<9í
• V/Q + a ■ V„/Q = E / / (/á/^i - fafpi)d3vig<T(íl)(m,
p   JV\ Jíl
takže jde o integro-diferenciální rovnici
(11.18)
11.1.2   Jakobián transformace
Transformace použitá v předchozí podkapitole je
kde
což můžeme vyjádřit jako
J
ďV d3v[ = \ J\ d3vdv1,
d{v', v[) ^ 9(v'x,v'y,v'z,v'lx,v'ly,v'lz) d(v,vi)     d(vx,vy,vz,vlx,vly,vlz)'
(J)
/   9< 9<
dVy dVy
9< 9v'v dv\z dv\z
dv'lz dvv
9v'lZ i
(11.19)
(11.20)
(11.21)
Pomocí vztahů zavedených v kapitole o interakcích částic můžeme d3v d3vi vyjádřit pomocí tepelné Vq a vzájemné g rychlosti před srážkou
d3vd3Vl = \Jc\d3V0d3g, (11.22) kde Jc je Jakobián transformace. Uvažujme nejprve pouze x-komponentu v (11.22):
dvx dvlx = j d}-'"XlVlx\ \dV0x dgx
d(V0x,gx)
Vypočítáme determinant naznačené matice 2x2
dvx dvlx = (— + —) dV0x dgx = dV0x dgx. mi m
(11.23)
(11.24)
88
Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
Součin všech tří komponent odpovídajících x, y a z složkám dává
d3vďiv1 = třVotřg. (11.25)
Podobně
d3v' d3v[ = d3V^d3g'. (11.26)
Viděli jsme, že Vq — Vg. Vektory g a g' se liší pouze směrem, ale mají stejnou velikost, takže d3g — d3g'. V důsledku tedy
d3vd3v1 = d3v'd3v'1 (11.27) 11.1.3   Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek
Rychlost změny fyzikální veličiny x(v) na jednotkový objem v důsledku srážek vyjádříme jako
S(na (x)a) 5t
Za použití Boltzmannova srážk. integrálu dostáváme
X(^)s^d3v. (11.28)
zk       Jv Út
E / / ÍVLfpi-fMxgvWdnd^cŕv. (11.29)
o   J Q J v-\ J v
srazk        p   J £1 J v± J v
5t
Uvědomíme si, že ke každé srážce existuje srážka inverzní se stejným účinným průřezem. Takže
E/ /   f fLfpiX9<r(n)dncPv1cPv= (11.30)
P   J Q J v± J v p   .-t Q .J v\ .J v
kde jsme použili d3v [ d3v' — d3v\d3v a x' — x(v')- Použijeme-li vztah (11.30) dostáváme alternativní vyjádření pro změnu veličiny x v důsledku srážek.
S(na(x}a) 6t
sraz
E/ / /fMx'-x)g<?(n)dnd3v1d3v. (11.31)
k        p   J Q J v± J v
11.2   Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu
Předp., že
• rozděl, fce neutrálních částic je homogenní a izotropní
• vnější síly působící na elektrony jsou malé, takže elektrony nejsou příliš vzdáleny od rovnovážného stavu => jejich rozděl, fce není příliš prostorově nehomogenní a anizotropní
• za rovnovážného stavu elektrony nevykazují žádnou driftovou rychlost a jejich rozděl, fce je homogenní a izotropní
11.2.1   Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu
Označíme (y, <f>, 6) sférické souřadnice v rychlostním prostoru. Podle předpokladů je závislost /(r, v, ť) na <f> a 9 velmi malá, takže je možné rozvinout /(r, v,ť) v řadu podle úhlových rychlostních souřadnic <f> a 9 a vzít pouze prvních pár členů tohoto rozvoje. Provedeme tedy rovoj do sférické harmonické řady pomocí Fourierovského rozvoje v <f> a asociovaných Legendrových polynomů Pnn(cos9) v 9:
oo oo
f(r,v,t) =       EP™(cosř?) ' \fmn(r,v,t) cos(toí/>) + gmnir, v, t) sm(m(j))], (11.32)
m—O n—0
kde funkce fmn a gmn jsou koeficienty rozvoje.
• První člen v (11.32) odpovídá m — 0 a n — 0, a protože Pq (cos 9) — 1, je roven foo(r,v, ť). Toto je izotropní rozdělovači fce odpovídající rovnovážnému stavu.
• Clen s m — í a n — 0 se rovná nule, protože P01(cos 9) — 0
11.2. Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu 89
• Další vyšší člen je pro m — 0 a n — 1, přičemž Pj^cosr?) — cos6, takže je to foi(r, v, ť) cos 9 Vezmeme-li tedy do úvahy pouze první dva nenulové členy rozvoje
/(r, v, t) = /00(r, v, t) + ^/oi(r,í), (11.33) kde jsme cos (9 nahradili výrazem (y ■ vz)/v
11.2.2   Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu
Boltzmannův srážkový člen je dán vztahem (11.12) a pro binární srážky elektronů s neutrály jej můžeme zapsat jako
(^srazk = JJJjféfnl-fefn^gbdbded^, (11.34)
kde jsme cr(Q,)díl nahradili b db de. Zde fe reprezentuje nerovnovážnou rozděl, fci elektronů a /„ je izotropní rovnovážná rozděl, fce neutrálních částic. V první aproximaci předp., že neutrální částice jsou v klidu a nejsou ovlivněny srážkami s elektrony. Tedy
v1=v'1 = 0 (11.35) fm = I'm (H-36)
a rovnici (11.34) přepíšeme jako
(^f)Srazk=   /    fnld3V1  /      de (f'e-fe)gbdb. (11.37)
"t Jvl JO JO
Protože hustota neutrálních částic je dále upravíme
nn= /   Uiďv! (11.38)
Jvl
(-J^W = n„ j(    de J   {fe-fe)gbdb. (11.39)
Rozdělovači fce pro elektrony před srážkou je
/e = fe(r,v,t) = foo{r,v,t) + !Ľ^.f01(ľjVjt) (11.40)
v
a po srážce
fe = /e(r,i/,í) = foo(r,v',t) + ?—^f0i(r,v',t) = (11.41)
v'
v' ■ vz
= foo(r,v,t) H--f0i(r,v,t).
v
V posledním vztahu jsme předpokládali, že v' — v, neboť elektrony neztrácejí energii, protože neutrály jsou mnohem těžší a jsou v klidu. Výsledně tedy píšeme
f'e-fe=(V'~V)'Vzf0i(r,v,t). (11.42)
v
Beze ztráty na obecnosti můžeme zvolit osu vz paralelně s původní vzájemnou rychlostí g elektronu, takže
(v' - v) ■ vz = (g' - g) ■ unítvz = g(cos\- 1) = v(cos\- 1), (11.43) kde x je rozptylový úhel (úhel mezi g a g'). Dosazením (11.43) do (11.42) dostáváme
f'e-fe = -(l- cosX)foi(r,v, í), (11.44)
takže srážkový člen můžeme zapsat jako
(-^)Srazk = -nng f01(r,v,t) J    dej    (l-cosx)bdb. (11.45)
Protože účinný průřez pro přenos hybnosti mezi elektrony a neutrály je definován jako
crm = / (1 -cosx)cr(^)dn = /    de       (í-cosx)bdb (11.46) Jn Jo Jo
90
Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
můžeme (11.45) psát takto
S f
{-tt)coII = -nngtJmfoi(r,v,t). (11.47) ot
Pokud substituujeme foi(r,v,ť) v (11.47) pomocí (11.41) a uvědomíme si, že v použité aproximaci stacionárních iontů (v ■ vz)/v = (g ■ vz)/g = 1, pak
{^)coii = -nnvcrm(fe - fe0) = -ur(v)(fe - fe0), (11.48)
kde jsme zavedli rychlostně závislou srážkovou frekvenci pro přenos hybnosti ur(v) — nnvcrm a /oo byla nahrazena symbolem fe$, tak jak jsme to používali dříve. Vyjádření srážkového členu (11.48) je podobné relaxačnímu Krookovu modelu až na fakt, že srážková frekvence je závislá na rychlosti.
11.2.3   Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek
Podle definice srážkového členu Ae v transportní pohybové rovnici máme
A = {ô_ÍP^A]coU =meJ^ V(Ô-lf)coll d3 v. (11.49)
Dosadíme (11.48) a dostáváme
Ae =-me / vr(v)vfed3v + me / vr(v)vfe0d3v. (11.50)
J v J v
Pokud bychom předpokládali, že srážková frekvence vr nezávisí a rychlosti a pokud el. plyn nemá žádnou driftovou rychlost v rovnovážném stavu, tj.
«e0 = —  / Vfe0ďv=0, (11.51)
ne J v
máme
Ae — -nemevriie — -pmevriie, (11.52)
kde tie je průměrná rychlost elektronů v nerovnovážném stavu. Tato rovnice odpovídá vztahu, který jsme použili v Langevinově rovnici.
11.3   Fokker-Planckova rovnice
Uvažujeme Coloumbovské interakce. Vychýlení nabitých částic s velkým defiekčním úhlem v důsledku Coulombovských interakcí nahradíme řadou po sobě následujících slabých binárních srážek, tj. srážek s malým úhlem rozptylu. Fokker-Planckův srážkový člen může být tedy přímo odvozen z Boltzmannova srážk. členu. Uvažujeme srážky mezi částicemi a a j3.
11.3.1   Odvození Fokker-Planckova srážkového členu
Veličina x(v) Je libovolná funkce rychlosti asociovaná s částicemi a. Změna této veličiny na jednotkový objem v důsledku srážek je
x(v)(^)sľazkd3v = J^J^ jyj'pi - Up1)xgamdttd3v1d3v = (11.53)
/ /  / Upiix' - X)ff<r(íí) díl d3v, d3v
•j Q .j v\ .j v
, kde x' — x(v') je jediná funkce rychlosti po srážce. Pro slabé srážky můžeme psát
v'=v + Av, (11.54)
kde Av je malá veličina. Protože
x'=x(O = x(" + Ai0, (11-55)
můžeme rozvinout x' do Taylorovy řady
X(v + Av) = X(„) + £ |^ + I £ £^^AVl + ... (11.56)
11.3. Fokker-Planckova rovnice
91
Dosazením (11.56) do (11.53) dostáváme
ij     1 3
kde jsme zanedbali vyšší členy rozvoje. Nyní se musíme snažit vyloučit libovolnou fci x- Integrujeme jedenkrát per partes první skupinu integrálů obsahující d\/dvz a dvakrát per partes druhou skupinu obsahující d2x/(dvldi'j). Pro x-komponentu první skupiny integrálů obsahujících dx/dvi máme
?^Avxfa(v)fp1(v1)gcT(SÍ)dílďv1ďv = (11.58)
Q JVl J v uux
dvydvz—-dvx(v'x - vx).fa(v)ga(V.) rfíí]/s(vi) d3vx
/Q Jvi Jv °~vx
Ve členu v hranaté závorce můžeme substituovat
dV=^^dvx (11.59) ovx
a
U = (v'x - vx)fa(v)ga(íí) díl (11.60)
a integrovat přes vx per partes, takže dostáváme
dx(v)
dvx{v'x - vx)fa(V)g<r{n) rffi = (11.61)
- vx)fa{v)gcr{Q) díl] dvx
kde integrovaný člen je roven nule, protože / musí jít k nule pro ±oo. Takže integrál (11.58) je
ľ M^lAvxfa(v)f^1(v1)g(j(n)dnd3v1d3v^ (11.62)
J v ovx
Q j vi 'j v
x(v)~{Avxfa(V)g<y(Q) dn}fp(Vl)d3Vl d3v.
/QJvtJv OVx
Podobným způsobem integrujeme per partes ostatní integrály v (11.57) a dostaneme srážkový člen v tomto tvaru
j^x{54^)^d3v==- j^J^ J^xY ^.^f^W dtt]JPjld3v1d3v + (11.63)
+ í í I\xYzr^r[^^1.f^{^)díi]fpid3v1d3v^ J n J v! J v z  ~^ oviúvj
= / ^EtT-(/«/ / Avlga{íl)díljPjld3v1]d3v + + í^oT.TTT^^ í í AvlAvJfagcj{íl)díl.fPjld3v1)]d3v.
Definujeme veličiny
{Avt)av =      /  Avig(r(íl)dílfind3v1 (11.64)
J Q J vi
(AvíAvj)^,^      /  AvlAvjga(n)d,ílfl31d3v1, (11.65) Jq JVi
což jsou vlastně modifikované střední hodnoty přes úhel rozptylu a rozděl, fce narážejících částic. Pomocí těchto veličin dostáváme
Jx{^)^d3v = - Jx[Y/-^-(fa(Avi)av)+ (11.66)
92
Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
Protože tato rovnice platí pro libovolnou fci Xi Pro X — 1 platí
(^)srazk = _ £ A-{fa{AVl)av) + \ Yi-^r(fa(AviAvj)av). (11.67)
Toto je srážkový člen Fokker-Planckovy rovnice. Střední hodnoty (Avi)av a (AviAvj)av jsou tzv. Fokker-Planckovy koeficienty dynamického třeni a difúze v rychlostním prostoru. Vyjadřují střední rychlost změny Aví a AvíAvj v důsledku mnoha po sobě následujících Coulombovských srážek.
Poděkování
Vznik těchto skript byl podpořen z prostředků ESF v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na PřF MU pod OP Vzdělání pro konkurenceschopnost, reg. č. CZ.1.07/2.2.00/15.0181.