Sbírka příkladů pro imiveritní kurz F5170 Uvod do fyziky plazmatu
Jiří Šperka, Jan Voráč, Lenka Zajíčková
Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita
2014
Obsah
1 Úvod 5
1.1 Teorie............................... 5
1.2 Příklady.............................. 7
1.2.1 Odvození plazmové frekvence.............. 7
1.2.2 Plazmová frekvence a Debyeova délka......... 8
1.2.3 Debye-Huckelův potenciál................ 8
2 Pohyb částic v elektromagnetických polích 9
2.1 Teorie............................... 9
2.2 Příklady.............................. 10
2.2.1 Magnetické zrcadlo.................... 10
2.2.2 Jinak konstruované magnetické zrcadlo......... 10
2.2.3 Elektron ve vakuu natřikrát............... 11
2.2.4 E x B drift........................ 11
2.2.5 Relativistická cyclotronová frequence.......... 12
2.2.6 Relativistická částice v elektromagnetickém poli   ... 12
2.2.7 Zákon zachování náboje................. 12
2.2.8 Magnetostatické pole................... 12
2.2.9 Cyklotronová frekvence elektronu............ 12
2.2.10 Cyklotronová frekvence ionizovaného atomu vodíku . . 13
2.2.11 Magnetický moment................... 13
2.2.12 Magnetický moment 2.................. 13
2.2.13 Lorentzova síla...................... 13
3 Základy kinetické teorie plazmatu 14
3.1 Teorie............................... 14
3.2 Příklady.............................. 15
3.2.1 Rozdělovači funkce rychlostí částic rovnoměrně rozdělených v prostoru......................... 15
3.2.2 Lineární rozdělovači funkce velikosti rychlostí..... 15
3.2.3 Kvadratická rozdělovači funkce velikosti rychlostí ... 15
3.2.4 Sinusoidami rozdělovači funkce velikosti rychlostí ... 15
3.2.5 Boltzmannova kinetická rovnice............. 15
1
OBSAH 2
4 Střední hodnoty a makroskopické veličiny 16
4.1 Teorie............................... 16
4.2 Příklady.............................. 17
4.2.1 RMS velikost rychlosti.................. 17
4.2.2 Střední rychlost sinusoidálního rozdělení........ 17
4.2.3 Střední rychlost kvadratického rozdělení........ 17
4.2.4 Rovnovážná teplota ................... 17
4.2.5 Hustota částic ...................... 18
4.2.6 Nejpravděpodobnější rychlost lineárního rozdělení   . . 18
4.2.7 Nejpravděpodobnější rychlost sinusoidálního rozdělení 18
5 Rovnovážný stav 19
5.1 Teorie............................... 19
5.2 Příklady.............................. 20
5.2.1 Gama funkce....................... 20
5.2.2 ID Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce..... 20
5.2.3 Dvojrozměrná Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce 21
5.2.4 Trojrozměrná Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce 22
5.2.5 Exotická jednorozměrná rozdělovači funkce...... 22
5.2.6 Účinný průřez ...................... 22
6 Interakce částic v plazmatu 23
6.1 Teorie............................... 23
6.2 Příklady.............................. 24
6.2.1 Střední volná dráha iontů Xe.............. 24
6.2.2 Srážka tuhých koulí ................... 24
6.2.3 Celkový účinný průřez.................. 25
7 Makroskopické transportní rovnice 26
7.1 Teorie............................... 26
7.2 Příklady.............................. 27
7.2.1 Dohasínaní........................ 27
7.2.2 Makroskopický srážkový člen z podmínky zachování hybnosti.......................... 27
7.2.3 Makroskopický srážkový člen z podmínky zachování hybnosti II ........................ 28
7.2.4 Zjednodušená rovnice pro tepelný tok......... 29
8 Makroskopické rovnice pro vodivou tekutinu 30
8.1 Teorie............................... 30
8.2 Příklady.............................. 30
8.2.1 Hustota elektrického proudu .............. 30
8.2.2 Plně ionizované plazma................. 31
8.2.3 Difúze kolmo na siločáry magnetického pole...... 31
OBSAH 3
9 Vodivost plazmatu a difúze 33
9.1 Teorie............................... 33
9.2 Příklady.............................. 34
9.2.1 Stejnosměrná vodivost plazmatu............ 34
9.2.2 Tenzor pohyblivosti elektronů v plazmatu za přítomnosti magnetického pole.................... 35
9.2.3 Ohmův zákon v přítomnosti magnetického pole .... 35
9.2.4 Difúzni rovnice...................... 36
10 Některé základní jevy v plazmatu 37
10.1 Teorie............................... 37
10.2 Příklady.............................. 38
10.2.1 Síření vln v nemagnetizovaném plazmatu....... 38
10.2.2 Plovoucí potenciál.................... 38
10.2.3 Bohmova rychlost .................... 38
10.2.4 Plazmová frekvence ................... 38
11 Boltzmannův srážkový člen 40
11.1 Teorie............................... 40
11.2 Příklady.............................. 41
11.2.1 Srážky, Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce   . . 41
11.2.2 Srážky pro rozdílné rozdělovači fukce.......... 42
11.2.3 Srážky pro Druyvesteynovo rozdělení.......... 42
Seznam obrázků
1.1   Ilustrace k příkladu č. 1.2.1.................... 7
2.1   Ilustrace k příkladu 2.2.3..................... 11
4.1 Graf k příkladu nejvyšší rovnovážné teploty 4.2.4........ 17
4.2 Graf k příkladu nejvyšší hustoty částic 4.2.5.......... 18
4
Předmluva
Tato sbírka procvičovacích příkladů k přednášce F5170 Úvod do fyziky plazmatu vznikla v rámci projektu FRVS 12/2013/G6. Nejdůležitějším zdrojem byla kniha Fundamentals of Plasma Physics od J. A. Bittencourta [4]. Autoři uvítají veškerá upozornění na případné chyby.
Aktuální verzi této sbírky je možno najít a zdarma stáhnout na adrese http://physics.muni.cz/~sperka/exercises.html.
Kontakty
Jiří Sperka jewel@mail.muni.cz
Jan Voráč vorac@mail.muni.cz
Lenka Zajíčková lenkaz@physics.muni.cz
Fyzikální konstanty
Klidová hmotnost protonu	mp	1,67-	1(T	27 kg
Klidová hmotnost elektronu	me	9.109	• 10	-31 kg
Elementární náboj	e	1.602	• 10	-19 C
Boltzmannova konstanta	k	1.38-	1(T	23 J K-1
Permitivita vakua		8.854	• 10	-12 A2s4kg-1m-3
Použité značení
Vektorové veličiny se značí tučně (v), skalární veličiny, včetně velikosti vektorů, kurzívou (v). Tenzory se obvykle značí velkými kaligrafickými písmeny (V).
5
Operátory
skalární součin vektorový součin i-tá derivace podle x parciální derivace operátor nabla Laplaceův operátor úplná derivace podle času
a • b
a x b
ď
dxl
JL
dx
V = A =
D_
Dí
( d d d s ^ dx ' dy ' dz >
V2
dt
+ u • V
Fyzikální veličiny
koncentrace elektronů teplota elektronů elektronová plazmová frekvence Debyeova délka Larmorův poloměr Larmorova frekvence magnetický moment síla
intenzita elektrického pole
indukce magnetického pole
lib. veličina pro jeden druh částic
rozdělovači funkce
průměrná rychlost
hustota náboje
hustota hmotnosti
srážková frekvence
vznik a zánik částic v důsledku srážek skalární tlak tenzor kinetického tlaku pohyblivost částic
ne Te
Ad
rc
fíc
m
F
E
B
Xa
f(Xa) U
P
Pm
V
Sa P
V
6
Kapitola 1
Úvod
1.1 Teorie
Elektronová plazmová frekvence
LOpe = \—~—=constyň^ (1.1) V £o me
popisuje typické elektrostatické kolektivní kmity elektronů v důsledku malé separace elektrického náboje. Podobným způsobem mohou být definovány plazmové frekvence jiných druhů částic, nicméně elektronová plazmová frekvence je díky velké pohyblivosti elektronů nejvýznamnější (poměr hmotnosti protonu a elektronu mp/me je 1.8 x 103).
Plazmové oscilace mohou být pozorovány jen tehdy, je-li systém zkoumán na časové škále delší než L}~1 a nepůsobí-li na systém externí síly rychleji než s frekvencí u)p. Pozorování na délkové škále kratší, než je vzdálenost, kterou urazí typická částice v plazmatu během jedné plazmové periody, nepostřehne kolektivní chování plazmatu. Tato vzdálenost je prostorovým ekvivalentem plazmové periody a nazýváme ji Debyeovou délkou [10]:
AD = y^Wp"1 = = const V^K- (1-2)
Debyeova délka je nezávislá na hmotnosti, takže je srovnatelná pro různé druhy částic.
7
KAPITOLA 1. ÚVOD
8
	ne [cm 3]	Tel	eV]	tlak [Pa]	Ref.
Plazmové obrazovky	(2.5-3.7) xlO11 max 3 xlO12	0.8-	-1.8	(20-50) xlO3 (40-67) xlO3	[8] [23]
	(0.2-3) x 1013	1.6-	-3.4		[20]
Zemská ionosféra	max 106	max 0.26			[6]
				10~5	[2]
RF Magnetrony				0.5-10	[16]
	1-8 xlO9	2-9		0.3-2.6	[21]
Stejnosměrné Mag-	1018	1-5		0.5-2.5	[24]
netrony					
RF Atmosferické	1013-1014			105	[H]
plazma					
		0.2-	-6	105	[13]
Mikrovlnné atmosfe-		1.2-	-1.9	105	[15]
rické plazma	3 x 1014				[12]
Svařovací oblouk	1.5 x 1017	1.5		105 105	[3] [22]
	1.6 x 1017	1.3		105	[19]
Nízkotlaké kapacitně	6 x 108			6-7	[25]
vázané plazma					
	(0.5-4.5) xlO10	1.4-	-1.6	4.7	[5]
Fluorescenční	10lu-10n	1		8 x 103	[7]
zářivky
Tabulka 1.1: Přehled obvyklých hodnot nej důležitějších parametrů plazmatu.
KAPITOLA 1. ÚVOD
9
1.2 Příklady
1.2.1    Odvození plazmové frekvence
Uvažujme, že na počátku máme v prostoru rovnomerne rozložené ionty, jejichž elektrický náboj je neutralizován stejným počtem elektronů. Zanedbejme tepelný pohyb částic a předpokládejme, že ionty jsou nepohyblivé. Ukažte, že malá výchylka skupiny elektronů vyvolá oscilační pohyb elektronů s plazmovou frekvencí podle vztahu (1.1).
- elektron + kladný ion
			X
1 +"+"+"+"+"+"+"+"+"+"	+■ +"	+- +■ +- +■ +- +■ +- +■ +- +■ +- +-+" +" +" +" +" +" +" +" +" +" +" +"	í
+++++++++++++++++++++++			
Obrázek 1.1: Ilustrace k příkladu č. 1.2.1.
Řešení Situace je znázorněna na obrázku 1.1. Uvažujme, že elektrické pole v rovině kolmé na osu x je nulové (což odpovídá známému případu nekonečné nabité roviny nebo kondenzátoru). Na uzavřenou válcovou plochu aplikujeme Gaussův zákon (na obrázku je znázorněna pouze hranice této plochy v rovině x-y):
Po dosazení elektrického pole do pohybové rovnice pro jeden elektron dostaneme
kde S je plocha podstavy válce. Výsledné elektrické pole je tedy
To je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
KAPITOLA 1. ÚVOD
10
1.2.2   Plazmová frekvence a Debyeova délka
Spočtěte plazmovou frekvenci a Debyevu délku pro následující případy
(a) Zemská ionosféra s hustotou elektronů ne = 106 cm~3 a jejich teplotou Te = 0.2 eV.
[lop = 5, 6 x 107 rad • s"1 = 3, 5 x 108 Hz, AD = 3, 3 mm]
(b) Buňka běžné plazmová obrazovky s koncentrací elektronů 1013 cm~3 a jejich teplotou 1 eV. Rozměr jedné buňky je okolo 100 /mi. Splňuje to podmínku, že rozměry systému by měly být mnohem větší než Debyeova délka?
[wpe = 1, 79 x 1011 rad • s"1 = 28,4 GHz, AD = 2, 35 /mi]
(c) Svařovací oblouk s koncentrací elektronů 1, 6 x 1017 cm~3 a jejich teplotou 1, 3 eV
[wpe = 2, 3 x 1013 rad • s"1 =3,6 THz, AD = 21 nm]
(d) Zářivka s koncentrací elektronů 1010 cm~3 a jejich teplotou 1 eV
pe
5, 6 x 109 rad • s"1 = 0, 90 GHz, AD = 74 /mi]
1.2.3   Debye Hůckelův potenciál
Ukažte, že Debye-Hůckelův potenciál
4tt£0
je řešením rovnice
W1") = -r---„- (L7)
W(r) = ^ = ^(r), (li
</?(r) _ nee2 r2^ c0kTe
kde r-Q je Debye-Hůckelův poloměr.
Poznámka: Debye-Hůckelův potenciál je pojmenován po Pietru Debye-ovi (1884-1966) a Erichu Hůckelovi (1896-1980), kteří studovali polarizační jevy v elektrolytech [9].
Řešení Jednoduše vložte Debye-Hůckelův potenciál do rovnice a řešte La-placeův operátor
1 d f 2df\ ,     1     d f . ndf\ ,      1     d2 f
f    r2 gr y   Qr j    r2 sm Q QQy      86) + r2 sin2 6 d(f2       ^ ^
Kapitola 2
Pohyb částic v elektromagnetických polích
2.1 Teorie
Lorentzova sila je kombinací elektrické a magnetické sily na bodový náboj díky elektromagnetickým polím. Pokud se částice s nábojem q pohybuje s rychlostí v v přítomnosti elektrického pole E a magnetického pole B, potom na ni působí Lorentzova sila
Gyrační poloměr (známý také pod označením cyklotronový nebo Lar-morův) je poloměr kruhového pohybu nabyté částice v homogenním magnetickém poli:
kde rg je gyrační poloměr, m je hmotnost nabyté částice, v± je složka rychlosti kolmá ke směru magnetického pole, q je náboj částice a B je velikost konstantního magnetického pole.
Podobně, frekvence rotačního pohybu, známá jako gyrofrekvence (známá také pod označením cyklotronová nebo Larmorova), je dána vztahem
Poznámka: Cyklotron, jinak též cyklický vysokofrekvenční urychlovač, slouží k urychlování nabitých částic pomocí vysokofrekvenčního elektrického pole. Cyklotron byl vynalezen a patentován Ernestem Orlandem Lawrencem z Kalifornské univerzity v Berkeley, kde byl také cyklotron poprvé zprovozněn v roce 1932.
q\B
11
KAPITOLA 2. POHYB ČÁSTIC V ELEKTROMAGNETICKÝCH P0LÍCH12
2.2 Příklady
2.2.1    Magnetické zrcadlo
Magnetická zrcadla se používají k udržení nabitých částic ve vymezeném prostoru. V důsledku gradientu magnetického pole může dojít ke změně směru driftové rychlosti nabité částice.
Mějme elektron v pozici z = 0 s počáteční rychlostí vq. Uhel mezi směrem počáteční rychlosti a indukcí magnetického pole je ů. Velikost indukce magnetického pole závisí na z podle vztahu
B(z) = B0 (l + (7^)2). (2.4)
Spočtěte v jaké vzdálenosti zt dojde k otočení směru driftové rychlosti tohoto elektronu [14].
Řešení Vyjdeme z podmínky zachování kinetické energie a magnetického momentu elektronu. Ze zachování kinetické energie plyne
vl = v2t. (2.5)
z-ová složka rychlosti v bodě obratu musí být nulová, což hned využijeme v rovnici popisující zachování magnetického momentu
me vq sin2 ů me v%
2B0 2Bo(l + (7*t)
v20sm2ů (l + (7^t)2))   =   v2t {=v20)
2 2
7 zt
1 - sin2 ů
sin2 ů
zt   =   —^—r (2.6) 7 taní?
Vidíme, že vzdálenost, v níž dojde k obratu, závisí pouze na gradientu magnetického pole a na úhlu mezi počáteční rychlostí a indukcí magnetického pole.
2.2.2   Jinak konstruované magnetické zrcadlo
Spočtěte bod obratu pro částici v magnetickém zrcadle s magnetickou indukcí danou vztahem
B(z) = B0 (l + (7^)4). (2.7) Úhel mezi směrem počáteční rychlosti a indukcí magnetického pole je ů.
i V/21
7 taní?
KAPITOLA 2. POHYB ČÁSTIC V ELEKTROMAGNETICKÝCH P0LÍCH13
1
V(t)
X X X X
x x x x x x x x x x x x
Obrázek 2.1: Ilustrace k příkladu 2.2.3.
2.2.3 Elektron ve vakuu natřikrát
(a) Časovou závislost polohy elektronu x(t) v prvním úseku popisuje funkce x(t) = |í4 + 7T, elektron se na tomto 1. úseku pohybuje po dobu jedné sekundy. Spočtěte velikost rychlosti vx, kterou bude mít elektron na konci prvního úseku.
[0,5 m/s]
(b) Poté elektron vstoupí rychlostí vx do vychylujícího homogenního elektrického pole E o velikosti 10-10Vm-1. Toto pole na elektron působí mezi deskami kondenzátoru, které mají délku d = 1 m. Jaká je svislá odchylka elektronu od původního směru na úrovni konce desek kondenzátoru? Reste nejprve obecně. (Tíhová síla působící na elektron je malá vzhledem k elektrostatické síle a můžeme ji zanedbat.)
[35,2 m]
(c) Nakonec vlétne elektron do homogenního magnetického pole ~Ě o velikosti 20,6 /x T (tato hodnota je stejná, jako velikost horizontální složky magnetické indukce geomagnetického pole v Brně). Spočtěte Larmorův poloměr, cyklotronovou frekvenci a velikost magnetického momentu rotujícího elektronu.
[rc = 9, 72 x 10~6 m,fic = 3,6x 106 rad • s_1, |m| = 2, 7 x 10~23 A • m2]
(d) Jak by se výsledek lišil pro proton, neutron a pozitron? Pro ilustraci vizte obr. 2.1.
2.2.4 E x B drift
Mějme vakuovou komoru s elektrickým polem E = lkVm-1 kolmým na magnetické pole B = 1 mT. Spočtěte velikost rychlosti E x B driftu pro elektron v této komoře.
KAPITOLA 2. POHYB ČÁSTIC V ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍCHU
2.2.5   Relativistická cyclotronová frequence
Jaká je relativistická cyklotronová frequence elektronu s velikostí rychlosti
0.8 c (c značí rychlost světla)? 6
Tô
[u = ^eB/m]
2.2.6   Relativistická částice v elektromagnetickém poli
Odvoďte gyrační rádius, gyrační frekvenci 힣el a energii relativistické částice s velikostí rychlosti v a nábojem q v homogenním magnetickém poli s velikostí magnetické indukce B.
Řešení   Gyrační radius: Gyrační frekvence:
r = ~w (2-8)
\b nr
l = 1^ = ^= íícVT^ä = n    l1 _    - (2.9)
7WI0     7 V       V c/
Energie:
2
t—i 9 9 tyic o * >
-^k = — mc = — = — mc (2.10)
V 1 — w2/c2
2.2.7   Zákon zachování náboje
Z Maxwellových rovnic odvoďte rovnici pro zachování náboje.
dp
at
+ V • J = 0
2.2.8 Magnetostatické pole
Dokažte, že v magnetostatickém poli je celková kinetická energie nabité částice Wk konstantní.
2.2.9 Cyklotronová frekvence elektronu
Jaká je cyklotronová frekvence (v Hz) elektronu v homogenním magnetostatickém poli:
a) \B\ = 0.01 T
b) \b\ = 0.1 T
c) \b\ = 1T
d) \B\ = 5 T
[a) 0.28 GHz ; b) 2.8 GHz; c) 28 GHz d) 140 GHz]
KAPITOLA 2. POHYB ČÁSTIC V ELEKTROMAGNETICKÝCH P0LÍCH15
2.2.10 Cyklotronová frekvence ionizovaného atomu vodíku
Jaká je cyklotronová frekvence (v Hz) ionizovaného atomu vodíku v homogenním magnetostatickém poli:
a) \b\ = 0.01 T
b) \B\ = 0.1 T
c) \b\ = 1T
d) \B\ = 5 T
[a) 0.15 MHz ; b) 1.5 MHz; c) 15 MHz d) 76 MHz]
2.2.11 Magnetický moment
Předpokládejte, že rovinnou uzavřenou kruhovou proudovou smyčkou o ploše \S\ = 10~3m2 protéká elektrický proud o velikosti:
a) I = 1A
b) I = 2 A
c) J = 8A
Spočtěte velikost jejího magnetického momentu \m\.
[a) \m\ = 10~3Am2; b) \m\ = 2 x 10~3Am2; c)\m\ = 8 x 10~3 Am2 ]
2.2.12 Magnetický moment 2
Jak může být zapsána velikost magetickoho momentu |m|, která je spojena s cirkulačním proudem nabité částice (náboj q, kruhová frekvence ížc, hmotnost m) v homogenním magnetickém poli Bl
[H = J#1^;|íTc| = MM]
2.2.13 Lorentzova síla
Předpokládejte magnetostatické pole B = (1,2,0) T. Elektron má rychlost v = (0, 2,1) ms_1. Spočtěte Lorentzovu sílu. [F = -e-(-2,l,-2)N]
Kapitola 3
Základy kinetické teorie plazmatu
3.1 Teorie
• Fázový prostor definuje šest souřadnic (x, y, z, vx, vy, vz).
• Dynamický stav částice je definován jediným bodem ve fázovém prostoru.
• Rozdělovači funkce je definována jako hustota bodů ve fázovém prostoru, takže
• Závislost rozdělovači funkce na nezávislých proměnných r, v, t se řídí Boltzmannovou kinetickou (transportní) rovnicí, tato rovnice je základní rovnicí statistiky nerovnovážných procesů
• Rozdělovači funkce je tudíž normována na hustotu částic
dfg(f,v, t) dt
+ v • Vfffa(f, v,t)+a- V^/a(r, v, t)
dfg(f,V, t)
dt
srazk.
(3.3)
16
KAPITOLA 3. ZÁKLADY KINETICKÉ TEORIE PLAZMATU
17
3.2 Příklady
3.2.1 Rozdělovači funkce rychlostí částic rovnoměrně rozdělených v prostoru
Uvažujme systém částic rovnoměrně rozdělený v prostoru s konstantní hustotou částic n, který je charakterizován jednorozměrnou rozdělovači funkcí velikosti rychlostí F (v) definovanou takto:
F (v)   =   C   pro v < vq F (v)   =   0 jinak,
kde C je nenulová kladná konstanta. Určete hodnotu C pomocí n a vq.
[Řešení: Integrací n = C J dv získáme výsledek ve tvaru C = ^-.]
o 0
3.2.2 Lineární rozdělovači funkce velikosti rychlostí
Jaká je normovači konstanta C následující jednorozměrné rozdělovači funkce
velikosti rychlostí F (v)?
F (v) = C v pro v G (0,1) a F (v) = 0 jinak.
[C = 2 n (n je hustota částic)]
3.2.3 Kvadratická rozdělovači funkce velikosti rychlostí
Jaká je normovači konstanta C následující jednorozměrné rozdělovači funkce
velikosti rychlostí F (v)?
F (v) = C v2 pro v G (0, 3) a F (v) = 0 jinak.
[C = n/9 (n je hustota částic)]
3.2.4 Sinusoidální rozdělovači funkce velikosti rychlostí
Jaká je normovači konstanta C následující jednorozměrné rozdělovači funkce velikosti rychlostí F (v)?
F (v) = C sin (í;) pro v G (0,7r) a F (v) = 0 jinak. [C = n/2 {n je hustota částic)]
3.2.5 Boltzmannova kinetická rovnice
Uvažujte pohyb nabitých částic v jedné dimenzi, v přítomnosti elektrického potenciálu (f(x). Ukažte přímou substitucí, že funkce tvaru
je řešením Boltzmannovi kinetické rovnice za rovnovážných podmínek.
Kapitola 4
Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.1 Teorie
• Makroskopické veličiny, jako je hustota částic, driftová rychlost, kinetický tlak, tok tepelné energie, mohou být považovány za střední hodnoty fyzikálních veličin, které berou v potaz kolektivní chování velkého množství částic. Tyto makroskopické veličiny jsou spojeny s různými momenty rozdělovači funkce.
• Každé částici v plazmatu můžeme přiřadit nějakou její vlastnost Xa(?i ^ Touto vlastností může být například hmotnost, rychlost, hybnost, nebo energie částice.
• Střední hodnota veličiny xa(r, iľ, t) pro částice druhu a je definována jako
(Xa(r,v,t)) = ——— / Xa(r,v,t)fa(r,v,t)d3v. (4.1)
• Například, střední (driftová) rychlos ua(f,t) pro částice druhu a je definována následovně
ua(r,t) = (va(r,t)) = —i— / vfa(f,v,t)d3v. (4.2)
18
KAPITOLA 4. STŘEDNÍ HODNOTY A MAKROSKOPICKÉ VELIČINY19
4.2 Příklady
4.2.1   RMS velikost rychlosti
Jaká je rms rychlost následujících tří elektronů (\vi\ = 1, 1^1 = 2 and
H =5)?
[vTO]
4.2.2 Střední rychlost sinusoidálního rozdělení
Jaká je střední rychlost následující rozdělovači funkce velikosti rychlostí? f (v) =    s'm(v) pro v £ (0, tt) a f (v) = 0 jinak, n značí hustotu částic.
[1]
4.2.3 Střední rychlost kvadratického rozdělení
Jaká je střední rychlost následující rozdělovači funkce velikosti rychlostí? f (v) = 3nv2 pro v G (0,1) a f (v) = 0 jinak, n značí hustotu částic. [3/4]
4.2.4   Rovnovážná teplota
Uvažujte Maxwell-Boltzmannova rozdělení na Obr. 4.1. Které z nich má
nejvyšší rovnovážnou teplotu?
[c)]
0.002
0.0015
c 0.001
0.0005
-1	-1	-1	I-1- a) -b)
			
/)			
			
0 1e+06       2e+06       3e+06       4e+06 5e+06
v [m/s]
Obrázek 4.1: Graf k příkladu nejvyšší rovnovážné teploty 4.2.4.
KAPITOLA 4. STŘEDNÍ HODNOTY A MAKROSKOPICKÉ VELIČINY20
4.2.5   Hustota částic
Uvažujte Maxwell-Boltzmannova rozdělení na Obr. 4.2. Které z nich má
nejvyšší hustotu částic?
[c)]
0.002
0.0015
c 0.001
0.0005
-1		-1	I-1	1- a) -b) c)
				
		\		
f /				
0 1e+06       2e+06       3e+06       4e+06 5e+06
v [m/s]
Obrázek 4.2: Graf k příkladu nejvyšší hustoty částic 4.2.5.
4.2.6 Nejpravděpodobnější rychlost lineárního rozdělení
Uvažujte následující rozdělovači funkci velikosti rychlostí f(v) = nv pro v G (0,1) a f(v) = 0 jinak.
Jaká je nejpravděpodobnější rychlost tohoto rozdělení? [1]
4.2.7 Nejpravděpodobnější rychlost sinusoidálního rozdělení
Uvažujte následující rozdělovači funkci velikosti rychlostí f(v) = ^ sin(u) pro v £ (0,7r) a f(v) = 0 jinak.
Jaká je nejpravděpodobnější rychlost tohoto rozdělení?
Kapitola 5
Rovnovážný stav
5.1 Teorie
• Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu fa (r, v, t) je časově nezávislým řešením Boltzmannovi kinetické rovnice v nepřítomnosti vnějších sil.
• V rovnovážném stavu nezpůsobují interakce částic žádné časové změny v faq(r,v,t) a neexistují žádné prostorové gradienty hustoty částic.
• faq{r, v, t) je známa jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení, nebo také Maxwellovo rozdělení (viz příklady 5.2.2-5.2.4).
Matematika pro výpočty
2
Gaussův integrál je integrál Gaussovy funkce e~x přes celý reálný prostor. Je pojmenován po německém matematikovi a fyzikovi Carl Friedrich Gaus-sovi. Takto integrál vypadá (a, b jsou konstanty):
Gama funkce T(n) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Pokud je n kladné celé číslo, pak platí:
e x dx = y/Ťř;     / e
Jiné užitečné vztahy:
(5.3)
21
KAPITOLA 5. ROVNOVÁŽNÝ STAV
22
5.2 Příklady
5.2.1    Gama funkce
Z definice Gamma funkce ukažte, že pokud je n přirozené číslo, tak platí
T(n + 1) = nl
Poté stačí dokázat, že T(l) = 1.
5.2.2    ID Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce
Plyn, který je tvořen částicemi jednoho druhu a v němž je pohyb částic omezen pouze na jeden rozměr x, je charakterizován následující homogenní, izotropní, jednorozměrnou Maxwell-Boltzmannovou rozdělovači funkcí:
(a) Určete konstantu C.
(b) Ze znalosti Maxwell-Boltzmannovi rozdělovači funkce rychlostí určete Maxwell-Boltzmannovu rozdělovači funkci velikosti rychlostí.
(c) Vypočtěte nejpravděpodobnější velikost rychlosti.
(d) Vypočtěte střední velikost rychlosti.
(e) Odvoďte vztah pro počet částic procházející jednotkovou délkou za jednotku času z jedné strany (=^> tok částic z jedné strany).
(a) Zintegrujeme rozdělovači funkci přes celý rychlostní prostor. Z podmínky, že integrál se musí rovnat koncentraci částic n dostaneme výraz pro kon-
Návod: Nejprve pomocí integrace ukažte, že
r(a + 1) = aT(a).
(5.4)
Řešení
stantu C
(5.5)
KAPITOLA 5. ROVNOVÁŽNÝ STAV
23
(b) Rozdělení velikosti rychlosti částic F(v) v jednorozměrném případě získáme sumací přes oba možné směry
F (v) = 2n
m
2kTir
exp
m v ' 2kT
(5.7)
(c) Z podmínky, že derivace rozdělení F(v) musí být rovna nule, dostaneme
,,2"
0 = v exp
m v ' 2kT
(5.8)
Nejpravděpodobnější velikost rychlost se tedy rovná nule.
(d)
(v) = J v F (v) dv o
2kT
-Kin
(5.9)
vx f{vx)dvx = n
kT
271171
(5.10)
5.2.3   Dvojrozměrná Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce
Reste předchozí zadání pro dvojrozměrnou Maxwel-Boltzmannovu rozdělovači funkci.
f(vx,vy) = C ■ exp
2kT
Výsledky: (a) C
m v ' 2kT
2irkT
(b) F(v) =2irv f(v) = ffv exp
(c) Nejpravděpodobnější rychlost v = \j
(d) Střední rychlost (v) = J^£.
(5.11)
KAPITOLA 5. ROVNOVÁŽNÝ STAV
24
5.2.4   Trojrozměrná Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce
Řešte předchozí zadání pro trojrozměrnou Maxwel-Boltzmannovu rozdělovači funkci.
Výsledky: (a) C = n
f(vx,vy,vz) = C - exp
v 3/2
m (v2x +vl + vp 2kT
(5.12)
2irkT)
m v ' 2kT
2kT m '
8kT
(b) F(«)=47rn(^)3/Vexp
(c) Nejpravděpodobnější rychlost v
(d) Střední rychlost (v) =
(e) r = n.ff^
5.2.5   Exotická jednorozměrná rozdělovači funkce
Plyn, který je tvořen částicemi jednoho druhu a v němž je pohyb částic omezen pouze najeden rozměr x, je charakterizován následující homogenní, izotropní, jednorozměrnou rozdělovači funkcí (Cauchyho/Lorentzovo rozdělení):
v2 + —
m
Řešte stejné úkoly, jako v předchozím příkladě. Výsledky:
(a) C = n
kT
(b) F(,) = 2^5^
(c) Nejpravděpodobnější rychlost v = 0.
(d) Střední rychlost v není definována, [1] viz Cauchyho rozdělení.
(e) Není definován.
5.2.6   Účinný průřez
Diferenciální účinný průřez je zadán vztahem
°"(x) = ^cro(3cos2x + l) Spočítejte celkový účinný průřez.
(5.14)
Kapitola 6
Interakce částic v plazmatu
6.1 Teorie
Srážky dělíme na
• elastické, tj. pružné - platí zákon zachování hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, ani jejich vzniku či zániku.
• neelastické, tj. nepružné - probíhá změna vnitřního stavu několika, nebo všech zúčastněných částic, některé částice mohou nově vznikat, jiné zanikat. Nabité částice mohou rekombinovat za vzniku neutrální částice. Může proběhnout záchyt nabité částice částicí neutrální, elektrony v atomu mohou být excitovány do vyšších stavů, nebo mohou být dokonce odděleny od atomu - ionizace.
Celkový účinný průřez můžeme získat integrací <r(x,e)<ifž přes prostorový úhel takto:
Ve speciálním případě, kdy je interakční potenciál izotropní (např. Coulom-bovský), dostáváme pro celkový účinný průřez:
o
Pro stejný případ, kdy je interakční potenciál izotropní, můžeme vyjádřit účinný průřez pro přenos hybnosti ve tvaru:
7T
7T
(6.3)
o
25
KAPITOLA 6. INTERAKCE ČÁSTIC V PLAZMATU
26
6.2 Příklady
6.2.1    Střední volná dráha iontů Xe
Účinný průřez a pro elastické srážky iontů Xe+ s atomy Xe je přibližně nezávislý na jejich energii s účinným průřezem a = 10~14cm2.
A) Spočítejte střední volnou dráhu l iontů Xe+ pro elastické srážky ve slabě ionizovaném plazmatu v xenónové atmosféře při pokojové teplotě (20 °C) za tlaku:
a) 1000 Pa
b) 10 Pa
c) 0.1 Pa
B) Jak dlouhá doba uplyne mezi dvěma srážkami, je-li střední teplota iontů T = 1000 K?
Řešení:
A) Pro střední volnou dráhu platí
n a
Hustotu částic spočítáme ze stavové rovnice p = nkT, takže
p a
Po dosazení zadaných tlaků dostaneme výsledky: a) 4 • 10~6m b) 4 • 10~4m c) 4 • 10~2m.
B) Pro tepelnou rychlost iontů platí v = \ ^4t~- Hmotnost iontu Xe je
M
-27 ■
přibližně 131 amu (1 amu = 1.66 • 10 kg). Doba mezi dvěma srážkami je rovna podílu střední volné dráhy a tepelné rychlosti:
, m
t = á\
3kT
Po dosazení dostaneme výsledky: a) 17 • 10~9s b) 17 • 10~7s c) 17 -10~5s. 6.2.2    Srážka tuhých koulí
Jaký je celkový účinný průřez pro rozptyl při srážce dvou perfektně elastických koulí o poloměrech R± a i?2? [tt(R1+R2)2}
KAPITOLA 6. INTERAKCE ČÁSTIC V PLAZMATU
6.2.3   Celkový účinný průřez
Diferenciální účinný průřez je zadán vztahem
°"(x) = ^cro(3cos2x + l) Spočítejte celkový účinný průřez a účinný průřez pro přenos hybnosti.
Kapitola 7
Makroskopické transportní rovnice
7.1 Teorie
Z různých momentů Boltzmannovy rovnice je možno odvodit následující makroskopické transportní rovnice:
• Z podmínky zachování hmotnosti rovnici kontinuity
dt
+ V • (pmaUa) = Sa, (7.1)
kde
Pma je hustota hmotnosti částic typu a a Sa popisuje vznik a zánik částic v důsledku srážek (ionizace, rekombinace apod.).
Z podmínky zachování hybnosti rovnici pro přenos hybnosti
/)m«^ = naqa (E + ua x B) + pmag - V • Va + Aa - ua Sa (7.2)
ua je průměrná rychlost, ^ = ^ + ua ■ V je operátor úplné časové derivace, na je koncentrace částic, qa je elektrický náboj jedné částice, E a B jsou vektory elektrického a magnetického pole, g je gravitační zrychlení, Va je tenzor kinetického tlaku,
Aa = -pma ^ Va/3(ua ~ Ug) (7.3)
P
je srážkový člen a vap je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi částicemi a a (3. Ze zachování hybnosti během jedné srážky plyne
Pma = Pm/3 Vfia- (7.4)
28
KAPITOLA 7. MAKROSKOPICKÉ TRANSPORTNÍ ROVNICE
29
• Ze zachovaní energie rovnici pro přenos energie
Ďl(^)+^V-Ua + (P-V)-Ua + V-qa =
= Ma - ua ■ Aa + ^u^Sa, (7.5)
kde pa je skalární tlak, qa je vektor tepelného toku Ma je rychlost změny hustoty energe v důsledku srážek.
7.2 Příklady
7.2.1 Dohasínaní
Mějme dohasínající plazma sestávající z elektronů a jednoho druhu kladných iontů s jednotkovým nábojem. Rovnice kontinuity v tomto případě je
—S = -krneni, (7.6)
kde kr je rychlostní konstanta pro rekombinaci. Prostorové derivace jsou nulové, protože směs je homogenní. Koncentrace elektronů v čase t = 0 je uq. Spočtěte ne(t > 0). Nezapomeňte na podmínku kvazineutrality.
ne(t)
la-
no kr t+1
7.2.2   Makroskopický srážkový člen z podmínky zachování hybnosti
Uvažujte homogenní směs dvou rozdílných tekutin (prostorové derivace jsou nulové), bez působení vnějších sil, takže pohybová rovnice pro částice typu a se redukuje na
^jj- = -vap (ua - u^). (7.7)
Předpokládejte, že pmp S> pma a změnu rychlosti ug tedy můžete zanedbat. Povšimněte si, že v rovnovážném stavu (dua/dí = 0) jsou rychlosti všech druhů částic stejné.
Řešení Situace je identická ve všech třech osách. Ukážeme tedy řešení pouze ve směru x.
duax(t) . . . .
—--V Vapuax(t) = uaf3 upx (7.8)
Tuto diferenciální rovnici budeme řešit metodou variace konstanty. Nejprve najdeme partikulární řešení homogenní rovnice
dlicKr5p(r)
dí
+ VotpUax,p{t) = 0, (7.9)
KAPITOLA 7 MAKROSKOPICKÉ TRANSPORTNÍ ROVNICE
30
coz je
uax,p{ť)=CeTv"f>t (7.10)
Nyní předpokládáme, že konstanta C závisí na čase (C = C{ť)) a spočteme derivaci
duax(t)     dC{t)        t t
■ e
P - C (t) vape-VaP\ (7.11)
dí dí Dosazením do původní rovnice (7.8) získáváme
Z čehož integrací získáme
C{ť)=uPxď^t + K
kde K je libovolná integrační konstanta. Řešení je tedy
uax{t)=uPx + Ke-v^t (7.12)
A podobně pro všechny tři prostorové složky. Rychlost ua se bude exponenciálně blížit k rychlosti ug rychlostí danou srážkovou frekvencí pro přenos hybnosti vap.
7.2.3   Makroskopický srážkový člen z podmínky zachování hybnosti II
Řešte předchozí zadání bez zjednodušujícího předpokladu ug = const. V tomto případě budou rychlosti ua, ug popsány dvojicí diferenciálních rovnic
dUa(í) --^ (!!,(*) -u^(í)). (7.13)
dí du/3(í)
^(u^(í)-ua(í)), (7.14)
dí pmj3
kde pma, Pm/3 jsou hustoty částic a, /3. Předpokládejte, že ua a ug jsou rovnoběžné a na(í = 0) = 2up(t = 0).
(a) Spočtěte časovou závislost rozdílu u = ua — up.
(b) Spočtěte ua(t) a up(t).
Výsledky:
(a) u(t) = ua(0) ■ exp
1 + '-^ ) t
Pm/3 '
(b) ««(*) = ič^h    •exp [~v<* {l + S) '] + p™)
Up{t) = u(t) +ua(t)
KAPITOLA 7. MAKROSKOPICKÉ TRANSPORTNÍ ROVNICE 31
7.2.4   Zjednodušená rovnice pro tepelný tok
Uvažte zjednodušenou rovnici tepelného toku pro stacionární elektronový plyn
|V(A)+ílce(qexB)=(|)     . (7.15)
2 \PmeJ \ Ot JCQll
Předpokládejte srážkový člen daný relaxačním modelem
=-Hfe-.fe0) (7-16)
a stavovou rovnici ideálního plynu pe = ne k Te. Ukažte, že rovnice tepelného toku se dá napsat jako
^ (qe X B) = -K0VTe + (fe - U), (7.17) v
kde
Ao = ^ (7.18)
2 me ľ
je tepelná vodivost.
Kapitola 8
Makroskopické rovnice pro vodivou tekutinu
8.1 Teorie
Rovnice, podle nichž se řídí důležité fyzikální veličiny v plazmatu, můžeme získat sčítáním rovnic pro jednotlivé druhy částic. Po uplatnění několika zjednodušujících předpokladů obdržíme tzv. magnetohydrodynamické (MHD) rovnice:
Rovnici kontinuity Rovnici pro hybnost
^ + V-(Pmu) = 0 (8.1)
/)m^=JxB-Vp (8.2)
• Zobecněný Ohmův zákon
J = oo(E + u x B) - — J x B. (8.3)
n e
Elektrické a magnetické pole jsou navíc svázány Maxwellovými rovnicemi. Ve zde uvedených MHD rovnicích se zanedbává viskozita a tepelná vodivost.
8.2 Příklady
8.2.1    Hustota elektrického proudu
Průměrná driftová rychlost plazmatu je definována jako vážený průměr driftových rychlostí jeho jednotlivých složek
EPma (o A\ -ua (8.4)
32
KAPITOLA 8. MAKROSKOPICKÉ ROVNICE PRO VODIVOU TEKUTINU33
kde pm je celková hustota plazmatu. Každá složka plazmatu má svoji koncentraci na, náboj qa a tzv. difúzni rychlost wa = ua — u. Spočtěte celkovou hustotu elektrického proudu J a vyjádřete ji pomocí celkové hustoty elektrického náboje p, hustot jednotlivých složek a jejich difúzních rychlostí. Všimněte si, že v důsledku definice průměrné driftové rychlosti plazmatu je výsledek o něco složitější než J = p u.
J = pu + ^2 na qaw0
8.2.2 Plně ionizované plazma
Z rovnic pro hustotu elektrického proudu v plně ionizovaném plazmatu sestávajícího z elektronů a kladných iontů s nábojem e
J = ^ na qa ua = e(rii u« - ne ue) (8.5)
a z rovnice pro průměrnou driftovou rychlost plazmatu
u = — {pmeue +pmiUi) (8.6)
Pm
odvoďte vztahy pro driftové rychlosti Uj a ue. u. = JL. (£m± + l)      Ue = _ J)      „ = Ä
'      Pmi   \ me        e J '        e      pme   \ nii        e J '     r me+irii
8.2.3 Difúze kolmo na siločáry magnetického pole
Z rovnice pro zachování hybnosti pro MHD přiblížení
pm^=JxB-Vp (8.7)
A zobecněného Ohmová zákona ve zjednodušeném tvaru a se zanedbáním členu pro Hallův jev
J = o-0(E + uxB) (8.8)
Odvoďte rovnici pro rychlost tekutiny u.
Předpokládejte E = 0 a p = konst. a spočtěte složku rychlosti kolmou na magnetické pole B.
Řešení   Rovnice pro u je
ŕm^ = ff0ExB + ff0(uxB)xB-Ví). (8.9)
Předpokládáme-li E = 0 a p = konst., rovnice se redukuje na
ŕm^ = ffo(uxB)xB (8.10)
KAPITOLA 8. MAKROSKOPICKÉ ROVNICE PRO VODIVOU TEKUTINUM
Abychom mohli spočítat vektor (u x B) x B, definujme souřadnicový systém tak, že osa z je rovnoběžná s magnetickým polem. V těchto souřadnicích vektorový součin vychází takto:
(u x B) x B = (-uxB2, -uyB2, 0). (8.11)
Rovnice pro x-ovou a y-ovou složku rychlosti mají tedy stejný tvar. Píšeme tedy pouze rovnici pro ux
Bux -a0B2
-p— =-ux, (8.12)
jejímž řešením je
ux(t) = ux(0) exp í-^-t] . (8.13)
\      Pm J
Podobně pro uy, takže časová závislost složky kolmé na magnetické pole e
u±(t) = u±(0) exp (-í/r), (8.14)
u   = i /u* + je
kde
r = (8.15) je doba charakteristická pro difúzi kolmo na siločáry magnetického pole.
Kapitola 9
Vodivost plazmatu a difúze
9.1 Teorie
Ve slabě ionizovaném chladném plazmatu má pohybová rovnice pro elektrony formu tzv. Langevinovy rovnice
me~f^~ = -e(E + ue x B) -ucmeue, (9.1)
kde vc je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi elektrony a těžkými částicemi.
Není-li přítomno vnější magnetické pole, je hustota elektrického proudu tvořená pohybujícími se elektrony
J = — ene ue (9.2)
a stejnosměrná vodivost
nP, e2
a pohyblivost elektronů
°o = (9.3)
mevc
Me = = -«L. (9.4)
me uc       ne e
Je-li přítomno vnější magnetické pole, plazma přestává být izotropním a stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů musí být popsány pomocí tenzorů (vizte příklad 9.2.2).
Ve slabě ionizovaném plazmatu s relativně vysokou koncentrací neutrálních částic má difúzni rovnice pro nabité částice a následující tvar
^ = DV2na. (9.5) ot
Koeficient De volné difúze elektronů v izotropním plazmatu bez přítomnosti interního elektrického pole je
De = (9.6)
mevc
35
KAPITOLA 9. VODIVOST PLAZMATU A DIFÚZE
36
V plazmatu za přítomnosti vnějšího magnetického pole je De dán tenzorem, podobně jako stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů.
Elektrony v plazmatu obvykle difundují rychleji než ionty, protože mají mnohem nižší hmotnost a vyšší pohyblivost. Následkem toho se v plazmatu vytváří vnitřní elektrické pole, které zpomaluje difúzi elektronů a urychluje difúzi iontů. Tento jev se nazývá ambipolární difúze.
Je-li vztah mezi koncentracemi iontů rij a elektronů ne
nt = Cne (9.7) kde C je konstanta, pak pro koeficient ambipolární difúze Da platí
k(Te + CTi) , ,
Da =-1 ' '   , 9.8
me vce +6 mi vci
kde Vá, uce jsou srážkové frekvence pro přenos hybnosti mezi neutrálními částicemi a ionty/elektrony.
9.2 Příklady
9.2.1    Stejnosměrná vodivost plazmatu
Odvoďte vztah pro stejnosměrnou vodivost plazmatu z Langevinovy rovnice pro ustálený stav bez přítomnosti magnetického pole
— e E — me vc ue = 0. (9.9)
Řešení   Hustota elektrického proudu je definována jako
J = — e ne ue (9.10)
Dosadíme-li toto do Langevinovy rovnice (9.9), dostaneme výraz pro hustotu elektrického proudu J
2
J = —E (9.11)
meuc
Ohmův zákon má tvar
J = o-0 E (9.12) a stejnosměrná vodivost je dána následujícím vztahem
KAPITOLA 9. VODIVOST PLAZMATU A DIFÚZE
37
9.2.2   Tenzor pohyblivosti elektronů v plazmatu za přítomnosti magnetického pole
V přítomnosti magnetického pole má Ohmův zákon tvar
		J	= S ■ E		
Jx 1	\ j	< <r±	-a h	° \	/ Ex
Jy				°	
J Z )	f \	\ o	0		\ Ez
(9.14)
kde pro jednotlivé složky tenzoru stejnosměrné vodivosti S platí
ao (9.15)
ľC2 + í>§e
aH = ^fkao (9-16)
2
nP e
^||=^o = ^—, (9.17)
kde ížce je elektronová cyklotronová frekvence dána vnějším magnetickým polem. Určete složky tenzoru pohyblivosti eletronů Me definovaného jako
ue = Me-E. (9.18)
Výsledky:
j	/ M±	-Mu	0
Me =	MH	M±	0
1	0	0	M
M± = ':' ,v, , (9.19)
me (z/2 + tt2ce
í~žce 6
me (z/2 + 02e
e
mei/c
Xii =--— (9.21)
9.2.3   Ohmův zákon v přítomnosti magnetického pole
Uvažte rovnici J = S ■ E jako v předchozím příkladu. Předpokládejte, že E = (E±, 0, -E||) a B = (0, 0, Bq). Spočtěte J. Všimněte si, že proud teče i ve směru y, kam nemíří žádné pole. [J = {a±E±, a h E±, a\\ E\\)]
KAPITOLA 9.  VODIVOST PLAZMATU A DIFÚZE 38
9.2.4   Difúzni rovnice
Řešte jednorozměrnou difúzni rovnici
dn(x.t)     „ d2n(x,t)
separací proměnných. Předpokládejte
n(x,t) = S(x)T(t). (9.23)
Výsledky:
• Tk(t)=T0 eM-Dk2t)
• S(x) = c{k) exp(i kx), k je separační konstanta
+00
• n(x,t) = j c(k) exp(—i k x — D k2 t) dk
—oo
Kapitola 10
Některé základní jevy v plazmatu
10.1 Teorie
Americký chemik a fyzik Irving Langmuir v článku z roku 1923 píše, že elektrony jsou odpuzovány od negativní elektrody, zatímco pozitivní ionty jsou přitahovány směrem k ní. Langmuir z toho vyvozuje, že okolo každé negativní elektrody je vrstva (sheath) dané tloušťky obsahující pouze kladné ionty a neutrální atomy. Dále si Langmuir všímá, že i skleněná stěna výbojové trubice se záporně nabíjí a odpuzuje (nebo odráží) téměř všechny elektrony, které se k ní pohybují [17].
Fakt, že se izolované předměty vložené do plazmatu nabíjí na (vzhledem k plazmatu) záporný tzv. plovoucí potenciál, vysvětlujeme tím, že se elektrony pohybují mnohem rychleji než ionty. Tepelná rychlost elektronů (k-QTe/me)1/'2 je nejméně stokrát vyšší než tepelná rychlost iontů (^bTí/Mí)1/2 [18]. Prvním důvodem rozdílných rychlostí iontů a elektronů je větší hmotnost iontů. Pokud uvažujeme samotný proton (tedy nejlehčí kladný iont, který se v plazmatu může vyskytovat), pak poměr hmotností protonu a elektronu mp/me je 1836. Tento poměr přibližně odpovídá poměru hmotností těžké bowlingové koule (5 kg) a pingpongového míčku (2,7 gramů). Druhým důvodem větší tepelné rychlosti elektronů v nízkoteplotním plazmatu je jejich výrazně vyšší teplota oproti iontům.
Nejmenší možnou rychlost iontů při vstupu do sheathu nazýváme Boh-movou rychlostí u^. Ionty jsou urychlovány v kvazineutrálním presheathu, v kterém na ně působí slabé elektrické pole. Toto Bohmovo kritérium stěnové vrstvy popisuje následující rovnice
us(0) > uB = . (10.1)
39
KAPITOLA 10. NĚKTERÉ ZÁKLADNÍ JEVY V PLAZMATU
40
10.2 Příklady
10.2.1    Šíření vln v nemagnetizovaném plazmatu
Uvažujte rádiové vlny, které se odráží od tzv. E vrstvy ionosféry Tato vrstva má koncentraci elektronů 105 cm~3 a je ve výšce okolo 100 km.
a) Jaké elektromagnetické vlny se mohou odrážet od této vrstvy?
b) Spočtěte dielektrickou konstantu plazmatu pro vlny o frekvenci 100 Mhz a 1000 Hz.
b) Spočtěte hloubku vniku (skin depth) vlny o frekvenci 1000 Hz.
a) Odrazí se všechny vlny s frekvencí menší, než je plazmová frekvence (2 839 725 Hz).
b) Dielektrická konstanta je definována
Pro 100MHz e = 0.9991 (kladná hodnota, elmag. vlna se šíří), pro 1000Hz e = —8064037 (záporná hodnota, imaginární index lomu, odraz).
c) Hloubka vniku ô je přibližně c/ y1^2 — w2, kde c je rychlost světla. Po dosazení hodnot pro 1000 Hz vychází hloubka vniku 16.8 m.
10.2.2 Plovoucí potenciál
Vysvětlete, proč izolovaný objekt vložený do plazmatu získává záporný potenciál vzhledem k plazmatu.
10.2.3 Bohmova rychlost
Spočtěte Bohmovu rychlost pro iont vodíku v plazmatu s teplotou elektronů Te = leV. [9787.2 m/s]
10.2.4 Plazmová frekvence
Pokud je makroskopická neutralita plazmatu z vnějšku narušena, elektrony se chovají takovým způsobem, že dají vzniknout oscilacím o elektronové plazmové frekvenci. Uvažujte tyto oscilace, ale do výpočtu zahrňte také pohyb iontů. Odpoďte přirozenou frekvenci těchto oscilací prostorově rozloženého náboje v tomto případě. Využijte linearizovanou rovnici kontinuity a hybnosti a Poissonovu rovnici, za předpokladu působení elektrické síly díky
Řešení:
KAPITOLA 10. NĚKTERÉ ZÁKLADNÍ JEVY V PLAZMATU
vnitřní separaci náboje.
[u> = (u,*+u>*)1'2, where ,1 = /g]
Kapitola 11
Boltzmannův srážkový člen
11.1 Teorie
Předpokládáme-li homogenní a izotropní rozdělovači funkci rychlosti elektronů a molekulární chaos, uvažujeme-li jen dvojné srážky a zanedbáme-li působení vnějších sil, můžeme odvodit tzv. Boltzmannův srážkový člen
g = |v — vi| je velikost relativní rychlosti elektronu a částice, s níž se sráží, a(g,íl) je diferenciální účinný průřez pro tento druh srážky. Vystupují zde dvě různé rozdělovači funkce - elektronová /e(v) a rozdělení rychlosti toho druhu částic, který uvažujeme, /i(vi). Je-li třeba započítat srážky s několika druhy částic, má srážkový člen podobu součtu členů stejného typu, jako rovnice (11.1).
První člen rozdílu popisuje množství elektronů s počáteční rychlostí v', které se srazí s částicí o rychlosti vj. Po srážce mají elektrony rychlost v a jejich srážkoví partneři mají rychlost vi, jedná se tedy o přírůstek rozdělovači funkce elektronů v oblasti rychlosti v. Druhý člen popisuje inverzní srážky, které vedou ke úbytku elektronů o rychlosti v, proto je záporný.
Uvažujeme-li jen srážky vedoucí k malým odchylkám, což je rozumný předpoklad pro Coulombovské interakce, můžeme odvodit tzv. Fokker-Planckův srážkový člen.
(ii.i)
kde
Jíl J v\
jsou koeficienty dynamického tření a difúze v rychlostním prostoru.
42
KAPITOLA U. BOLTZMANNŮV SRÁŽKOVÝ ČLEN
43
11.2 Příklady
11.2.1    Srážky, Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce
Uvažujme plazma, v němž jsou elektrony a ionty charakterizovány rozdělovačům funkcemi fe, ff.
f e = n0
f i = n0
rrip
2tt kTP
2-KkT
3/2
exp
mP v — uP
2kTP
3/2
exp
nu v - u,;
2 k T
(11-5) (11-6)
(a) Spočítejte rozdíl (/e(v') /j(vi) - /e(v) jj(vi)).
(b) Ukažte, že toto plazma sestávající z elektronů a iontů bude v rovnovážném stavu, tj. rozdíl (/e(v') /j(ví) — Íe(v) /«(vi)) bude roven nule právě tehdy, když ue = Uj a Te = Tj.
Řešení
(/e(v/)/,(v/1)-/e(v)/í(v1))=n2
1
3 / \ 3/2
x I exp
exp
me (v
2ttk )   \ TeTi ue)"     nii [v[ - uí
2kTP
2 k T
me (v - ue)2     mi (vi - Uj)2
2fcTP
2 fcT,-
(11.7)
(b) Uzávorkovaná část musí být rovna nule. To nastane tehdy, když si argumenty exponenciálních funkcí budou rovny. Po úpravě a s vypuštěním společného faktoru —(2 A:)-1 můžeme tyto argumenty napsat jako:
Ý (v'2 -2V-ue + u2e) + j^(v'2 - 2v! • u, + u2
(lli
m
1 /   9 9\
'"^ - 2 vi • Uj + Ui)
(11.9)
Při odvozování Boltzmannova srážkového členu jsou v, vi a v', brány jako rychlosti před a po dvojné pružné srážce. Jsou tedy svázány zákony zachování kinetické energie a hybnosti:
me v2 + rrij v\     me v'2 + rrij u^2
me v + rrij vi = me v + rrij v1
(11.10)
(11.11)
KAPITOLA U. BOLTZMANNŮV SRÁŽKOVÝ ČLEN
44
Z posledních čtyř vztahů je zřejmé, že srážková člen bude roven nule právě tehdy, když Te = Tj a ue = Uj. Jinými slovy, rozdělovači fukce fe se bude v důsledku srážek měnit pouze tehdy, když plazma nebude v rovnovážném stavu. Srážkové procesy tedy vedou k tomu, že plazma se dostává do rovnováhy.
11.2.2 Srážky pro rozdílné rozdělovači fukce
Reste část (a) předchozího zadání pro elektronovou rozdělovači funkci Druyvesteynova typu a Maxwell-Boltzmannovské rozdělení rychlostí iontů (Ce, ae and d jsou konstanty)
fe = Ce exp[-ae m2e (v - ue)4] (11.12)
fi
Bude rozdíl (/e (v')/i K)
11.2.3 Srážky pro Druyvesteynovo rozdělení
Řešte předchozí zadání s rozdělením Druyevesteynova typu (vizte 11.12) pro elektrony i ionty. Může se srážkový člen rovnat nule pro ue = Uj? Je možné najít rovnovážný stav plazmatu popsaného Boltzmannovou kinetickou rovnicí s Boltzmannovým srážkovým členem popsaný rozdělovači funkcí Druyvesteynova typu?
d exp
nu v.
u,
2 k Ti
/e(v) /i(vi)) roven nule pro ue = Uj?
;il.l3)
Literatura
[1] Cauchy distribution. http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_ distribution. Accessed: 2013-04-10.
[2] Msis-e-90 atmosphere model. http://omniweb.gsfc.nasa.gov/ vitmo/msis_vitmo.html. Accessed: 2013-08-15.
[3] B Bachmann, R Kozakov, G Gött, K Ekkert, J-P Bachmann, J-L Marques, H Schopp, D Uhrlandt, and J Schein. Power dissipation, gas temperatures and electron densities of cold atmospheric pressure helium and argon rf plasma jets. Plasma Sources Science and Technology, 46(12):125203, 2013.
[4] Jose A Bittencourt. Fundamentals of plasma physics. Springer, 2004.
[5] B Bora, H Bhuyan, M Favre, E Wyndham, and H Chuaqui. Diagnostic of capacitively coupled low pressure radio frequency plasma: An approach through electrical discharge characteristic.
[6] L Campbell and MJ Brunger. Modelling of plasma processes in come-tary and planetary atmospheres. Plasma Sources Science and Technology, 22(1):013002, 2012.
[7] Guangsup Cho and John V Verboncoeur. Plasma wave propagation with light emission in a long positive column discharge.
[8] Eun Ha Choi, Jeong Chull Ahn, Min Wook Moon, Jin Goo Kim, My-ung Chul Choi, Choon Gon Ryu, Sung Hyuk Choi, Tae Seung Cho, Yoon Jung, Guang Sup Cho, et al. Electron temperature and plasma density in surface-discharged alternating-current plasma display panels. Plasma Science, IEEE Transactions on, 30(6):2160-2164, 2002.
[9] P Debye and E Hückel. De la theorie des electrolytes, i. abaissement du point de congelation et phenomenes associes. Physikalische Zeitschrift, 24(9):185-206, 1923.
[10] Richard Fitzpatrick. Introduction to plasma physics.  The University of Texas at Austin: sn, page 242, 2008.
45
LITERATURA
46
[11] S Hofmann, AFH van Gessel, T Verreycken, and P Bruggeman. Power dissipation, gas temperatures and electron densities of cold atmospheric pressure helium and argon rf plasma jets. Plasma Sources Science and Technology, 20(6):065010, 2011.
[12] J Hubert, M Moisan, and A Ricard. A new microwave plasma at atmospheric pressure. Spectrochimica Acta Part B: Atomic Spectroscopy, 34(1):1-10, 1979.
[13] Zdenek Hubicka. The low temperature plasma jet sputtering systems applied for the deposition of thin films. 2012.
[14] Umran S Inan and Marek Golkowski. Principles of plasma physics for engineers and scientists. Cambridge University Press, 2010.
[15] Jae Duk Kim, Young Ho Na, Young June Hong, Han Sup Uhm, Eun Ha Choi, et al. Microwave plasma jet system development at atmospheric pressure using a 2.45 ghz gan hemt devices. In Plasma Science (ICOPS), 2011 Abstracts IEEE International Conference on, pages 1— 1. IEEE, 2011.
[16] SB Krupanidhi and M Sayer. Position and pressure effects in rf magnetron reactive sputter deposition of piezoelectric zinc oxide. Journal of applied physics, 56(11):3308-3318, 1984.
[17] I. Langmuir. Positive Ion Currents from the Positive Column of Mercury Arcs. Science, 58:290-291, October 1923.
[18] M.A. Lieberman and A.J. Lichtenberg. Principles of plasma discharges and materials processing. Published by A Wiley-Interscience Publication, page 388, 1994.
[19] Liming Liu, Ruisheng Huang, Gang Song, and Xinfeng Hao. Behavior and spectrum analysis of welding arc in low-power yag-laser-mag hybrid-welding process. Plasma Science, IEEE Transactions on, 36(4):1937-1943, 2008.
[20] Yasuyuki Noguchi, Akira Matsuoka, Kiichiro Uchino, and Katsunori Muraoka. Direct measurement of electron density and temperature distributions in a micro-discharge plasma for a plasma display panel. Journal of applied physics, 91(2):613-616, 2002.
[21] Kunio Okimura, Akira Shibata, Naohiro Maeda, Kunihide Tachibana, Youichiro Noguchi, and Kouzou Tsuchida. Preparation of rutile tio2 films by rf magnetron sputtering. JAPANESE JOURNAL OF APPLIED PHYSICS PART 1 REGULAR PAPERS SHORT NOTES AND REVIEW PAPERS, 34:4950-4950, 1995.
LITERATURA
47
[22] Cheng-gang PAN, Xue-ming HUA, Wang ZHANG, Fang LI, and Xiao XIAO. Calculating the stark broadening of welding arc spectra by fourier transform method. 32(7), 2012.
[23] Shahid Rauf and Mark J Kushner. Optimization of a plasma display panel cell. In APS Annual Gaseous Electronics Meeting Abstracts, volume 1, 1998.
[24] P Sigurjonsson and JT Gudmundsson. Plasma parameters in a planar dc magnetron sputtering discharge of argon and krypton. In Journal of Physics: Conference Series, volume 100, page 062018. IOP Publishing, 2008.
[25] Žemlička R.     In situ studium růstu a leptání tenkých vrstev v nízkotlakých vysokofrekvenčních kapacitně vázaných výbojích. 2012.