DOC. ING. DR BOHUMIL KVASIL v I THE O R ETICKÉ ZÁKLADY TECHNIKY CENTIMETROVÝCH VLN Schváleno výnosem ministerstva Školství ze dne 13. řijna 1955 č. j. 70 287/55 G Ilji jako celoštátni vysokoškolská učebnice pro příslušné specialisace na elektrotechnických fakultách Přírodovňílacká fakulta imlv. v Brně Hlavni lny e . Dano v knihovně .^íJJ^k'.jf Úatavnl Inv. 6 ,., .ffiffi...,_____ Signatura ,,.-Q,,',fé&Pf;,^ PRAHA 1957 i STÁTNÍ NAKLADATELSTVÍ TECHNICKÉ LITERATURY PŘEDMLUVA Kniha pojednává o základech theorii techniky centimetrových vín a probírá zejména vedení, dutinové reso-nátory a vlnovody. V závěru knihy je speciální matematický výklad a výklad některých fysikálnich pojmů. Kniha je určena pro posluchače vysokých škol a pro inženýry pracující v oboru vysokofrekvenční elektrotechniky. ctoři: Dr Augustin Dití, Dl Oldřich Koníček, Dr Čestmír Muzikář a Ing. Dr Miloš Seidl Redaktor: Rudolf Major Redakce elektrotechnické literatury — hlavni redaktor Ing. Dr František Kašpar Obor radiotechniky se již od svého počátku, od vynálezu radia velkým ruským učencem A. S. Popovem, vyznačuje neobyčejně rychlým rozvojem. Během tohoto mohutného rozmachu došlo k radě revolučních vynálezů, které daly oboru radiotechniky nový směr. V poslední době se řadí k novým odvětvím radiotechniky ty obory, při nichž se využívá speciálních vlastností šíření decimetrových o centimetrových vlá. Použití decimetrových a centimetrových vln vyžaduje obvodovou techniku zcela odlišnou od té, které používáme na dlouhých, středních a krátkých vlnách. Abychom tuto obvodovou techniku zvládli, je třeba si osvojit důkladné fysikální podstatu šíření elektromagnetických vln při různých okrajových podmínkách, kterými jsou charakterisovány jednotlivé prvky obvodů v technice centimetrových a decimetrových vln. V této učebnici se popisují hlavní methody, kterých při tom používáme. Kniha se skládá z devíti hlavních částí. V první části jsou rozvedeny Maxwellovy rovnice a upraveny tak, aby jich bylo možno použít při řešení speciálních elektrodynamických problémů, vyskytujících se v technice centimetrových vln. Druhá část je věnována theorii vedení pro centimetrové vlny, hlavně theorii vlnovodů. Při tom se věnuje ncjvětŠí pozornost odvození obecných vlastností, které jsou společné všem válcovým vlnovodům. Podrobněji se při tom probírá vlnovod s kruhovým a obdélníkovým průřezem. Na konci této části jsou odvozeny základní fysikální vlastnosti některých speciálních vědem, používaných v technice centimetrových vln, jako je dielektrický drát a vedení se zpomalující strukturou. Třetí část je věnována dutinovým resonátorům. Provádí se v ní podrobný rozbor dutinových resonáťorů vlnovodového typu a uvádějí se základní methody používané při rozboru dutinových resonátorů obecného tvaru. Ve čtvrté části se probírá buzení vlnovodů a dutinových resonátorů. S touto částí těsně souvisí část pátá, v niž se pojednává o nespojitostech ve vlnovodech. V šesté části sc homogenní vedení porovnávají s vlnovodem. Sedmá a osmá část pojednávají o základech difrakce a o vyzařování z vlnovodů a trychtýřů. Devátá část je matematický doplněk, v němž jsou zopakovány základy vektorové analysy a základní vlastnosti Besselových funkcí. Na konci této části sc také uvádí jednoduché odvození Maxwellových rovnic a okrajových podmínek. Při zpracování této knihy mi sloužily jako podklad četné práce sovětských vědců zejména Kisuňka, Vvedenského a Grinberga. Z našich pracovníků se zabývali problematikou centimetrových a decimetrových vln, hlavně po stránce fysikální, prof. Záviška, prof. Žáček a jejich následovníci. Některé jejich práce v tomto oboru lze označit za průkopnické. Tato kniha je určena jako učebnice pro vysoké školy a pro pracovníky ve výzkumných ústavech. Vznikla z přednášek, které konám na elektrotechnické fakultě ČVUT v Praze. Jejím cílem je, aby čtenář získal takové theoretické základy v oboru centimetrových a decimetrových vln, aby mohl samostatně studovat theoreticky náročnější literaturu a dále rozšiřovat své znalosti z uvedeného oboru. iium tohoto díla předpokládá znalost vektorového počtu a znalost řešení některých nich diferenciálních rovnic. Dílo obsahuje i některé části, které nelze pro časové lí na elektrotechnické fakultě přednést. Tyto části jsou vytištěny drobnějším 11. náci na knize mi byli nápomocni asistenti katedry vysokofrekvenční elektrotech-něru radiolokace. Těmto pracovníkům a všem, kteří svými radami a náměty při-zlepšení rukopisu a rychlému vydání této knihy, co nejsrdečněji děkuji. aze dne 3. března 1956. Amor OBSAH Předmluva .................... Obsah........................ Seznam hlavních použitých znaků 1. ÚVODNÍ ČÁST 1. Základní rovnice elektromagnetického pole ....................................... 2. Gradientni invariantnost elektromagnetického pole................................. 3. Úplné řešeni elektromagnetického pole jako superposice pole příčného elektrického a příčného magnetického............>............................................... 4. Jednoznačnost řešení vlnové rovnice............................................. 5. Integrace Maxwellových rovnic v křivočarých souřadnicích ......................... 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. II. THKORIE VEDENÍ PRO DECIMETROVÉ A CENTIMETROVÉ VLNY Vlnovody....................................................... Příčná vlna magnetická (vlna TM) .................................. Příčná vlna elektrická (vlna TE)...................;................. Charakteristická impedance vlnovodu................................. Odvození měrného vysokofrekvenčního odporu plástů.................. Výkon přenesený vlnovodem........................................ Výpočet měrného útlumu vlnovodu (příčná vlna magnetická)............ Výpočet měrného útlumu vlnovodu (příčná vlna elektrická) ............. Zvláštní druhy vlnovodů........................................... 14.1 Kruhový vlnovod s příčnou vlnou magnetickou................... 14.2 Výpočet měrného útlumu...................................... 14.3 Kruhový vlnovod s příčnou Vlnou elektrickou..................... 14.4 Výpočet měrného útlumu...................................... Souosé vlnovody.................................................. 15.1 Souosý vlnovod s příčnou vlnou magnetickou .................... 15.2 Souosý vlnovod s příčnou vlnou elektrickou...................... Souosý vodič..................................................... 16.1 Výpočet ztrát v souosém vodiči................................ Obdélníkové vlnovody............................................. 17.1 Obdélníkový vlnovod s příčnou vlnou magnetickou............ 17.2 Obdélníkový vlnovod s příčnou vlnou elektrickou................. Šíření elektromagnetické vlny mezi dvěma rovinnými deskami........... Geometrická představa siření elektromagnetické vlny mezi dvěma deskami. Rychlost šíření energie ve vlnovodu ................................. Radiální vedeni................................................... Silové čáry intensity elektrického a magnetického pole.................. Rozbor měrného útlumu vlnovodu................................... Maximální přenesený výkon........................................ 24.1 Obdélníkový vlnovod s vlnou TE10 ............................. 24.2 Kruhový vlnovod s vlnou TEM................................ 24.3 Maximální výkon přenesený souosým vedením................... Šíření elektromagnetické vlny podél dielektrického válce.......v......... 5 7 11 13 16 17 21 25 27 31 33 35 39 42 44 48 48 51 52 54 54 54 57 59 62 64 64 67 69 71 74 76 82 87 89 89 90 93 94 ni elektromagnetické vlny podél vodivého válce................................ 107 ni elektromagnetické vlny podél vodivého válce obaleného dielektrickou vrstvou..... 110 di elektromagnetické vlny ve vlnovodu s periodickou strukturou.................. 115 nový vlnovod s hřebínkovou strukturou....................................... 120 isé spirálové vedeni........................................................ 122 ní elektromagnetické vlny v trychtýřovém vedeni............................... 126 Trychtýřové vedeni s intensitou elektrického pole ve směru osy z................ 126 Trychtýřový vlnovod s elektromagnetickou vlnou, u niž má intensita elektrického pole směr .u mezní úhlový kmitočet V knize se používá výhradně jednotkové soustavy MKSA, a proto se za výsledky neuvádějí rozměry. Je-li výsledek v jiných jednotkách, je za výsledkem rozměr uveden. Prostorové vektory jsou v knize tištěny půltučnou kursivou, časové vektory a komplexní čísla obyčejnou kursivou. Hertzův elektrický a magnetický vektor je z technichých důvodů výjimečně tištěn půltučně stojatě. 11 I. Ú VO DNÍ ČÁST rot E = div B = 0 divD = f> B - fiH D = eE 1. Základní rovnice elektromagnetického pole Při řešení elektromagnetických problémů bude naším úkolem určit závislost intensity elektrického pole, intensity magnetického pole, elektrické indukce (dielektrického posunu) a magnetické indukce na prostorových souřadnicích a na čase. Tato závislost se v diferenciálním nebo integrálním tvaru definuje Maxwellovými rovnicemi. Závislost jednotlivých veličin elektromagnetického pole je podle Maxwellových rovnic vyjádřena vektorovými rovnicemi1) rot H = f.iH div B =: 0; div D ~q Zavedeme-li další předpoklad, že chceme určovat rozložení elektromagnetického pole v isotropním prostředí, bude s konst,,« = konst, a potom div H = 0 (1-9) div£=|- (MO) O magnetickém poli platí, jak plyne z rovnice (1-9), že je to vždy pole vírové, neboť pro jakoukoli intensitu magnetického pole platí, že div H — 0. Proto lze intensitu magnetického pole vyjádřit jako rotor pomocného vektoru. Označme tento vektor A. Potom platí H = rot A (1-11) Dosadíme-li rovnici (1-11) do rovnice (1-8), dostaneme rot£=—i rofj, rot A Z tohoto vztahu vyplývá £= - -umA + grad F (1-12) neboť platí identicky že rot grad V = 0. Při tom je V libovolný skalární potenciál. Dosadíme-li rovnici (1-11) do rovnice (1-7), je rot rot A = oE + jcoeE -|- j Intensita elektrického pole musí vyhovovat vztahu (1-12). Proto rot rot A — (o- + jco«)(— jayi) A + (a + jtoe) grad V + J (1-13) Výraz (— 'Yojr/^a -j- joje) nahradíme výrazem Operátor rot rot lze upravit tak, že rot rot A = grad div A — AA Upravíme-li podle toho rovnici (1-13), dostaneme AA + k-A — grad [div A — (cr-p yoe) V}=^-}_ a) Obecně je intensita elektrického a magnetického pole obecnou funkcí času. V elektrotechnice však uvažujeme nejčastěji periodické časové průběhy, které lze rozložit na jednotlivé harmonické, při čemž mezi jednotlivými harmonickými platí zákon superposice. Můžeme proto zkoumat každou harmonickou zvlášť. Okamžitá harmonická intensita elektrického nebo magnetického pole je vyjádřena vztahem e(x, y, z, t) = E(x, y, z) e«"' Kx,y,z,ť) = H(.x,y,z-)Ěl-1 kde e(x>y3 z, ť) je okamžitá intensita elektrického pole (je funkcí místa a času) h{x, y, z, ť) okamžitá intensita magnetického pole E(x,y, z) amplituda intensity elektrického pole (obecně je to komplexní výraz) H(x,y, z) amplituda intensity magnetického pole oí úhlový kmitočet harmonické, \ Dosadíme-li ryto výrazy do Maxwellových rovnic (1-1) až (1-6), dostane rovnice (1-7) a (1-8), kde E, H, B a D jsou amplitudy uvedených veličin (jsou obecně komplexní). 14 ■ Skalární funkce V může mít libovolný průběh, jak vyplývá z rovnice (1-12). Proto ji zvolíme tak, aby 1 t a + yoe Potom se nám zjednoduší předešlá rovnice takto: AA + h-A = - div A 3) (1-14) 1 (1-15) Je to vlnová nehomogenní rovnice pro pomocný vektor A. Tento pomocný vektor budeme v dalším výkladu nazývat vektorovým potenciálem. Proveďme divergenci pravé a levé strany rovnice (1-12). Potom div E = — jco,« div A + div grad V (1—16) Na základě Maxwellovy rovnice (1-4) platí pro homogenní prostředí div £: Z rovnice (1-14) vyplývá, že div A = (o- -f ym) V, a dále platí, že div grad V ■-Proto lze rovnici (1-16) upravit takto: AK ATM. k*V ■■ g (1-17) Výrazy (1-15) a (1-17) jsou diferenciální rovnice pro vektorový a skalární potenciál. Při tom stačí určit jeden z nich, neboť druhý určíme z prvého na základě vztahu (1-14), který nazýváme Lorentzovou rovnicí. Známe-li průběh vektorového a skalárního potenciálu, určíme jednotlivé složky pole E a H podle rovnic (1-11) a (1-12). Je tedy elektrické pole dáno vektorovým a skalárním potenciálem. Abychom mohli určit elektromagnetické pole jen z průběhu jedné veličiny, zavedeme nový vektor, který by identicky splňoval podmínku (I-I4). Zavedeme proto t. zv. Hertzův vektor 11%' který je vyjádřen pomocí vektorového a skalárního potenciálu podle vztahu A= (a+jaie)n« (1-18) V = div II' . t (1-19) Nahraďme vektorový potenciál ve vlnové rovnici (1-15) Hettzovým vektorem. Potom a) V našem případě má vektorový potenciál A a skalární potenciál V pan^ctiý- vyzním. 'Avšak lze dokázat, že vektorový potenciál je určen prubéhem proudové hustoty v diaž oblasti a žejje určen vzorcem * . 1 ffc->kT dV kde k je vlnové číslo V objem, v němž je dáno proudové uspořádáni ř vzdálenost mezi místem, kde určujeme vektorový potenciál, a místem proudové hustoty. Podobně je dán skalární potenciál prostorovým uspořádáním náboju a jeho velikost určíme podle 4tíe j r kde g je objemová hustota náboje. 15 An* -h (1-20) (o -ŕ } (I-2I) H = (t? + j>e) rot II8 (1-22) Umímc-Ii určit Hertzův vektor z vlnové rovnice (1-20), umíme určit jednotlivé veličiny elektromagnetického pole ze vztahu (1-21) a (1-22). 2. Gradientní invaríantnost elektromagnetického pole Uvažujme dvě elektromagnetická pole. Jedno pole je dáno Hertzovým vektorem IP„ druhé Hanzovým vektorem II;. Intensita magnetického pole bude potom vjednodivých případech určena takto: Hi = + ) je libovolná skalární funkce. Dosadíme-li totiž za HJ — IĽ uvedený výraz do rovnic (1-23) a (1-24), plyne z toho, že i (Ei — E,) a (Hl — H,,) jsou nulové, neboť rot grad ip je při jakémkoli q: nulový. Tím je dokázáno, že se na průběhu intensity elektrického pole i průběhu intensity magnetického pole nic nemění, nahradíme-li Hertzů v vektor IT novým Hertz ovým vektorem IT podle vztahu ni= n -f grady (1-25) ') Hertzův vektor II" je fysíkálné určen průběhem dípóltwjŕch momentů a definuje se timto vztahem: , ŕii *-dF kde f je objemová hustota dipólových momentů (v dielektriku se tato hustota rovná polarizačnímu vektoru dielektrika) •f vzdálenost mezi místem, kde určujeme Hertzův vektor, a místem dipólovýcii momentů. 16 Tato vlastnost se nazývá gradientní invariantností elektromagnetického pole. Hertzův vektor lij; vyhovuje vlnové rovnici (1-20). Proto platí se zřetelem k rovnici (1-25) An? + #iií = —X- a + jtuE Aby i vektor II" vyhovoval vlnové rovnici (1-20), tedy An* + hm* =--}-^— O + JW£ musí potenciál

í Hertzův vektor je obecně dán v pravoúhlých souřadnicích třemi složkami: n^, 77* a /I,. Uvážíme-li nejprve pole bez zdrojů, bude vlnová rovnice (1-20) homogenní a pro každou složku Hertzova vektoru bude platit dílčí vlnová rovnice azj; 4- Sfflř| — o AJ7i + km", = o Kdybychom uměli určit všechny tří uvedené složky Hertzova vektoru, uměli bychom určit všechny veličiny elektromagnetického pole. Dokážeme, že k úplnému určení elektromagnetického pole stačí zjistit průběh libovolné dvojice složek ľlix,íll a U\. K tomn účelu zaveďme nový Hertzův vektor 11;, který je vázán s původním Hertzovým vektorem TI' vztahem (1-25). Potom *&*-$H-||; //,,. u: rrU = frz+^ (i-27) Potenciál q>} jak jsme již uvedli, je libovolná skalární funkce. Volme tuto funkci takovou, aby platilo identickv e

je libovolná skalární funkce, vyhovující vlnoví rovnici. Dosadíme-li za fl\xů a li^ příslušné výrazy, dostaneme M - m—M■ —8i- n* M dy * dx' dz~ ,J ' "ty Hertzův vektor IT: je předem daná veličin; (vyhovující všem iysikilnírn podmínkám daného elektromagnetického problému). Derivujme první identitu podle X, druhou podle y a sečtěme je. Potom bude fŠ L Tjt = SH£ + ĚĚŽĚ &xv ' r.va dx :Ůy To je nehomogenní I.aplaceuva diferenciální rovnice. Pravou stranu známe. Uríime-li z této rovnice funkci ip, budou složky Hertzova vektoru /7lä,c a/71!(" (vytvořeného z původního Hertzova vektoru H'-a na základe gradientní invaríancnosti) vyhovovat vztahu Stp w 18 substituci obecne provést. Potom dx Výraz ft= x — ---y se rovná složce rotoru ve směru osy z. Proto 1 cy dx1 3 -T--^/-^(^) Nahradili jsme tedy Hertzův vektor dvěma vektory: vektorem IT^z a rotorem rotfyz). Přitom musí obě skalární funkce IIi f vyhovovat vlnové rovnici. Výraz ipx. si označíme vektorem li + JO)£ . Potom platí, vypustíme-li index 1 IT = ni 4- 1 rot nm a -f- jejfi Intensitu elektrického a magnetického pole určíme z Hertzova vektoru podle vztahů (1-21) a (1-22). Bude tedy H = (r. 1. Znázorněni kulových souřadnic. Obr. 2. Křivočaré orthogonální souřadnice. Označme jednotkové vektory ve směru tečen průsečných křivek uls u2 a u3. Elementární oblouky ve směru průsečných křivek označíme dilf dis a di3. Při tom platí (víz kap. IX), že dst = h ■ du,, dsa = Aa du2, dj3 = fej du3, kde liL, h2, h3 jsou Laméovy koeficienty křivočarých souřadnic. Dokážeme, že jednotlivé složky elektromagnetického pole lze vyjádřit pomoci společné potenciální funkce jen tehdy, bude-li mezi Laméovými koeficienty platit tento vztah: hi = 1 (nebo konstanta). Maxwellovy rovnice pro prostředí bez zdrojů mají tvar rot E -• — jco.ííH div H = 0 rot H = jíueE div E =0 Vyjádříme je v křivočarých souřadnicích, kde platí pro složky rotoru tyto identity: rot,,, E - 21 Použijeme-Ii těchto vztahů v první Maxwellově rovnici, dostaneme 5 ml' ~'r £ C£A) ' ■ (E^) — — ]a>,uA,A3H2 Clí, Su, lin/ih^uH-j (1-40) Obdobně bychom dostali rozvedením druhé Maxwellovy rovnice d S 8 0(1, 8 Síi (.H,h,) -I- — (H3fh) - ](uEhJt.tEl (1-41) Obecné řešení elektromagnetického pole je dáno superposicí příčných vln magnetických a příčných vln elektrických. Příčné vlny magnetické jsou v tomto případě ty, které nemají složku intensity magnetického pole ve směru té souřadnice, u niž se Laméův koeficient rovná jedné. Příčné vlny elektrické nemají ve směru této souřadnice složku intensity elektrického pole. Úplné řešení Maxwel-lových rovnic lze tedy u křivočarých souřadnic vyjádřit superposici vln vidu TM a TE jen tehdy, rovná-li se v některé z nich Laméův koeficient jedné. Toto tvrzení podáváme bez důkazu. Nejdříve budeme uvažovat příčné vlny magnetické (TM). Je-li v našem případě souřadnice u, taková, ž? její Laméův koeficient hl = 1, bude u příčných magnetických vln složka intensity magnetického pole nulová ve směru «,. Bude tedy HL — 0. Potom se rovnice (1-40) a (1-41) zjednoduší taktor S-A 8 t d — (iyg-" —(£sä2) CI-42) -^C£AH ~E^ (1-43) (1-44) 8 d r— (II-8) kde CL a C, jsou integrační konstanty. Veličina y je charakteristická veličina pro šíření vln ve směru osy z a nazývá se konstantou přenosu. Je vyjádřena vztahem (II-7). Při tom k" nezávisí na tvaru vlnovodu a závisí jen na konstantách prostředí (dielektrické konstantě, magnetické permeabilitě a vodivosti). Veličinu i'v rovnici (II-7) určíme z okrajových podmínek. Vlnová rovnice (II-1) dává nekonečně mnoho řešení a jednoznačnost řešení je dána při uvedeném tvaru vlnovodu předepsanými okrajovými podmínkami. Předpokládejme, že plášť vlnovodu je dokonale vodivý. V tom případě musí mít tečná složka intensity elektrického pole na plášti vlnovodu nulovou hodnotu. Tento předpoklad je oprávněn proto, že se pláště vlnovodu zhotovují z kovů velké vodivosti (obvykle z mosazi s postříbřeným povrchem) a že následkem povrchového jevu ubývá pole v plášti exponenciálně tak rychle, že při použití velmi vysokých kmitočtů pole ve vzdálenosti řádu Id-3 — IO-4 m-m od povrchu prakticky mizí. Protože rozměry vlnovodu jsou řádu použité délky vlny, je uvedený předpoklad s velkou přesností oprávněn. Aby byla tecná složka intensity elektrického pole na plášti nulová, musí být vektorový součin intensity elektrického pole a jednotkového vektoru ve směru normály na plášti nulový [En] = 0 (na plášti) Označíme-li jednotkovými vektory t, n a z směry tečny průřezové křivky vlnovodu, normály průřezové křivky a osy vlnovodu (viz obr. 5), lze vektor intensity elektrického pole na plášti vyjádřit ve složkách těchto vektorů. Potom £ = E,t -j- Ena + E,z kde Et je složka intensity elektrického pole ve směru tečny k průřezové křivce složka ve směru normály k průřezové křivce Ez složka ve směru osy vlnovodu. Vektorový součin [En], dosadíme-li za vektor E příslušné složky, bude mít tvar [(£(*+ E,.n + £,z)n] = 0 (11-9) Vektorový součin jednotkových navzájem kolmých vektorů dává jednotkový vektor, kolmý na základní vektory. Proto [tn] = z , [nn] = 0, [zn] = — t a dosazením do rovnice (II-0) E.z — Ett= 0 28 Aby tento vztah platil identicky, musí být na plášti Bt=0> Ez=0 Všimneme si nejdříve složky E,. Podle rovnice (1-33) vyjádříme tuto složku pomocí Hertzova vektoru. Při tom £ = kmt+ grad.. div II' Podle rovnice (II-4) je 77? = 7\(«, v) T.2(z). Provedeme-li vektorové operace, dostaneme divn^r^,,)^ grad3 div II! — Ti y cást pláště vlnovodu Obr. 6. Rozložení intensity elektrického pole na plášti vlnovodu (u vlny TM). Dosadíme-li tyto vztahy do výrazu pro Ez, je Es^J^TtTt- &2 Tento výraz se má pro jakoukoli hodnotu souřadnice z rovnat na plášti nule. Aby tomu tak bvlo, musí bvt na plášti r, = o . (ii-io) Složka intensity elektrického pole ve směru tečny průřezové křivky vlnovodu je dána na základě rovnice (1-33) takto: Et = (grad div mť) = (grad TLt) při čemž t je jednotkový vektor ve směru tečny. Protože (gradrit)= ^ kde ás je element oblouku průřezové křivky, je £i=£Í=£Zi (11-10.1) čz čs Okrajová podmínka (11-10) vyplývá ze vztahu, že tečná složka intensity elektrického pole ve směru osy z musí být na plášti vlnovodu nulová. Dokázali jsme dále, že musí platit podmínka (II-10.1), má-li být také tečná složka intensity elektrického pole ve směru průřezové křivky nulová. Z obou těchto vztahů vyplývá, že bude-li splněna podmínka (11-10), bude tím současně splněna i podmínka (II-10.1). Je-li totiž hodnota funkce na dané křivce nulová, musí být také derivace této funkce vc směru tečny dané křivky (derivace podle elementu oblouku) nulová. Určíme tedy funkci TL řešením vlnové rovnice art ■ i■ r-j. ■ o s okrajovou podmínkou, že na plášti je T,= 0 29 Tím určíme uspořádání Hertzova vektoru příčné magnetické vlny (TM). Řekli jsme již, že funkce 7) je funkcí příčných souřadnic. Přistoupíme-li k vlastnímu řešení vlnové rovnice funkce T1; musíme se nejdříve rozhodnout, v jakých souřadnicích provedeme řešení. Příčné souřadnice zvolíme pro daný průřez vlnovodu takové, abychom mohli určit jednoduše z okrajové podmínky všechny neznámé veličiny. Jde hlavně o konstantu F. Zavedeme tedy takové souřadnice u, v, ahy mohl být obrys průřezu vlnovodu vyjádřen rovnicí u — konst nebo v ~ konst nebo lineární kombinací obou téchto funkcí. Příčnou konstantu určíme potom z okrajové podmínky, že na plášti vlnovodu, je Konstanta ľ bude funkcí rozměrů vlnovodu. Budeme-li ji znát, budeme moci určit konstantu přenosu y podle vztahu (II-7) r = y&*—i'2 (ii-ii) Konstanta přenosu y je charakteristická veličina při určování uspořádání pole v podélném směru. Z výrazu (II-4) vyplývá, že se příčné uspořádání pole při jakémkoli z nemění, že se mění se souřadnicí s jen amplituda pole a že tato změna je dána funkcí 7*2(s). Z theorie rovinné vlny je známo, že sc elektromagnetická vlna šíří prostředím bez útlumu jen tehdy, je-li konstanta přenosu imaginární. V tom případě bude okamžitá hodnota Hertzova vektoru 77:= 7\(h, v)(C,dr' f C.fi~>y=) kde y je absolutní hodnota konstanty přenosu. Po vynásobení pravé strany dostaneme 77;! = C, 7\(«, v) &'-''+j'> + C5 7,0i, v) e»<"-r=> Každý člen pravé strany předcházejícího výrazu znázorňuje rovinnou vlnu Hertzova vektoru. Obě tyto vlny mají pro dané místo průřezu, určené souřadnicemi u, v, stejnou amplitudu a fázi, šíří se však v opačném směru. Konstanta přenosu ]y bude imaginární veličinou jen tehdy [viz rovnici (II-l 1)J, bude-li vlnové číslo k reálná a větší než konstanta V. Vlnové číslo k je vždy reálné, zanedbáme-li vodivost prostředí. Je totiž obecně k'1 = — y>> /*-. Mezní případ nastane, je-li k = jT. Uvážíme-li, že k — (o\/ne a 7" je pro daný tvar vlnovodu konstanta, vidíme,že uvedenou podmínkou bude omezen použitelní úhlový kmitočet co, Vvplvvá z toho totiž, že musí bvt L ľ Není-li splněna tato podmínka, je konstanta přenosu reálná veličina a elektromagnetická vlna se utlumí. Mezní případ je tehdy, je-li mn - ~ (11-12) [/>■ 30 Úhlový kmitočet, který je dán tímto vztahem, nazýváme mezním úhlovým kmitočtem. Potom platí, že se elektromagnetická vlna šíří vlnovodem jen tehdy, je-li její kmitočet vyšší než mezní. Známe-li konstantu přenosu, určíme fázovou rychlost šíření podle známého vztahu Podle rovnice (11-11) je absolutní hodnota konstanty přenosu Protože ' /- ■-,— = ťo„ [podle rovnice (11-12)] oj \ /íť" je 1 (11-13) Fázová rychlost šíření bude potom dána výrazem 1 Jde-li o vzduchové prostředí, je u — a s = ř„, a potom J ' _ kde c je fázová rychlost šíření elektromagnetické víny ve volném prostoru. Proto fázová konstanta šíření elektromagnetické vlny ve vlnovodu y-cľ (11-14) V tomto vztahu je «„, opět mezn; úhlový- kmitočet a je nižší než použitý úhlový kmitočet w. Proto je jmenovatel výrazu (11-14) menší než jedna a fázová rychlost šíření větší než rychlost světla. To je charakteristická vlastnost šířeni elektromagnetické vlny ve vlnovodu. Z výrazu (11-14) je zřejmé, že fázová rychlost šíření ve vlnovodu je funkcí kmitočtu. Tím je charakterisována dispersní vlastnost šíření elektromagnetické vlny ve vlnovodu. 8. Příčná vina elektrická (vlna TE) Ve vlnovodu může vzniknout nezávisle na příčné magnetické vlně příčná vlna elektrická. Odvodíme základní vlastnosti šíření této vlny. Intensitu magnetického a elektrického pole u příčné elektrické vlny jsme určili v kap. I vztahy (1-34) a (1-36) H = A-Ilr + grad div II™ E = — jcuu rot ni" 31 Hertzův vektor II™ při tom splňuje podmínku vlnové rovnice an; + ffll* = o (H-15) Postup při řešení této vlnové rovnice bude stejný jako u příčných vln magnetických. Integrační konstanty a konstantu přenosu y však určíme z jiných okrajových podmínek. Budeme předpokládat, že kde Tí je opět jen funkcí příčných souřadnic a T% jen funkcí proměnné z. Pro tyto jednotlivé funkce platí, podobně jako u vlny vidu TM, dílčí vlnové rovnice ůr, + F*wt = o Ar.Ť y2ra = o Druhá z těchto rovnic má opět řešení Abychom mohli jednoznačně rozřešit první z těchto rovnic, musíme znát okrajové podmínky. Tyto podmínky vyplývají opět z toho, že na plášti vlnovodu je tečná složky intensity elektrického pole nulová. V našem případě jde o příčné vlny elektrické, a proto tečná složka intensity elektrického pole bude mít jen směr tečny k průřezové křivce. Proto Et — 0 (na plášti) Je-li n jednotkový vektor ve směru normály pláště a z jednotkový vektor ve směru osa vlnovodu, bude jednotkový vektor ve směru tečny k průřezové křivce vlnovodu dán výrazem t=[nz] neboť jednotkový vektor ve směru tečny je kolmý k jednotkovému vektoru ve směru normály a k jednotkovému vektoru ve směru osy vlnovodu. Intensita elektrického pole je dána výrazem £ — — \aoft rot II? Nahradíme-li vektor 11° absolutní hodnotou a jednotkovým vektorem z, je - y.on rot II" = — joj/f rot (IT'.z) ■■ jc)/ř[grad U':z] Složku intensity elektrického pole ve směru tečny k průřezové křivce dostaneme jako skalární součin vektoru intensity elektrického pole s jednotkovým vektorem t tečny k průřezové křivce. Proto Et= — joj] Z tohoto výrazu přímo vyplývá, že intensita magnetického pole má jen příčný směr (jde o vlny vidu TM). Dosadíme-li za 17: funkci T^, je potom H, = (o + ja>e) r„[grad, T^z] = p + jtos) T„ gradř 7\[[tz] kde t je jednotkový vektor vektoru grad Tv i! - Zákltid)' techniky 33 Tento jednotkový vektor je kolmý k jednotkovému vektoru z. Z předešlého výrazu plyne, že absolutní hodnota příčné složky intensity magnetického pole je jtf^Cff + jw^rjigradirj (11-20) Charakteristickou impedanci vlnovodu označíme Z. Definovali jsme ji jako poměr absolutní hodnoty příčné složky intensity elektrického pole k absolutní hodnotě příčné složky magnetického pole. Se zřetelem na rovnice (11-19) a (11-20) dostaneme Z- m i S% l jo iE & rä (11-21) Pro funkci T,2 jsme odvodili Konstanta přenosu jy může být obecně komplexní veličinou s reálnou kladnou částí. Bude-li vlnovod nějak omezen v podélném směru, určíme konstanty Cx a C2 z okrajových podmínek na omezujících částech. Bude-li vlnovod na jedné straně neomezen, je okrajová podmínka na neomezené části taková, že pro z -v co musí býtsložky intensity elektrického a magnetického pole nulové. To znamená, že pro z -s» co musí T2 0. Protože však pro s^eo, e^-s-oo, může být okrajová podmínka splněna jen tehdy, bude-li konstanta CL nulová. Potom Kdyby byl vlnovod neomezen na opačném konci, bude C„ T., = Ce-ii"1 Obecně lze psát, že u neomezeného vlnovodu je 0 a J3 - Ce±i--= kde znaménko v exponentu udává, kterým směrem se síří elektromagnetická vlna. Na základě těchto výsledků upravíme výraz (11-21) na ± 17 (11-22) kde y je v tomto případě absolutní hodnota imaginární konstanty přenosu. Platí pro ni vztah (II-ll). Dosadíme-li jej do rovnice (11-22), bude pro vzduchové prostředí Z= ± Pří tom jsme zanedbali v rovnici (11-23) vodivost prostředí ct, neboť ve vlnovodu je dielektrikem obyčejně vzduch, u něhož a — 0, a = é. a p — j.tlt. Poměr mezního kmitočtu k použitému jsme nahradili znakem v. TJ příčných vln elektrických je dána intensita elektrického a magnetického pole výrazy (1-34) a (I-3S). Na základě těchto vztahů určíme příčné složky Ef = — jújrí0rotn™ H(= grad( divil"' 34 Dosadíme-li za Ily opéi skalární funkci 1\T^ která je absolutní hodnotou vektoru II™, a jednotkový vektor z, dostaneme Eř= —JM/^r.Igrad, 2V[tz] (11-24) (11-25) kde t je jednotkový vektor gradientu funkce Tv Dosadíme-li absolutní hodnoty těchto vektorů do výrazu pro charakteristickou impedanci vlnovodu, bude Obr. 7, Jednoduchý vodič obdélníkového průřezu. (11-26) Pro nekonečně dlouhý vlnovod, kde T2 — Ce±f'Ji, je -!- cop, (11-27) Dosadime-li za konstantu přenosu odvozený výraz (11-18), platí pro charakteristickou impedanci vlnovodu se vzduchovým dielektrikem (e0, ,«o) vztah Z = ± /.f£o yr (TI-2S) Z rovnice (IÍ-25) a (11-27) vyplývá, že charakteristická impedance vlnovodu není funkcí příčných souřadnic, nýbrž je při daných rozměrech vlnovodu konstantní. Protože číslov je menší než jedni, neboť kritický kmitočet je vyšší než použitý, je u příčných vln magnetických charakteristická impedance šíření menší než charakteristická impedance volného prostoru, kdežto u příčných vln elektrických je větší. 10. Odvození měrného vysokofrekvenčního odporu pláště Plášť vlnovodu není ideálně vodivý. Konečná vodivost pláště způsobuje, že okrajová podmínka je jiná než u dokonale vodivého pláště. U dokonale vodivého pláště byla tečná složka intensity elektrického pole na povrchu nulová. Je-li vodivost pláště konečná, vyplývá okrajová podmínka z rovnosti tečných složek intensity elektrického pole a z rovnosti normálních složek intensity magnetického pole na rozhraní dielektrického prostředí a vodivého ptostředí. V plášti vzniknou proudy, které způsobí energetické ztráty a tím postupný úbytek vyzařované energie ve směru osy vlnovodu. Abychom mohli určit velikost ztrát, musíme znát vysokofrekvenční proudy v plášti a vysokofrekvenční odpor pláště. Pro kvantitativní závěry o velikosti vysokofrekvenčního proudu a odporu je třeba nejdříve určit uspořádání pole, proud a odpor v jednoduchém vodiči obdélníkového průřezu (obr. 7). 35 Předpokládejme, že intensita elektrického pole má jen složku ve směru osy z a magnetické pole má jen složku kolmou k ose 2, v našem případě směr osy x. Podle Maxwellových rovnic platí rotj H = aEs -{- jtueE. totx E — — )oj;.iH1. Takové uspořádání pole vznikne tehdy, když připojíme na povrchu vodiče mezi místo se souřadnicemi y — 0, z = 0 a místo se souřadnicemi y — 0, s = sa vysokofrekvenční napětí. Toto napětí vyvolá vysokofrekvenční proud ve směru osy z a tento proud způsobí magnetické pole ve směru osy .-c. Intensitu elektrického pole dostaneme jako gradient potenciálu, a proto bude mít směr osy z. Protože jde o vodič, u něhož převládá vodivý proud proti posuvnému, je a^xič-a potom je rot. Hx = alt rotz £* = — )w,iiHr Provederne-li vektorové úkony, dostaneme mezi intensitou elektrického a magnetického pole tyto vztahy: i PTJ aE„ (11-29) cy ly~ \(*>uHz (11-30) Určíme-li z těchto rovnic intensitu magnetického pole, platí pro ni diferenciální rovnice \atuuH. (11-31) (11-32) To je jednoduchá diferenciální rovnice, jejíž integrál je |T4-= de-" + C,e ■■'«> kde yx = }'joioi.i.. Konstanty v rovnici (11-32) určíme z okrajových podmínek. Pro souřadnici y = co musí být velikost intensity magnetického pole nulová. Aby tomu tak bylo, musí být Q = 0. Potom je J%= Ca"" (11-33) kde jsme konstantu C, nahradili obecnou konstantou C, Intensitu elektrického pole určíme z rovnice (í 1-30) (11-34) Konstanta přenosu y, je komplexní veličina. Oddělímc-li reálnou část od imaginární, je ľi= b-\-)a Známe-li výrazy pro intensitu magnetického a elektrického pole, určíme ztráty na jednotku délky vodiče. Ztrátový výkon dJ° v elementárním objemu ic dán tímto vztahem: dP= \cE,E? dV (11-35) kde BÍ je intensita elektrického pole komplexně sdružená k iľ. áV element objemu. V našem případě (viz obr. 7) je dV -■ i dy (jde o jednotku délky vodiče), při čemž t je Šířka vodiče. Dosadíme-li tyto výrazy do rovnice (11-35), dostaneme dP= icEzE?tdy jsou-li E. a E'f vyjádřeny maximální hodnotou. Intensita elektrického pole Zíz je určena výrazem (11-34). Proto dP = 4 C2e~=6,J (fi- + as) t - dy Celkové ztráty vlivem vodivosti & dostaneme integrací po celém průřezu kovového vodiče P. = J II $$F#* § + 4 dy a= I G%$ 4- 4 % 2ba (11-36) Tento ztrátový výkon můžeme vyjádřit také tak, že P = ÍM- P kde Z.t je celkový odpor kovového vodiče Ji celkový proud procházející vodičem. Podle Stokesovy věty platí j(H ds) = f (rot H dS) V našem případě rot H = r^E. a f(H ds) — W^í, neboť integrujeme po obvodu obdélníka 'se stranami t, oo, co, í (viz obr. 7) a příspěvek k cirkulaci od stran cc, cc je nulový, neboť intensita magnetického pole je kolmá ke stranám označeným co, co. Na straně r pro y = cc je intensita magnetického pole Hx nulová. Po dosazení dostaneme H. !=jffExcáy^ Iu protože gEz je proudová hustota t dy element průřezu. Na základě vztahu (11-33) je a tedy Celkový ztrátový výkon P, ve vodiči je a z toho 7 = Cí P, = iZJ* (11-37) Dosadíme-li za Pj výraz (11-36) a za Ic výraz (11-37), je b (11-38) neboť b = a. 36 37 Porovnárae-li tento odpor s odporem pro stejnosměrný proud vodiče s rozměry t a fiktivní tloušťkou d, platí -= -1 a ad. a z toho _L b \Ufaa kde / je kmitočet a vodivost prostředí ,« magnetická permeabilita prostředí. Tloušťku d nazýváme hloubkou vniku vysokofrekvenčního proudu. (11-39) zdrsníný povrc/i Obr. 8. ZideaLhovaný drsný povrch vodice. Výrazem (11-38) je určen vysokofrekvenční odpor vodiče, jehož příčný rozměr je i a podélný rozměr se rovná jedné. Vysokoftekvenění odpor, který přísluší příčnému rozměru t jednotkové délky, nazýváme měrným vysokofrekvenčním odporem. Budeme jej označovat o,... Při tom platí = | (11-40) kde V technice centimetrových a decimetrových vln se používá obvykle jako vodivého materiálu stříbra. Dosadíme-lí do rovnice (11-39) za a vodivost stříbra, jehož u = /.(„, zjistíme, že hloubka vniku bude v uvedeném vlnovém rozsahu velmi malá, řádově 10~2 až 10—1 mm. Síří se tedy vysokofrekvenční proud u samého povrchu vodiče. Protože je hloubka vniku velmi malá, bude mít na velikost vysokofrekvenčního odporu podstatný vliv hladkost povrchu. Skutečný povrch si pro výpočet zidealisujemc tak, jak je znázorněn na obr. 8. Na tomto obrázku je průřez povrchu vytvořen pravoúhlými rovnoramennými trojúhelníky. Z obrázku je vidět, že se dráha vysokofrekvenčního proudu prodlouží ]/ 2krát. Při tom měrný vysokofrekvenční odpor je 2 Í Í7 Cir-41) 38 U vodičů jiných průřezů se proud šíří také jen ve velmi tenké vrstvě na povrchu, a proto výpočet odporu takového vodiče zjednodušíme tím, že odpor budeme počítat jako odpor tenkostenné trubky stejného tvaru jako je vodič. Odpor takového vodiče, který přísluší ^cost pláště vlnovodu Obr. 9. Zobrazeni části pláště vlnovodu. elementárnímu oblouku ds a jednotkové délce, můžeme v tomto případě vyjádřit vztahem " ach kde ds je element oblouku průřezové křivky (obr. 9). (11-42) 11. Výkon přenesený vlnovodem V předcházejícím článku jsme naznačili, jak určit měrný vysokofrekvenční odpor pláště. Nyni určíme výkon přenesený vlnovodem a dokážeme, že měrný útlum vlnovodu fj je dán vztahem fí lP> kde P, je ztrátový výkon na jednotku délky vlnovodu P výkon přenesený vlnovodem. Určíme nejdříve výkon přenesený vlnovodem u příčné vlny magnetické. Výkon přenesený vlnovodem je dán integrací Poyntingova vektoru po průřezu vlnovodu. Je tedy P---- i f ([EU*] z) dS kde z je jednotkový vektor ve směru osy vlnovodu. V integrálu budou platné jen příčné složky intensity elektrického a magnetického pole. Proto lze prostě psát, že výkon přenesený vlnovodem je s Vyjádříme-li intensitu magnetického pole pomocí intensity elektrického pole na základě rovnice (11-21), platí P d S (11-43) 39 Příčná složka intensity elektrického pole [viz rovnici (1-33)] je (pri tom lít = T\ T2) cg Podélná funkce Ta má, jak bylo odvozeno, obecně při nekonečně dlouhém vlnovodu tvar r2 = Ce-?E Uvážíme-li ztráty ve vlnovodu, bude konstanta přenosu y komplexní. V tomto případě Y = § -f j* Dosadíme-li tyto výrazy do rovnice (11-43), dostaneme P= | C!^ľy*e-^J~!grad T^- dS (11-44) Změnu tohoto výkonu ve směru osy vlnovodu určíme z derivace výrazu (11-44) podle z. Potom dP= — 2p^C"-~yy*c--^dzJgmdT,\*dS-= ~-2@Pds Z toho je o. I dP P 2 Pdz áP Výraz — znamená změnu výkonu na jednotku délky. Tato změna výkonu je způsobena ztrátami výkonu v plášti vlnovodu následkem konečné vodivosti pláště a ztrátami v dielektriku, způsobenými vodivostí dielektrika. Záporné znaménko ve výrazu pro j} znamená, že jde o úbytek výkonu. Lze proto psát P=^ dz kde P, znamená ztrátový výkon na jednotku délky. Dosadíme-li tento výraz do výrazu pro měrný útlum, dostaneme-) P~ 2 P (11-45) Je-li plášť vlnovodu zhotoven z kovu dobré vodivosti (stříbro, měď), jsou ztráty malé a téměř celý výkon je přenesen vlnovodem. V tomto případě, při výpočtu přeneseného výkonu vlnovodem, lze zanedbat vliv útlumu a pokládat konstantu přenosu za čistě imaginární. Potom v rovnici (11-44) jc yy* = y2, e-2^ -i- 1 a F=\Cl\y1J iSradľ^dS (11-46) Integrál v této rovnici upravíme podle Greenovy věty. Podle ní platí pro funkci Tl (dvou nezávisle proměnných) jF |grad r,|2 dS^—^T^^dS+^T^Ůs S JS s 40 kde 5 je plocha průřezu vlnovodu ; obrysová křivka průřezu vlnovodu. Funkce Tl vyhovuje vlnové rovnici, a proto Ar1= — F^T1 Funkce 7", při příčných magnetických vlnách je na křivce i nulová a je při příčných CTI elektrických vlnách na křivce i také nulová. Proto J Sgrad Tt^m~ ľ* J TfdS (11-46.1) (11-47) Upravúne-li podle tohoto vztahu výraz (11-46), zjistíme, že přenesený výkon u příčných magnetických vln lze vyjádřit výrazem ■ P=-JC'2}žfY í11 dS kde C je konstanta, závislá na způsobu vybuzení vlnovodu. Obyčejně se definuje mémý útlum vedení podle vztahu kde Pk je výkon nu konci vedeni jednotkové délky P výkon na počátku tohoto vedeni. Všimneme si, za jakých podmínek se tento vzorec změní na vzorec (11-45). Ze vzorce (11-45.1) vyplývá (11-45.1) Po úpravě dostaneme e-«s P-P, \ — kde l\ je ztrátový výkon. Rozložme $7** v mocninovou řadu 1! 2! Bude-li memý útlum značné menší než jedna, bude platit s dostatečnou přesností e"5" = 1 — 2(J & P u lom z čehoS 2ft 2 P [Np] Tento vzorec souhlasí se vzorcem (11-45). Platí tedy pro mčrný útlum vyjádřený v neperech, vzorec (11-45) tehdy, je-li § 1. 41 U příčných elektrických vln bude výkon přenesený vlnovodem dán také integrací Umov-Poyntingova vektoru po průřezu vlnovodu. Bude tedy prenesený výkon | Rzf EtHt- dS / V tomto výrazu si vyjádříme intensitu elektrického pole pomocí intensity magnetického pole a charakteristické impedance. Potom d S Absolutní hodnota vektoru příčné složky intensitv magnetického pole je podle rovnice (1-36) (kde 77™- T^) iY;=^ IgradT.lC Provedeme-li derivaci podle z, dosadíme-li do výrazu pro přenesený výkon, dostaneme, že přenesený výkon , IgradT.pdS Použijeme-li opět Greenovy věty, je potom je potom (11-48) Ve výrazu (U-47) má konstanta C v souhlasu s rovnicemi (1-33) a (1-35) rozměr [Vm], ve výrazu (11-48) v souhlasu s rovnicemi (1-34) a (1-36) rozměr [Am]. Vzorcem (11-47) je určen výkon přenesený vlnovodem, šíří-li se v něm vlna vidu TM, a vzorcem (11-48) je určen výkon přenesený vlnovodem, šíří-li se v něm vlna vidu TE. 12. Výpočet měrného útlumu vlnovodu (příčná vlna magnetická) V předešlém článku jsme odvodili obecný výraz pro měrný útlum vlnovodu a pro výkon přenesený vlnovodem. Abychom mohli určit měrný útlum, musíme provést výpočet ztrátového výkonu v plášti vlnovodu. Tento ztrátový výkon je způsoben proudem, který teče ve směru osy z, U příčných magnetických vln má intensita magnetického pole směr kolmý na osu vlnovodu, a proto intensita magnetického pole na plášti vybudí jen proud ve směru osy vlnovodu. Pro vysokofrekvenční odpor, který přísluší jednotkové délce, jsme odvodili výraz (11-42) kde ds je element oblouku průřezové křivky vlnovodu. Proud, který přísluší elementu dv, označíme /„' (viz obr. 10). Podle Stokesovy věty platí j(Hs) ds = j (rot Hz) dS = J aE,_ dS = K kde S' je plocha elementárního průřezu kovového pláště Jg proud příslušný vyčárkovanému elementu. V našem případě je cirkulace magnetického pole podél křivky, omezující element plochy, dána vztahem /(Hi) ás = H,ás kde Hs je tečná složka intensity magnetického pole k průřezové křivce vlnovodu. Bude tedy k - hs ds Známe-li celkový proud procházející plošným elementem a vysokofrekvenční odpor elementu, bude element ztrátového výkonu, rozptýleného v uvažovaném plošném elementu a příslušejícího jednotkové délce vlnovodu. dP zjX* 2 Proveďme integrací tohoto výrazu podél křivky omezující průřez vlnovodu. Potom se zřetelem na výraz pro Zvl a pro II ŕ--7 j / as i / _- (11-49) Obr. 10. Uspořádání tečné složky intensity magnetického pole a podélného proudu (vlna TM). Určíme tečnou složku intensity magnetického pole. Označíme-li směr normály jednotkovým vektorem n, směr osy vlnovodu jednotkovým vektorem z a směr tečny s, je tečná složka intensity magnetického pole dána skalárním součinem vektorů (Hs). Intensita magnetického pole je určena rovnicí (1-35). Předpokládejme, že vlnovod je naplněn ideálním dielektrikem, a proto a — 0. Potom H = jťoE rot II* = jcoe rot (|Ul\z) = jojí:[grad 77jz] Provedeme-li skalární součin tohoto vektoru s jednotkovým vektorem ve směru s, dostaneme Hs = (Hs) = jťoE([grad lľ.z\s) = jtue(grad /'/:[zs]) Vektorový součin jednotkových vektorů z a s je jednotkový vektor ve směru normály n, a proto dli: Hs = jcuf (grad /l'.rí) — jcoŕ (11-49.1) Hertzův vektor 11° je dán součinem příčné funkce 7", a podélné funkce 2> Protože směr normály je určen příčnými souřadnicemi, bude 817 a proto 42 43 Pro nekonečně dlouhý vlnovod jc 7\ = Ce-'^, a proto řn Dosaďme tento výraz do (11-49). Potom kde y- Protože rovnice válcové plochy se jednoduše vyjádří ve válcových souřadnicích, budeme počítat dílčí vlnovou rovnici funkce Tt ve válcových souřadnicích. Bude tedy 7", funkcí r a , 2 Ä" dV + i? dr + ""' »jd?Ä >• d£ 1 d-6> i? dr2 i? dr 1 r' ~ & d kde n~ je čtverec zvolené konstanty. Řešením této diferenciální rovnice je funkce o = Cte"ľ -I- C2e-"* To znamená, že by všechny fysikální veličiny (intensita elektrického pole, intensita magnetického pole atd.) závisely na souřadnici

t q> -\- 2r., obecně

). Protože Hertzův vektor 27; = J\T, lze psát na základě odvozených výrazů IP, - [C, !„(.») - C, N„(i V)] cos («<ř + fo)(C3e7= + C4e-r*) (11-61) fll musí mít konečnou hodnotu v celém průřezu vlnovodu. Budeme-li zkoumat vztah (11-61) v jednotlivých bodech průřezu vlnovodu, zjistíme, že Hertzův vektor by byl pro r — 0 nekonečný, neboť Neumannova funkce je při tomto argumentu nekonečná. Aby bylo řešen! (11-61) fysikálně možné, musí proto být C2 = 0. Potom, sdružíme-li konstanty, dostaneme IJl = Jnŕ/VXCje-/-- + Cjt-r*) cos wp (11-62) kde, jde-li o kruhový osově souměrný vlnovod, položíme počátek čteni souřadnice f do místa takže r>) Hr , = P* ]Jfr) cos 7i^(C,eiT= + Cae-'y*) ■ (cr -f jťoe) -- J„(r.) sin ncfiCfiir- -f C2q->?*) - (a -h jtue) ri'„{Tr) cos tvpiC^y* 4- Cäe-'.*-.« nt (/>) cos- nff r ár d

) r dr Při úpravě tohoto vztahu použijeme rekurentních vzorců, které platí pro Besselovy funkce • J,'=—yL-L-i nebo J.', Dále použijeme Lommelova integrálu a I ' Jrt Jrt + 1 r J;(/>) dr = - [J;^) - J^CTa) J„ MtTa)] Dosadíme-li tyto výrazy do vzorce pro útlum, dostaneme se zřetelem na okrajové podmínky UJJTa) = 0] vý-raz ň (l-'i-,)-* (11-69) kde ť„„, je poměr kritického kmitočtu daného vidu a použitého kmitočtu p,., měrný vysokofrekvenční odpor pláště, viz rovnici (11-41) a poloměr vlnovodu. 14.J Vlnovod kruhového průřezu s příčnou vlnou elektrickou Vlnová rovnice pro tento druh vlnění je stejná jako u příčné magnetické vlny. Jde tedy o vyřešení magnetického Hertzova vektoru, pro který platí dílčí vlnová rovnice Ar, + pr, = o s okrajovou podmínkou, že na plášti vlnovodu je in Provedcme-li integraci této vlnové rovnice, dostaneme podobně jako u vlny TM pro funkci T, vztah Ti = [C, L(/>) + % N„(rr)] cos ntp Funkce Tl7 která určuje uspořádání a velikost pole v příčném směru, musí být po celém průřezu vlnovodu konečná. Předcházející výraz splní tuto podmínku jen tehdy, je-li 52 C2 = 0, neboť Neumannova funkce pro nulový argument má nekonečnou hodnotu. Potom je T, =- C J„fXr) cos nq> (11-70) Konstantu /'.určíme z okrajové podmínky, t. j. z podmínky, aby tečná složka intensity elektrického pole na okraji byla nulová. To se stane tehdy, když na plášti vlnovodu je cn Tato podmínka bude u kruhového vlnovodu splněna pro jakýkoli úhel

) cos n^(Cleir= — C2e_1T*) (11-75) j ^- J„(/>) sin nip(CLeir= — C2eHr2) (11-76) P- J„(/V) cos n.p(C[e'/= + C2e-i-/=) (H-77) 1 53 14.4 Výpočet měrného útlumu Podle vzorce (11-57) platí pro měrný útlum příčných elektrických vln tento obecný vztah: m* h -(l-*2)H-- ß- i e,. 71 ds dS dS Dosaďme do tohoto vzorce za funkci Tl odvozenou hodnotu v rovnici (11-70). Potom dostaneme pro jednotlivé výrazy v předcházejícím vzorci —i — -7T1 =----!„("«} sin wv /( »7 / i^d^Hi-Ä)j"H Na základě toho a 6" líh / so ■; >-j5V»- (11-78) kde g,j je měrný vysokofrekvenční odpor pláště, viz rovnici (11-41) a poloměr vlnovodu ccnm m-tý kořen derivace Besselovy funkce «-tčho řádu vmrl poměr mezního kmitočtu k použitému. 15. Souosé vlnovody 15.1 Souosý vlnovod s příčnou vlnou magnetickou Při řešení příčné magnetické vlny v kruhovém vlnovodu jsme dostali pro Hertzův vektor vztah H- = [C, J„Cr>) + C, Wj$&jff&W -I- C.e-':-) cos itf který platí i pro souosý vlnovod (obr. 14). 54 U kruhového vlnovodu jsme vypustili člen s Neumannovou funkcí, neboť Neumannova funkce při nulovém argumentu má nekonečnou hodnotu. Kdybychom ponechali Neumannovu funkci, byly by všechny složky pole v místě vlnovodu se souřadnicí r = 0 nekonečné. Tento výsledek by nebyl fysikálnemožný. U souosého vlnovodu je tomu však jinak. Souosý vlnovod neobsahuje souřadnici r = 0, a proto nelze člen s Neumannovou funkcí vypustit. vritjšľ vodič' I vlnovodoví prosto, vm(rn, vodič Obr. 14. Příčný a"po jílný řez souosým vlnovodem. Neznámou konstantu ľ určíme z okrajových podmínek. U příčné magnetické vlny bude okrajová podmínka vyjádřena vztahem, že na plášti vlnovodu I\ = C, !,(/>)+ C.N„(/Y)= 0 Rovnice okraje mezikruhového pláště jsou r = R0 ; r = r0 Proto plynou z okrajových podmínek vztahy CiUm + C4N,(rr9) - 0 (11-79) Qi LOX) + C, N„(/X) - 0 (11-80) To jsou homogenní rovnice s neznámými CL a C2. Tyto rovnice mají netriviální řešení jen tehdy, rovná-li se jejich determinant nule L(/>„) N^rjy - N„(ro - o Dosaďme za ľr„ nový výraz ■/■ Potom je 8* (11-81) kde C=íí x=* cy. Rovnice (11-81) se změní tak, že LtóN«ta)-NnCt)L(CZ)= 0 (11-81.1) Označme y_nm m-tý nezáporný kořen rovnice (11-81.1), kde poměr c má danou hodnotu a n je řád Besselových funkcí, které v ní vystupují. Hodnoty kořenů rovnice (11-81.1) pro c = 1 až c = 2,5 a n = 0 až n — 3 jsou v tab. III. 55 Tabulka III. Číselné vyjádření výrazu (c — 1) xnm pro m > 0 —^ n m c 01 11 21 3, 02 1,0 1,5 2,0 2,5 3,142 3,141 3,123 3,130 3.142 3.143 3,197 3,235 3,142 3,147 3,400 3,142 3,154 3,700 6,283 6,283 6,273 6,206 Ačkoli hodnota výrazu (c — 1) x pro c = 1 nemá praktický význam, uvádí se proto, aby bylo vidět, že se výraz (c — 1) x blíží násobkům čísla re, konverguje-li konstanta c k jedné. V tab. III tedy vidíme, že velikost výrazu (c — 1) x nezávisí na řádu Besselovy funkce, nýbrž jen na pořadí kořene (na čísle m). Pro mezní kmitočet platí vzorec (11-12). Vyjádříme-li úhlový kmitočet délkou vlny, platí pro mezní délku vlny '■m V V našem případe i = — , a proto /. 2~r0 X V tab. III jsou číselně vyjádřeny výrazy (c — 1) x- Vyjádříme-li mezní délku vlny tímto výrazem, platí proto (11-82) Všimneme si blíže vý'razu (c - 1) Xnm> uvedeného v tab. III. Vidíme, že hodnoty výrazu (c — 1) Xnm se dosti přesně blíží hodnotám m-. Dosadíme-li proto do rovnice (11-82) za (c — Yjx uvedené přibližné výrazy, dostaneme pro mezní délku vlny (11-82.1) Určíme ještě jednotlivé složky elektromagnetického pole. Z rovnic (11-79) a (11-80) určíme vzájemný vztah mezi konstantami C, a Cá výrazem um N„(/V0) Vyjádříme-li Hertzův vektor se zřetelem na uvedený vztah mezi konstantami C2 a Ct, dostaneme /7;-Q J„(/>) • MM N„(7>) cos^(C:iei-^+ C4e-iv=) N„(/>0) ./ 1 C V této rovnici vytkneme výraz ^T ,„ „ a označíme .i, , novou konstantou C. Pak bude N^r°) W$ m = C[L(rr) N„(/>0) - J„(VV0) N„(iV) cos ft#&?P H" C,eHy=) 56 Označme výraz [NnC^,,) Jn(rV) — J„(/>0) N„(J»] výrazem Zn(i>5 />„). Hertzův vektor potom bude n; = z„(rr, rv0) cos ^(c^r* + c^y) (ii-83) Při tom jsme sdružili konstanty takto: CC3 — CL a CC, = C2. Vyjádříme-li nyní složky elektromagnetického pole na základě Hertzova vektoru podle rovnice (11-83), platí J?r= ji y Z'XFr,rra) cos wpiC^ — Gjg&i*) (11-84) j Zn(Tr, J>0) sin n^C,^* — C2e-):'=) (11-85) E,= r2Z„(rr, rre) cos n(CieV + Cae-)va) (11-86) -{a + jojp)y Z„(iy, />„) sin n^C^r3 -f Qe-i?1) (11-87) -{a + jtue) rz'lľr, />„) cos n^eir3 + C2e->7=) (11-88) //, 15.2 Souosý vlnovod s příčnou vlnou elektrickou Při určování Hertzova vektoru u příčné elektrické vlny v kruhovém vlnovodu jsme dospěli k výrazu ti* = (C, J„(/» + C2 N„(/>)) cos nu) n;(/t?0) - j;ct/í0) kc/>o) = o (111-91) Z rovníce (11-91) určíme velikost Zavedeme opět novou veličinu % podle vztahu Tra = x a poměr velkého a malého poloměru označíme c. Kořen rovnice (II-l 1) označíme Xnm, kde n je řád Besselových funkcí ve výrazu (11-91) a m pořadí kořene. V tab. IV a V jsou uvedeny hodnoty výrazu (c -f 1) %nl pro m = 1 a výrazu (c — 1) pro m > 1. Tabulka IV. Číselné vyjádření výrazu (c + l) % pro m = 1 «1 c ^^^^ ■ 11 21 3, 1 1 1,0 2,00 4,00 6,00 1,5 2,00 4,020 6,018 2,0 2,031 4,023 5,937 2,5 2,038 3,980 5,75 57 Tabulka V. Číselné vyjádření výrazu (c — I) x Pro W > 1 02 12 22 32 03 1 3,142 * 3,142 3,142 3,142 6,283 1,5 3,161 3,183 3,270 3,400 6,293 2,0 3,197 3,282 3,500 (6,312 3,0 3,271 3,516 6,37 Mezní délku vlny určíme pro m = 1 podle vztahu 2iz A., - Z tab. IV je zřejmé, že (c 1) % == 2n. Proto přibližně platí, že mezní délka vlny je (11-92) Při »i > 1 je Z druhé tabulky vyplývá 2n (c-l)jř=H{i»-l)7r Proto pro mezní délku dostaneme pro m > 1 přibližný výraz ff! - 1 (11-92.1) (11-93) (II-93.1) Bude nás zajímat, který z uvedených druhů vlnění v souosém vlnovodu bude hlavní, uvážíme-li vidy TM i vidy TE. Bude to vid, u něhož při daných rozměrech souosého vlnovodu bude mezní délka vlny nejdelší. Porovnáme-li výrazy (II-82.1), (II-92.I) a (11-93.1), vidíme, že hlavním videm bude vid TEU. U tohoto druhu vlnění platí pro mezní délku vlny a» - m —j— Je tedy mezní délka vlny hlavního vidu souosého vlnovodu rovna délce kružnice, jejíž poloměr je dán střední hodnotou velkého a malého poloměru. Urěíme-li z rovnic (11-89) a (11-90) vztah mezi konstantami Cl a C.,, dostaneme Q ^ - Ci ^Fv Dosadíme-li tuto konstantu do vzorce pro Hertzův magnetický vektor, bude fl? = [J„(/>) K(rr0) - JKrrJ N„(/>)] cos mtiCfifr* + Ce-ir=) Označíme-li výraz J„(7V) N&Tr0) - j;(/>0) NK(/Y) výrazem Mľr, ľr0), bude Hertzův n: = z„(/>, /v0) cos ^{c^ ■<> + c,e-> >■=) (11-94) vektor Jednotlivé složky elektromagnetického pole, vyjádřené na základě (1-34) a (1-36), jsou dány vzorci jaw. - Z„(rr, />„) sin tvfiC^v -4- C3e-1r=) r (11-95) £,= \o>ij.rZ'n(Tr, />„) cos 7193(6^"/= + Cje"'?*) (11-96) jryZ^/r, />„) cos n^Qe';" — Qť-»r*) (11-97) ííj. — j ^ Z„(/>, />„) sin n?;(Cie^ _ C2e~^) r (11-98) ľ* Za(Tr, JV0) cos wKQe^ + C2e-'-/-") (11-99) 16. Souosý vodič Zvláštním druhem elektromagnetické vlny v souosém vlnovodu je vid TEM (příčná vlna elektricko-magnetická). Tento vid má takové uspořádám intensit elektrického a magnetického pole, že žádná z nich nemá složku ve směru osy vlnovodu. Protože u vlny TAl platí, že Ez = r-ľll, a u vlny TE Hz = T2/7;', může vzniknout vid TEM jen tehdy, je-li ľ nulová. Existence vidu TEM je podmíněna geometrickým uspořádáním vlnovodu. Lze dokázat, že vidy TEM mohou vzniknout jen tehdy, jde-li o několikanásobně souvislou oblast. Průběh intensity elektrického a magrfetického pole je v tomto případě stejný jako u statického pole. Na povrchu vodiče musí být tečná složka intensity elektrického pole nulová, a proto je směr silových čar elektrického pole kolmý k ploše vodičů. V našem případě je vedení vytvořeno válcovými plochami. Okrajová podmínka [En] = 0 přechází v tomto případě v podmínku, že uvažované válcové plochy musí být ekvipoten-ciální. Bude-li r = 0, musí se změnit dílčí vlnová rovnice na Laplaceovu rovnici trj.= r*Tt = o ô. 7\ — 0 Potom dostaneme pro příčnou funkci Tx týž tvar jako při řešení statického pole. Protože ľ = 0, je na základě řešení rovnice (11-66) £,= 0a na základě řešení rovnice (11-77) H. = 0. Intensita elektrického pole i intensita magnetického pole budou mít směr příčný (kolmý k ose vlnovodu). Takové vlny nazýváme .příčnými vlnami elektricko-magnetickými a označujeme je TEM. Protože r = 0, je y = k. Je tedy konstanta přenosu u vln TEM táž jako konstanta přenosu rovinné vlny ve volném prostoru. Příčná konstanta i' musí vyhovovat u příčných magnetických vln podmínce (11-81) a u příčných vln elektrických podmínce (11-91). Položíme otázku, za jakých okolností bude některá z těchto podmínek splněna i pro ľ — 0. Při podrobnějším rozboru zjistíme, že to bude jen tehdy, budeme-li vlny TEM považovat za zvláštní případ vln TM s osově souměrným průběhem, kdy n = 0. V tomto případě bude rovnice (11-81) vyjádřena takto: Jo(-T>») N()(/'i?0) - UťRa) N0(/>0) = 0 53 59 Tato rovnice bude splněna i pro 7^= 0. Dílčí vlnová rovnice pro funkci Tx přejde pak v Laplaceovu rovnici A7\ = 0 Na základě výrazu (11-58) bude mít Laplaceova rovnice tvar R\dr* r dr'T r-drp- 0 ~ U této rovnice budeme moci splnit okrajové podmínky, t. j. že vnější i vnitřní plášť představují ekvipotenciální plochu, jen tehdy, bude-li pole osově souměrné, t. j. nebude-li záviset na souřadnici f. V tomto případě přejde předcházející rovnice na tvar á?R 1 áR dr2 + r dr~ Řešení této diferenciální rovnice je R = C1\nr-\- C, Známe-li příčnou funkci, určíme Hertzův vektor pro nekonečně dlouhé vedení //! (C ln r + C,) e-i^ (11-100) Známe-li Hertzův vektor, určíme intensitu magnetického pole podle rovnice (1-35) a intensitu elektrického pole podle rovnice (1-33). Potenciál pole je dán vztahem (viz ČI. 1) V = div n; Dosadíme-li za 77° výraz (11-100), je V= — j^Qlnr-l- Ca)e>fc Konstanty CL a C2 určíme z okrajových podmínek. Předpokládejme, že vnitřní vodič má potenciál V0 a vnější vodič potenciál nulový. Má-li vnější vodič poloměr /?„ a vnitřní vodič poloměr r0, platí pro vnější plášť Z toho Potom Potenciál na vnitřním plášti je ln R0 + C2 = 0 C, — — C. ln Rn K = — )kCl ln—e-"= -jŔQln/e-^- (11-101) Intensita magnetického pole je dána vztahem (1-35) H = (o- 4- jtoe) rot TL; Protože Hertzův vektor nezávisí na souřadnici rp, bude mít intensita magnetického pole jen složku ve směru . 2 P (11-107) kde P, je ztrátový výkon ve vnějším a vnitřním vodiči P výkon přenesený vodičem. Ztrátový výkon ve vodičích je dán obecně výrazem P. ■ ■ \Z,ll: kde je celkový proud v jednom nebo druhém vodiči Z„ vysokofrekvenční povrchový odpor. Vysokofrekvenční odpor vnějšího pláště (na jednotku délky) je dán výrazem (viz 11-40) b a vnitřního vodiče 2TzR„a b Pro celkový proud vnějším pláštěm i vnitřním vodičem platí výraz (11-104). Proto 62 a po úpravě Obdobně ztráty ve vnitřním vodiči r0cr Celkové ztráty na jednotku délky souosého vodiče jsou dány součtem ztrát ve vnějším a vnitřním plášti. Je tedy P, = Ptl + P,t . (11-108) Výkon přenesený souosým vodičem určíme integrací Umov-Poyntingova vektoru přes mezikruží vodiče. Je tedy ä, P=2 / ErH*ácprár r=r. Dosaďme za Er a výrazy (11-105) a (II 102). Potom P ----- Po integraci P= ^■o>ekCf.2-K ln—0 2" ra (n-109) Dosaďme výrazy (11-108) a (11-109) do rovnice (11-107). Dostaneme Po úpravě bude 0= g i?0\ rj TzcuekCr ln — rn 1 ŕ 1 2 a 1 + *° IM*0 fc* (11-110) kde 6 je převrácená hodnota hloubky vniku a měrná vodivost. Dále určíme takový' poměr velkého poloměru Ra a malého poloměru ra, při němž by byl měrný útlum minimální. Proto určíme minimum výrazu 1 + ^ ■ R R vzhledem k proměnné — . Zjistíme, že toto minimum dostaneme při — = 3,60. 63 17. Obdélníkové vlnovody 17.1 Obdélníkový vlnovod s příčnou vlnou magnetickou Dílčí vlnovou rovnici atx+r*r1= o řešíme v tomto případě v pravoúhlých souřadnicích. Budeme předpokládat, že funkce tt je dána součinem funkcí x a y; při tom je funkce x závislá jen na souřadnici x a funkce y jen na souřadnici jí. Je tedy xy Obr. 1S. Příčný a podélný řez obdélníkovým vlnovodem. Dosadíme-li tento výraz do vlnové rovnice, dostaneme po oddělení proměnných výraz 0 (II-U0.1) \_&xA ďľl x cbtä dy- y Levá strana této rovnice je rozdělena na tři členy, z nichž první je jen funkcí x, druhý jen funkcí y a třetí je konstanta. Tato rovnice bude identicky splněna jen tehdy, bude-li se každý člen levé strany rovnat konstantě. Můžeme tedy psát = V (11-111) (11-112) d2x l_ ďx*x~~ ďy y Konstanty ?/2 mohou mít buď kladné, nebo záporné znaménko. Určíme, kterého z těchto znamének jc třeba použít, abychom dostali možné fysikální řešení. Všimneme si nejdříve případu, kdy bude znaménko konstant p a íjs kladné. V tomto případě budou mít diferenciální rovnice (11-111) a (11-112) řešeni x= C,eí' -j- C2e-s"* y = Ctw- c4e-»» Funkce 7"L, o které platí, že 1\ = xy, bude mít tvar ti** (PjfM-í Cae-í-)(C3e'f + C4 a O (11-113) Z rovnice (H-110.1) použitím rovnic (1-111.1) a (H-112.1) určíme vztah mezi konstantami f, í? a ľ vzorcem r= Dosadíme-lí za £ a íj odvozené výrazy, bude____ Na základě rovnice (II-7) platí pro konstantu přenosu (11-114) (11-115) Pro mezní kmitočet jsme odvodili vzorec (II-12). Upravíme-li tento vzorec v souhlase s rovnicí (II-114), bude a z toho mezní délka vlny 2ab (11-116) Známe-li prostorové uspořádání Hertzova vektoru, určíme jednotlivé složky intensity elektrického a magnetického pole podle rovnic (1-33) a (1-35) (11-117) (11-118) (11-119) (11-120) (11-121) 72sin —■.■csin^y(Cle'y=+ Cae-ir-) a o Er = iv — cos —x sin —y (Qe'r- — C2e 'ľ-) ' a a b jy — srn — -v cos —y (dtír* — C2e -r1) //, = (a -t- jwe) ^ sin — x cos -j-ji (C^'r« + C^>yz) w — — (a + jwe) — cos — x sin —v (G,eJ i- + C2e iv) " a a o Z výsledku je zřejmé, že i při obdélníkovém vlnovodu má vlnová rovnice oo-* řešení. Každé toto řešení představuje uspořádání pole jednotlivého vidu příčné magnetické vlny. Měrný údum vlnovodu ob- délníkového průřezu s příčnou magnetickou vlnou se určí podle výrazu (11-51). Za funkci 7j dosadíme v tomto vzorci odvozený výraz pro obdélníkový vlnovod m~ nr: sin — x sin -r- y a b Dosadíme-li tento výraz do rovnice (11-51), zjistíme, že měrný útlum je y Q •Q a x-a ß = y-0 l Obr. 17. Rozměry průřezu obdélníkového vlnovodu. (11-122) 0 17.2 Obdélníkový vlnovod s příčnou vlnou elektrickou Abychom určili uspořádání Hertzova vektoru u obdélníkového vlnovodu, musíme opět provést řešení vlnové rovnice ar, = pít1 , s okrajovou podmínkou. Tato podmínka je u příčných elektrických vln taková, že na plášti vlnovodu je ar. Řešení vlnové rovnice pro funkci 7X provedeme opět v pravoúhlých souřadnicích. Výsledné uspořádání funkce 7, je potom stejné, jako u příčných vln magnetických, a to T, = (C, sin |.x -(- C2 cos $x)(C3 sin i]y + C:l cos rty) Konstanty C„ C2, C„ C4, £ a tj určíme z okrajové podmínky. Na stranách x=0ax=aje derivace funkce 7, podle normály dána derivací podle souřadnice x, kdežto na stranách y — 0 a y = b je dána derivací podlej. 07, = f (C, cos §x — C2 sin £x)(C3 sin rjy 4- C4 cos rjy) dy " ^'(C, sin §x -|- C2 cos ixXC, cos rjy — C4 sin rjy) 27, Pro x = 0 musí být pro jakékoli ;y nulové. Z toho plyne, že to lze splnit jen tehdy, když C, = 0. Z týchž důvodů musí být při y — 0, C3 = 0. Aby byla při x = a derivace s r •~ při každém y nulová, musí být sin fa = 0 66 5' 67 To nastane tehdy, je-li í = ^-, kde m je celé číslo. Aby = Opři y =-- b, musí být sin rjb = 0 z čehož Na základě těchto výsledků bude T. - cos a Hertzův vektor /7» = cos ^ľ: „ cos ~ yiC^y + C^-'t") a b (11-123) (II-123.1) Známe-li Hertzův vektor, určíme jednotlivé složky pole podle rovnic (1-34) a (1-36) H, - r*cos — x cos XC,e'r« + Cfi-'r^) //,= — jy — sin — -v cos -r-y(CLe !" — C2e >r ) W, = — jy -r- cos — -v srn -r- >\C,e' — G,e 'r ) E = j(0,t !E cos — x sin Sft + Cfi-»') * ' ■ b a b (11-124) (11-125) (II-126) (11-127) (11-128) Měrný útlum určíme z výrazu (11-57), dosadíme-li za funkci Tt výraz (11-123). Potom bude 2q„ 1 E6 e A(*^+#) (i + ^V /ŕ-r ř l/l — v=, m2 + ri1 ; m 4= 0, n 4= 0 ...; w * 4= 0, n ^ 0 68 (11-129) Oír. /S. Páskové vedení. 18. Šíření elektromagnetické vlny mezi dvěma rovinnými deskami V této části si všimneme vlastností šíření elektromagnetické vlny mezi dvěma rovinnými deskami. Při podrobném rozboru bychom zjistili, že při tomto zvláštním případě obecného vlnovodu existuje řada vlastních řešení, řada jednotlivých vidů. Nebudeme podrobně popisovat vyšší vidy. Všimneme si jen základního vidu mezi dvěma rovinnými deskami, t. j. vidu TEM. Zjistíme, že této vlně přísluší takové geometrické uspořádání pole, při němž jednotlivé složky nezávisí na souřadnici x: Je-li vlnovod na stranách, příslušných rozměru i>, neomezen, přejde vlnovod ve dvě rovinné rovnoběžné desky. Uspořádání elektromagnetického pole mezi dvěma rovinnými deskami určíme řešením vlnové rovnice s příslušnými okrajovými podmínkami. Na rozdíl od vlnovodů se zde změní okrajová podmínka na boční otevřené stěně vedení. Aby nastalo šíření elektromagnetické vlny v podélném směru, nesmí nastat vyzařování v postramum směru, neboť elektromagnetická vlna šířící se v podélném směru by se velmi tlumila. Okrajová podmínka na postranních stěnách vyplývá tedy z toho, žc složky Umov-Poyntingova vektoru, který způsobuje vyzařování v postranním směru, musi být na okraji (postranním) nulové. V další části budeme uvažovat jen ten případ, kdy složky pole jsou závislé na souřadnici y, nikoli na souřadnici st, V tomto případě nemohou vzniknout příčné elektrické vlny. Složka intensity magnetického pole ve směru osy z vyvolává v deskách proud, tekoucí ve směru x. Protože proud je přímo úměrný složce Hz, která v tomto případě nezávisí na souřadnici x, byl by i proud nezávislý na souřadnici x, tedy konstantní se zřetelem na rozměr x. Avšak takový proud ve skutečnosti nemůže vzniknout, neboť by nebyl na hranách desek uzavřen. Proto pole, které by bylo nezávislé na souřadnici x, přísluší u rovnoběžných desek jen příčným vlnám magnetickým. Dílčí vlnová rovnice á%.+.,j^ríy o bude v tomto případě jen funkcí souřadnice y. Proto bude její řešení Tx = Ci sin Fy + C,£ cos ľy Protože musí být splněna okrajová podmínka j", = 0 pro y = 0 zy — b, plyne z toho, že pro libovolné b musí být sin l'b —" 0 a z toho Proto T=Csm-ry a 77; = C sin -— y t~>r* b b (11-130) 69 Vyjádříme-li složky pole pomocí Hertzova vektoru /T,, dostaneme E. == ľ2 sin — yíCpr' 4- Ctc-'r«) o _ ra: nr: Cae-'^) H,= (ff+ M -y cos ^^(!Q^r* + C2e-^) Všimneme si nyní zvláštního případu šíření elektromagnetické vlny mezi dvěma rovinnými deskami, t. j. případu, kdy intensita elektrického pole má jen směr osy y a její velikost nezávisí na souřadnici y. Jak uvidíme, přísluší tento případ dílčí vlnové rovnicí, kde F—Q. Potom AT, = 0 Protože jde o rovinné desky, kdy funkce Tt nezávisí na proměnné x, je ďy" o (11-131) (11-132) Integrací této diferenciální rovnice dostaneme Ti = Cyy 4 C, a Hertzův vektor Jednotlivé složky pole budou potom dány vztahy E, = \%$0> — Cac-*:) H.,= Qy+ itosXC^-+ Cfi**) £,= 0; ff„=0; £,= 0 Tím jsme dokázali, že elektromagnetická vlna mezi dvěma deskanú, definovaná Lapla-ceovou diferenciální rovnicí, je příčná vlna elektricko-magnetická (TEM). Konstanta přenosu je stejná, jako konstanta přenosu ve volném prostoru 7 — ^ neboť r= 0 Zbývá nám ještě určit charakteristickou impedanci šíření a vlnový odpor dvou rovnoběžných desek. Z rovnic (11-131) a (11-132) vyplývá, že charakteristická impedance je Je tedy charakteristická impedance stejná jako ve volném prostoru. Abychom mohli určit vlnový odpor, musíme znát napětí mezí deskami a proud procházející deskami. Napětí mezi deskami bude dáno křivkovým integrálem skalárního součinu intensity 70 elektrického pole a elementu křivky. Integrujme v našem případě po přímočaré spojnici bodů A a B. Je tedy [7= j(Eds)= f Edy 1 kde d je vzdálenost obou desek. Dosadíme-li za intensitu elektrického pole výraz (11-131), dostaneme u nekonečně dlouhého vlnovodu [7= —)kCer*'d Proud procházející deskou je dán cirkulací intensity magnetického pole po křivce, znázorněné na obr. 19. Obr. 19. Orientace proudu v páskovém vedeni. Protože intensita magnetického pole je ve směru x konstantní, je Ic = rb H J — ± \meCz-M kde / je šířka destičky. Horní znaménko přísluší proudu tekoucímu v horní desce a dolní znaménko proudu tekoucímu v dolní desce. Vlnový odpor bude dán poměrem napětí a proudu nekonečného vlnovodu * V " )kCe~'k'd I/J d 20 = jcueCe **4 _ ]A» d_ (11-133) 19. Geometrická představa Šíření elektromagnetické vlny mezi dvěma deskami V této části dokážeme, že elektromagnetickou vlnu, šířící se mezi dvěma deskami a ve vlnovodu vůbec, lze si představit jako superposici rovinných vln, šířících se pod určitým úhlem k ose z. Každému vidu elektromagnetické vlny přísluší určitý úhel. Pro příčnou vlnu magnetickou jsme odvodili pro Hertzův vektor výraz C sin —r-y e-lv= b kde m je celé číslo (odpovídá původně označenému číslu n). Funkci sin-7-v vyjádříme pomocí exponenciálních funkcí. Při tom b mrz sin —- y •■ Hertzův vektor je pak 2j )e--=_(e fřlTÍ r1 Každý výraz v závorce charakterisuje rovinnou vlnu šířící se určitým směrem. (U-134) 71 Všimneme si nejdříve první t nich. Tato vlna je totožná s rovinnou vlnou, šířící se určitým směrem. Označme předpokládaný směr jednotkovým vektorem n. Potom kde r je vektor, určující polohu místa (obr. 20). ekviF&ová rovino Obr. 20. Šířeni dílčí rovinné vlny v obdélníkovém vlnovodu. Vektor r rozložíme do směrů z a y. Potom je kde y a z jsou jednotkové vektory ve směru osy a z. Potom (m) = y(yn) + .s(zn) = y sin 0 ^ cos 0 kde 0 je úhel sevřený jednotkovými vektory z a n. Na základě těchto vztahů musí platit tato identita: (nit \ ) = e Uvedená identita bude splněna tehdy, bude-li m i (fc^ítn© h til túaQj lili. . . y-. —— = k sme1 a o Z toho Při tom konstanta přenosu — y — k COS 0 Vyjádříme-lí konstantu přenosu pomocí mezního kmitočtu, je r=4'VJ/i-(v) Potom tg0=T 1 («.J (II-135) 1 Z tohoto výrazu vyplývá, že se úhel, který je sevřen směrem šíření dílčí rovinné vlny a osou vlnovodu z, mění s kmitočtem. Je-li použitý kmitočet roven meznímu kmitočtu, potom je jjj tg0 -i> — co a 0-- V tomto případě se rovinná vlna šíří směrem kolmým na osu z, a proto sc energie vlno-72 vodem nešíří. Jestliže íu -* co, potom tg 0 0 a 0 0. Dílčí rovinná vlna se pak šíři směrem & ekvifázová rovina Obr. 21. Zvláštní případy šíření rovinné elektromasnecické vlny v páskovém vediní. Z obrázku je vidět, že se při určitém kmitočtu a typu vlny dílčí vlna šíří pod určitým úhlem O. Při tom ekvifázová rovina se šíří ve směru jednotkového vektoru n rychlosti světla. Budeme-li zkoumat, jakou rychlostí se šíří průsečík ekvifázové roviny s osou z, zjistíme, že se šíří ve směru z rychlostí 1 cos 0 To znamená, že se šíří rychlostí větší než rychlost světla. Pto případ, kdy je úhel 0 = %-, je fázová rychlost šíření nekonečná, při 0 — 0 (kmitočty velmi vysoké), je, jak je vidět z obr. 21, fázová rychlost šíření rovna rychlosti světla. Přenos energie vlnovodem se zprostředkuje rovinnou vlnou rychlostí světla, ovšem pod určitým úhlem k ose vlnovodu. M .i Obr. 22. Znázornění fázové a skupinové rychlosti ve vlnovodu. Tato elektromagnetická rovinná vlna se tedy šíří klikatou čarou rychlostí světla, a proto se energie šíří ve směru osy z rychlostí, rovnající se průmětu rychlosti světla na osu z, tedy , ľ,k = c cos 0 Rychlost, jíž se šíří energie elektromagnetické vlny, nazývá se skupinovou rychlostí. Vztah mezi fázovou rychlostí, skupinovou rychlostí a rychlostí světla lze určit z trojúhelníku AEC (obr. 22), kde podle Euklidovy věty platí (11-136) Tento výraz platí pro každý vlnovod. Určíme z něho skupinovou rychlost a^f (n-137) Z toho vyplývá, že skupinová rychlost je menší než rychlost světla. 73 Dosud jsme se zabývali rovinnou vlnou, charakterisovanou prvním členem pravé strany rovnice (11-134). Druhým členem této rovnice je také určena rovinná vlna, šířící se směrem, který je souměrný ke směru první rovinné vlny vzhledem k ose z. Výsledná vlna Hertzova vektoru je potom dána superposicí uvedených dvou dílčích rovinných vln. 20. Rychlost šíření energie ve vlnovodu Přenesený výkon je určen elektromagnetickou energií, která prochází danou plochou S za vteřinu. Je tedy P= ij\[EH*]n)d$ kde P je přenesený výkon. Označíme-li rychlost šíření elektromagnetické energie znamená výraz —- dobu, za kterou postoupí elektromagnetická energie o jednotku délky (v našem případě o 1 m). Za tuto dobu se nahromadí elektromagnetická energie v objemu vytvořeném válcem jednotkové délky se základnou S. Protože přenesený výkon určuje elektromagnetickou energii procházející plochou 5 za vteřinu, bude energie procházející plochou 5 za dobu — dána výrazem , W = [Pí— kde IP je energie elektromagnetického pole ve válci jednotkové délky. Z této podmínky plyne W (11-138) Určíme nejdříve rychlost elektromagnetické energie u příčné magnetické vlny. Jak jsme již odvodili, platí u tohoto vidu vlnění pro intensitu elektrického a magnetického pole vztahy E = km: + grad div I£ (II-139) H=jcuerotni (11-140) Elektromagnetická energie je dána součtem elektrické a magnetické energie. Je tedy W, + IŤM= i je(EE*) ŮV+ i//<(HH*) dÝ V našem případě je objem V vytvořen válcem, jehož průřez se rovná průřezu vlnovodu a jehož délka se rovná jedné. Proto i i i J fe(EE*) dS dz + lff,u(HH*) dS dz Proto rychlost energie vtí určime výrazem 2 j ([EH*] n) is tu--,-----5--- (H-141) f f e(££*) dS dz + f f/i(HH*) dS dz Za intensitu elektrického a magnetického pole dosadíme příslušné výrazy. Intensita elektrického pole u příčné magnetické vlny má podélnou i příčnou složku. Proto lze' psát £=E*+£' kde Ez je složka ve směru osy z Ět složka kolmá na směr z. Protože lil = r, r2, při čemž u nekonečně dlouhého vlnovodu 7", = ci-[gradtí7;z] = jcofT^grad, TTz] Potom (EE*) = r*TtTJ*+ rľ-2í-*!grad( Itf neboť funkce 7\ je vždy reálná (charakterísuje geometrické uspořádání pole v příčném směru). Uvedli jsme již, že T., = dvz. Proto 7*2 7"* = 1 a potom iEB*)= nri + ťigtad, r,j» Obdobně platí pro intensiru magnetického pole (HH*\= w=s2|gradt 7",!- * Ve výrazu pro Umov-Poyntingův vektor, jehož směr má směr šíření elektromagnetické vlny, u nás směr osy vlnovodu, uplatňují se jen příčné složky intensity elektrického a magnetického pole. Přičnou složku intensity magnetického pole vyjádříme pomocí příčné složky intensity elektrického pole podle (11-26). Potom Et=■ ZHt a ([EH*] n) = EtH* = ZHtHf Dosadíme-li za Ht příslušný výraz, je Efi?^ Zrfsf&zdT^ Uvážíme-li všechny tyto odvozené výrazy, dostaneme dosazením do rovníce (11-141) pro rychlost šíření energie vztah 2Zofrlf |gradr,|2d5 r% f Tfds+Y%J |gradr,|=d5-f- or4^jf|grad r,|»ds Podle rovnice (11-46.1) dostaneme /|gradrl|*ds= r*/*r?as s i Proto Na základě rovnice (11-18) platí Pl _1_ y'± — £2 (Otftfa Potom 2Zarel} ■ Charakteristická impedance u příčné magnetické vlny je určena vzorcem (11-23). Proto ifí —»* 1 VI—í (11-142) Z tohoto výrazu vyplývá, že rychlost šíření elektromagnetické energie ve vlnovodu je menší než rychlost světla. Tato rychlost se též nazývá skupinovou rychlostí. Porov-náme-li vztah (11-142) se vztahem (11-137), v němž bychom dosadili za fázovou rychlost výraz (11-19), vidíme, že se oba vztahy shodují. Obdobně bychom odvodili rychlost šíření elektromagnetické energie ve vlnovodu s příčnou elektrickou vlnou. Zjistili bychom,že také pro tuto rychlost platí vzorec(II-142). 21. Radiální vedení V této části pojednáme o šířeni elektromagnetické vlny mezi dvěma deskami, uspořádanými podle obr. 23. Desky mají tvar mezikruží. Vnitřní poloměr mezikruží budiž r„. Vyšetříme podrobněji případ, kdy je směr intensity elektrického pole kolmý k rovině desek a kdy je elektrické pole nezávislé na vzdálenosti obou desek. Prakricky nej důležitější je vid vlnění, u něhož je magnetické a elektrické pole osově souměrné, neboť elektromagnetická vlna v radiálním vedení se nejčastěji vybuzujc zdrojem s osovou souměrností. Poznáme, že pole, které by mělo tyto vlastnosti, bude příčné elektricko-magnetické. Protože jde o kruhový tvar desek, budeme hledat řešení Maxwellových rovnic ve válcových souřadnicích. Vzhledem k tomu, že zkoumáme pole osově souměrné, bude intensita elektrického a magnetického pole jen funkcí poloměru r. Elektromagnetické pole s uvedenými vlastnostmi bude zvláštním případem příčné magnetické vlny kruhového vlnovodu. Hertzův vektor příčné magnetické vlny, kterým vyjádříme všechny složky pole, vyhovuje vlnové rovnici, jež má ve válcových souřadnicích tvar Obr. 23. Průřez radiálním vedením. Ěr2 ^ r i m + i cz- Definované elektromagnetické pole nezávisí ani na souřadnici ^ (malý radiá]ní kosinus} JWN.W-WW = Sn (žrj ^ (v e]ký radtálni sinus) Na základě těchto pomocných výrazů lze psát rovnice (11-152) a (11-153) takto: U = U, Cs (Ar, JUW - j/k —l/r sn O' M») í11"154) / A1 /ííS =_ /„ -4 fe cs (*r3 Art,,) - j C/_ Sn (Ér, ftKJ (11-155) 2-xr ]/ ea 2tc_í0 |' e0 Rovnice (11-154) a (11-155) udávají vztah mezi proudem a napětím na dvou paralelních deskách ve tvaru mezíkruží, je-li známa velikost proudu a napětí na konci desek. Jde o příčnou vlnu clektricko-magnctickou. Takový druh vedení nazýváme radiálním vedením. Rovnice (11-154) a (11-155) jsou obdobou telegrafní rovnice homogenního vedení. Všimneme si dále zvláštních případů impedančního zakončení radiálního vedení. Je-li radiální vedení nakrátko, je na konci vedení nulové napětí. Potom napětí a proud V místě, definovaném poloměrem r, je d Sn (kr, kRu R, /„ Cs (kr, kRa) u Impedance radiálního vedení v místě r je pak dána poměrem y . Označíme ji Zt. Potom U _ , jn /S UkR0) N„f» -N0(Ai?0) J„(fer) Z"= "/ _ ' 2-r \l e0 N0(A£„) Ukr) - UkR0) N^Ar) Výraz ^^N^-^y^f! označíme tn(fc.,AKu) a nazveme jej malou radiální tangentou. Její převrácená hodnota sc nazývá malou radiální kotan-gentou. Je tedy Výraz d_ j //(„ 2tt. \ £, je ekvivalentní vlnový odpor radiálního vedení v místě r. Tento ekvivalentní vlnový odpor je funkcí poloměru r, a proto radiální vedení je vedení nehomogenui. 80 Je-li radiální vedení naprázdno, je proud na konci nulový. V tomto případě je , U= UtC& (Ar, kRa) /^j/g=-j^Sn(Ar,AB0)' \ \ v \ \ ľ v \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ ,2 -JP. ... n É g--, \ts J US o) 1 -k/k o -ra) Obr. 26. Křivky malé radiální kotangenty. Potom vstupní impedance radiálního vedení naprázdno je Z* I ' Sn (Ar, kR0) 2r.r 0 — Základy techniky (11-157) 81 Výraz Ct(kr, kR0) nazýváme velkou radiální kotangentou. Je tedy Ct (kr, kR0) JL(^0)N0(^)- N^,) Jp(žr) j>Ä0) N^Ar) - N^) Jx(Är) Její převrácená hodnota je velká radiální tangenta. Křivky radiálních funkcí jsou uvedeny v tabulkách v knize Marcuwitz: Waveguides Handbook (Příručka o vlnovodech). Radiálních vedení se velmi často používá v technice centimetrových vln. Tvoří jednotlivé části tlumivek, rotačních spojek, jednoduchých dutinových resonátorů a pod. Převedení problému geometrického uspořádání elektromagnetického pole v uvedených obvodových částech na problémy týkající se radiálních vedení zjednoduší podstatně výpočet, neboť obtížné problémy elektromagnetického pole převedeme na problémy běžné obvodové techniky, používané u delších vln. Na obr. 26a, b jsou zobrazeny upravené funkce radiální kotangenty v závislosti na argumentu. 22. Silové čáry intensity elektrického a magnetického pole Při určování maximálního přeneseného výkonu, při potlačování vyšších vidů v dutinových resonátorech i pro jiné účely je třeba znát uspořádání silových čar elektrického a magnetického pole ve vlnovodu. Silové čáry jsou čáry, jejichž tečny určují směr intensity pole v daném místě. Směr intensity pole je obecně určen třemi složkami pole, obvykle složkami ve směru orthogo-nálních souřadnic. Rovnici silové čáry ve vektorovém tvaru určíme z podmínky, že vektor intensity elektrického nebo magnetického pole musí mít směr jednotkového vektoru ve směru tečny silové Čáry. Směr tečny je stejný jako směr elementárního oblouku silové čáry. Zavede-me-li obecně orthogonální souřadnice us, u,, it., je elementární oblouk dán ve vektorovém tvaru vztahem ds = dsx uí -|~ dx, u2 -i- di3 u3 kde dij, ds.,, ds:s jsou elementární oblouky křivočarých souřadnic ve směru jednotkových vektorů u,, u,, u. (viz kap. IX). V obecných křivočarých orthogonálních souřadnicích jsou oblouky ds,, ds,, a ds:i určeny takto: ds, = dul ; dí2 = ha du.,; ds:1 — h3 du3 kde h}, h,, k3 jsou Laméovy koeficienty. Potom je ds = hl d«t ux -j- h, du., u., -4- hs du3 u;! Směr intensity elektrického pole musí být totožný se směrem elementárního oblouku silové čáry, určeného obecně předešlým výrazem. To se stane tehdy, bude-li platit identita [E ds] = 0 neboť vektor £ musí být rovnoběžný s vektorem ds. Rozvedeme-li tento vektorový součin do jednotlivých složek ve směru u„ u.,, u.,, dostaneme — ux(Eu.h3 du-j — E^h? dj/3) + 01 11 • u>t [£ ds] = I E,h Ea: £„, ! kl díi, hz diu h3 du3 -|- ui(E„thl dttí — EHJh3 du3) + U3(EViks dw2 — E,,^ duj = 0 82 Tato identita bude splněna tehdy, budou-li koeficienty u jednotlivých, jednotkových vektorů Uu u2 a u3 nulové. Musí tedy platit EUsh3 du3 — Í2„,A2 du., — 0 EuJil díťj — EUlh3 dji, = 0 . EUlk., d«2 — Eufa dut = 0 Z těchto podmínek dostaneme vztahy T%-=7%-=-£%^ C11"158) /ij cb^ «3 da., k3 au3 ^ ' Obdobně bychom dostali pro rovnice silové čáry magnetického pole vztahy hL d«j k, du., h3 du3 Protože uspořádání intensity elektrického a magnetického pole závisí nejen na prostorových souřadnicích, nýbrž i na čase x, musíme vycházet při odvozování rovnic silových čar z obecných okamžitých hodnot. Pro vid TE10 je okamžitá hodnota Hertzova vektoru v obdélníkovém vlnovodu dána vztahem který vznikl ze vztahu n? = Ccos — X COS (coí — yz) nf= ReCcos-se1(t"1-,'z) a Odvodímc-li příslušné složky intensity elektrického a magnetického pole, dostaneme E, = 0 ; E„= — Cpifi — sin — x cos (ojf — yz) Hx = — Cjy sin ^ x sin (rot — yz); Hu = 0 H. = CL- cos — x cos (eur — yz) a ' Rovnice silových čar budou potom určeny diferenciálními vztahy dy__dx dy_ dx Ev Ex' Hy Hx dy _ dz dx dz Protože Ex — 0, je dx = 0, z čehož x = Cv Dále je E. = 0, a proto je dz = 0. Z toho Rovnice x = Cx při různém C, jsou rovnicemi silových čar intensity elektrického pole v rovině kolmé na osu vlnovodu a rovnice z = C2 při různém C2 jsou rovnicemi silových čar intensity elektrického pole v podélném směru. Silové čáry intensity magnetického pole v rovině xz jsou dány rovnicemi čbr _ dz 83 Dosadíme-li za Hx a Hs okamžité hodnoty, bude mít diferenciální rovnice silových čar tvar dít dz — \y — sin — x sin (tor — y z) Cľ2 cos — x cos (mt — y z) a a . a U příčné elektrické vlny vidu TE10 je F= — . Tuto diferenciální rovnici lze vyřešit jednoduše methodou separace proměnných. Výsledné řešení je (11-159.1) sin — x cos (coí — yž) — C kde C je integrační konstanta. Tato rovnice je rovnicí silové čáry magnetického pole v rovině xz při určitém čase t. Všimneme si některých zvláštních hodnot konstanty C v době t = 0. Při rozboru je třeba uvážit, že provádíme volbu konstanty C pro hodnoty souřadnice x v intervalu 0 < x < a. r. . W Je-li konstanta C = 1, musí být nutně sin — x — 1 a cos tzz = 1. Kdyby totiž sin — * bylo menší než jedna, musilo by cos -z být větší než jedna, aby se jejich součin rovnal jedné. Obdobně by platilo pro cos tzz. Je-li sin - x = 1, musí být ^ x — ~, a obdobně, má-li být cos yz = 1, musí být yz= mz. Platí tedy tento stav tehdy, je-li x= - a z— — = —i, kde « = 0, 2, 4 atd. je sudé číslo a A, je délka vlny ve vlnovodu. Těmto y * souřadnicím odpovídají body, které leží na ose vlnovodu a které jsou od sebe vzdáleny o délku vlny ve vlnovodu X, (viz obr. 27). ■0.5 0 -Q5 0 D -0,5 3- - -H- — "M '■■ O&r. 27. Uspořádáni silových car intensity elektrického pole vlny TE10 v obdélníkovém vlnovodu. Druhý zvláštní případ nastává tehdy, když C^= 0. Potom podle rovnice (11-159.1), kde y = y, je sin — x cos — a = 0 a A, K tomu dochází tehdy, jestliže -x = 0 nebo -x = r:, t. j. pro souřadnice x= 0, a a. x=a, anebo tehdy, jestliže ~z = ^,t. j. pro hodnoty z = kde « je liché číslo. To znamená, že se silová čára rozpadne na přímky s rovnicemi x — 0, x = a, z — kde n je liché číslo. - i Třetí zvláštní případ nastane tehdy, je-li C — — 1. Potom je ' . R 2tc sin — x cos -z— z — — 1 - a X, ■■ ■ To může nastat tehdy, je-li x = | a ~ = mr, kde n je liché číslo, tedy pro * = » y • , Silová čára se rozpadne v body. * Silové čáry budou reálné, bude-li absolutní hodnota konstanty C menší než jedna Jinak by byla pravá strana rovníce (11-159.1) větší než jednaj to by mohlo být splněno jen tehdy, kdyby byly argumenty funkcí levé strany imaginární. Určeme ještě silovou čáru která přísluší konstantě C = 0,5. Potom je sin —x cos ~ z = 0,5 a A,j Nyní bychom pro jednotlivé souřadnice x určili souřadnici z. Tak na př. pro x = - ;e sin — x = la potom je 2* cos — z — 0,5 2tc To platí tehdy, je-li ~~ z = - + nri, z čehož /, 3 *=~i (í ")' pr0 "=0 'e *=^ 2tu Pro cos —- ä = 1, t. j. pro z = 0, je sin — .-t: a 0,5 ~ v. tz re a 7z 2rz 3a To nastane pri - x = - , a tedy pro x = -, a při - x = —, t. j. pro a: = —-. " j 3 & 3 3 Tak bychom dostali obecné uspořádání silových čar v rovině xz. Toto uspořádání znázorňuje obr. 27. Pro jinou dobu t se bude tvar a poloha silových čar lišit jen posunutím ve směru osy z (obr. 28). ■f— - i i —i ----- y- ------ Ořr. 28. Uspořádáni silových čar intensity elektrického pole vlny TE10 v obdélníkovém vlnovodu pro dvě odlišné časové hodnoty. 84 85 Na obr. 29 jsou znázorněny elektrické a magnetické silové čáry některých nej důležitějších vidů obdélrríkového, kruhového a souosého vlnovodu. mí m,g Obr. 29. Uspořádání silových čar elektrického a magnetického pole různých vidů; elektrického pole;-----silové čáry .magnetického pole. --silové čáry 86 23. Rozbor měrného útlumu vlnovodu V této části probereme podrobněji závislost měrného útlumu na kmitočtu. U příčné vlny magnetické je měrný útlum dán obecně výrazem (11-51). V tomto výrazu je gvi měrný vysokofrekvenční odpor, o němž platí l- ' 6,t I 2g Funkce 7\ je příčná funkce vlnovodu a je určena geometrickými vlastnostmi vlnovodu. Není tedy závislá na kmitočtu. Totéž platí o konstantě F. Na kmitočtu závisí ve vztahu (11-51) kromě ort ještě poměr mezního kmitočtu k použitému kmitočtu. Označili jsme jej v. Upravme vzorec (11-51) takto: ľ 1 fT!ds f- Označme souhrn výrazů, které nezávisena kmitočtu A Potom i f ttŕ — Oil (11-160) Při tom 1 2(7 r- li fm ás Obr. 30. Charakteristický průběh útlumu vidu TM v kruhovém vlnovodu. Ze vztahu (11-160) vyplývá, že měrný útlum bude nekonečně velký pro a> = con (obr. 30). Kdybychom vztah (11-160) znázornili graficky, dostali bychom křivku na obr. 30. Ptáme se, pro jaké o> bude měrný útlum minimální. Abychom tuto otázku vyřešili, musíme určit minimum výrazu, který je pod odmocninou v (11-160). Označme tento výraz %. Potom bude X = 77i-"i Minimum bude při takovém <íj, při němž diu Najdeme-li toto minimum, zjistíme, že výraz £ je minimální pro ío^3í/;0 87 Zvláštním případem vlny TM je vlna TEM. Příkladem vysokofrekvenčního vedení s vlnou TEM je souosý vodič. Pro útlum souosého vodiče jsme odvodili vzorec (11-110). V tomto vzorci je — = gvt= l/^-.Všechnyostatní členyvýrazu(II-HO) j sou kmitočtově nezávislé. Proto bude měrný útlum u tohoto vedení monotónně vzrůstat s J'co. Měrný útlum příčné elektrické vlny je obecně určen vzorcem (11-57). Kdybychom u tohoto vidu vlnění podrobně zkoumali závislost útlumu na kmitočtu, zjistili bychom, že tato závislost bude mít minimum pro určitý kmitočet a že tento minimální kmitočet bude funkcí geometrického uspořádání vlnovodu a vidu vlnění. Všimneme si však podrobněji měrného útlumu kruhového vlnovodu s příčnou- elektrickou vlnou, která je osově souměrná a nezávisí tedy na souřadnicí |/i —*2 Tento výraz upravíme podobně jako v předešlém případě tak, že oddělíme členy nezávislé na kmitočtu od členů na kmitočtu závislých. Potom bude -l/li 2a Po úpravě 1 w0 o Oir. 37. Křivky útlumu; a — souosého vodiče (vid TEM) a kruhového vlnovodu (vidy TE); b —- obdélníkového vlnovodu (vid TEm). ]/(coz —1»5) ta Z tohoto vztahu vyplývá, že člen závislý na kmitočtu (označíme jej X) zmenšuje se monotónně s kmitočtem m x = ■ w'5) oj Měrný útlum kruhového vlnovodu s osově souměrným videm elektromagnetické vlny TE se tedy monotónně zmenšuje s kmitočtem. 88 Prakticky změřit tento výsledek je však velmi obtížné, neboť tento vid se nikdy nepodaří isolovat, protože není dominantní. Při nepatrné nesouměrnosti pole se vybudí dominantní vid TEU, který způsobí, že se při vysokých kmitočtech bude-útlum zvětšovat. Na obr. 31 jsou graficky znázorněny průběhy útlumu některých vidů kruhového a obdélníkového vlnovodu. v 24. Maximální přenesený výkon Výkon přenášený vlnovodem je omezen elektrickou pevností dielektrického prostředí. Toto prostředí jc obvykle vzduchové, anebo je vlnovod vyplněn speciálním plynem, aby se zvětšila elektrická pevnost. V této části budeme uvažovat vlnovod se vzduchovým prostředím. Velikost intensity elektrického pole je dána způsobem vybuzení. Způsob vybuzení (velikost proudu v budicím elementu) je nepřímo zahrnut v konstantě C ve výrazu pro Hertzův vektor. Tak na př. bylo odvozeno, že při kruhovém vlnovodu je 77, = CJ„(7r) cosn

?: E,f = ]w,uCy JÍ(Tr) cosip t~ivz 90 - Absolutní hodnota intensity elektrického pole je určena odmocninou ze součtu čtverců absolutních hodnot jednotlivých složek. Je tedy v tomto případě E = . J/i JÍ(ľV) sin2

) ft(řV) i* r- JK^) 2r) sin* p - + r22j;.(rr)j;(rr)rcos2)j'[(rr)r=o To bude platit tehdy, bude-li bud J[(/r) — 0, nebo JÍ(/>) = 0. Konstanta ľ je dána 1 84 , u vidu TEU výrazem ľ = -— . Vztah Jt(/V) = 0 bude splněn pro r = a, neboť potom J((7>) = J[ a J — J((l,84) = 0, protože číslo 1,84 je prvním kořenem funkce KW - o- Ze vztahu JÍ(TV) = 0 91 1,84 vyplýva, že při daném .T = —— bude předcházející vztah splněn pro r > a, tedy pro souřadnici r, vycházející mimo obor vlnovodu. Z podmínky extrému tedy vyplývá, že při rp — ~ -r, kde m je sudé číslo, by byla extrémní hodnota intensity elektrického pole E na povrchu při r = a. Pro tyto souřadnice (y = —it,r= a) je však absolutní hodnota intensity elektrického pole nulová [viz rovnici (11-164)]. Nemá tedy absolutní hodnota intensity elektrického m pole v místech se souřadnicemi rp ■ - 7t (m je sudé číslo), r= a maximální hodnotu. Proto musíme vyšetřit, má-li maximální hodnotu pro (p = -*-K> kde m je liché číslo. 717 Budc-li m liché číslo, bude při fp = m — funkce cos"

- Ji(i>) = o Z toho vyplývá Tato rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jedno z nich je r = 0. Ostatní řešení vyjdou pro poloměry větší, než je poloměr vlnovodu. Z tohoto výsledku vyplývá, že extrémní hodnota intensity elektrického pole je v místě vlnovodu, jehož válcové souřadnice jsou r=0, f=§ Ze znaménka druhé derivace bychom zjistili, že jsou to maximální hodnoty. Potom je pl=cw 4-1* w=4- (p™r-°> neboť platí J.(/>) -T (pror=0) Z těchto padnínek lze vyjádřit absolutní hodnotu konstanty C pomocí maximální intensity elektrického pole ]/-] — W">" • ^ ■" . |L|~ "^r~ Dosaďme nyní odvozený výraz pro C do (11-48). Potom bude . 1 14 as Po úpravě dostaneme dS Dosadíme-li do integrálu za funkci 7\ výraz Jt(i~V) cos platí U příčné elektrické vlny TE11 je *u = 1,84. Vyjádříme-li číselně předešlý výraz, dostaneme (11-167) kde Pmat je maximální výkon přenesený kruhovým vlnovodem s vlnou TEU Emai největší přípustná elektrická pevnost Z charakteristická impedance vlnovodu s vlnou TE. Charakteristická impedance je Z = V es |/ 2rca 24.3 Maximální výkon přenesený souosým vedením Intensitu elektrického pole určíme v souosém vodiči podle výrazu (11-105) 92 93 a intensitu magnetického pole podle (11-102) «1 iu>eaC— e~ r Ze vztahu pro Er vyplývá, že maximální hodnota intensity elektrického pole je na povrchu vnitřního vodiče, kde je poloměr nejmenší. Označíme-li vnitřní poloměr r0, je kC 1_ z toho Potom P f-* _ |"ítLIL r Výkon přenesený souosým vodičem je dán integrací Umov-Poyntingova vektoru po průřezu souosého vědem. Proto (11-168) kde re je poloměr vnitrního vodiče J?0 poloměr vnějšího vodiče £„,.„ největší přípustná intensita elektrického pole. Tímto vzorcem je určen maximální výkon přenesený souosým vodičem. Ve vzorcích (11-163), (11-167) a (11-168) dosadíme za Ellulx největší přípustnou pevnost dielektrického prostředí vlnovodu. U vzduchu je tato elektrická pevnost při normálních atmosférických podmínkách 3 . 10s [V/m]. 25. Síření elektromagnetické vlny podé! dielektrického válce V tomto článku pojednáme o šíření elektromagnetické vlny podél drátu (válce). Nejdříve budeme uvažovat dielektrický válec (obr. 34), později zvláštní druhy válcového vedení, totiž válec z dokonale vodivé hmoty a válec z dokonale vodivé hmoty obalený dielektrickou vrstvou. Naším úkolem bude určit podmínky šíření, délku vlny, rozložení elektrického a magnetického pole a měrný útlum vedení. Vlastnosti šíření elektromagnetické vlny podél válcového drátu určíme řešením Max-wellových rovnic ve válcových souřadnicích. 94 ■ ■ i ■ Maxwellovy rovnice převedeme na vlnové rovnice Hertzova magnetického a elektrického vektoru. Okrajové podmínky budou takové, aby na hranici dielektrického válce, umístěného ve vzduchovém prostředí, byly tečné složky intensity elektrického a magnetického pole spojité. V nekonečnu budeme pokládat intensitu elektrického a magnetického pole za nulovou. Dokázali jsme, že úplné řešení elektromagnetického pole je dáno superposicí pole, určeného v pravoúhlých souřadnicích některou složkou Hertzova elektrického vektoru a některou složkou Hertzova magnetického vektoru. U válcových souřadnic je pravoúhlou souřadnicí souřadnice z, a proto bude výsledné pole v dielektrickém drátě dáno polem složky Hertzova magnetického vektoru t£% a složky Hertzova elektrického vektoru ľľz. vnitrní d'elektricté proslřsrf Obr. 34. Pielektrický válec. i Intensita elektrického pole u příčné magnetické vlny (Hertzova elektrického vektoru) se určí podle rovnice (1-33) a intensita elektrického pole u příčné vlny elektrické (Hertzova magnetického vektoru) se určí podle rovnice (1-34). Výsledná intensita elektrického pole bude dána součtem výrazů (1-33) a (1-34). Proto £ = É0£ + grad div n* — jw// rot IE' (11-169) Výslednou intensitu magnetického pole dostaneme součtem výrazů (1-35) a (1-36). Potom H = jtuf rot IE /í-TI™ 4- grad div Uf (11-170) Při tom jsme zanedbali vodivost dielektrického prostředí. Hertzovy vektory 11° a II™ vyhovují vlnové rovnici. Proto je n: 4- km: o -ill™ 4- #TE) = 0 (11-171) (11-172) Řešíme-li tyto vlnové rovnice ve válcových souřadnicích, dostaneme pro Til tento' vztah (pro nekonečně dlouhý drát): (11-173) Tento vztah platí pro dielektrický drát. Proto neuvažujeme Neumannovu funkci jako ' partikulární integrál. Výraz pro 111 bychom odvodili stejně jako u kruhového vlnovodu. Index (i) znamená, že jde o parametry, které náleží dielektrickému drátu (vnitřnímu prostředí). Výsledné řešení Hertzova magnetického vektoru bude obdobné H? - C4"Jn(F» (CŽ'ť«* 4- CJfe-**) e" (11-174) 95 Obdobne jako u kruhového vlnovodu platí mezi konstantami y, J1 a konsrantou přenosu volného prostoru kt (s dielektrickou konstantou a permeabilitou stejnou, jako má vnitřní vodič) vztahy yf: ■M T?' (11-175) (11-176) Konstantu F ve vlnovodu jsme považovali vždy za kladnou reálnou veličinu, neboť ve vlnovodu jde o elektromagnetické pole, kde se zřetelem na okrajové podmínky musí být konstanta J1 jen reálná a kladná, aby bylo řešení uvnitř vlnovodu jednoznačné (fysikálně možné). Uvažujeme-li však dielektrický drát, jehož vnější prostředí je obsaženo v intervalu a < r < co, může být konstanta F obecně komplexní. Zanedbáme-li ztráty v dielektric-kém prostředí a ztráty ve vnějším vzduchovém prostředí, bude v tomto případě konstanta ľ imaginární a kladná. Rychlost šíření elektromagnetické vlny ve vnějším prostředí (a < r < co) může být menší nebo v krajním případě stejná jako r5'chlost světla. To znamená, že příslušná konstanta přenosu y musí být větší nebo v krajním případě rovna konstantě přenosu k ve volném prosrředí. Protože y=1^1-on:;? vyplývá z toho, že při y > k bude konstanta F imaginární. Hertzův vektor pro vnější prostředí dostaneme také řešením vlnové rovnice ve válcových souřadnicích. Protože vnější prostor není směrem ke vzrůstajícímu poloměru omezen, bude výhodné -vyjádřit řešení Hcrtzova vektoru Hankelovými funkcemi, neboť u těchto funkcí budeme moci jednoduše splnit okrajové podmínky v nekonečnu. Platí tedy pro Hertzův elektrický a magnetický vektor ve vnějším dielektrickém prostředí m = [CÍ"H'B11 (/» - C?H<%(F?r)] (Cfe"1*4- C^" co, nahradíme Hankelo-vy funkce jejich asymptotickými hodnotami pro \ľ["\ r -> -f co. Jak známo, platí (viz Jahnke-Emde: Funktioncntafeln) tyto asymptotické odhady: Hľ(/>) « Ffr co a HfCFfr}- co pro Z toho plyne, je-li rP{' > 0: H.f(.Ffr) -> 0 pro r r co. Je-li rFf< 0, je tomu právě naopak. V našem případě, uvážímc-li praktické využití dielektrického drátu, bude, jak jsme již ' uvedli, konstanta Fl{' imaginární. V tomto případě by byla Hankelova funkce druhého druhu neomezená pro r ->- -f- co. Tento případ však není fysikálně možný. Abychom dostali fysikálně možné řešení, musí být konstanta Cí1 nulová. Proto n, = C™ H^ri-VXQ^"'' + C^e-i"*) e- (11-178) 96 Obdobně bychom dostali pro Hertzův magnetický vektor ve vnějším prostředí 77? = Cf H^r^VXC'V"* -f- Q'e-w} ÉT**** (11-179) V tomto vztahu konstanta C2" není totožná s konstantou fcjí ve výrazu (11-177), Pro konstanty Tf, yf, Fí\ y2 ■', ks platí stejně jako u Hertzova elektrického vektoru y? (11-18*0) (ir-181) Známe-li vztahy pro Hertzův elektrický a magnetický vektor, určíme jednotlivé složky pole ze vztahů (11-169) a (11-170). Po provedení jednotlivých vektorových operací dostaneme tyto vztahy: pro vnitřní prostředí: - Cfy«>r? J„(/» (C£eN -r CJ'c-'"") e-rA + + & coa.n I J„(Ffr) (CL»c<»>' - C^e"""') t~y> (H-182) ET = — Cfflin-Jn(r¥i%G* ew — Cfer^f) c"r ^Líi^C^t^ - Cře-J"") (H-186) 77= = ÉfTf + GgŕWJjJ er»«*' (11-187) pro vnější prostředí: — QVÍ^Í1" ^"(rrOCCre'"" + C^'e-i"'') e-y'1"1' 4- -)- Q'cyyí 1 H^rXCfe^ - Q>e-™'<) c-r.w« (11-188) 7if = - Cfyf]n i H«'(rf r)(C£1e'»''' — Q'e"^) e-:-,'"2 + + C'VrVT H^'ír.fOCQ'e"1'' - Qe,e-í»f) erV*** (II-189) Ez - Fr-CťH«Xr?rXarc-!«* + e-r.<0,= (IM90) 7 - Ziklndy techniky 57 Hr = — G^éeJ- n Wl\rfr){C^ — Q"e--'"0 eV*' — — Q'yf r^H^Xr^'OCCf eíW 4- Q=ie ""'»') e-/*""* (11-191} //p sa — Č^ft^ff H«"(A'VXCJ'e'-ľ -f- Q'e-^^e "r'1"2 — — C^y^JH -i H^fAVXQ^e"^ — Q'e-""') e" r$% (11-192) Ír, = 0»Pj>* H'iXr^rXCS'^ + Cfe-"") e-r"* (11-153) Všechny konstanty C,ľay určíme z okrajových podmínek. Okrajové podmínky vyplývají z rovnosti tečných složek intensity elektrického a magnetického pole na rozhraní obou dielektrik. Toto rozhraní je dáno válcovou plochou poloměru r = a. Proto je E';'; flj = H$'i H? = H?; E',1' = Ef r=a r—a ■f = a r=a kde index (i) značí pole uvnitř dielektrického drátu a index (e) pole vně drátu. Platí tedy + C'V^A^ICA^XC^"* - GJe-i"*) c-r=li,- = - (ľfjo.^H^'frfa)(CfH- CJVw) er*."í — ClV«,r? J^r^'^fC^e""'' + Q'e-"1-) c-r.'1'^ - (11-194 } a r^Q" J„(ri;'a)(Q"ei»^ -r e-r.l"= = JK(r21'a)(Q"eí"f + e-^'"'1 = (11-195) (11-196) (11-197) Tyto vztahy musí platit identicky pro jakoukoli úhlovou souřadnici f a souřadnici z. To je možné jen tehdy, je-li Z rovnic (11-175), (11-176), (11-180) a (11-181), uvážíme-li předcházející výsledek, vyplývá 1 1 — 1 i Identity (11-194), (11-195), (11-196) a (11-197) jsou splnitelné pro jakékoli

nulové, nebo bude-li Q" — Q1!, Cg' = CJ}', Cg = CJ> a 01"'= — CJ". Zvolme případ, kdy budou konstanty C u součinitelé e-'1"'nulové. Za těchto okolností se identity (11-194), (11-195), (11-196) a (11-197) zjednoduší takto: = - ci> i H',;>(/» -■!- c2>«2 AH;r'(/» /,!cí>j»(/,<0 - r|§! h^(/» řfž* j„y'iíí) — na? H^x^a) (11-198) (11-199) (11-200) (11-201) Při tom jsme nahradili součiny konstant C[UC$\ CfCf, C?C£, CfC'*> jednoduchými konstantami C"', C2", CL", (tyto kopstanty nejsou totožné s konstantami v součinech). K těmto identitám bychom dospěli i tehdy, kdybychom zvolili konstantu C u součinitele S*# nulovou nebo kdybychom zvolili Q>= Cf, C?'= - Q1, Cf== G£ a £?£>.= - C'". Řešením identit (11-200) a (11-201) vyjádříme konstantu C[°> pomocí konstanty CJ! a konstantu C25í pomocí konstanty C^. Ll ~ Cl 71 H-(Aa) Dosadíme-H tyto konstanty do (11-198) a (11-199), dostaneme po úpravě To jsou dvě homogenní rovnice s neznámými konstantami Q" a C2". Tyto rovnice mají řešení, rovná-li se jejich determinant nule. Musí tedy platit y«a^ ^ j P^^h^ ^IPUJt 1 1 WH" 98 99 Abychom zjednodušili předešlou rovnici, dělme ji výrazem Ffá* a dosaďme za FjO výraz a a za l\a výraz v. Je-li dále y s=*jM (nutná podmínka pro šíření elektromagnetické vlny), je lr2l»%- [u J.(«) « H<„»J L/',» J«(") _^1_HÍÍ>)"| O konstantě přenosu ve vnitřním dielektrickém válci platí ve vnějším dielektrickém prostředí (II-204) (11-205) |ri2=^-1 (n-206) Byla-li splněna podmínka (11-204) netriviálního řešení rovnic (11-202) a (11-203), lze vyjádřit konstantu Cjj1 pomocí konstanty C". Tyto konstanty představují amplitudy pole příčné vlny elektrické a příčné vlny magnetické. Váže se tedy velikost příčného elektrického pole s velikostí příčného pole magnetického vztahem (11-202) nebo (11-203) a nelze je obecně vzájemně oddělit. Takové vlny nazýváme vlnami hybridními. Jen u osově souměrného pole, kdy n — 0, rozštěpí se rovnice (11-204) na dva vztahy fh j:„(«) lh Kf\v) u L(«) ki i j;r» k\ i H;ľW l*i u J„(«) ih « H4 o* a4 a1 z>2us a* -/_ 1 i ^-íi + *j-riV- 2_ I>4/ 3*1 r\ri)n~ k\ + k\ a" \ Jf'íi'1 / «V Dosadímc-li tyto výrazy do (11-208), dostaneme se zřetelem k tomu, že &j = (o2ftle.l a £j = cy2/ť2£„ «2 I- — fjt^ -f fteä) j» h^úo + /Va H^l.WHj,",(«) (11-209) Z této rovnice a z výrazů (11-205) a (11-206) určíme pro daný poloměr dielektrického válce neznámé konstanty a -T, a konstantu přenosu y. Přísluší tedy určitému poloměru a konstantám prostředí e,, s2, a //... určitá konstanta přenosu. Může nastat případ, kdy při určitém poloměru a určitém prostředí bude konstanta přenosu stejná jako konstanta přenosu při šíření ve volném prostoru (prostředí mimo dielektrický válec je vzduchové). V tomto případě bude fázová rychlost šíření stejná jako fázová rychlost šíření volného prostoru. Všimneme si tohoto případu podrobněji. Protože je třeba při splnění podmínky, aby fázová rychlost v prostředí mimo válec byla totožná s fázovou rychlostí volného prostoru, aby platilo y — k2, a tedy aby F2 = 0 Potom i v = 0. Dosadíme-li v rovnici (11-209) za argument (v) nulu, dostaneme podmínku pro určení konstanty a, známe-li rozměry válce a elektrické konstanty. Abychom mohli zkoumat, jaké vlastnosti má výraz (11-209), blíží-li se konstanta v nule, nahradíme Hankelovy funkce příslušnými výrazy pro malé argumenty (viz tabulky Jahnke-Emde). Pro v —> 0 (« - 1)! r -(n + l) (11-210) (11-211) Výrazy (11-210) a (11-211) dostaneme tím, že v řadě, kterou je definována Hankelova funkce, zanedbáme členy vyšších řádů, počínaje druhým. Podíl výrazů (11-211) a (11-210) při ■0 je H'i» _^ _ « a D0díl HIÍi^H^O*) n — 1 100 101 Dosaďme tyto hodnoty do rovníce (11-209). Potom bude fl1£l J„_1(»)Jn+l(«) EM -[/.(-,£, -r WiS-.) T , ,----;--r : Násobme tuto rovnici výrazem i>2. Potom pro 0 je 1 ^.Sj i(m+^íg+/^-- 1 Protože podle rekurentních vzorců je tm=- dostaneme po úpravě Jn-x(") ■1 0 (11-212) Řešíme-li tuto rovnici, určíme konstantu u při daných dielektrických konstantách prostředí ř,, ,MU e2, /(2, je-li fázová konstanta šíření totožná s fázovou rychlostí šíření elektromagnetické vlny ve volném prostoru. Všimněme si jednotlivých případů výrazu (11-212). Pro,u2 = fa je pro n > 1 In f _ gj j„(«) k (n — !)(«! -f- 6») (11-213) Tento výraz se ještě více zjednoduší tehdy, je-lí e, ^>e2. Potom se se vzrůstajícím et blíží pravá strana v (II--213) nule a pro £, nastává případ, kdy (11-214) Všimneme si nyní případu, kdy n = 0. Uvedli jsme již, že za těchto okolností se výchozí výraz (11-204) rozpadne na výrazy (11-207) a (11-207.1) a že se podle dielektrického drátu mohou šířit zvlášť vlny TE a zvlášť vlny TM. Dosaďme tedy v rovnicích (11-207) a (II-207.1) za«=0an=0 (sledujeme stále případ, kdy se fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny podél dielektrického drátu rovná rychlosti světla). Potom při = ,u2 je « JoO) »- Při tom jsme nahradili výraz ■■° ~ -■- přibližným výrazem pro p -> 0. Z tohoto vztahu vyplývá Je-li v — 0, potom !■)(«) = — — Jí(») ^ JoO) = o (11-215) Z této podmínky určíme konstantu u při o = 0 a n = 0. Ze vztahu (11-213) vyplývá, že při n = 1 musí být J,(«) = 0 (11-216) 102 II Protože první kořen rovnice (11-216) dostaneme při u = 0, plyne z toho al\ = 0 a tedy a = 0, neboť /\ nemůže být nulové. Podle (11-205)" a (11-206) platí totiž ■r=k\-ri ' ■■ ■,; a protože uvažujeme případ, kdy I\ — 0, je n=h\—k* Konstanta Fy nezávisí na rozměrech válce, a proto se v tomto případě může šířit po válci elektromagnetická vlna s jakýmkoli kmitočtem. Tento druh vln, podobný uspořádáním pole vlnovodovému vidu TE1U jc dominantním videm. Zjistili jsme tedy u předešlého případu, že existuje takový druh šíření elektromagnetické vlny, při němž se fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny blíží rychlosti světla, blíží-li se poloměr dielektrického válce nule. V následující části si podrobněji všimneme tohoto druhu šíření elektromagnetické vlny podél dielektrického válce. Budeme sledovat i obecný případ, kdy fázová rychlost šíření Tmde menší než rychlost světla. V tomto případě musí být y > A2 a ze vztahu (11-206) je zřejmé, že příčná konstanta fs bude imaginární. Je tedy ■ i\=m a podle rovnic (11-205) a (11-206) je P0— k\ - k\ — Pí - (11-217) Výraz v = aľ„ je také imaginární. Označme v =s j]c|, kde \v\ je absolutní hodnota. Podle rovnice (11-205) jc y- — k'\ — ľ\ = k'i — ~ , neboť u = Fxa Dosadíme-li tyto výrazy do rovnice (11-204), dostaneme pro n — la/i, = /.i2 r i j;(«) i hto ] \k\ j;(») % h?»] Protože H«il"(^ ■ Jl(«)/ , v \ 103 Při tom je k kde A; je délka vlny ve volném prostoru s konstantami e^fa X2 délka vlny ve volném prostoru s konstantami e2, u.,. Dosadíme-li do předešlého výrazu za v — )\v\, je r_ i i i JoM i i Hg'cho] r__i_ , j_joC«) Ä7 1 M2 Při tom musíme uvážit, že H|/'(jf) — Li i iísM.__l i 1 ro*.rir-i L p + «M2 R |H™(jt-)[J 1 j. 4r:2\/f |-|3 «2/ Vlnová délka volného prostoru s konstantami et a u1 je A, a Hf (jii) = [H?'(jti)|. Potom „(«) 1 , 1 |H?'(j-)l]_ IN Hř»(j.)J (II-218) 1 . , 1 M AfM2 A: Cj z., kde q = r==_ a/je kmitočet. Obdobně vlnová délka volného prostoru s elektrickými konstantami _2 a fi, je is=í. j, kde c, ■■ 1 Potom poměr vlnových délek v obou prostředích je £i_=]/fií__ a* = a* (11-219) kde k = -i Násobme rovnici (II-218) čtvercem poloměru a2 a dosadme za X3 příslušný výraz z rovnice (11-219). Dostaneme ľl l JM 1 Í ^ lHg'Qg)í| p g a2*J0(») , a2 |y uJM ' N2 H Híl,0»)J U. «2 Jl|aJiC«0 ' ^.i2 _ JLÍ_ ĚSMI _ J_ [*?*y _ J f J + Iľ (H-220) Alimo to z rovnice (11-217) vyplývá |r2i2 = a2 — ki—r\ protože r„ je imaginární výraz. Vyjádříme konstanty přenosu kx a k2 pomocí vlnových délek 47T2 47t2 4r:2 Z toho I /4~2 \ \ ,____ Vi fl DII v \ \ \ \ i \l 1 \ \ ! _ \ 1 "o Obr. 3!í. Grafické znázorněni rovnice (11-220) a rovnice (11-221). --1 Obr. 36. Grafické znázorněni závislosti poměru fázové rychlosti k rychlosti světla na parametru 2a . . —— při různých dielektrických konstantách. Uvedli jsme již, že v dielektrickém válci nemohou existovat samostatné vlny TM nebo TE mimo případ, kdy pole je cirkulárně souměrné (w - 0), Takové vlny, u nichž intensita elektrického pole i intensita magnetického pole mají všechny složky, tedy i ve směru osy válce, nazvali jsme vlnami hybridními. Intensita elektrického a intensita magnetického pole v dielektrickém válci jsou dány vzorci (11-182) až (11-187), kde yf = )f = yf = yf = % = -T ~ Aa rT = = p<* = pt a Qo _- c«i _ Q" = C'"' =-- 0 a kde jsme nahradili konstanty CfQ", Ca"Cf, C^'Q1 a Cf'Cí11 novými konstantami Cf, Cf, Cf a Q*. V těchto vzorcích neznáme konstanty C^1, C|, Cf a Cf. Poměr těchto konstant určíme z okrajových podmínek, zahrnutých v rovnicích (11-202) a (11-203). Z první rov-'nice vyplývá: Cfyn - r\~r\ n c? tJT, C? 1 LO)J Z toho dostaneme po úpravě výraz pro poměr —j pri /í, = pro a > o v; JiOO oj HfCa) (11-223) i ■ ■ - I Z křivek na obr. 34 jsme určili výrazy u, v a A, při daných rozměrech dielektrického válce a daná dielektrické konstantě válce. Dosadíme-li tyto výrazy do rovnice (11-223), určíme poměr Známe-li tento poměr, lze určit tvar pole, dosadíme-li jej do výrazů pro jednotlivé složky pole. Tvar pole u vlny s » = 1 se podobá vlnovodovému vidu TE„ (obr. 37). Z výrazu (H-223) je zřejmé, že poměr ~ (poměr složek pole TM a TE) je funkci poloměru. 2 Jsou-li poloměr drátu a dielektrická konstanta takové, že se fázová rychlost ve vnějším prostředí blíží rychlosti světla, bude se konstanta \v\ blížit nule". Provedeme-li pro tento případ rozbor vztahu (11-223) pro n ■■ 1, zjistíme, že konstanta C'ľ, která přísluší příčné magnetické vlně, bude zanedbatelně malá proti konstantě Ci", která přísluší příčné vlně elektrické. Za těchto okolností" bude v dielektrickém 9rr\J''Uspořadirlí silových drátě převládat vlna TE,,. ca5LÍ5S[ a ť ix magnetického pole domi- Dielektrického drátu použijeme při konstrukci dielek- nantního vidu v dielektrické trické antény. Wíi. ,26. Síření elektromagnetické vlny podél vodivého válce V tomto článlíi podrobněji pněné vlny magnetické. Princip řešení uspořádání pole bude stejný jako u dielektrického válce.. Rozdíl bude jen v tom, že musíme uvážit vliv vodivosti válce. Pro souměrné pole válcového vodiče {n = O) jsme odvodili okrajové podmínky (11-207) a (II-207.1). Při tom vztah CII-207 1) odpovídá vlně TM. řvahradime-li v této rovnici !„'(«) výrazem — J,(u) aHj{1''(») výrazem — UM\v) dostaneme ' M Hi'C") (11-224) Při tom je kŕ ioifí Co +■ |íue,5 a kŕ = l,a tedy ii> = u*i> 1. Proto v rovnici (11-224) vyjádříme J,(«) a J0(u) asymptotickými odhady. Protože kt — jaifijff -- ^uj/j^ (-4r__M, je ŕ, komplexní číslo. U dokonale vodivého válce a -> cô a potom ,4, bude komplexní číslo, u něhož se reálná i imaginární část blíží nekonečnu. Abychom určili hodnotu Besselových funkcí J,(«) a J„(u) při [a] -»■ », vyjádříme ie pomocí Hankefových funkcí H/"Ca) 4 H0(a'(a) Pro ji aa plati 106 107 HlwíH)^l/i.e-'("-4-) y ku Dosadíme-li tyto výrazy do výrazu pro ]L{u) a J0(iO, dostaneme 1/1[.'(-Ť">+.-(-!->] 2 Uvedli jsme, ze konstanta u ie komplexní číslo. Označme ji u = x - \y. Potom bude l/ 2 / jr -v -í~t. -ji gj i :"\ / ^—rFxl* e e e e e 1 1 ľ x), potom ;i vzcah (II-224) upravíme takto: * H/11 M. Budc-li o" x, bude 33 a předcházející výraz se zjednoduší na To nastane tehdy, je-li v — 0. (Výraz H„<»(ri Je-li vodivost válce n konečná, je i íj konečné a pórom je pri v -*■ 0 se také blíži nule.) Potom příčná konstanta ja -, (je-li /ij = íUj) (11-225) Konstanta u = I\a = a^k^ — y'. Konstanta prenosu y se nebude príliš lišit od konstanty přenosu volného vzduchového prostoru k,, neboť pri dobré vodivosti kovu 'o -'- 0, jak jsme právě dokázali. -f' Potom u = a fUj* — k.ý a je-li kL Jí> k2, bude Dosadime-li do rovnice (II-22o), platí .V 'V" Uvedli jsme, že při dobré vodivosti a placi i| -s1 0. Náhradime-Ii tedy Hankelovy funkce v předešlém výrazu přibližným výrazem pro o -> 0, dostaneme - In kde y¥ == 1/7811 je Eulerova konstanta. Potom „-In-^,- (11-226) Dosadme pco jednoduchost za výraz veličinu /j. Dostaneme 4r? Na základŕ toho upravíme rovnici (11-226) tak, že -, - h * 2 ŕj ,, s i s a nahradíme-li výraz - - j ~ ~ a pomocným znakem -zv, bude platit 4 fii r/ In tj = eľ Tuto transcendentní rovnici budeme řešir merhodou posrupného přiblížení podle Sommerfelda. Podle této merhody lze psát pro {n H- l)nl přiblížení, je-li ij„ nté přiblížení, rovnici 'Jn+ilo-íj„ = w Za první přiblížení výrazu ln řjTi můžeme brát.....20. Potom bude 'Jn+l : --20 Tento vztah představuje druhé přiblížení. Uvedený postup několikrát opakujeme, čímž dostaneme dostatečné přesný výsledek. Tak určíme i|az toho í.'. Při rom a tedy Známe-Ii f?3 určíme konstantu přenosu y 7, výrazu Při tom zjistíme, že taco konstanta přenosu má hodnotu, jež se málo líši od kt (kz = cl> |,íf a má malou reálnou část. Tato malá reálná hodnota podmiňuje malý údum při šíření elektromagnetické vlny. Známe-Ii konstantu přenosu, určíme strukturu pole podle stejných vztahů, jichž jsme použili " při výpočtu složek pole ve vlnovodu. Při tom zjistíme, že intensity pole ve vodiči rychle ubývá a že ubývá i v kruhovém vodiči přibližně podle téhož zákona, jako ve vodivém pásku, t. j. exponenciálně. Těchto vlastností vodivého drátu použijeme k přenosu elektromagnetické vlny. Nevýhodou takového přenosu elektromagnetické vlny je to, že je k němu třeba dosti velkého prostoru ve vnějším prostředí dielektrického drátu, neboť pole ve vnějším prostředí se pomalu zmenšuje se vzrůstajícím poloměrem. Vlasrnosti přenosu elektromagnetické energie se v tomto směru zlepší, obalíme-lí vodivý drát dielekrrickou vrstvou. 27. Šíření elektromagnetické vlny podél vodivého válce obaleného dielektrickou vrstvou Prov-ídeme výpočet elektromagnetického pole vodivého válce, který je obalen dielektrickou válcovou vrstvou. Budeme uvažovat pole osově soumírné (n = 0) vidu TM. Pro dielektrický drát s osově souměrnou vlnou vidu TM isme odvodili okrajové podmínky (11-207.1) ftjU J„(u) H0v řVL>(ti) Ve volném prostoru mimo dielektrický válec je průběh pole dán Hankelovými funkcemi. V dielektrické vrstvě (mezikruhovém válci) je pole dáno Besse-iovými a Neumannovými funkcemi. Ve vodivém válci předpokládáme pole nulové (obr. 38). Protože je pole v dielektrické vrstvě dáno Besselovými a Neumannovými funkcemi, upravíme okrajovou podmínku (II-207.1) pro tento případ tak, že místo výrazů J,(») a J0(u) dosadíme výrazy Cl J^h) + C. Nt(u) a Ci Jo(«) — CjNoOO. P« tom » = A* kae a >e vnější poloměr dielektrické mezivrstvy. Dostaneme tedy na vnějším povrchu dielektrické vrstvy okrajovou podmínku m -------X Obr. 38. \ dielektrická vrsivů Vodivý válec obalený dielektrickou vrstvou. (It-227) jký_ CtJi(») + C5N|(») = V Hifl)») Gx Jn(u)+ CjNoCk) ttffi Ho(,)(o) kde v ~ r.a. i Druhá okrajová podmínka vyplývá z toho, že na povrchu vodivého válce, jehož poloměr je b, je tečná složka intensity elektrického pole nulová. Protože jde v tomto případě o vlnu vidu TM, musí býc na povrchu plášti složka intensity elektrického pole ve směru osy s nulová. Tato složka elektrického pole je na povrchu vodivého valce úměrná výrazu CL J0(ui) + C„ N0(™), a proto musí platit C, J„f» -f C: N„(kj) = 0 (11-228) kde vi — ^i. Z tito poslední podmínky vyplývá J,Ctt>) - KW Dosadíme-li tento výraz do rovnice (11-227), dostaneme k,s JiC«) N0(ro) — J0(a) Nt(u) fiiH !<,(«) N«(a>5 — JoCte) N0(u) (11-229) ř>» H„(1)(ľ) Při tom, jak isme již uvedli, u — f^, v = i"'aa a le = Vyb. Konstanta přenosu je ve vnějším prostředí t v prostředí dielektrika stejná a je dána výrazem Při praktickém provedení drátu tohoto druhu se snažíme, aby doušfka dielektrika byla poměrně malá vzhledem k průměru drátu. Dále si budeme všímat jen tohoto případu. Protože u — v> = - f (a — b) a ie-li a — b malé číslo, lze psát, že u — ta = f, dr>. Nahradíme takto změnu poloměru diferenciálem. Hodnotu výrazu J„(ri*) určime z hodnoty J0(r,a) a diferenciální změny této funkce. Platí tedy Při rom Potom a obdobně aj„(7» da • W^o) + r, Jiovxa—« Dosadime-li tyto vztahy do okrajové podmínky rovnice (11-229), dostaneme J,(») N„(u) + J/u) Nt(«) J\(q — ŕ) — JgQtj NifjQ — Jt(Mj Ni(íi) jya — ŕ) ľi" JoM N„(u) + y«) NjCu) r,(a — 6) — J0(h) N„(«) — J,(u) ND(sí) /,(a — b) Je-li ííj = ft„, dostaneme po úpravě W H,ft>(r) (11-230) Aby byla fázová rychlost šířeni menší než rychlost světla, musí být u imaginárni. Hankelova funkce nultého řádu prvního druhu imaginárního argumentu je záporné imaginární číslo. Hankelova funkce prvého řádu prvního druhu imaginárního argumentu je záporná reálné číslo. Protože v praxi se u povrchových vln uvažovaného druhu uplatňují rakovi vlny, jejichž fázová rychlost se málo liší od rychlosti světla, bude konstanta v mali a Hankelovy funkce lze pak nahradit jejich aproximatívními hodnotami při malých argumentech. Při malých argumentech plati pro Hankelovy funkce vztahy H,"'(i*) ■* - i — In — ; Hi&M - J__2 Tí V ——--i- j d ln — H,'L>(f) ' %? kde ye je Eulerova konstanta. ' Potom se rovnice (11-230) zjednoduší tak, že - ji' tn JVt'1 in2 2 V tomto případě je \v\ absolutní hodnota a I\ — — ; proto ln (11-231) Mezi konstantou u a konstantou |a| platí na základě rovnosti konstanty přenosu v obou prostředích vztah neboť /'. iir,i. ■ Ti3 = v + |r22. Uvážime-li, že rxa = u, ka elektrické vrstvy, je 2tt a k, 277-T , kde x je poměrná dielektrická konstanta di- Dosadíme-Ii cento výraz do rovnice (11-231), dostaneme Protože \v' je vehčina málo odlišná od nuly a x -) !_L 2-r.aj x veličina větši než jedna, lze v závorce na leví 1 proti , a proto (11-232) 110 111 jíV\\í y lpi Obr. 39 znázorňuje závislost 1^1 la.™-1 = A na Chceme-li určit poměrnou dielektrickou tloušťku při dané dielektrické konstantě a danem poměru — ) musíme v obr. 39 násobit pořadnici výrazem [•—| , Jf— 1 \«/ kde * je poměrná dielektrická konstanta, a poloměr drátu a X délka vlny. Známe-li konstantu umíme určit konstantu 1\ a konstantu přenosu y. Obr. 39. Grafické znázornění závislosti veličiny A na veličině v. Obr. 40. Příčný řez vodivým válcem obaleným dielektrickou vrstvou. V poslední době se k přenášení energie používá kovového drátu s dielektrickou vrstvou. Energie se šíří volným prostorem kolem dráru a je drátem vedena. Při tomto přenosu energie je důležité zjistit průběh pole a průběh výkonu v radiálním směru. Energie se přenáší ve směru drátu. Umov-Poyntingův vektor má směr osy S, a proto dostaneme přenesený výkon integraci Umov-Poyntingova vektoru přes plochu kolmou na osu SÍT mezích pro r — 0 a r = OD. V tomto rozmezí poloměrů se přenes? celý výkon. Zvolime-U druhou mez takovou, při niž r —- A, kde A je velikost obecného poloměru, přísluší tomuto oboru jen část přeneseného výkonu. Naším úkolem je určit výkon, který je přenesen touto části, t. j. kruhem kolmým k ose drátu, s poloměrem A (obr. 40). Mezi jednotlivými složkami pole a Hertzovým vektorem platí vztahy E = /e-rV - grad div VL* (11-233) H = \us rot n.« (11-234) /7." = C, H,,<ť>(/» «rW U," = [Cjí" J(,(/» - C2"> N,(.r»J e-fl" Při tom, jak jsme dokázali, platí mezi C,(" a C.,(" vztah Wur$ ~ Q) c"'* (pro vnější prostředí) řV" = — weCiľiUi(Ar) N„(r,*) N,(jf» J„(/»] c"^ (pro vnitřní prostředí) kde pro vnější prostředí a pro vnitřní prostředí kde C, a C, je upravena konstanta C,'1'. Hranice mezi vnějším a vnitřním prostředím je vytvořena válcem poloměru a. Na této hranici musí být tečné složky poli v obou prostředích stejné Proto jíofoCrjH/^raa) sríMí* =. imůft&išFitd N„(r,i) — N,(r,a) j0(jyo] er** Z toho určíme poměr konstanty C„ a Q: Q E.A HjCJV) Je-li a — b malé proti a, platí podobně jako v předešlém případě JoCT,« = J„(J» + I\ J^aKa — Í3 N„(/» s N„(/V) - r, řt,(/>Xa — ř) (11-235) (11-236) Protože uvažujeme v tomto rozboru jen takovou elektromagnetickou vlnu, u níž se fázová rychlost šíření příliš neliší od rychlosti světla, je výraz \F„a\ <^ 1. Pro malý argument * \1 !<>l a proco se zjednoduší vztah (II-235) použitím vztahu (11-236) takto C, _ = e T, J1(ria)N„(/1lfl)+ AJyC^ia)^^ —ft) —N^a) J0(r,a)--J\N1(r'1a) J^aJCa —fr) *•„ r, * _ i 2 ". f l/VI _ g r, jL(/» n0(/» — N^r.a) j„(/» . e I 2 r:|/V (11-237) nebo: JjCTi«) N„(/» — Nj(/',a) J0(/\a) : A= ilAl Tím isme určili vztah mezi konstantou vnějšího prostředí a konstantou vnitřního prostředí. Nyní určíme celkový výkon přenesený vnějším i vnitřním prostředím. Pro Umov-Poyntingův vektor platí P = \ZH„H* kde Z je charakteristická impedance prostředí. Výkon přenesený vnějším prostředím dostaneme integraci Umov-Poyntingova vektoru v mezích od r = a do r — 90. Platí tedy DD CO 00 P« = \z j HpHv* dS = -i Z 'f-MjRf 2nr dr = i Z 2-uj^CV/VJ H/'^CAr) r dr r=ft a » Poslední integrál upravíme tak, že ca co ft JHi(i)2(rjr) dr r =Jh/1^/» r dr —JH^'-í/V) r dr Použijeme-li při číselném vyjádřeni uvedených integrálů Lommelova integrálu, dostaneme (11-237.1) P. - iZ3JH»V C.lAs iia'tH^^i/» —H2'1Vr.,a)H(/'2a)l -— !rr*(HÍl>W) — H2<"(/'2r) HXW(/V)]} r=to 112 8 - ZÄtdady techniky 113 Dosadíme-li do výrazu za r = od, zjistíme, použijeme-li asymptotických výrazu pro Hankelovy funkce, že se uvedený výraz rovná nule. Protože, jak jsme již uvedli, je \r2a[ <<í 1, nahradíme Hankelovy funkce jejich aproximativními hodnotami pro malé argumenty. Potom dostaneme pro výkon prenesený vnějším prostredím vztah (11-238) kde y„ je Eulerova konstanta. Při tom jsme nahradili charakteristickou impedanci Z známym výrazem Nyni určíme výkon přenesený vnitřním dielektrickým vodičem: P, - hZJHyH^áS při čemž Uv - - - \mhC,I\[Urxr) Ns(/\ř; - N,(/» ]0U\b)] e-lr* Protože je obecně pro dielektrickou vrstvičku (r ■■■ b) velmi malé proti b, platí i zde vztahy N0Ct\b) ~ N,//>) -i- r.N.ŕ/VXr — b) Potom H,„ = — i'J'sC, — e-y ľ —r Dosadíme-li tento výraz do vztahu pro přenesený výkon, je a a P,=jZf HvHy* dS = lzfcoVCf ^ 2r.r dr CfymB i- (H-239) 6 b Pro kvantitativní posouzení výkonu přeneseného vnějším prostředím nás zajímá poměr výkonu přeneseného vnějším prostředím k výkonu přenesenému vnitřním prostředím. Použijeme-li vztahů (11-238) a (11-239) se zřetelem na vztah (11-237), je poměr výkonů P, 0,5 + ln 5V (11-240) ln ■ Protože — - je číslo poměrně málo se lišící od jedné, potom ln — -+ 0 az rovnice (11-240) vyplývá, že b o téměř celý výkon je přenesen vnějším prostředím. Chceme-li určit přenesený výkon, který přísluší poloměru A. musíme ve výrazu (11-237.1) nahradit mez r = x mezi r — A. Potom platí — ía! [H^Hr2A) - H.MKr.A) fi/^r.r,,)]; Poměr tohoto výkonu k Celkovému výkonu, určenému výrazem (11-238), při čemž jsme zanedbali výkon přenesený dielektrickou vrstvou, označíme p. Potom _ TC;T;-fíag[H/1)3(r8a)— H/')(/'2a)H/')(r— iAnHH^^'r^A) — H3fl>C/''.■l4)H^(l^(A'4)]■^ \ Z výrazu (11-241) lze určit pro určitý poměr přeneseného výkonu p příslušný poloměr A v závislosti na \ľ~a\. Tyto křivky jsou znázorněny na obr. 41. Při praktickém navrhování drátu s dielektrickou vrstvou postupujeme takto: Chceme, aby se při dané tloušťce drátu přenesla požadovaná část výkonu (udaná poměrem p) kruhovým průřezem poloměru A. Tomuto požadavku odpovídá určitá hodnota v (určime ji podle křivek). Této hodnotě přísluší při určité dielektrické konstantě poměrná tloušťka dielektrické vrstvičky (určí se pomocí křivek na obr. 41). •* Důležitou veličinou při posuzováni přenosu energie podle drátu je měrný útlum. Určíme jej podle známého vzorce fí 1 P* P 2 ~P kde Pz je celkový ztrátový výkon na jednotku délky drátu P ceflravý přenesený výkon. Zcrácový výkon ie dán ztrátami v dielektriku a ztrátami v kovové části drátu. Ztrátový výkon v dielektriku určíme z výrazu Obr. 41. Grafické znázornění . A ,!xl . poměru — na veličme v pro a různé přenesené výkony. Oi stejně jako u vlno- ln0,89|r„u| + 0,5 (11-242) (11-241) řW=*/ fa^EE*)áV z a i kde Cj,' sinh Tq' y -r Cv; cosh i j y T2=C3,' e'V + CVe-'V Při tom platí, že ,/V = >V! ~ k~- Složka intensity elektrického pole ve směru z bude potom dána superposicí výrazů r^lJ^', pro všechna q' a na deskách se zářezy se musí rovnat intensitě elektrického pole E,, dané vztahem (11-243) Ex = S {Cu sinh fy | '; C2í. cosh fy || [@fp&& - Cu e ''"S ) = a'— — co to 2MN . .r:qd —i ?4) a pro v Z( — Ciŕ sinh /'„• C2„' cosh i', 2MN ir« AíJV rejd! sin —— í irg L Aby platily tyto identity, musí }' = «> Civ - 0 i LV - 0 i 2rc C35C3!I cosh J"1, MN . r.ad - sin —r- -o • L Sdružimc-li konstanty C^CM v jednu, kterou označíme C,, bude MN. 1 . ~qj coshl — Potom bude intensita elektrického pole dána vztahem to *- Z " ATN . itíd cosh ľy sm --r (11-246) cosh /' Veličina AI je určena velikostí intensity elektrického pole v místě zářezu. Je-li šířka zářezu d •< A, bude v něm převládat, jak jsme již uvedli, vid TEM. Při tom bude intensita elektrického pole v místě zářezu dána stejnou hodnotou jako intensita elektrického pole mezi dvěma rovinnými deskami za- zarezu dana stej končenými nakrátko kde k—~ E Aí= CsinW / je délka zářezu. Dosadíme-li tuto hodnotu do rovnice (11-246), dostaneme E, ■■ NC sin kl . cosh ľ.,y —f - bm \-LJ 6 > 2 2 (11-247) kde q — — (Nm + n) pro m = 0, 1, 2,... q = Nm — n pro m = 1, 2, 3,... « = 0,1,2,.. ,,| í", Na základě vztahu (11-247) bychom určili Hertzův vektor a z něho ostatní veličiny pole. Ze vztahu (11-247) vyplývá, že se elektromagnetická vlna skládá ze součtu dílčích vln, postupujících oběma smery vzhledem k ose z. Konstanta přenosu obecné dílčí vlny je dána výrazem 2- 2re N D ' Dosadime-li za q príslušnou hodnotu, dostaneme pro konštantu prenosu postupné vlny v bladnŕm smeru '.. 2k ND kde m je číslo, které určuje pořadí harmonické n fázový vztah mezi dvěma zárezy D vzdálenost středů sousedních zářezů.3) Fázová rychlost šíření vm je dána vztahem CD _ loND (Nm — ti) 2-c N /. 2n(Nm — n) Obdobně platí pro fázovou rychlost vlny, která se šiří v záporném směru, 2-t ND 2r.(Nm + ji) kde c je rychlost svätia. Je-li m — 0, je fázová rychlost šíření c D N ND "S" Fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny vm bude menší než rychlost světla c tehdy, bude-li hi > ND N Pro speciální případ, kdy n = — (je-li fázový posun mezi sousedními zářezy roven rc), je 2D Aby fázová rychlost byla menši než rychlost světla, musí v tomto případě být > 2D Je-li m =|= 0, potom N . Pro n = — je D Km + i) Z toho vyplývá, že při tn > 0 je fázová rychlost šíření mensí než při m 0. Tun jsme dokázali, že ve vlnovodu se zářezy (s periodickou strukturou) je fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny za určitých podmínek menší než fázová rychlost siření ve volném prostoru a že vlna, která se šiří v kladném směru, má jinou fázovou rychlost než vína šířící se v záporném směru. Vedení s periodickou strukturou má velký význam pro elektronové urychlovače a pro elektronku s postupnou vlnou. V této části se nebudeme zabývat prostorovým uspořádáním elektromagnetické vlny. 3) Známe-li konstantu přenosu •/„, určíme příčnou konstantu ze vztahu r.m — ^k1 — ym' 29. Kruhový vlnovod s „hřebínkovou" strukturou Jak jsme poznali, vznikne u vodiče s obecnými okrajovými podmínkami taková elektromagnetická vlna, která je dána superposici příčné vlny magnetické a příčná vlny elektrické. Tyto dílčí elektromagnetické vlny mohou existovat nezávisle na sobe jen tehdy, jde-Ii o pole osové souměrné nebo o takové okrajové podmínky, že na plášti je tečná složka intensity elektrického pole nulová. Omezíme se v tomto případě na osové souměrné pole. Proto může existovat samostatně příčná magnetická vlna. Touto vlnou se budeme zabývat. Z toho Obr. 43. Vedeni s ,,hřebínkovou" strukturou. Uvnitř hřebinkové soustavy na obr, 43 {prostor 1) bude dáno pole týmž výrazem jako u kruhového vlnovodu. Bude tedy mít Hertzúv elektrický vektor určitého vidu tvar nm* - c j0(r,„r) en'""* Výsledné elektromagnetické pole bude dáno superposicí všech vyšších vidů, tedy co H,' - 2 C J^r»'r) e",'/"' (11-248) kde m je poradí kořene transcendentní rovnice pro konstantu F, Část prostoru 2, omezeného dvěma tenkými dokonale vodivými mezikruhovými příčkami, lze uvažovat jako radiálni vedení. Na hranici prostoru í a 2 musí být spojitý přechod složky intensity elektrického pole E. a magnetického pele H,t. Protože vzdálenost příček d je poměrní mali vzhledem k délce vlny, lze oprávněně předpokládat, že v příčkách bude převládat takové pole, jako je v radiálním vedení, tedy pole TEM. Vyšší vidy vzniknou jen na začátku prostoru mezi příčkami a rychle se udumí. Hertzův elektrický vektor v radiálním vedeni je dán výrazem (11-143): ÍL« m C, J„(Ar) + CaN,(*r) Známe-li Hertzovy vektory v obou prostředích, určíme z nich intensitu elektrického pole E, a intensitu magnetického pole Hf. V prostředí 1 je (víz rovnice (11-66) a (11-68)): mal co Hw = 2 C (o- I j">í)rmJ0'y,mr)e-,7'"= V radiálním vedení (v prostoru 2) je E- = m&\ UM + C, N0(fcr)] Hv - (a + jaw) k[CL J„Xkr) + C, N„'(£r)l (11-249) (11-250) (11-251) (11-252) Vztah mezi konstantami C, a C, v rovnicích (11-251) a (11-252) určime z podmínky, že pro r = R„ je intensita elektrického pole E. nulová. Platí tedy C, J,(We,) ■■!■ C2N0(A/?„) = 0 i "iJ. v ca = — c, N0(éR„) Dosadimc-li tento výraz do (11-251) a (11-252), dostaneme '; Ez - C*sfJ.(*r) N0(AÄ0) — J0(AÄ0) N„(*ŕ)] ľí C ' f kde jsme výraz 1 nahradili konstantou C. Intensita magnetického pole je potom dána . rs^/rj^) výrazem H9 - (tr - jme) *C'[J0'(foO N0(ŕÄ„) — N.'O) J,(AR0)1 Těmito dvěma výrazy je určeno pole v prostoru mezi dvěma sousedními m^zikruhovými přepážkami. Pole v jednotlivých takových prostorech se budou fázově lišit. Fázová změna bude sledovat fázovou změnu pole v prostoru 1. Bude proto intensita elektrického a magnetického pole v prostoru 1 dána superposicí dílčích vln, jež mají konstantu přenosu y,„ jako vlny v prostoru 2. Proto je co Ez = 2 C&iUkr) N,(*R4) — UkRo) N„(ér)] e"1^ (11-253) m- 1 CQ H<» = 2 í"1 + '"JE) ŔC'tíoN„(ŕ/Í0) — N„'(Ar) J0(Afi0)] e (11-254) m-i Na hranici prostoru la2,t. j. na válci s poloměrem r = r„, musí platit, že intensita elektrického pole Ez a intensita magnetického pole H,P v prostoru i a v prostoru 2 se sobě musí rovnat. Proto je co co 2 CZVJ0(rmr()) r*** - 2 C'^fV^o) NstMW - N„(Är„)] e-,;'™= 2 C(řT-r fowj rm Jo'(/'„lrl,>e-1Vm= - 2 O7 + Í«>e) *CTJo'(*rJ N0(A/?0) — N„'(Är0) J0(*R0)] e"1'"1 m = 1 m = 1 Aby tyto vztahy platily identicky pro jakékoliv z, musí být splněny podmínky Cr„," Ja(ľmr„) = C'k-U^krJ N0(kR0) — J^/ii?,) N0(*r0)] Cr„, V(r„,r„) = ACtJ,'^) N„'(*Äo) - N„'(*r0) J0(A/?„)] To jsou dvě homogenní rovnice vzhledem k C a C. Jejich netriviální řešeni dostaneme, bude-li se jejich determinant rovnat nule. Proto rm Urmra) = k[Ukr0)N„(kRa) — J„(iB„) N„(fer0)] Ju Wo> J0'(Ar„) Ň>Ä0) — N„ '(*r„) J„(ŔÄ„) Nahradme derivace Besselovýeh funkcí. Potom je . ťmUr„rJ _ Jctfr,,) N,(AJ;Q) - J„(fej;0) Nu(Ar„) JlOVJ Ji(*r0) N0(*Ä0) - J„CfeÄ0) N^Aro) Výraz na pravé straně lze vyjádřit pomocí malé radiální tangenty. Potom bude Jl('mro) k tu (/cr0, ÄÄ„) (11-255) Z této transcendentní rovnice určíme pro danou délku vlny /., dané rozměry ra a R„ konstantu rm. Známe-li konstantu l'm, určíme fázovou konstantu přenosu ym z výrazu tm r -c Na obr. 44 je provedeno grafickí řešení rovnice (11-255). Při grafickém znázorněni jsme upravili rovnici (11-255) takto: 1 / .... --I / ľ; 1 3 a) Obr. 44. Grafické řešení rovníce (11-255). W/V,,) „ i JoOV„) = r„r„ r°l lů(7mrQ) Křivky 1 a 2 na obr. 44a představují grafické znázornění výrazu ct (Jtr0, kR„) j,crmr0) jen částii které příslušejí kladným pořadnicím. Přímky 3, 4, 5 představují závislost A (11-255.1) V obrázku jsou vyznačeny r n r,.. . ct (krt, kR^). Jsou-li dány rozměry vedeni a délka vlny (obsažená v k -1 určíme a(kr0,kR0} pro dané r„ a J?0 z křivek na obr. 26a. Z grafického znázornění je vidět, že pro >■„ = R„ přechází ct (kr„, kRa) v osu y a protíná křivky 1 a 2 v tečných bodech jejich asymptot, které příslušejí souřadnicím r„jn = 2,4 a 5,6. V tomto případě přechází hřebinkové vedení v kruhový vlnovod s videm TMn]. Je-li Ra > r„, protínají přímky křivku 1 v bodech, které příslušejí hodnotám r,,,r„ menším než 2,4. Z toho vyplývá, že se bude fázová rychlost šíření zmenšovat, až při hodnotách r0, jimž odpovídá tečna v počátku ke křivce 1 (přímka 5), rovná se fázová rychlost šíření rychlosti světla. Budou-li výrazy ľmra imaginárni (obr. 44b), je výraz ]Hrmr^i imaginární a výraz J„(/'„>•„) reálný. Řešení je gráfickv provedeno na obr. 44b. Křivka 1 je grafické znázornění vztahu \l\. Přímka 2je tečna [Ml ™r0j| ke křivce 1 a přechází v přímku 5 na obr. 44a. Větším hodnotím R0 odpovídají přímky .7, 4, 5. Těmto přímkám příslušejí hodnoty r,nr„ větší než 2,4, a protože jsou imaginární, bude v těchto případech fázová rychlost siření menší než rychlost světla (což plyne z výrazu yí. Za těchto okolností lze použit hřebínkového vedení jako součásti lineárních utychlovačú nebo elektronky s postupným polem. Podrobný rozbor uspořádáni elektromagnetického pole nebudeme provádět. 30. Souosé spirálové vedení Oba druhy vedení, o nichž jsme pojednali v čl. 28 a 29, mají tu vlastnost, že se jimi může šířit elektromagnetická vlna s menši fázovou rychlostí, než je rychlost světla. K takovým vedením patří také souosé spirálové vedeni. Vnější vodič tohoto vedení je vytvořen dokonale vodivým válcem a vnitřní vodič spirálou (obr. 45). Proud procházející spirálovým vodičem může vybudit příčnou vlnu magnetickou a příčnou vlnu elektrickou (důkaz provedeme v části o buzeni vlnovodů). Obé tyto vlny jsou osově souměrné. Elektromagnetické pole uvnitř válce určíme tak, že místo spirálového vedeni budeme uvažovat válec, vodivý jen ve směru spirály. 122 Ve vnitřní části spirálového vedeni (prostor J) je Hertzův elektrický a magnetický vektor určen stejnými výrazy jako v kruhovém vlnovodu St Um e** Elektromagnetické pole souosého spirálového vedeni je vytvořeno superposicí příčných vln elektrických a magnetických. Příčná vlna magnetická, osově souměrná, má vedle složky S, složku intensity magnetického a elektrického pole ET a H,p; příčná vlna elektrická, osově souměrná,má mimosložku H, ještě složky F.,f a Aff. Uvnitř spirály proto platí Obr. 45. Souosé spirálové vedeni. Eu = AčJTy J,(rr) é'r-HllF = — áiCí 4 iw) rw/V) e';'- E„ = B,jty;.)e»'- Hlr - s,i7> um c** E._^ A^-Urr)^ Ht = B^sJoCTr)^'- (11-256) (11-257) (11-258) (11-259) (11-260) (11-261) V prostoru mezi spirálovým vedením a vnějším vodivým pláštěm budou určeny Hertzovy vektory stejnými výrazy jako u souosého vlnovodu 17," = [Ä.,(/'r) 4- B, N„(/»] eis* %ta = íh UFr) + D N0(/>;] e»« Z těchto Hertzových vektorů určíme všechny ostatní složky intensity elektrického a magnetického pole. Platí pro ně (11-262) (11-263) (11-264) (11-265) (11-265) (11-267) Konstanty Av Bl, A2, Bs, Gjj D„ay určíme 7, okrajových podmínek. Tyto okrajové podmínky jsou dány spojitosti jednotlivých složek intensity elektrického a magnetického pole. Tečná složka intensity elektrického pole ve směru tečny spirály v místě dokonale vodivé spirály je nulová. Složka intensity elektrického pole, ležící v tečné rovině k válcové ploše s poloměrem r == r0 (válec, na němž je spirála), musí být spojitá. Totéž piati o normální složce intensity magnetického pole. Musí tedy platit sinEu cos 0 = 0 £2r = U>Ma JiO» I" B2 Nitrr)] e'"-= — + M H^a Ji(i>) - B„ Nt(/»] éy> = im/ifTC, Ulr) 4- OiNiCJV)] e»'; H2r = UyíC\ Um ■ D.,NLCrr)] e*W E.,s = r'Eáa J0(rr) + B, K0(ľr)l t*' H,._ = IHGiUm + AjN„(/»] e«* B, r = <". E.,? srn* !- Eu cos0 p r= r0 r=r. (11-268) (11-269) (11-270) kde r-r„ r_r„ Vnější válec (pro r = RJ je dokonale vodivý, a proto musí být tečná složka intensity elektrického pole na tomto válci nulová. Musí tedy platit 0 a e,. (11-272) Dosadíme-Ii do okrajových podmínek (11-268) až (11-272) odvozené vztahy (11-256) až (11-267), dostaneme Ěi^rj$&$mQ -[- ^lrsj0crr0)cos(p = o (11-273) te/irCC, 1,(2%) 4- DjN.C/Va)] sin !„(/>„)].cos # = 0 (11-274) Si JiOV - [Cs Í^JVÍ) + J32 N^TV,,)] (II-275)" X, Jua"Vn) - A, J0(/V 4- S2 X„Crr,) (11-276) S, J,trrn> = CE JĽ(rr„) -h Da (11-277) -■ (ff + M rá. J.r/ra) sin0) 4- D, ]%{/>„)] cos 0 (11-278) 4* I0Cra») H- B3 H„(r/Í„j = 0 (11-279) cs j/rÄ,) + DaN,{rii„) = o (n-280) Rovnice (11-275) a (11-277) jsou totožné. Také rovnice (11-273) a (11-274) jsou se zřetelem na rovnice (11-276) a (11-277) totožné. Tak dostaneme celkem šest na sobě nezávislých homogenních rovnic s neznámými Av Bu A,.,BZ, C. a Ds. Aby těchto Šest rovnic mělo netriviální řešení, musí se determinant soustavy rovnic rovnat nule. Z této podmínky vyplývá , !„(/>£,} JiCX.) NotfVo) vrfí,,) - !„(/>„) K„(/R0) # tg= í> fa r= (11-281) i0(.rs„) um mrtj um-)—Nt(rR0; 1,^) Budeme-li Laco rovnici řešítj zjistíme, že pro reálne 1ŕ nimi reálni; řešení. Pro imagmátní F K předcházející rovnice nevhodná, nebot NeuiníinnúvíL funkce im:i£Ínjrního argumentu je komplexní číslo. Místo Neumannovy funkce bude vhodnější zavést H.mkelovLi funkci prvního druhu, PuužijĽme-li vztahů ■ňé'Xľr,) = j„(.rí-„) h- í n„crrí) dostaneme pro Neumannovu funkci N„cr,-„) = | [ti^Krrj - tg&M Dosadíme-li rvto výrazy do (Il-28l)> dostaneme P tg2 0 : (11-232) Tato rovnice má řešení pro reálné i im-i^ínární ľ. Bude nás zajímat jen řemení rovnice (IÍ-282) pro imaginární hodnoty r2 neboť konštanta přenosu spirálového vedoní bude v cointíi prípade větíí než konstanta přenosu volného prostoru a fázová rychlost šíŕtmí budä cedy trunsí než rychlost světla. V tom případe nahradíme Besselovy funkce imaginárního argumentu modifikovanými Besselovými 124 unkecmí. Vztahy mezi Betelovými a Hankelovými funkcemi a modifikovanými Besselovými funkcemi jsou vyjádřeny rovnicemi ITM = e-1/lIWIJJ>(jx) KIW = ii-e-I"tlHI,(1)(j;c).'; kde Ij>(x) jsou modifikované Besselovy funkce prvního druhu Kj>W modifikované Besselovy funkce druhého druhu. Pro modifikované Besselovy funkce nultého a prvního řádu platí Jníi.v) = I„(.v) T/j.v) = j r.c*) H0(" O*) = -§■ i K„ M Sti|f ěÍM = — ~ K,M Protože r — i\r\, dostaneme po dosazeni do rovnice (II-282j : 1 iůC|r|j;1J)il(|r|r„)K1í|r;A0)i1c!/i[r„)-K1(ir|í-0)i1(|r|/í()) Výrazy na obou stranách této rovnice mají rozměr ■ Násobme pravou i levou stranu čtvercem poloměru řy, abychom dostali bezrozměrné výrazy. Potom r!Ftf^ = r!r!WM#k) K„(irj'r„) yjjgg - mrm MÍM ^ J iu(|r|/í,)iL(|r.r„) KíElřlf^an®— t&Plřň W>ä ( } > ■ - 1 i f i y i '° ■p i . i / y / i y / \A ■ \ i —p0 k:g P Obr. 46. Závislost veličiny yra na veličině r0k tg 0. 12 3 h 5 S 7 S Na obr. 46 ie znázorněna závislost ír„; na veličině rnk tg* při parametru Z grafického znázornění je vidět, že při velké hodnotě r„k tg ÍJS je argument |i"V„| > 1. Vyjádříme-li modifikované Besselovy funkce s argumenrem podstatně větším než jedna, jejich asymptotickými odhady, bude mít rovnice (11-283) tvar Z toho konstanta přenosu k cos íŕ (11-284) Ze vztahu (11-284) je zřejmé, že konstanta přenosu y je větší než konstanta přenosu k volného prostoru. Z toho plyne, že fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny je menší než rychlost světla i', = C cos 0 (11-285) Spirálového vedení se často používá jako' zpožďovacího vedení u elektronky s postupnou vlnou. 125 sm&r sirem' 31. Šíření elektromagnetické vlny v trychtýřovém vedení Odvodíme vlastnosti výsečového trychtýřového vedení. Toto vedení je vytvořeno dvěma rovnoběžnými rovinami a dvěma rovinami, které se protínají pod určitém úhlem (obr. 47). Průběh intensity elektrického a magnetického pole v trychtýřovém vedení určíme řešením vlnové rovnice Hertzova vektoru ve válcových souřadnicích, neboť zavedením těchto souřadnic snadno splníme okrajové podmínky. Výsledné pole určíme jako superposici vlny, dané Hertzovým elektrickým vektorem (TM) a Hert-zovým magnetickým vektorem (TE). Protože je souřadnice z souřadnicí pravoúhlou, určíme elektromagnetické pole ze složky Hertzových vektorů ve směru této souřadnice. V této části budeme sledovat podrobně dva případy vlnění; vlnění, které má jen složku intensity elektrického pole ve směru 2r, a vlnění, jež má jen složku intensity elektrického pole ve směru oblouku vrcholového úhlu y (složku £,,), viz obr. 48. Obr. 47. Trychtýřové vedeni. 31.1 Trychtýřové vedení s intensitou elektrického pole ve směru osy ? Trychtýřové vedení budeme pokládat za výseč z radiálního vlnovodu. Všechny složky elektromagnetického pole určíme z elektrického Hertzova vektoru. Abychom určili geometrické uspořádání, musíme vyřešit vlnovou rovnici Hertzova vektoru s okrajovými podmínkami, že na povrchu vedení je tečná složka intensity elektrického pole nulová. Vlnovou rovnici A/7] — mil = 0 budeme řešit ve válcových souřadnicích. Obecné řešení Hertzova vektoru 77= ve válcových souřadnicích je ni = [Ct Tn(/>) -I- C, N,;(/V)](C:i sin tvp + C, cos nq)(C,e'r= + C»e-i#) (11-286) Tohoto výrazu použijeme tehdy, bude-li trychtýřové vedení zakončeno nějakou impedancí. Bude-li trychtýřové vedení naprázdno ve směru souřadnice r, použijeme místo Besselovy a Neumannovy funkce raději funkce Hankelovy. Pak bude 77° --= [C, H;,"(/>) + C, H;;'(7V)](C3 sin nw + C:í cos nftC^ + Cfi~'V) (II-286.1) Intensitu elektrického pole £ vyjádříme pomocí Hertzova vektoru na základě vztahu (1-33) £ = feäII.» 4- grád div 11.« Konstanty Cv Cs, C3, C4, C5, CB, stejně jako F, určíme z okrajové podmínky, že tečná složka intensity elektrického pole musí být na stěnách vedení nulová. To znamená, že intensita elektrického pole Ez musí být nulová na stěnách daných souřadnicemi

= ——a intensita elektrického pole E,r musí být nulová na rovnoběžných stěnách vedení se souřadnicemi = 0 a z = /. Protože Ez = F*IIl a E,. - gradf. div II; ě dostaneme pro tyto složky E, = PfA H^(/» -h Q H£>(7>)](C3 sin w + Cj cos n(p){c^ + c^lyz) (n.287) % = m | m *WŮ + CsH»(/»](- C3 cos n

je celé číslo. Dosadíme-li odvozené výrazy do vztahu pro Hertzův vektor, bude H; = [Q K'\ (Tr) + C2 (/>)] cos m - rp cos /> ~ 2 (11-289) pok h0t° HerCZ0Va vcktoru bychom určili všechny složky intensit elektromagnetického Všimneme si podrobněji toho případu, kdy má intensita elektrického pole jen složku vesmíru z a pole nezávisí na souřadnici z. Aby elektromagnetické pole nezáviselo na souřadnici z, musí být konstanta y nulová. Z rovnice (11-11) potom vyplývá F= k Budeme-Ii uvažovat trychtýřové vedení nekonečně dlouhé (ve směru r), musí být konstanta mílová, nebol! jinak by měla Hankelova funkce H^(_kr) při komplexní konstantě přenosu k při r -> oo nekonečnou hodnotu. Po všech těcíito úvahách se výraz pro Hertzův vektor zjednoduší takto: a pro m = 1 77^= C H * (kr) cos m - q> 77; = C H^'^r) cos— f Protože je y — 0, bude také ET = 0 a E,., = 0, neboť na základě (1-33) Ev= jy^grad^ a ET= ]yT» gradr 7\ Intensita elektrického pole bude tedy mít jen složku E. a ta bude vyjádřena rovnici Intensitu magnetického pole určime z rovnice (1-35) H— ( 1 lze Hankelovy funkce nahradit jejich asymptotickými hodnotami a pro charakteristickou impedanci dostaneme stejný výraz jako pro volný prostor Ví Elektromagnetické pole, které jsme právě uvažovali, vznikne v trychtýřové anténě napájené obdélníkovým vlnovodem. 128 31.2 Trychtýřový vlnovod s elektromagnetickou vlnou, u níž má intensita elektrického pote směr tp Zde budeme opět uvažovat trychtýřové vedení jako část kruhového vlnovodu. Geometrické uspořádání pole určíme řešením vlnové rovnice Hertzova magnetického vektoru s příslušnými okrajovými podmínkami. Vlnovou rovnici vyjádříme ve válcových souřadnicích a jejím řešením dostaneme pro Hertzův vektor vztah * 11? -i [C, Um + C, N„(7»](Cä sinnq> + C< cos + C^-w) (11-293) Konstanty CÍS C2, C:i, C15 C5, Cň a n utcíme opět z okrajové podmínky, t. j. z podmínky, že tečná složka intensity elektrického pole je na vodivém povrchu vlnovodu nulová. To znamená, že na vodivém povrchu musí být složka Er a Ev nulová (obr. 48), Veličiny elektromagnetického pole nebudou záviset na souřadnici tp tehdy, bude-li konstanta n nulová. V tom případě vyjádříme vztah (11-293) takto: 77»= [C.Uľr)- CaN0(7-V)](C,e'v*+ C6e-'r*) (11-293.1) Složka intensity elektrického pole Er bude v tomto případě rovna nule. Složka intensity elektrického pole E!f bude určena vztahem (11-294) Se zřetelem na okrajové podmínky musí být intensita elektrického pole E,s nulavá na ploše dané souřadnicí z = 0 a souřadnicí s = l. Z toho plyne C,+ Cr>= 0 Qi®f + C6e-í7» = 0 a tedy funkce souřadnice %, podobně jako v předešlém případě, bude dána sinusovým průběhem únp~ Potom Obr. 48. Orientace trychtýřového vedení. 77? [A Ufr) + CaN0(/Y)] únpjz Přitom je E„ = — jco^rfCi Jn'(rr) + C2N0'(/V)] sinp-^z Er= 0 H, = rs77^ Hr = íy na U'fJ'r) + C2 N0'(J»] cos p j z pq-nr Bude-li trychtýřový vlnovod na bocích neomezen, přejde ve dvě různoběžné roviny o vrcholovém úhlu x (obr. 49). Uvažujme případ, kdy složka intensity elektrického a o - zaklíniv tuulniiky 129 magnetického pole nebude záviset na souřadnici z. To nastane tehdy, bude-li konstanta přenosu y nulová. Dosadíme-li v rovnici (11-293) za y nulu, bude a potom m = [A Ukr) + C, N„(fer)] E,. = - ieojwStCi U(kr) + C2 Nó(£r)] Er = 0 ; Hz 0 ŕ/^AICJ^+^N^)] (II-295) (II-296) neboť v tomto případě je ľ— k (protože y = 0). Vidíme, že elektromagnetické pole má jen složky E,,., a H.. Toto pole přísluší příčnému Obr. 49. Vedení sestavené ze dvou rúznoběžných pásků. elektricko-magnetickému vidu (vzhledem ke směru šíření, t. j. směrem vzrůstajícího poloměru r). Intensitou elektrického pole E... je dáno napětí mezi oběma rovnoběžnými rovinami a intensitou magnetického pole H, je způsoben proud tekoucí ve směru poloměru r. Naším úkolem je určit závislost proudu a napětí na souřadnici r. Napětí mezi oběma rovnoběžnými deskami je dáno křivkovým integrálem skalárního součinu (£ ds), kde ds je element oblouku křivky. V našem případě bude výhodné provést integraci podél oblouku r.\ (obr. 49), neboť na této dráze je hodnota Ev konstantní. Proto napětí v místě se souřadnicí r je určeno vztahem V,. = /(£,. df) =^ E„ r * (11-297) Dosadíme-li za vztah (11-295), je UF = v:>!tkrx[Cl JL(kr) + C, N,(&•)] (11-298) Při tom jsme nahradili derivaci Besselovy funkce příslušnou hodnotou. Celkový proud procházející deskou určíme z cirkulace intensity magnetického pole po křivce omezující průřez desky (obr. 50). Itr = j(Hz ds) Intensita magnetického pole nezávisí na souřadnicí z, a proto I„.r - H J kde / je šířka desek. Dosadíme-li za Hz výraz (11-296), je I„ = HtCiJ,WTCsN((k)] (11-299) Uvažujme trychtýřové vedení, jehož konec je určen 'souřadnicí r = Ra a počátek r = r0. Napětí a proud na konci označíme t/k a Ik. Konstanty Cx a C, vyjádříme pomoci hodnot Uk a Ik. Na základě rovnic (11-298) a (11-299) platí - K -= UkR,) + C, N„(Ai?o)3 fflý&i po ml se provádí cirkulace i '~ stem vedení Obr. 50. Orientace intensity magnetického pole a proudu v páskovém Trychtýřovém vedení. Vyjádříme-li z těchto dvou rovnic konstanty C, a C„ dostaneme UkRa) mmä - WWW N/ÄÄ,) j1(*är* = 0 Vyjádřímc-li konstantu C2 pomocí konstanty C1 a dosadíme-li do druhé z předcházejících rovnic, dostaneme siny7= 0 Tento výraz se bude rovnat nule, bude-li kde p je celé číslo. P- Potom konstanta přenosu je y ■■ vovat podmínce (II-7) . Odvodili jsme, že konstanta přenosu musí vyho- 1 k"=y°-+r? Vlnové číslo k lze vyjádřit pomocí vlnové délky. Platí totiž, že k - 2tc . Použijeme-li tohoto výrazu, můžeme v předcházející rovnici určit délku vlny podle vzorce 2:r (IIÍ-2) pre Konstanta přenosu y je určena výrazem — , závislým na délce resonátoru a čísluj, a veličina F, jak jsme poznali, závisí jen na geometrickém uspořádán! pláště resonátoru. Je tedy délka vlny 1, na kterou je naladěn resonator, dána vztahem (III-2). Zjistili jsme, že pro kruhový vlnovod je 71= , kde (\nm je mtý kořen Besselow funkce ntého řádu. a Dosadímc-li do (III-2) odvozený výraz za y a bude vlastní délka vlny kruhového dutinového resonátoru s příčnou magnetickou vlnou určena výrazem 2tt (III-3) kde a je poloměr resonátoru l délka resonátoru. V(v)*-(?r 135 Ze vztahu je zřejmé, že dutinový resonator lze naladit na řadu kmitočtů, z nichž každý přísluší určitému uspořádání elektromagnetické vlny. Toto uspořádání je charakteriso-váno indexy m,n a p. Při tom indexy m, n určují vid elektromagnetické viny vlnovodu, Z něhož je dutinový resonator utvořen, a index p značí počet vlnových délek kg v podélném směru dutiny. U dutinového rcsonátoru s obdélníkovým průřezem určíme vlastní délku vlny podle vzorce ; _2~___ '•mnu ' -. i—-—---:---™ (m^Y , (nr:\~ , lp7z\- (III-4) + Při tom jsou rozměry dutinového resonátoru dány výrazy a, b, l. Ve vzorci (III-2) je nutno uvážit vlastnosti konstanty přenosu y. Vzorec v uvedeném tvaru platí jen tehdy, je-li y imaginární. To znamená, že platí, šíří-li se v podélném směru válcového resonátoru elektromagnetická vlna. Ncní-li tento předpoklad splněn, nemůže vzniknout stojaté vlnění resonátoru. Proto musí být průřez válcového resonátoru takový, aby příslušná mezní délka vlny byla větší než délka vlny, na kterou se má resonátor naladit. 32.2 Vlnovodový resonátor s příčnou vlnou elektrickou Intensita elektrického pole je v tomto případě dána vztahem (1-34) Et — — \iúpi. rot II™ kde II™ je Hertzův vektor: II? = = rXCjC'v* + C2e-'rO Na bočních stěnách resonátoru musí být intensita elektrického pole nulová. Proto musí platit pro z = 0 a z — 1, že Et = 0. Dosadímc-li do vztahu pro intensitu elektrického pole Hertzův vektor, vyplývá z této podmínky CL+ gv 0 neboli sin yl = 0. To bude splněno tehdy, bude-li y okrajových podmínek tedy vyplývá T» = sin ~ z -, kde p je celé číslo. Z těchto ÍIII-5) U příčných elektrických vln platí mezi konstantou přenosu y, vlnovým číslem k a konstantou r stejný vztah jako u příčné vlny magnetické. Proto bude platit pro oba případy stejný výraz i pro vlastní délku víny. Potom bude i u příčných vln elektrických dána vlastní délka vlnv vztahem (III-2), tedy Xa *L__ (III-6) Konstantu F ovšem určíme z okrajových podmínek na plášti pro vlnu TE. Pro vlastní délku vlny platí pro kruhový i obdélníkový resonátor rovněž vztahy (III-3) a (III-4). Při tom bude u kruhového resonátoru F = ^2 , kde a.mn je mtý kořen derivace Besselovy rovnice rctého řádu. a 136 33. Dutinové resonátory obecného tvaru Dosud jsme uvažovali dutinové resonátory vlnovodového typu. Odvodíme nyní některé základní vlastnosti dutinového resonátoru obecného tvaru. Protože budeme uvažovat obecný tvar, nemůžeme zavádět Hertzovy vektory. Ty jsme mohli zavést jen za určitých předpokladů, kladených na druh souřadnic. Dokázali jsme, že to byly obecně křivočaré souřadnice, jejichž Laméovy koeficienty měly speciální vlastnosti (viz kap. I). Určíme tedy uspořádání elektromagnetického pole přímo řešením Maxwellových rovnic tot H rot E ■ jttieE Aplikujme operátor rot na druhou Maxwellovu rovnici a dosaďme do ní potom za H příslušný výraz z první Maxwellovy rovnice. Dostaneme rot rot E = k*E (III-7) při čemž k- = oj2/iasu. Řešením rovnice (III-7) s příslušnou okrajovou podmínkou bychom určili rozložení intensity elektrického pole a použitíip druhé Maxwellovy rovnice bychom určili z intensity elektrického pole uspořádání intensity magnetického pole. . Podle Gaussovy věty platí pro libovolný vektor v J'divvdF= f(vdS) r jí Dosaďme do tohoto vztahu za vektot v Umov-Poyntingův vektor [EH*]. Potom je /div [EH*] dV= /([EH*] n) dS r s kde K je v našem případě objem dutinového resonátoru 5 plocha omezující tento obor n normála k této ploše. Za intensitu magnetického pole H* dosaďme z druhé Maxwellovy rovnice výraz + ;— rot E*. Potom bude ]Ct)fl ' fi[EH'\ n)dS » J- i div [£ i \aifi J Divergenci pod objemovým integrálem upravíme takto: div [E rot E*] — — (£ rot rot £*) -f (rot E rot E*) Potom bude ,'-f (E rot rot E*) dV )(>>/.! J (rot E rot £*) dV - i ([EH*] n) d S 137 Za rot rot E* dosaďme na základě rovnice (III-7) výraz k-E, z čehož po úpravě dostaneme /(rot£rot£*)dK f ([EH*] n) dS (III-8) J (EE*) dV /(££*) dV Plošný integrál ve výrazu (III-8) je úměrný výkonu vyzářenému plochou ČT, v našem případě stěnou resonátoru. Jde-li o dokonale vodivou stěnu, je na ní tečná složka intensity elektrického pole nulová, a tedy Umov-Poyntingův vektor ve směru normály ([EH*] n) je také nulový. Potom je f (rot £ rot E *) d V J(EE*)dK (III-9) Vlnové číslo fijj lze vyjádřit pomocí vlnové délky Je proto výrazem (III-9) určena délka vlny dutiny, jejíž objem je V. Z rovnice (III-9) dostaneme po jednoduché úpravě použitím druhé Maxwellovy rovnice výraz f ť(EE*) dV - f /i(HH») dV (111-10) Z této identity vyplývá, že střední hodnota elektrické a magnetické energie v dutinovém resonátoru je stejně velká. Celková energie (elektrická a magnetická) uvnitř resonátoru je tedy dána vztahem W= \ ,/(££*) dV (Ili-U) r neboť střední hodnota energie elektrického pole je H?= \ej{EE*) dKa střední hodnota energie magnetického pole W = \ft f(HH*) dV. v '' Vztahu (II1-9) vyhovuje, přihlčdneme-li k okrajovým podmínkám, řada diskrétních vlastních vlnových čísel k0, které příslušejí vlastním funkcím dutinového resonátoru (jednotlivým vidům).') Uvažujme nyní případ, kdy stěny resonátoru mají konečnou vodivost. Potom nelze zanedbat výkon vyzářený do "stěn. Tento výkon dostaneme integrací Umov-Poyntingova vektoru přes plochu S. Označme jej P,. Potom platí Fr- i jl/ie. Potom bude P. '"'-v, - or = )U) w (111-13) Obr. 55. Náhradní schéma laděného okruhu. Rozložíme rozdíl čtverců na levé straně ml — o>- = (oj0 —* «)(ft) — 0)„) Uvedh jsme, že se kmitočty o a cou vzájemně téměř neliší. Proto lze přibližně předpokládat, že to = ío0. Potom je oj2 — a>l =~ 2oj„(«> — o,,) a dosazením do rovnice (111-13) dostaneme (:> = (i)u j 1 Výraz —- označíme Q a nazveme ho činitelem jakosti dutinového resonátoru. Z rovnice (III-14) vidíme, že úhlový kmitočet je vyjádřen komplexním číslem. Je tedy 1 1 2m„W (III-14) 1 = ío0 U — j 20 (III-I5) kde to je t. zv. komplexní úhlový kmitočet. Pro názornost uvedeme jako obdobu přiklad obyčejného laděného obvodu, složeného z kapacity C, indukčnosti L a odporu R spojených v sérii. Okamžitý proud je dán diferenciální rovnici d=í ďt2"' R di Ldt Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice je v , R ■ , 1 138 139 Z toho Potom je R_ 2L ±1 / LC S l/1 * l/L Je-li ,(l+JS- C,e Výraz co0 11 + j —^ J v exponentu tohoto výrazu vyjadřuje komplexní úhlový kmitočet a je to obdoba výrazu (111-15), neboť a potom kde Q je činitel jakosti obvodu. Výraz lze také vyjádřit pomocí komplexního úhlového kmitočtu : °\1_i2(í/;] Komplexní úhlový kmitočet tu, vyjádřený tímto způsobem, přísluší časové funkci e~Hl se záporným znaménkem v mocniteli. V této části jsme poznali tyto vlastnosti obecného dutinového resonátoru: Elektromagnetické pole v dutinovém resonátoru existuje jen při určitých diskrétních kmitočtech, na které je resonator naladěn; střední hodnota elektrické energie se rovná střední hodnotě magnetické energie; činitel jakosti dutinového resonátoru je pří dokonalém dielektrickém prostředí dán ztrátami v kovovém plášti resonátoru a je určen vzorcem kde W je celková energie dutiny Pt ztrátový výkon v plášti. P, (111-16) 34. Určení činitele jakosti dutinového resonátoru vlnovodového typu 34,1 Resonator s příčnou vlnou magnetickou Činitel jakosti určíme podle vzorce (III-16). Ztrátový výkon PT, vyzářený do stěn resonátoru, je dán plošným integrálem Umov-Poyntingova vektoru přes stěny resonátoru P, = £Ref ([EH*] n) dS 140 V našem případě budeme integrovat jednak přes plášť válcově plochy, kterou označíme óTj, jednak přes příčné stěny (základny) resonátoru S.,. Dosadíme-li za. E a H příslušné složky, dostaneme pro ztrátový výkon v plášti (u vln TM) (111-17) P„ = Re iJE.H? dSi + Re j EtHf 'dS2 kde Et, H t jsou příčné složky (kolmé k ose resonátoru) • \ Ez složka intensity elektrického pole ve směru osy resonátoru Hs tečná složka intensity magnetického pole k průřezové křivce pláště dutiny. Kdyby byly stěny resonátoru dokonale vodivé, byly by složky E. a Et na stěnách resonátoru nulové. Při tom by však měly složka Hs i Hz konečnou velikost. Vodivost skutečných stěn není nekonečná, nýbrž má konečnou velikost, avšak takovou, že na rozhraní dielektrika a vodivé stěny lze použít Leontovičových okrajových podmínek. Fysikální podstata Leontovičových o- č'Ó5t vodivé plochy r krajových podmínek je tato: Na rozhraní dvou prostředí dopadá elektromagnetická rovinná vlna. Předpokládejme, že rozhraní je vytvořeno rovinou a odděluje dvě dielektrika, z nichž jedno má absolutní hodnotu poměrné dielektrické konstanty nesrovnatelně větší než druhé. V tom případě se směr rovinné vlny, šířící se v prostředí s velkou dielektrickou konstantou, nebude příliš odchylovat od směru normály k hraniční rovině, Známe-li na hranici tečnou složku intensity magnetického pole, která je spojitá, můžeme určit tečnou složku intensity elektrického pole v prostředí s velkou dielektrickou konstantou ze vztahu Obr. 56. Uspořádání tečných' složek intensity elektrického a magnetického pote na plášti resomítor-j. = Z„ (111-18) kde Zp je charakteristická impedance prostředí s velkou absolutní dielektrickou konstantou Et tečná složka intensity elektrického pole H. tečná složka intensity magnetického pole k hraniční ploše (obr. 56). Při tom je E, kolmé k H,") -) Šiři-li se rovinná vlna v prostředí I (viz obr. 56) s absolutní hodnotou dielektrické konstanty podstatně menší než v prostředí II, nastane lom elektromagnetické vlny směrem k normále na hraniční plochu. O dokonalém dielektriku je na př. známo, že platí sin n sin V kde ix je úhel dopadu rovinné vlny v prostředí I úhel, který svírá elektromagnetická vlna v prostředí II s normálou. Z uvedeného vztahu vyplývá, že pro fs *> ex bude sin a' <^ 1 To znamení, že při EjJSí ex bude odchylka směru šíření od normály nepatrná. K obdobnému vý- 141 V našem případě známe tečnou složku intensity magnetického pole na plášti resoná-toru. Čím větší bude vodivost stěn resonátoru, tím méně se bude lišit tato tečná složka od tečné složky intensity magnetického pole, která by vznikla, kdyby byly stěny resonátoru dokonale vodivé. U dutinových resonátoru jsou stěny natolik vodivé, že lze s dostatečnou přesností předpokládat, že bude uspořádání intensity magnetického pole stejné jako v ideálním případě. Potom určíme velikost tečné intensity elektrického pole ze vztahu (111-18) Et = ZPH, kde Z,, je charakteristická impedance vodivého prostředí. Charakteristickou impedanci rovinné vlny ve volném prostoru s dielektrickou konstantou s, permeabilitou /i a vodivostí a určíme ze vzorce ty + jcue V prostředí s velkou vodivostí je tok nesrovnatelně menší než a, a proto je / 2r7 (1 + 1) (III-19) Vyjádříme-li složky E, a E, pomocí charakteristické impedance (111-19) a intensity magnetického pole Hs a H„ dostaneme E. = H, E. = H, 2a (1 + i) Dosaďme tyto výrazy do rovnice (111-17). Potom bude ztrátový výkon v plášti vyjádřen výrazem 20) Složka intensity magnetického pole ve směru tečny průřezové křivky pláště resonátoru (obr. 57) je vyjádřena stejně jako složka intensity magnetického pole ve směru tečny průřezové křivky pláště vlnovodu. U elektromagnetické vlny vidu TM je dána vzorcem (11-49.1). Je tedy jcoeoT"*-^ (111-21) sledfcu bychom dospěli, kdyby prostředí II mělo komplexní dielektrickou konstantu velké absolútni hodnoty. Protože se směr šíření elektromagnetické vlny v prostředí II málo liši od směru normály, můžeme hraniční plochu považovat za ekvifázovou. V tom případě bude tečná složka intensity elektrického pole v prostředí II kolmá na směr šířeni Cjeji vektor bude ležet na hraniční ploše) a kolmá k vektoru intensity magnetického pole. Mezi uvedenými složkami elektromagnetického pole platí na rozhraní obou prostředí vztah (111-18), který cdvodil a přesně matematicky odůvodnil sovětský vědec M. A. Leontovič. Vztahem (111-18) jsou definovány Lcontovičovv okrajové podmínky. I Složku intensity magnetického pole v příčném směru (kolmém k ose vlnovodu) u vlny TM určíme z rovnice (1-35), kde fll = TZTZ H, => joworjgrad 2>] .- (111-22) Obr. 57. Orientace intensity magnetického pole na plášti resonátoru. Dosaďme vztahy (111-21) a (111-22) do rovnice (111-20). Dostaneme Na základě rovnice (11-46.1) platí /"(grád T^dS = r-JTfdS Proto je P, - íW^/ff TtT* dSl - wJ/^^/tIW dS2 (111-23) Při tom 7*3 u dutinového resonátoru vlnovodového typu, jak jsme odvodili v čl. 32, je r» = cos - - z Protože plocha 5;, je plocha základen válcového resonátoru, bude mít funkce T., v místě základen hodnotu, která přísluší souřadnicím z — 0 a z = l. Dosadíme-li tyto souřadnice do r2, bude t, = 1 Tuto hodnotu bude mít funkce 7*., ve výrazu (111-23) za integrálem /. Celkovou energii resonátoru určíme z energie magnetického pole. Proto bude pro celkovou energii resonátoru platit kde V je objem resonátoru. Vzhledem k tomu, že Ht = jrMe„7"3[grad T}s], je ,- X KojegY^r-lfTldS pro 1, 2, 3, .. W - ty^yt ÍL« i J |grad Ttf T2T* dS dz( ^m^p^íJTfůS pro p=0 (111-24) 142 143 neboť J]grad Tt\2 dS = f2JT\ dS S s ! S I Jt2T* &z= Jt{ dz== Jcos*^zdz=jl pro 1,2,3,... (I o o a ! 1 Jr-dz= jcos°-^zdz=l pro p=0 o o kde / je délka resonátoru? Známe-li ztrátový výkon v plášti resonátoru, určený vztahem (II1-23) a celkovou energii resonátoru, určenou vztahem (111-21), určíme činitel jakosti dutinového resonátoru podle rovnice (III-16). Je tedy p/ijn} nás _ (tiW s pro ŕ = 1, 2, 3,. cd/to f 7f dčľ (111-25) l/žhí(§)'*+**/H pro ? — 0 (111-26) kde í je křivka omezující průřez válcové plochy resonátoru 5 plocha průřezu resonátoru / délka resonátoru 7\ příčná funkce resonátoru. Vzorci (II1-25) a (111-26) je určen činitel jakosti dutinového resonátoru vlnovodového typu s vlnou TM, známe-li uspořádání elektromagnetického pole ve vlnovodu (funkci Tv konstantu F). 34.2 Resonátor s příčnou vlnou elektrickou U příční elektrické vlny má intensita magnetického pole příčnou složku kolmou k ose a podélnou složku ve směru osy. Tečná složka intensity magnetického pole (ve směru tečny průřezové křivky) způsobí vodivý proud v plášti v podélném směru. Tento proud je podmíněn existencí intensity elektrického pole v podélném směru. Podobně intensita magnetického pole způsobí proud v tečném směru, který je při konečné vodivosti pláště 144 I resonátoru podmíněn existencí intensity elektrického pole v tečném směru. Proto bude dán Umov-Poyntingův vektor, vyzářený do stěn resonátoru, výrazem: P= iReJ([EH] n) dS = JRe fE.Hf dSL + £ReJ"ESH* dSL + Rej"EtH* dS2 *> "■ , s' (111-27) kde E. je intensita elektrického pole ve směru osy z . '„ Hs složka intensity magnetického pole ve směru tečny obvodové křivky pláště Es složka intensity elektrického pole ve směru tečny obvodové křivky Hz intensita magnetického pole ve směru osy resonátoru E t a H, složky intensity elektrického a magnetického pole v rovině kolmé k z, Vyjádříme-li intensitu elektrického pole E., Es a Et na základě Lcontovičových okrajových podmínek pomocí příslušných složek intensity magnetického pole, dostaneme -V ft>/í 2Íy (i + j) kde Z0 je charakteristická impedance vodivých stěn resonátoru. Se zřetelem na tyto vztahy upravíme výraz (111-27) takto: °~(~ j HsHf dS, + y f HM dčľ, + J HtHf dS.j (111-28) s, S, .1, Nyní provedeme výpočet jednotlivých, integrálů na pravé straně rovnice (111-28): Intensita magnetického pole u přjčných elektrických vln je určena vzorcem (T-34); proto je Hs - grad, divn° = ^ grad, T, Složku intensity magnetického pole ve směru tečny průřezové křivky určíme jako skalární součin (Hjs), kde s je jednotkový vektor ve směru tečny Hä=(HíS) i T., cz (grad, Ti s) ■- cT\dT\ cz ds 3T Ptz kde -gl je derivace funkce T, ve směru oblouku průřezové křivky. Protože T„ — sin -Tz OS I 8T. pit ct: [viz rovnici (III-6)] a -~ — ~- cos -j- z, je H, pit pTZ čT, —- cos —r z —— / / ds Proto je mm* (111-29) Číslo p musí být u vlny TE vždy větší než 0. Případ, kdy p = 0, není možný, neboť by nemohly být splněny okrajové podmínky na základnách resonátoru. Kdyby bylo p = 0, musila by být intensita elektrického pole Et nezávislá na souřadnici z a byla by také konstantní na základnách, což není při dokonale vodivých stěnách možné. 1« • Mklailj- leulmiky 145 Druhý integrál na pravé straně rovnice (111-28) má tvar JH,Hf áS^ Složka intensity magnetického pole Hz je dána vzorcem (1-36) kde u dutinového resonátoru Tä = sin — z. Potom je i J HJÍf dSí = P* J J Tlúrf^-zdzds^rijJ T=di (111-30) st Oj t kde s je krivka, omezující průřez válec dutiny. Třetí integrál JHtHf dS,_ = J(^)"|grad T0 dS, neboi H, = grad, div ľl? = ^| gradř Tx Podélná funkce je T2 = sin & z, a tedy = —" cos ~ z. V místě plochy S2 (na základnách) je z = 0 a z 1. Potom v místě plochy S., jc - cz ~ l Proto JHtH* dS, = (yj J.grad 7^ dSs - (t)^/ rí dS< (III"31) neboř / graduj2 dSs = ľ'1 J Ti dS, Celkovou energii dutinového resonátoru s vlnou typu TE vyjádříme pomocí energie elektrického pole En W= t| / EtEfdV Intensita elektrického pole u vlny TE je dána vzorcem (1-34) Es = — jw/iu rotf n^1 = — j(o/íň[grad TT.z) = — jw/^r^gradi J^z] Potom i = y JEČ* dV = ^arfqj JV^grad T$ dz dl 146 Dosadíme-li za T% výraz sin ~ , dostaneme po úpravě W (111-32) Dosaďme vztahy (111-29), (111-30) a (111-31) do rovnice (111-28). Potom bude ztrátový výkon ve stěnách resonátoru vyjádřen výrazem S 3 Sí Jt . 0>W . vy,-- Činitel jakosti je Q — . Dosadíme-li do tohoto výrazu za J°a předešlý výraz a za W výraz (111-32), dostaneme tů^k* f TI dS2 (111-33) kde 5 je plocha průřezu pláště resonátoru i obrysová křivka průřezu pláště resonátoru / délka dutinového resonátoru p index, určující vlastnosti elektromagnetické vlny v podélném směru u psrmeabilita vodivého prostředí J\ příčná funkce resonátoru a vodivost pláště. Tímto vzorcem je určen činitel jakosti dutinového vlnovodového resonátoru s vlnou TE. Při tom k-= &jitfíj) je vlnové číslo. 35. Některé speciální dutinové resonátory vlnovodového typu 35,1 Válcové resonátory s kruhovým průřezem Uspořádání elektromagnetického pole válcového resonátoru (obr. 58) je stejné jako ve vlnovodu. Místo funkce 7*a = je třeba v tomto případě dosadit funkci nebo T% ~ cos — z (pro vlny TM) p— T,z = sin -y z (pro vlny TE) Činitele jakosti ktuhového resonátoru určíme u vln TM podle vzorců (111-25) nebo (111-26). Pro funkci Tj jsme odvodili u kruhového vlnovodu výraz 3*i = lÁPr) cos n

„(/>) r drl Podle Lommelova integrálu platí 1 Wr) r dr = - [j^Ts) - Li:(ľa) 1,-jra)] TJ kruhového vlnovodu platí pro vlnu TM okrajová podmínka Proto, dosadíme-li za Ja4..(ra) a J„_.(/"i<"; derivace Besselových funkcí, dostaneme Potom je Q = ■0>,«n JÍĚT&) j^rord^-^ora) pro p 4= 0 (111-341 148 Bude-Iip — 0, provedeme výpočet podle rovnice (111-26). Postup výpočtu bude obdobný. Dostaneme OtfJLffi pro p = .0 (111-35) V rovnicích (ÍII-34) a (111-35) jetw vlastní uhlový kmitočet dutiny. Tento kmitočet určíme u kruhového dutinového resonátoru z vlastní délky vlny dutinového resonátoru [výraz (II1-3)]. V tomto výrazu jsou implicitně zahrnuty indexy íb, n, p, určující vid kmitaní. Činitele jakosti válcového dutinového resonátoru, pracujícího s vlnou TE, určíme podle vzorce (111-33). Dosadímc-li v tomto vzorci za 7\ příslušnou funkci Jn(Tr) cos nf, dostaneme pro Q vztah - (UI-36) la [0Mi&. 4- {Vdf p 4- 1ýr?cPÍ-^& — »-)] Při návrhu dutinových resonátoru musíme dbát toho, aby při daných rozměrech ne-resonoval dutinový resonator současně při několika videch. Abychom mohli po této stránce posoudit vlastnosti resonátoru; sestrojíme závislost výrazu (JD)2 na | —| . Při tom je / kmitočet, D průměr válce a / délka resonátoru. Pro vlastní kmitočet válcové dutiny jsme odvodili r i l/M, iPÁ1 Umocníme-li tento výraz a současně ho násobíme výrazem 4d!, dostaneme mm - i Protože 2a — D, kde D je průměr, a vztah upravit takto: 1 c-, kde c je rychlost šíření, lze předešlý (111-37) D Z tohoto vztahu vyplývá, že závislost (/D)3 na [—J je lineární (obr. 59). Vyjádříme tuto závislost graficky proviny TEaTM [přitom je x.llm pro TM tntý kořen rovnice JJ^Ta) = = 0 a pro TE f»tý kořen rovnice J„(/a) = 0]. Z křivek je vidět, pro které délky 7 při daném průměru D a kmitočtu / může nastat resonance při dvou videch současně. Prakticky sc to projeví tím, že se podstatně zmenší činitel jakosti resonátoru a při přelaďování se objeví t. zv. „díry". Z kruhových resonátoru používáme nejčastěji resonátoru, který pracuje s vídem TE011. Abychom mohli posoudit přednosti tohoto vidu, odvodíme nejdříve uspořádání intensity 149 25-10 WW 15-V elektrického a magnetického pole. Odvodili jsme, že Hertzův vektor 77™ je určen u vidu TE0U vztahem ÍJ*= C U/V) sin ^ z Intensitu magnetického pole určíme ze vzorce (1-36) h = + grád div n™ Dosadíme-li za 77™ príslušný výraz, je 7T/í 1 a,/ /- lýr á/ / / r/ y/ 77. = T277ľ 77r= C j Jó(7r) cos ~ 7Í„=0 V £ T _ p u a tu —(ff Obr. 59. Závislost veličiny (/D)2 na poměru f — 1 pro různé vidy válcového resonátoru. Oir. c70. Orientace proudu a intensity magnetického pole válcového dutinového resenátoru vidu TEnu. Podélná složka intensity magnetického pole vyvolá proud tekoucí ve směru tečny ke křivce, omezující průřez pláště (obr. 60). Intensita magnetického pole H,„ způsobuje povrchový proud, tekoucí v podélném směru. Protože je H,f — 0, bude i povrchový proud, tekoucí v podélném směru, nulový. Aby se resonátor mohl plynule ladit, provádí se zadní stěna resonátoru pohyblivá. Protože mechanický styk mezi pohyblivou stěnou a pláštěm resonátoru nemůže být ideálně vodivý, nemůže být činitel jakosti takových resonátoru příliš velký. U vidu TEDU neteče však v podélném směru proud a pohyblivá stěna nemusí být mechanicky spojena s pláštěm. Pak lze provést pohyblivou stěnu podle obr. 61. I pohycítvý píst Obr. 61. Příčný a podélný řez dutinovým resonátorem s pístem. Takových resonátoru se skutečně používá jako absorpčních vlnoměrů. Jejích činitel jakosti je velmi velký. ■ Činitel jakosti resonátoru s indexem TE01l určíme ze vzorce (111-36) tak, že dosadíme za n = 0 a za £ = 1» Potom dostaneme + r:a i 0Mo l (111-38) kde je «ol = 3,8 o> je vlastní úhlový kmitočet dutiny /< permeabilita pláště a vodivost pláště á poloměr resonátoru / délka resonátoru 3S.2 Souosý resonátor TJ souosého resonátoru (obr. 62) budou způsobeny ztráty na vnějším plášti, na vnitřním x Okr. 62. Řez souosým dutinovým resonátorem. vodiči a na bočních stěnách. Ztrátový výkon určíme opět jako výkon vyzářený do stěn resonátoru. Bude tedy s použitím Leontovičových okrajových podmínek 11/ ŮS Intensita magnetického pole v souosém vodiči je určena vztahem (11-102). V tomto vztahu je však třeba nahradit funkci e-1*"2 funkcí cos^y- z (obdobně jako u vlny TM). Je tedy a ztrátový výkon 1 pr. H7 = — jojfC — cos mí (ojí')2C24cos3^^d5 150 151 Plochu čľ, po níž integrujeme, rozdělíme na povrch vnějšího pláště, vrdtřního vodiče a na dvě základny. Proto, je-li Pzl ztrátový výkon vnějšího pláště, *.=í|/f ** c' tí í'M «•* °" r,fc o o kde R0 je poloměr vnějšího pláště / délka resonátoru. Obdobně platí pro vnitřní vodič, označíme-li jeho ztráty P,2, kde r0 je poloměr vnitřního vodiče. Ztrátový výkon na bočních stěnách určíme jako výkon vyzářený mezikružím vmtíního poloměru r0 a vnějšího poloměru Ra. Označíme-li tento ztrátový výkon P,s, je tedy (oje)" C2 — rár dep I 2a rB I- l Celkovou energii určíme z energie magnetického pole Rn l ~K W=^JHlfH*dV^^(.msycj J j-cos-^-zrdfpdrdz- r, 0 0 j«0 (tys)3 Ctt/ ln -2 r,) Činitele jakosti určíme ze vzorce (III-16). Bude tedy kde P,= Plt + Pl2 -I- Pl3. Po dosazení za W, P=1, Pt2 a P,3 právě odvozených vztahů dostaneme 2- íAo^C-Wln^ 2 r0 c- 2 ot/iaR0 ln (111-39) 152 35.3 Obdélníkový resonátor Činitele jakosti určíme podle (111-25) nebo (111-33). Příčná funkce Tx je dána stejným výrazem jako u vlnovodu ,í i . m-Tz . n~ T, = srn — x srn —- y 1 a b Určíme jednotlivé integrály ve výrazu (111-25). Integrál mr ds budeme integrovat po obvodu průřezového obdélníku, tedy po stranách daných rovnicemi y = 0, x — a, y = b, x — 0. Při tom musíme uvážit směr normály '■ 8T, ST, dT, —k — ^r2 pro x = a, —s ľ- v dn c'x ÔTX Sn By PI° y=°> & Sx dT1 pro x = b pro y — b a dostaneme tedy cos--a sm- — y da; -í s 0 0 O Ď Výraz je derivace funkce Ti podle normály, a je tedy třeba v tomto případě odlišit normálu od indexu n určujícího vid. Integrál Jľj dS budeme integrovat přes průřez obdélníku 1 o J T\ dS = J jsin'J ^ x sin2 |í j tk dj^ = ab Dosadímc-li odvozené integrály do výrazu (111-25) a uvážíme-li, že u obdélníkového vlnovodu je ľ'2 = |~ j' + j > bude činitel jakosti dutinového resonátoru s obdél- (111-40) I7Í (f (Ml 153 kde a je jedna strana obdélníku b druhá strana obdélníku / délka resonátoru m, n čísla určující vid. Činitele jakosti dutinového resonátoru s příčnou elektrickou vlnou bychom určili z rovnice (IH-33). Nebudeme jej odvozovat, neboť u jednoduchých vidů, kterých se v praxi nejčastěji používá, určíme činitele j akosti ze vzorce pro TM, tedy ze vzorce (111-40). Obr. 63. Příčný a podélný ráz obdélníkovým dutinovým resonátorem. Tyto vidy se musí charakterisovat takovou skupinou indexů m, n, p, z nichž jeden se rovná nule. V tomto případě lze totiž považovat dutinový resonator pracující s příčnou elektrickou vlnou za dutinový resonator pracující s příčnou vlnou magnetickou. Avšak indexy, charakterisující vid, příslušejí v tomto případě jiným rozměrům, než jak tomu bylo při určování vlny TE. Záměnu vlny TE za vlnu TM lze provést proto, že všechny složky jsou vyjádřeny trigonometrickými funkcemi a ve všech třech hlavních směrech vzniká stojaté vlnění. Tak na př. dutinový resonator s vlnou TEItlI, kde se první index vztahuje k rozměru a (viz obr. 63), druhý k rozměru b a třetí k rozměru /, můžeme uvažovat také tak, jako by pracoval s vlnou TMU0, avšak první index se vztahuje k rozměru a, druhý k rozměru l a třetí k rozměru b. Zde je činitel jakosti dán vzorcem (II1-40), dosa-díme-li do tohoto vzorce za b — l a za / = b. Potom je Oifty, QllO TM S O101 = 1 "(K + (if (H (111-41) Je-li a = l, je Ôioi — T Ľ ab a+-b (111-42) 2a kde a, b jsou rozměry obdélníku (průřezu) resonátoru / délka resonátoru íí permeabilita stěn resonátoru a vodivost stěn resonátoru. Důkaz, že vlna TEW1 má stejné uspořádání složek jako vlna TM110, provedl by se porovnáním složek intensity elektrického a magnetického pole vlny TM a TE, při čemž bychom museli uvážit rozdílnost označení souřadnic. 36. Přibližné methody výpočtu vlastní délky vlny a činitele jakosti dutinových resonátoru v předcházejícím článku jsme určovali vlastní délku vlny a činitele jakosti dutinových resonátoru jednoduchých geometrických tvarů. Tyto tvary byly takové, že jsme mohli zavést takové orthogonální souřadnice, aby plocha omezující dutinu mohla být vyjádřena jednoduchými vztahy, takže jsme mohli jednoduše splnit okrajovou podmínku nutnou pro jednoznačné vyřešení vlnové rovnice Hertzova vektoru. ,', ; V praxi se však častěji setkáme s takovými tvary dutinových resonátoru, jejichž elektromagnetické pole nelze jednoduše určit. Při výpočtu takových resonátoru musíme použít přibližných method. Uvedeme tři takové methody: methodu kvasistacionáraiho pole, methodu „sešívání dutin" a methodu poruchovou. 36.1 Kvasistacionární methoda h> .':.?o 2 —j.. i_______i 1 9" / Tato methoda je ze všech uvedených method nejméně přesná. Je založena na principu, že pole v dutinách, jejichž rozměry jsou podstatně menší než délka vlny, lze pokládat za soustředěné, to znamená, že jeho průběh v oboru dutiny je přibližně konstantní. Za těchto okolností lze převést problém vlastní délky, dutiny na problém se soustředěnými veličinami (kapacitou a indukčností). Předvedeme tuto methodu na dvou jednoduchých příkladech. Určíme vlastní délku vlny a činitele jakosti toroidního resonátoru a vlastní délku vlny a činitele jakosti jedné dutiny anodového bloku magnetronu. Toroidního resonátoru používáme jako dutinového resonátoru klystronu. Jeho jednoduchý tvar znázorňuje obr. 64. Kdybychom určili průběh elektromagnetického pole některou přesnější mediodou (na př. methodou „sešívání dutin"), zjistili bychom, že téměř celá energie elektromagnetického pole bude soustředěna v prostoru 1 a převládající část energie magnetického pole v prostoru 2. Tato vlastnost je podstatou kvasistacionární methody. Čím budou rozměry Rn a h menší než délka vlny dutiny, tím bude methoda presnej ší. Při řešení vlastní délky vlny kvasistacionární methodou použijeme Maxwellových rovnic v integrálním tvaru. Rovnice vyjádříme takto: "1 / t r hi---1-\ \ \ t ,__ 1 i I Jí /. Obr. 64. Toroidrti dutinový resonator. 154 155 J (E ds) = — }co0 = — )a>pt0j (H dS) s, s, /(H ds) - % (111-43) (111-44) Zde í> je celkový magnetický tok, protékající plochou Sj omezenou uzavřenou křivkou sz Ia celkový proud, vodivý i posuvný, protékající plochou omezenou uzavřenou křivkou ja. V našem prípade budou silové čáry magnetického pole souosé kružnice se středem na ose dutinového resonátoru. Tyto křivky budou protínat kolmo průřez dutiny, znázorněný na obr. 64 (kolmo k nákresně). Magnetický tok bude protékat tímto průřezem. Zvolíme proto křivku tak, jak znázorňuje obr. 64. Za křivku sa zvolíme kružnice, tvořící magnetické silové čáry. Příspěvek k cirkulaci j(E ds) na části křivky, která leží v kovovém plášti dutiny, je nu- í lový, neboť na kovovém plášti je intensita elektrického pole nulová. Intensita elektrického pole má určitou velikost jen na části křivky ím která leží v prostoru 1. Proto je f(E ds) = E.á (III-43.I) kde Ex je intensita elektrického pole v prostoru 1 (v místě kondensátoru). Celkový proud 7„ ve výrazu (111-44) je způsoben posuvným proudem, tekoucím v místě kondensátoru. Tento celkový posuvný proud se skládá ze dvou složek. Jedna složka, kterou označíme /0l, přísluší posuvnému proudu protékajícímu kruhovými deskami kondensátoru, druhá složka přísluší rozptylovému posuvnému proudu (obr. 65). Je-li poloměr kruhových desek, tvořících kondensátor, r„, je posuvný proud 70l dán vztahem (111-45) Rozptylový posuvný proud je vytvořen elektrickým rozptylovým polem. Intensita elektrického rozptylového pole musí být kolmá k vodivé části resonátoru; v našem případě k válci s poloměrem r0. Průběh silových čar tohoto pole neznáme. Avšak v prvním přiblížení lze předpokládat, že sílové čáry jsou tvořeny kružnicemi, jejichž střed je ve středu vzdálenosti mezi kondensátorovými deskami (viz obr. 65). magnetický tok posuvný proud . rozptylovýposuvný proud Obr. 65. Uspořádání intensity elektrického a magnetického pole v dutinovém resonátoru. Rozdíl potenciálů mezi obecnými body A, B, ležícími na silové čáře, bude pro všechny silové čáry konstantní a bude stejný jako rozdíl potenciálů mezi kondensátorovými deskami. To však platí u popisovaného resonátoru jen tehdy, je-li vzdálenost mezi body A a B řádově menší než obvod osového průřezu resonátoru. Označme tento rozdíl potenciálů U. 156 Protože v našem případě je intensita elektrického pole na silové čáře konstantní, lze psát b J(E ds) = tzqE = U - . neboť délka silové čáry se rovná půlkružnici s poloměrem o. Při tom U je napětí v místě kondensátoru. Je tedy t/= Etd Potom intensita elektrického pole, která přísluší silové čáře s poloměrem g, je dána vztahem h Celkový posuvný rozptylový proud vtéká do válcové plochy poloměru r„ a výšky — . Intensita elektrického pole E je funkcí poloměru q, t. j. funkcí polohy na válcové ploše. Dostaneme tedy celkový posuvný proud integrací elementárních posuvných proudů po válcové ploše. Je tedy icoe0jl E 2r:ra do = }cue0 J~~ 27trc do Po integraci dostaneme J,2 = ](.vF.lsEyd 2r0 ln • (111-46) Celkový posuvný proud je dán součtem proudů 70l a podle rovnice (111-45) a (111-46) h = I* + /« = (l + ~ ~ ln - j) (111-47) Tím jsme určili celkový posuvný proud, uvedený v rovnici (IIT44). Cirkulaci ve výrazu (111-44) provedeme po silové čáře magnetického pole. Tato silová čára je soustředná ktužnice s obecným poloměrem r. Je tedy 2~.rH,, = jme^E. 2d h --In — (111-48) Označme pro jednoduchost efektivní plochu, jíž protéká posuvný proud, znakem S. Potom bude 5= 7ti 1 I - ~ ln -\ (111-49) 2ľtr (111-50) Takto je určena intensita magnetického pole v obecném místě, určeném poloměrem r. Známc-li intensitu magnetického pole, lze určit celkový magnetický tok, protékající 157 toroidním resonátorem, integrací intensity H9 přes průřez 5^ Dosaďme odvozený výraz pro Hv do rovnice (111-43). Potom se zřetelem na rovnici (111-43.1) dostaneme *. E.d=k?E.^- \-hár= iKE^-ito^S kde k je vlnové číslo j& = . Z uvedeného vztahu určíme délku vlny /.. Po jednoduché úpravě dostaneme A=.r0|/T(l+---ln7)ln^ (III-.l) Tímto vzorcem je dána vlastní délka vlny dutinového resonátoru a je nejdelší z možných délek vln. Ostatní délky vlny, při nichž může dutina rcsonovat, nelze touto meťhodou určit. Určíme je jinou přesnější methodou, při níž přihlížíme k vyšším vidům elektromagnetického pole v dutině. Činitele jakosti tohoto dutinového resonátoru určíme podle známého vzorce kde W je celková energie dutiny P, ztrátový výkon, vyzářený do stěn resonátoru. Celkovou energii elektromagnetického pole určíme z energie magnetického pole (elektrická energie dutiny se rovná magnetické energii dutiny) podle vzorce W=?jJ (HH*) dV ř Dosadímc-li do tohoto vztahu za H výraz (111-50), dostaneme pro celkovou energii lF=^(We)s • {01 J 7* 2-rhdr == (111-52) Celkový výkon vyzářený do stěn resonátoru určíme integrací Umov-Poyntingova vektoru přes stěny resonátoru. Je tedy Pt = i ReJ"([EH*] n) dS Vztah mezi intensitou elektrického a magnetického pole na stěnách resonátoru je určen Leontovičovými okrajovými podmínkami Ztrátový výkon pak určíme ze vztahu íř*dS Při tom plocha 5 je plocha, která omezuje dutinu. Tato plocha'se skládá z válcové plochy s poloměrem r0 a výškou k (vzdálenost mezi kondensátorovými deskami d zanedbáme proti h), z válcové plochy poloměru Ra a výšky A a ze dvou mezikruhových ploch s poloměry r„ a R0. Ztráty ve válcové ploše poloměru rB označíme Pa a ztráty ve válcové ploše poloměru A'0 označíme Ptí. Potom bude OJ/li 2Í (ft)£)2 E\ Obdobně určíme ztráty Pl2: (1-0 Ztráty v mezikruhových deskách určím-; integrací Umov-Poyntingova vektoru přes mezikruhovou plochu s poloměry ra a sR0: Dosadíme-li odvozené výrazy do vztahu pro činitele jakosti, dostaneme 8 ř? 2-Aln^ (1) 1 2tT aVo m — (111-53) T X V tomto vzorci určíme úhlový kmitočet« z výrazu pro vlastní délku vlny (111-51): Jak jsme již uvedli, jsou výsledky v předcházející části tím přesnější, čím menší jsou rozměry dutiny v porovnání s délkou vlny. Je-li však rozměr R0 stejného řádu s délkou vlny, nelze předešlých výsledků použít. V tomto případě nebude intensita magnetického pole určena vzorcem (111-50) a intensita elektrického pole nebude soustředěna jen v kondensátorové části, nýbrž po celé dutině. Výsledky budou přesnější, budcme-li uvažovat dutinu jako radiální vedení, zakončené kapacitou. Náhradní schéma takového dutinového resonátoru je na obr. 66. náhracni schému Obr. 66. Náhradní zapojení toroidního resonátoru. 158 159 Pro celkový posuvný proud, tekoucí kapacitou, jsme odvodili vztah (111-47). Je-li mezi deskami kondensátoru napětí U, je intensita pole v místě kondensátoru dána výrazem E = E 1 d Dosadíme-li tento výraz do rovnice (111-47), dostaneme r • U l/i , 2 d , h\ /^^-^l + ^-ln^j Vyraz izrí I1 4- — — ln — | jsme nazvali efektivní plochou, jíž protéká posuvný proud, \ ~. ra d j a označili jsme jej S. Potom je I. a z toho U_ _d_ Poměr napětí a posuvného proudu určuje impedanci kondensátoru. Je-li kapacita kondensátoru C, musí se tato impedance rovnat výrazu U J_ Z porovnání obou předcházejících výrazů vyplývá, že kapacita Pro vstupní impedanci radiálního vedení nakrátko jsme odvodili vzorec (11-156). V našem případe je ■ u c 2~r„ ■' a ta (kre, kR„) kde Ž*., je vstupní impedance radiálního vedení v místě s poloměrem ra, je-li vzdálenost mczikruhových desek h, K této impedanci je připojena paralelně impedance kondensátoru. Označíme-li celkovou impedanci Z,,, je potom i . r .tm y ,«„ tn (&■„, Afi„) 1/~ faoC tn (Ärc. ŔjRo) — 27tru 1 /i»0 I'' í A tn (kra, kR0) Uvažovaný obvod bude v resonanci, bude-li čitatel předcházejícího výrazu nulový, neboť impedance Z bude při tom nekonečná. Bude tedy & hmC tn (kres kRa) — 2^ = 0 160 2tzc Při tom je m — 2tt/= -~ (c je rychlost šíření elektromagnetické vlny ve volném pro- storu) a k — -r-. Je tedy Z toho je * A lp C tn (Ar„, Aic0) — 27tr0■= Ó tn (Tr<"TÄ-)= Kapacita kondensátoru C je dána výrazem C = kde S je efektivní plocha kondensátoru. Potom je Protože e„ 1/^ = |/6(j^u = I, je 2tt: 2tc \_ý.j-0cř Předcházející vztah upravíme ještě takto: ct (hr0, kRa) Sh (111-54) kde ct (kr0, kRa) je malá radiální kotangenta. Předcházející vztah představuje transcendentní rovnici vzhledem ke A a budeme ji řešit graficky. Při grafickém řešení použijeme křivek na str. 81. Jsou-li dány rozměry resonátoru Ra, r„, výška h a vzdálenost mezi kondensátorovými deskami d, postupujeme při grafickém řešení takto: Určíme hodnotu R Sh poměru —^ a velikost -—--•. Tento výraz, jak je vidět ze vztahu (UI-54), musí fSj ZTzrnd{ku ~rn) se rovnat výrazu ct (ferUJ kR0) K poměru —■ určíme příslušnou křivku na obr. 26a, b. K známé pořadnici ~ttÍt~^~~c určíme hodnotu výrazu k(R6 — Z této hodnoty 2tc určíme vlnové číslo k — —, a tedy i A, neboť známe velikost (Ra — r„). Ä Jako příklad uvedeme výpočet vlastní délky vlny toroidního resonátoru s rozměry R0 = I cm , ra = 0,25 cm , k = 0,2 cm, d — 0,02 cm . 1 I - Zikliiily techniky 161 Poměr — = 4. Potom je r0 Sh = 2,5 Této hodnotě odpovídá podle křivek na obr. 26a, b velikost pro pořadnici ^o-0= 0,9 Z toho 0,9 Jako druhý příklad kvasistacionární methody provedeme výpočet jedné dutiny anodového bloku magnetronu (obr. 67). Ořir. 67. Část duciny magnetronu. Budeme uvažovat magnetron na bočních stěnách neomezený. V tom případě se bude dutina skládat z páskového vedení (část 1) a z válcové dutiny (část 2). Při tom budou všechny rozměry podstatně menší než délka vlny. Tento předpoklad opravňuje použít s dostatečnou přesností kvasistacionární methody. Elektrické pole ve štěrbině budeme pokládat za homogenní a magnetické pole ve válcové dutině za konstantní. Na základě Maxwellových rovnic, vyjádřených v integrálním tvaru, platí, f{E ds) = — itoftt J*(H dS) (111-55) f (H ds) = jwenf (E dS) + f (J dS) kde ľ (H ds) je magnetomotorická síla j (£ ds) elektromotorická síla (111-56) jcofio J(E dS) celkový posuvný proud tekoucí plochou 5 3 j (J dS) celkový vodivý proud r }ci>i.i0 j (H dS) časová změna magnetického toku. Aplikujme tyto vztahy na pole v naší dutině. Označme plochu průřezu válcové dutiny a obdélníkovou plochu, jejíž jeden rozměr prochází středem štěrbiny od kathody k válcové ploše a druhý rozměr je dán hloubkou magnetronu označme S.,. Proveďme integraci, uvedenou v rovnici (111-55), přes plochu S,. V tomto případě bude obrysová křivka této plochy kružnice sl (obr. 68). Obr. OS. Postranní válcová dutina magnetronu. Obr. 69. Postranní válcová dutina magnetronu se štěrbinou. Protože na všech částech povrchu válcové dutiny je tečná složka intensity elektrického pole nulová, přejde integrál po uzavřené křivce j (E ds) v křivkový integrál, který se pro- vede po rovné dráze, odpovídající šířce štěrbiny. Je tedy se vztahuje na společné plochy sousedních dílčích dutin, obecně na dutiny Fť a F,-. Protože plochy čľ,7 a SH jsou totožné (viz obr. 74), s opačnými směry normál, lze psát /([^jHf] n) dS +/([E;H;] n) dS = J"{([E.Hf] n) - ([E,-H*] n)} dS Žil "H % Kdybychom znali presné rozdělení pole v dutině resonátoru, rovnal by se integrál / nule, neboť na celé ploše by platilo identicky, že EĹ = Es a = Hs. i.. Dosadíme-li vztahy (111-70), (111-71) do rovnice (111-69) a uvážíme-li (111-68), dostaneme f J{([£fHf] n) -([E,-H*] n)} dS =. 0 (ÍII-72) Tento vztah bude tím spíše splněn, budou-li jednotlivé členy předcházejícího součru nulové. Bude-li tedy platit, že na každé ploše je fitôrWtä—É&B n)] dS}= 0 (111-73) Při tom intensita elektrického a magnetického pole £, a HL přísluší dutině označené indexem i. Intensity pole Ei a určíme řešením Maxwellových rovm'c pro dílčí dutinu, neboť tato dutina má jednoduchý geometrický tvar. Totéž platí o složkách E, a Hs. Podaří-li se vyjádřit na rozhraní dílčích dutin E, a Ej tak, aby platilo identicky pro celý průřez E; = E,-, bude podmínka (111-73) vyjádřena takto: . /{[EíCHÍ - H?)] n] dS=Ö Obdobně, lze-li pokládat H; / Hj, je mm EJ] n} dS = 0 (111-74) (111-75) Obr. 75. Postranní dutina magnetronu. Výsledky rovníc (111-74) a (IH-75) jsou prvním přiblížením přesného řešení, které provedl na základě variačního počtu Ki- I . suňko. Identity (111-74) nebo (111-75) jsou vlastně doplňujícimi okrajovými podmínikami dutinového resonátoru. lako příklad řešeni dutin podle tito mechody provedeme výpočet vatupni impedance postranní dutiny magnetronu. Přičný řez postranní dutinou je znázorněn na obr. 75. Uvazujme magnetron na bočních stranách neomezený. Aby nenastalo vyzařování z bočních otevřených sten, vzniknou jen takové vidy, u nichž je intensita elektrického pole kolmá k ose-rnagne-rronu a intensita magnetického pole ve směru osy magnetronu. Tyto vidy patří k příčné elektrické vine (vzhledem k ose magnetronu). Je-li magnetron na bočních stěnách neomezen, nebude intensita elektrického ani magnetického pole záviset na souřadnici z. Určíme nejdříve rozložení elektromagnetického pole ve štěrbině. Jednotlivé složky intensity elektrického a magnetického pole určíme řešením vlnové rovnice Hert^ova vektoru Tlz™-\ AH.1" f k-n,™ = o s okrajovou podmínkou, že na vodivém plášti dutiny je tečná složka intensity elektrického pole nulová. Hertzův vektor/7,m, jak jsme již uvedli, nezávisí při tom na souřadnici 2.2ávistna souřadnici x a y. Protože je šířka štěrbiny podstatné menší než ostatní rozměry štěrbiny, vybudily by se vyšší vidy, závisící také na souřadnici y, až při vysokých kmitočtech, nesrovnatelně vyšších, než je vlastní kmitočet dominantního vidu. Proto budeme uvažovat pole, kt;ré závisí jen na souřadnici se Přitom přejde vlnová rovnice pro TJzm v jednoduchou diferenciální rovnici -i- Ŕä/7> = 0 ex* Tato diferenciální rovnice má řešení Í%$ =a A sin kx 4j 6 cos kx (111-76) kde A, B jsou integrační konstanty. z tohoto výrazu pro Hertzův vektor odvodíme jednotlivé složky intensity elektrického a magnetického pole podle známých vztahů E = :— yajfí ror II,m Dosazením za II.™ dostaneme H = k"-IL.™ \- grád div II,™ = ]ü}^Gk(A cos kx ■-- B sin kx) H, = k\A sin kx — B cos k.t) (111-77) (111-78) Dále určíme rozloženi elektromagnetického pole ve válcové dutine. V tomto případe vyjádříme vlnovou rovnici ve válcových souřadnicíchj při čemž uvážíme, že ffzm nezávisí na souřadnici 2. Řešení 168 169 vlnově rovnice ve válcových souřadnicích bude dáno týmž výrazem jako u kruhového vlnovodu. Rozdíl je v tom, že v našem případě je 7"2 — 1, což vyplývá z toho, že konstanta přenosu je ve směru z nulová. Potom je -T1— A a í'™ ~ |Ä»«f (111-79) kde m muže být kladné i záporné celé číslo. Pro jednotlivé složky intensity elektrického a magnetického pole odvodíme pak vztahy H, * ^k-Cm]J.krU""v (iir-80) (111-81) Ve vztazích (111-77), (TII-78), (111-80) a (III-S1) neznáme konstanty A, B, Cm, ani vlastní vlnové číslo k. Tyto neznámé veličiny určíme buď pomocí vztahu (111-74) nebo (111-75). Zvolíme vztah (111-74), který vyplynul z rovnosti intimity elektrického pole na rozhraní obou prostředí. Rozhraní obou prostředí je v našem případě vytvořeno obdélníkem, umístěným v místě se souřadnicí x — a a s rozměry d a h (viz obr. 75). Ve výrazu (111-74) se za značkou integrálu vyskytuji při dosazení do složeného skalárního součinu jen ty složky E a H, které jsou kolmé ke směru normál n. V našem případě jsou to ve štěrbině složky Ev a H.,vc válcové dutině složky H„ a Proto lze vztah (111-47) upravit rakto: 4» 2sR fa ÍH.* — H.*) dS~ 0(HI-S2) u x - a r - R Obr. 76. Uspořádáni intensity elektrického pole na obvodu postranní dutiny magnetronu. Při tom je V místě daném souřadnicí .v == a je ve štěrbině intensita elektrického pole konstantní a je vyjádřena vztahem (HI-74) pro x -: a: jci;i0k(.A cos ka — B sin ka) (HI-83) Průběh intensity elektrického pole Ea je tedy v místě styku znázorněn na obr. 76. Abychom mohli vztah (111-83) porovnávat se vztahem (111-80) pro r = R a pro běžnou souřadnici „k{A cos ka — B sin ka) - sin ® em . *-> ir o 2 CIII-84) Tento vztah se musí v souhlase s rovnicí (III-82.1) identicky rovnat vztahu (111-80) pro r — R. Musí tedy platit identita - ]aijt0KA cos ka — B sin ka) £ ~ sin ^ e"1W = ^ ;■— W>}t(*«> 'Pí m - - sc m 2 _ J; 2 Provedeme-li integraci, dostaneme po malé úpravě Aúnka -L- B cos ka — 'íp-^ (A cos ka - B sin Au) ^'^?2 í- 2ra — J (nl««) 1 / \ '"2 / (111-86) Tuto rovnice udává vzájemný vztah mezi konstantami A a B. Provedeme dále toto zjednodušeni v označeni: m ,neboť výraz ď"íiBt je sudá funkce vzhledem k m. Na základě těchto úvah bude 771= 1 y - ,(AR) 2 / •HkR) J\(kR) I 2 -T 7m(AR) I _ A 7'„AAR) ">."a l\A cos ľx - B sin ľx) e1"'" H. = r-(A sin ľx-r B cos ľx) ei?: Er = 0 ; H„ = 0 Hx = \yI\A cos ľx — B sin ľx) e'"; Intensita elektrického pole E„ musí být souměrná vzhledem k ose průřezu vlnovodu. Je-li počátek odečítáni souřadnic na ose vlnovodu, musí být konstanta B nulová. Z toho je E„ - ),"„ľA cos rW* (111-93) Hz - r-A sin ľxs'r- (111-94) Hx — \yTA cos ľx V prostotu 2 bude Hertzův vektor vyjádřen, obdobně jako u obdélníkového vlnovodu, takto (viz část o obdélníkových vlnovodech): 772' (C sin \x -!■- D cos \x)(E sin f)y í D cos f}y) er kde -v2 + ľ = r». Je-li plášť vlnovodu dokonale vodivý, musí platit okrajová podmínka, že na plášti vlnovodu je tečná složka intensity elektrického pole nulová. To je splněno tehdy (jak bylo dokázáno), plati-li na plášti vlnovodu ■■ ' - - - 0. Tuto podmínku lze přímo vyjádřit pro strany vlnovodu se souřadnicemi en x = ~ , >• = 0 a y ■■- b, neboť tyto strany příslušejí zcela kovové čisti pláště. Provedeme-li derivaci Hertzova vektoru podle normály a splníme-li podmínku, že na uvedených 175 stranách je derivace Hertzova vektoru nulová, zjednoduší se vztah pro Hertzúv vektor takto (postup je stejný jako u obdélníkového vlnovodu): ft," = (C sin «,i 4- D cos ot„x) cos fiy c>YZ kde je ŕ? = -r (n je celé číslo). Mezi konstantou C a D platí při tom vztah 2 C cos -2---D sin -J- c[J-m a (vyplývá z okrajové podmínky, že * na stranč x = — je nulové). Potom je en 2 C cos : sin -§-2 Po dosazeni do Hertzova vektoru dostaneme I7zm = CI sin ci„x 4- 2 i "tu i,.t --cos n„x I cos — y e"" a po úpravě kde C„ je nová konstanta = Cn (sin xnx sin 4- cos anx cos j cos y y e?l" |c sin —5 jsme sdružili v novou konstantu C„j . a proto ]e Konstanta j„ y T*— . Výraz v závorce nahradíme kosinem rozdílu, ÍI:m = C„ cos xn I— —!*) cos 22 J, ei>'; Z toho odvodíme vztahy pro složku intensity elektrického pole E„ a magnetického pole H.. Intensita elektrického a magnetického pole je dána superposicí intensit elektrického a magnetického pole všech vyšších vidi. Proto je 00 Eim 2 'íU.""J"C'"sin ** ("^— *]Ľ0S ~r y e'rí n- 0 ' ' oo Hz ca ^ ^"C*. ™s ** (-|--*) cos y Jí e^" (111-95) (111-96) Dále použijeme vztahu (111-74), v němž jsou platné jen složky Est H kolmé k n. Na ploše, která je v našem případě vytvořena rozměň- d a h (viz obr. 81), musí být vztahy (111-93) a (111-95) identické. Na této ploše je E„ = jiM^ľA cos r %- e"'2 = Aíe1'-'" (111-97) a' 2 kde M jsme označili konstantní veličinu jtofiTA cos r~ . Intensita elektrického pole je v rovnici (111-97) konstantní veličina. Je tedy průběh intensity elektrického pole £„ na stěně o souřadnici x=%£ takový, jak znázorňuje obr. S2. 176 Tento průběh rozložíme v kosinovou Fourierovu řadu s periodou b. Bude tedy platit Ey = £q + cos -r- y + C2 cos 2 ~ y + ... Při tom je ■Kb kde M je dáno vztahem (111-97). Jc tedy Ey as™ — (— dM 4- "S* — M sin —d cos — y | e,v:: (-'*r- Uspořádání intensity elektrického \ & ~ ŕ / pole podél vnitřní strany b. (111-98) Tento vztah musí být identický se vztahem (111-95) pro .v — — . Porovnáme-li (111-98) a (111-95), plati po dosazení za M příslušného výrazu z rovnice (111-97), že i] = n a potom ! cos 1 — d. . 2 /'cos r- C„ = --4 "(a 2) sin — d Dosadíme-li tyto konstanty do vztahu (111-96) pro h., dostaneme pro * hz= r , / cos i — cos (j d , 2 T " (2 2) .í„ sin a, " (2 2) a 7-co.r^i^ ;m y~"2 sin — ii cos — e o "„siná,, U Ptotože je £„ v oboru soumezné plochy Č7[2 konstantni, platí podle vzorce (111-74) at Qm—. fHzdS= JMzdS (111-99) (III-100) Plocha Sjj r-echť přísluší v našem případě prostoru 1 pro x — — a plocha SiS prostoru 2. V prostoru 1 je intensita magnetického pole dána vztahem (111-94) a v prostoru 2 vztahem (111-99). Oběma plochám přísluší souřadnice x — ~- . Integrujcme-li přes obdélník se souřadnicemi d a h podle VI - Základy techniky 177 proměnné y a z, dostaneme po integraci r*Ad únr--=r* rcosrtcosa°(f ~t) *o sm n„ I- —— » cos*,, --T -at™ r- g- -TTiKrť Oŕ>r. 8,1. Grafické znázorněni transcendentní rovnice tg u tg pu Při tom je % takto: n ^ jyj, z čehož \„ — ľ-. Se zřetelem k tomu upravíme předcházející vztah CO „/a a'\ , 1 v IV. "í1 í? -5 " 1 ' n=l Bit — tg r - = j cotg kde je >„ = J/i--(f)" To je transcendentní rovnice pro konstantu /'. Bude-li d<^b, zjistíme při podrobném rozboru teto rovnice, ze 1 S I" a'\ í ľ . .. d d „ja a'\ ■n=i nr.— b Můžeme proto dostat konstantu T v prvním přiblíženi řešením rovnice _ a' d „ / a a'\ 18 "J = T 8 \2~~2) (III-101) Vztah (III-I01) upravíme takto: tg h = tg pH dir-102) výrazem p. Grafické kde jsme oznařilí výraz V výrazem u, poměr -r- výrazem q a poměr — 2 o u znázornění této rovnice je na obr. 83. ^ '. VšimnemeJ,si případu, kdy bude poměr í> velký. Může to nasta t při konstantní šířce střední části a' tehdy, budc-li se rozmer a zvětšovat. V tomto připadé se bude vzdálenost asymptot kota ngenty (obr. 84) zmenšovat a v krajním případě, kdy bude rozměr a nekonečný, přejde kotangenta v osu y. Tehdy bude ľ — 0 a vlnovod typu II přejde ve dvě rovnoběžné desky (obr. 85), mezi nimiž se šíří vlna TEM. Je-li u «Sš> 1 ■ c°ž může nastat při malých hodnotách d, lze nahradit tg h a tg pu jejich argumenty. Potom dostaneme z rovnice (II1-102) pro 11 vztah Obr. 84. Grafické znázornění transcendentní rov- nice tg u tepu pro velký poměr p. Obr. 85. Mezní připad vlnovodu II. Dosadíme-li za q výraz —, za p výraz b ■ a uvážíme-li, že w == ľ—, je r- 2 1/^-^ = 21/-, a \ b a — a y «* i Protone mezní dclfca vlny vlnovodu je určena tak3 že Äa « je mezní dŕlka vlny vlnovodu typu TI určena vzorcem K tomuto zjednodušenému vzorci bychom dospěli také kvasistacionární methodou. Známe-lí u vlnovodu typu II konstantu V, můžeme určit všechny ostatní důležité veličiny (mezni délku vlny, konstantu přenosu, charakteristickou impedanci a vlnový odpor). - Vlnovodu typu II používáme při konstrukci širokopásmových vlnovodových přechodů, neboť má tu výhodnou vlastnost, že jeho mezní kmitočet je podstatné nižší než mezni kmitočet obdélníkového vlnovodu stejných vnějších rozměrů a, b. 36.3 Poruchová methoda výpočtu dutinových resonátorů (podle G. V. Kisuňka)'1) V této čisti provedeme výpočet vlastní délky vlny dutinového resonátorů, jehož podstatná část má tvar pravidelný a jen poměrné malá část vzhledem k celkovému objemu porušuje původní pravidelnost dutiny.' '■') Pro studium této části se doporučuje prostudovat nejdříve ČT. 43. 178 179 Předpokládejme, že dutina má tvar podle obr. 86. Při tom objem, označený V, představuje poruchový prvek. Tento objem ie součásti dokonale vodivého pláště. Elektrické pole dutiny, v níž není poruchový prvek, označme Enc, kde index n označuje druh pole v dutině (obecné je n vyjádřeno třemi indexy, v předcházející čásri isme ie označovali rnnp). Při tom nesmíme zaměnit index n s jednotkovým vektorem normály n. Intensita elektrického pole dutiny s poruchovým prvkem bude mít poněkud odchylnou velikost od EaQ a označíme ji E. Pro obě intensity pole platí na základě Maxwellových rovnic vztahy rot rot £„„ = ŕ„0aEM (III-104) rot rot E = £=£ (111-105) Při dalším postupu použijeme Grcenovy věty ve vektorovém vyjádření (viz kap. IX). Dosaďme do rovnice (IX-23) zaP-= E a za Q = Eoc. Potom bude p&rucnovy prve. Obr. 86. Řez dutinou s poruchovým prvkem. /(£„„ rot rot E) dV— j (E rot rot E0„) dV =/ ([£ rot £„„] n) dS — /[£„„ rot E] n) dS v, r. a, kde Vq je objem dutiny resonátoru, neuvažujeme-li poruchový prvek S„ povrch tohoto objemu. Se zřetelem na vztahy (III-104) a (III-105) upravíme předcházející rovnici takto: — *„„=)/(EEn0) dK = / KtErot EM1 n) — ([EM ror E] n)J dS (III-106) i'. Tečná složka intensity elektrického pole £„„ je na povrchu .V0 nulová. Tečná složka intensity elektrického pole E je nulová na ploše S' a na ploše S„ mimo plošku éV. Proto lze rovnici (III-106) upravit takto: (*- — *„„=)/(££»„) dV = — J([rot EME1 nl dS (111-106.1) «'„ Na plošce S' (omezující poruchový prvek) je tečná složka intensity elektrického pole E nulová. Protože na S' je [En] ~ 0 je také /([rot E110EJ n) dS = 0 Tento integrál lze proto přičíst k rovnici (III-lOS.l), aniž změníme jeho velikost. Potom je — A»o2)/(EE„„) dV =- — f ([rot E„„EJ n) AS \\ a,' t ť Proveďme úpravu povrchového integrálu předcházející rovnice podle rovnice (IX-22). Potom f ([rot EC„E] n) dS — j [(E rot rot £„„) — (rot E,,., rot E)J dV h'u * s' v kde V je objem poruchového prvku. Na základě toho (k- — kuS?) / (£E„0) dV ^ f {(rot £„„ tot E) — (E rot rot £„„)} dV (III-107) r, r' Výslednou intensitu elektrického pole E určíme jako součet všech vidu, které mohou v dutině vzniknout. Tyto vidy jsou obecně charakterisovány třemi indexy m,n,p [viz rovnici (III-3)]. 180 Označíme obecný vid intensity elektrického pole indexem m, který v sobě zahrnuje libovolnou kombinaci indexů m, n> p. Potom bude E = 2ř»>E«>° (111-108) kde Em je konstanta, určující poměrnou velikost intensity elektrického pole daného vidu v dutině, označeného indexem m # '; E^d vektor intensity elektrického pole vidu m. r Indexem mO označujeme proto, že jde o vid intensity elektrického pole dutiny bez poruchového elementu. Vektorová funkce £„, má v oboru dutiny orthogonální vlastnosti [viz rovnici (IV-6) ]. Dosadime-li řadu (HI-10S) do vzorce (IIÍ-107), dostaneme EJ.k- — *2D0) JE\„ df=]> Em /[(rot E„0 rot Ema) — (£„,„ rot rot £„„) dV 7 a m I" neboť na základě orthogonálních vlastností funkcí platí /%^m> dK = 0 pro n # m Integraci člen po členu lze provést ien tehdy, konverguje-li stejnoměrně funkční řada ^E^E^. m U dutinových resonátoru vlnovodového typu je uvedená funkční řada ve všech praktických případech takového tvaru, že je stejnoměrná konvergence vždy splněna. Označíme-li integrály 'fEM*dV= An J (rot EM rot Eml)) — (£,„„ rot rot E^,) dV = Aa v dostaneme (III-109) Pri tom je m pořadí vlastní funkce. Součet bychom měli provést pro všechny vlastní funkce. Prakticky uvažujeme jen ty, které mají největší vliv na výsledek. Meze M1 a Áía zahrnují uvažované vlastní funkce. Vztahy (III-109) představují pro různé n soustavu homogenních rovnic s neznámými Ení které maji netriviální řešeni tehdy, rovná-li se jejich determinant nule. Tato podmínka dává rovnici Htého stupně pro vlnové číslo k. Je-li objem poruchového prvku řádově menši než objem resonátoru, můžeme použít prvního přiblížení při výpočtu. Lze dokázat, že charakteristický determinant uvedené soustavy homogenních rovnic má při V' 4^ V všechny nediagonální členy řádové menší než diagonální. V tomto případě je hodnota determinantu, zanedbáme-li při číselném vyjádření malé členy vyšších řádů, počínaje druhým, dána jen součinem diagonálních prvků, a proto platí // ikl — k - A- — \ =- Z toho vyplývá, že pro každý vid platí K "no ■ j u Výrazy pro A„ a Aall upravíme. Na základě Maxwellových rovnic lze upravit A^a takto: 4m - '"V jHm*dV— kaosj£„s= dV 181 Potom *ä = K0K0) ľ—| kde la je délka vlny dutiny bez šroubu ; ' '« r0 vnitřní poloměr dutiny Ra vnější poloměr dutiny V objem šroubu 2— '■a Vzorec (III-l 19) dává infonnativní hodnoty pro zmínu vlastni délky vlny toroidní dutiny dolaďované šroubem, jehož objem je V. Tohoto způsobu dolaďDváni používáme ke zrněné kmitočtu kly-stronů s vnější ducinou. 37. Činitel jakosti dutinového resonátoru se zřetelem na vodivost dielektrika Při odvozování ztrát v dutinovém resonátoru jsme odvodili pro vlnové Číslo vztah P, hř = kl — \mfiR viz rovnici (111-12) a další. Při tom je cd komplexní úhlový kmitočet. Uvažujeme-li ještě ztráty v dielektriku, platí pro vlnové číslo k vzorec1) » h? — + }oy/i(p — jftie) = or/te + \cafta Pro bezeztrátové dielektrikum Potom je Po úpravě bude li" OJ — cox— — 1«) >ři čemž uvá: Rozdíl čtverců na levé straně opět rozložíme, při čemž uvážíme, že se co podstatně neliší od «0. Proto je kde Pt je ztrátový výkon v plášti dutiny W celková energie dutiny. ') Při tom předpokládáme, že časová funkce v Maxwellových rovnicích je dána časovou funkcí -jíní 185 Označíme-li kde je výrazem bude platit 2i i _j 1 i Výraz 2 Je celkový činitel jakosti dutiny, v němž je zahrnut vliv vodivosti dielektrika dutiny. Činitel jakosti £i je převrácená hodnota tangenty ztrátového úhlu tg ó ■■ a ú>£ PŘÍKLADY Příklad 1. Navrhněte vinoměr pro pásmo od 9 do 11 cm, pracující s videm TE011. Určete jeho činitele jakosti pro poloměr a = 10 cm! Příklad 2. Proveďte totéž pro pásmo od 3 do 3,6 cm! Příklad 3. Obdélníkový vlnovod pracující s videm TE10 je na obou stranách omezen indukčními clonami (viz obr. 125). Určete podle methody „sešívám" dutin vlastní délku vlny takto vzniklého resonátoru. Určete činitele jakosti takové dutiny! Příklad 4. Určete vlnový odpor vlnovodu typu TI (definovaný ve středu prostoru 1 podle obr. 81)! 186 IV. BUZENÍ VLNOVODŮ A DUTINOVÝCH RESONÁTORU V kap. II jsme poznali, že ve vlnovodu může existovat řada elektromagnetických vln, které jsme zásadně rozdělili na dva druhy: příčné vlny magnetické a příčné vlny elektrické. Každému druhu přísluší obecně nekonečná řada vidů, z nichž každý má diskrétní vlastnosti. Naším úkolem bude dokázat orthogonálnost funkcí, kterými jsou určeny Hcrtzovy vektery jednotlivých vidů, a odvodit velikost jednotlivých vidů. Tuto velikost určíme u nekonečně dlouhého vlnovodu a u vlnovodu na jedné straně omezeného dokonale vodivou stěnou. Všimneme si buzení vlnovodů proudovými a nábojovým prvky a buzeni vlnovodů štěrbinou. 38. Orthogonální vlastnosti funkcí plynoucích z řešení vlnové rovnice V kapitole I jsme poznali, že Hertzův vektor je dán součinem dvou funkcí kde 2\ je funkcí příčných souřadnic a vyhovuje diferenciální rovnici iLt-řir„,=o (iv-i) kde n, m jsou indexy charakterisující vid elektromagnetické vlny ve vlnovodu. Aby byla tato vlnová rovnice jednoznačná, patří k ní okrajové podmínky (u příčné magnetické vlny musí být na okraji funkce Tx nulová a u příčné vlny elektrické musí být na okraji derivace dT podle normály -~ nulová). cn Řešením uvedené vlnové rovnice jsou vlastní funkce Tm, U kruhového vlnovodu je Tm — J„ í^2 r J cos nrp nebo u obdélníkového vlnovodu (vina TE) mrz tjtt cos — x cos — v a b Na základě Greenovy věty platí pro dvě libovolné potenciální funkce tp a ip výraz J [

)] dS = J f || ds kde 5 je plocha uzavřená křivkou j. 187 ■ 1 + k a pro 1 = k Dosaďme za

jiné řešení Tľ Při tom index 1 představuje jednu kombinaci indexů n m a index k jinou kombinaci n m. Potom Jr^ds^JíT^T^ (grad T, grad TJ] dS (IV-2) 3 ä Zaměníme-li index 1 za index k, dostaneme J* rt H d* - J[rt a r, + (grad r, grad rj] ds (iv-3) Jestliže odečteme rovnici (rV-3) od rovnice (IV-2), při čemž přihlížíme k okrajovým podmínkám (Tk! Ti nebo -~, jsou na í nulová) a k vlnové rovnici (IV-1), platí —Ií { t& ds-i- 71 f r,rt ďs = (r? -n) j r,rt ds= o 9 3 a Z toho je vidět, že pro 1 4= k je ÍTlTídS= 0. Pro 1= k jc (T? —i!) = 0 a výraz s fT,Tt dS = y"7? dS je úměrný, jak jsme již poznali, přenesenému výkonu. Je tedy pro [r,r,dčľ-0 (IV-4) JTfdS=Mt (IV-5) kde M, nazýváme normou funkce ľ,. Vztah (IV-4) charakter isuje orthogonální vlastnost funkcí Z*„ Tk. 39. Buzení elektromagnetické vlny vidu TE v neomezeném vlnovodu Umístímc-li ve vlnovodu jakýkoli proudový nebo nábojový prvek, vybudí se ve vlnovodu elektromagnetická vlna. Nejjednodušší způsob buzení vlnovodu znázorňuje obr. 89a. Sonda ve tvaru přímého drátu zasahuje do prostoru vlnovodu. Vysokofrekvenčním proudem v sondě se vybudí elektromagnetické vlny ve vlnovodu. Obdobně bychom dostali jednoduché vybuzení vlnovodu smyčkou, znázorněnou na obr. 89b. Budíme-Ii vlnovod obecně uspořádanými proudovými nebo nábojovými zdroji (viz obr. 90), vzniknou ve vlnovodu theoreticky všechny vidy. Naším úkolem bude určit velikosti těchto jednotlivých vidů v závislosti na způsobu uspořádání proudových nebo nábojových zdrojů. Theoreticky jde o vyřešení nehomogenní vlnové rovnice se zřetelem na okrajové podmínky (tečná složka intensity elektrického pole je na dokonale vodivém plášti nulová). V této části určíme velikosti jednotlivých vidů příčné elektrické vlny. V dielektrickém prostředí se zdroji platí na základě Maxwcílových rovnic rot H = foisE + } div B = 0 rot E = — jco/.íH div D = q kde j je hustota budicího proudu q hustota objemového náboje. 188 Řešíme-li obě první Maxwellovy rovnice podle H, dostaneme vztah rot rot H = k2H + rot J Rozvedeme rot rot H podle vztahu " ,■ rot rot H = grad div H — AH v - h f-— i i budia sondo 4—4 o) 'b-id.-cfsmyčko W Obr. 89. Buzení vlnovodu; o — sondou; b smyčkou. Protože o magnetickém poli platí, že div H = 0, je rot rot H = — AH a potom AH+ fe2H = — rot; ■ obor zdrojů i 1 --—- -» 0 7-1 z2 00 Obr. 90. Buzeni vlnovodu obecným ladicím prvkem. Této nehomogenní vlnové rovnici vyhovují všechny složky intensity magnetického pole. Pro složku 77. tedy platí AH, 4- k2H. = - rot, J . (IV-6) Intensitu magnetického pole H, v rovnici (IV-6) vyjádříme superposicí všech vidů elektromagnetické vlny ve vlnovodu. V předešlých částech jsme vyjádřili všechny složky 189 intensity elektrického pole a magnetického pole pomocí Hertzových vektorů. Dokázali jsme, že složka intensity magnetického pole daného vidu hz je úměrná Hertzově vektoru /Z?. Platí h„ = rw* kde je příčná konstanta, která přísluší vidu, definovanému obecně indexem 1 (tento index sdružuje dva indexy, které jsme v čl. 32.1 označili m, n). Celková intensita magnetického pole hz je dána superposicí intensit magnetického pole hzl, příslušných všem vidům. Proto hz - yrtWl _ (IV-7) i Hertzův vektor 77°' jsme vyjádřili součinem dvou funkcí Tx a T2. Hertzův vektor daného vidu 1, označili jsme jej fT',", bude tedy dán součinem funkcí tu a T2I. Při tom je třeba zdůraznit, že Tv je vlastní funkce vlnovodu a závisí jen na příčných souřadnicích a že r21 je jen funkcí souřadnice s. Tato funkce bude obecně tvaru (pro jeden směr šířeni) Tt, = C,e^- Při tom je y, konstanta přenosu vidu s indexem 1 a C, neznámá konstanta, určující velikost intensity pole. Tuto konstantu máme určit u každého vidu jako funkci budicích prvků. Můžeme proto intensitu magnetického pole vyjádřit takto: h, = Xf?rur41 (iv-8) Dosaďme rovnici (IV-8) do rovnice (IV-6). Potom bude SAvTOrJ + k^Ir?TuT2, -- - rot, J (IV-9) 1 Upravme rovnici (IV-9) 2r}TB Arn + 2ífTu - 22T?(grad Tu grad T,) - A^-O^T.,, - - rot J i i i i Protože je TL, funkcí jen příčných souřadnic a Z,, funkcí jen souřadnice z, je grad T i kolmý ke grad T.,„ a proto (grad Tu grad T2:) = Ó. Potom bude mít rovnice (IV-9) po úpravě tvar 2llT,a AT\, -j- ZľfTuATn -f k^TuTa = - rot tJ i i i Funkce A7\, vyhovuje vlnové rovnici, proto platí na základě výrazu (IV-1) ATU= _r,rii Proto upravíme předcházející vztah takto: - 2ivit2>tu + 2 r?r„ at21 + #2i?rMr« = - rot,j (iv-io) i t I Násobme (IV-10) funkcí Tla, která je též řešením vlnové rovnice (IV-1), avšak přísluší jinému vidu, a integrujme v oboru průřezu vlnovodu S. Integrovat můžeme člen po členu jen tehdy, je-li funkční řada z,ľ'fT^T2l stejnoměrně konvergentní. Odvození stcjno- L měrné konvergence této řady nebudeme provádět a čtenář najde podrobné vysvětlení v knize Tojictob: PftflH ([lypiif. Integrujeme-li člen po členu, dostaneme -2/iV1?T2JvTlmdS+ 2/F?TuTlmAT.zldS-ř Š*|/W^Ťu^* s h i = — JiouJTlm dS 190 Funkce Tt, a Tlm jsou orthogonální. Proto dostaneme se zřetelem na (IV-4) a (IV-5) - rtrj n, dS + r? Ar2,J rj, ús + &r?T2lJr>t $s=— f «*, jru dS s • ' .', ,* Dosadíme-li za dóľ = M„ kde M, je norma, zjednodušíme předešlý vztah takto: . AT21 + C**-/7) T«=lfJ áS ' ■ Funkce Ta je jen funkcí souřadnice 2. Proto přejde Laplaceův operátor v jednoduchou derivaci podle z: . Integrál na pravé straně předešlé rovnice je funkcí souřadnice z (proudová hustota J kromě toho, že je funkci příčných souřadnic, je též souřadnicí z a pro příčné souřadnice je předcházející integrál omezeným integrálem). Dosaďme pro jednoduchost za výraz '/-(z). Potom A±dS dz2 Protože je k: — f'i — yf, kde y, je konstanta přenosu vidu 1, upravíme předešlou rovnici takto: řr:i yrr2, = <~«dz-\- jfgs§.e !á*4 —L^s*f (IV-13) Ve vztahu (IV-13) první a třetí integrál na pravé straně se rovná nuk, neboť v oboru mezí těchto integrálů nejsou zdroje. Potom C>= ~J z2. Pro z < zí platí obdobně Dosadímc-li rovnice (IV-14) a (IV-15) do rovnice (IV-13), dostaneme ** % = ÍT,'^p J.:#a Z\l r2, = e ■ -"i* ~- J pfz) e -J«M dz pro g < zí Mi Ti-. = ~- [eMl J"9'O) e Ml de-+ e j z;t (IV-19) Stejně bychom dostali pro výraz z grad M, dK l:> - Zlí.Ic1li,ilLj- techniky (IV-20) 193 Vztahy (IV-19) a (IV-20) určují velikost Hertzova vektoru vidu, určeného indexem 1. Zuáme-li velikost jednotlivých vidů, určíme Hertzův vektor z výrazu 1 Z tohoto Hertzova vektoru určíme všechny složky intensity elektrického a magnetického pole. Obyčejně bývají ptoudové prvky, jimiž se vybudí vlnovod, vytvořeny sondou nebo smyčkou. Proud protéká drátem a objem V je v tomto případě objemem drátu. Protože bývá tloušťka drátu nesrovnatelně menší než délka sondy nebo smyčky a rozměry vlnovodu, budeme pokládat funkce Tv a e*''''1 v oboru průřezu drátu za konstantní. TytO' funkce se budou měnit jen podél drátu. Je-li celkový proud, protékající drátem, /„ a průřez drátu q, je proudová hustota 9 a směr proudu bude mít směr budicího prvku. Označíme jednotkový vektor směru budicího prvku / (směr tečny ke křivce, po které teče proud). Potom bude (IV-21) 8 Element objemu bude potom dán součinem průřezu drátu q a elementem oblouku křivky budicího prvku dl. Proto bude dV = q dl Dosadíme-li uvedené veličiny do rovnic (IV-19) a (IV-20), dostaneme r--m-heh""I{'[zsradm])d/pro *>* T«~l&7Teí:vi('[zsradx])e Jw/'d/ pro ze grád. div J Násobme tuto rovnici vlastní funkcí 7\k, která vyhovuje vlnové rovnici a je vzhledem k funkci Tu orthogonální v oboru průřezu vlnovodu, a integrujme v oboru průřezu vlnovodu S. Integrovat člen po členu můžeme tehdy, bude-li funkční řada stejnoměrně konvergovat. V tom případě dostaneme se zřetelem na orthogonální vlastnosti funkcí Tlt a rn: -nnr^frj ds ■' /"AT^JTids-t MWiJTh ds-- s s s = j IfWJ, - j~ grad,. div j) T,, dS Po úprave bude Uvážíme-li, že ff J[***. - £ grad< »J Ž) d5 (IV"26) ds2 (A*-77)-= y? a nahtadíme-li opět pravou stranu výrazem 22 (IV-27) (IV-2S) v ----— grad, divj] 7" e-hi2 dl7 pro z < z. Upravíme ještě integrál pravé strany rovnic (IV-27) a (IV-28). Potom bude /"grad.. div J T^'' dV = j(Tve.^=z grad div J) dV Protože (grad uv) -- div (uv) — u div v, kde u je libovolná skalární funkce a v libovolný vektor, je v našem případě, dosadŕme-li za u = div} a v - — Tlt ej:'i-'z: J (Tnt^-z grad div ]) dV = Jdiv[div JTve>**x] áV — j" div (T^e^z) div J d F = r. r i" = j\zn) div J r,.ď''1 dSr-jy. JTuc<-" div J d F kde S je plocha, omezující úsek vlnovodu mezi z = «i a # = jr2. Na ploše >? je budicí proud nulový, a proto je f{ruef»lz grad div /) dK= — jj<, J 7'lle|;v div J dV Upravíme ještě pravou stranu předešlé rovnice IjjjíaSi divj = divart,ei^0 - (grad rtleJ'-"J) Potom j" (T^ei'^z grad div J) dV = — jy, /div (jriIď'<í) dľ + + Ír, /(Stád dF = - jy, Ja") T, e dS 4- + j7:J(gradrileiviV) dľ Protože je na povrchu budicího prostoru složka proudové hustoty ve směru normály nulová [(«■/) — 0], dostaneme j(Tuď^z grad div;) dV - jy, [(grad 7\,e'- i?J| dV 196 Se zřetelem na tyto úpravy lze vztah (IV-27) vyjádřit takto: Tento vzorec platí pro z > z,. Pro souřadnici z < z, platí obdobný vzorec **=^^wwí¥*^^m^^ HdK (IV"30) kde yx je hustota přenosu vidu s indexem 1 7', příčná konstanta Mt norma vidu 1 vlny TM V objem prostoru budicích zdrojů J hustota budicího proudu. Při buzení vlnovodu lineárními proudy upravíme předešlé vzorce, obdobně jako u vlny TE, takto: e tn* - ^c[J«1«7*iieJ'',z(iz) — - -2i (grad r^ei'^/)] d/ pro s > $ i --^(gradT.^"'3!) d/ P™ z < «i o« J 1 (IV-31) (IV-32) kde 7,. je celkový proud / jednotkový vektor ve směru tečny křivky, po které protéká proud. Vzorce (IV-29), (IV-30), (IV-31) a (TV-32) určují relativní velikost Hertzova vektoru vlny TM vidu označeného indexem 1. Známe-li tuto velikost, určíme Hertzův vektor z rovnice (1V-8) a na jeho základě pak všechny složky intensity elektrického a magnetického pole. 41. Buzení omezeného vlnovodu Velmi často bývá vlnovod omezen na jedné straně dokonale vodivou stěnou (obr. 92). Elektromagnetická vlna se může potom šířit jen jedním směrem. Provedeme výpočet buzení takového vlnovodu, uvažujeme-li nejdříve vlnu TE. Při řešeni elektromagnetického pole jsme vyšli z vlnové rovnice (IV-6), kde jsme intensitu magnetického pole vyjádřili výrazem (IV-7). Proto platí rot. j (IV-33) To je nehomogenní vlnová rovnice. Její obecné řešení je dáno partikulárními integrály a řešením homogenní vlnové rovnice, t. j. rovnice (IV-33) bez pravé strany. (V předešlém článku jsme neuvažovali řešsní homogenní vlnové rovnice, neboť vlnovod byl na 197 obou stranách neomezen a integrály příslušející homogenní vlnové rovnici s ohledem na okrajové podmínky nemají fysikální opodstatnění.) Partikulární integrály jsme určili v předcházejícím článku. Jsou určeny vzorci (IV-19) a (IV-20). Řešení homogenní vlnové rovnice je dáno součtem vlastních funkcí. Je tedy celkové řešení rovnice (IV-33) dáno vztahem n. - Wrffit = 2N« + 2rfcuTlfi-»:' + f íi%%^ (iv-34) Při tom jsou dva poslední součty na pravé straně výsledky řešení homogenní vlnové rov- DII Obr. 92. Buzení vlnovodu, na jednom konci omezeném. Obr. 93. Buzeni vlnovodu, na jednom konci omezeném, sondou. nice a první člen je partikulární integrál. Z identity (IV-34) vyplývá pro jednotlivé vidy n s = Ttl r„ + clt rne -m* _ 03%$» (iv-35) Budicími prvky se vybudí elektromagnetická vlna, která se šíří napravo i nalevo od budicích zdrojů. Vlna, která se šíří napravo, šíří se volně a postupuje bez odrazu. Vlna, která se šíří nalevo, odrazí se od stěny, omezující vlnovod. Hertzův vektor je určen vzorcem (IV-35). V tomto vzorci musí být konstanta C,, nulová, neboť výraz Ť^é"^ by jinak se vzrůstajícím z divergoval k nekonečnu (jy, je ve skutečnosti komplexní číslo s kladnou reálnou částí). Nechť je omezující stěna v místě z = 0. Na této stěně musí být splněna okrajová podmínka, že je tečná složka intensity elektrického pole nulová. Tečnou složkou je v našem případě příčná složka intensity elektrického pole (kolmá k ose z). Příčná složka intensity elektrického pole je dána vzorcem (1-34). Proto je £t — — jro/t rot it., Hertzův vektor daného vidu (index 1) určíme z rovnice (IV-35), kde C.„ = 0. Potom je E* = - }«>M(.T,t -|- C„e!^) rot TL,z Na omezující základně musí být složka intensity elektrického pole nulová. Musí tedy pro z = 0 platit Et = 0 V místě o souřadnici z — 0 určíme velikost T.a ze vzorce (IV-20); omezující základna jc nalevo od prostoru zdrojů, tedy pro z < zx. Z okrajové podmínky vyplývá Z toho určíme konstantu Cv;. z-.0 Se zřetelem na tento výsledek upravíme výraz (IV-35) takto: m = rurv - r2! tv ěm = lyr, - t2, 2-0 TJrčujeme-li elektromagnetické pole v místě napravo od zdroje, bude určena vehkost t21 zc vzorce (IV-19). Funkce T„, je určena vzorcem (IV-20) pro z — 0. Je tedy Budíme-Ii na př. vlnovod lineárním proudem, protékajícím .sondou kolmou k ose vlnovodu (obr. 93), umístěnou v místě z = % je podle vzorce (IV-19) r^^Tre'í:'i;eiv,!/c,[gradf2]Udí a podle vzorce (IV-20) ! j r.,7^^e^/(,[grad5z])/0d/ i Potom 2jv r? T —í--í— e Sy>2 fe~J>''"-' 11 2j7, F? [S Ti (/[grad ^z])/„d/ = i Z tohoto vztahu vyplývá, že optimální vybuzení (největší 17"]) bude tehdy, bude-li X . X - , = ~ anebo lichý násobek -A nebot potom bude sin y,i 1 4 a protože je yt = —, je siny,^ = sin — = 1, což je maximální hodnota sinu 2tt Jako příklad výpočtu vybuzení provedeme výpočet vybuzení elektromagnetické vlny vidu TEl0 v obdélníkovém vlnovodu. Vlnovod je vybuzen sondou umístěnou kolmo 1 3__ rini Ořr. 94. Příčný a podélný řez vlnovodem s budicí sondou. k širší stěně vlnovodu (obr. 94). Naším úkolem je určit optimální polohu budicí sondy. Vlastní funkce vidu TE10 v obdélníkovém vlnovodu má tvar jTjo = cos — x 198 199 Norma této vlastní funkce je dána vztahem M = J" T\ dS = j" J cos2 — x dx dy = ~ ab kde a, b jsou rozměry obdélníku. Podle rovnice (IV-22) potom platí T -J—!-•->» ■:10)~2jrio/^ C/[gradri([0)Z])eiv-'/od/ Směr sondy má směr jednotkového vektoru y, element dl — dy. Protože grad Tliin) kde x je jednotkový vektor ve směru osy x, je pak 1 — sin — xx a a TifiB) — xt" 1 f*7t . n I — sin — J a a 1 1 1 « , * /ŕ dy : Tt . 71 , r, ., — IA sin — d (IV-37) kde /„ je celkový proud protékající sondou ha efektivní délka sondy d určuje polohu sondy (viz obr. 94). Známe-li amplitudu T/Vjoij určíme Hertzův vektor 17'° s= rj^síídjfl -Z Hertzova vektoru určíme intensitu elektrického pole podle vztahu 1 1 1 77 tu ■ " a ■ 71 Ťi— Tis- T7--Im Sln — a stn — x E.j= — jísw rot II™ = - - j(y/ír,(1(,i roty ri(10,z = — yottT*[lfl) — sin — jc a a Dosadímc-li zde podle rovnice (IV-37) za 7",(lW příslušný výraz, bude Ea = )atii. 2j 1 1 1 M* . Tv , . * — -j=rr -7^— l —) i «o sin —" sin — x e''«-Xio i fti ®ie W a a '■- a že Af — „ab, zjednodušíme vztah pro Se zřetelem k tomu, že u vidu riU(), je Fífí = E„ takto: 1 2 rl . w J . Jt =* w/í----r Lhn sin — d sin — * eW"? = 2}'10 aŕ a a =--r /.«(, sin - a sin — ä e':'"'- )'in ao ti a Z tohoto vztahu je vidět, že se maximální intensita elektrického pole vybudí tehdy, „ a re bude-li sonda v místě o souřadnici d= --, kdy výraz sin — d nabývá maximální hod- 2. a noty. 42. Buzení vlnovodu štěrbinou 1 . . , • t Vlnovod lze také budit štěrbinou (viz obr. 95). Tvary štěrbiny mohou být různé. Nej- : - častěji se používá úzkých dlouhých štěrbin. Dopadne-li elektromagnetická vlna, šířící se volným prostorem, na takovou štěrbinu, vybudí se ve štěrbině intensita elektrického pole. Feljd dokázal, že pokládáme-Ii stěnu vlnovodu za nekonečně tenkou a je-li šířka štěrbiny velmi úzká vzhledem k délce štěrbiny, vybudí se ve štěrbině elektrické pole, které rná v podélném směru sinusový průběh, a tečná složka intensity magnetického pole v rovině štěrbiny je nulová (obr. 95). Intensita elektrického pole ve štěrbině vybudí elektromagne- , tické pole ve vlnovodu. □ 1 t j H?f / L f a ste. j Obr. 85. Buzetli vlnovodu štěrbinou. Buzení vlnovodu štěrbinou lze řešit buď přímo z Maxwellových rovnic použitím Greenovy věty ve vektorovém vyjádření, nebo zavedením pomocných magnetických proudů a nábojů, které přecházejí na štěrbině v plošné magnetické náboje a proudy. Provedeme výpočet buzení vlnovodu podle první methody. Určíme amplitudy jednotlivých vidů Hertzova vektoru a z nich můžeme určit všechny veličiny elektromagnetického pole. Této methody bychom mohli použít i pří výpočtu buzení vlnovodu proudovými a nábojovými zdroji. Na základě Greenovy věty ve vektorovém vyjádření platí [viz rovnici (IX-23)] j([£ rot E,*] n) dS -f([E? rot EJ n) dS = = j(E rot rot £,*) dV — fc$t rot rot E) dV (IV-38) kde £ je intensita elektrického pole vybuzená štěrbinou (je to intensita výsledného elektrického pole ve vlnovodu) E* komplexně sdružená hodnota k intensitě elektrického pole El vidu s indexem 1. Obě tyto intensity elektrického pole vyhovují na základě Maxwellových rovnic rovnici rot rot E = k'E rot rot E;!; = k-Ef1 Se zřetelem k těmto vztahům odpadnou objemové integrály na pravé straně identity (IV-38). Proto je j\[E rot E*] n) dS — f([£f rot £] n) dS = 0 kde S je plocha omezující uvažovaný objem. Zvolme v našem případě takový objem, jaký 200 201 je znázorněn na obr. 96. Je omezen dvěma průřezy vlnovodu, vzdálenými odz.a částí pláště vlnovodu, obsahující štěrbinu (obr. 96). Označme plochy průřezů S, a S.í a plochu příslušné části pláště Sp. Potom bude f ([£ rot E,*] n) dS 4- J ([E rot £*] n) dS + j {[E rot E,*] n) dS — s, s. s„ - /"([£,* rot E] n) dčľ - j"([£,* rot EJ n) deľ -/([E,* rot E] n) dS = 0 (IV-39) *, ». J, j \ i ! i i i! í Obr. 96. Buzeni vlnovodu štěrbinou (označeni souřadnic). Plochy čľj a éľ, jsou vzdáleny jen o dz, a proto se budou hodnot}' integrálů lišit jen o diferenciál. Bude tedy platit j ([E rot E*] n) dčľ- J ([E rot E,*] n) dS -= JffErot E*j n) dS + j~{J ([£ rot £,*] rt) dsj d« — —J"([E rot E*] n)d5= -~| J"([E rot E,*J n) dsj dz (TV-40) a. a, Záporné znaménko u integrálu /([E rot E*] n) dS, příslušného původně označené ploše iľj,, je proto, že normála k této ploše má opačný směr než normála plochy Sr Stejně bychom odvodili, že piati j ([E* rot E] rí)dS-J ([E* rot E] n) dS = — j J ([E* :i*rot£]n)d5|d~ *« s (IV-4I) Tečná složka intensity elektrického pole vidu 1 je nulová na plášti vlnovodu i s e štěrbinou,1) proto je j ([E* rot E] n) dčľ == 0 (IV-42) ľ) Intensita elektrického pole E, je zdc, jak uvidíme dále, pomocná veličina. Je to intensita elektrického pole obecného vidu 1, který vznikne ve vlnovodu, není-li v něm Štěrbina. Tečná složka intensity elektrického pole E výsledné elektromagnetické vlny je nulová na kovové části pláště, mimo štěrbinu. Proto je j ([E rot E*] n) dčľ = J ([E rot £f| n) dS (IV-42.1) kde éľä' je plocha štěrbiny, příslušející délce vlnovodu dz. Upravíme-li ještě tento vztah, dostaneme ■ . J"([E rot E*] n) dčľ = j j ([£ rot E*] n) dí dz = = j j"([E rot E*] n) dsj d^ (IV-43) 8 neboť pro obecnou funkci f(sr) platí :+d: z+az j f(«) dz = [ F(z) | - F(z + dz) - F(s) - F'f» cts= f(jr)d2 i ^ Oít. 57. K buzení vlno- kde je í část obrysové křivky průřezu vlnovodu, příslušející - vodu štěrbinou, štěrbině (obr. 97). Uvážíme-li výsledky (IV-40), (IV-41), (IV-42) a (IV-42.1) a dosadíme-li je do rovnice (IV-39), dostaneme t m ([E rot E,*] z) dčľ 1 rot E] z) dčľ / ([E rot E,*] n) dí », », s (IV-44) kde z je jednotkový vektor ve směru normály na 5,, tedy ve směru osy vlnovodu n jednotkový vektor normály pláště £ intensita elektrického pole v místě štěrbiny. Z tohoto vztahu vyjdeme při výpočtu buzení příčné vlny elektrické i příčné vlny magnetické. 42.1 Buzení příčné elektrické vlny štěrbinou V tomto případě vyjádříme intensitu elektrického pole £ a £,* pomocí Hertzova elektrického vektoru II™ [viz rovnice (1-33) až (1-36)]: E = — j«/í rot, II" rot E = — jťí^iH = — jwii{k~Tl™ 4- grád div 11°') £,* = jw/í rotfn^* rot E,* = jw/íH,* — jroufÄTT"* — grad div IT.**) Hertzův vektor II"1 hledáme. Vyjádříme jej jako superposici Hertzových vektorů všech vidů: kde T.2n je funkce souřadnice z, která určuje poměrnou velikost Hertzova vektoru určitého vidu Tu známá vlastní funkce vidu n průřezu vlnovodu a je funkcí jen příčných souřadnic. 202 203 Výraz pro Hertzův vektor 11:° je zriám: n™ = e-J^T.z kde y. je konstanta přenosu, vidu 1 TY vlasmi funkce průřezu vlnovodu vidu 1. Protože v našem případě je intensita elektrického pole E* vyjádřena svou komplexně sdruženou hodnotou, bude a potom rot. ĺ =s — }u rotf tEjf = jro/.ťe-'^fgrad Tx}\ rot, E* = jcu:«(+ jy.) e '■ M grad, Rotaci lze aplikovat na funkční řadu "^T^T^z jen tehdy, konverguje-li tato řada rovnoměrně. Upravíme ještě vztah (IV-44). Provedeme-li skalární součin pod integrálem, zjednodušíme vztah (IV-44) takto: j Et rot, E* dS — JL j B$ rot,E dS = — J([£ rot E.*j n) ds Dosaďme za intensity elektrického pole odvozené výrazy. Potom bode ■ ~vM+ (7^ci'iv';) % grad, 3?j| dsj - + 2 [ § (í -e J;v) jf ferad' r<- srad< řá d5] = f «£H"J ") é (IV-45) kde je -1- f#$H* = rot Ej*. Plošný integrál 2J(gradj 7\„ grad, 7",,) dS upravíme podle Greenovy věty -0, pro n ± 1 ■ / "iMi> pro n = 1 kde M, jc norma vlastních funkcí TUí a Tu (viz orthogonálni vlastnosti funkcí 7)n). Pro-vedeme-li ještě derivaci podélných funkcí T*„ a e ■ í*ť podle souřadnice z, zjednodušíme vztah (IV-45) takto: Pravá strana této diferenciální rovnice je funkcí souřadnice z. Proto si pro zjednodušení označíme pravou stranu funkci {z). Potom musíme vyřešit nehomogenní diferenciální rovnici J { /'(grad, ri;l grad, T„) déf) - ľ- f T:J\dS. dz2 204 Kvadraturu této diferenciální rovnice budeme hledat pomocí Lagrangeovy methody variací konstant. Budeme postupovat stejně jako při buzení vlnovodu proudovými a nábojovými zdroji (viz čl. 45). Výsledek je Ja' 2}7l Ff M, _L / / ([H,*E] n) e;lľŕ ds dz pro jaw J J c'1'- i z >ä2 Při tom jsou £j a 2» souřadnice omezující štěrbinu v podélném směru a H,* ==. írTI"-;* -I- grad div n°]6 = &TveWz -jf- jy, grad (T^ď'i'z) Dvojitý integrál s uvedenými mezemi je vlastně plošný integrál přes plochu štěrbiny. Proto )0)U Obdobně bychom dostali ([n grad div (T^eW z)] E) dS pro z > á (IV-46) E 1« — H-([" grad div (T^e" '''líz)] E) dS pro a < ä (IV-47) jío/i kde t je jednotkový vektor kolmý na vektor notmály n a na směr šíření z (t = [nz]) £ intensita elektrického pole v místě štěrbiny T, vlastní funkce vlny TE vidu 1 M, norma této vlastní funkce. Známe-li amplitudy Hertzova vektoru jednotlivých vidů, určíme Hertzův vektor vybuzeného pole ve vlnovodu jako superposici všech vidů: Z tohoto Hertzova vektoru určíme složky intensity elektrického pole a magnetického pole podle (1-34) a (1-36). 42,2 Buzení příčné magnetické vlny stĚrhinou V tomto případě vyjdeme opít z rovnice (IV-44). Intensity elektrického pole £ a E,* budou příslušet magnetickým vlnám. Postup při výpočtu bude zcela stejný jako u příčných vln elektrických. Dospějeme opět k diferenciální rovnici pro amplitudu určitého vidu 7'^, Tato rovnice se bude lišit od rovnice (IV-45.1) jen pravou stranou d" T 1 1 /~ 1 ~ -f y,T* •- ;Vf r, J " íí£ rot, (7>ivz)] n\ ds pro z > st Tuto diferenciální rovnici budeme opět řešit Lagrangeovou methodou variací konstant. 205 Dostaneme tento výsledek: ÍM 2jy, /r M, s f{[E rot, (T,, e»i=z)] n} dč7 pro a > zi Upravíme ještě výraz pod integrálem (£[rotŕ {T^'z) n]) = (E[[gtad, (T^) z] r,]) = = - (Efgrad, Crj^'XflJt) - z.;gradř (Tlfi^) n)} = neboť (nz) = 0 (n L z) a (grád, (Tfi^) n)i = JL (Z^ť). Proto je r«= 2i, &-k**pro (IV-48) (iv-4y) kde jsou äu #{ souřadnice omezující v podélném směru štěrbinu E intensita elektrického pole v místě štěrbiny 2*„ vlastní funkce vlny TM vidu 1 M, norma vlastní funkce Tu Známe-li amplitudu Hertzova vektoru jednotlivých vidů elektromagnetické vlnyj určíme Hcrtzův vektor vybuzené vlny jako superposici všech vidů Z tohoto výrazu určíme potom složky intensity elektrického a magnetického pole podle rovnic (1-33) a (1-34). Podle vzorců (IV-41), (IV-47), (IV-48) a (IV-49) určíme velikost vybuzené vlny ve vlnovodu ä optimální polohu budicích prvků. Podle těchto vzorců budeme určovat v kap. V vlastnosti clon a štěrbin ve vlnovodu. 43. Buzení dutinových resonátorů Dutinové resonátory budíme stejně jako vlnovody. Obyčejně se provádí buzení sondou, smyčkou nebo štěrbinou. Při obecném časovém průběhu vysokofrekvenčních prvků vzniknou v dutině theoreticky všechny vidy. Naším úkolem bude určit velikosti intensity elektrického a magnetického pole jednotlivých vidů při buzení proudovým elementem a štěrbinou. 43.1 Orthogonální vlastnosti vlastních funkcí dutinových resonátorů Řešením Maxwellových rovnic pro elektromagnetické pole v dutinovém resonátorů bez zdrojů dostaneme pro intensitu elektrického pole známou rovnici rot rot E = k-E s okrajovou podmínkou, že na povrchu dutiny je tečná složka intensity elektrického pole nulová, tedy [En] = 0. K důkazu orthogonálnosti použijeme Greenovy věty ve vektorovém vyjádření (IX-23). Při určování elektromagnetického pole v dutinovém resonátorů jsme zjistili, že v dutinovém resonátorů může existovat diskrétní řada vlastních elektromagnetických polí, kterým odpovídají určité vlastní funkce. Těmto vlastním funkcím jsme. přiřadili tři indexy m, rt, p, charakterisující druh elektromagnetické vlny. Označme intensitu elektrického pole jednoho vlastního řešeni elektromagnetického pole v dutině E^, 'kde index n představuje jednu kombinaci indexů 7», n, p; intensitu elektrického pole druhého takového řešení označme £,,. Oba vektory, Efl i £m, vyhovují diferenciálním vztahům rot rot £m =s /t;,E,„ rot rot £ = éf£n (IV-50) (IV-51) kde ka a kn jsou vlastní vlnová čísla, udávající vlastní délky vlny dutiny. Při tom pokládáme intensity elektrického a magnetického pole za časově harmonicky proměnné veličiny. Proto vektorové funkce E„ a E„ představují amplitudy intensity elektrického pole a jsou to obecně komplexní čísla. Dosaďme ve vztahu (í-23) za Q vektor intensity elektrického pole E.., a za P komplexně sdruženou hodnotu vektoru intensity elektrického pole £*. Potom dostaneme /*(£„ rot rot £,f) d V — f([E* rot rot EJ d V = - f ([E* rot £„'] li) dS - f ([£. rot E,f ] n) dS Protože-o £n i o £rl platí, že jejich tečné složky na ploše S, omezující dutinu, jsou nulové, tedy že [nEJ i [nE ] jsou na ploše 5 nulové, bude levá strana předcházející identity nulová. Potom, použijeme-li vztahů (IV-50) a (IV-51), dostaneme & — k;a) /(E,f£,Jdľ=0 Z toho plyne, že pro n 4= m platí2) (*(£„*£„) áV=0 (IV-52) Vztahem (IV-52) jsou charakterisovány orthogonální vlastnosti vektorů £n a £ln. Pro n = m platí [(E„E*) dK= Aí,r kde Ma je norma vlastní funkce £„. Stejně bychom odvodili orthogonální vlastnosti pro funkce určující intensitu magnetic- kého pole: /(H?H,JdF= 0 v /(H„H*)dF= M„„ kde Mb„ je norma vlastní funkce HK 2) Tento vztah neplatí pro degenerované vidy. V dalších úvahách degenerované vidy vylučujeme. 206 207 Norma vlastní funkce Etl, jak vyplýva z príslušného výrazu, je úmerná střední hodnote energie elektromagnetického pole vidu n v dutině: kde Wfl je energie elektrického pole vidu n v dutine, neboť Obr. 98. Buzeni vlnovodu smyčkou. Stejně platí o normě vlastní funkce magnetického pole neboť v dutině platí, že energie elektrického a magnetického pole je stejná. Tedy také v 43.2 Buzení dutinového resonátoru proudovým prvkem Budeme uvažovat buzení takovým proudovým a nábojovým prvkem, jehož proudy a náboje jsou obecně časově proměnné (obr. 98). Při obecném časovém průběhu veličin elektromagnetického pole mají Maxwellovy rovnice tento tvar: I rot H = |P-f J rot E = — řB f t div H = 0 div D = d Vyloučíme-li intensitu elektrického pole z uvedených rovnic, dostaneme pro ni tento vztah: rot rot £ a- ri (IV-53) Dosadíme v rovnici (IX-22) za vektor P vektor intensity elektrického pole £ a za vektor Q vektor intensity elektrického pole Ea vidu n j (rot E rot E*) dV — J (E? rot rot E) dV =;/([E„ rot E] n) dS r r s ' \ kde V je objem dutiny • S plocha uzavírající dutinu n jednotkový vektor normály na plochu 5. Dosaďme za rot rot £ příslušný výraz z rovnice (IV-53) a za rot £ příslušný výraz z Maxwellovy rovnice; potom bude • (rot E rot E„) dK-|- m (EEJ dV4- - U f Í*, "f) W = -,« -| J ([£„H] n) d5 (IV-54) Při tom je třeba uvážit, že vlastní vektorová funkce E, je časově nezávislá. Uvedli jsme již v části pojednávajíc; o dutinových resonátorech, že v dutinovém resonátoru vznikají stojaté vlny elektrického a magnetického pole. Časové a prostorové uspořádání intensity elektrického a magnetického pole, vzniknou-li stojaté vlny těchto veličin, je dáno, jak víme na př. z theorie kmitání struny, součinem dvou funkcí: funkce prostorového uspořádání a funkce časového uspořádání. Vyjádříme tedy uspořádání intensity elektrického pole obecného vidu m takto: kde P je obecný bod v dutině t čas E,„(P) vlastní vektorová funkce intensity elektrického pole vidu m v bodě P qm(t) časová funkce intensity elektrického pole. Hledanou funkci intensity elektrického pole £ a magnetického pole H vyjádříme jako superposici všech vidů (IV-55) Předpokládejme, že tyto funkční řady stejnoměrně konvergují. V tom případě lze integrovat i derivovat člen po členu. Dosaďme tuto řadu do rovnice (IV-54): 2 ?«j («* e«. rot ej dv r- & 2d dV - - /.i 7 ^ d?m Jil^HJ n) dS Vlastní funkce jsou v oboru objemu dutiny orthogonální. Rovněž jsou orthogonální 208 11 - Zákliuiy techniky 209 vektorové funkce rot £mJ neboť rot£nl= — m'Hm, a vektorové funkce Hm jsou také orthogonální. Tím dostaneme f ([E„HJ n) áS J (rot E„ rot EJ dF *SL ^V^I ^_+g -Ll__ dt2 1 ^ dr £.. í1 dF (IV-56) V druhém členu této diferenciální rovnice zůstává součet, neboť orthogonální vlastnosti vektorových funkcí £m a Hm jsou definovány objemovým integrálem, nikoli plošným. Pro různé hodnoty n dostaneme soustavu diferenciálních rovnic typu (IV-56) pro časové funkce qv Převládá-Ii však u budicího proudu harmonická, jejíž kmitočet je blízký vlastnímu kmitočtu resonátoru s vlnou určitého vidu, nastane resonance amplitudy tohoto vidu. Amplitudy ostatních vidů budou potom zanedbatelně malé. V tomto případě, za-nedbáme-li u diferenciální rovnice (IV-56) v druhém členu na levé straně všechny vyšší vidy, zjednoduší se rovnice (IV-56) takto: dí2 ' dt e dS /'(E, E„) dF 9. f (rot E„ rot E„) dF / ;E, EJ dF i r J M)- /(£„£.,) dF Označme dále pro jednoduchost 1 ; J*(rot E„ rot £„) dF J (E, EJ dF v /([E..HJ n) d: /(£„£„) dF kde a>„ je vlastni kmitočet vidu n [viz výraz (III-9)] b konstanta útlumu. Potom bude d-?, , , dqa . dF dí' (IV-57) kde J je hustota budicího proudu £„ vlastní vektorová funkce intensity elektrického pole. Bude-li však při jednom kmitočtu resonovat několik vidů současně, vzniknou t. zv. degenerované kmity (viz obr. 59). V tomto případě nelze z jedné diferenciální rovnice určit amplitudu požadovaného vidu. Musíme řešit tolik diferenciálních rovnic, kolik vidů resonuje současně na jednom kmitočtu. Těmito případy se nebudeme zabývat, neboť jsou v praxi nežádoucí a snažíme se jich vyvarovat. Uvedli jsme již v čl. 34.1, že u degenerovaných kmitů se velmi zmenší činitel jakosti. Je to vidět v rovnici (IV-54) u druhého členu, kde ekvivalentní výraz pro útlum je nesrovnatelně větší, než je u jednoho vidu, neboť v čitateli je součet. Rovnice (IV-57) je nehomogenní diferenciální rovnice a řešíme ji methodou variaci konstant. Mi-li hustota budicího proudu harmonický průběh, je kde oj je úhlový kmitočet proudu. Potom bude mít i q harmonický průběh se stejným kmitočtem I . ?„(0 = ?„eJlJÍ - a diferenciální rovnici (IV-54) zjednodušíme takto: ' f"2?,, t )<"bq„ — = /(£J„) dF Odtud plyne pro amplitudu qa výraz )0> /(£„£,) dv r /b /(EA) d F Budimc-li resonator proudem stejného kmitočtu, jako je vlastní kmitočet dutiny dostaneme další zjednodušení 9.' /(EJJ dF V f /(£,£..) dF (TV-58) Podle tohoto vztahu určíme velikost intensity elektrického pole vidu En, budíme-li resonator proudem stejného kmitočtu, jako je vlastní kmitočet dutiny vidu, definovaného indexem n. Vzorec (IV-58) platí i u vlnovodových dutinových resonátoru pro příčné vlny elektrické i pro příčné vlny magnetické. 210 211 Budí-li se resonátor proudem obecného časového průběhu, určíme velikost q podle vztahu (IV-56). Obvykle nás však zajímá i při takovém obecném časovém proudovém vybuzení jen ta harmonická, která přísluší vlastnímu kmitočtu dutiny. V tomto případě rozložíme časovou funkci, určující budicí proud, v harmonické, z nichž použijeme jen té, která je shodná s vlastním kmitočtem dutiny. Její velikost určíme potom podle vzorce (IV-58), kde Jm představuje požadovanou harmonickou hustoty budicího proudu. Obr. 9.9. Uspořádáni budicí smyčky. Ve vzorci (IV-58) jde o vybuzení dutinového resonátoru obecným proudovým uspořádáním. Bude-li dutinový resonátor vybuzen lineárními proudy, soustředěnými v sondě nebo ve smyčce, přejde'objem V v objem drátěné sondy nebo smyčky, to znamená, že přejde ve válec konstantního průřezu p. Potom bude áV= p dl kde dl je element délky sondy nebo smyčky (viz obr. 99). Označme celkový proud protékající budicím prvkem /,.. Potom bude /, = pJ kde p je průřez drátu ./ proudová hustota. Z toho /-i P Dosadíme-li uvedené vztahy do rovnice (IV-58) a pokládáme-li proud | za konstantní v budicím prvku, dostaneme f (EJ) dl 1 í_. ?„ = —r —f--h b 6/(E„E„)dľ ľ kde / je jednotkový vektor ve směru tečny budicího prvku. Činitel útlumu je zde dán vztahem /([E„H„] n) dS (IV-59) b = e J(E,E„) dV P, ir kde P je ztrátový výkon elektromagnetické vlny vidu n ve stěnách resonátoru W celková energie elektromagnetické vlny vidu n. Integrál j (E,„/) dl je křivkový integrál přes křivku / danou geometrickým uspořádáním budicího prvku (sondy, smyčky) a 7C je střední proud v budicím prvku. Známe-li velikost qal určíme intensitu elektrického pole podle rovnice (IV-55). I Na základě vzorce (IV-59) lze určit tyto závěry: • 1. Je-li směr sondy, udaný jednotkovým vektorem /, libovolný, %ybudí se všechny vidy. 2. Chceme-li vybudit jen žádaný vid s maximální možnou amplitudou, udaný indexem n, musíme umístit sondu do místa maximální hodnoty En; směr jednotkového vektoru musí být rovnoběžný se směrem intensity En, kterou chceme vybudit. Je-li dutinový resonátor buzen smyčkou, je amplituda příslušného vidu také dána vzorcem (IV-59). Je-li tvar smyčky takový, že ji lze pokládat téměř za uzavřenou (viz obr. 100), upravíme křivkový integrál vzorce (IV-59) podle Stokesovy věty takto: Í(EJ) dl = J"(rot £„ dS) t s kde S je plocha smyčky. Protože podle Maxwellovy rovnice j e rot E„ = — jw,«Htl ' je pak smyčko Obr. 100. Uspořádáni budicí smyčky (téměř uzavřené). (EJ)dl= - m /(H.dS) Potom JÍŮfÁ >,«/("„ dS) í, - dV (IV-60) 212 kde 6" je plocha budicí smyčky Ha vlastní vektorová funkce intensity magnetického pole v místě smyčky 7Ľ celkový proud, protékající budicí smyčkou. Z tohoto vzorce vyplývá, že se budí v dutinovém resonátoru všechny vidy, pokud /(H* dS) * 0. a Aby byla velikost qn pro daný vid maximální, je třeba smyčku umístit v místě maximální hodnoty intensity magnetického pole a rovina smyčky musí být kolmá ke směru intensity magnetického pole vidu, který chceme vybudit. 43.3 Buzení dutinového resonátoru štěrbinou Velmi často bývá dutinový resonátor buzen štěrbinou (obr. 101). Intensita elektrického pole v místě štěrbiny vybudí elektromagnetické pole v dutině. Buzení dutinového resonátoru štěrbinou použijeme všude tam, kde chceme uskutečnit malou vazbu mezi dutinou a budicím zdrojem. Mimo to se nepoužívá na velmi krátkých vlnách, od 3 cm níže, jako napájecího vedení souosých vodičů, nýbrž vlnovodů a vazbu mezi vlnovodem a dutinou uskutečníme v tomto případě nejsnáze štěrbinou. 213 vlnovod Budeme předpokládat, že intensita elektrického pole ve štěrbině se mění s časem harmonicky. Potom, nebudou-li uvnitř dutiny žádné proudové a nábojové zdroje, vyplyne z Maxwellových rovnic pro intensitu elektrického pole vztah i rot rot E = k-E (IV-61) Při odvození amplitud intensity elektrického pole jednotlivých vidů použijeme opět vztahu (IX-22), kde za vektor Q dosadíme vektor intensity elektrického pole £ a za vektor P — vektor Eu, který přísluší indexu n. Potom dostaneme vazební Štěrbina - reiafátor Obr. 101. Štěrbinová vazba vlnovodu na resonátor. j (rot £ rot £„) dV — r -f (E rot rot £„) dP" = = /{[£ rot EJ n)dS (IV-62) kde F je objem dutiny S plocha omezující dutinu. Kdyby byly stěny dutinového resonátoru dokonale vodivé, byla by tečná složka intensity elektrického pole ve stěnách nulová. V našem případě budeme uvažovat konečnou vodivost stěn. Plocha é> zahrnuje také štěrbinu, kterou budíme vlnovod. Označme plochu štěrbiny Sí a intensitu elektrického pole na této ploše £. Intensitu elektrického pole vyjádříme jako superposici intensit elektrického pole všech vidů: m kde qm je amplituda vidu s indexem m. Dosadíme-li tento výraz do rovnice (IV-62), pak se zřetelem na orthogonální vlastnosti funkcí E„ a na rovnici (IV-61), neuvažujeme-li degenerované kmity, dostaneme ?„J'(rot £ jot E„) dV — klq„ J(.ErEJ dV = y t = Wm» j\íE„H„] ") dčľ - pm f([£HJ n) dč? kde 5, je plocha štěrbiny E intensita elektrického pole v místě štěrbiny (harmonického průběhu) 5 — Si plocha pláště resonátoru bez plochy štěrbiny ku vlastní vlnové číslo vidu n. Při tom jsme opět zanedbali v plošném integrálu vyšší vidy, neboť jsou zanedbatelně malé proti vidu, který má stejný kmitočet jako kmitočet intensity elektrického pole ve štěrbině. Dělíme-li předcházející rovnici výrazem J(E„£0*) dV, dostaneme v jiiňi^mmm |([E,,H,,]n)dS\ /([EHJlOdS i. j (EnE„) dV — k~- -j jo/! >„EJ dV = — jtoří /(£.£„) dV Protože můžeme podle rovnice (II1-9) vyjádřit vlastní vlnové číslo vztahem J"(rot £* rot E„) dV. £2 _ Z__LjL /(E„EJdF . \ v r, zjednodušíme vztah pro amplitudu qn a dostaneme ;< - /([EHJn)dS kde tJ(EuEJ dV j'([£.HJ n) dS b = s /(£„£„) dV (IV-63) kde 5 je plocha omezující dutinu Sj plocha štěrbiny. Vzorcem (IV-63) jc určena amplituda qu vidu s indexem n, vybuzeného intensitou elektrického pole E ve štěrbině. Ze vzorce vyplývá, že maximální vybuzení nastane tehdy, bude-li intensita elektrického pole E ležet v rovině štěrbiny (kolmo ke směru normály n). PŘÍKLADY Příklad 1. Obdélníkový vlnovod je buzen smyčkou umístěnou v širší stěně vlnovodu. Určete optimální polohu smyčky, má-li se vybudit vid TE[U, a dokažte, že amplitudy vyšších vidů konvergují se vzrůstajícím videm. Príklad 2. Kruhový vlnovod s videm TEU je vybuzen sondou. Určete optimální polohu sondy. 214 215 V. NESPOJITOSTI VE VLNOVODECH V této kapitole se budeme zabývat nespojitostmi ve vlnovodech. Nespojitost vlnovodu může být způsobena porušením pravidelnosti vnitřního prostoru vlnovodu nebo porušením pravidelnosti stěn, omezujících vlnovod. Pravidelnost vnitřního prostoru porušíme na př. tím, že vložíme do vlnovodu budicí nebo přizpůsobovací prvek, Změníme průřez vlnovodu, anebo zahneme či zkroutíme vlnovod. Pravidelnost stěn porušíme tím, že provedeme ve stěně vlnovodu, štěrbiny, vazební otvory atd. Provedeme podrobnější kvalitativní rozbor clon, skokové změny průřezu vlnovodu a vlivu štěrbiny ve vlnovodu. 44. Orthogonální vlastnosti příčných složek intensity elektrického a magnetického pole V kap. II jsme vyjádřili všechny složky intensity elektrického a magnetického pole pomoci Hertzova vektoru a v kap. IV jsme dokázali orthogonálnost Hcrtzova vektoru v oboru průřezu vlnovodu. Dokážeme, že i příčné složky intensity elektrického a magnetického pole Et a H j jsou v oboru průřezu vlnovodu orthogonální. Hertzův magnetický i elektrický vektor jsme vyjádřili jako součin příčné funkce 7"„ a podélné funkce T.:í, kde 1 je index označující vid. Při tom jsme dokázali, že přičná funkce Tv vyhovuje vlnové rovnici a okrajovým podmínkám, že na obvodu průřezu vlnovodu je u příčných magnetických vln funkce 7",, nulová a u příčných vln elektrických funkce -r— nulová. Za těchto podmínek jsou funkce Tn v oboru průřezu vlnovodu orthogonální, při čemž je norma dána výrazem rTl dS = Af, U příčné magnetické vlny jsou příčná složka intensity elektrického pole a příčná složka intensity magnetického pole vidu 1 určeny vztahem H™ jft>£ rot, IT; = jcuefgrad, ÍT'.z] — p>eT2l[gta.dt Tlxz] 'čT., grad, div 11° = ~i'■' grad, Tu cz dT.„ Pro danou souřadnici z jsou funkce r21 a konstantní. Proto lze psát H™= Q.fgrad, Tuz\ E™ = Qgra^n, (V-l) (V-2) kde C„, a Cc, jsou konstanty. Stejně odvodíme výrazy pro vlastní funkce příčné složky intensity magnetického a elektrického pole příčné elektrické vlny. Dokázali jsme, že platí pro příčnou složku intensity elektrického a magnetického pole vlny TE (viz příslušnou část o vlnovodech, čl. 17) 3IV HJ,E = grad div ITľ, tiz grad. Ti, E" — — yoii[grad H."zJ = — jo/.t ra,[grad Tuz] cT Pro určitou velikost souřadnice z je funkce —~ konstantní. Označíme tuto konstantu cz CJjE. Stejně je pro určitou velikost souřadnice z funkce —jw/.i.T^ konstantní. Označíme tuto konstantu C™. Potom bude t Eŕ,K^C™[gradrjlZ] (V-3) Hf = Q!'- gradf r2, (V-4) kde Tu je vlastní funkce Hertzova vektoru. Výkon přenesený vlnovodem je dán integtací Umov-Poyntingova vektoru přes průřez vlnovodu P \j (z[EH*]) dS kde z je jednotkový vektor ve směru osy vlnovodu (ve směru přenášení výkonu) E, H celková intensita elektrického a magnetického pole ve vlnovodu. Při číselném vyjádření tohoto integrálu budou přispívat jen příčné složky intensity elektrického a magnetického pole (kolmé k z). Příčnou složku intensity elektrického a magnetického pole lze obecně vyjádřit jako superposici příčných složek intensity elektrického a magnetického pole jednotlivých vidů vlny TM a TE 1 k H, - 2"L* + IH™ kde 1, k, m, n jsou indexy označující vid. Potom bude 216 (V-5) 217 Vynásobime-li součty pod integrálem, bude přenesený výkon určen součtem integrálů typu /TM TM f Tli TE WM&M\ J (z[E1KH*])dé7 /ti! T K f TE T3t (zlE.H^dS; J (z[E,tH*T) dS (V-6) Provedeme podrobnější rozbor každého z těchto integrálů. Dosadíme pod integrály za příčné složky příslušné výrazy z rovnic (V-l), (V-2), (V-3) a (V-4): f tlí ™ m tm T m ra J (z[E„ H* ]) dčľ = Cal Cta J {z[(gradt 7/lt [grad, rln,z])} dS = ^0 pro m =£ 1 — — Ca Chm / (gradj 2\, grad, Tlm) dS — <^ 1M (V-7) J — C„, Ch, Tf M, pro m = I neboť platí podle Greenovy věty (se zřetelem na okrajové podmínky vlny TM)j 7"™ — 0 (na plášti) J(grad, Tf1 grad, Tt™) dé7 - ľf J T^T™ dS — j~T™ -^-f- ds = 0 z čehož (grad T™ grad T™) dč? = I 1 I 1 U 1 m dS Dokázali jsme již, že vlastní funkce Hertzova vektoru T™, T™ jsou orthogonální /O 'Nví, r™r™d5 = / kde Ml je norma vlastních funkcí Tu. Proto je / fgrad T™ grad Tf) dS / 0 pro m 4= I rfM, pro m — 1 (V-7a) Při tom v rovnici (V-5) C™ je amplituda příčné složky intensity elektrického pole vidu 1 vlny TM CM amplituda příčné složky intensity magnetického pole vidu 1 vlny TM. Dokázali jsme v čl. 9, že poměrem absolutní hodnoty příčné složky intensity magnetického pole a příčné složky intensity elektrického pole je určena charakteristická admitance vlnovodu daného vidu. Platí tedy se zřetelem na rovnice (V-l) a (V-2) 218 Potom, upravíme-li rovnici (V-7), bude (z[E™H*]) dS: / 0 pro 1 4= rn Obdobně bychom upravili druhý integrál v rovnici (V-6) * TE (z[EJBH*J) dS = yO pro k 4= n \CŠVY?rtW pro k - n (V-8) (V-9) kde v rovnicích (V-8) a (V-9) je C™ je amplituda příčné složky intensity elektrického pole vidu 1 vlny TM F,rlt ' charakteristická admitance vlnovodu vidu 1 vlny TM Aíj™ norma vlastní funkce Hertzova elektrického vektoru vidu 1 CJkE amplituda příčné složky intensity elektrického pole vidu k vln TE YlE charakteristická admitance vlnovodu vidu k vln TE AÍJĽ norma vlastní funkce Hertzova magnetického vektoru vidu k. Dále upravíme třetí integrál v rovnici (V-6). V tomto integrálu dosadíme za E™ a H,"; příslušné výrazy z rovnice (V-2) a (V-^4) /(z[E,?'H*]) dí= CXf (z[grad( T™ grad,, T™}) dS Plošný integrál upravíme podle Gaussovy věty. Podle této věty platí f div [vu] dV = f (n[vu]) dčľ ľ B kde v, u jsou libovolné vektory V objem uzavřený plochou 5. Dosaďme v našem případě za v = grad( 7"™, za o = gradf T'™:. Za objem V považujme část vlnovodu omezenou piůřezem vlnovodu 5 a pláštěm vlnovodu směřujícím na jedné straně k nekonečnu. Plochu pláště označíme Sr. Potom /div [grad, TI? grad 7/™;] dV = f (zfgrad ff grad, T%]) dS | + J(nfgrad Tg grad, jgfi dS Plocha 5 je v tomto případě průřez vlnovodu. Normála k této ploše má směr z. Dále div [grad, r;,M grad T™J = (rot grad, T™ grad, T™) — - (rot grad, T™ grad T") = 0 neboť plati identicky, že rot grad 7"™ a rot grad T™ jsou nulové. Potom bude |(z[grad Tf* grad T%]) dS+ f [nfgrad f$ grad ígjj dS = 0 ä,, kde n je jednotkový vektor ve směru normály k plášti Sv. Protože vektor [grad Tjf1 . 219 . grád TJ*] je rovnoběžný s osou vlnovodu z a n J_ z, je druhý integrál v předešlém vztahu nulový. Potom bude j(zfgrad jj* grad 2*j]) = 0 pro každé 1 a n a /TE (z[E,fH» ]) dčľ = 0 pro každé 1 a n (V-10) s Stejně platí o čtvrtém integrálu (V-6) výraz (důkaz je stejný jako u třetího integrálu) /(z[E™H™J)dč?-= O pro každé kam (V-ll) s Vynásobíme-li součty v rovnici (V-6), dostaneme se zřetelem na rovnice (V-8), (V-9), (V-10) a (V-ll) pro výkon přenesený vlnovodem p = + S (C™)2 + s2 (C-E)2 (V-12) "i k Ze vztahu (V-12) je vidět, že celkový výkon přenesený vlnovodem je dán superposicí přenesených výkonů jednotlivých vidů vlny TM a TE (zákon superposice). 45. Dva vlnovody různého průřezu, spojené obecným prostorovým transformátorem Porušení pravidelnosti vnitřního prostoru vlnovodu lze ve většině příkladů pokládat za zvláštní případ obecného prostorového transformátoru, znázorněného na obr. 102. Transformátor je vytvořen dutinou, omezenou dokonale vodivým povrchem. Do této dutiny ústí dva vlnovody, které mohou mít obecně různý průřez. Označme plochy vlnovodů, jimiž jsou vlnovody připojeny k dutině, SL a S, a dokonale vodivý povrch dutiny S7. Určíme vztah mezi vstupní impedancí transformátoru a výstupní impedancí. Na základě vztahu (IX-22) platí pro objem dutiny, dosadíme-li za vektor P vektor intensity elektrického pole E a za vektor Q komplexně sdruženou hodnotu k vektoru intensity elektrického pole E*, výraz f (rot E rot E*) dV —j (E* rot rot E) dV = f ([E* rot EJ n) dčľ ¥ v í Z Maxwellových rovnic vyplývá, že rot E — —jcuuH, rot E* = jm/iH* a rot rot E = = o>-/if.E. Proto lze upravit předešlý vztah takto: i j ([E* H] n) dčľ = jeu . 1 jľ[«(HH*) — «(££*)] dV 3 y Pravá strana tohoto výrazu představuje časovou změnu rozdílu energie elektrického a magnetického pole v dutině transformátoru. Povrch S rozdělíme na povrchy SL, čľ„ a čľ3 (viz obr. 102). Potom bude l f ([EH*] n) dčľ + § J ([EH*] n) dS+lf ([EH*] n) dS = jcoW $i 9* 220 kde W je rozdíl energie elektrického a magnetického pole v transformátoru. Na dokonale vodivém povrchu transformátoru bude \ (([EH*] n) dS = 0 ,• ■ *r i neboť na vodivém povrchu platí okrajová podmínka [En] = .0 na ST. Potom bude i if ([EH*] n) dčľ + i j ([EH*J n) dčľ = \o>W (V-13) s, a, kde Si je průřez jednoho vlnovodu transformátoru S.z průřez druhého vlnovodu transformátoru. \7 -Obr. 102. Prostorový vlnovodový transformátor. Normála n v tomto vztahu bude mít tedy směr osy vlnovodu. U prvního členu to bude směr osy prvního vlnovodu a u druhého členu směr osy druhého vlnovodu. Přenesený výkon je dán superpor.icí přeneseného výkonu jednotlivých vidů. Proto platí na základě výrazu (V-12) + itec^w/w-r- AÍ(C™/yľTsMr + ] t i k kde 2 "značí, že jde o součet na ploše St l.k 2 je součet na ploše čľ.,. t. k V dalšim textu nebudeme zvlášť rozlišovat vidy TM a vidy TE. Potom bude + ásS&ř?M4+ ÁCIYJIM^ ]coW (V-14) kde je amplituda intensity elektrického pole vidu k vlny TM nebo TE yk charakteristická admitance vlnovodu vlny TM nebo TE vidu k Aík norma vlastní funkce Hertzova elektrického nebo magnetického vektoru vidu k I\ příčná vlnová konstanta vlastní funkce Hertzova elektrického nebo magnetického vektoru. 221 Zjednodušíme ještě dále označení ve vztahu (V-14) tak, že nahradíme výraz TjMk novým výrazem MiU: Mlt) = HAÍk . (V-15) kde Aí"° budeme nazývat normou vlastní funkce příčné složky intensity elektrického pole vidu k vlny TM nebo TE. Potom lze upravit výraz (V-14) takto: + klC^M" + iSQíVVr' = \e>W (V-16) Zavedli jsme již na začátku této části podmínku, že se oběma vlnovody šíří jen dominantní vid. Ostatní vidy se vlnovodem nešíří a jejich admitance Yt jsou imaginární. Proto oddělíme v součtech vztahu (V-16) členy, které příslušejí dominantnímu vidu, od ostatních vidů. Mimo to uvážíme, že se vlnovodem s průřezem S1 šíří směrem proti kladnému směru normály na ploše St (směrem k transformátoru) jen dominantní vid, kdežto ostatní vidy, které vzniknou až po odrazu, šíří se ve směru normály (za kladný směr normály považujeme směr vně transformátoru). To znamená, že charakteristická admitance dominantního vidu bude mít záporné znaménko, kdežto charakteristické admitance ostatních vidů budou mít znaménko kladné. Ve výstupním vlnovodu (s plochou S.,) se šíří všechny vidy (dominantní i vyšší) směrem od transformátoru, a proto budou mít charakteristické admitance kladné znaménko. Potom bude .!, s, V k kde Yl je admitance dominantního vidu v místě plochy S, ya charakteristická admitance dominantního vidu výstupního vlnovodu v místě S, Yk charakteristická admitance vyšších \'idů. Protože se oběma vlnovody šíří jen dominantní vidy, jsou tyto charakteristické admitance Yk ryze imaginární. Vyjádříme-li z předešlého vztahu vstupní admitanci Yv dostaneme Admitance vyšších vidů jsou imaginární, a tedy součty v předešlém výrazu budou také imaginární. Proto bude (V-17) kde Ft je vstupní admitance transformátoru Ka charakteristická admitance dominantního vidu výstupního vlnovodu C2 poměrná velikost intensity elektrického pole dominantního vidu výstupního vlnovodu CL poměrná velikost intensity dominantního vidu vstupního vlnovodu B vstupní susceptance transformátoru |ykJ absolutní hodnota charakteristické impedance vidu (k) vstupního a výstupního vlnovodu. Poměr (—1 —- je ekvivalentní převodu transformátoru a W rozdíl clckttickč a magne-\ci/ Mi tické energie transformátoru. Ve vzorci (V-17.1) jsou charakteristické admitance jednotlivých vidů určeny vzorcem (11-24) pro příčnou vlnu magnetickou a vzorcem (11-27) pro příčnou vlnu elektrickou. Budeme-li znát uspořádání elektromagnetického pole v transformátoru, budeme umět určit všechny potřebné veličiny ve vzorcích (V-17) a (V-17.1). V dalším článku provedeme na základě vzorců (V-17) a (V-17.1) rozbor vlastností některých jednoduchých vlnovodových impedančních transformátorů. 4ó, Clona ve vlnovodu Nejjednodušším vlnovodovým impedančním transformátorem je clona. Je to kovová, dokonale vodivá překážka, umístěná kolmo k ose vlnovodu (obr. 103). mm '/■'///. j wš \ l 1 \ kovová Část clony Obr. 103. Kovová clona ve vlnovodu. Má-li clona konečnou tloušťku, bude transformátor vytvořen prostorem uvnitř clony (obr. 104). Obyčejně však ve výpočtu považujeme clonu za nekonečně tenkou. V tomto případě přechází objem transformátoru ve dvě soumezné plochy S, a ČT., (viz obr. 105). -- ..-- -- ----.--- 1 prostorový trcnsformótor ' Obr. 104. Přiklad vazebního transformátoru mezi dvěma vlnovody. í » . . 4- Šíj i \ Obr. 105. Kapacitní clona v obdélníkovém vlnovodu. Protože objem transformátoru bude v romto případě nulový, bude i rozdíl energie W v transformátoru nulový. Další zjednodušení proti obecnému případu transformátoru je 222 223 v tom, že při cloně jsou oba vlnovody stejné. Potom jsou amplitudy příčných složek intensity elektrického pole v průřezu SA stejné jako v průřezu Ss. Proto ve vzorci (V-17.1) je Cy = C2; Mx = M. ICA'M, Za těchto okolností bude mít vzorec (V-17) tvar B - (V-18) (V-18.1) Oér. /Off. Náhradní schema clony. kde Y = F2 je charakteristická admitance vlnovodu dominantního vidu B susceptancc clony. Náhradní zapojení clony znázorňuje obr. 106. Dále provedeme kvalitativní rozbor susceptance (je-li indukční nebo kapacitní) jednotlivých druhů clon. <6.1 Clona v chdéfrukovÉm vlr.ovodu, jejíž hrany jscu rovnoběžné s menším rozměrem vlnovodu Kdybychom znali přesné uspořádání elektromagnetického pole v otvoru clony, uměli bychom určit amplitudy všech vidů a tím i povahu a velikost susceptance. Je dosti obtížné určit přesné rozložení pole v otvoru, avšak pokusíme se o to v další části. Provedeme proto nejdříve jen kvalitativní rozbor. Dominantním videm v obdélníkovém vlnovodu je vidTElu. Intensita elektrického pole tohoto vidu má směr osy y a její velikost závisí jen na souřadnici x, nikoli na souřadnici y. Elektromagnetická vlna dominantního vidu dopadne na otvor clony a vybudí v otvoru elektromagnetické pole. V otvoru clony vznikne potom takové pole, jehož velikost nezávisí na souřadnici v a které bude jen funkcí x. Můžeme tedy intensitu elektrického pole v štěrbině vyjádřit výrazem £ = B(x) y kde y je jednotkový vektor ve směru osy y. Rozložme si tento výraz v řadu vlastních funkcí intensity elektrického pole vidů příčného elektrického a příčného magnetického. Tím určíme amplitudy jednotlivých vidů. Potom bude I I ■v I Obr. 107. Indukční clona v obdélníkovém vlnovodu. E(x) y - kde C" je amplituda intensity elektrického pole příčného elektrického vidu C™ amplituda intensity elektrického pole příčného vidu magnetického £™ vlastní funkce příčné složky intensity elektrického pole příčného vidu elektrického E,[a vlastní funkce příčné složky intensity elektrického pole příčného vidu magnetického. Jak jsme dokázali, jsou tyto funkce vzájemně orthogonální v oboru průřezu vlnovodu. Budeme-li tedy integrovat předcházející výraz v oboru 5, dostaneme, uvážíme-li ortho-gonálnost funkcí. Mi J E(x)T™dS (Vf19) kde Mí je norma vlastní funkce a C? E(x) ES* dS (V-20) V našem případě jde o obdélníkový vlnovod. Vlastní funkce příčných složek intensity elektrického pole určíme podle rovnic (V-3) až (V-6). Funkce Tt příčné magnetické vlny u obdélníkového vlnovodu je dána vztahem .Mít ; rnz T/., = sin — x sin -y- v a b a u příčné vlny elektrické vztahem ^ mr. n-rz jľk = cos — x cos —r- y 1 a 0 Proto [podle rovníce (V-3)] bude mrz mr. . rnz — cos — x sin -7- y a a b n— . mře nr. —r- sin — x cos —r- y ba b (V-20.1) »7t tffiZ IÍK cos — .v sin —r- y a b E™ = b m~. . mr. níz — sin — x cos —r- y a a b (V-19.1) Protože intensita elektrického pole má v místě štěrbiny clony směr osyjv, uplatní se jen ty vlastní funkce, které příslušejí intensitám elektrického pole ve směru osy y. Indexy k, určující vid elektromagnetické vlny, obsahují dva obecné indexy m, n. Dosadíme-li uvedené vlastní funkce do rovnic (V-19) a (V-20), dostaneme M. 1 f ľ m- . mrz nr. — I I — sin — x cos -7-y Eix) dx ay •■ f„ J J a a b \ mrz r r mrz n-rz , . sin — x cos -— y dx dy a ib 224 1 5 - Základy techniky 225 Z tohoto vztahu vyplývá, že se amplituda C2 "ší od nuly jen tehdy, bude-li B= 0, neboť pro n > 0 je integrál ■y dy vždy nulový. Potom bude ál í"cos ~y d a b K* a J J a Tento výraz bude pro všechny možné hodnoty E(x) vždy odlišný od nuly. Pro amplitudu příčných magnetických vidů platí -i— / I -7- sin — x cos ^ y E(x) dx dy = 'í.nu J J b a b ^ ...1. Aí u 6 . I H7T f ľ WITTľ X cos — y dx dy b Integrál se bude lišit od nuly jen tehdy, bude-li n = 0. Protože však číslem n násobíme integrál, bude amplituda vždy nulová. To znamená, že u clony na obr. 107 mohou vzniknout jen takové vidy, které příslušejí íčné elektrické vlně. V tom případě bude susceptance clony dána se zřetelem na rovnici (V-21) pn (V-1S.1) vztahem sující dominantní v Mt= rif n dS kde k neobsahuje index charakterisující dominantní vid (vid TE). Norma Aít jc určena vztahem kde Tk je vlastní funkce: mr. n-r. Tk= cos — x cos -j-y a o Aí, = Po číselném vyjádření dostaneme /\abr%, (je-li m =fc 0, n — 0 nebo n =j= 0, m= 0) sJ#r£„ (je-li m 4= 0, n 4= 0) Chatakteristickou impedanci příčná elektrické vlny jsme určili v kap. II a je dána výrazem 7 _ iw" Šíří-li se elektromagnetická vlna daného vidu vlnovodem, musí být konstanta přenosu imaginární. V tom případě je *" in f&] a charakteristická impedance je v tomto případě reálná. Jsou-li rozměry vlnovodu takové, že se jimi nemůže šířit elektromagnetická vlna určitého vidu, je konstanta přenosu reálná a charakteristická impedance imaginární. Charakteristická admitance je určena převrácenou hodnotou charakteristické impedance. Proto je co.u Z tohoto výrazu je vidět, že charakteristická admitance je imaginární a záporná. Proto bude ve vztahu (V-21) susceptance záporná. To znamená, že susceptance bude mít indukční charakter. Náhradním schématem clony, jejíž hrany jsou rovnoběžné s intensitou elektrického pole dominantního vidu, je indukčnost paralelně zapojená k vedení, které představuje vlnovod (obr. 108). Obr. 108. Náhradní schema indukční clony. Obr. 109. Kapacitní clona v obdélníkovém vlnovodu. 46,2 Clona v obdélníkovém vlnovodů, jejíž hrany jsou kolmo k směru intensity elektrického pole dominantního vidu Přesné uspořádáni intensity v otvoru clony neznáme. Avšak vzhledem k tomu, že je vybuzena videm TE,„, můžeme předpokládat, že bude mít směr osyy a že bude záviset na souřadnici x podle stejného zákona jako dominantní vid. Závislost na souřadnici y neznáme. Na základě těchto úvah bude dána intensita elektrického pole v štěrbině clony vztahem £ = E(y) sin — x y Tento vztah opět rozložíme v řadu vlastních funkcí příčných složek intensity elektrického pole. Protože má intensita elektrického pole v štěrbině jen směr osyy, použijeme opět jen těch vlastních funkcí, které příslušejí intensitám elektrického pole se směrem y. Potom bude M 1 m- f f TU .OTTU h7z —--I I t(yj sin — x sm — x cos -=- y dx dy J J a a O Z tohoto výrazu vyplývá, že amplituda C™ sc bude lišit od nuly jen tehdy, bude-li m = 1. Provedeme-li integraci podle souřadnice x, dostaneme o Amplitudy příčných magnetických vidů určíme ze vztahu x cos — y dx dy b 226 16« 227 Integrál se bude lišit od nuly jen tehdy, bude-li m = 1. V tom případě bude o Označme integrál J E(y) cos ~y dy znakem A„, neboť je funkcí indexu n. Potom bude T X 1 1 Mu 2 (V-22) Obr. 110. Náhradní schéma kapacitní clony. Dosadíme-li rovnice (V-22) a (V-23) do rovnice (V-18.1), dostaneme C%TMU r.™ / m Absolutní hodnota charakteristické admitance ifJ je dána výrazem \ wiM/ absolútni hodnota charakteristické admitance Y[* výtazem -=j [viz rovnice (11-24) a (11-27)], kde v obou případech je Po dosazení dostaneme B_ 2 ~ V(t)-*-V(t)-(íF ľ T T Susceptance — je vždy kladná, neboť fej — 1 musí být vždy větší než jedna, aby se mohl dominantní vid šířit vlnovodem (2a je totiž pto dominantní vid mezní délka vlny a musí být vždy větší než použitá délka vlny). Protože je susceptance — vždy kladná, má kapacitní charakter. Její náhradní schéma je na obr. 110. 46.3 Clona v kruhovém vlnovodu (obr. 111) Je-li kruhový vlnovod osově souměrně vybuzen, vzniknou v něm bud osově souměrné příčné vidy magnetické, nebo osově souměrné příčné vidy.elektrické. Je-li vybuzen tak, že vzniknou osově souměrné příčné vidy magnetické, vybddi.se v otvoru clony intensita elektrického pole radiálního směru, tak jako příčné vidy elektrické, a jejíž velikost je funkcí poloměru r. Je tedy v otvoru clony £= E(r)r Rozložme si tento výraz v řadu vlastních funkcí kruhového vlnovodu. Potom musí platit E= E(r)r=JC™E™r Příčné vlny elektrické neuvažujeme proto, že při souměrném vybuzení mají jen směr jednotkového vektotucp. obr Protože se vybudí jen vyšší příčné magnetické vidy, jejichž charakteristické admitance mají kladnou absolutní hodnotu, dostali bychom dosazením do výrazu (V-18.1) pro susceptanci clony kladnou hodnotu a má tedy kapacitní charakter. Její náhradní schéma je na obr. 112. Je-li vlnovod vybuzen tak, že vzniknou jen osově souměrné příčné vidy elektrické,vybudí se v otvoru clony intensita elektrického pole mající směr jednotkového vektotu tp, jejíž velikost je funkcí poloměru r. Potom má intensita elektrického pole v otvoru tvar E = E(r)

'ít Protože je tečná složka intensity elektrického pole v místě kovové části clony nulová a má jen konečnou velikost v otvoru, jehož plochu označíme S'3 je - '. Cí"^ÚzIEi(S')EUS">dS' (V-28) kde £;(&"') je intensita elektrického pole na ploše S' £ťa(i>') hodnota vlastní funkce na ploše S'. Dosadíme-Ii tento výraz do rovnice (V-27), dostaneme 1 r °° CMÉt, = — í T Y0 Eft.CS) £í(S') £,:l(S') dS' 1 co„, (V-29) Výraz (V-28) je integrální rovnice, jejíž řešení je poměrně obtížné. Naším úkolem je určit uspořádání' intensity elektrického pole £( v otvoru. Budeme-li znít toto uspořádání, umíme určit podle rovnice (V-28) amplitudy jednotlivých vidu a potom i susceptanci clony. Integrální rovnici (V-29) budeme řešit takto: Rozložíme vlastní funkce Et„ ve vlasrní funkce otvoru clony. Vlastními funkcemi otvoru rozumíme rakové funkce, které splňuji podmínky vlnové rovníce v oboru S' a okrajové podmínky na obvodu otvoru. Označme tyto vlastní funkce E'tm s obecným indexem m. Potom bude . (V-30) kde Aum je obecně součinitel, který přísluší funkci E'tm při rozkladu funkce Eta. Dále rozložíme výraz £. (intensitu elektrického pole v otvoru) také v fadu vlastních funkcí E'tm-Při tom je V., 2 Xm'Et: (V-3I) I dS' (V-32) kde Xm' je součinitel u jednotlivých funkcí E'tm\ Dosaďme výrazy z rovnic (V-30) a (V-31) do rovnice (V-29). Potom bude C*, 2 AímE't„ - 2 W- V»Ě'f> f ( 2 A'«.'£í-' 2 m ■= 1 n — 2 ťn J \mJ — 1 m -1 8' Na základě orthogonálnost-i funkci E'tm platí co oc \ re 2 2 A™E't«\ d-s' - 2 Jf^»»jM»' »'-1 m^l I n. 1 kde Af,„' je normovači činitel funkcí E'tm. Se zřetelem k tomu upravíme výraz (V-32) takto: Qii 2 Ať»E'tm — 2 ~T7~ Y a 2 &mAimM» 2 A"HEtl n 1 »-a ml 1-1 kde jsme nahradili vlastni funkci £,„ řadou vlastních funkcí E'lp. Aby předcházející vztah platil identicky pro obecnou souřadnici průřezu, musí platit, provedeme-lí srovnání podle funkci E'ta, výraz (V-33) 231 kde = 2 AC Vztah (V-33) tvoří soustavu rovnic podle parametru p. Z této soustavy určíme součinitele X* a známe-li Xm! určíme intensitu pole v štěrbině podle rovnice (V-31). Podle rovnice (V-28) ]e potom amplituda dominantního vidu I t ě Ř (V-34) Abychom mohli použít odvozených výrazů, upravíme ještě vztah (V-18.1) pro susceptanci. Dokážeme, že Cm cv-35) kde Cňl je amplituda příčné složky intensity magnetického pole dominantního vidu Crl amplituda intensity elektrického pole dominantního vidu. ■Násobme proto výraz (V-27) výrazem 2 CSEEtn a integrujme v oboru průíezu vlnovodu. Potom □ -1 se zřetelem na otthogonální vlastnosti funkci Ela platí r. /J6". Indukční clona s rozměry. Vzorců lze použít v tomto rozsahu vln: la < a < 2a Rozměry použité ve vzorcích jsou znázorněny na obr. 116. Křivky na obr. 117 udávají závislost vztažné reaktance na poměru — při parametru —, . 233 48.3 Kulatý otvor v obdélníkovém vlnovodu Je-li průměr otvoru malý proti menšímu rozměru vlnovodu, je určena vztažná suscep-tance vzorcem B 3 abls . ., . ,L 2-k d* 1 1,2 / 1, __L % 0 Ä / -'z '/ l t i i Ml 03 0.3 0.3 Obr. 1 í 7. Křivky pro určeni velikosti indukční clony. a je indukčního charakteru. Tohoto vzorce lze použít v tomto rozsahu vln: 2a >;. 2a ~3 (V-43) Obr. 118, Kruhová clom v obdélníkovém vlnovodu. 48.4 Kulatý otvor v kruhovém vlnovodu (obr. 119) Předpokládejme, že se vlnovodem šíří vlna TE0]. Clona má indukční charakter. Její. vztažnou reaktanci určíme takto: X _ r UdY R J Z0 \ \ 2RJ 0,162 (V-44) 234 kde ks je vlnová délka vidu TE,,,. Rozměry jsou znázorněny na obr. 119. Vzorce lze použít v tomto vlnovém rozsahu: 0,896fi < X < 1,04a - , Obr. 119. Mezikruhová clona ve válcovém vlnovodu. Obr. 120. Orientace intensity elektrického pole v mezikru-hové cloně. 48.S Kruhová překážka v kruhovém vlnovodu (obr. 121) Tato mezikruhová překážka má kapacitní charakter. Její vztažná susceptance je dána Obr. 121. Clona ve tvaru kotouče v kruhovém vlnovodu. ya ~ ;v \ r] 2,405 Z- 0,269 Vzorce platí pro vlnu TM,, a pro vlnový rozsah l,14i?< / < 2,61 R (V-45) 49. Clony s konečnou tloušťkou V čl. 45 jsme určili vstupní impedanci prostorového transformátoru, zatíženého charakteristickou impedancí vlnovodu. Dokázali jsme, že při nekonečně tenké cloně přejde prostorový transformátor v jednoduchý čtyřpól, vytvořený impedancí paralelně zapojenou k náhradnímu vedení vlnovodu. Bude-li však clona konečné tloušťky, nemůžeme ve vý- 235 razu (V-17.1) zanedbat energii elektromagnetického pole W. Transformátor je při cloně konečné tloušťky vytvořen prostorem uvnitř clony (obr. 122). Transformátor se v tomto případě nechová jako impedance zapojená paralelně k náhradnímu vedení, nýbrž jako obecný čtyřpól, který si lze představit jako článek TI nebo T. Ý///////>////////A V///////)^///////\ Obr. 122. Čtyřpólový vazební prvek v obdélníkovém vlnovodu. Obr. 123. Náhradní schema Ctyf-pólového vazebního prvku. Tak můžeme na př. kapacitní clonu konečné tloušťky vyjádřit jako článek TI, znázorněný na obr. 123. Velikosti jednotlivých členů náhradních Čtyřpólů s různými tvary clon najde čtenář v knize CitpaBomniK no BOJtHOBO^aM (překlad), ..CoseTCKoe panno", Mockbh 1952. 50. Dvoupólové soustavy vznikající změnou průřezu vlnovodu V předcházející části jsme uvažovali prostorový transformátor zakončený vlnovodem, kterým se může šířit určitý vid elektromagnetické vlny. Je-li však transformátor zatížen vlnovodem, jehož rozmery jsou takové, že sc jím nemůže šířit elektromagnetická vlna, nebude náhradním obvodem takového transformátoru čtyřpól, nýbrž dvoupól. o--1 Charakteristická impedance vlnovodu bude v tomto případe imaginární, tedy ve vzorci (V-I7) bude Y, také imaginární, a porom podle rovnic (V-17) jX a (V-17.1) bude Y, - jB (V-46) kde 47) Obr. 124. Náhradní schéma dvou-pólového vlnovodového zako nčení. Z těchto vztahů je vidět, že náhradní obvod takového vlnovodového uspořádání je reaktance, již je zatížen vstupní vlnovod (obr. 124). Nejjednodušeji vznikne takový prostorový dvoupól skokovou změnou průřezu vlnovodu (obr 125). r i i //y vv % i i a' a i řez A -8 ÍS ______j i 1 J '•prostorový Imnsfcnnótoi' Obr. 125. Příklad dvoupólového zakončení vlnovodu. Při tom jsou rozměry menšího vlnovodu takové, že se jim nešíří elektromagnetická vlna. Prostor transformátoru přechází ve dvě soumezné plochy, jak znázorňuje obr. 125. Susceptanci určíme podle vzorce (V-47), položíme-li v něm W = 0. Potom bude B (V-47.1) Podaří-li se nám zjistit velikostí konstant C„ budeme umět určiťsusceptanci. Pokusíme se určit konstanty methodou vlastních funkcí. ' ' Na hranicích obou vlnovodů musi platit rovnost příčné složky intensity elektrického a magnetického pole. Příčná složka intensity elektrického a magnetického pole ve vlnovodu označeném 1 budiž dána superposicí všech vidů kde Ccn je amplituda jitého vidu v prvním vlnovodu iJL vlastní funkce příčné složky intensity elektrického pole. Amplitudu intensity magnetického pole Mtého vidu určíme pomocí charakteristické admitance a amplitudy přiéné složky intensity elektrického pole ^ho ~ YaC^u Příčná složka intensity magnetického pole je potom dána součtem nebot absolutní hodnota vlastní funkce příčné složky intensity elektrického pole se rovná absolutní hodnotě vlastní funkce příčné složky intensity magnetického pole. V druhém vlnovodu dostaneme podobně E,' 2 CBU'Et' n-l 00 kde Et' je příčná složka intensity elektrického pole, která přísluší druhému vlnovodu Hf příčná složka intensity magnetického pole v druhém vlnovodu. Na hranicích obou vlnovodů musí platit identita E, = Et' m = tu Dosadíme-li za Et Etf Ht a Ht' příslušné výrazy, dostaneme on co 2 CCQ£(„ = 2C-n'-<»' a-1 1 n-l a-1 Násobme obě rovnice vlastni funkcí drahého vlnovodu EtJ a integrujme v oboru plochy 5' (průřezu druhého vlnovodu). Uvážime-li orthogonální vlastnosti funkcí Eíu', dostaneme C„„'A'ím = = .tc--/ E,,E,' áS 236 237 ya'c, kde Aíln' je norma funkci Etm'. Označme dále Potom bude sm'MJ = § cmyn f E{*Etm' dS f EtaEtm' dS = Au Porovnáme-li obě předešle rovnice, dostaneme (V-48) (V-49) Po úpravě bude 2 ^n^n oddělme ještě člen s dominantním videm. Potom piati po úpravě JAM1-^)-*-^-1) (V-50) To je soustava rovnic 9 neznámými členy tyto vztažné amplitudy vzhledem k amplitudě domi- nii nantuiho vidu určíme řešením jmenované soustavy. Známe-li poměr určíme poměr -~- ze vztahu (V-48) Cel Aí,' .&f ctl * Susceptanci přechodu určíme podle vzorce (V-47.I) kde v prvním součtu dosadíme za c c ' c ' poměr a v druhém součtu dosadíme za -~ poměr -~L. Potom bude 1 CV-51) 2 ?(t)"t«+2(*r^w (V-5I.1) kde B je susceptance přechodu cx amplituda dominantního vidu hlavního vlnovodu Ce„ amplituda vyššího vidu v hlavním vlnovodu mn norma vyššího vidu n v hlavni čáäti Aí, norma dominantního vidu Cí:il'amplituda vyššího vidu v užším vlnovodu mm' norma vidu m v užším vlnovodu Y„ charakteristická admitance hlavní části vlnovodu vidu n Km charakteristická admitance vedlejšího vlnovodu vidu m. Na obr. 126 jsou uvedeny susceptance způsobené změnou rozměrů obdélníkového vlnovodu jako funkce rozměrů. Podobně bychom určili susceptanci vlnovodu způsobenou trych-rýřovym rozšířením vlnovodu (obr. 427). -7 Š • ■ t. 0,1 0,2 0,3 O,1! 0,5 QS Q? Qg 03 10 12 Obr. 126. Křivky pro urče.ii velikosti reaktance dvou-pólového vlnovodového zakončení. Obr. 127. Přechod vlnovodu na trychtýřové vedení. 51. Resonartční okénko v obdélníkovém vlnovodu Podle vztahu (V-37) lze také vypočítat suscepranci takové clony, která má tvar znázorněný na obr. 128. V tomto případě se mohou vybudit vyšší příčné vidy elektrické i vyšší příčné vidy magnetické. Ve zvláštním případě lze volit rozměry clony takové, aby susceptance byla nulová. Potom bude náhradní schéma takové clony paralelně laděný) okruh. Jinak může mít tato clona bud kapacitní nebo indukční charakter. Obvykle se v literatuře uvádějí zjednodušené vztahy Obr, 128. Obemá clona v ob pro podmínku resonance clony, délnikovém vlnovodu. i ==#71 |* --- -------1_----- i Y i A 0 q. Obr. 129. Orientace proudu v obecné cloně. Předpokládáme, že clona má konečnou tloušťku, takže prostor uvnitř clony pokládáme za vlnovod. Aby nenastal odraz od clony, musí proud, tekoucí v podélném směru, přecházet spojitě z vlnovodu na vlnovod, jímž jsme nahradili clonu. Mimo to zavedeme další podmínku, že napětí ve středu vlnovodu a napětí ve středu clony jsou stejná (viz obr. 129). 238 239 Napětí ve středu vlnovodu určíme z křivkového integrálu /(£ ds), kde za křivku / zvolíme spojnici bodů A a B. Je tedy 1 U(z) = J' Ev dy = C J sin x = e'r« pro x = ~ (V-52) kde je napětí v místě x: OAr. 7,?0. Orientace intensity magnetického pole a podélného proudu v obdélníkovém vlnovodu. Proud, který má být na rozhraní vlnovodu a clon}', teče ve směru osy z. Tento proud je způsoben složkou intensity magnetického pole Hx. Celkový proud, tekoucí v podélném směru, je dán cirkulací J. - j(H ds) Integrační cestu znázorňuje obr. 130. Protože je Hx= YnC sin — xe'rz kde Y0 je charakteristická admitance, je /.= CY, a JsmJ 2a x dx = CY0 — e (V-53) Obdobně bychom dostali pro proud a napětí na štěrbině clony (je-li v místě z—0) U' = C'b' (V-54) t = ČT, — (V-55) Obě tyto veličiny musí být na rozhraní spojité. To znamená, že v místě clony musí platit U'=U i:= I Z této podmínky vyplývá Cb = C'b' 2a 2a TZ CY, ~ = C% - Tato soustava má řešení tehdy, je-li její determinant nulový, to znamená, že musí platit * 1 - L.1 « Y0 ~~ a' Y'a Dosadíme-li za Y0 a řj charakteristické admitancc vidu TEl0, dostaneme b__1 b' 1 a m (V-56) 240 kde jsme za admitanci vlnovodu Ya dosadili výraz 1Ř a za admitanci vlnovodu, nahrazující clonu, výraz \ hyperbola Obr.131. Resonanční okénko. kde a & b jsou rozměry vlnovodu a' a b' rozměry clony okénka. Při daném a a b představuje tato rovnice s proměnnými a' a b' hyperbolu procházející vrcholy obdélníku, tvořícího obrys vlnovodu, jejíž velká poloosa se rovná -- (obr. 131). Clona, znázorněná na obr. 128, nebude mít vliv na šíření elektromagnetické viny tehdy, budou-li její rozměry vyhovovat rovnjci (V-56). Náhradní obvod clony je v tomto případě paralelně připojený paralelní resonanční okruh (obr. 131). 52. Nespojitost způsobená štěrbinami v plášti vlnovodu V tomto článku si vysvětlíme, jaké impedanční nespojitosti jsou způsobeny štěrbinami v plášti obdélníkového vlnovodu. Všimneme si dvou případů. V prvním případě je štěrbina v širší stěně vlnovodu a je umístěna tak, že její delší rozměr je rovnoběžný s osou vlnovodu (obr. 132). Stérům a Obr. 132. Podélná štérbina v obdélníkovém vlnovodu. Obr. 133. Příčná štérbina v obdélníkovém vlnovodu. V druhem případě je štěrbina umístěna v širší stěně vlnovodu, avšak její rozměr je kolmý k ose vlnovodu (viz obr. 133). 52.1 Štěrbina v širší stěně vlnovodu, rovnobežná s osou z Předpokládejme, že šířka Štěrbiny je poměrně menší než její délka a zanedbejme vliv konečné tloušťky stěny vlnovodu. Pak bude intensita elektrického pole v této štěrbině 10 • Záklinly techniky 241 kolmá na delší rozmer štěrbiny.-} Dokážeme, že náhradní obvod této štěrbiny bude impedance, paralelně připojená k náhradnímu vedení vlnovodu. Určíme vybuzení dominantního vidu intensitou elektrického pole v této štěrbině. Podle vzorce (IV-46) je amplituda ntého vidu Hertzova magnetického vektoru W,", vybuzená šrěrbinou T* = '3}k'ÄÍ ^"jfp Et) Tr. *™ - ~ ([» grad, div(7„ez)] EjJ dS (V-57) Tento vzorec platí pro souřadnici z ležící napravo od štěrbiny, tedy pro z > z., (viz obr. 132), Pro z < zx platí obdobně r* = 2fc T} Í e,5"""/H£t) r>'C_W - («"^d, div(7\,e-wz)] t| dS (V-58) Jak jsme již uvedli, je intensita elektrického pole ve štěrbině kolmá na osu 2 a má v našem případě směr osy x. Je tedy E — Ex kde E je absolutní hodnota intensity elektrického pole ve štěrbině. Vektor í v předcházejících výrazech je jednotkový vektor kolmý na jednotkový vektor normály n a na směr šíření z. Proto t = [nz] = x Dominantní vid je u obdélníkového vlnovodu vid TE1(1.;í) Uvážíme-li směr intensity elektrického pole ve štěrbině a směr vektoru grad div {J^-'^z) (TL je vlastní funkce dominantního vidu 7, = cos — x), platí d I Po dosazení (í« grad div (7,e:>'':z}] E) = (n[grad div (T^z) Éj] ([n grad div ('I\e",''-z)] £) — ■ J' %-± E(n[xx]} — 0 c z (x Potom se vzorce (V-57) a (V-58) zjednoduší takto: T.. = e-'r>; -.!,■ / fjíoefir^t^ dS pro s > f, ' 1 -1/1 "*t J pro kde T, je amplituda Hertzova vektoru vlny postupující v kladném směru (napravo od štěrbiny), Tr amplituda Hertzova vektoru vlny postupující v záporném směru (nalevo od zdroje). -) Podrobné se štěrbinami zabýval sovětský védec I. N. Feljd. ?) Pokud nebude blíže vysvětleno bude dále symbol T, znamenat vlastni funkci dominantního vidu, T„ amplitudu dominantního vidu a Af, normu vlastní funkce dominantního vidu. 242 Známe-li amplitudu Hertzova vektoru, určíme intensitu elektrického pole podle rovnice (1-34) E:l = —- )ci>f.ia rot„ ľí'." = — jiouqTí řotj, 7\z l_ 1 kde E je absolutní hodnota intensity elektrického pole ve štěrbině. Pokládejme za počátek čtení souřadnice z střed štěrbiny. Potom bude u j !\c ■ : E dS = T^dJEiz) e = dz Sí - li kde d je šířka štěrbiny, l délka štěrbiny. Protože je uspořádání intensity elektrického pole E(z) ve štěrbině souměrné vzhledem k počátku, je ií u ÍTfiiz) e " W dz = .JT^z) e m dz -tí - iř Z toho vyplývá, že intensita elektrického pole, vybuzená štěrbinou, má stejnou velikost pro oba směrv šíření ' E, = E., To znamená, že je intensita elektrického pole v místě z = 0 spojitá. Příčnou složku intensity magnetického pole dostaneme podle vzorce (1-36) H — grad div II;" =s = grad„ div II"' Po dosazení za Ilľ' bude 77; = grad.,, div (7,7, z) = _ 1 ^ 7, ^- eH** Jjw^ET.éy- dS m a Porovnáme-li oba vztahy, zjistíme, že v místě z — 0 platí H, ■ H Jak jsme již poznali, je napětí ve středu vlnovodu u obdélníkového vlnovodu s vlnou TE, úměrné intensitě elektrického pole E„ pro x — y, kde a je větší rozměr vlnovodu. Proto v místě středu štěrbiny je tr- u- hle U~ je napětí, které přísluší vlně šířící se v kladném směru U~ napětí, které přísluší vlně šířící se v záporném směru. Proud protékající ve směru osy vlnovodu je úměrný intensitě magnetického pole Ht. Proto je /. = -/: 10» 243 Je tedy ve středu štěrbiny napětí spojité, avšak proud není spojitý. Aby takové podmínky vznikly, musí mít náhradní schéma buzení vlnovodu štěrbinou, rovnoběžnou s osou z tvar znázorněný na obr. 134. 0___ I Obr. 134. Náhradní schéma štěrbiny jako zdroje. Obr. 135. Náhradní schéma štěrbiny. ] Obr. 136. Příčná štěrbina ve vlnovodu (s označením proudu). Nebudíme-li štěrbinu vnějším polem, nýbrž vlastním polem vlnovodu, bude její vliv takový, jako by byla připojena paralelně k náhradnímu vedení vlnovodu (obr. 135). 52.2 Štěrbina kolmá k ose z (obr. 136) V tomto případě má intensita elektrického pole ve štěrbině směr osy z, a tedy (Et) = 0, -1 rj neboť t — [nz]. Budeme tedy uvažovat ve vztahu (V-57) jen druhý člen pod 0-o integrálem. Potom bude 1 1 I_t_ T.7 a obdobně T., 1 j\ ')>»/>„ J (."[grad div {T^') £]) dS -J grad, T, C'?>*E d.V ~ jq )«>!>* j grad, T,j e 7:';i.V 1 1 . 1 2e~:y"Ti]"^M Protože je štěrbina ve směru osy z úzká, umístěná v místě, kde žr = 0, je 1 i 2 r vm!hkí grad, E dS pro z — 0 Ofrr. ů — náhradní schéma příčné štěrbiny; b — uspořádání šikmé štěrbiny v Širší a užší straně vlnovodu; c —- náhradní schéma šikmé štěrbiny v širši a užší straně vlnovodu. V tomto případě, jak se snadno přesvědčíme, je pro z = 0- Protože intensita magnetického pole Hľ a tím i proud jsou v místě štěrbiny pro kladnou i zápornou vlnu spojité, plyne z toho, že náhradní scherrta štěrbiny podle obr. 136 je sériová impedance (viz obr. 137a). . . • Stejně bychom dokázali, že štěrbiny ve" stěně vlnovodu, znázorněné na obr. 137b, mají náhradní schéma podle obr. 137c. 53. Výpočet vztažné impedance štěrbiny St Vytvořme u vlnovodu se štérbinou prostorový transformátor tak, jak znázorňuje obr. 138. prostorový transformátor Obr. 138. Štěrbina jako zvláštní případ prostorového transformátoru. Plochy Si a S2 jsou plochy omezující prostorový transformátor a jsou totožné s průřezem vlnovodu. Uvážime-li energetické poměry transformjtom, dostaneme tento vztah: t fí-tHt* dS + lpB0Íf dS h i JeH* dS = ia>W (V-59) Tento vztah se liší od vztahu (V-9.1) ien integrálem ä f eh* dS, který určuje výkon vyzářený štěrbinou. Označíme tento výkon P«. > s» Dosadíme-Ii za e. a fit řadu vlastních funkci intensity elektrického a magnetického pole a uvážime-li orthogonální vlastnosti těchto funkcí, dostaneme 1 j e t fit* as - Ci-ym, '- 2ck2vtMk fm d.V (V-60) kde C, y a, Yi e, i 2 amplituda dominantního vidu intensity elektrického pole v místě Sl admitance dominantního vidu v místě St (zahrnující vliv štěrbiny) amplituda intensity elektrického pole vidu k charakteristická ad m i tane ľ vidu k amplituda dominantního vidu intensity elektrického pole v místě Sjj součet složek C^-Y^M^ v místě S, ^C^-Y^Mtsoučet uvažovaný v místě S., norma vlastní funkce domin ani: n é ho vidu intensity elektrického pole norma vlastní funkce vidu k intensity elektrického pole. 244 245 Dosaďme rovnici (V-60) do rovnice (V-59) a dostaneme 2 y - y £=! ^ Visly ' 1 CV 4 2 je amplituda postupné vlny Cp), dostaneme ŽYVA^CJ'- Re P, (V-65) Admitanci v miste St, vztaženou na charakteristickou admiianci dominantního vidu Y, označenou g, určíme potom ze vztahu (V-66) kde V, je charakteristická admitance vlnovodu Mx norma vlastní funkce intensity elektrického pole dominantního vidu C„ ampliruda intensity elektrického pole odražené vlny Pr výkon vyzářený štěrbinou. Amplitudu odražené vlny C„ určíme ze vzorců, odvozených pro buzeni vlnovodu štěrbinou. Uvedli i; mc již, že vlastni funkce příčné složky intensity elektrického pole ve vlnovodu s vlnou TE vidu 1 je E„ =* C,,TE[grad l\r:z\. Vyjádřime-li intensitu elektrického pole ž Hertzova vektoru, plati [viz rovnice (11-24)] £(] — — jwi(7"2|[grad 7*uzj Porovnáme-li oba výrazy, dostaneme převod mezi amplitudou C,TĽ a amplitudou T2i: Ce,TE= — jf-v.7-., (V-67) V kap, IV jsme řešili buzení vlnovodu štěrbinou. Zjistili jsme, že pro amplitudu vlny vidu TE, buzenou štěrbinou, platí 1 1 1 7*21: 1 2jy, r,« Aí *>7,z f io;t(£t) Tut-'r-'<: -r^<{hSřadidjvXTiie* j [ ko,h '<'-) z] f)| dS kde t je jednotkový vektor kolmý k jednotkovému vektoru z a k jednotkovému vektoru normály n E intensita elektrického pole v štěrbině. Jak jsme již uvedli, má tato intensita průběh E m E cos kzx je-li počátek ve středu štěrbiny. Jednotkový vektor t má v našem případě smér osy .v. Druhý člen pod integrálem se nebude rovnat nule tehdy, budeme-li uvažovat u grad div (Tlfi~~''fí~z'\ ien složku ve smíru osy z. Potom dostaneme po úpravě 2jy, r,- Af i viji j V našem připadé ide o vybuzeni dominantního vidu Štěrbina je ve směru osy X úzká, takže vlastní funkci v místě štěrbiny lze pokládat za konstantní, a je-li štěrbina v místě x .v„, bude T, — sin — x„ (v místě štěrbiny) a Při tom považujeme za počátek souřadnice .v místo na ose vlnovodu (na rozdil^od předešlých případů). Na základě toho je 1., —----—— --hd sin — -v,, I cos fez v 2);'i Afj )['!,« a J r- dz 247 kde T2 je amplituda dominantního vidu v místě plochy i",, vybuzená intensitou elektrického pole ve štěrbině d šířka štěrbiny l délka štěrbiny. Plocha s% leží v místi se souřadnicí z — 0. Jednoduchý vztah pro intensitu elektrického pole v místě štěrbiny (E — E cos kzx) platí tehdy (jak dokázal Pistolkors), jde-li o resonanční štěrbinu, t. j. o takovou štěrbinu, jejíž délka se rovná poloviční délce vlny ve volném prostoru. Potom je ! = i?.. Vyjádříme-Ii integrál ve vztahu pro T2 číselně, dostaneme k 1 T~ c1** Edsin tcA CV-6S) kde yx je konstanta přenosu dominantního vidu Mí norma vlastní funkce TL (Mt = \ab) E absolutní hodnota intensity elektrického pole ve středu štěrbiny d šířka štěrbiny ,v„ souřadnice určující polohu štěrbiny ve směru osy x /L délka vlny ve vlnovodu r, příčná konstanta vlnovodu a I Známe-li amplitudu Hertzova vektoru určíme amplitudu vlastni funkce pričné složky intensity elektrického pole podle rovnice (V-Ů7) = ů"= _ e * x"cos 33C 2náme-li C„, určíme vztažnou admitanci štSrbiny podle rovnice (V-65), Při com musime uvážit, že y rovnici (V-65) je ML normi vlastni funkce příčné sloSky intensity elektrického pole, a dokázali jsme, že platí obecně o normě vlastni funkce příčné složky intensity elektrického pole [viz rovnici (V-7a)] Afk™ = TV/VÍ* kde Mk ie norma vlastní funkce Hertzova vektoru. V našem pŕipade tedy platí Mí Potom 1 2Y1rí2Ml ~sr^iyr; E-d- sin- — .v„ cos8 & _ Vi Me I ť a ZA, ReP' kde PT je výkon vyzářený štěrbinou. Tento výkon lze vyjádřit pomocí napětí ve středu štěrbiny a pomocí vyzařovacího odporu štěrbiny (víz Fradin: Antény pro decimetrové a centimetrové vlny). Napětí ve středu štěrbiny je dáno součinem Ed. Proto je 2 R, kde Rv je vyzařovací odpor štěrbiny. Uvážime-li, že M, — lni, ľ, — —, upravíme vztah pro g takto: i nn „ k~ 1 O . . 7t TtA g = 1 -| 8r?vV, -^r — — sin- — x cos5 •— X," --i a 2/.„ Je dokázáno, že vyzařovací odpor štěrbiny (vyzaruje-li jen jedním směrem jako u vlnovodu) je R, — 1000 í'l Charakteristická admitance obdélníkového vlnovodu s dominantním videm ie 1 121)7 v-: 248 kde v je poměr délky vlny k mezní délce vlny. Protože Vr při čemž A, je délka vlny ve vlnovodu délka vlny ve volném prostoru, lze psát 1 120n Uvážíme-li, že a dostaneme pro vztažnou admitanci štěrbiny I 400 60- ■ .v0 cos" tv ,a "2;.. (V-69) kde g ie vztažná admitance štěrbiny (na charakteristickou admitanci vlnovodu), umístěná v nekonečně dlouhém vlnovodu podle obr. 132 a, délka vlny ve vlnovodu a délka vlny ve volném prostoru a, b rozměry obdélníkového vlnovodu x0 souřadnice určující polohu štěrbiny. Ze vzorce (V-69) vyplývá, že reálná složka admitance g štěrbiny, je-li umístěna v místě o souřadnici xn= 0 (na ose vlnovodu), je nulová. To znamená, že štěrbina umístěná v ose vlnovodu nevyzařuje a nemá podstatný vliv na šířeni elektromagnetické vlny ve vlnovodu. Obdobně bychom odvodili, že reálnou složku impedance štěrbiny, umístěné v širší stěně vlnovodu kolmo na osu vlnovodu, určíme podle vzorce r = 0,523'(-V)" Ar c°s2 — C05": -^ (V-70) kde r ie vztažná reálná složka impedance štěrbiny (vztažená na charakteristickou impedanci vlnovodu) a, délka vlny ve vlnovodu a použitá délka vlny fl, b rozměry vlnovodu x0 vzdálenost osy štěrbiny od osy vlnovodu. Vlastnosti této štěrbiny určujem? pomocí impedance (ne admitance) proto, že u štěrbiny uvedeného druhu je intensita elektrického pol; v míst: štěrbiny nespojití, a proto je, jak jsme již odvodili, náhradní obvod štěrbiny impedance zapojená do serie s vedením. Všechny uvažované případy se týkaly vlnovodů na obou stranách otevřených (naprázdno). Eude-li však vlnovod na jedné straně oi štěrbiny omizeri dokonale vodivou stěnou (nakrátko), změní se vzorce (V-69) a (V-70) tak, že za vztažnou charakteristickou admitanci nebo impedanci musíme dosadit charakteristickou admitanci nebo impedanci čisti vlnovodu za štěrbinou. Charakteristická admitance nebo impedance bezeztrátového vlnovodu zakončen i ho nakrátko je určena vztahem Y* = - pi cotg l 2tt Zk = jZ, tg -r- l kde yk je admitance vlnovodu nakrátko l délka úseku vlnovodu nakrátko Zk impedance vlnovodu nakrátko y, charakteristická admitance obdélníkového vlnovodu s videm TE10 Z, charakteristická impedance obdélníkového vlnovodu s videm TEl(1. Yt ■ Dosadíme-li vztah pro — do rovníc (V-69) a (V-70) místo vztažné charakteristické admitance a impedance, dostaneme g = — i cotg / - 2,1 j tg ~ I + 0,523 b ~a~b 2A, rek 4a (V-71) (V-72) 249 Je nutno připomenou c, že vzorce (V-71) a (Vr-72) placi za předpokladu, že imaginární složky impedance a admitance, způsobené štěrbinou, zanedbáme proti imaginárním složkám částí vlnovodů zakončených nakrátko. Znalost impedančních vlastností štěrbin je velmi důležitá při praktickém provádění štěrbinových antén. PŘÍKLADY Příklad 1. Určete indukčnost clony (podle obr. 103), předpokládáme-li v otvoru clony sinusový průběh intensity elektrického pole ve smetu x a konstantní ve směrují. Přiklad 2. Určete kapacitu clony (podle obr. 104), předpokládáme-li sinusový průběh intensity elektrického pole ve směru x a konstantní ve směruj/. Příklad 3. Určete impedanci vlnovodu zakončeného trychtýřovým vedením (v prvním přiblíženi z charakteristické impedance trychtýřového vedení). Přiklad 4. Určete impedance štěrbin znázorněných na obr. 137b. 250 VI. NÁHRADNÍ VEDENÍ VLNOVODU 54. Obdoba telegrafní rovnice Dosud jsme se podrobněji zabývali příčnou funkcí vlnovodu Tl. Protože nás hlavně zajímal vlnovod nekonečně dlouhý, byla podélná funkce vlnovodu Tt dána jednoduchým ■ výrazem e^ť-. V této kapitole se budeme zabývat obecným vlnovodem uzavřeným na jednom konci obecnou impedancí. Potom bude podélná funkce obecným výrazem C1e=1í':4- C<,t~lr: [viz rovnici (II-8)]. Konstanty C, a C2 jsou integrační konstanty.Tyto konstanty určíme pomocí intensity elektrického a magnetického pole na konci vlnovodu. Tak dospějeme ke vztahu mezi intensitami elektrického a magnetického pole na počátku a na konci vlnovodu. Protože elektromagnetická energie se šíří ve směru osy vlnovodu a je určena příčnými složkami intensity elektrického a magnetického pole, určíme uvedené vztahy mezi absolutní hodnocou příčné složky intensity elektrického a magnetického pole na začátku a na konci vedeni. U příčné magnetické vlny je intensita elektrického a magnetického pole dána vzorci (1-33) a (1-35) E, — grád, div IT; = til grád, T, = jv(C,c<7r — Ce'j-Xgrad, T.) (VI-ľl cz neboť T,, = C-fi^'z — C2e ■ [viz rovnici (II-8)]. //, = jwíitgrad r^KCV?- - C2e->r-') = j&)t-:|grad ^(C.e^ -j- Qe"'^) (VI-2) Souřadnici z budeme číst od konce vedení. Proto určíme absolutní hodnotu příčné složky intensitv elektrického a magnetického pole na konci vlnovodu ze vztahů (pro z = 0): Elk = jyjgrad, TjfC, — C.,) Mn - if^grad, r,j(C, - C,) Řešením těchto dvou rovnic určíme konstanty C, a G,: 2 |grad( Ť, \ jy C, = c. E, i,T,\\ \w jy / <• grád, x , a dosazením do rovnic (VI-1) a (VI-2) dostaneme E, - E. 1 cos y z j i ií:, 1 sin y z H/J cos y z kde z,, je charakteristická impedance příčné magnetické vlny ve vlnovodu. (VI-3) (VI-4) 251 Rovnice (VI-3) a (VI-4) jsou obdobou výsledku telegrafní rovnice. Stejně by platilo pro vlnu elektrickou \E,\ = \Etk \ cos yz + )HtkZa sin yz (VI-5) \Ht\ <= í|%|'—■ :sÍn:yÄ-f \Hlk\ cosyz (VI-6) kde Z0— — je charakteristická impedance příčné elektrické vlny; y je konstanta přenosu 2tt kde Xl je délka vlny ve vlnovodu. kfivkci,por>:Í3e provádí cirkulace/ Obr. 140. Integrační čára pro určení napětí ve středu vlnovodu. Obr. 141. Integrační čára pro určeni proudu v obdélníkovém vlnovodu. Absolutní hodnota příčné složky intensity elektrického a magnetického pole v předcházejících výrazech představuje velikost těchto veličin v určitém místě průřezu vlnovodu. Proto jsou vztahy (VI-3) až (VI-6) vhodné jen pro jeden druh vlnovodu (s konstantním průřezem). Navazují-Ii však dva různé druhy vlnovodu na sebe, na př. vlnovody s různými průřezy, nebo navazujc-li na vlnovod páskové vedení, nelze použít vztahů (VI-5) a (VI-6). V tomto případě musíme zavést takové veličiny, které bychom mohli porovnávat ve všech vlnovodech tvořících složenou soustavu vedení. U obdélníkových vlnovodů a páskových vedení splňují požadované vlastnosti vhodně definované napětí a proud. Napětí budeme definovat křivkovým integrálem U(z) = d> 'E dy pro x ■■ Integraci provedeme po přímce spojující body A a B (viz obr. 140). Protože je intensita elektrického pole v obdélníkovém vlnovodu dána vztahem E — C sin — x (C^v + C2e-':':) kde b je menší rozměr obdélníkového vlnovodu C konstanta. Protože se energie šíří vlnovodem ve směru osy z, zvolíme za další veličinu, kterou bychom mohli charakterisovat přenos energie ve směru vedení, proud L tekoucí v podélném směru. Je způsoben u obdélníkového vlnovodu intensitou elektrického pole Hx. Určime jej z cirkulace intensity magnetického pole po plášti vlnovodu podle obr. 141. , a /„ = / Hx dx = ~ / sin — x iGi$r 4 C2e-iTí) d.r = Je tedy U = Cb{C^y- H- C.fi-'-r-) Vyjádříme-li konstanty CL a C, opět pomocí napětí U a proudu / na konci vlnovodu, dostaneme pro proud a napětí na začátku Uv = Uk cos y^z — j/tZ sin yYz /„ = Uk -~ sin Ylz — Ik cos y,z (VI-7) (VI-8) kde /k je proud na konci vedení t/k napětí na konci vedení Z vlnový odpor vedení -/ konstanta přenosu. Kdyby byla konstanta přenosu y komplexní veličina, nikoli čistě imaginární, přešly by trigonometrické funkce v předešlých rovnicích v hyperbolické. Vtomto případě by platilo t/p — b\ cosh ytz -\- IkZ sinh yxz A, Uk -j sinh y,z + /k cosh y^s Při tom je vlnový odpor dán výrazem b- kde Za je charakteristická impedance vlnovodu (pro vid TE1ÍP): VE. 2a kde i je délka vlny. Vztahů (VI-7) a (VI-8) použijeme při řešení úloh týkajících se kombinovaných vedení. 252 253 PŘÍKLADY Přiklad 1. Určete vstupní impedanci trychtýřového vedení zakončeného danou impedancí. Příklad 2. Určete vstupní impedanci trychtýřového vedení zakončeného čtvrtvlnným transformátorem z páskového vedení, připojeným na vlnovod (obr. 49). Přiklad 3. Určete vstupní impedanci radiálního vedení zakončeného souosvm vodičem (obr. 25). Příklad 4. Proveďte rozbor kmitočtové závislosti širokopásmové tlumivky. •V VII. VYZAŘOVÁNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY Z VLNOVODŮ, TRYCHTÝŘŮ A D I F R A K C E ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY OD JEDNODUCHÝCH, DOKONALE VODIVÝCH TĚLES Je-li vlnovod (nebo trychtýřové vedení) zakončen naprázdno, vyzáří se podstatná část energie, která se jím šíří, do prostoru. Naším úkolem bude určit geometrické uspořádání této vyzářené elektromagnetické vlny v prostoru. Druhý problém, kterým se budeme v této kapitole zabývat, je určit vliv dokonale vodivého tělesa na dopadající elektromagnetickou vlnu. Elektromagnetická vlna dopadne na dokonale vodivé prostředí a způsobí v něm povrchové proudy, které jsou potom fdrojem sekundárního záření. Naším úkolem bude určit geometrické uspořádání odražené elektromagnetické vlny. Než přejdeme k vlastnímu řešení těchto dvou problémů, uvedeme nejdříve některé základní poznatky z oboru šíření elektromagnetických vln. 55. Přímá integrace Maxwellových rovnic V předcházejících článcích jsme řešili Maxwellovy rovnice tak, že jsme je převedli na vlnovou rovnici potenciálů nebo Hertzových vektorů a řešili jsme ji v diferenciálním tvaru. V této části nalezneme výsledky Maxwellových rovnic přímo. Použijeme k tomu Greenovy věty ve vektorovém tvaru [rovnice (IX-23)]. Určíme intensitu elektrického a magnetického pole uvnitř uvažovaného prostoru, známe-li rozložení proudů a nábojů uvnitř prostoru a známe-li intensity elektrického a magnetického pole na hraniční ploše. Podle (IX-23) platí j (Q rot rot P) dV - J (P rot rot Q) dV — == f {[P rot Q] n) dS - f ([Q rot P] n) dS kde V je uvažovaný prostorový obor omezený plochou S. Za kladný směr jednotkového vektoru normály n pokládáme směr vně plochy č>\ Je-li v objemu V obecné uspořádání proudové hustoty j a objemové hustoty náboje n, mají Maxwellovy rovnice tvar rot H = (a + jwe) E -|- ] div H == 0 rot E = —jr/j/fH div D = o Při tom předpokládáme, že je prostředí uvnitř objemu V isotropní. Z těchto rovnic vyplývá 254 255 kde A2 = — jco,tí(ff -f- )/tJ rot rot H = k-H + rot J (VII-1) (VII-2) Pouiijeme-li diferenciálních rovnic (VI-1) a (VI-2) a Greenovy věty (IX-23), určíme intensity elektrického a magnetického pole v libovolném místě uzavřeného prostoru, budeme-li znát proudové a nábojové uspořádání uvnitř tohoto prostoru a velikost intensity elektrického a magnetického pole na ploše uzavírající uvažovaný prostor. Dosadme v rovnici (IX-23) za P vektor intensity elektrického pole E a za Q vektor — k?0 = 0 Potom dostaneme f (0a rot rot E) dV — j [E rot rot (0a)] dV = r r = f ([E rot (0a)] n) dS — j ([0a rot £] n) dS (VII-3) Upravme postupně jednotlivé integrály tohoto vztahu. Při tom se budeme snažit upravit výrazy pod integrálem rak, aby v nich byl jednotkový vektor a vyjádřen jako součinitel skalárního součinu, aby se mohl u všech integrálů zkrátit. Upravme nejdříve první integrál. Se zřetelem na rovnici (VII-1) dostaneme f (0a rot rot E) dV = J[0a(&E — fauj)] dV (VI1-4) Druhý integrál upravíme tak, že rozvedeme rot rot (0a): rot rot(0o) = grad div(0o) — a ACř> = grad (grad 0a) -j- akä0 neboť div (0a) = (grad 0a) -|- 0 div a = (grad 0a) kde a je jednotkový vektor konstantního směru \0 = — m Potom je j[£ rot rot (0a)] dV = f[E grad (grad 0a)] dV — j'(Ea) m> dV Protože je [£ grad (grad 0a)] -- div [E(grad 0a)) — (grad 0a) div E f [E rot rot (0a)] dV =-- j div [Efgrad 0a)] dV — — J~(grad 0a) div E dV -j- f (Ea) #0 dV t r První integrál na pravé straně převedeme podle Greenovy věty na plošný integrál a v tře- Q tím integrálu dosadíme za div E výraz —. 256 Potom bude f [E rot rot (0a)] dV = j(En)(grad 0a) dS — -I (grad 0o) —dF— / (Eo) $0 dV (VII-5) Ve třetím integrálu vztahu (VII-3) je výraz rot(ířo). Po rozvedení tohoto výrazu dostaneme rot (0a) = 0 rot o -4- [grad 0a] s= [grad 0a] neboť rot a — O (o je jednotkový vektor konstantního směru). Při této úpravě J"([E rot (0a)] n) dS=j([E[grado]] n) dS = s s — f(a[gr*d0[En]]) dS (VII-6) s Ve Čtvrtém integrálu vztahu (VII-3) dosadíme Obr. 142. Vyzařováni elektromagnetické za rot E z Maxwellovy rovnice výraz {— ),ti. j([0aH] n) dS = s i = )(ou j(0a[nH]) dS (VII-7) Uvážíme-li vztahy (VI1-4), (VI1-5), (VII-6) a (VII-7), upravíme vztah (VII-3) takto (po zkrácení jednotkového vektoru a) J |grad 0 -|--)a)ftj&\ dV = r= J'{grad 0(En) — [grad 0[nE]] — ]oni0[nH]} dS (VII-8) Zvolíme skalární funkcí 0 takovou,1) že 0- (VII-9) V tomto případě je r vzdálenost bodu P, v němž uvažujeme pole, od místa elementu zdroje. Toto místo označíme Q (viz obr. 142). Vztah (VI1-8) platí pro jakoukoli hodnotu funkce 0, mimo její hodnotu v pozorovaném bodě P, kde při r O jeví funkce 0 singularitu. Abychom tento bod vyloučili, obklopíme jej koulí poloměru r ^> 0. Označme povrch této elementární koule 7C(obr. 142). l) Tato funkce souvisí přímo s Greenovou funkcí uvedeného problému. 17 - Základy techniky 257 V tomto případě přejde vztah (VI1-8) na tvar j|grad*-|— fopjm dF= j{grad- + J {grad 0(En) — [grad 0[nEJ] - j(,j,íť0[nH]} dS (VII-10) Z rovnice (VII-9) vyplývá kde r„ je jednotkový vektor ve směru f, směřující od místa P k mísru elementu zdroje Q-Je-Ii plošný element v kulových souřadnicích j c potom 0 dS dS = r- sin (5 dr) d(p r- sin b ď) dip Pro r --0 je grad 0 dS = —- - I — \k — —-1 r„r- sin b db dip 0dS^O grad0 dS -> — sin á dp r„ Protože plocha je elementární koule s poloměrem blížícím se nule, lze předpokládat, že^ intensita elektrického a magnetického pole na táto elementární kouli se rovná určité střední hodnotě E a H. Normála k elementární kouli n má opačný směr než jednotkový vektor průvodiče r0. Proto je j {grad 0(£n) — [grad 0[n£]| — j'-y/[nH] 0} déľ = " J i(£r«) r<> - fofrififfi sin () áó d7 = 47r{r„(£r„) - r„(£r„) - Eír,,^)) 4x£ a' Dosadíme-li tento vztah do rovnice (VII-10), dostaneme po úpravě 4-E = J j grad 0 -y —j dV—J{grad 0(n£) + -- t[#i£] grad 0] - jw^nH] 0} dS (VII-11) Obdobně bychom odvodili pro intensitu magnetického pole 4-H f [] grad 0] dV — f {}m[nE] 0 + + [["H] grad 0J + (nH) grad 0} dôT (VII-12) 258 kde je 0 = - r r vzdálenost mezi proměnným bodem Q, určujícím plochu elementu zdroje, a mezi bodem P, kde určujeme pole. t, ; Podle vzorců (VII-11) a (VII-12) určíme intensitu elektrického a magnetického pole uvnitř oblasti V, známe-li uvnitř V proudovou hustotu ], objemovou hustotu náboje o a známe-li na ploše S, uzavírající oblast V, intensitu elektrického a magnetického pole. Uvedené vzorce platí tehdy, je-li intensita elektrického a magnetického pole na ploše S spojitá a je-li spojitá také první a druhá derivace intensity elektrického pole na ploše S. Vzdaluje-Ii se plocha 5 do nekonečna, zmizí plošný integrál. Předpokládejme, že jc plocha S koule poloměru r -> co. Protože se při velkém r zmenšuje intensita elektrického a magnetického pole nejméně tak rychle jako výraz ~, potenciál funkce 0 a grad 0 se také zmenšuje nejméně tak rychle, je vidět, že pro r -> cc zmizí všechny členy plošného integrálu. Potom bude grad0---\o>t.t)0\ dV (VII-13) 4-H = — f [grad &J] dV (VII-14) V tomto případě jsou g a j funkcemi bodů Q(x',y', z') a dl' — d.v' dy' dz' se vztahuje k bodu Q. Skalární funkce e-ífcr 0= - kde r je vzdálenost pozorovaného bodu P a bodů Q. V předcházejících vzorcích jsme vztahovali grad 0 na proměnný bod Q. Budeme-li vztahovat grad 0 na proměnný bod P, zjistíme, že grad,. 0 — — grad,, 0 Při tom jc grad,, 0 vztažen na proměnný bod Q a grad,. 0 na proměnný bod P. Zamění-me-li v předešlých rovnicích grad., za grad,., dostaneme ' /I- 4-E- / [— grad,.0 — youJ0) dV 4-H : /[gradP0J] dy Protože se integrace provádí vzhledem k proměnným bodům Q, můžeme vektorovou operaci gradientu, kterou nyní provádíme vzhledem k proměnnému bodu P, provádět před integračním znaménkem. Upravme ještě ve výrazu pro intensitu magnetického pole výraz [grad,. 0]]. Z vlastností vektorových operátorů je známo, že rot, (0J) - 0 rotPJ f [grad,, 0}} 259 Protože se v našem případě provádí vektorová operace vzhledem k proměnnému bodu P a proudová hustota J je funkcí proměnného bodu Q, je proto rotp j = 0, a tedy rotP(<ř/)= [grad,,0/] Přihlédnemc-li k těmto výsledkům, můžeme psát —-dV — jto/í I ■—.- fAtzt 1 J 4rrr r ľ 4—dF 4rcr při čemž jsme 0 nahradili výrazem —-— Porovnámc-h tyto vzorce se vztahy (1-11) a (1-12), vidíme, že A^f^-dV a V=-f^dV J 4rtr J 64W (VII-15) Tak jsme dostali výraz pro vektorový potenciál A v závislosti na proudové hustotě a výraz pro skalární potenciál v závislosti na objemové hustotě náboje. Veličiny A a V, vyjádřené předcházejícími vzorci, nazýváme zpožděnými potenciály. 56. Huygens-Kottlerův vzorec Vzorců (VII-11) a (VII-12) lze použít jen tehdy, je-li intensita elektrického a magnetického pole na plose S spojitá. Při praktické aplikaci nebývá však tato podmínka vždy splněna. Uvažme jen jednoduchý případ vyzařování elektromagnetické vlnv z vlnovodu (obr. 143). V ústí vlnovodu je určité uspořádání intensity elektrického a magnetického pole. Plocha ústí vlnovodu tvoří část uzavřené plochy. Další část uzavřené plochy tvoří stěna vlnovodu a potom plocha uzavítající se v nekonečnu. Na kovové části ústi vlnovodu je intensita elektrického pole nulová. Je tedy přechod mezi intensitou elektrického pole v ústí vlnovodu a intensitou elektrického pole na kovové části ústí nespojitý. V tomto případě nemůžeme použít vzorců (VII-11) a (VII-12), nýbrž musíme je zvlášť upravit. Protože hledáme obyčejně pole ve vnějším prostoru, kde není proudových a nábojových zdrojů, vyjdeme ze vztahů (VII-11) a (VII-12) bez objemového integrálu: —/{grad ] — \mfi{nH] 0} dS (VII-16) 4-H — j{)oju[nE] 0 4- [[nH] grad 0] 4- (nH) grad 0} dS (VII-17) Uvažujme nyní případ, kdy je elektromagnetické poie na ploše S nespojité podél určité křivky C (obr. 144). Při vyzařování z vlnovodu je křivka nespojitosti dána křivkou obrysu průřezu vlnovodu 260 (viz obr. 142). Vytvořme kolem křivky nespojitosti C soumeznou plošku S'. Potom podle vzorce (VII-16) platí 4rtE = —J"{grad0(En) — mt[nH] + [[nE] grad 0]} dSx — —f {grad 0(En) — j<»,«[nH] 0 4- [[nE] grad 0]} dS2 — —J"{grad0(En) — jw«[nH]0 | [[nE] grad0]} dS' kde St je jedna část plochy S, omezená křivkou C 52 druhá část plochy 5 S' soumezná ploška. Element soumezné plošky je dS'=dsd/ kde ds je element oblouku křivky nespojitosti dl tloušťka soumezné plochy S'. Všimneme si podrobněji posledního integrálu pravé strany předcházející rovnice. přechod Ssroslřzdí Sfaaet- "ovociplocha) Obr. 143. Vyzařováni z otevřeného konce vlnovodu. Obr. 144. Označeni křivky nespojitosti na povrchu vyzařujícího zdroje. Rozdělíme soumeznou plochu S' na elementární plošky dl ds a provedeme integraci po těchto ploškách. Provedeme-li integraci po jedné z těchto plosek, dostaneme j {grad 0[En] - ]to/,i[nH] 0 + [[nE] grad0]} dS' - j j__ grad (p(rot Hn) — )ft J [nH] 0 dl ds 4- J [[nH] grad 0]d/ dí 261 První integrál na pravé straně předešlé rovnice přeměníme pomocí Stokesovy věty v křivkový integrál. Potom bude ] = r— grad 0[(H2s) ds - (HlS] di] + N - f Qoj/i[nH] 4- [[n£] graďP]) di ds )0)E J .la' kde H,, je intensita magnetického pole na ploše Č72 Hj intensita magnetického pole na ploše 5, s jednotkový vektor ve směru tečny křivky nespojitosti v daném místě Aí příspěvek cirkulace na1 stranách d. Část křivky nespojitosti je na obr. 145. Pro dl 0 platí, že N -.- 0 a as /1 /itespojitcisti Potom je Obr. 145. Část křivky nespoiitosti. J*(jfo//[nH] 0 4- [[nE] grad*]) dl ds 0 J = — grad 0[{H, - H,) s] ds To je příspěvek integrálu, příslušný elementární plošce dS'. Provedeme integraci všech těchto příspěvků po celé křivce nespojitosti. Musíme sečíst hodnoty všech elementárních cirkulací. Při tom se velikosti elementárních křivkových integrálů, příslušných stranám s rozměrem dl, navzájem ruší a plošný integrál přes soumeznou plochou S' přejde v křivkový integtál po křivce nespojitosti C. Potom dostaneme / fgrad 0(En) - Vo/t[nH] - [[nE] grad ]} dl ds = = i / grad 0(H, — H.) s) ds Dosadíme-li tento vztah do rovnice (VII-16), můžeme potom obecný vztah (VII-ll) upravit takto: 4-E J jgrad 0 | -i- y»it}0 J dV — J{grad $(£n) — j(o/;[nH] 0 4- + [[nE] grad]} dS — ^- J grad0[(H, H,) i; ds (VII-18) Podobně bychom postupovali při odvozováni vztahu pro H. Dostali bychom 4ttH - j {[] grad*] dV — j\yne[nE} 0 4- [[nH] grad 0] | + (pH) grad 0} dS i- f gradf/>{(E, - £,) s; ds (VII-19; 262 Podle vzorců (VII-18) a (VII-19) určíme intensitu elektrického a magnetického pole, známe-Ii uspořádání polí na ploše éľ a je-li elektromagnetické pole na ploše 5 nespojité podle křivky C. Vzorce (VII-18) a (VI-19) nazveme Huygens-Kottlerovými vzorci. 57. Úprava Huygens-Kottlerova vzorce Při určování intensity elektrického a magnetického pole podle vzorců (VII-18) a (VII-19) rozeznáváme několik zvláštních případů při dosazování do těchto vzorců. Kriteriem je vzdálenost, v níž určujeme intensitu elektrického a magnetického pole. V malé vzdálenosti od zdroje záření (ústí vlnovodu) je t. zv. blízká oblast. Ve vzdálenosti poněkud odlehlejší je střední oblast neboli oblast Frcsnelovy difrakce a ve velké vzdálenosti (v porovnání s délkou vlny) od zdroje záření je vzdálená oblast neboli oblast Frauenhof"erovy difrakce (viz některou učebnici optiky). Největší význam pro praktickou aplikaci má vzdálená oblast. Proto upravíme Huygens-Kottlerův vzorec pro vzdálenou oblast. Odvodili jsme již výraz grad Vzdálená oblast se uvažuje v té vzdálenosti od zdroje záření, při které platí nerovnost X .»,_... — 1, při čemž r je vzdálenost místa, kde určujeme pole, od zdroje záření. Zanedbáme-li 1 tedy — proti k r dostaneme e-jer *rad0 =' - \k--r„ (VII-20) Dosaďme tento výraz do rovnice (VII-18). Při tom musíme uvážit, že ve vzorci (VII-18) znamená .S' celkovou plochu, t. j. plochu Sl a S,, je-li 5, plocha uvnitř uzavřené křivky nespojitosti C a S., plocha vně této křivky. Se zřetelem na toto rozdělení ploch dostaneme 4t=£- : J{)kr„(Ein ) + jtópfnH,] + j*[[nE,] rj) -dS + r .,] ■ i*[[n£,] r„]f dS-i- — f \}kr,l(E,,ríj - i patří odrazné ploše. '-) Znaménko u prvního integrálu je záporné proto, že plocha St ie vně křivky C, takže při kladném směru cirkulace má normála na plochu iT, opačný směr než normála na plochu St. 264 Intensitu elektrického pole v místě P vypočítáme podle upraveného Huygens-Kottlero-va vzorce (VII-24). V tomto případě náleží plocha 5, vnějšímu prostředí a plocha č>2 přísluší odrazné ploše. Plochy S, a S2 jsou totožné, avšak normály k nim mají opačný směr. Uvážíme-li, že na odrazné ploše platí okrajová podmínka [*(£,-£,)]=<) i - * a že je St = S, == S, změní se vzorec (VII-24) na tvar 4-E = yap J{[n(Hl — H 2)] - 'o(K". - H2)] r0)} dS (VII-25) Jak známo,platí na rozhraní dielektrika a ideálně vodivého prostředí okrajová podmínka, že rozdíl tečných složek intensity magnetického pole se rovná hustotě povrchového proudu. Platí tedy na odrazné ploše [n(Ht - H2)] = K kde K je hustota povrchového proudu. Na základě toho upravíme vzorec (VII-25) takto: ideje poie nulové 4rtE = jco/í J{K (Kr„)rjl^d5 (VII-26) 5"- odrazná plocha směr dopadají! viny ^křivka nespojitosti C Obr. 146. Odrazná plocha elektromagnetické vlny. kde r je vzdálenost elementu odrazné plochy od pozorovaného místa P 5 odrazná plocha r0 jednotkový vektor ve směru pozorovaného místa P. Ze vzorce (VII-26) je vidět, že intensita elektrického pole £ ve vzdálené oblasti má směr kolmý k ra, neboť 47t(£rn) = jw/f {(Krň) ei*r (Kro)}-— dS- 0 Při odvozování vzorce pro intensitu magnetického pole bychom postupovali obdobně. Zjistili bychom,že ve vzdálené oblasti je intensita magnetickéhopolekolmákesměrušíření a ke směru intensity elektrického pole a že ji lze určit ze vzorce pro intensitu elektrického pole podle vztahu H = -L [r„E] (VII-27) kde Z je charakteristická impedance volného prostoru r0 jednotkový vektor ve směru šíření. V ČÍ. 62 použijeme jako příkladu vzorce (VII-26) při určování geometrického uspořádání odražené rovinné vlny od některých jednoduchých geometrických těles. 59. Vyzařování z otevřené plochy V tomto článku upravíme Huygens-Kottlerův vzorec (VII-24) pro vyzařování elektromagnetického pole z otevřené antény (viz obr. 147). Na hranici otevřené plochy a dokonale vodivého prostředí (na př. pláště vlnovodu) je 265 elektromagnetické pole nespojité. Plocha čľ2 přísluší v tomto případě vnější části pláště napáječe a plocha S, otvoru. Na vnější části pláště napáječe je intensita elektrického a magnetického pole nulová. Proto lze v tomto případě upravit vzorec (VII-24) takto: 4t.E = jk jj '•.(["HJ^jl— dčľ ] + [["EJ ra] Protože je P [r0[ra[nH]^ = ra{[nH] ru) - [nH] zjednodušíme předcházející vztah takto: Obr. 147. Vyzařování z otevřené plochy. 4-E = &JpE] r,]-^|"![r rru[r,H]]] --dčľ r (VII-28) kde £ je intensita elektrického pole v otvoru H intensita magnetického pole v otvoru r„ jednotkový vektor ve směru pozorovaného místa P r vzdálenost elementu otvoru od pozorovaného místa P. Vzorcem (VII-28) je určena intensita elektrického pole v místě P (viz obr. 147), je-li na vyzařovací ploše dána intensita elektrického a magnetického pole. Protože intensita magnetického pole H pod integrálem vzorce (VI1-28) je vyjádřena ve tvaru [nH], kde n je normála k ploše čľ, vyplývá z toho, že přispívá jen složka H ye směru kolmém k normále. \V tom případě lze vyjádřit intensitu magnetického pole v otvoru antény pomocí intensity elektrického pole H Y[n£] kde Y je charakteristická admitance v otvoru n směr Umov-Poyntingova vektoru v otvoru, který je opačný než směr normály otvoru (normála otvoru je vzhledem k vnějšímu prostředí orientována vně plochy uzavírající vnější prostor, tedy v opačném směru, než je směr šíření v otvoru). Dosaďme za H uvedený výraz do rovnice (VII-28). Potom bude 4-E i*J mm r0] + (^)~Y L[r0[n[r>£]]] j dS (VII-29) Vektorový součin v druhém členu pod integrálem můžeme rozložit takto: |r„[n[nE]]]= K[n(nE) - £]] Aiůžeme se snadno přesvědčit, že je tento vektorový součin nulový, bude-íi mít intensita elektrického pole jen složku ve směru normály. Budeme tedy uvažovat jen složky intensity elektrického pole ve směru kolmém k normále. Potom bude |V„|n[nE] KE] neboť v tomto připadé je (En) — 0. Se zřetelem na tento výsledek upravíme vzorec pro vyzářenou intensitu elektrického pole (VII-29) At-.E = - j k £r, J|[nE] + Y[r0E] j Ä dS j (VII-30) kde £ je složka intensity elektrického pole ve směru kolmém k normále. r Vzorce (VII-30) použijeme tehdy, mámc-li určit vyzářené pble z otvoru, jehož plocha má obecný tvar. Vyzařovací plocha bývá nejčastěji rovinná. V tom případě bude mít jednotkový vektor ve směru normály konstantní směr. Potom bude 4ttE - )k [r«[("-F(7)"r°)N (VII-3Í) E -— dS. kde je N = J l Rozvedeme-li ve vzorci (VII-31) složené vektorové součiny, dostaneme 4t:E - - jk |(r0N) (r, j Y (^-)"r0 j - N \(San) f Y (ä)'} (VII-32) Abychom mohli v předešlém vztahu číselné vyjádřit skalární součiny, rozložíme vektor N do směru x a y. Potom bude N — iV,.x -j- Nay, kde jednotkové vektory jsou ve směru osy x a y. Skalární součiny vyjádříme číselně tak, že směry jednotkových vektorů vyjádříme pomocí úhlových kulových souřadnic a skalární součiny potom určíme jako kosiny úhlů sevřených jednotkovými vektory skalárních součinů. Obr. 148. Označení souřadnic na otevřené vyzařující ploše. Obr. 149. Označení směru R a směru prúvodiče ij. Označímc-li úhlové kulové souřadnice jednotkového vektoru ve směru šíření r„ úhly ť), f (viz obr. 148), budou jednotlivé vektory, uvedené na obr. 148, dány těmito kulovými souřadnicemi (první udává azimut, druhá úhlovou výšku): x ... ^, 0; y ... j, ~; n ... 0 5 ... ó- 7 ; cp .. 266 267 Úhel x, sevřený dvěma jednotkovými vektory rL a r2, danými kulovými souřadnicemi dj, 2 + sin ôx sin á2 cos (0 -j- F j cos g cos % (R je pro dané P konstantní). Upravme podle rovnice (VII-35) vzorce (VII-26), (VII-28), (VII-30), (VII-33) a (VII-34). Dostaneme a) 4tc E = jom tJ<* (VII-36) 268 kde K je hustota povrchového proudu na odrazné ploše r,, jednotkový vektor ve směru místa P, kde určujeme pole R vzdálenost počátku O a místa P q průvodič určující vzdálenost zvoleného počátku od proměnných bodů na odrazné ploše at úhel mezi průvodiči pař?. „ . * !. Vzorce (VII-36) použijeme tehdy, chceme-li určit vyzářené elektromagnetické pole odraznou plochou a známe-li průběh povrchového proudu na Odrazné ploše b) 4r:£ = ]k e-~ jj[[nE] rj - fftj* [r0[r0[ftH]j]} dS (VII-37) 3 kde E je intensita elektrického pole v otvoru H intensita magnetického pole v otvoru jednotkový vektor ve směru pozorovaného místa P vzdálenost zvoleného počátku od místa P vzdálenost počátku od proměnného bodu v otvoru jednotkový vektor ve směru normály na ploše S úhel sevřený průvodičem i> a R. Tohoto vzorce použijeme při vyzařování z obecného otvoru, na př. při vyzařování dielektrického drátu nebo při vyzařování ze štěrbin o 11 ■x 0 47iE = ■]k e~ř~ [r° J\ínE] + (f)!y^je*"'' ds] w-w Jednotlivé výrazy v tomto vzorci mají týž význam jako u vzorce (VII-37). Tohoto vzorce použijeme při vyzařování elektromagnetického pole z nerovinných otvorů, které jsou vytvořeny ústím obecného vedení (na př. při vyzařování z bikonické antény) kde Ar, E„. : = JE,tk<: dS 1 + ľ I —I cos (5„ (■ (Nx cos „ — N,j cos ) -r sin (« - 1)

v řadu Besselových funkcí, dostaneme ei*r,.Mv t,y*>M *= j^kr Sin ,)„) ... J 2j" J,„(*r sin '>„) cos m(ip — v„) M 1 a potom řZ* ■ ■ j*E^l*'"-i->„d.S J |~ Cjr,«,[sin (« -i 1) (/, J^/V) + - sin (h — 1) $ J„-,(fiO][J0(Ar sinú,) - ^ 2j"* Jffl(*r sin rS0) cos mdp — rpa)]>, dS m-l Při tom jsme dosadili za Er vztah (VIII-1). Uvážíme-li orthogonálni vlastnosti trigonometrických funkci a součtové vlastnosti trigonometrických funkcí, dostaneme po úpravě n Nx - rCV lj{fiJi- sin (n T 1) ?0 J* J„,, (/» JA+1 (Ar sin <5D) r dr + 0 ií 4- y 'Cj"-' jmu- sin ('/ — 1) r« / J«-t(<» J„-!(Ar sin í0) r dr (VIII-3) o 271 Obdobné se odvodí vztah pro Na. Protože £„ = -j- Cjtu/i[cos (n — 1) g>„ L,_,(í» — cos (n - 1) 93„ I„Tlr/V)] je ÍV, = J"dS = 8 a — rej™-1 jcu/ir: cos (n — 1) ) J„_,(*r sin ů„) r ďr 4- o a — Crj"-1 jío/i- cos (n — 1) ) J„_,(/, I J„.,(/>) J„ ,(*>• sin <5„) r dr - o a a -> Crj" tínfJJ Jn,a» Jn-,(fa- sin .)„) r dr j l„-t sin ,5„) r dr] o o neboť j""1 - — i"1. Předešlé integrály vyjádříme číselné podle Lommelova integrálu (viz kap. IX). Potom bude f h. lOt sin 4) r dr — / J„_,(rr) J„..,(Ar sin 'V rdř - .o ô T' -. - - \k sin r\jH [J„ ,(/ a) J„ _ä(/ifl sin <>„) - ./"-— ks sin- r)„ — J„-/Ja) J„(Aa sin<>„)] + 'a Un(ra) -iC*o sin \) — — J„-2Í' a) J„-,(*a sin .)„)]; Uvážíme-li, ž vzorců pro Bes (VII-40), lze vyjádřit takto že na základě okrajových podmínek vln TE J „'(ľa) = 6, a použijeme-li rekurentních íesselovy funkce, zjistíme, že intensitu elektrického pole, danou výrazy (VII-39) a 'íit takto: e-"* ľ i i' V 1 J,.(/;a sin'V Ccj/t —— íij" 1 sin jji;„ 1 i- Y \~) cos i\ J „(/a) ^ j»* r / r( \n — Coi/i kaj" 1 cos cos ň0 '- Y \ sin <)„ - [llY] -^—— J„U'a) Jn'(Aa sin -)„) |«sinrt„|- (VII1-5) (VIII-6) 272 kde Ej je složka vyzářené intensity elektrického pole ve vzdálené oblasti ve směru jednotkového vektoru 5 Ev složka vyzářené intensity elektrického pole ve vzdálené oblasti ve směru jednotkového vektoru ■, ' V charakteristická admitance vlnovodu. Hlavním videm v kruhovém vlnovodu je vid TEn. Všimneme si vyzařovací charakteristiky tohoto vidu v rovinách daných kulovou souřadnicí f0 = -— a a = (t. zv. rovina E) složka (E5) intensity elektrického pole byla nulová, musí podle rovnice (VIII-5) být SL(ka sin i50) = 0 Z toho je ka sin ňa — 3,83 (viz tab. II na str. 53) a šířka svazku od nulové hodnoty k nulové hodnotě je Obr. 151. Vyzařovací charakteristika. 2 aresin 3,83;. (VIII-7) V rovině rp = -~ je podle rovnice (VIII-6) složka Eg nulová. Uspořádání složky intensity elektrického pole ET je v rovině sin ň) 1 • (k sin d a je po číselném vyjádření konečný. První nulová hodnota přísluší potom druhému kořenu rovnice Ji'(fea sin (5) ^ 0 neboli pro argument 5,33. Potom je 5,33/. (VIII-Si 1/ / ___ rovina £ - - rovino H o . poloměr vlnovodu Obr. 152. Hlavní'část vyzařovací charakteristiky vlnovodu vidu TEIL. Kromě hlavního vidu TE,, se dosti často používá vidu TE,,. V tomto případě je složka Es pro jakoukoli hodnotu 0(neJ) ■ - e ,(nr0)] (VIII-21) kde K je hustota povrchového proudu na odrazné ploše Ed absolutní hodnota intensity elektrického pole dopadající vlny r„ jednotkový vektor ve směru šíření dopadající vlny e,j jednotkový vektor intensity elektrického pole. Šíří-li se primární elektromagnetická vlna od vysilače prostorem a narazí-li na dokonale vodivou plochu, vybudí se na této ploše povrchové proudy a náboje. Jsou potom zdrojem druhotné vlny. Intensitu elektrického pole vyzářené vlny určíme podle vzorce (VII-36) 4tE — jw R-J{K (Kr, kde K je určeno vzorcem (VIII-19). Intensitu magnetického pole H, určíme pomocí absolutní hodnoty intensity elektrického pole H„= ~- \Ed\hA Z n kde jEjj je absolutní hodnota intensity elektrického poie dopadající vlny b, jednotkový vektor intensity magnetického pole dopadající vlny. Potom po úpravě bude E *" '* 5 fíi[nhX' ~ ([nk,] r,,) S#^faw áS (VIII-22) kde q je průvodič určující vzdálenost zvoleného počátku od elementu odrazné plochy x úhel tohoto průvodiče s jednotkovým vektorem r0 ve směru místa, kde určujeme pole. re odnuna plocho Všimneme si konkrétního případu, kdy na obdélníkovou rovinnou odraznou plochu dopadá šikmo rovinná elektromagnetická vlna (viz obr. 154). V místě odrazné plochy bude mít intensita elektrického pole konstantní velikost, avšak fáze nikoli. Nechť svírá Umov-Poyntingův vektor dopadající vlny s osou x pravý úhel a s normálou k odrazné ploše úhel y (viz obr. 154), Potom je fáze intensity elektrického pole nebo magnetického pole v místech se souřadnicí jí posunuta o fázový úhel ky sin y vzhledem k fázi ve středu. Je tedy dána intensita elektrického pole v místě dopadající plochy Potom je vySitOC Obr, 154. Vyzařováni z odrazné plochy. a jednotlivé složky ve směru jednotkového vektoru ů0 a tp# budou E„ - ]k 2ttK 1 Ú'J neboť 0 (VIII-23) (VIII-24) (Vo) = 0; (Wo): kde y je úhel dopadu rovinné vlny na vodivou odraznou plochu a úhel, který svírá průvodič q se směrem r,„ jenž určuje polohu místa, kde určujeme vyzářené pole (viz obr. 154). Nechť je osa kulových souřadnic ve směru normály k odrazné ploše. Potom má průvodič f> a vektor r„ tyto úhlové kulové souřadnice: cos ce = (rsp) — sin da cos (fl 2tzR 11 ŕ srn r\, cos sin^'c — sin y nabývá maximální hodnoty. Bude tedy odražená intensita elektrického pole maximální při ~ a <\, viz.obr, 154). Z 278 ]X. DODATEK 63. Matematická část Ä3.1 Vektorová analysa Předpokládáme, že základy vektorové analysy jsou známy a uvedeme jen přehled nej-důležirějších vzorců. Skalární součin vektorů u — (ijjji + tLjj + u,k v = i) j -r v J 4- ípé kde ř, j, íí jsou jednotkové vektory ve směru os x, j, a, rovná se (uv) = cos (uv) — U.j.Vx U.,JV,j -f- UJlz kde cos lup) je kosinus úhlu sevřeného vektory u, v. Vektorový součin [uv] vektorů u, v je vektor kolmý k u a v a jeho absolutní hodnota se rovná ploše rovnoběžníku sestrojeného z vektorů o, v: \[uv]\ = uv sin (uv) i j k j 5%, ^ í Vektorový součin není komutativní = - M Smíšený součin Smíšený součin (ujywj) je skalár, jehož hodnota se rovná objemu rovnoběžnostěnu sestrojeného z vektorů u, v, w (u[v w]) Ux U,j VX V„ V; zwx Wy w. Dvojný vektorový součin [ii[v«ř]] — v{uzu) — w(ttv) Derivace vektoru podle skaláru Nechť je vektorová funkce funkci skalární proměnné v= v(0 Potom je derivace vektoru podle skaláru definována limitou dV ,. V(r -|- h) — Výt) — — lim ■-r- dt í_q n 279 Je-li vektor V dán třemi složkami ve směrech jednotkových vektorů i,], k, navzájem kolmých, je V=VJ+Vvj+Vzk a dV_ dV dVv dV -dl-~d7,+ ^i)+^k json-li složky Vx, Vy, Vz funkcí skalární proměnné t a í, j, k jednotkové vektory konstantního směru. Derivace vektorových a skalárních součinů dvou vektorů se provede obdobně jako derivace součinů skalárních funkcí dí \dt j 1 \ dej Derivace jednotkového vektoru podle skaláru Nechť vektor V má absolutní hodnotu V a směr v, potom dV dV . dv dt dr dr Je-li jednotkový vektor v vektotu V konstantního směru, platí dV dV dt _ dí V Protože se skalární součin dvou stejných jednotkových vektorů rovná jedné je To platí obecně tehdy, je-li dv dľ Je tedy detivace jednotkového vektoru vektor kolmý k jednotkovému vektoru, který derivujeme. 63.2 Skalární pole a gradient Skalární pole je část prostoru, v níž je definována určitá skalární funkce. Budiž tedy >p(x,y, z) skalární funkce, mající v každém bodě daném souřadnicemi x,y, z určitou hodnotu. Úplný diferenciál funkce ip je dán vztahem &p = 3%"ůx -cx "fdy ')dz ťy cz Zaveďme nový vektor grad tp, definovaný vztahem j ■ SW i grady = -~- i — -r-j ■ Cx cy Potom je úplný diferenciál funkce ip dán skalárním součinem vektoru grad y s diferencia lem průvodiče r: dijí = (grad y> dr) " ,. kde dr = dx i -f dyj -j- dz k Proveďme skalární součin grad ip s libovolným jednotkovým vektorem n: 8ip (grad y> n) = ^ (in) + ^ (Jn) ůz (fen) Výrazy (řn), (Jn), (kn) jsou směrové kosiny vektoru n, a tedy (grad ve směru n, daném směrovými kosiny dip (grad ip n) = d« Derivace —■ bude nulová tehdy, budeme-li derivovat ve směru tečné roviny k ekvi- , chp potenciální ploše, dané rovnici w.= konst. Potom platí -7^- = 0, a tedy (gradi/> rí) — 0. , on 7, toho plyne, že grad ip j_ n, kde n je v tomto případě jednotkový vektor, ležící v tečné rovině ekvipotenciální plochy. Je tedy grad ý vektor, kolmý k ekvipotenciální ploše. Zvolme dále směr n ve směru normály k ekvipotenciální ploše. Protože grady — |grad tp\ n Z toho vyplývá [grady] dip dn Z uvedených výsledků vyplývá: grad ip je vektor, mající směr normály k'ekvipotenciálni ploše ip = konst a velikost rovnající sc přírůstku funkce yi ve směru normály na ekvipotenciální plochu. Je-li ip—r- r jx--\- y-+ z-, platí grad tp kde r je rádius vektor. grad r = Je-li y = f(r), je cíp ar , dr dx Totéí platí o ostatních složkách vektoru grad f. Proto je grad[f(r)] = f'(r)^ kde f'(r) je derivace funkce f(r) podle průvodiče r. 280 281 63.3 Vektorové pole, divergence, Gaussova věta Část prostoru, v níž je každému bodu přiřčen určitý vektor, nazývá se vektorovým polem. Takto je tedy definován vektor funkcí tří prostorových souřadnic, na př. V(x,y, z). Skalárním součinem vektoru s vektorem elementu plochy se definuje element vektorového toku N: d/V=(vn)dS kde v je vektor uvažovaného pole n jednodtový vektor normály elementu plochy dS. Celkový tok N danou plochou 5 určíme integrací elementu toku na ploše S: N, déľ kde í.'„ je složka vektoru v ve směru jednotkového vektoru normály n. Tok vektoru z jednotkového objemu nazýváme divergencí. V limitě je divergence vektoru v (označujeme ji div v) definována vztahem J (v dS) div y lim (IX-1) Obr. 155. Orientace složek vektoru na kde V je objem elementární kouli. $ plocha uzavírající tento objem. "Analytické vyjádření divergence v prostorových souřadnicích odvodíme z uvedeného vztahu. Za objem V budeme pov&žcvat elementární krychli (s objemem dxáy dz). Integrál /(v ds) představuje tok vektoru v z uzavřené plochy 5, v našem případě ze šesti ti stěn elementární ktychle. Rozložíme-li vektor v do tří složek ve směru osy x,y, z, platí V = v J -f* v J -r v.k Tok vektoru v elementární ploškou dy dis je vx dy dz (viz obr. 155). Tok vektoru v protější ploškou bude o diferenciál větší a záporného znaménka, neboť směr normály je opačný, tedy — {v. dv dz — dx dy ds \ - ~ ex Druhý člen má záporné znaménko proto, že změnu toku vr dy dz určujeme v záporném směru souřadnice x. Stejně bychom určili toky vektoru ostatními elementárními ploškami. Tedy (v dS) = vx dy dz — vx dy ds -|- -J- dx dy dz + % dx dz — vy dx dy + i dx dv dz I- v. dx dy — v. dx dv — "■ d.t dy ds — dy - m \ cx cy dz f 282 Divergenci určíme z rovnice (IX-1) div v = dx CIV. neboť v tomto případě je V = dv dy dz. « '4 ; Ke stejnému vztahu dospějeme tím, že provedeme skalární součin operátoru grad s vektorem v. ' ' dx dy <*>z dz div v = (grad v) kde x,y, z jsou pravoúhlé souřadnice. ; Dále určíme vztah mezi objemovým integrálem f div v a plošným integrálem f (v dS). v s kde 5 je plocha omezující objem V. Rozdělme objem V na síť elementárních krychlí dxáy dz. Podle rovnice (IX-1) platí pro každou elementární krychli div v d.v dy ds — f (v dS) 8' kde S' je plocha omezující elementární krychli, tedy šest elementárních plošek. Předešlý vztah platí pro každou krychli. Sečteme tedy levé strany i pravé strany předešlých vztahů pro všechny elementární krychle objemu V. Potom bude 2div v dx dy dz — l^J (v dS) (IX-2) Protože toky na sousedních ploškách (viz obr. 136) elementárních krychlí jsou stejné a opačného směru, zruší se jednotlivé toky na stěnách elementárních krychlí uvnitř objemu V mimo ty plošky, které přiléhají k povrchu 5 objemu V. Proto lze upravit v limitě při díc dy ds -> 0 vztah (IX-2) takto: /di rvdV- f(v dS) (IX-3) kde V je objem uzavřený plochou S. Vztahem (IX-3) je definována Gaussova věta. Vztah (IX-3) platí tehdy, je-li vektorová funkce, určující průběh vektoru v uvnitř objemu V, spojitá. Obr. 155. K odvozeni GiUissovy věty. 63.4 Rotace, Stokesova věta Cirkulace C vektoru v po uzavřené křivce C je křivkový integrál po uzavřené křivce skalárního součinu vektoru v a elementu křivkv ds C = §(y ds) (IX-4) Rotace vektoru v je vektor, jehož složka v daném bodě P do daného směru n se rovná limitě poměru cirkulace vektoru v po obvodu libovolné plošky S, procházející bodem P a kolmé na jednotkový vektor n, k povrchu této plošky S: rot, v ■ i (v ds) lim i—s .1^0 o (IX-5) 283 1 Určíme složky rot v ve směru osy x,y, z pravoúhlých souřadnic. Tyto složky určíme z cirkulace vektoru v po obvodu plošek stěn elementární krychle dx dy dz. Pro cirkulaci vektoru v po obvodu plošky áy áz platí (viz obr. 155) C = <0% dy — v. áz — |ov + -—- dzj dy — |®,--~ dyj dz = — —íl. d v dz--dz dy ŕy ťz Protože normála ke stěně krychle uzavřené hranami dy, dz je ve směru x, platí po dosazení do rovnice (IX-5) rot^ v = 8y ' Bz Obdobně bychom dostali pro ostatní složky rot„ v rot. v cv. dz dx dv^ cy (IX-6) (IX-7) (IX-8) Ze vztahů (IX-6), (IX-7) a (IX-8) je vidět, že rot v je vektor daný vektorovým součinem operátoru grad s vektorem v: rot v — [grad v] i j k JlJLJL dx dy dz vx v„ v. Stokesova věta Obr. 157. K.odvozeni Stokesovy .. věty. Uvažujme část plochy omezené křivkou s a rozdělme ji na ínn- nitesimální plošky (obr. 157). Provedme cirkulaci vektoru v po těchto infinitesimálních ploškách. Je zřejmé, že příspěvky k cirkulaci od sousedních stran elementárních plošek se ruší, zachováme-li u obou plošek stejný směr cirkulace. Sečtěme pravé i levé strany vztahu (IX-6) pro všechny elementární plošky. Potom bude Trot,, v dS = 2 j (v ds) a pro ds ~> 0 přejde součet v plošný integrál j rot.., v dS = | (v ds) (IX-9) s c kde C je křivka omezující plochu 5. Vztah (IX-9) se nazývá Stokesovou větou a platí tehdy, je-li vektor v uvnitř 5 spojitý. 284 Některé vztahy, které platí pro vektorové operátory: rot grad rp = 0 r . div grad w = A, y> a libovolný vektor v a o. Lze je všechny odvodit rozepsáním do pravoúhlých souřadnic a provést postupně diferenciální operace. Greenovy věty Při odvozování Greenových vět vyjdeme z Gaussovy věty, podle které platí jdiwdV^ f(ydS) r s Budiž v = n) dčľ = j {(p Aip) + (grad ip grad a naopak, dostaneme fV lĹ ÚS~ f'01'dfp + fetadff grad y>)} dV Odečteme-li rovnici (IX-I9) od rovnice (IX-18), dostaneme Í f S ~~ áS=í- *dv Tímto vztahem je definována druhá Greenova věta. (IX-19) (IX-20) 285 Greenova věta. ve vektorovém vyjádření Vyjdeme opět z Gaussovy věty JdivvdF = jíVn) dS v s Dosaďme za vektor v vektorový součin [P rot Q], kde P a Q jsou libovolné vektory. Potom bude jdiv [P rot Q] dV = j\[P rot Q] rí) dS Protože je div [P rot Q] = (rot Q rot P) — (Q rot rot P), platí /"(rot P rot Q) dF — j(P rot rot Q) áK= f ([P rot Q] n) dčľ Y v s Zaměrume-li v rovnici (IX-21) za P vektor Q a naopak, dostaneme /" (rot P rot Q) dF — f (Q rot rot P) dF = f([Q rot P] n) dS r ľ s Odečteme-li rovnici (IX-22) od rovnice (IX-21), dostaneme j (Q rot rot P) dF — J (P rot rot Q) dF = ŕ y = j ([P rot Q] n) dS -- f ([Q rot P] n) d5 Vztah (IX-23) je obdobou Grestiovy vety ve vektorovém vyjádření. 63,5 Vektorové operátory v křivočarých souřadnicích (IX-21) (IX-22) (ÍX-23) Zaveďme obecné křivočaré souřadnice uL, u.v u3. Vztahy konst, u., = konst, í/3 konst jsou rovnicemi ploch. Na př. v kulových souřadnicích (viz obr. 158) Rovnice r — konst je rovnice kulové plochy se středem v počátku, Ô — konst je rovnice kuželové plochy s vrcholem v počátku a tp = konst je rovnice roviny procházející osou kulových souřadnic z. Uvedené plochy íťj — konst, u, =a konst, u3 = konst se navzájem protínají v křivkách, které spolu svírají u křivočarých orthogonálnich souřadnic pravý úhel (víz obr. 159). Označme jednotkové vektory ve směru tečen průseček uvedených ploch Uj, tt<$, u:!. Elementární oblouky průseček označíme d.^, ds>, ds3. Při tom platí djj^ = #! du,, ds., = h., du.,, ds?, = h-, d«, kde Síj A3) Ísou- Laméovy koeficienty křivočarých souřadnic. Tyto koeficienty mohou být obecně funkcemi souřadnic i;,, u.2, u.s. Oblouky di,, dsr, ůs3 jsou u orthogonálnich souřadnic navzájem kolmé, mají směry ui3 u2, u.„ a proto je 011=/!! dwL i/[ -|- A2 dwa u2 -\- A3 di(a u3 kde ds je vektor elementárního posunu v uvedených křivočarých souřadnicích. 286 Jsou-li souřadnice u2, u3 orthogonaler, je dí»= k\du\-'r h\ da« + A* dag Obr. 158. Orientace kulových souíadnic. Obr. 159. Elementární rovnoběžnostér obecných orihogonilnlch souřadnic. Na príklad u válcových souřadnic je uL — r, u., = tp, w3 směru jednotlivých souřadnic jsou ds, = dr; ds2 = r 'd^ ; &s;t = ds tedy *1=1.. Íj=l u kulových souřadnic je ds1 =dr; ds2 — r dá; dt3 = r sin ô ďp proto je AL —. 1, Aj == r, fej = r sin <5 Gradient v křivočarých souřadnicích Složky gradientu skalární funkce do jednotkových vektorů jednotlivých souřadnic jsou dány změnou skalární funkcej ve směru oblouku ds;, d.^ nebo ds::. Platí tedy Elementární oblouky ve Obr. 160. Orientace složek vektoru na elementárním rovnoběžnostěnu. j Sip gm «:i A., cu.. dtp h, ĚU* (IX-24) Divergence v křivočarých souřadnicích Divergenci vektoru jsme definovah jako tok vektoru z jednotkového objemu. V limitě /(VdS) div v = lim V ssľdt sktcíí o™TSrího obiQmu-iehož ro^rľ ísou v wivoíarých 287 Tok vektoru v stěnou o ploše ási ds^)c k,k^ du^ diis v.a kde vt je složka vektoru v ve směru «2, kolmém k uvažované plošce. Tok protější stěnou je o diferenciál rozdílný. Proto bude tok na protější stěně — ^h±h3 d«j du3 v.,--^— (y.ih.íh,?) du1 du., da3j Záporné znaménko před výrazem je proto, že normála k protější stěně má opačný směr, a záporné znaménko u druhého členu za lomenou závorkou je proto, že určujeme změnu toku v záporném směru odčítání souřadnice u3. Je tedy tok stěnou ds, dí, a její protější stěnou, označíme-Ii jej Nu,, určen výrazem Nu, = k,h3 d% d«;; v., — h,h, dut dux v, -f- g—- (p.,hji^) du, du.2 du3 = = TT- {v.jiji?) du, dii2 d«3 Obdobně bychom zjistili, že o toku stěnami ds2 t±j;i a ds1 ds2 platí d Ntit — -— (v\h-zhd diíj du., dii. cu - (;v;,kjk2) du, dz£; du,! Celkový tok elementárním objemem je dán součtem dílčích toků N!:,, Nv, a Nv,, Dosa-díme-li celkový tok do rovnice (IX-1) za /(v dS) a uvážíme-lí, že v limitě je V — h,hji3 . . dux dlí, du3, dostaneme 4 div v ; hs) — — (v,h.J),) ;- -— (*A**) (IX-25) Vztahem (IX-25) je určena divergence v křivečarých souřadnicích. Vztah platí tehdy, jsou-li složky vv v, a u;í v uvažovaném prostoru spojité. \ Rotace v křivočarých souřadnicích Rotaci jsme definovali vztahem (IX-5) | (v ds) rot,, v = lim ■-sr- - Obr. tfíl. Cirkulace vek toru v po elementárni ploše kolmé kc sinéru složky ti.. Aplikujme tento vztah na stěny elementárního objemu (viz obr. 161). Určime nejdříve složku rotace do směru jednotkového vektoru u,. Na tento jednotkový vektor je kolmá stěna s rozměry ds, dj=. Složku rotace do u; určíme z cirkulace vektoru v po objemu plošky ds, ds:;- Označme tuto cirkulaci C,,.. Potom (viz obr. 161) r C„3 = hL du, z\ + h,, d;í;í t?3 — du, n - —— (h,v,) du, du-, cu-, ' ' J h„ du, v. 'Cu, %t>3) du.. d% 288 Potom je rot"»8 = i. l j" ^ = -a- ^- KW — (f, Äj,A3 d% d«3 h,h2 L^"i ., -Swa J Obdobně bychom určih ostatní složky rotace vektoru v. rot„ (IX-26) ■T (IX-^27) **v=m [íivA) ~ř {vA)] (ix-28) Vztahy (IX-26), (IX-27) a (IX-28) určují složky rotace vektoru v. Tyto vztahy platí tehdy, jsou-li složky vly v2 a v3 v uvažovaném objemu spojité. Laplaceův operátor v křivočarých souřadnicích Uvedli jsme již, že Laplaceův operátor skalární funkce ip je Aip — div grad f Pro div v v křivočarých souřadnicích jsme odvodili vztah V našem případě je v = grad ce. Dosadíme prořo do předešlého vztahu za »M vu it3 složky gradip ve směru jednotkových vektorů u„ u2, n:1. Platí pro ně vztah (IX-24). Proto je-

řJo 1__I_ sin ô 86 (sin <5»3) rot v - 8 8 ô vr d(p dô t), r sin <5 zi2 n>3 (1X-34) (IX-35) (IX-36) 43.6 Besselovy funkce Lineární diferenciální rovnice druhého řádu tvaru ^+_L^__(1_^J==0 (IX-38) dx- * dx \ x1} se nazývá Besselovou diferenciální rovnicí. Rešení této diferenciální rovnice vyjádříme ve tvaru řady • co v = 3 asx' r s . Ó Dosazením této řady do Besselovy diferenciální rovnice a porovnáním součinitelů u jednotlivých členů dostaneme dvě partikulární řešení ve tvaru y<-~ Z k\tl{n+k) \ 2 li -o > : ri(k — n)\2 (IX-39) (IX-40) kde n je libovolné číslo. Výsledné řešení je dáno součtem dvou partikulárních integrálů y = -I- Q^a Při tom musí být splněna podmínka, žejy, a><2 nejsou lineárně závislé funkce. Ze vztahů (IX-39) a (IX-40) lze dokázat, že je to splněno tehdy, není-li n celé číslo. Partikulárním integrálem (IX-39) je definována Besselova funkce prvního druhu; označujeme ji ]"„(*). 290 Platí tedy ux) Zkin(n+k) [2]:, (-1)' í-"«=2lT77(*. Je-li n celé číslo, lze nahradit funkci ÍT faktoriálem argumentu. Potom je J"W Z *!(»+*)! Í2J (IX-41) t (IX-42) CO .1 Porovnáme-li oba tyto vztahy, zjistíme, že J-.M - (- 0" J.W je-li n celé číslo. To jsou výrazy, které jsou na sobe lineárně závislé. Nemůže být tedy součet těchto výrazů úplným řešením diferenciální rovnice (IX-38). Druhým parrikidárním integrálem Bssselovy diferenciální rovnice, je-li n celé číslo, je Neumannova funkce. Pro jakékoli n definujeme Neumannovu funkci N„(x) vztahem N„r» = cos (ms) J„(x) — J_f» sin («-) Z tohoto vztahu je vidět, že pro necelé n je Neumannova funkce lineární kombinací Besselových funkcí J„(x) a ]_,,{x) a je proto také řešením Besselovy diferenciální rovnice Pro celé n sc stává definující výraz neurčitým a definuje také druhé partikulární řešení Besselovy diferenciální rovnice. Pro celé n platí, vyjádříme-li uvedený neurčitý výraz^ *N„W = 2J„(,) (iB-f+yj-l t- V MtW (2- 2"f"1) - it t, 0 -m -=• 1 T/i -1 -2(t)""*" (IX-42.1) kde y = 0,5772 je Eulerova konstanta. Úplné řešení Besselovy diferenciální rovnice je potom *- CJn(x)+ C3N„(x) Hodnoty J„(x) a N„(x) pro velké a malé argumenty x Převedme nejprve Bcsselovu diferenciální rovnici na normální tvar. Provedeme to u substitucí y — r^= . Potom bude h 18« 291 dw y- 1 1 — y x — u — =7= dy ax 2 V x du -i -f - -e-■ =tj: * — — UX dx x ■ dx 2 1 -4 ä*y _ dru — £ 1 d« -j 1 du —; ďx= * ~~ T dx * ~YáxX 3 -i — ux 4 Dosazením do rovnice (IX-38) dostaneme pro u diferenciální rovnici ď* dx'1 (IX-43) 1 _H2 Pro velké hodnoty x je ——;—^ 1, takže diferenciální rovince (IX-43) přejde na tvar -— -j- u — 0 dx- z čehož a potom u = Ct sin x + C2 cos x h sin x . ^, cos x cix-44) Besselova a Neumannova funkce se tedy chová při velkých argumentech jako trigonometrická funkce s klesající amplitudou podle \íx. Podrobnějším rozborem bychom určili hodnoty Ct a C2. Při tom bychom dostali 1 im J„(x) lim : X~ "i--~2 OS —ŕ -33 X -r- CO 1/' 2 lim N„(x) = lim sin f s nrz (IX-45) (IX-4Ó) Pro malé argumenty x dostaneme pro Besselovu a Neumannovu funkci hodnoty tak3 že v definujících řadách (ix-41) a (ix-42.i) zanedbáme malé členy vyšších řádů při x —> 0 ]Jx) ■ 2"»! -( 2 2 --In- ir yx (IX-47) íAJn pro „ + o (ix-48) (ix-49) kde y = 0j5772 je Eulerova konstanta. 292 Rekurentní vzorce 2 definující' řady (IX-41) lze odvodit různé vzájemné vztahy mezi Besselovýrni funkcemi. Uvedeme nejdůležitější z nich: " ■ x |m = k Jn(x) — x J„+t(i) 2J;M = 'Jí1_1(x)-L+iW ■Jito dat Hankelovy funkce (Besselovy funkce třetího druhu) Tyto funkce jsou definovány vztahy S^PgŠ - Jn(*) - ) N.„(.r) Pro malé argumenty x platí ■ pro x -* 0 HÍ'W->j - h;»(*) -> ISříKS t* j « i .22 — J — ln — tc yx Pro velké argumenty ar platí pro x co Hf(s) >j Ln — 7t yx Hf(X) e s * 2 (IX-50) CIX-51) (IX-52) (IX-53) (IX-54) (IX-55) (IX-56) (IX-S7) Modifikované Besselovy funkce Modifikované Besselovy funkce jsou Besselovy funkce ryze imaginárního argumentu a definují se takto: !.(*)= GJ-"J»(M (IX-58) K„(x) = - H'^jx) (IX-59) 293 -v- Lommelův integrál a orthogonálnost Besselových funkcí Besselova diferenciální rovnice argumentu pt^x má tvar (dn^)2 &xx do;-,* \ (« Po úpravě je dx1 x i d> , / . «ä\ * (ix-ěo; Převeďme tuto rovnici na normální tvar dosazením jy = v sp^ Potom platí pro V'. V x _ + |4_ __^i==0 kde íi^ je funkce o, jde-li o argument ■^1x. Obdobně bychom dostali pro argument &,x: d-*íJj. (IX-61) d.ťJ V z, : (IX-62) Rovnici (IX-61) násobme výrazem |?l\ä a rovnici (IX-62) výrazem J/;Y,. Obě rovnice pak odečtěme. Dostaneme Integrujme tuto rovnici v mezích od 0 do a. Potom bude d.v Protože Protože d\'a "... -v- : - tb^ d^„ d\, d v, dr?= ďíT^^^ (IX-63) 294 Dosaďme tyto výrazy do rovnice (IX-63). Potom bude a [xCCy J^x) — X«z !(«!*) j;^*)] = o > == («| — aj) jx M%&ýfá o Po dosazení mezí a po úpravě, použijeme-li rekurentních vzorců, dostaneme 1 J:Á>.«) Jn_,(íxac) — oóí] JIt(«äii) Ln(í,a)] " (IX-64) Tento integrál nazýváme Lommclovým integrálem. Pro «! = CTa představuje rovnice (IX-64) neurčitý výraz. Vyřešením tohoto výrazu dostaneme * j xTi(o (E ds)=-^ J(B dS) (IX-68) kde E je vektor intensity elektrického pole B vektot magnetické indukce d$ vektor elementu plochy ds vektor elementu oblouku křivky, uzavírající plochu, jíž protéká magnetický tok. Křivkový integrál (cirkulace) rj>(£ ds) představuje elektromotorickou sílu indukovanou časovou změnou magnetického toku f(B dS). s Ampérův zákon udává velikost intensity magnetického pole, způsobenou celkovým protékajícím elektrickým proudem. Celkovým elektrickým proudem rozumíme vodivý proud a proud posuvný. Hustota vodivého proudu je vyjádřena vztahem l = cE (IX-69) kde (t je vodivost prostředí. Pro hustotu posuvného proudu platí (IX-70) kde d je vektor elektrické indukce. Označíme-li hustotu celkového proudu /., můžeme vyjádřit Ampérův zákon vztahem ^(Hds)= JUdS) (IX-71) "bosadme do rovnice (IX-71) výrazy z rovnice (IX-69) a (IX-70). Dostaneme j>(h ds) = J%E + Jjj d) ds| (IX-72) 3 kde H je vektor intensity magnetického pole. Nahraďme v rovnicích (IX-68) a (IX-72) cirkulace na základě Stokesovy věty plošným integrálem; potom bude (rocEdS)+ --(B dS)[-= 0 / /{(rotHdS)-[(,E.)v|D)ds]} = 296 Aby se tyto integrály pro jakoukoli plochu S rovnaly nule, musí se výrazy pod integrálem též rovnat nule. Rovnice ,- . rot E ■ (IX-73) (IX-74) jsou rovnice Maxwellovy. Rovnice (IX-73) je první Maxwellova rovnice a rovnice (IX-74) druhá Maxwellova rovnice. Protože vektorové pole magnetické indukce je pole bez zdrojů (bez zřídla), je plošný integrál j (B dS) — 0 neboli na základě Gauss o vy věty div B — q (IX-75) Podle Gaussovy poučky, že se tok vektoru elektrického posunu uzavřenou plochou rovná celkovému náboji, který je uvnitř uzavřené plochy, lze psát Jf(DdS)^fedV (IX-76) Na základě Gaussovy věty z vektorová analysy bude mít rovnice (IX-76) tvar fdi\-DdV= J(,dV v - v Z toho je div D — í> (IX-77) kde c je objemová hustota náboje. Rovnice (IX-75) je třetí a rovnice (IX-77) čtvrtá Maxwellova rovnice. Další rovnice charakterisují prostředí a udávají vztah mezi hustotou vodivého proudu a intensitou elektrického pole, intensitou elektrického pole a elektrickou indukcí a mezi intensitou magnetického pole a magnetickou indukcí: J = o-E (IX-78) D^eE' (IX-79) B = uH (IX-80) kde a je vodivost e dielektrická konstanta u magnetická permeabilita. V isotropním prostředí jsou veličiny (E ds) a s Pro plošku dl dt se změní předešlý vztah takto: (£$ dí — (EjS) ds + C = ■ p. ds dt ůx kde s je jednotkový vektor ve směru rozměru ds E., intensita elektrického pole v prostředí 2 £[ intensita elektrického pole v prostředí 1 C příspěvek cirkulace na stranách dí H, složka intensity magnetického pole, kolmá k plošce dí d.t. Jednotkové vektory s, n, z (viz obr. 162) tvoří pravotočivou soustavu jednotkových ortho-gonálních vektorů. Proto je s = [nz] Potom je SJJ ■ (£,[«*]) — (£i[nz]) -f C= —fi dj di ŕ/ŕ* V limitě pro dí ->0 také C-^Oa/i —^rr dí dt 0, neboť intensita magnetického pole musí zůstat konečná. Potom po cyklické záměně (z([£,n] - [£,«])) - 0 Aby tento vztah platil identicky pro jakýkoli směr z na ploše S, musí být [£2n] — [ELn] = 0 (IX-86) Výraz [E,n] — [ELn] se také nazývá povrchovou rotací a označujeme jej Rot £. Zbývá určit okrajové podmínky pro tečné složky intensity magnetického pole. Podle rovnice (IX-74) platí rOtH: ijE -\--jr- a potom je j (rot H dS) — a j*(E dS) + ~ j(D dS) - (H ds) Pro plošku dí dt (kolmou k jednotkovému vektoru z) je (Has) ds — (Hts) ds 4- C = kde C je příspěvek k cirkulaci na stranách dí. -~~ dí dí -ét tiE. ds dl V limitě dt ds dt - neboť elektrický posun musí zůstat konečný. Bude-li vodivost a konečná, bude i aEz ds dí -> 0 je-li však a—>oo, což prakticky bývá v kovovém prostředí, potom aEz ds dt bude konečné. V tomto případě je (H,s) — (Hjs) = gEz dí Výraz cEz je hustota vodivého proudu. Při a->oo3 dt^O bude výraz triedr konečný. Označíme jej 2Č. Má rozměr I— a nazýváme jej hustotou povrchového |_mj proudu. Platí tedy ÍHS - (HLs) = (Kz) Nahraďme opět jednotkový vektor vektorovým součinem [nz]. Potom se zřetelem na cyklickou záměnu bude W[H2n]-[H1n])}=(Kz) Tento vztah musí platit identicky pro jakýkoli směr z. Proto [H.,n] — [r-i>| = K Rot H = K ' (IX-87) nebo kde H je intensita magnetického pole K hustota povrchového proudu n jednotkový vektot normály hraniční plochy S. 300 301 LITERATURA Kapitola I KncyiifeKO, T. B. SneKTpojmna.MiTKa no.rif.ix chotom. (Elektrodynamika dutých soustav.) Leningrad: Nakladatelství VKAS, 1949. Stratton, J. A.: Electromagnetic Theory. (Theorie elektromagnetismu.) New York: McGraw-Hill, 1941. Votruba, V. a Muzikář, Č.: Theorie elektromagnetického pole. Praha: ČSAV, 1955. Kapitála II B b e it, e h c k u it, B. A. - A p e ii 6 e p r, A. ľ.: Pa^a oboji HOBOa&i. (Vlnovody.) Mos- kva-Leningrad: Gostechizdat, 1946. Shelkunoff, S. A.: Electromagnetic Waves. (Elektromagnetické vlny.) New York: McGraw-Hill, 1943. ľvpcniľi, A. P.: IÍOJiue po3QiiaTOpa a bojihobojtm. (Dutinové resonátory a vlnovody.) Moskva: Sovjetskoje radio, 1952. Kapitola lil Hei'niair, M. C.: BwiiyKJiue aii^OBHÓparopM. (Dutinové resonitorv.) EST, č. 9 1939. HeiíMau, M. C: K reopmi Topon^ajibHMx 9HAOBn6paŤopOB. (K theorii toroid- ních resonátorů.) IEST, č. II, 1946. .'lénnu M. }.{.: K Teopini Topon«a;n.iiMX 3Hao8ii6paTopOB. (K theorii toroidních resonátorů.) ŽTF, č. 16, 1946. I\ncyai»KO, ľ. B.: Ofí oakom motoru npnójiit/Keuiioro pacieia i-q6ctbchhm.\ ptíIH BOJIH aJIOKTpOMarHHTHHX noíIHX pOSOUaropOB UOIipaBlíJIbHMX (hopM. (O jedné methodě přibližného výpočtu vlastních délek vln elektromagnetických dutinových resonátorů nepravidelného tvaru.) Radiotechnika, č. 5, 1948. Kapitol/ IV a V CaMupcKitít A. A.-Tmxohob A. H.: 0 BoaÔywfleHtiH paanoBOJiHOBOflOB. (O buzení vlnovodů.) Č. II, 2TF 17/12/1431, 1947. " Kifcyni.ito, ľ. B.: TeopnH BOrsfSv'/KlteHnH BOJlHOHOflon. (Theorie buzení vlnovodů.) ŽTF, č. 5, 1946. . I en mi, M. Ji.. ConpoMCiniaa TeopnH nojiHOno^OR. (Dnešní theorie vlnovodů.) Překlad. Moskva: Vydavatelství zahraniční literatury, 1954. CttpaBOmuiK no bo-iiiodo^sm. (Příručka o vlnovodech.) Překlad. Moskva: Sovjetskoje radio, 1952. Kapitola VI Slater, G.: Hepeaaia yÄbTpaKOpOTKStx boxe. (Přenos velmi krátkých vln.) Překlad. Moskva-Leningrad: Ogiz, 1947. 302 Kapitoly VII, Vlil a IX MoTextiH, A. 14.: HeKOTopwc :»ariam-i aiichpaKqnH aneKTpoMaraviTHbix bojih (Některé problémy z difrakec elektromagnetických vln.) Moskva: Sovjetskoje rádio 1948. ; ' ' Fradin, A. Z.: Antény pro decimetrové a centimetrové vlny. Překlad. Praha: Technicko-vědecké vydavatelství, 1952. AHTeHHH caiiTUMeTpoBbix bojih. (Antény pro centimetrové vlny.) Překlad. Moskva-Sovjetskoje rádio, 1950. 303 Ing. Dr Bohumil Kvasil THEORETICKÉ ZÁKLADY TECHNIKY CENTIMETROVÝCH VLN DT 53S.56.029.64 Vazbu navrhl Josef Ambrož Grafická úprava a technická redakce Marie Králová Vydalo Statni nakladatelství technické literatury, n. p., Spálená 51, Praha U v únoru 1957 jako svou 2339. publikaci, typové čislo L26-C3-5-II v řadě elektrotechnické literatury 304 stran, 162 obrázků, 5 tabulek Odpovědný redaktor Rudolf Major Jazyková úprava Otto Levínský Tiskové korektury Olga Klimentová Z nové sazby písmem Plantin vytiskly Pražské tiskárny, n. p., závod 05, Třída Rudé armády 171, Praha VIII formát papíru 70 100 cm — 35,99 AA, 36,91 VA 38869-55-SV3 — D 566 04 Sazba 16. 4. 1956 — tisk 17. 1. 1957 -■ 2700 výtisku — vydání první — 05/38 Cena váz. 36,30 Ker, Í6/II-6-C3 Publikací je určena jako učebnice pro vysoké Školy a pro pracovníky ve výzkumných ústavech