Kinematika a Hydrodynamika J. Klusoň i 1 Základní principy Hydrodynamika je teorií dynamiky tekutin. Tekutina je společný název pro následující fáze látky: • Kapaliny • Plyny Další forma látky, Plazma se obecně odlišuje od neutrálních tekutin. Ukazuje se, že hydrodynamika je vhodnou makroskopickou teorií pouze v případě slabě magnetizovaného plazmatu. Pro makroskopický popis magnetizovaného plazmatu existuje vlastní teorie známá jako magnetohydrodynamika. Je také důležité poznamenat, že mikroskopické teorie neutrálních tekutin a plazmatu jsou velmi rozdílné, což vyplývá ze skutečnosti, že nabité částice interagují pomocí dalekodosahových sil, zatím co v případě hydrodynamiky uvažujeme pouze kratkodosahové síly. Mechanika tekutin se zabývá popisem dynamiky kapalin a plynů. Protože z definice mechanika tekutin poskytuje makroskopický popis, uvažujeme tekutinu jako spojité médium. Jinými slovy řečeno, mechanika tekutin může a má být definována bez ohledu na potenciální mikroskopickou strukturu látky. Na druhou stranu je užitečné vyjít z představy o mikroskopické struktuře látky, kdy předpokládáme, že libovolně malý element tekutiny je dostatečně velký, že obsahoval statisticky významný počet molekul. Jinými slovy řečeno, musíme hovořit o fyzikálním infinitizemálně malém objemu, který je malý vzhledem k charakteristickým rozměrům tělesa, ale dostatečně velký vzhledem k charakteristickým vzdálenostem mezi molekulami. Pojmy jako částice kapaliny a bod v kapalině by měly být chápány podobným způsobem. Například, když hovoříme o posunutí částice kapaliny, nemyslíme samozřejmě posun jedné individuální molekuly, ale to, že objemový element, který v hydrodynamickém popisu obsahuje mnoho molekul, by měl být uvažován jako bod. Tyto pojmy jsou intuitivně jasné, protože kapaliny, jako například voda, či plyny, jako například vzduch, můžeme za normálních podmínek skutečně uvažovat jako kontinuum. Problém ovšem nastává v situacích, kdy máme velice řidký plyn, jako jsou například sluneční vítr či mezigalaktická hmota, která obsahuje několik částic na krychlový centimetr. Poté se můžeme ptát, jaké jsou nutné předpoklady pro platnost hypotézy kontinua? Ukazuje se, 2 že pro pochopení této myšlenky bychom měli být schopni odvodit rovnice hydrodynamiky z obecnější a fundamentálnější teorie. 1.1 Dynamické teorie Jak již bylo řečeno, našim cílem je formulovat hydrodynamiku jako teorii dynamiky tekutin, kde Dynamickou teorií myslíme teorii, která popisuje časový vývoj systému. Příkladem takových dynamických teorií je například klasická mechanika, klasická elektrodynamika, či kvantová mechanika. Pro každou z těchto dynamických teorií je základní předpoklad nějakým způsobem charakterizovat Stav systému. • Klasická dynamika: stav systému N částic je popsán jejich zobecněnými souřadnicemi qi,i = 1,... ,N a sdruženými impulsy. • Klasická elektrodynamika: elektrické a magnetické pole —kE(x), —>B(x) , kde x = (x\x2,x3) a kde E = (Eu E2, E3), B = (BUB2,B3). • Kvantová fyzika: Stav systému je popsán s pomocí vlnové funkce Dynamické teorie umožňují sledovat časový vývoj daného systému pomocí rovnic, které určují, jak se dané proměnné vyvíjejí v čase. Jinými slovy, jakmile známe stav systému v počátečním čase, jsme schopni s pomocí těchto rovnic určit stav systému v nějakém pozdějším čase. Tyto rovnice mají různou formu pro různé dynamické teorie • Klasická mechanika: Hamiltonovy či Lagrangeovy či Newtonovy pohybové rovnice • Klasická elektrodynamika: Maxwellovy rovnice • Kvantová mechanika: Schrôdingerova rovnice Tedy, naši otázkou je, jaké jsou vhodné proměnné, které charakterizují mechaniku tekutin a jaký je jejich časový vývoj. Ukazuje se, že odpověď na tuto otázku závisí na hloubce studia problému. Ukážeme problematiku úrovní různých popisů na příkladu systému N kvantových částic, kde logiV ^> 1. Fundamentální popis, označme jej jako Úroveň 0, je dán pomocí kvantové mechaniky, kdy stav daného systému je 3 charakterizován vlnovou funkcí ip(?ti,... , x^r), kde časový vývoj této vlnové funkce je dán Schrô dingerovou rovnicí dt 2m čtó Druhá úroveň, označíme ji jako Úroveň 1 je dán pomocí N klasických částic. Stav je popsán pomocí zobecněných souřadnic qs a impulzů ps, jejichž časový vývoj je dán Hamiltonovými rovnicemi. OH . OH Qs tj " ) Ps ^ ; ops oqs dL H({qs,ps},t) = Y^qsPs-L, L({qs, qs,t} ,t) = T - V , f = — . oqs (2) Kinetický popis částic je další úrovní popisu, kterou označíme jako Úroveň 2. V tomto případě je stav systému popsán pomocí rozdělovači funkce /(x, u), která splňuje Boltzmannovu rovnici —+ x-V/ + v—= C(/) ,x = v ,v =- . 3 ot ov m Od třetí úrovně již zbývá pouze poslední krok k popisu dané látky jako spojitého prostředí, což je mechanika kontinua. Označíme tuto úroveň jako Úroveň 3 . Stav tohoto systému je popsán pomocí polí p(x), T(x), v(x) a jejich dynamika je dána hydrodynamickými rovnicemi. Pro plné pochopení hydrodynamiky je dobré nastínit, jakým způsobem přecházíme mezi různými úrovněmi. 1.2 Úroveň 0 —> Úroveň 1 Je možné nahradit kvantový popis klasickým v případě, kdy hustota částic je dostatečně nízká tak, že kvantové interference jsou zanedbatelné. Uvažujme de Brogliho vlnovou délku h , . A = - , 4 V Na druhou stranu typická hybnost částice o hmotnosti m a při teplotě T je dána P2 /- E ~ ksT ~ — =^ p ~ yniksT . (5) m 4 Na druhou stranu předpokládejme, že máme hustotu částic n definovanou jako n = N/V, kde V je objem, v kterém se dané částice nacházejí. Poté je jasné, že veličina, která charakterizuje vzdálenost částic, je ~ rT1^ (Rozměr n je [m-3].) Tedy pokud platí A « n'1/3 1 » -== (6) \JmkBl můžeme zanedbat kvantovou interferenci různých částic. Je jasné, že tato podmínka je splněna pro zředěné plyny. Otázka je, zda-li také platí pro hustější plyny. Pro vzduch při pokojové teplotě T = 273 K a a standartním tlaku je pravá strana nerovnosti rovna 0.015. Dá se ukázat, že pro vodu při teplotě T = 293 K toto platí přibližně také. Jestliže je tato podmínka splněna, pak vlnová klubka částic se šíří podle Schrôdingerovy rovnice pro volnou částici lh^^=H^, Ht = -^ + V^). (7) Poté střední hodnoty (xj) (t) a (pi) (t) mají časový vývoj, který je určený klasickými pohybovými rovnicemi, což je známý Ehrenfestův teorém. 1.3 Od Úrovně 1 k Úrovni 2 Na úrovni 1 je stav systému N klasických částic popsán jejich souřadnicemi (xi,..., x^v) a rychlostmi (ui,..., u^v). Jejich dynamika je určena Newtonovými pohybovými rovnicemi. Fázový prostor T je 6iV dimensionální se souřadnicemi (x1;..., x^r, u1;..., Každý bod v prostoru T odpovídá rozdílnému stavu systému a zřejmě časový vývoj systému odpovídá křivce ve fázovém prostoru T. Pro velmi velké N je nemožné prakticky řešit 6iV pohybových rovnic, které jsou diferenciálními rovnicemi prvního řádu. Pro tyto systémy je právě vhodný statistický popis odpovídající úrovni 2. Na této úrovni zavedeme distribuční funkci /(x, u, t). která udává hustotu částic v šesti dimensionálním fi— prostoru (x, u). Jedná se tedy o jedno-částicovou distribuční funkci, obecnější případ bude diskutován níže. Poté jediný bod v T prostoru je zobrazen do N bodů v fi prostoru, kde každé částici odpovídá jeden bod odpovídající její souřadnici a rychlosti. Jinými slovy převedli jsme problém popisu časového vývoje N bodů na problém časového vývoje distribuční funkce, který je dán Boltzmannovou rovnicí. 5 Obecně hovoříme o iV-částicové rozdělovači funkci. Dynamika tekutin je popsána klasickou teorii pole, jejíž počátek sahá až do 19 století. Je pozoruhodné, že sdílí mnoho společného s Maxwellovou teorií elektromagnetického pole. Je užitečné ukázat, proč je studium hydrodynamiky tak zajímavé i z hlediska dnešní moderní fyziky. Je podstatné, že mechanika tekutin může být odvozena z konkrétní mikrospokické teorie pomocí vhodného vystředování. Můžeme například uvažovat Boltzmannovu rovnici pro distribuční funkci /(X, P,í), která splňuje rovnici kde X = (Xi,..., Xn) a P = (P1;..., Pn) i = 1,..., d jsou fázové souřadnice jedné částice o hmotnosti m a kde je vnější síla působící na tuto částici. Dále, C(f) je srážkový integrál, který vyjadřuje změnu distribuční funkce způsobenou srážkou s ostatními částicemi. Bezsrážkový případ odpovídá situaci, kdy C(f) = 0. V tomto případě Boltzmannova rovnice je rovnicí pro distribuční funkci částice, která splňuje klasické pohybové rovnice. Ukazuje se, že najít řešení Boltzmnanovy rovnice je velmi obtížné. Obecně předpokládáme řešení ve formě / = /(0) + + ... kde /(0) = np je rovnovážná distribuční funkce, jejiž forma závisí na skutečnosti, zda se jedná o bosony či fermi-ony. Transportní koeficienty a pohybové rovnice kapaliny jsou poté určeny poruchovými opravami. Je dobré zdůraznit, že tento popis vystihuje podstatu problému, jak získat rovnice hydrodynamiky z fundamentální mikroskopické teorie, na druhou stranu má svá podstatná omezení. První je to, že takto zjednodušená Boltzmannova rovnice určuje pouze distribuční funkci jedné částice a druhé je to, že popis je čistě klasický, nebere do úvahy kvantové jevy. Co se týká prvního bodu, můžeme uvažovat obecnou N časticovou Liou-villovu rovnici pro distribuční funkci p(Xn, Pn),n = 1,2,... N. Jednočásticová distribuční funkce je poté dána integrálem j dpN-ip{Xn, Pn), dvoučásticová distribuční funkce je dána integrálem j dpN_2p(Xn, Pn) kde dp^ je objemový element N—dimensionálního fázového prostoru. Poté Liouvillova rovnice vede k hiearchii tzv. BBGKY (Bogoljubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon) hiearchii, která zahrnuje korelační funkce vyšších řádů. Například pro jednočásticovou distribuční funkci dostáváme Boltzmanovu rovnici, kde ale kolizní integrál je určen dvoučásticovou distribuční funkcí. Je jasné, že výsledná teorie je velmi komplikovaná a většinou se omezujeme právě na studium jednočásticové 6 rozdělovači funkce. Co se týká problematiky fundamentální kvantové formulace hydrodynamiky, ukazuje se, že je opět v principu možné najít takovouto formulaci. Na druhou stranu abychom získali nějaké užitečné informace, je nutné přistoupit k semiklasické aproximaci, což opět vede k formalismu, jenž má limitovanou platnost. I když předchozí diskuse odvození hydrodynamických rovnic z fundamentálních teorií vede k zjištění, že hydrodynamika by měla mit platná pouze pro klasický popis systémů, které jsou blízko termodynamické rovnováhy. Na druhou stranu hydrodynamické rovnice mohou být odvozeny z obecných principů, což nás vede k zjištění, že tyto rovnice mají širší oblast platnosti, a my ve skutečnosti používáme tyto rovnice v tomto širším smyslu. Toto je známé pod pojmem universalita mechaniky tekutin. Ukazuje se, že dynamika tekutin má své místo v súčasné moderní fyzice v případě popisu velkého množství jevů. O některých z nich pohovoříme v této přednášce podrobněji. 1.4 Od Úrovně 2 k Úrovni 3 Jedno-komponentový plyn v termodynamické rovnováze je plně popsán dvěma termodynamickými proměnnými. Obecně vzato tekutina jako celek není v termodynamické rovnováze jako celek. Na druhou stranu malý element tekutiny v jeho klidové souřadnicové soustavě můžeme chápat jako element v lokální termodynamické rovnováze. Stav elementu tekutiny je dán dvěmi termodynamickými veličinami (hustotou p a teplotou T) a rychlostí v. Poté všechny elementy tekutiny tvoří kontinuum, kde nyní p(x), T(x), v(x) popisují celý systém. Hydrodynamické rovnice poté určují časový vývoj těchto proměnných. Tyto rovnice mohou být odvozeny z Boltzmanovy rovnice. 1.5 Hamiltonovský popis Úrovně 1 Nyní přistoupíme k podrobnějšímu studiu přechodu od Úrovně 1 k Úrovni 2. Abychom toto plně pochopili, musíme stručně shrnout několik základních fakt týkajících se hamiltonovské formulace klasické mechaniky. Uvažujme dynamický systém popsaný pomocí sdružených souřadnic (gi,..., qn,Pi, ■ ■ ■ ,pr, a Hamiltonovou funkcí H(qs,ps ,t). Pak 7 Abychom uvedli nějaký příklad hamiltonovského systému, můžeme uvažovat konzervativní systém N stejných částic, kdy hamiltonian má tvar H = T + V = ^-J2(pS)2 + V(qs) . (10) s Pro tuto Hamiltonovu funkci dostáváme z (53) qs = ps/m =>- ps = mqs . dH dV Ps 7\ 7\ ; oqs dqs (H) kde první rovnice vyjadřuje známý vstah mezi impulsem dané částice a její rychlostí a kde druhá rovnice není nic jiného než Newtonova pohybová rovnice. Přesněji, s použitím první rovnice dostáváme dV ™>qa = - t— • (12) dqs 1.5.1 Dynamická reverzibilita Uvažujme systém, jehož hamiltonian je invariantní vůči změně směru času, tedy vůči záměně t —> —t. Nyní předpokládejme, že {q(t),p(t)} je trajektorie daného systému ve fázovém prostoru. Poté i {g(—í), — p(—£)} je řešením pohybových rovnic a tedy je také trajektorií ve fázovém prostoru. Abychom dokázali toto tvrzení, vyjdeme z Hamiltonových rovnic s dps dH(t) dqs _ dH dt dqs ' dt dp Pomocí ť = —t dostáváme dps{t) dps _ dH{t) dť ~ ďt ~ dq3(ť) ' (13) (14) Když vyjdeme z předpokladu, že H(—t) = H(ť) = H(t) a zavedeme qs(t) = qs(—t) = qs{ť) a také ps{—t) = ps{ť) = —ps(t), pak rovnice (14) má tvar dps(ť) dH(ť) dť dga(ť) ' 1 ' 8 což je jedna z Hamiltonových rovnic. Stejným způsobem budeme postupovat i s druhou rovnicí dqs{t) _ dqs{t) = dH{t) = dt dť dps{ť) dqs(ť) dH(ť) dqs(ť) dH(ť) dť dps(ť) dť dps(ť) (16) Tímto způsobem jsme tedy dokázali, že {q(—t), — p{—£)} je řešením Hamiltonových rovnic a tudíž definuje trajektorii ve fázovém prostoru. 1.5.2 Kanonické transformace Uvažujme transformaci souřadnic ve fázovém prostoru q,p^q',p'. (17) Aby tyto nové proměnné dávaly popis toho samého systému, pak musí zjevně platit 5 Í dtL(q,q) = 0 , ô Í dtL(q',q') = 0 . (18) V případě, že je tato podmínka splněna, pak nazýváme transformaci od nečárkovaných k čárkovaným proměnným (17) jako kanonickou transformací. Je zřejmé, že rovnost variací daných v (18) je splněna, pokud existuje následující vstah mezi odpovídajícími lagrangiány L(q,q) = L(q\q>) + d-^l. (19) Abychom dokázali tento vstah, použijeme (19) v definici a akce. Následně provedeme její variaci a čímž dostáváme 5Í2L(q,q)dt = 0 = ô ľ Liq'A^dt + ÔG^q')^ - G^q')^ = = ô í 2 L(g', q')dt = 0 (20) 9 kde jsme využili skutečnost, že při odvozování pohybových rovnic požaduje, aby variace souřadnic byly rovny nule v časech t\ aí2. Je užitečné přepsat vztah mezi lagrangiány pomocí odpovídající hamil-tonovského formalismu formulace L(q, q) = Y,PSQs ~ H(p, q) = " H'tf, q') + (21) s s což můžeme přepsat do ekvivalentního tvaru J2(pSdqs-P'sdq's)-(H-H')dt = £ (^-dqs + ^dq'}j +^dt . (22) dt Z předchozí rovnice dostáváme následující důležité vstahy p ~Ws' v ~~WS' -~~m- (23) Analyzujeme nyní strukturu těchto transformací podrobněji. Rovnice (23) budeme interpretovat jako vstah mezi (qs,ps) a q's,p's). Podrobněji, levá rovnice v (23) může být řešena pro q's = q's(qk,Pk)- Samozřejmě, podmínka pro existenci tohoto řešení je f)2C det TT7 ŕ 0 • (24) dqidq'k Jakmile tedy najdeme q[ = q'i(qk,pk), pak pravá rovnice v (23) dává pa = pl(qk,pk)- Jako příklad spojité funkce q, q' která negeneruje kanonické transformace, uvažujme Gi(q,q') = f(q) + h(q') , (25) kde / and h jsou libovolné spojité funkce. Je zřejmé, že tato funkce nesplňuje (24) a tedy negeneruje kanonické transformace. Na druhou stranu uvažujme následující funkci G1(q,q') = -qs5srq'r. (26) Pro tuto funkci z rovnice (23) dostaneme Ps = -ósrq'r ,p's = ôsrqs . (27) Vidíme, že souřadnice a impulsy si vyměnily role pomocí této generující funkce. Z toho důvodu se tato transformace nazývá transformace výměny. 10 Je dobré vědět, že můžeme najít další formy funkcí, které generují kanonické transformace. Pro naše účely je ale podstatné, že kanonické transformace jsou základem Liouvillova theorému, který má fundamentální význam v kinetické teorii. 1.6 Kanonické invarianty Kanonickým invariantem nazýváme dynamickou veličinu, která zůstává invariantní vůči kanonickým transformacím. Důležitým příkladem kanonického invariantu je Poissonova závorka mezi dvěma funkcemi A, B. Tedy, jestliže platí A(p,q)^A'(q',p') B(q,p)^B'(q',p') (28) then {A,B}qj)${A',B'}q,J, = {A,B}qj) (29) Uvažujme nyní případ, kdy B je Hamiltoniánem daného systému B = H. Pak definice časového vývoje fyzikální veličiny říká d-^-{A,H}„. (30) Na druhou stranu (29) nám říká = {A,H}^ = {A'(q',p%H(q',p')} = d-^l . (31) Jinými slovy časová změna proměnné A je nezávislá na souřadnicích, které jsou použity na popis daného systému. 1.7 Konstanty pohybu a symetrie Zachovávající se veličiny mají úzký vstah k symetriím daného systému. Uvažujme systém, který je popsán souřadnicemi (g1; q2,..., qn) a předpokládejme, že platí |^ = 0. Pak z pohybové rovnice dostáváme p j = const. Jinými slovy, jestliže systém nezávisí na určité souřadnici, pak impuls sdružený s touto souřadnicí je konstantní. Takovéto souřadnice se nazývají cyklické souřadnice. 11 Invariance Hamiltoniánu vzhledem k určité souřadnici může být vyjádřena pomocí Hamiltonovských rovnic nebo pomocí Poissonových závorek. V tomto případě, jestliže H je nezávislý na souřadnici qj, pak dostáváme ^ = {Pj,H} = 0 (32) a tedy p>'je konstantní. 1.7.1 Liouvillův theorém V jedné svoji formulaci Liouvillův theorém říká, že jakobián kanonických transformací je roven jedné. Pro systém o N stupních volnosti, máme J q', p' q,p d(q',p') d(g,p) dp'1 dp'N dqi dqi dqi dqi dq'2 dp'1 dp'N dpN dpN ■ ■ dpN ■ dpN (33) Na tomto místě je vhodné zdůraznit, že existuje celá řada formulací Liou-villova theorému. V této části naší přednášky dokážeme její čistě geometrický význam založený na vlastnostech kanonických transformací. Liovillův theorém má následující geometrický význam. Pro libovolnou transformaci (q,p) —> (q',p') se integrál ve fázovém prostoru transformuje takto dqdp J dq'dp' (34) >n J n' \(q',P' kde Q značí objem ve fázovém prostoru, ve kterém provádíme danou trans formaci. Nyní vidíme, ze v případě kanonických transformací máme dqdp dq'dp' . (35) Protože tyto veličiny nejsou nic jiného než objemové elementy ve fázovém prostoru dostáváme, že tyto objemové elementy fázového prostoru jsou invariantní vzhledem ke kanonickým transformacím. 1.7.2 Akce jako generátor kanonických transformací Jedním z nejdůležitějších poznatků, které se týkají kanonických transformací je ten, že samotná akce může být uvažována jako generátor kanonických transformací. 12 Uvažujme akční integrál odpovídající pohybu v intervalu od t do t + T S(t,T) = £+Tdt'L(q,q) = = dťlj^p'qs -H] - f dť[Y^psqs - H] . (36) Jestliže nyní provedeme derivaci vzhledem k t dostáváme ^jf^ = " + & ~ H') > (37) s kde jsme zavedli značení q's = qs(t + T), j/'=jr(t + T). (38) Jestliže budeme předpokládat, že H je integrál pohybu, tedy H(t+T) = H(t), pak dostáváme dS = ^(j)'sdq's-fdqs) . (39) s Tento výsledek nám říká, že akce je generátor kanonických transformací. Jinými slovy řečeno časový vývoj systému může být uvažován jako kanonická transformace. Skutečnost, že časový vývoj systému ve fázovém prostoru, jenž je určen pohybovými rovnicemi, je jedna z forem kanonické transformace, je fundamentální předpoklad pro určení Liouvillovy rovnice. 1.8 Ansambl a fázový prostor Jak již víme, stav systému je reprezentován bodem ve fázovém prostoru. Tak, jak se systém vyvíjí s časem, tento bod se pohybuje po trajektorii (qi(t),..., qN(t),pľ(t),... ,pN(t)) kde nyní předpokládáme systém tvořený z N částic pohybujících se v jedném rozměru. Zobecnění na případ pohybu ve třech a vyšších dimensích provedeme později. Ansámbl je definován jako množina kopií téhož systému, které jsou identické ve všech svých vlastnostech až na to, že odpovídají rozdílným stavům systému v určitém časovém okamžiku. Z této definice je zřejmé, že každý prvek Ansámblu může být reprezentován bodem ve fázovém prostoru T v 13 určitém časovém okamžiku a jejich časový vývoj je reprezentován určitou trajektorií v tomto fázovém prostoru. Jinými slovy řečeno, když budeme předpokládat, že máme M kopií daného systému v Ansamblu, pak stav tohoto Ansamblu v čase t = 0 je reprezentován M body v prostoru V. Nechť uvažujeme funkci pans = pans(• (51) kde Poissnova závorka je definována jako ' dj dg df dg , {/>*/} = £ ( s=l ^ dqs dps dps dq, Vstah (51) vychází ze skutečnosti, že Hamiltonovy rovnice mají tvar dH , dH q' = W p="äí- (53) Jestliže nyní použijeme (53) v definici (51) dostaneme Du du / d f d f iyu uu sr^ uj . uj . \ m=Tt+\[\Msqs + WsP^ ■ (54) Pak je zřejmé, že Liouvillova rovnice má tvar ^ + {Pans,H} = 0. (55) 1.9.1 Obecné řešení Liouvillovy rovnice Zde bychom rádi ukázali, jakým způsobem je možné najít nejobecnější řešení Liouvillovy rovnice. Nechť g(p,q,t) je zachovávající se veličina, t.j. |? = Í + í9.*}=0 (56) a tedy g je řešením Liouvillovy rovnice. Na druhou stranu předpokládejme, že g je řešením Liouvillovy rovnice ft+{g,H} = o. (57) 16 Na druhou stranu víme, že levá strana této rovnice má tvar j& = 0 a tedy libovolné řešení Liouvillovy rovnice je také integrálem pohybu. Z tohoto výsledku dostáváme, že nejobecnějším řešením Liouvillovy rovnice je libovolná funkce všech zachovávajících se veličin, tedy ps = Ps(9i,---,92n) • (58) Jinými slovy řečeno, znalost nejobecnějšího řešení Liovillovy rovnice je ekvivalentní znalosti všech zachovávajících se veličin 91 = 9i(p,q,t) 92 = 92ÍP,q,t) 92N = 92N(q,P,t) (59) 1.9.2 Druhé odvození Liouvillovy rovnice Rádi bychom ukázali druhý způsob odvození Liouvillovy rovnice. Tento důkaz je založen na faktu, že Liouvillova rovnice může být zapsána ve tvaru % + ff%^ + ^Uo (60) dt V 9 P Vidíme, že můžeme psát /jv(p, q, t) = Cpans(p, q, t) (73) kde C je konstanta. Jinými slovy řečeno je zde jednoznačná souvislost mezi funkcemi pans a f^. Přesněji řečeno, můžeme položit otázku, co znamená, že f^(q,p)dNqdNp je pravděpodobnost, že stav daného systému se nachází v objemovém elementu v okolí bodu (q,p) kde nyní používáme konvenci, kde (q,p) = (xi,x2,... ,xjv,Pi, • • • ,Pn), kde x = (x1,... ,xD) a kde p = (pi,... ,Pn) Explicitně, jestliže stav (q,p) je obsažen, pak to znamená, že částice 1 je v objemovém elementu v okolí bodu xi,pi, druhá částice je v objemovém elementu dx2dp2 v okolí (x2, p2) atd. Jinými slovy Jat je hustota pravděpodobností pro N— časticový systém, zatím co pans je veličina spojená s Ansámblem různých systému, f'n(q,P,t) je veličina spojená s jedním konkrétním systémem. Je také důležité připomenout, že f n je normovaná jako f fNdqdp = 1 , (74) Jn kde se integrace provádí přes celý dosažitelný fázový prostor. Jinými slovy je to prostor vymezený podmínkou konstantní energie. Jestliže nyní G(q,p, t) je libovolná dynamická veličina, pak s pomocí známé hustoty pravděpodobnosti f n můžeme definovat následující střední hodnotu dané veličiny < G >= / fNGdqdp . (75) 19 1.9.4 Řešení Liovillovy rovnice s počáteční podmínkou Nyní se zaměříme na určité možnosti, jak řešit Liouvillovu rovnice s určitou počáteční podmínkou. 1. Taylorův rozvoj Předpokládejme, že známe počáteční formu distribuční funkce fN(q,p,0) = fN(q,p) ■ (76) Nyní provedeme Taylorův rozvoj ÍW(r/,p, £) v okolí bodu t = 0 při pevných q a, p fN(q,p, Aí) = fN(q,p, 0) + ^(0, q,p)At + ^^(0, q,p)(At)2 + . . . (77) Víme, že f n splňuje Liouvillovu rovnici a tedy dfN dt {HJn} -{H,fN} = {H r ať dt2 dt \ ' dt = {H,{H,fN}} , (78) kde předpokládáme, že H nezávisí explicitně na čase. S použitím těchto vstahů dostaneme fN(q,p,At) = fN(q,p,0) + At{H,fN(q,p,0)} + ^(At)2{H,{H,fN(q,p,0)}} l + At{H,} + ^2 {H, {H, }} + ... ) fN(q, p, 0) . Geometricky si můžeme představit jako časový vývoj funkce f n v pevném bodě q,p. Poznamenejme, že pro konečný časový interval můžeme tento vstah přepsat do formy n fN(q,p,At) = fN(q,p,0) + ^!^{H,...,{H,{H,fN(q,p,0)}}} . (80) n=l Případ 2: Liouvillův operátor 20 Z předchozího popisu je zřejmé, že výraz {H, } má formu operátoru působící na f^. Proto je užitečné přepsat Liouvillovu rovnici do tvaru i{H,fN} = AfN (81) dt kde í rrr , ^ f9H d OH d \ Je možné ukázat, že Ä je Hermiteovský operátor v prostoru spojitých normovaných funkcí na fázovém prostoru tak, že pro tuto funkcí platí ^>ďV>,q,t) = e-itidifkD{q,p,tí) , (86) 21 kde opět je nutné zdůraznit, že uvažujeme pevné p, q, jinými slovy, můžeme si představit, že p,q,t jsou nezávislé souřadnice na 6iV + 1 dimensionálním prostoru. Pro mále intervaly opět máme dťk ~ AíÁ (87) a tedy (86) může být přepsána do tvaru D(p, q, t) = [l- iAtk + l-(-i/\tk)2 + ...]D(q,p,t) = (Ar) 2 l + At{H,} + ^-A{H,{H,}} D(q,p,0) (88) což souhlasí s Taylorovým rozvojem, který byl nalezen v předchozí kapitole. Nyní přistoupíme k analýze s použitím vlastních vektorů a vlastních hodnot operátoru A. Opět musíme předpoládat, že počáteční forma rozdělovači funkce je známa ÍW(í/,p, 0) = ÍnÍQjP)- Dále musíme předpokládat, že známe vlastní vektory a vlastní hodnoty operátoru A, kdy budeme předpokládat časově nezávislé A Atpn = untpn . (89) Jestliže předpokládáme, že ipn tvoří bázi Hilbertova prostoru, můžeme psát počáteční rozdělovači funkci ve tvaru fN{q,p) = Y.D^ (9°) kde koeficienty Dn je možné určit s pomoci predpokladane ortogonality vektoru 1pn Dn = (l>n\ŕN(q,p)) = J dNqdNqrn(q,p)fN(q,P) , dNqdNpíp*(q,p)ípm(q,p) = ónm . (91) Pak zřejmě dostáváme fN(q,p,t)=e-itkJ2D^n ■ (92) Vn 22 Tato rovnice, s použitím faktu, že ifjn je vlastním vektorem Ĺ, má řešení ve tvaru fN(q,P,t) = J2Dne-U^n ■ (93) Vn 1.9.5 Rozdělovači funkce ideálního plynu Uvažujme ideální plyn, který je dán N neinteragujícími molekulami a jenž je obsažen v krychli o velikosti hrany L. V tomto případě Hamiltonián je dán ve tvaru N 2 H = y^P^ 0 (102) kde komponenty vektoru n jsou celá čísla. Konečně, konstanta A je zafixována normalizací a tedy dostáváme ^(k) = T^exP í^ks-xs ) . (103) s=l Pak je zřejmé, že obecná forma A— časticové rozdělovači funkce funkce má f(xN,pN) = ^D(k)(pAf)^(k)(xAf)e-^)i . (104) (k) Abychom určili konečný tvar rozdělovači funkce J'q, musíme určit koeficienty D(ty(pN). Označíme si hodnotu rozdělovači funkce / v čase t = 0 jako f q fo(*N,pN) = J2D(V(PNW)(*N) ■ (105) (k) Protože vektory ip^ jsou ortogonální, dostáváme 1 ľ N Ak)(p) = JJWf2 / l[d3^[exp(-tJ2^-^s)]Do^N,pN) (106) ^ i=l s Tedy ze známe počáteční hodnoty distribuční funkce dostaneme obecné řešení Liouvillovy rovnice pro ideální plyn ve tvaru /(x,P,í) = ^E^ÍPV^^^-"0 • (107) (k) Je užitečné poznamenat, že rozdělovači funkce závisí na 6 x A integrálech pohybu ( Pi, P2, nr.Q\ pi,..., pN, xi--1, x2--1,..., xN--1 (108) V m m m J 24 což je přesně v souladu s předchocí diskusí obecného řešení Liouvillovy rovnice. Explicitně, je jasné, že pi,...,p;v Jsou integrály pohybu pro systém definovaný hamiltoniánem (94). Dále ukážeme, že Qí = x« — splňuje rovnici zachování n dgi dt m $Ps rn 5ps 5xs) s=l n (109) Je také užitečné poznamenat, že v případě ideálního plynu, můžeme operátor A0 napsat jako Á0 = Y^^=i ^-o? kde |^-0' ^-o} = 0- Je zřejmé, že můžeme hledat řešení Liouvollovy rovnice ve tvaru f n = níli /i(xs> Ps> kde j\ je jednočásticová rozdělovači funkce, která v případě ideálního plynu je dána výrazem /i(xi,pi,í) = exp (^t^-j^J A(xi>Pi>°) • (110) 1.10 Redukované distribuční funkce Pro jednoduchost zápisu zavedeme následující konvenci dl = cřxicřpi , d2 = cřx2(ip2 ,... (111) která odpovídá částicím 1,2,.... Uvažujme nyní systém N stejných částic a zaměřme se na subsystém, který je tvořen s < N částicemi. Pravděpodobnost, že najdeme subsystém ve fázovém prostoru d\ďl.. .ds v okolí stavu (1,2,..., s) je .....s),l[...,!s . (112) Je zřejmé, že můžeme očekávat vstah mezi fs a f^. Poznamenejme, že udává pravděpodobnost, že se systém nachází v okolí bodu (l,...,s, s + 1,..., N). Poté je zřejmé, že jestliže se nazajímáme o situaci v okolí bodů s+1,..., N, musíme provést součet pravděpodobností, že je systém v daných bodech. Explicitně dostáváme fs(l,...,s)= / fN(l,...,N)d(s + l)...dN (113) 25 1.11 s-násobná distribuční funkce Tuto distribuční funkci, kterou si označíme jako Fs(l,..., s) definujeme následujícím způsobem. Výraz Fs(l,...,s)dl...ds (114) reprezentuje pravděpodobnost, že jedna z částic je ve fázovém prostoru dl v okolí bodu 1, jiná je ve fázovém prostoru d2 v okolí bodu 2 atd v daném časovém okamžiku. Je zde důležitý rozdíl vzhledem k distribuční funkci fs, protože Fs nerozlišuje, která konkrétní částice se nachází v okolí bodu 1 atd. Podrobněji, fs určuje s—časticový stav specifické skupiny částic. Na druhou stranu Fs také odpovídá stejnému specifickému stavu, aleje nezávislá na tom, které částice se nacházejí v tomto stavu. Například, /2(1,2) udává pravděpodobnost, že částice 1 je ve stavu 1 a částice 2 ve stavu 2, na druhou stranu F2(l,2) udává počet dvojic částic, které se nacházejí v daném stavu. Abychom našli vstah mezi Fs a fs musíme znát počet způsobů, jakým můžeme vybrat s částic z celkových N N \ N\ . . TT • (US) s\(N Jestliže předpokládáme, že dané částice jsou identické, pak každý takový výběr dává stejnou funkci fs. Pak dostáváme TV , /. , (116) kde čára nad Fs dává, že daný s—časticový stav byl započítán pouze 1. Je zřejmé, že musíme vzít do úvahy fakt, že s—částic můžeme distribuovat s! způsoby tak, že stále dávají s—časticový stav. Tento fakt dává konečný výsledek 2 Analýza Liouvillovy rovnice V této kapitole odvodíme posloupnost rovnic známou jako BBKGY rovnice. Toto jsou rovnice pro redukované distribuce a hrají klíčovou roli v kinetické teorii plynů a tekutin. Začneme s Liouvillovou rovnicí pro N—časticovou distribuční funkci dfN dt {Ín,H} = 0 (11* 26 a přepíšeme ji do tvaru dfN LnÍn = 0 , (119) kde což explicitně dává dt LN = {H,} (120) Ĺ _^(dH d dH d , kde dH d dH d dxt dpi dxl{l) gp (0 (122) kde x'1^ je i—tá komponenta polohového vektoru l—té částice a pf^je i—tá komponenta sdružené hybnosti. Hamiltonian H má tvar n 2 N i=l i s + 1 dávají, při současné integraci, povrchové příspěvky a tudiž jsou rovny nule. Výsledkem dostáváme --Ĺa)fa = -y£—.d(s + l)...dN £ GijfN ■ (144) / i=1 ľl J j=s+l Toto je klíčová rovnice určující časový vývoj redukované distribuční funkce. Vidíme, že dynamika distribuční funkce fs(l,..., s) se zbývajícími částicemi v tekutině je dán pravou stranou rovnice (144). Abychom pokročili dále ve zjednodušení rovnice (144) musíme zavést předpoklad, že částice v tekutině jsou identické a tedy /s(l,2,..., s) je symetrická při výměně jednodlivých stavů částic. Jinými slovy předpokládáme, že /3(1,2,3) = /3(1,3,2) = /3(3,2,1) = /3(3,1,2) = /3(2,3,1) = /3(2,1,3) . (145) Abychom ukázali ekvivalenci integrálů, když provádíme sumaci přes j, musí například platit J d2d3...G12/jv(l,2,3,...) = J d2d3...G13/jv(l,2,3,...) (146) 30 což můžeme, při provedení integrace přes A,..., N psát jako Jd2d3G12/3(l,2,3) = Jd2d3G13/3(l,2,3) . (147) Jestliže nyní provedeme na levé straně integraci přes d3 a pravou stranu přes d2 dostaneme (kde jsme využili předpoklad (145), tedy /3(1,2, 3) = /3(1,3,2)) Jd2Gi2/2(l,2) = Jd3Gi3/2(l,3) . (148) Jestliže nyní nahradíme integrační proměnnou na pravé straně 3 proměnnou 2 dostaneme rovnost. Pak tedy vidíme, že každý člen v (N — l)j sumě dává identický příspěvek a tedy dostáváme (Jj ~ Ls^) f s + (N - s) ^" • / d(s + 1)... dNGi,s+1fN . (149) Nyní vidíme, že při integraci přes d (s + 2)... dN dostaneme fs+i, což nám dává fundamentální rovnici (J^ - l)j fs + (N - s) • / d(s + l)GM+i/s+i , 1 < s < N . (150) Tento systém N vázaných rovnice se nazývá BBKGY rovnice podle jejich autom, kterými jsou N.N. Bogoliubov, M. Born, G. Kirkwood, H. S. Green and J. Yvon. Tyto rovnice se nazívají hierarchie. V následující diskuzi použijeme notaci BYS, abychom označili s— tou rovnici v této hierarchii. Nechť uvedeme následující vlastnosti tohoto systému • Toto je systém N rovnic, kde iV—tá z nich je Liouvillova rovnice pro ÍN- • Definujeme i£st-Ĺ-': (151) pak z (150) dostaneme pro podskupinu s částic, kde s < N D f -^f ŕ 0 • (152) Jinými slovy, fs(l, 2,..., s) není konstantní podél trajektorie ve fázovém prostoru podprostoru odpovídajícímu s—částicím, což je důsledek interakce mezi s—částicemi a zbývajícími částicemi v souboru N částic. 31 • Třetí vlastnost má speciální význam pro kinematiku, která nás speciálně zajímá. Týká se první rovnice v daném systému BY\. Tato rovnice je obecnou formou všech kinetických rovnic. Kinetická rovnice je uzavřená rovnice pro /i(x, p,t). Abychom viděli původ této rovnice uvažujem první rovnici v (150), kterou přepíšeme do formy ^ + Ei~/i = -ii/2(l,2) (153) ot m oxi kde Ái vyplývá z (150). Kinetickou rovnici dostaneme, jestliže budeme schopni provést následující operaci ii/2(l,2) = J(A) , (154) kde J se typicky nazývá kolizním integrálem, zobrazuje funkci na funkci. Nejjednodušší způsob, jak takový integrál zavést, je předpokládat, že f2(1,2) je funkcí /i(l). Například, ve Vlasovově aproximaci uvažujeme f2(1,2) = /i(l)/i(2). V případě obecnějšího Bogoliubovova ansatzu máme/s(l,2) = /2[l,2,/1]. 2.2 Vlasovova aproximace Uvažujme BYS rovnici v limitě, kdy N ^> s d Ls)fs = Isfs+i , (155) kde ^ f~) ľ d(s + l)GiiS+i . (156) Předpokládejme, že tekutina je tvořena z N částic, které jsou obsaženy v objemu N. Pak je možné zavést charakteristický počet částic TV n0 = y ■ (157) Dále předpokládejme, že můžeme zavést střední teplotní rychlost, C, a odpovídající teplotu T v tekutině, tak že mC2 = kBT , (158) 32 kde ks je Boltzmanova konstanta. Síla potenciálu a charakteristická délková škála r q jsou definovány jako $o - Gíj = —Gíj , (159) r0 kde Gíj je bezrozměrná veličina. Dále provedeme renormalizaci funkce fs, tak že Fs = Vsfs (160) V případě prostorově homogenního plynu dostaneme, že a(x,p) = ÍF1(p) . (161) Jestliže víme, že /i(x, p) udává pravděpodobnost, že jedna částice se nachází ve fázovém objemu v okolí bodu x, p o velikosti cř3x, d3p, pak je jasné, že hustota počtu částic v bodě x, kterou označíme jako n(x, t) je dána výrazem ra(x,t) = N J fľd3p = n0 J F^p (162) Abychom dostali reovnici pro Fs, vynásobíme obě strany rovnice (155) Vs a dostaneme V i í0r2(mC)2/s . mC r0 dpi J (168) Nyní vložíme tyto výrazy do (163) a dostaneme Co í d_ r0 \ dt e^^ee^) (mC)-f.= in0\/$0r02(mC)2/s(mC)-3(s+1)fs+1 | + e *■ - ^ e e 4) f. = k* (^) u+1. č i-«£É ô«) ^ = ^<+i • (i7i) č=l i 1, pak hovoříme o slabě interagujícím tekutině, jestliže platí a/7 C2, C3,..., CN) . (176) kde opakováním předchozí iterace dostaneme /2(1,2) = /1(1)/1(1) + C2(1,2) , /3(1, 2,3) = /2(1, 2)A(3) + /2(1,3)A(2) + /2(2, 3)A(1) + C3(l, 2, 3) = = /i(l)/i(2)/!(3)+ E A(l)íľ2(2,3) + íľ3(l,2,3) P(l,2,3) (177) 35 Pomocí těchto pojmů můžeme přistoupit k definování tzv. Vlasovovy limity, kdy předpokládáma, že ^0/ksT < 1 a zároveň předpokládáme dalekodosa-hové interakce, kdy zjevně i dosah daných interakcí je velký, což nám říká, že i ro je velké a tedy n^r^ ^> 1. Jinými slovy řečeno, Vlasovova limita odpovídá případu a = -5^«l, 7-1=n0r03»l. (178) kb± Je užitečné zavést parametr malosti ě C 1 s tím, že definujeme Vlasovovu limitu následujícím způsobem a -> ea , 7_1 -7-1 . (179) e Zjevně také máme a/7 = 0(1). V případě, kdy ksT ^> $0 můžeme očekávat, že korelace mezi částice v tekutině jsou malé. Matematicky můžeme toto vyjádřit tím, že vložíme faktor e ke každé korelační funkci. Explicitně máme Í2 = + eC2 , fs = fifif+eJ2fiC^ + ^C3 (180) kde předpokládáme, že tyto rozdělovači funkci jsou bezrozměrné a tedy fs = Fs. Pak dostáváme ^ + «1) Fi = ^hmi)F2(2) + eC2(l,2)] , jt+k2-eaÓ12^j [F1(l)F2(2) + eC2(l,2)] = = -J2[F1(1)F1(2)F1(3) + 6^(1)^(2,3) + 7 +eF1(2)C2(3,l) + eF1(3)C2(l,2)] (181) s ka = ^ki. (182) kde 36 Porovnáním členů stejného řádu v e a když se omezíme na členy nej nižších řádů, dostaneme ^ + = ^71(1)71(2), |- + K2Wl)F2(2) = -727\(1)7\(2)7\(3) , ot ) 7 (183) Ukazuje se, že obecně dostaneme N rovnic pro jednu neznámou funkci 7\, což nám logicky dává, že N těchto rovnic musí být reduntantní. Dá se ukázat, že tomu je skutečně tak, neboli jestliže 7\(1) splňuje první rovnici v (181), pak všechny další rovnice jsou také splněny. Nyní přepíšeme tedy tuto první rovnici do plného tvaru s přesně danými rozměry fyzikálních veličin (| + v ~) *Ux, v, t) = ~~J tóVG(x, x')7\(x, v, r)71(x', v', t) (184) kde jsme použili rovnost 7\(p)cř3p = 7\(v)cř3v. Tato rovnice se nazývá Vla-sovovou rovnicí Abychom získali větší fyzikální náhled na tuto rovnici, je vhodné použít hustoty počtu částic n(x',t) = N J dV/^p',*) = y J d3wF1^',V,t) . (185) Poté zavedeme střední hodnotu síly G(x,í) = J d3x/n(x/,í)G(x,x/) . (186) což můžeme fyzikálně interpretovat jako sílu od všech částic v daném objemu působící na částici v bodě x. Pak integrál v (184) má tvar n0 d m d\ J d3x'dVG(x, x')7\(x, v, ť)7\(x', v', t) ^7\(x,v,ŕ)- Jd3x'n(x',í)G(x,x') = ^7\(x,v,ŕ)-G(x,ŕ) . (187) 37 Vidíme tedy, že Vlasovovu rovnici (184) můžeme přepsat do tvaru Ot ox m ov / Fyzikální interpretace této rovnice je následující. Časový vývoj -Fi(x, v, í) je ovlivněn silovým polem, které je dané okamžitým působením všech částic v dané tekutině. Je velice zajímavé, že Vlasovova rovnice (184) je velmi podobná jednočásticové Líouvíllově rovnicí, která odpovídá částici pohybující se ve vnějším silovém poli. Hamiltonian pro tuto částici má tvar H = £. + *(x) (189) kde G = -|^$(x) je vnější síla. Liovillova rovnice pro tento systém má tvar dF + _ OF + OF OH OF OH _ dt ' dt <9x dp dp <9x OF OF OF ~ = ^7 + T" • v + T" • G = 0 ot ox op (190) Je lehké dokázat, že řešení jednočásticové Liouvillovy rovnice má tvar 2 F = F[h + $(x)] (191) neboť dF p dF -f = F'^,^ = -F'G, (192) op m ox kde samozřejmě je nutné poznamenat, že $ je potenciál vnější síly, zatím co v případě Vlasovovy rovnice máme 9$ ,/ř<*. k;,k3+k;^0 ^EEÉ^-k(p„př|0,í)e^-^ V j i k (203) kde čárka nad sumačním symbolem znamená, že provádíme sumu, kde dané vektory jsou nenulové, v opačném případe by tento koeficient měl být započítán do předchozího řádu. Koeficienty v tomto rozvoji mají tu důležitou vlastnost, že aki,...,k„(piV,í) obsahují n nenulových vektorů, například <2ki,k2 obsahuje 2 nenulové vektory. Dále,hybnosti, na kterých závisí dáná Fourierova komponenta, se rozdělují na ddvě skupiny, rozdělené vertikální čarou. Vektory na levo od čárky odpovídají částicím, jejichž vlnové vektory jsou nenulové a napravo od čárky jsou uvedené všechny ostatní hybnosti. Konečně, objem V je definován jako V = V/(2tt)3. Cleny v druhé sumě, kdy k, + k; = 0 jsou důležité při tzv. limitě homogenity, která nám říká, že systém je homogenní, pak Jat je invariantní při posunu souřadnic (xř) (xj) = (xř + b) (204) pak dostáváme £a(k)eíEkľXi = £a(k)eíEki°Vb-Eki (205) (k) (k) Tato rovnost je splněna pro všechna k; cl Zel předpokladu, že ^2 k; = 0 pro všechny (k) sequence. 40 Nyní můžeme přistoupit k interpretaci koeficientů, které vystupují v (203) Nejdříve provedeme integraci přes Xi... cřx! . . . d3xNfN Í k3 (206) Nyní v limitě velkého objemu můžeme nahradit sumu integrací k což také dává {2nf eik-xd3x = 5^ (207) (20É což nám říká, že druhý člen v (206) dává 5(k) při integraci přes dnN. Pak dostáváme, že všechny další příspěvky při integraci dávají nulu Jinými slovy j cřx! . . . d3icNfN = a0(pN, t) kde z definice normování funkce f n platí J d3p1...d3pNa0(pN,t) = 1 . (209) (210) Vidíme tedy, že a0(pN,t) je distribuční funkce rozložení hybnosti pro N částic. Hustota počtu částic je dáná integrálem rci(x) = ni(xj) = N J fNd3pi... d3pArd3Xi eň-') V) • (218) (k') Další analýza této rovnice probíhá podobným způsobem jako v případě poruchového počtu v kvantové mechanice. Ukazuje se, že různé členy v poruchovém rozvoji mohou být reprezentovány graficky podobným způsobem, jako Feynmanovy diagramy. Tato analýza je ovšem velice složitá a nemůže být obsažena v této přednášce, pro podrobnější popis odkazuji na I. Prigogine,Non-equilíbrium Statistical Mechanics. 2.4 Bogoliubova Hypotéza 2.4.1 Intervaly času a délky V této kapitole se budeme stručně zabívat Bogoliubovou hypotézou týkající se dosažení rovnováhy v původním nerovnovážném plynu. Týká se plynu v uzavřeném prostoru a definuje tři časové intervaly, které označíme jako Ti,t2 a t3. V časovém intervalu t\ se dvě molekuly nacházejí ve vzájemném interakčním dosahu. Interval r2 je střední doba mezi dvěma interakcemi. Konečně r3 je průměrná doba, za kterou molekula překoná vzdálenost mezi dvěma stěnami, které vymezují oblast, kde se daný plyn nachází. Je zřejmé, že mezi těmimto časovými úseky existuje následující souvislost n < r2 < r3 . (219) K těmto časovým intervalům můžeme přiřadit odpovídající charakteristické délky Ai,A2 and A3, kde Ai je charakteristická vzdálenost interakce, X2 je střední volná dráha a A3 je charakteristická rozměr oblasti, v které se nacházejí částice. Například pro plyn, kde střední molekulová rychlost je 300ms_1 a za standartních podmínek, kdy je plyn obsažen v nádobě o charakteristickém rozměru A3 = 3cm dostáváme Ai A2 A3 cm 3 x 1(T8 3 x 1(T5 3 sec 10-12 IQ-9 l0-4 43 Bogoljubova hypotéza se týká funkcionální závislosti N—časticové distribuční funkce /at(1, ... ,N), která je závislá na relaxaci plynu směrem k rovnovážné konfiguraci. Tyto časové intervaly jsou definované následující tabulkou 0 < t < Ti počáteční fáze ri < t < r2 Kinetická fáze r2 < t Hydrodynamická fáze V počátečním intervalu nenexistuje žádná srážky mezi molekulami a tedy počáteční nerovnovážný stav není ovlivněn žádnou silou, která popisuje interakci mezi srážkami. To znamená, že v počáteční fázi musíme použít celou, TV—časticovou distribuční funkci pro popsání stavu plynu. Během kinetické fáze dochází ke kolizím molekul a tedy existuje tendence k rovnovážné konfiguraci. V tomto případě je vyslovena hypotéza, že všechny s— časticové distribuční funkce jsou funkcionály jednočásticové distribuční funkce /, /,n.....>•/.:• (220) kde explicitní časová závislost vystupuje zcela v f\. Například, v případě, že molekuly jsou statisticky nezávislé, dostáváme s Konečně, během hydrodynamické fáze se předpokládá, že distribuční funkce je funkcí hydrodynamických veličin n, u a T, kde n je hustota částic, u je makroskopická rychlost tekutiny a T je její teplota. Jinými slovy máme následující popis. Jak systém relaxuje z původní nerovnovážného stavu do konečného rovnovážného stavu, dochází k redukci v úrovni popisu, která je odpovídající pro danou tekutinu. Na počátku je nutné znát obecnou N—časticovou distribuční funci. V rovnovážném stavu je dostatečné znát n, u a T. 2.4.2 Bogoljubovy distribuční funkce Uvažujme opět distribuční funkci Fs = Vsfs . (222) 44 Poznamenejme, že pro homogenní tekutinu, Fs je funkcí pouze hybností. Jesliže přepíšeme s—tou Bogoljubovu rovnice pomocí této distribuce,dostaneme (223) kde Óý- má tvar ô« = "G« " 4) ' (224) a kde, což je fundamentální fakt, Ls má tvar s s Ĺs = ~YJKl + YJÔtJ , (225) ř=i í oo, V —> oo a současně platí N - s NI lim ——- = lim — = - , (226) iV->oo,V->oo V V v kde v je specifický objem, který definujeme jako objem, jenž zaujímá jedna částice. V této limitě rovnice (223) má tvar ^ - i)j Fs - l- E j ÔitS+1Fs+1d(s + 1) = 0 (227) Nyní předpokládáme, že rozdělovači funkce má tvar Fs = Fs(l,...,s,F1) . (228) Protože explicitní časová závislost je zahrnuta do funkce F\, dostaneme dFs ÔFsdF1 . . 45 Jako jednoduchý příklad uvažujme statisticky nezávislé molekuly, kdy máme s ^ = 11^(3) (230) 1=1 kde (228) dává dt (231) k l+k Je důležité poznamenat, že Bogoljubova analýza je relevantní pro řidké plyny, kdy specifický objem v je velký. Pak je možné použít následující rozvoj Fs(1,...,s;F1) = F°+1-FV + ±FV + ... . v vz Jestliže vložíme tento rozvoj do BY\ rovnice (227) dostaneme (232) (- dF1 Pi dF1 dt m <9xi A(0) v -Il2 -F, (i) í 12 V d2Ô12 (233) Vložením tohoto výsledku do parciální časové derivace Fs dostaneme dFs ÔFS OF, dt 5F1 dt 5F (o) 5F1 -A® l(ôFP./n, SFř v \ 6F1 .A(o) 5F1 A(o) Nyní se vrátime k rovnici (227) kde použijeme rozvoj (232) dt F(°) + -F« + ... 1 s 1) ^—' í=l p(0) 5+1 v 8+1 ,(1) (234) (235) 46 Jestliže nyní vložíme (234) do (235) a porovánme členy stejného řádu v l/v dostaneme °ra A(P) ÓF1 ípf1) Ôŕs A(P) ÔFs ÓF1 óFi 1=1 (236) Tyto rovnice určuji posloupnost JFJn') j v rozvoji (232). Nyní uvažujme opět rovnici pro Fi dFl • Pl 9Fl l- I d2Ô12F2^ . (237) dt m 9xi v Nyní, když najdeme F^\Fi), dostaneme uzavřenou rovnici pro Fi. Z rovnice (236) dostaneme Ď^F2{0) = L2F2(0) , (238) kde Ď(0)F(o) = dJl_A(o) (23g) oFi Musíme vyřešit tuto rovnici pro F20^ (Fi) s odpovídajícími hraničními podmínkami, které zvolíme takovým způsobem, že považujeme částice nekorelované v dostatečně vzdálené minulosti. Uvažujme nyní Liouvillův operátor Ls pro izolovaný systém s— částic dF -^ = {HS,FS} = LSFS . (240) která má řešení F3(t) = etLFs(0) = A(ts)Fs(0) (241) kde operátor má následující vlastnosti A0 = l, AtlAÍ2 = Aíl+Í2 , dt (242) 47 Protože operátor Át propaguje s-částicový systém v čase, je přirozené s jeho pomocí vyjádřit hraniční podmínku, že pro dostatečně dlouhý čas v minulosti částice nebyly korelované s lim Áís)Fs(l,...,s;Fi) = lim Á(ts) TT Fi(fc) . (243) t—>—oo i—>—oo k=l Poznamenejme, že tyto hraniční podmínky platí pro všechny jednočásticové rozdělovači funkce. Pak také platí pro jednočásticovou rozdělovači funkci, která vznikne z F\ propagací pomocí jednočásticového operátoru F[{k) = lim^oo A^Fi(k). Vložením této podmínky do předchozího definice hraniční podmínky, dostaneme s lim ÁÍs)Fs(l,...,s;Fi) = lim A{ts) TT A^F^k) . (244) t—>—oo t—>—oo k=l Poznámka: Rozdělovači funkce ideálního plynu Uvažujme ideální plyn, který je dán N neinteragujícími molekulami a jenž je obsažen v krychli o velikosti hrany L. V tomto případě Hamil-tonián je dán ve tvaru k 2 H = Y — , 0 < xf < L (245) ^ 2m s ~ s=l Vime, že časový vývoj rozdělovači funkce má formu -gt={^f} = -i:^-s-^-s=-i:-s-^-=^fs. (246) s s První krok je najít vlastní hodnoty operátoru /. Tyto hodnoty byly nalezeny v předchozím výkladu a tedy ■y ^(k)= jjm expH E ks'(247) s s vlastni hodnotou = i ^2^=1 vs • ks. Pak je zřejmé, že obecná forma TV— časticové rozdělovači funkce funkce má tvar /(x", pN) = Y, Ak)(PAf)^(k)(xAf)e^)ie-«i . (248) (k) 48 neboť f+ {/-"} = N ^^wfp^K) - • ks)JD(k)(pAf)^(k)(xAf)e^)ie^)i = 0 . (k) 8=1 (249) Abychom určili konečný tvar rozdělovači funkce f q, musíme určit koeficienty D(ic)(pAf). Označíme si hodnotu rozdělovači funkce / v čase t = 0 jako f o f0(xN,pN) = ^D(k)(pAf)^(k)(xAf) . (250) (k) Protože vektory ip^ jsou ortogonální, dostáváme 1 ľ N D(k)(p) = JJWň / nd3x,t[eW(iJ2ks-Xs)]Do(xN,pN) (251) i=l s Tedy ze známe počáteční hodnoty distribuční funkce dostaneme obecné řešení Liouvillovy rovnice pro ideální plyn ve tvaru /(x, P, t) = ^^^(p^e-^^-íx.-^) (252) (k) Vidíme tedy, že operátor A^Fi (k) můžeme interpretovat jako jednočásticovou 49 funkci v čase t jenž má tvar -F\(x — ^t, p) a tedy dostaneme s lim ÁÍS)TTÁ(1Í)F1(A;) = t—>—oo J-J- k=l s = lim A^TTFiíXfc + ^pfc) = k=l = lim fTF1[ÁÍs)(xfc + ^í),ÁÍs)pfc] = k=l fc=i (253) kde x[s',mp[s' jsou hodnoty fázových proměnych k—té částice v čase t = —oo, kdy jsme prováděli časový vývoj v opačném směru od proměnnýcch xfc + 2±t a pfc. Uvažujme opět tento výraz (1,..., s; ft) = == -^r-LlFl , (254) kde jsme využili toho, že A0 je rovno L\F\. Naším cílem je najít vhodnou reprezentaci funkcionální derivace,která vystupuje v předchozímv vstahu. Protože tento vstah platí pro všechna Fi, musí platit i pro A^Fi. Pak tedy můžeme psát 5F (o) Ď(°)FJ°)(1,..., s; Aí1^) = -^—L1A(t1}F1 , (255) SlA^F což, s pomocí rovnice ^i = LÁt můžeme přepsat do tvaru f)(o)F(o)(1 s-A^F) = 5F°0) d^Fl která nám říká (256) Ď(°)FJ°)(1,..., s; Á^FO = ..., s; Áf^] . (257) 50 Pak dostáváme z rovnice, kterou jsme odvodili výše f)(o)F(o) = lsF(o) ^F^,...,s]AÍ1)F1] = LsF^[l,...,S]A^F1] (258) Z definice operátoru dostáváme, že řešení předchozí rovnice má tvar Fj°) [1,..., s; AÍ1)F1(0)] = Áís)Ff [1,..., s; F1(0)] (259) kde Fi(0) je jednočásticová distribuční funkce vypočítaná v čase t = 0. Pak je zřejmé, že můžeme psat ..., s; F1(0)] = ÁÍS)FJ°)[1,..., s; AWtF1(0)] (260) Protože levá strana je nezávislá na čase, můžeme přistoupit k limitě t —> —oc a s použitím hraničních podmínek daných nahoře dostaneme ..., s; F1(0)] = lim Áís)Ff[l,..., s; Á«*i( t—>—oo fc=i (261) Vidíme tedy, že FJ°') je dané jednočásticovými distribucemi s fázovými proměnnými x(s)p(s)? odpovídající polohám a impulsům částic, jenž se propagují zpět v čase a jejiž evoluce je dána s—časticovým Hamiltoniánem. Podrobněji toto uvidíme, když budeme studovat pohybovou rovnici pro souřadnici či impuls s—té částice £ = = (262) Pak hodnota proměnné v čase t + Aí může být určena Taylorovým rozvojem 6?x 1 d? x xs(í + Aí) = xs(í) + -^(t)At + ^^(Aí)2 + ... S použitím pohybové rovnice dostaneme (263) 51 a tedy 6?X 1 6?^X xs(í + Aí) = xs(í) + -^(í)Aí + ^^(Aí)2 + ■ = xs(í) + {xs(í), H} Aí + i {{xs, #} , #} (Aí)2 + ■ = xs(í) - {H, xs(í)} Aí + i {H, xs(í)}} (Aí)2 xs(í) + {H, {H,..., {H, xs}}}(-Aty n=l (264) a tedy vidíme, že Ä skutečně propaguje xs zpět v čase. 2.4.3 Odvození Boltzmanovy rovnice Poslední krok k odvození kinematické rovnice je nalezení operátoru LF2(0) = !p-A® , (268) kde A<°> = _Ei . P . (269) m axi Nyní použijeme explicitní formu i7^0'1 Ff = F1[xí2),pí2)]F1[xř),Pr)] (270) 52 a tedy dostaneme (2) Q f(0)p(0) Pl p[Y(2)n(2), O p r (2) (2)] L2 b2---^UX2 )P2 " ""T^l Xl 'Pl J (2) O P2 f[y(2) (2), O p r (2) (2)] " —^llXl ,Pl 'P2 J ■ (271) Našim cílem je najít alternativní tvar operátoru k2. Zavedeme proměnné (xi,x2,pi,p2) -ř (r,xi,g,pi) kde P2 - Pl r = x2 - xi , g = dostaneme m p2 = mg + pi , x2 = r + xi k2 = (g + (272) P1)- d + Pl. m dr m Ô y . _ _i_ Pl d <9r m dx KB + K1 (273) kde = g • S použitím těchto výrazů dostaneme 9: - - / dp2dx2U12F2y i9í m <9xi w ^ + ^ • ^ = - /á3P2á3x2(K2Ff + L2Ff) = aí m oxx -u y i y d3x2d3PAF2(0) + i y d3x2d3p2(L2 - K1)F2(0) (274) Jestliže budeme předpokládat, že F2 je homogenní v interakční oblasti, pak není funkcí xi a x2 a tedy druhý člen v předchozím výrazu na pravé straně je roven nule. Pak srážkový člen má tvar jd?p2d^2Ŕf = jd3x2d3p2g • £[Fi(pí2yi(p52))] (275) 53 kde g je relativní rychlost. Našim cílem je vypočítat tento prostorový integrál, který vystupuje v předchozím výrazu. Poznamenejme, že pro pevné xx máme X2 = r. Zavedeme válcové souřadnice, kdy osa válce souhlasí se směrem vektoru g. Dále zavedeme projekci vektoru r na tuto osu z = i-^ . (276) 9 Pak dostaneme d3r = bd(f)dbdz (277) a «9 «9 g-7r=0ô-. (278) ar oz kde jsme využili faktu, že vektor r může být rozložen do směru rovnoběžného s g a kolmého na g a skalární součin tohoto vektoru s g je roven nule. Pak dostaneme rf3p2d3rg~[F1(pí2))F1(p?))] = d?p2Jd^bdbj00 ^[FiÍpÍViÍpŠ0)] = dřp2 j d06d6[F1(pí2))F1(p(2))(oo)-F1(p(2))F1(p(2))(-oo)] . (279) kde z = oo odpovídá oblasti po kolizi. Poznamenejme, že p^p^ jsou souřadnice určené pomocí Hamiltoniánu popisující interakci dvou částic, kdy uvažujeme jejich evoluci zpět v čase, tedy před kolizí. To jest tyto částice musí mít takové hybnosti, které označíme jako p'1;P2, které vedou po interakci částic k jejich hybnostem pi, p2. Oblast z = — oo odpovídá oblasti před srážkou. Předpokládejme, že v této oblasti máme částice s danými pi,p2 a chceme vědět, jaké hodnoty tyto částice mají, jestliže je budeme sledovat s pomocí dvoučásticového Hamiltoniánu zpět do minulosti. Protože v této oblasti nedochází k žádným interakcím, pohybují se jako volné částice a tedy jejich impulsy jsou stejné Pi,p2. Pak tedy dostaneme F1(pí2))F1(p(2))(oo)-F1(p(2))F1(p(2))(-oo) = F1(p'1)F1(p'2)-F1(p1)F1(p2) . (280) 54 Jestliže použijeme tento vstali dostaneme dF1 pi dF1 2tt dt - ■ = — í d3p2 / bdbgiFMF^) - fUpOfUp.,)] (281) m axi v J J což je slavná Boltzmanova rovnice. Jejímu dalšímu studiu a analýze srážkového členu budeme věnovat následující kapitoly. Alternativní odvození Boltzmanovy rovnice Nyní podáme více fyzikálně intuitivní odvození Boltzmanovy rovnice. Dříve, než k tomuto přistoupíme, provedeme alternativní odvození BBGKY hierarchie. Začneme s 1-násobnou distribuční funkcí ľ N Fi(x,p,í) = iV / JJcř3xícř3pí/Af(x,x2,... ,xjv,p,P2, • • • ,PN,t) ■ (282) J i=2 kde jsme zavedli faktor N. Je důležité vědět, že budeme od počátku předpokládat, že všechny částice jsou identické a že tedy funkce je úplně symetrickou funkcí vzhledek ke svým argumentům, a tedy tím, že jsme vybrali první částici pro definici jednočásticové distribuční není myšleno, že by tato částice byla něčím speciální. Poznamenejme, že díky faktoru N v definici F\ dostáváme J cř3X(i3pFi(x, p,í) = ľ N = N ]~[ d3xí(i3pí/Ar(x, x2,. . . , Xat, p, p2,. . . , Pn, t) = N . J i=i (283) Funkce Fi hraje fundamentální roli v kinetické teorii, protože její znalost je ve velkém množství případů dostačující pro popis stavu systému. Například, průměrná hustota částic je n(x,í) = J d^pF^p.t) (284) a průměrná rychlost je dána výrazem v(x,í)= /ďpž-Ffant) . (285) J m 55 Vidíme tedy, že je užitečné znát pohybovou rovnici pro funkci Fi. Z její definice dostáváme dF1 ~dt ľ N 3f ľ N N / Y[d^td3Pt^ = N / l[d3xtd3pt{H,f} . J i=2 J i=2 (286) Uvažujme nyní Hamiltonian H pro N částic, kde vezmeme do úvahy možnost, že se dané částice pohybují ve vnějším poli 1 n n n i=l i=l i=l i' J i=s+l (297) tak zjistíme, že splňují rovnice dFs dt {Hs, fs]+yí Mp,i%i(r^ • ^ (29Í kde H' = E (^ + v^n + E "Mx* - • (2") i=l * d . (300) 58 Na druhou stranu když napíšeme rovnice pro Fi a F2 9,Pi d\„f +, _ f,3 « 9$12(|Xl-x2|) dF2 d3x2d3p2- ot m axi / ,/ oxi <9pi d_ + pi _ j9_ + P2 _ j9__1 ď$i2(xi - x2) ď___<9_ dt m <9xi m <9x2 2 xi <9pi <9p2 (9$i2(xi-x3) <9 <9$i2(x2-x3) <9 F 2 fiřx3cřp3 i9xi <9pi <9x2 <9p- (301) tak vidíme, že pravá strana rovnice dává významný příspěvek pouze na vzdálenostech, kdy ď$12^2~XlD je nenulové, což je pouze na vzdálenostech x2 — xi < d. Z toho důvodu je nutné porozumět F2 na vzdálenostech, kdy částice jsou blízko sebe. Abychom tomuto porozuměli, musíme provést určité kvalitativní úvahy založené na dimensionální analýze. Cleny, které závisí na atomovém potenciálu, budou nutně mít co do činění s veličinou rcou, která charakterizuje časový interval, po který jsou částice ve vzájemné interakci dr <9p d rcoU kde p je charakteristická hybnost, která určuje škálu hybnosti v dané interakci. Podle Bogoljubovy hypotézy toto je nekratší časová škála, která se vyskytuje v daném problému. Z toho důvodu dostáváme, že je nejvýznamnější Tcoll parametr, který vyustupuje v daných rovnicích a tedy ^J3- dávají nejvýznamnější příspěvky a určují, jak rychle se mění distribuční funkce. Vidíme, že funkce Fi je speciální, protože její pohybová rovnice neobsahuje kolizní člen (člen úměrný ^J2- • J^) na levé straně rovnice, na rozdíl od odstatních rovnic pro funkce vyšších řádů Fn, například F2 má kolizní členy jak na pravé, tak na levé straně, je důležité, že pro řidké plyny, příspěvek na pravé straně je mnohem menší než na levé straně. Abychom tomu porozuměli, musíme porovnat F% vzhledem k F2. Předně víme, že N I JI d3x,td3ptfN = (A — 2)F2 « AF2 . A! (A — 3)! (303) 59 Na druhou stranu na pravé straně rovnice (301) neprovádíme integraci přes celý prostor, protože máme pouze nenulový příspěvek úměrný d3. To znamená, že srážkový člen na pravé straně (301) je potlačen faktorem Nd3/V (304) kde V je objem, v kterém se daný systém nachází. Pro plyn za běžných podmínek dostáváme, že tento faktor je přibližně roven 10~3 — 10~4. Pak můžeme ukončit hiearchii rovnic, tím, že řekneme, že pravá strana rovnice pro F2 je rovna nule d pi d p2 d 1 <9<&i2(xi - x2) B B dpi Bp2 0 . Bt m <9xi m <9x2 2 <9xi (305) Vidíme tedy, že F2 se mění na vzdálenostech d a časové škále tco\\. Poznamenejme, že tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru —í + {F2,H2} = 0 (306) což můžeme interpretovat jak pohybovou rovnici pro systém dvou těles, kde Xi, x2, pi, p2 splňují odpovídající Hamiltonovy rovnice. Na druhou stranu z rovnice pro F\ stejným argumentem dostáváme, že pravá strana rovnice je potlačena faktorem a tedy F\ se mění na vetší časové škále r. Nechť studujme změnu F2 podrobněji. Je zřejmé, že pouze relativní pohyb bude ovlivněn srážkovým členem. Z toho důvodu je vhodné přejit do souřadnicové soustavy hmotného středu 1 R = -(x2 - xi) , r = xi - x2 . (307) a P = Pi + P2 ,P = ^(pi-p2) • (308) a uvažovat F2 = F2(R, r, P, p, í). Distribuční funkce se bude pomalu měnit s R a P, podobně, jak F\ závisí na souřadnici a hybnosti. Na druhou stranu předpokládáme silnou závislost na r a p, které se mění za časový interval tcou. Jinými slovy můžeme předpokládat, že F2 dosáhne své ustálené hodnoty, která pak ovlivňuje dynamiku Fľ. Jinými slovy, zanedbáme časový 60 vývoj funkce F2, = 0 a nahradíme rovnice pro F2 následující rovnovážnou 2^ 0. (309) rovnici p d <9$i2 d m dr dr dp Pak pro srážkový člen dostáváme 9Fi\ [,3 ,3 0$i2(n-r2) dF 1 ďx2ďp2 9t J sraz J 9x1 9Pl 0 Ô dr dpi dp2 1 ľ dF — / d3X2(Í3p2(pi - p2) • -TT m i|x2-Xl| P20) jako hodnoty souřadnic a hybností, které musí mít částice v čase t0, aby v čase t měly hodnoty ^i,p± a x2,p2- Jinými slovy souřadnice a hybnosti v čase t0 jsou 61 dány souřadnicemi a hybnostmi v čase t, kdy provedeme zpětnou propagaci v čase pomocí dvoučásticového hamiltoniánu H2, přičemž hybnosti p10, P20 jsou konstantní během volné propagace částic. S použitím (313) dostáváme, že srážkový člen má tvar l f d — / d3X2(Í3p2(pi - p2) • —Fi(í0,Xio,Plo)F2(ío,X20,P2o) m J\x2-xi\ 0+ znamená, že SV je velmi malý vzhledem k celkovému objemu, ale že je také dostatečně velký tak, že obsahuje uvnitř velké množství částic. Pouze v případě, když tato limita existuje, můžeme přejít od úrovně 1 k úrovni 2. 3.2 Bezsrážková Boltzmannova rovnice Víme, že dynamika iV— částic je popsána Hamiltonovskými rovnicemi. Naše otázka nyní je, zda-li je možné získat rovnici podobné Liouvillové rovnici pro distribuční funkci / v fi— prostoru. Jestliže každá z N částic má Hamiltonián H = H (x., p, t) s p = mu, pak dostáváme ™>Vi = -—, mx,t = — ,i = 1,2,3 (318) OXi OVi Df df df df m = m+Xitei+Vitoi=0 (319) kde nyní je implicitně daná sumace přes i. Tato distribuční funkce odpovídá N ne-interagujících částic pohybujících se ve vnějším potenciálu. Tato rovnice se nazývá bez srážková Boltzmannova rovnice. Je důležité poznamenat, že jakmile se částice dostanou do blízkého kontaktu tak, že interagují, tento vstah neplatí. Poté potenciální energie každé částice je nejen funkcí souřadnice částice, ale také závisí na vzdálenostech dané částice od ostatních částic. V tomto případě Hamiltonovská formulace v fi— není možná, samozřejmě, můžeme použit obecnou formulaci problému v T— prostoru. Neutrální plyny jsou charakteristické tím, že částice interagují pouze na krátké vzdálenosti, jinými slovy pouze, když dojde k jejich srážkám. Je pozoruhodné, že v tomto případě je relativně jednodduché modifikovat Boltzman-novu rovnici takovým způsobem, že efekt kolizí může být dodán na pravou stranu této rovnice. 63 3.3 Základni poznatky z rozptylu částic Uvažujme dvou časticový hamiltonián ff(*.*.pi.»)-^ + 4 + K(r) (320) kde hmotnosti částic jsou m\ a m2 a kde r = |x2 — xi|. Provedeme transformaci do souřadnicové soustavy spojené s hmotným středem mip2 - m2pi rrii + m2 r = x2 - xi , P = Pi + p2 , miri + m2r2 R kde inverzní zobrazení má tvar mi + m2 rni Pi = P-;--P rrii + m2 P2 = P-^+P m\ + m2 xx = R--r nii + m2 mi -r nii + m2 x2 = R + S pomocí těchto výrazů dostaneme následující hamiltonián „2 p2 kde fi je redukovaná hmotnost (321) (322) (323) , = (324) mi + m2 Has = £ (325) G4 je kinetická energie hmotného středu. Zbývající část 2 Hrel = ^ + V(r) (326) je hamiltonián částice hmotnosti p, v poli daném potenciálem V(r). Protože zjevně hamiltonián nezávisí na R dostaneme, že združená hybnost P se zachovává. Jinými slovy originálni úloha se redukuje na problém studia pohybu částice o hmotnosti p v centrálním poli V(r). Pro další studium je vhodné zavést sférické souřadnice r\ = r sin 9 cos ■ (328» kde PriP(f> a Pe Jsou hybnosti kanonicky sdružené s r, 0. Lépe řečeno našim cílem je najít rozptylový úhel. Konkrétně, rozdělíme rozptyl do tří po sobě následujících časových intervalů: před, během a po interakci. V intervalech před a po jsou částice volné a nejsou ve vzájemné interakci. Samozřejmě, tyto pojmy úzce souvisí s vlastnostmi potenciálu V(r), konkrétně s parametrem vq, který charakterizuje dosah interakce, například u interakcí dlouhého dosahu r0 —> oo. Pak interval před interakcí odpovídá vzdálenosti, kdy r > r0,kdy V(r) = 0, po interakci označuje interval, kdy r > r q. Je vhodné také zavést pojem relativní rychlosti před a po interakci. Předpokládejme, že zvolíme časovou osu takovým způsobem, že interakce proběhne v okolí časového okamžiku t = 0. Pak definujeme relativní rychlost g následujícím způsobem Protože před a po kolizi máme potenciál roven nule, dostaneme ze zákona zachování energie což nám říká, že velikost relativní rychlosti se zachovává při srážkách. V souřadnicové soustavě spojené s hmotným středem zavedeme tzv im-paktní parametr s který je definován jako L = figs. Impaktní parametr a také vektory relativní rychlosti gag' jsou vlastnosti, které se vstahují k asymptotickým stavům systému a které se zachovávají během srážek, Dále zavedeme vektor rmjn, což je bod odpovídající okamžiku, kdy ^ = 0. Definujeme úhel ip jako (333) g = ŕ , pro t = ±oo . (334) (335) (336) Pak rozptylový úhel je definovaný vstahem 9 + 2ífj = 7T . (337) 66 Je užitečné zavést proměnnou u = r 1. Dále, L = jjgs vyjádříme pomocí energie -.2 t2 S použitím těchto výrazů dostaneme E = h = — ■ (33^ kde / , ^ (339) 0 Jl-s2m2_Z u = —-— , 1 — s2«2 - = 0 . (340) Pro potenciál ve tvaru dostáváme V{r) = Kr~ = kuN (341) íu sdu ^ = / ; ■ 342 Jo - s2u2 - {KuN/E) Je užitečné zavést bezrozměrný inversní poloměr 0 = su (343) a bezrozměrný impaktní parametr ([K] = kgm2+Ns~2) ÍE\1/N ■ « a pak dostaneme dfi v (345) 67 3.3.1 Účinný průřez Nyní zadefinujeme diferenciální účinný průřez. Uvažujme homogenní tok částic o energii E, intensitě J, které dopadají na rozptylové centrum umístěné v počátku. Počet částic, které jsou rozptýlené do elementu díl v okolí prostorového úhlu Q je úměrné dopadající intensitě I a díl. Faktor úměrnosti je a, což je diferenciální účinný průřez. Jinými slovy řešeno, výraz Ia(íl)díl (346) udává počet částic, které jsou rozptýleny v úhlu Q, Q + díl za jednu sekundu. Tento počet je roven počtu částic, které projdou malým elementem válce o průřezu dssdcf) a tedy dostaneme IadVt = Id(f)sds . (347) Prostorový úhel je roven díl = sin9d9d(f) a pak tedy dostaneme a(E,0)^ = s(E.e)d-^§. (348) díl smtídO Poznamenejme, že s(E, 9) je dán rozptylovým integrálem Íj = / - . 349 Jo y/1 ~ S%2 - (V/E) Zatím co o určuje počet částic rozptýlených do daného prostorového úhlu, celková účinný průřez aT = adVt = Txr\ (350) udává celkový počet částic rozptýlených z původního svazku. Víme, že dosah interakce je dán parametrem ro, tak tedy částice, pro které platí, že s > ro, nejsou rozptýleny z daného svazku. Jinými slovy řešeno, celkový účinný průřez reprezentuje plochu, která je vložena do cesty nalétávajícímu svazku. Pak pro homogenní svazek , který má čelní plochu A > aT, veličina A/aT udává poměrný počet částic rozptýlených do všech směrů z daného svazku. Uvažujme nyní faktor, který je významným prvkem srážkového členu gasinôdô = gsds . (351) 68 Použijeme-li bezrozměrnou veličinu b = s (E jK)1^, dostaneme gasinOdO = gbdb í — J = (2(iK)%g^bdb . (352) Vidíme, že případ N = 4 je speciální a říkáme, že molekuly, které interagují pomoci tohoto potenciálu, jsou Maxwellovské molekuly. Pro tyto molekuly je veličina gasinôdô nezávislá na g, což má za následek zjednodušení výpočtu linearizované Boltzmanovy rovnice. Coulombovský účinný průřez Vypočítáme nyní účinný průřez pro Coulombovský potenciál K V = — . (353) r Provedeme-li integraci rozptylového úhlu pro N = 1, dostaneme ^(6) = ľ df5 = - sin"1 I -^- I , (354) s použitím dx x* — ax a také to, že (3 je řešením rovnice l-W-^0^p=-- + Jl + w. (356) Pak dostáváme Zavedeme-li rozptylový úhel 6 pomocí vstahu tp = dostaneme 1 cos2 2 srn 2 (355) b2 = . (357) 4 tan2 ifj v ' &2 = (358) 69 Pak z definice účinného průřezu dostaneme '2K\2 1 b db H J g4 sin 9 d9 K\2 1 4E J sin4(9/2) (359) což je Rutherfordův účinný průřez pro Coulombovské interakce. Účinný průřez pro dvě pevné koule Uvažujme srážky dvou ideálních koulí o poloměrech ooi, 002 • Je jasné, že tyto dvě koule se nemohou srazit, jestliže vzdálenost mezi středy těchto koulí je r > (o"oi + a02)/2. Pak dostame pro účinný průřez (712 opi + Q-Q2 2 a12smip , 1 sds = o\2 sin-í/> cos tpdip = —crf2 sm (360) a tedy máme Pak tedy dostaneme 0(č) = -f . (361) 0T = 2tt0-22 . (362) Kinematika Uvažujme srážku dvou částic o hybnostech Pi,P2- Zákon zachování hybnosti a energie má tvar Pl + P2 = PÍ + P2 , pI p\ p'2 p'2 2ni\ 2m2 2m\ 2m2 (363) které se znatelně zjednoduší v případě, kdy ni\ = m2. Vl + v2 = ví + v2 .2 , „.2 „,/2 , „12 J2 v (364) 70 Budeme řešit tyto rovnice vzhledem k v^v^ vi = 2(v2 + vi , v2 = ^(vi + v2 - ge) , (365) kde e je libovoný jednotkový vektor, který vyjadřuje skutečnost, že máme čtyři rovnice pro šest neznýmých komponent vektorů v'1; v2 a kde p je velikost vektoru g = vx—v2. Jestliže budeme uvažovat rozdíl předchozích dvou rovnic, dostaneme g' = g - 2a(a ■ g) . (366) Ukazuje se, že dvě symetrie, které se vyskytují ve srážkách, hrají důležitou roli v kinetické teorii. Je vhodné mluvit o hybnostech (p1; p2) před srážkou, a impulsy po srářce označíme jako (p'1; p'2). Pak charakterizujeme srážku jako [(Pi,P2)^(p'i,P2)]s, (367) kde dolní index s označuje, že impaktní parameter s je důležitou veličinou, která charakterizuje srážku. Je zřejmé, že inverzní k této srážce je srážka, kdy konečný stav je (pi, p2). Jinými slovy máme (pro pružné srážky, kdy se zachovává energie) ([(Pi, P2) -> (p'i, P^r1 = [(p'i, p'2) -> (Pi, p2) • (368) Druhý typ srážek, které hrají důležitou roli, jsou zpětné srážky. Zpětné srážky jsou takové srážky, kdy konečný stav je (—pi, — p2), kdy pi, p2 jsou počáteční hybnosti vstupující do srážky. Opět, pro pružné srážky máme ([(Pi, P2) -> (p'i, p'2)]sf = [(-p'i, -p'2) -> (-Pi, -P2)] • (369) Je zřejmé, že tyto srážky jsou kinematicky ekvivalentní a tedy i jejich účinné průřezy jsou stejné. 3.4 Srážky ve zředěném plynu Uvažujme zředěnou tekutinu, kde celkový objem kapaliny je mnohem menší než objem, jenž zaujímá tato tekutiny na3 < 1 , (370) 71 kde n je hustota částic a kde a je poloměr jedné částice. Budeme uvažovat neutrální částice, kde neexistují síly dalekého dosahu (gravitaci můžeme zanedbat), tedy pak můžeme předpokládat, že k interakci mezi částicemi dochází pouze v okamžiku, kdy dojde k jejich srážce, jinými slovy v okamžiku, kdy vzdálenost mezi částiceme není o mnoho větší než d = 2a. Částice se pohybují volně mezi dvěmi kolizemi, kde průměrný vzdálenost mezi kolizemi je dána střední volnou drahou částice Je zřejmé, že ve zředěné tekutině platí A ^> d. Z toho vyplývá, že binární srážky jsou mnohem častější než srážky tří a více částic, které interagují ve stejný časový okamžik. Je také zřejmé, že srážky indukují změny v rozdělovači funkci /(x, v,í): Například, některá částice s počáteční rychlostí v může mít po srážkách jinou rychlost, což znamená, že Sf(y) < 0. Druhá možnost je, že některé částice s jinými počátečními rychlostmi mohou mít rychlost v po srážce, což si efektivně můžeme představit, jako zvýšení pravděpodobnosti, že danou částici najdeme s rychlostí v. Jinými slovy, máme ô f (v) > 0. Z toho důvodu je možné předpokládat, že časová změna jednočásticové distribuční funkce má tvar ^d3xd3u = -Cout + Cin , (372) kde Cout Je dán příspěvkem od částic, které opustí interval rychlosti v okoli bodu v zatím co Cin je dán příspěvkem od částic, které vstoupí do daného intrevalu. Je jasné, že pro další studium kolizní Boltzmanovy rovnice musíme dát více podrobnější popis těchto příspěvků. Binární srážky Uvažujme srážku dvou stejně hmotných částic a předpokládejme, že jejich počáteční rychlosti jsou v,Vi a konečné rychlosti jsou v', v^. Poté zákony zachování hybnosti a energie mají tvar V + Vl = V' + VÍ ; 11 11 I |2 i I |2 I l\2 i I / |2 — V H--Ví = -v H--V-, 21 1 21 1 21 1 21 11 (373) Dále budeme předpokládat, že interakce mezi částicemi má centrální charakter, relativní rychlost částic po srážce, g' = v' — v'x leží v rovině počáteční 72 relativní rychlosti, g = u — ux a počáteční relativní vektor mezi částicemi r = x — Xi. Máme tedy pět podmínek pro šest neznámých veličin, kterými jsou čárkované vektory. Abychom tedy mohli tyto neznáme veličiny určit, musíme zavést šestou podmínku, která vychází z původu interakce mezi částicemi. Ukážeme, že tato šestá podmínka je dána pomocí diferenciálním účinným průřezem rozptylu. Uvažujme molekulu M, která v čase t má rychlost v. Můžeme si nyní vyznačit sféru okolo této molekuly o poloměru vq. Je zřejmé, že nalétávající částice je ovlivněna molekulou M za předpokladu, kdy bude procházet touto sférickou oblastí. Nyní předpokládejme, že existuje časový interval Aí, který splňuje následující dvě vlastnosti • Aí je mnohem větší než doba působení interakce rc. • Aí je mnohem menší, než relaxační doba rr, což je nutné pro zanedbání změny rozdělovači funkce během tohoto okamžiku, při pevném x a v. Dále budeme předpokládat, že daný systém je pouze lehce nehomogenní v prostoru. Jinými slovy, jesliže označíme v jako typickou molekulární rychlost, pak předpokládáme, že rozdělovači funkce v bodě x + vAí je stejná, jako rozdělovači funkce v bodě x. Uvažujme dva svazky srážejících se částic, kde označíme hustoty těchto částic jako ^ans rychlostmi vx a v. Můžeme přejít k souřadnicové soustavě spojené s částicí v druhém svazku a pak se tento problém redukuje na problém nalétávajících částic na částici M. Pak částice v druhém svazku, tedy částic o hustotě n a rychlostmi v jsou ovlivněny tokem částic z prvního svazku. Počet částic, které mají počáteční rychlost g a které se srazí s centrální částicí za čas Aí a nacházejí se v mezikruží o parametrech s a s + ds, je rovno Jestliže nyní vynásobíme tento výraz hustotou počtu částic, které mají rychlost v, /(x, v, í)cř3v, dostaneme počet srážek, v bodě x, které proběhnou za časový okamžik Aí s částicemi, které mají rychlost v intervalu v, v + dv f(x,v1,t)d\12nbdbgAt . (374) / cř3v1/(x,v1,í)/(x, v,í)2tt|vi - v|2tt6Aí = Coutd3vAt . (375) 73 Podobným způsobem můžeme určit i hodnotu Cjn, která udává přírůstek počtu částic v intervalu cř3v. Jedná se o inversní proces k původnímu procesu, kdy částice, s počátečními rychlostmi v',v[ a se srážkovým parametrem s. Pak zjevně dostaneme J dVds/(x, v'1? í)/(x, v', t)2ngbdVAt = Cind3vAt . (376) Je podstatné, že počáteční a konečné rychlosti jsou řešením dynamického problému a tedy jsou vstáhnuty kanonickým zobrazením. Pak Liouvillův teorém dává ďVďVi = ďVďVi . (377) Samozřejmě, pro platnost tohoto teorému je důležitý předpoklad, že můžeme uvažovat srážku dvou částic jako izolovaný proces, kdy nemusíme brát do úvahy vliv ostatních částic. Jestliže tedy dáme všechny tyto výrazy dohromady, dostáváme slavnou Boltzmanovu rovnici 9t/(x,v,í)+vV/(x,v,í) = = J dv1ds2ngs (/(x, v', t)/(x, v'i,*) - /(x, v,í)/(x, v1;í)) . (378) K analogickému výsledku můžeme dojít s pomocí definice účinného průřezu, kdy my víme, že ° = ' (379) kde a (v, Vi| v', v'x) je diferenciální účinný průřez. Zákony zachování energie a hybnosti s požadavek, že rozptyl se uskuteční do daného prostorového úhlu díl určuje čárkované proměnné. Poznamenejme také, že v procesech, kde dochází k rozptylu molekul, předpokládáme, že tyto procesy jsou reverzibilní, tedy mohou probíhat i opačným směrem. Matematicky se toto vyjadřuje jako o-Kv^vi) = o-^vilvX) . (380) Dále víme, že element prostorového úhlu Q je roven dVt = d(f)Án6de (381) a pak tedy dostaneme ° - —s^ <382> sin v dtí 74 Pak je konečně zřejmé, že můžeme vyjádřit sds pomocí diferenciálního účinného průřezu a tedy integrace přes 2irsds nahradíme integrací přes prostorový úhel díl a tím dostaneme Boltzmannovu rovnici ve tvaru lí+V'V/ + ^'^ = / d3vi / d^(fi)lu-uiK/7í-//i)=C(/) (383) kde pro jednoduchost zápisu jsme zavedli notaci / = /(x,v,í) ,f1 = f(x,v1,t) ,/' = /(x,v',í) ,/í = (x,v'1,í) . (384) a kde jsme nahradili x = v a F = mv, Je důležité zdůraznit, že F zahrnuje vnější sílu, jako například gravitaci, a ne mezičasticové interakce, které jsou modelovány srážkami, a tedy srážkovým integrálem. V předchozím zápisu jsme také předpokládali, že diferenciální účinný průřez je funkcí prostorového úhlu Q, tedy a = u, - u; n,;ř/0,;i./;/; - /,/•:. . (391) Poté systém N svázaných rovnic tvoří zobecnění jednosloškové Boltzmanovy rovnice na případ N druhů částic. 3.5 Momenty kinetické rovnice V této kapitole zavedeme momentové integrály kinetické rovnice, které slouží k přechodu od mikroskopického k makroskopickému popisu tekutiny. Fundamentálním prvkem tohoto popisu je pojem pole, to jest funkce -B(x, t), což je veličina definovaná v každém bodě x, která se vyvíjí v čase t. Typickými příklady je hustota látky p(x, t) a lokální rychlost v(x, t) 1 Tyto makroskopické veličiny určíme jako střední hodnoty mikroskopických funkci b. Časová závislost funkce -B(x, t) je dána rozdělovači funkcí, která je řešením kinetické rovnice, zatím co závislost na x vyplývá ze závislosti b na x jako na parametru. Explicitně £(x,t) = J dV3u&(y,u;x)/(y,u,í) . (392) Další krok je dán konkrétním výběrem funkce b. V makroskopickém popisu hrají významnou roli hustota hmoty, hustota toku hybnosti, hustota energie. Tyto funkce budeme definovat následujícím způsobem. Vybereme jeden bod fyzikálního prostoru x pomocí delta funkce 5(x — y). Jestliže se v bodě x nenachází částice, pak tento bod dává nutně nulový příspěvek do B, jestliže se zde ale nachází částice, pak dává příspěvek úměrný /?i(y, u), kde fli bude rovno buď m nebo u. Pak tedy dostaneme Ď(y,u;x)=5(x-y)/3(y,u) . (393) 1Abychom odlišili tuto veličinu od rychlosti částic,která vystupuje v Boltzmannově rovnici, budeme tuto jednočásticovou rychlost v dalším označovat pomocí symbolu u. 78 Funkce tohoto typu nazýváme lokálními veličinami. Abychom našli časový vývoj této funkce, provedeme derivaci (392) podle času dtB(x, t) = J d3yd3uô(x - y)/3(y, u)dtf(y, u, t) . (394) Předpokládejme, že kinetická rovnice má nyní tvar dtf(y,u,t) = Of(y,u,t) (395) kde forma operátoru O vyplývá z konkrétního tvaru kinetické rovnice. Pak dostaneme dtB(x, t) = J d3yd3uô(x - y)/3(y, u)č?/(y, y, t) . (396) V dalším kroku se budeme snažit přenést působení operátoru O na dynamickou proměnnou místo působení na /. Obecně je vždy možné toto provést s použitím integrace po částech, kdy předpokládáme, že funkce / je rovna nule na hranici v nekonečnu, nebo jednoduchým přeskládáním členů. Pak dostaneme dtB(x,t) = J dVV(y,u,í)[Ot(x-y)/3(y,u)] (397) kde č?t je sdružený operátor k operátoru O. Nyní zadefinujeme následující veličinu c(x,y,u) = 0t5(x-y)/3(y,u) . (398) kde je zřejmé, že c(x, y, u) je formálně dynamickou funkcí. Je důležité ale řičí, že tato funkce může obecně záviset na /(y, u, t), neboť operátor O může být nelineární, jak například vyplývá ze struktury srážkového členu. Pak tedy konečně dostaneme dtB(x, t) = J d3yd3uc(x, y, u)/(y, u, t) = C(x, t) , (399) kde C(x, t) je střední hodnota veličiny c(x, y, u).Význam rovnice (399) je v tom, že časová derivace makroskopické veličiny -B(x, t) je určena makroskopickou veličinou C(x, t). Jinými slovy řečeno, vidíme, že je možne přejít od mikroskopické rovnice k makroskopické rovnici, které se někdy také nazývají rovnicemi momentů kinetické rovnice. 79 Je také jasné, že z jedné kinetické rovnice můžeme dostat nekonečné množství rovnic pro momenty odpovídající různým funkcím (3. Tyto rovnice mají hierarchickou strukturu: dtB je dáno novou funkcí C, pak derivace dtC je dána novou funkcí D atd. Ukážeme, že tento systém není nikdy uzavřený, což je analogice BBGKY systému, na druhou stranu je zde určitý specifický rozdíl. Tento rozdíl je znám z makroskopické teorie bez ohledu na formu kinetické teorie. V hydrodynamice dostaneme uzavřený systém rovnic, jestliže zavedeme určité fenomonologické předpoklady. Budeme nyní podrobně analyzovat přenos operátoru O na funkci b. Nejdříve použijeme tokový člen — u • V, kde s pomocí integrace po částech dostaneme /q ďVďW(x _ y)/5(y; u)ui /(y> U; t) = = Jd3yd3uf(y,u,t)ui(dyió(x-y)l3(y,u) + ó(x-y)dyil3(y,u)) . (400) Z definice delta funkce dostaneme 9j,í5(x - y) = -dxi5{* - y) (401) a tedy F = -V- J dV3u5(x-y)u/3(y,u)/(y,u,í) + + J d3yd3uf(y,u,t)uió(x-y)dyi(3(y,u)) . (402) Další krok se týká členu obsahující interakce s vnějším polem 42) = [d3yd3u^-^-f(y,u,t)5(x-y)P(y,u) J m ou ľ £ yd3u!Xy) ./(y,u,t)í(x-y)Í9(y,ii) . J m ou (403) Poslední krok se týká analýzy srážkového členu, který má nejvíce komplikovanou závislost na rozdělovači funkci a jehož forma závisí na konkrétní 80 kinetické rovnici. Jestliže označíme tento srářkový člen jako K. f (y, u, t), pak jeho příspěvek do momentové rovnice si označíme jako (3) j d3yd3uô(x - y)/3(y, u)/C/(y, u, t) . (404) Nyní zavedeme tok pole B $B(x, t) = J d3yd3uô(x - y)u/3(y, u)/(y, u, t) (405) a 4] = J d3yd3uô^-y)^^uj(y,u,t) . (406) Pak dostaneme momentovou rovnici pro B ve tvaru 0tB(x, t) = -9i$lB(x, t) + ítb (407) kde aB = + „f + 43) (408) je zdroj pole B. Rovnice (407) jsou známy jako rovnice lokálni rovnováhy, které mají následující interpretaci. Při o~b = 0 se redukuje na rovnici, která vyjadřuje lokální formu zákona zachování veličiny B. Pak je zřejmé, že nenulový člen o~b = 0 odpovídá zdroji, který dodává či ubírá B do daného objemu. 3.6 Boltzmannův H teorém a nevratnost entropie Předchozí obecný formalism použijeme při sledování časového vývoje veličiny, která je fundamentální v nerovnovážné termodynamice, kterým je entropie, což je stavová veličina. Tato veličina se vyskytuje v druhém termodynamickém zákoně, který je úzce spojen s pojmem nevratnosti, kdy entropie roste v izolovaném systému v důsledku nevratných procesů. Tento růst se zastaví v okamžiku, kdy se systém dostane do rovnovážného stavu, kdy entropie dosahuje své maximální hodnoty. V lokální formě dostaneme, že časový vývoj entropie, tak jako každé dynamické veličiny, je dán rovnicí 9ts(x, ť) = -V • $s(x, t) + 0. (410) 81 Boltzmannova kinetická rovnice, která byla odvozena v roce 1872, byla tak úspěšná a je tak důležitá, že je z ní možné zavést entropii a také to, že entropie roste s časem. Jinými slovy Boltzmannova teorie byla první teorií, která vysvětlovala nevratnost na mechanické úrovni. Tato teorie je také známa pod pojmem H-teorem, protože Boltzmann použil funkci H = — s(x, t). O H teorému budeme hovořit dále. Uvažujme homogenní systém, kdy rozdělovači funkce /(x, u, t) není funkcí x. V tomto případě zavedeme budeme používat symbol 0(v, t) pro homogenní rozdělovači funkci. Přesněji, víme, že rozdělovači funkce / je normována následujícím způsobem N = J d3xd3u/(x,u,í) . (411) V případě homogenní rozdělovači funkce tato normovači podmínka dává N = V J d3uf(u,t) (412) a pak je tedy vhodné zavést funkci F(u, t) definovanou jako /(u, t) = n(uu ť)) (414) Definujeme nyní hustotu entropie ve tvaru s(t) = -kBn J du(f)(u,t) ln[n0(u,í)] + b (415) kde ks je Boltzmannova konstanta a b je konstanta. Nyní provedeme derivaci s(t) podle času dts(t) = -kBn j d3udt(f)(u,t)[\n(n(f)(u,t)) + 1] = = -2nkBn2 J d3ud3u1dbbg (0(u', í)0(u'1, t) - 0(u, í)0(ui, t)) [ln(n0(u, t)) + 1] (416) 82 Je zřejmé, že v daném integrálu můžeme provést záměnu mezi u a u' a tedy dostaneme 2nkBn2 / d3ud3u1dbbg (0(iľ, í)0(u'1, t) - 0(u, í)0(ui, t)) [ln(n0(u, t)) + 1] = d3\id3\i1dbbg (0(iľ, t)(f)(u[, ť) - 0(u, í)0(ui, ť)) [ln(n0(ui, í)) + 1] (417) Pak máme dts(t) = — nkBn2 j d3ud3u1dbbg (0(u', í)0(u'1, t) — 0(u, í)0(u1; í)) x x [ln(n0(u, ŕ)) + ln(n0(ui, ŕ)) + 2] . (41* Nakonec poznamenejme, že poslední integrál můžeme přepsat do tvaru nksiT2 j d3ud3Uidbbg (0(u', í)0(u'1, t) — 0(u, í)0(u1; £)) x x [ln(n0(u, í)) + ln(n0(ui, í)) + 2] = = nkBn2 J d3\i'd3\i'1dbbg (0(u, í)0(ui, í) - 0(iľ, í)0(uí, í)) x x [ln(n0(iľ, í)) + ln(n0(uí, í)) + 2] = nksTL2 J d3ud3u1dbbg (0(u, í)0(u1; í) — 0(u', í)0(u'1, í)) x x [ln(n0(iľ, í)) + ln(n0(uí, í)) + 2] (419) kde v posledním kroku jsme použili vstali, že d3ud3u1 = d3u'd3u[. S použitím této rovnosti dostaneme dts(t) = [ d3ud3u1dbbg((f)(u', tWuí, t) - 0(u, rWui, ť)) ln J 0(u Konečně, pro libovolná kladná čísla x a y máme u',í)0K,í) r)0(ui,í) (420) (x-í/)ln->0 (421) y : Důkaz Vidíme, že máme dvě možnosti. První, když x — y > 0 pak máme | > 0 a tedy ln | > 0 což dokazuje tuto rovnici. Naopak, pro x — y < 0 dostáváme, že | < 1 a tedy ln | < 0, což opět dokazuje předchozí rovnici. Pak dostaneme výsledek dts(t) > 0 . (422) Maxwellowo rozdělení Původní odvození této rozdělovači funkce bylo provedeno Maxwellem s použitím předpokladu isotropie. Uvažujme rychlosti v x— směru, a předpokládejme, že jejich rozdělení je dané rozdělovači funkcí F(ux), která je normalizována jako F{ux)dux = 1 -oc Princip isotropie říká, že zde není nic speciálního, co se táká x— směru, rychlosti v y— a v z— směru mají stejné rozdělení. Pak dostáváme, že pravděpodobnost, že najdeme částivic v intervalu duxduyduz je rovna 1 —f (u)duxduyduz = F(ux)duxF(uy)duyF(uz)duz (423) Na druhou stranu, jestliže / je isotropní distribuce, pak by měla záviset pouze na velikosti rychlosti, tedy ±/(u) = M + u2y + ul) = F{ux)F{uy)F{uz) . (424) Z toho dostáváme, že součet argumentů u2 v argumentu funkce / musí odpovídat součinu F(uí)', a to je možné pouze když funkce F(ux) je exponenciální funkcí u2 F(ux) = A1/3e~Bu* ^ /(u) = nAe-B^+<+u^ = nAe-Bu2 . (425) Konstanta A může být dán podmínkou normování funce F tak, aby byla rovna jedné. Abychom našli hodnotu parametru B, musíme určit střední hodnotu kinetické energie < ^mu2 >= ^k,bT, které pak dává „. , / m \3^2 / mu2 \ 84 Nyní ukážeme, že Maxwellovo rozdělení je řešením Boltzmannovy rovnice jako její rovnovážné řešení. Uvažujme homogenní plyn bez externích sil. Aby toto řešení bylo rovnovážné, pak dts = 0 a tedy dostáváme 0(u',í)0(uí,í) = 0(u,í)0(ui,í) =>- ln0(u',í) + ln0(uí,t) = ln0(u,ť) + ln0(ui,t) . (427) , Tento výraz pro Maxwellovo rozdělení dává u'2 + u'2 = u2 + v!2 (428) což je samozřejmě splněno v případě pružných srážek. Nyní budeme uvažovat obecnější případ nehomogenního systému, kdy / = /(x, u, t), kde ale pro jednoduchost nebudeme uvažovat interakci s vnějším polem. Nyní zavedeme lokální hustotu entropie jako pole s(x, t) = -kB J ďW3yA(x - y)/(y, u, t) ln /(y, u, t) + b . (429) Pak zjevně dostaneme 9ts(x,í) = -kB J dV3u5(x-y)[ln/(y,u,í) + l]dtf(y,u,t) (430) což odpovídá obecnému předpisu provedenému v předchozí části, jestliže identifikujeme /3(y,u) = -fcB[ln/(y,u,í) + l] . (431) Samozřejmě ale vidíme, že toto není dynamická veličina, protože jednak explicitně závisí na čase, a dále je to veličina, která je definována pomocí rozdělovači funkce. Na druhou stranu jestliže použijeme Boltzmannovu rovnici, pak dostaneme cřycřu^x - y)/3(y, u, t) [-ut—f(y, u, t) + £/(u, y, t)} = Qxt s,i\ I s (432) kde řx«(x,t) = j dV3u5(x-y)^|^^7(y,u,t) f7f(x,í) = J dW(x-y)/C/(y,u,í) (433) 85 a kde také budeme psát $',(x,í) = #s(x,í)+Ä(x,ť) , *.(x,t) = -*fl/A«ŕUí(x-y)uln/(y,u,í)/(y,u,í), 0s,í(x,í) = -kB J d3yd3uó~(x - y)ui f (y, u, t) . (434) Nyní vypočítáme příspěvek as t7«(x,í) = -fcB / <žVW(x - y) ' * W(y, u, t) = =-kB J d3yd3uó(x-y)ui—f(y,\i,t) = J d3yd3uó(x-y)uif(x,y,t) kBdt (435) a my vidíme, že tento příspěvek kompletně vyruší divergenci di 0. (437) Jinými slovy, opět jsme dostali druhý termodynamický zákon v lokálním tvaru. Mikroskopické procesy na molekulární úrovni jsou reverzebilní, tedy mohou probíhat i v opačné časové posloupnosti, na druhou stranu makroskopické procesy nejsou. Když například rozdělení rychlosti relaxuje do Ma-xwellova rozdělení v důsledku srážek, pak je tento proces ireverzibilní. Je také zajímavé, že když jsme odvozovali Boltzmanovu rovnici, tak jsme předpokládali reverzebilitu na mikroskopické úrovni. Přesto můžeme ukázat, že vedou k ire-verzibilním procesům na makroskopické úrovni. Z odvození zákona růstu entropie aké ukazuje, že příčinou růstu entropie je pouze srážkový člen, zatím co volný pohyb a případné efekty vyvolané středním polem, jsou vratné procesy, které nemají vliv na růst entropie. 86 Je dobré podrobněji popsat, co myslíme nevratnými procesy, které můžeme rozdělit na dvě základní třídy. Jako přiklad procesu, který spadá do první třídy, uvažujme shluk vzájemně neinteragujících částic, které jsou na počátku lokalizovány v koutě krychle s dokonale odrážejícími stěnami. Předpokládejme, že částice mají na počátku rychlosti distribuované kompletně náhodným způsobem. Je jasné, že za nějaký dostatečně dlouhý časový interval částice, které jsou v daném shluku, jsou rozprostřeny spojitě po celé krychli díky volnému pohybu částic, kdy dopadají a odrážejí se od stěn. Zdá se, že se tento proces jeví jako nevratný. V závislosti na počátečním stavu daný systém se blíži ke stavu s homogenní hustotou částic, kde čas, který je potřebný k dosažení homogenní konfigurace, silně závisí na počátečních podmínkách. Například, jestliže budeme mit dostatečně široký interval počátečních rychlostí, pak homogenní stav dostaneme tím rychleji. Z mikroskopického pohledu je zřejmé, že volný pohyb částic nemá vliv na rozložení rychlosti, neboť částice se spolu nesrazí a jejich srážky se stěnami jsou dokonale pružné. Tento nevratný proces se také nazývá proces s fázovým míšením, které jsou charaktristické absencí určité časové škály, jenž nezávisí na počátečních podmínkách. Je zřejmé, že v takových procesech nedochází k růstu entropie. Položme si nyní otázku, co se stane, když připustíme srážky mezi částicemi. V takovém případě díky neregulérnosti a velkém množství srázech brzy dojde ke ztrátě informace o počátečním rozložení rychlostí. V tomto případě proces rozprostření v prostoru má jiný charakter (difúze), protože je nyní určen specifickými vlastnostmi interakce mezi částicemi a také obecnými vlasnostmi, jako je hustota a teplota. Tyto specifické parametry udávají relaxační čas, který je nezávislý od počátečního stavu systému. Rozdělení rychlostí se blíží k Maxwellovskému rozdělení a daný proces je spojen s růstem entropie.Tyto procesy se také někdy nazývají jako procesu disipatického typu. Je velice zajímavé, že jsme vyšli z předpokladu reverzibilní mikroskopické fyziky, ale končíme s veličinou H, která má nesymetrický časový vývoj. Můžeme to interpretovat jako objevení šipky času. Je dobré poznamenat, že H teorém někdy není interpretován jako růst entropie S. Zde, H je definována pro jednosloškový plyn, zatím co entropie může být definována pro komplikovanější systémy, běžná definice entropie je definována pouze pro systémy v termodynamické rovnováze či ve stavu ji blízké, zatím co H je definována pro nerovnovážné systémy. S existencí H theorému je spojen následující paradox. Předpokládejme, že v jednom časovém okamžiku obrátíme rychlosti částic v plynu. Pak částice 87 budou sledovat své původní trajektorie. To znamená, že jestliže jsme původně měli > 0 tak v situaci, která probíhá v opačném pozadí, bychom měli mít < 0, což je zřejmý paradox. Vysvětlení tohoto paradoxu leží v předpokladu týkající se dokazování H teorému. Implicitně jsme předpokládali, že neexistuje korelace mezi částicemi před jejich srážkami. Toto je známé jako molekulární chaos a tento předpoklad je implicitně skryt ve statistické formulaci interakcí pomocí sázkového účinného průřezu. Je jasné, že nemůžeme předpokládat, že molekuly nejsou v korelaci po srážkách. Tedy, v situaci, která by měla probíhat opačným směrem, molekuly nejsou nezkorelované po jejich srážkách, a tudiž předpoklady, které jsou skryté za odvozením Boltzmanovy rovnice, neplatí. Takže, ve skutečnosti, šipka času v Boltzmanově rovnici byla implicitně zvolena předpokladem, že rychlosti částic jsou nezkorelované před srážkami. 3.6.1 Poincarého theorém S pojmem nevratnosti úzce souvisí tz Poincarého rekurentní teorém, který říká, že trajektorie systému ohraničeného izolovaného systému o konečné energii se, po dostatečně dlouhé době, přiblíží libovolně blízko své počáteční pozici. Nastíníme stručný důkaz tohoto teorému. Uvažujme počáteční stav systému ve fázovém prostoru z0 = (qo,Po) a tento bod je obsažen v množině fázového prostoru Q0. Pak se systém vyvíjí na povrchu daným podmínkou konstantnosti energie. Pak tento teorém říká, že za dostatečně dlouhou dobu se systém opět dostane do množiny Qq. Nechť T je operátor, který propaguje Qq za jednotku času. Pak díky Liouvillovu teorému tto,Ťtto,Ť2tt0 (438) mají stejnou míru. Jestliže se tyto množiny neprotnou, pak povrch, na kterém se pohybují, by měl nekonečnou míru, což jev rozporu s předpokladem. Pak tedy můžeme psát Ťkíl0f]Ťníl0 = Q Ý 0 (439) pro nějaká přirozená čísla k, n. Dále, díky jednoznačnosti trajektorií dostáváme, že T je bijektivní zobrazení, což nám dovoluje psát Ť {A p| B) = Ť (A) p| Ť (B) . (440) 88 Jestliže nyní budeme působit s T n na (439) dostaneme Ť-n{Ťk p| ŤnQ0) = Ť-'nQ Ý 0 (441) a když použijeme (440) dostaneme Ťk-nQ0f]n0^o. (442) Jinými slovy, za k — n časových jednotek množina í~ž0 má konečný průnik sama se sebou. Nyní, jestliže vezmeme míru Q0 libovolně malou, dostaneme Poincarého teorém. Je zřejmé, že tento teorém je založen na následujících předpokladech. Předně systém musí být omezen, například v případě mechanického systému musíme požadovat, aby tento systém byl v ohraničené prostorové oblasti, jinými slovy namůžeme dovolit, aby trajektorie částic směřovaly do nekonečna. A dále, musí platit Liouvillůt teorém. Je také zřejmé, že systém nemusí projít celým fázovým prostorem dříve, než se vrátí do původního stavu, kde systémy, které pokryjí celý fázový prostor během svého vývoje, se nazývají ergodickými systémy. 3.6.2 Boltzmannova a Gibbsova Entropie V předchozí části jsme definovali entropii pomocí rozdělovači funkce kinetické teorie. Nyní stručně podáme obecnější definici. Gibbsova entropie TÍn je definována pomocí N—časticové rozdělovači funkce f n jako Abychom určili časový vývoj této veličiny, vyjdeme z Liouvillovy rovnice i=l (443) dfN + {fN,H} = 0. (444) dt 89 Pak časový vývoj této entropie je roven dt N / Y[d3^d3Pí {fN, H} (l + \n fN J i=i ÍTJ^ sr^ fdfN Pí dfN dV\ yndx,dp,yj(^——.-j(1+in/jv) 1 dfN\nfN dV ô m <9xj * <9xj dp N N i=l N N d *id pi >-----pi ------- = 0 i=l í=l (445) kde jsme použili N , i=l ^ dfN Pi dfN dV\ dxi m dpi <9xj J (446) a dále integraci po částech. Vidíme tedy, ze Gibbsonova entropie se zachovává a tedy splňuje reverzibilní rovnici. Tato entropie je vstáhnuta k termodynamické entropii následujícím způsobem S = -kBUN (447) což je kinetická definice entropie izolovaného systému. Druhý termodynamický zákon nám říká, že AS* > 0 pro izolovaný systém kdy rovnost platí pro reverzibilní procesy. Protože Liouvillova rovnice je reverzibilní, dostaneme, že výsledek S = konst je v souladu s druhým termodynamickým zákonem. V případe, kdy neexistují korelace mezi částicemi, máme N i=l a tedy N N n N N N hn=ž n / n d^d3pk n w) ^ m=é u^=nu ^ í=l j=l k=l j=l í=l 90 kde U = J d3xd3pfľ In h . (450) Jak jsme viděli, pak kinetická rovnice dává Íri < 0 jako důsledek srážek v tekutině. Jinými slovy řečeno, při sledování jednočásticové funkce dostaneme, že daný proces je ireversibilní, na rozdíl od plného dynamického popisu, který je reversibilní. 3.6.3 Kolizní invarianty V této kapitole budeme definovat operátory, které mají význačné vlastnosti vhzhledem k časovému vývoji systému. Poznamenejme, že kolizní integrál je definován jako J(f) = J d3uľ J díí^u - Ul|(/7Í - //i) . (451) Budeme definovat operátor 7[0(u)] = Jd3uJ(/)0(u) = Jd3ujd3u, Jdniu-mKffi-fhMu) . (452) Změna proměnných (u, ui) —> (ui, u) (453) dává 7(0(u)) = J(0(Ul)) . (454) Jako další krok uvažujme operátor /(0(u')) = 1^1 d3ui J d^\u ~ uiK/7í " //i)0(u') (455) Poté změna proměnných (u, ux) —y (u',^) má jednotkový Jakobián jako důsledek Liouvillova theorému pro dvoučásticový systém, což nám dává d3ud3u[ = ďW3ui . (456) Dále je také jasné, že |u — Ui|řrdíž je invariantnní vůči této transformaci a pak dostáváme 7(0(u')) = J d3u> J d3u[J díl'g'\u-u[\(ff1-ff[)(f>(W) = -Í((f>(u)) . (457) 91 Konečně, změna proměnných (u'1;u') —> (u', u^) dává /(0(u')) = /(0K)) . (458) Když nyní zkombinujeme všechny tyto relace, dostaneme 4/(0(u)) = J(0(u)) + J(0(Ul)) - J(0(u')) - 1(0«)) . (459) Konečně, díky linearitě operátoru J, můžeme tento výsledek přepsat do tvaru /((Ku)) = ^O(u) + 0(Ul) - 0(u') - 0K)) . (460) Nechť x(u) je srážkový invariant, t.j. x(u) + X(u1) = x(u/) + xK) . (461) Pak pro tuto veličinu dostáváme z (460) í(ip) = 0 . (462) Nechť x(u) je veličina, jenž se zachovává při srážkách. Pak je jasné, že obecná funkce, která se zachovává při srážkách, má tvar f(u) = C0 + J2xr(n) . (463) r kde Xr jsou všecny nezávislé veličiny, které se zachovávají při srářkach. Zákon zachování energie a všech tří komponent hybnosti implikují /(u) = C0 + ClU2 + C2xux + C2yUy + C2zuz = -B(u - u0)2 . (464) Je zřejmé, že existence pěti nezávislých srážkových invariantů je obecným důsledkem kinetických rovnic, protože jsou svázány s dynamickými zákony zachování počtu částic, energie a hybnosti při srážkách. Tyto zákony nám říkají, že jedna molekula během srážky ztrácí hybnost a energii, zatím co druhá je získává. Na druhou stranu srážkový invariant potřebuje trochu obecnější přístup. Uvažujme zdrojový člen ve tvaru ^(x) = J ďWV(x-yMu,y) J dnvgiffl-fh) = = J dld25(x-yMu,y)5(y-yi) J dQag(f(y, u', í)/(yi, u'1; t) - /(y, u, í)/(yi, u1; t)) (465) 92 kde jsme zavedli integraci přes yi, abychom dostali symetrické fázové body. Je zřejmé, že výraz se nezmění, jestliže zaměníme 1 a druhou fázovou proměnnou ofCx) = Jdld2ô(x-y1)ij(y1,u1)ô(y-y1) x x Jdílag(f (yuu',t) f {y,u',t) - f (yuuut) f (y,u,t)) (466) Tento výraz můžeme také napsat oo. Například, toto platí pro rozdělovači 95 funkcí exponenciálního typu. Poté, když zadefinujeme pro libovolnou veličinu Q n(Q)= í (fuQf (481) dostáváme rovnici, která určuje časový vývoj veličiny (x) dV XA/; dxl K V A/y \ dx%I m\ du%I m\dutX/ (482) Tato rovnice nám říká, jak hustota nx = n (x) libovolné veličiny jenž se zachovává v dvoučásticových srážkách, se vyvíjí v čase. Tato forma rovnice se bude často opakovat při odvození hydrodynamických rovnic 3.8 Odvození hydrodynamických rovnic Rovnice (482) určuje přechodod mikroskopického popisu (pomocí molekulární veličiny x) k makroskopické veličině, dáné množstvím veličiny x v jednotkovém objemu, n (x). V následujícím budeme předpokládat, že síla F nezávisí na rychlostech. Rovnice zachováni hmoty Tato rovnice vyjadřuje zachování hmoty ve srážkových procesech. Jinými slovy předpokládáme, že x = m- Pro tuto volbu (482) má tvar — (nm) + g~(nm . (489) Pak momentová rovnice má tvar + (490) Zákon zachováni energie V případě, kdy máme jednosloškový plyn, translační kinetická energie se zachovává při srážkách a můžeme tedy uvažovat X = jmu2 . (491) Pak definujeme ex jako střední hodnotu kinetické energie /7T1 I 1 d3u—u2f(u,x,í) =n( -mu Pro tuto veličinu má momentová rovnice tvar (492) 3 3 n r*+ä?(í*> - 7n m dte + d4 + diiv'e) + PijdiVj = 0 (505) 99 3.8.2 Souhrn momentových rovnic Závěrem dáme přehled všech momentových rovnic dp djpv') = Q dt dx% gvi gvi iq pij pi dt dxi p dxi m dte + diqi + di(vie)+Pijdivj = 0 . (506) Vidíme, že máme pět rovnic. Neznámými jsou následující momenty rozdělovači Vidíme, že máme 1+3 + 6 + 1 + 3 = 14 neznámých funkcí. Z toho vidíme, že momentové rovnice netvoří dynamickou teorii kapalin. V principu bychom mohli zavést více momentových rovnic tím, že vezmeme vyšší momenty Boltzmanovy rovnice. Na druhou stranu tyto rovnice by vždy zavedly vyšší momenty distribuční funkce díky členu iŕdif v Bolt-zmanově rovnici. Jinými slovy musíme najít způsob, jak nějakým způsobem získat dynamickou teorii kapalin z kinetické teorie. Jinými slovy, abychom odvodili dynamickou teorii kapalin, musím najít vztahy mezi 14 neznámými p, v\ , eag! takovým způsobem, že dostaneme uzavřený systém rovnic. Nejdříve musíme zdůraznit, že srážky jsou jediný způsob předávání hybnosti a energie v tekutině, která je složena z neutrálních částic, což je podstatné pro její vlasnosti. 3.8.3 Teplota:Variace distribuce rychlosti Teplota tekutiny, který je tvořen molekulami bez vnitřních stupňů volnosti, je dán výrazem funkce / (507) 100 Význam definice teploty dané touto rovnicí je následující. Uvažume molekuly, které jsou všechny v klidu. Nechť se tekutina pohybuje jako pevné těleso s rychlostí v. Vidíme z rovnice (508), že v tomto případě T ~ e = 0, což je očekávaný výsledek. Vidíme také, že (508) může být přepsána do tvaru "iksT n ! 2 m (u - (u))2) , (509) která dokazuje, že 3fc^T je míra variace hustoty pravděpodobnosti rychlosti. Je zřejmé, že můžeme obecně definovat další makroskopické proměnné k již definovaným n, v, T, e, Q\ , například následující tensor nAilÍ2,...,in = J Gř3u/(c, x, t)cixci2 ...cin . (510) kde proměnná A(x, t) je tensor n—tého řádu ve třech dimensích. 3.8.4 Statistická rovnováha Vrátíme se opět k obecné analýze Boltzmanovy rovnice a budeme zkoumat otázku, za jakých podmínek dojde k vynulování kolizního integrálu. Vidíme, že toto je splněno za předpokladu, kdy ffi = ffi ■ (511) Tato podmínka se nazývá podmínkou statistické rovnováhy. Explicitně, tato podmínka říká, že množství částic, které přitečenou do elementu 0 f 73x73u-^-(l + ln/) = f 73x f d3u-^-^-= f 73x f — flnfdSi^O J mou J J m u J Js(u)^ m Kde jsme předpokládali, že funkce / se blíží nule na hranici daného objemu, což je dané sférou Soo a také, že funkce / se blíží nule na hranicích rychlostního objemu. Nyní s použitím předchozím úprav dostáváme 4/(1 + ln /) = 7(1 + ln /) + 7(1 + ln A) - 7(1 + ln /') - 7(1 + ln f[) = (520) /í/7 V fif (521) 103 Nyní diskuse stejná jako v předchozí části dokazuje platnost H-teorému pro obecnou rozdělovači funkci, která splňuje Boltzmanovu rovnici. Vidíme, že jak absolutní, tak lokální Maxwellovské rozdělení splňují, že srážkový člen je roven nule a tedy pro ně platí ďH(fo) ďH(f°) dt dt Z tohoto důvodu mohou být obě rozdělení nazvány jako rovnovážné distribuční funkce. Na druhou stranu termodynamická rovnováha pro tekutinu, která není vystavena vnějším polím, implikuje, že všechny makroskopické veličiny jsou konstantní. Z tohoto důvodu je tato situace popsána pomocí absolutní Maxwellovské rozdělovači funkce J'q. Můžeme ale předpokládat, že před dosáhnutím termodynamické rovnováhy, plyn je ve stavu lokální teplotní rovnováhy, a tedy je popsán pomocí lokální Maxwellovské rozdělovači funkce f°. Jinými slovy můžeme si představit situaci, kdy máme tekutinu v obecném stavu. Během časového vývoje, při kterém neprovádíme na dané tekutině nějaké vnější zásahy, dochází k poklesu "H funkce až do té doby, dokud stav systému je popsán pomocí lokální Maxwellovské rozdělovači funkce, kdy je ustanovena lokální termodynamická rovnováha v každém malém objemu tekutiny, zatím co tekutina jako celek se nenachází ve stavu globální termodynamické rovnováhy. Poté bude docházet k dalším procesům uvnitř tekutiny, kdy dochází k relaxaci všech makroskopických veličin do stavu, kdy tyto veličiny mají konstantní hodnoty v celém objemu tekutiny. Poté se tekutina nachází ve stavu globální termodynamické rovnováhy. 3.8.5 Lokální termodynamická rovnováha a makroskopické proměnné Ukázali jsme, že lokální Maxwellovské rozdělení splňuje podmínku lokální termodynamické rovnováhy, což má za následek, že srážkový integrál je roven nule. Na druhou stranu, jestliže vložíme toto rozdělení do Boltzmanovy rovnice, je jasné, že levá strana je nenulová pro obecné hodnoty parametrů. Na druhou stranu je zřejmé, že prostorová a časová závislost lokálního Ma-xwellovského rozdělení je vyjádřena prostřednictvím funkcí n,v,T, vidíme, že abychom našli kompletní lokální rovnovážné řešení je dostačující najít závislost těchto funkcí na prostorových souřadnicích. Dále také ukážeme, že lokální Maxwellovské rozdělení je důležitý prvek v Chapman-Enskogově rozvoji Boltzmanovy rovnice. V tomto procesu f° jako řešení nejnižšího řádu, kde n, v a T jsou funkcemi x, t. (522) 104 3.8.6 Barometrická rovnice Uvažujme, že máme tekutinu ve vnějším poli, které je konservativní a tedy se dá vyjádřit pomocí skalárního potenciálu <9$ (523) Označíme rovnovážnou distribuci pro tuto konfiguraci jako f q a budeme dfo dt požadovat, že ^ = 0. Zbývající členy na levé straně rovnice dávají dfo , Fldf o mv (9x m du'1 dfo = d±dfo 9x <9x <9v 0 (524) Budeme předpokládat, že obecnější forma řešení statické rovnováhy má tvar -A(v - v0)2 + \nB- 2A^(x) In f o m (525) Je zřejmé, že toto řešení splňuje podmínku statické rovnováhy (511). Na druhou stranu dosazením do levé strany Boltzmanovy rovnice dostáváme dtp <9$ , ^- • u = — • (u ax ox (526) a my vidíme, že můžeme ztotožnit i/j(x) = $(x) za předpokladu, když |^ ■ v = 0. Když poté budeme postupovat standartním způsobem dostaneme rozdělovači funkci ve tvaru fo nQ (2nkBT0)y* exp [m(u - v)2/2 + $(x)] kBT0 (527) kde nyní n0, v a T0 jsou konstanty. Je také důležité, že v je normální k V$. Díky této rozdělovači funkci můžeme určit rovnovážnou hustotu částic jako n(x) cř3u/o(x, u) = n0 exp $(x) (528) 105 která nám říká, že n0 je hodnota hustoty částic v bodě, kde $(x) = 0. Rovnovážná teplota je dána výrazem -fcBT(x)n(x) d3u-m(u - v)2/o 3n(x)T(x) = 3n0T0 exp £(x) (529) Jestliže do předchozího výrazu dosadíme hodnotu hustoty částic n(x, t), kterou jsme určili v (528), dostaneme 3n(x)T(x) = 3n0T0 exp kb T0 3n(x)T (530) z čehož plyne, ž můžeme stotožnit tq s t. Nakonec tedy můžeme psát Ío(x,u) n(x) exp (u-v); 2kbT (531) (2tt/íbt)3/2 Pro homogenní gravitační pole dostáváme $(x) = mi/(z - z0) . (532) Vložením tohoto potenciálu do předpis pro hustotu částic dostáváme mg(z - zoy n(z) = uq exp kBT (533) Tento exponenciální úbytek hustoty částic je znám jako barometrická rovnice. 3.9 Transportní koeficienty 3.9.1 Odezva na poruchy Uvažujme systém, který je v rovnováze s odpovídajícími konstantními hodnotami n,v,T. Jakmile se objeví vnější poruchy, tyto hydrodynamické veličiny se změní odpovídajícím způsobem. Z pozorování je jasné, že tekutina odpoví 106 na tyto změny takovým způsobem, kterým se snaží obnovit rovnováhu. Tedy, když definujeme 1Z jako odezva, dostaneme n[din] = nvt K[diVj] = Síj n[dtT] (534) Jinými slovy, pohyb tekutiny je odpověď na objevení gradientu hustoty, komponenty deformačního tensoru jsou odpovědí na objevení se gradientů v rychlosti tekutiny. Dále, teplotní tok je odpovědí na vznik gradientu teploty. Koeficienty, které vyjadřují úměrnost mezi gradienty poruch k odpovídajícím tokům, se nazývají transportní koeficienty. Koeficient difúze Tento koeficient se vyskytuje v relaci odezvy mezi gradientem hustoty a rychlostí a má tvar jív = —DVn . (535) Tento vstah nám říká, že při objevení změny hustoty v kapalině od homogenní k nehomogenní konfiguraci, začne v tekutině probíhat transport částic proti růstu hustoty částic, jinými slovy řečeno tok probíhá takovým způsobem, aby došlo k obnovení homogenní konfigurace. Termálni kondukce Tento koeficient se vyskytuje v relaci Qi = ~KdtT . (536) Intepretace tohoto vstahu je stejná jako v předchozím případě. V případě objevení nehomogenity v rozložení teploty dochází k transportu tepla z místa s vyšší teplotou do oblasti s nižší teplotou, kde transport teplaje zprostředkován tokem Qi. A konečně, koeficient viskozity odvedeme z následující úvahy. Je užitečné rozepsat tensor tlaku ve formě pj = gijp _ sH . (537) V tomto výrazu, p je skalární tlak a Slj označuje komponenty tensoru tlaku, které odpovídají jako odezva na gradient rychlosti. Předpokládáme, že Slj splňuje následující dvě vlastnosti 107 SÍJ neobsahuje jiné členy než diUj, protože požadujeme, SÍJ = 0 za předpokladu, když diUj = 0. Dále požadujeme, aby platilo SÍJ = 0 pro tekutinu v rovnoměrném rotačním pohybu. Rovnoměrný rotační pohyb je charakterizován kon-statním vektorem úhlové rychlosti íl% tak, že makroskopický pohyb elementu kapaliny je dán v = O x x . (538) Tato vlastnost nám říká, že SÍJ = 0 pro v = O x x. Tensor, který toto splňuje, má obecný tvar ä?+ä?)+«;*"*• (539) kde a a b jsou libovolné konstanty. Toto vyplývá z následujícího — + — (pro v' = e^%xk) = e^djiQkXi) + ^kldt(QkVl) = = ékl£lk5] + éklQ.k5\ = etklQk + elktQk = etklQk - etklQk = 0 (540) a také d,vl = eijknjdi(xk) = e^Qjôf = eki% = 0 . (541) Pomocí tohoto výrazu dostáváme, že můžeme napsat tensor Sij ve tvaru dvi dvj 2 dvk \ _ „ dvl s"=^+ä?-ŕ'ät)+(S^- (542) Konstanty, které vystupují v tomto výrazu, jsou i], známá jako koeficient smykové viskozity, zatím co ( je koeficient objemové viskozity. Poznamenejme také, že tekutina je nestlačitelná, jestliže platí diV1 = 0. Tensor můžeme také napsat s pomocí symetrického deformačního tensoru 1 / dv% dvi\ A« = 2{8* + 8?)- <543> kde z definice dostáváme TrA = = díV%. Pak můžeme napsat tensor tlaku ve tvaru pij = gijp _ sa = ôíjp _ 2r](Atj - -ôijdkvk) - (ôijdkvk (544) 3 108 která má následující vlastnost TrPij = Pijôji = 3p- 2r](TrAij - diVl) - 3(0^ = 3p - 3(0^ , (545) která, v případě nestlačitelné tekutiny, má tvar TrPij = 3p . (546) Síla, která působí na element tekutiny okolní tekutina, je vyjádřena tensorem tlaku Pz:>, který pro nestlačitelnou tekutinu má tvar pij = Síjp _ 2r]/yiJ . (547) Uvažujme nyní tekutinu, která se pohybuje ve směru osy x s rychlostí, která je funkcí z v=[vx(z),0,0]. (548) Pak síla působící na plochu o obsahu AxAy s normálnou n = [0, 0,1] je rovna du Fx = PxzAxAy = (-2r]Axz)AxAy = -v-^AxAy . (549) Vidíme tedy, že síla působí opačným směrem, než je růst rychlosti. Poznamenejme také, že tensor deformace vystupuje v mechanice pevných látek, kdy ovšem uvažujeme vektor posunutí místo vektoru rychlosti, což odpovídá vynásobení vektoru deformace daného výše elementem Aí. Obecně můžeme říci, že deformace spojitého prostředí je výsledkem napětí, které na ně působí. Důležitou vlastností transportních koeficientů je ta, že díky vstahům, kterými jsou definovány, dostáváme dodatečné rovnice, které slouží k uzavření momentových rovnic. Například, s pomocí (542) má momentová rovnice rychlosti v1 tvar p l^-v* + vj^-vl ) + -^-Pij = —Fi => \ot dx1 J ox1 m p (dtvl + vjdjVl) + dip - rjdj&'v'1 - r]didjvj - (C + -)didjvj = —F% . 3 m (550) Toto jsou tři rovnice pro pět neznámých v\p,p. Rovnice spojitosti spolu s další skalární rovnicí dělá z tohoto systému systém uzavřených rovnic. Další rovnicí myslíme rovnici vyjadřující vstah mezi hustotou a tlakem. Touto rovnicí se budeme věnovat později při dalším výkladu hydrodynamiky. 109 3.9.2 Formulování transportních koeficientů V této kapitole popíšeme, jak je možné najít transportní koeficienty. Uvažujme malý objem tekutiny v rovnováze s hustotou částic n. Zavedeme střední rychlost částic C (v2) = C2 . (551) Pro bodové částice ekvipartační teorém dává \mC2 = \kBT . (552) Uvažujme střední tok částic T v libovolném ze šesti směrů (osa x, —x, y, —y, z, —z) a v lobovolném časovém okamžiku t. Nyní si představme, že máme válec o výšce C a jednotkové ploše. Protože střední rychlost částic je C, pak 1/6 částic v daném válci projde povrchem horní podstavy za sekundu. Jestliže si označíme tento směr jako z, dostaneme Tz = -nC . (553) 6 Dalším důležitým pojmem je střední volná dráha /. Implicitně předpokládáme, že k předávání hybností a energie mezi molekulami dochází pouze při srážkách. Například, dosažení rovnováhy hustoty částic je zprostředkováno srážkami, kdy částice z oblasti s větší hustotou jsou přenášeny do oblasti s menší hos-totou. Jak my již víme, s pojmem srážek se váže pojem účinný průřez, kdy můžeme najít následující odhad nal ~ 1 , (554) který vyplývá z toho, že střední rovná dráha je nepřímo úměrná jak počtu částic n, tak účinnému průřezu. Nyní můžeme přistoupit k odvození koeficientu vlastní difúze. Uvažujme, že máme částice jednoho druhu a dále, že zde existuje gradient hustony n ve směru osy z. Pak tok částic, které se pohybují ve kladném směru osy z a které protnou rovinu z, je roven počtu částic, které se nacházejí v místě n — l. Na druhou stranu počet částic, které se pohybují v záporném směru osy z a které protnou rovinu z, je roven počtu částic v bodě z + l. Pak celkový tok částic v bodě z je roven Tz = Tz-i — Tz+i , (555) 110 což, s pomocí (553), dává Tz = \c[n(z-l)-n(z + l)} 6 21C n(z — l) — n(z + /) 21 1 On (556) Na druhou stranu my víme, že tok částic v daném bodě z ve směru osy z je dán výrazem Tz = nvz a tedy On nvz = --IC— . (557) 3 oz Poznamenejme, že definice koeficientu difúze je dána výrazem Oti jív = —DVn =^ nvz = —D— . (558) Oz Pak porovnáním těchto dvou rovnic dostaneme hledaný výraz pro koeficient difúze D = -\lC . (559) Viskozita Uvažujme tekutinu, která se pohybuje jedním směrem s rychlostním profilem v = [vx(z),0,0] (560) Je zřejmé, že pro tuto konfiguraci máme nenulové následující komponentu P Q pxz = -Sxz = -v^r ■ (561) Oz Každá částice na ploše z — l, která se srazí a pohybuje se ve směru osy +z, unáší střední komponentu hybnosti ve směru osy x z oblasti z — l, to jest mvx(z — /). Tok těchto částic je roven Tz = -nC . (562) 6 111 Pak tedy střední hodnota x—komponenty toku hybnosti napříč rovinou z díky transportu částic ve směru osy z je rozdíl mezi kladným příspěvkem t+ = -nCmvx(z - l) r = -nCmvx(z + 1) . a její ztrátou Pak změna hybnosti na ploše z ve směru x je rovna vx(z - l) - vx(z + /) (563) (564) r+ _ r~ p p -nCm2l 6 1 n.dvx 21 (565) Tento rozdíl můžeme interpretovat jako sílu, působící ve směru osy x na ploše z, což je P,, = ~\pCl^ . (566) 3 oz což nám dává klasický Maxwellův výsledek (567) Termální kondukce Stejným způsobem můžeme pokračovat s transportem kinetické energie. Uvažujme změnu kinetické energie £k{z)- Pak stejným způsobem, jako v předchozí části, kdy definujeme tq = -nCeK(z -l) , tq = -nCeK(z + /) dostaneme následující výraz pro změnu kinetické energie r+ _ r-Q Q 1 nideK (568) (569) 112 Jestliže si nyní uvědomíme, že máme vstali = e+^pv a budeme předpokládat, dz dz že v a n nezávisí na z, pak máme í%iž- = jf- a tento rozdíl je roven toku tepla ve smeru osy z 1 Q Qz = -~nCl^ . (570) 3 dz Nyní definujme cy jako specifické teplo na jednu částici de dT ' (571) Pak dostaneme Uz = —nCl— = —nCl--= —nClcv — ^z 3 dz 3 dT dz 3 v dz (572) a tedy lnClcv . (573) 3 3.10 Momentové rovnice a hydrodynamické rovnice-Pokračování Jak jsme také ukázali, srážky implikují, že distribuční funkce se blíží rovnovážnému Maxwellovskému rozdělení s možnou nenulovou střední rychlostí. Nechť předpokládejme, že distribuční funkci ve tvaru , J m \3/2 / (u-v(x,í))2\ , , / x, u, t) = n x, t) ———-- exp -mK , J, ' >> , 574 což je Maxwellovo rozdělení s lokálními středními hodnotami rychlosti, hustoty a teploty. Nechť pomocí této funkce vypočítáme PlJ'(x, t) Pij = m J (ŕuiiŕ - v^iv? - vj)f(u - v) = 3/2 n / fWQ^1 <>Wx,t)) J d3ucV 6XP {-2kYŤ ' = ^ (575) kde p(x,í) = n(-K,t)kBT(-K,t) 113 je tlak kapaliny. Při odvozování tohoto vstahu jsme využili faktu, že dxxe x = 0 , / dxx e x = . (576) oc Stejným způsobem dostáváme e = — / truc2/ = -nfcBT . (577) Q* = \J d3udc2f = 0 , (578) kde e je vnitřní energie pro jednočásticový plyn. Konečně P*Ay = p5%ť = . (579) Díky těmto předpokladům dostáváme momentové rovnice v nultém řádu ! + V.(pv) = 0, — + v • Vv = —Vp + —F , ot p m de — + di(vte) = -pV-v (580) což je pět rovnic pro šest veličin p,v,p a e. Na druhou stranu tři termodynamické veličiny mohou být vyjádřeny jako funkce hustoty částic a teploty, tedy 3 p = mn , p = nkBT , e = -nkBT . (581) Jinými slovy dostáváme, že číslo nezávislých rovnic je shodné s číslem nezávislých proměnných a tudíž tento systém je uzavřený a má formu dynamické teorie kapalin. Na druhou stranu této dynamické teorii chybějí některé důležité vlastnosti jako teorii reálných tekutin. • Protože Q1 = 0 dostáváme, že neexistuje transport vnitřní energie. Jinými slovy řečeno, v této tekutině neexistuje konvence. 114 • Protože is diagonální, tato tekutina je charakterizována absencí viskozity. Jinými slovy řečeno, v této formulaci dynamiky tekutin chybí vlastní popis transportních jevů. Je vhodné si položit otázku, co je příčinou, že jsme nebyli schopni popsat tyto jevy vhodným způsobem. Ukazuje se, že lokální Maxwellova distribuce je příliš restriktivní. Jestliže zde existuje teplotní gradient, částice, které přicházejí na určité po směru gradientu mají určitě vyšší energii než částice, které sem přicházejí z opačného směru gradientu. Je jasné, že tyto transportní jevy jsou úzce svázaný s opuštěním předpokladu Maxwellovo rozdělení. 3.11 Chapman-Enskogův Rozvoj 3.11.1 Kolizní frekvence Srážkový integrál v Boltzmanově rovnici může být napsán ve tvaru J(/|/) = -/(u) JJdQa\u-u1\f(u1) + Jd3Ul Jdí)|u-Ul|/7í (582) Uvažujme následující výraz i/(u) = J ti3ui J dí)o-|u-ui|/(vi) . (583) Protože tento výraz je úměrný relativní rychlosti, účinnému průřezu a počtu nalétávajících částic daný funkcí /(ui) a následnou integrací přes Ui a Q můžeme tento výraz interpretovat jako počet srážek s částicí o rychlosti u, tedy můžeme ho nazvat Kolizní frekvencí Necht' napíšeme Boltymanovu rovnici ve tvaru D f d f Ftdf d f f m = m+md^ + ud? = If> (584) která nám definuje kolizní integrál-operátor J. Protože u (y) je srážková frekvence, její fyzikální rozměr je s-1, z čehož vyplývá, že oprátor I ma tu samou fyzikální dimenzi. Pak je užitečné napsat operátor I ve tvaru / = v0í (585) 115 kde I je nyní bezrozměrný operátor a kde z/0 Je konstanta o fyzikálním rozměru s_1. Pomocí této terminologie dostáváme Boltzmanovu rovnici ve tvaru = vjf ■ (586) Chapman-Enskogův rozvoj může být proveden v oblasti s velkými srážkovými frekvencemi, což ekvivalentně znamená v oblastech s malou střední volnou drahou. Explicitně, jestliže C je střední termální rychlost částic, pak je řejmé, že tato rychlost je dána jako podíl střední volné dráhy a doby mezi dvěma srážkami, což je převrácená hodnota srážkové frekvence, a tedy C~lv . (587) První krok k provedení této expanse je napsat Boltzmanovu rovnici ve tvaru = (588) kde f) F1 f) 2> = u~ + -~, (589) ox m ou a kde předpokládáme bezrozměrný malý parametr ě<1, kde si ale musíme uvědomit, že tento parametr byl zaveden pro korektně definovaný rozvoj s tím, že by měl být položen jedné na závěr této analýzy. Ve druhém kroku Champman-Enskogově rozvoji provedeme následující rozvoj f = f(0) + e/(l) + e2/(2) + _ _ (59Q) Normalizujeme funkci / takovým způsobem, aby splňovala n(x, t) = J cŕuf , n(x, í)v(x, í) = J cř3uu/ . 3 I TYL -n(x,í)A;BT(x,í) = J d3u-(u - v)2/ . (591) V Chapman-Eskogově rozvoji předpokládáme, že (n, v, T) jsou veličiny 0(1) řádu v expansi podle parametru e a tedy jsou dány f(°\ zatím co členy v 116 rozvoji vyšších řádu, f^\i > 0 odpovídají vyšším momentům v Q1 a v P'li n(x,í) = Jd3u/(0) , n(x,t)v(x,t) = Jd3uu/(0) , ^n(x,í)fcBT(x,í) = |d3u|(u-v)2/(0) , y ^u/^)=y d3u/(í)c=y ^u^c2=o, Qi = £e'GÍ0 = 5Eeí fďum(u-vUu-v)2f® , i i j (592) Jako další krok přistoupíme k rozvoji T> a kolizního integrálu J V f = Vf{Q) + eVf{1) + ... (593) a pro srážkový integrál jw) = ^(Eeř/(0iEen/(n)) = EEeí+nj(/(í)i/(n)) ■ í=0 n=0 č=0 n=0 (594) Ukazuje se, že je vhodné zavést tzv. uspořádaný operátor Í(s)(/(0),/(1),---,/(s)) = E E JU[l)\fin))- (595) n ř,n+ř=s Pomocí této veličiny můžeme přepsat (594) do tvaru Af,f) = J(/(0)|/(0)) + ^(1)(/(0)l/(1)) + (596) Například i(1)(/(0),/(1)) = J(ř0)\ř1}) + V f = -J(f\f) (/(o) + e/w + ...) + + eI)/ d0 di j(0)(f(0)\f(0))+ej(l)(f(0)\f(l) (1) (0) p(l) (603) Porovnáním koeficientů stejného řadu parametru e dostáváme 0 ŕ(0)(/(0)l/(0)) ; | + 2>) J(0) = J(1)(/(0),/(1)); ^. + T>] f{1) + —/(0) = J{2)(f{0), f{1), f{2y dt dť Vidíme, že rovnice nultého řádu má formu i(/(0)l/(0)) = o. (604) (605) Jak jsme již uvedli v předchozích kapitolách, řešením této rovnice je lokální Maxwellovské rozdělovači funkce, která může být definována pomocí následujících momentů n = [ ďV(0) , v = - [ á3uu/(°» , T = — í d3uc2f^ . (606) J n J 3nkB J 119 Explicitně, tato funkce má tvar /<°>(x„t)=n(x,t) m 2nkBT(x,t) 3/2 exp m(u — v(x, £)) 2fcBT(x,t) (607) Pomocí této rozdělovači funkce můžeme vypočítat teplotní kondukci a tensor PlJ', které jsou definovány jako m (ŕvLC^éf =m / cfucV/ (60Í tedy pro /(0) dostaneme (Q(0)y = o, (p(°))ý' = nkBTôij =pôij . (609) Vložením těchto výrazů do momentových rovnic dostaneme Eulerovy rovnice dn „, — + V(mi) = 0 9_ dt v • Vv m d_ dt v V 5/3 (610) Řešením těchto rovnic dostaneme explicitní veličiny n = n(x, t), v = v(x, í) a T = T (x, í) které, po vložení do (607) kompletně určují /(°). Každá následující iterace v Chapman-Enskogově rozvoji vede k více podrobnější skupině hydrodynamických rovnic, které více a více započítávají prostorové fluktuace v tektutině. Iterace nultého řádu dávají Eulerovy rovnice. Rovnice, které vzniknou pomocí iterací prvního řádu, vedou k Navíer-Stokesovým rovnicím. Iterace druhého řádu dávají Burnettovy rovnice. 120 3.11.3 Řešení prvního řádu Toto řešení odpovídá druhé rovnici v (604) '<9o lt + v)ř0) = j{1\ř0),f{1)) (en) Zavedeme funkci $ následujícím způsobem f(i) = $f(p) _ (612) Pak dostáváme J(1)(/(0),/(1)) = ^(/(0)l/(1)) + ^(/(1)l/(0)) = = jdmjdQalu - m|(<í>7'(0)/í(0) - /(0)A(0)$) + + Jduijdnviu - uxK/'W^/'W - $/(0)A(0)) = = J dm y díí Vidíme, že □ je lineární operátor, jak vyplývá z jeho definice. Dále díky explicitní formě lokálního Maxwellovského rozdělení dostáváme následující 121 výrazy, které vystupují na levé straně rovnice (615) 1 ďo/(0) /(°) dt 1 df® -u e2 /(°) <9x u n dt dt 1 dn r dv% -^- + 2f—+ U n ox ox 3\ 1 dfíT 2 J T dt 3\ ldT 2 J t <9x kde e 2 _ m(u — v)s (616) (617) 2kBT Poté s použitím rovnic, které vyjadřují časové derivace n a T dostáváme následující rovnici pro <3? 2kBT m 5 f^lnT + 2 I f f - ^2ľ3 ) <9^ (61í což je lineární nehomogenní integrální rovnice pro distribuci $. Jestliže budeme tuto rovnici řešit vzhledem k $, dostaneme / = /<°>(l + $) . (619) Obecné řešení rovnice (618) je lineární kombinací homogenní $>h a nehomogenního $j řešení, kde Ó$h = 0 (620) a kde $j je partikulární řešení (618). Když budeme blíže zkoumat strukturu operátoru □ vidíme, že jeho řešením může být dáno jako lineární kombinací srážkových integrálů §h = a + /3vi(í/ - v*) + ~'jm(ui - v^Ui - Ví) . (621) kde a,/3,7 jsou libovolné konstanty. Abychom našli partikulární řešení rovnice (618) uvažme, že její levá strana má tvar 2kBT m 1/2 cUnT + Yij(£)diVj . (622) 122 Protože □ je lineární operátor a $ je skalární funkce, předchozí výraz indukuje, že bychom měli hledat partikulární řešení ve formě $ť = ^^L^TAldt InT + ■2l'>''[í)i),cJ . (623) Jinými slovy, abychom našli nehomogenní řešení, musíme najít vektorovou funkci a% a tensorovou funkci bíj. Pak, vložením předpokládané řešení (623) a porovnáním různých koeficientů, které se vyskytují u V ln T a diVj dostáváme následující rovnice pro a% a pro bíj ůa* = e(e 2/ (624) Víme, že jediné proměnné, které vystupují v A1 jsou a T. Pak je jasné, že jediný vektor, který může být vytvořen z těchto proměnných, je samotný vektor £. Pak tedy budeme předpokládat, že a1 = a(e)€ ■ (625) Stejným způsobem můžeme argumentovat, že tensor má tvar & = b(e) (Ve - (626) Pak jasně dostaneme, že tyto funkce splňují integrálně diferenciální rovnice ô(?a) = e (V-j □ (5(e2)(re-^^2)) = (Ve-^' (627) Když se nyní vrátime k homogennímu řešení vidíme, že konstanty a, (3 a 7 jsou určeny podmínkami (592). Jinými slovy, jestliže vložíme /W = /(o)($fc + $.) (628) 123 do těchto podmínek, dostaneme ďufWlAffidi ln T + mft]m(? = 0 /l 1 d3uf(°\a + -mc27)-mc2 = 0 (629) Pak je zřejmé, že první rovnice v (629) dává a = 7 = 0 (630) zatím co druhá rovnice říká, že /3% je úměrné d{ InT a tedy může být zahrnuto do členu 9« InT. Pak je možné ukázat, že celkové řešení Boltzmanovy rovnice do prvního řádu má tvar / = f^[l + JC^A^\nT + 2B^dlvJ} m = fi0)[l + ^^4(0£flnT + 2B(0 (Ve - ±egV) díVj] . (631) kde A(£),B(£) jsou řešením rovnic (627). 3.11.4 Termální kondukce a tensor napětí S pomocí řešení Boltzmanovy rovnice do prvního řádu je možné určit odpovídající nenulové příspěvky ve vektoru teplotní kondukce Q% a P%K Tyto příspěvky dostaneme, když vložíme řešení Boltzmanovy rovnice do jejich definice a uvážíme, že lokální Maxwellovo rozdělení dává nulový příspěvek F1* = 2kBT í d3uCef = Sijp - P^1] , C = -^-{u - v)* . J 2kBT (632) 124 S použitím řešení Boltzmanovy rovnice do prvního řádu dostáváme q=(V^L f d3uf^A%) VT (633) 3 m a tedy dostáváme následující výsledek pro koeficient termální konduktivity 9 k2 T j d3uf°^A% . (634) 3 m Stejným způsobem postupujeme v případě tensoru napětí, kde dostáváme pij = 4fcs ^ _ ^gijdiv^j JďufWBVDBij . Když tedy definujeme koeficient napětí následujícím způsobem (635) Aij - pak porovnáním s (721) dostaneme 2 kBT J (ŕufB&Bij . (637) Vidíme, že transportní koeficienty závisejí na integrálelch před vazebný operátor □. Tyto výpočty jsou ve své podstatě velmi komplikované a požadují další matematické znalosti. Například, pro částice, které nemají žádnou vnitřní strukturu, dostáváme kde Au závisí na detailním popisu interakcí mezi částicemi. Na druhou stranu se ukazuje, že explicitní tvar tohoto parametru může být napsán ve formě integrace přes rozptylové parametry, kde pak dostáváme An = -4n2Q2'2 (639) kde v případě jednokomponentového plynu = ^IěL I I e-y2y2«+3(l - cosř 9)sdsdy . (640) 2 m Stejným způsobem budeme postupovat v případě koeficientu napětí a dostáváme 5 kBTn2 ^ = -o^5— > (641) kde se dá ukázat, že Bu = -4n2fi(2'2) . (642) 125 3.11.5 Srážkový integrál v prvním přiblížení-Alternativní postup Začneme s následujícím zobecněním rozdělovači funkce /(x,u,ŕ) = /(°)(x,y,ŕ)+í?(x,y,ŕ) , (643) kde g je malá porucha. Nyní uvažuje srážkový integrál C[f] = J d3Ul j oo. Z této rovnice je také jasný význam relaxační doby r, která může být interpretována jako parametr dané teorie. Ukážeme, že transportní jevy mohou být kvalitativně popsány pomoci BKG rovnice, ale s omezením, že hodnoty transportních koeficientů nejsou exatní. Důvod, proč tomu tak je, je ten, že Boltzmannův srážkový integrál ve skutečnosti závisí na 1/r oc (|ure;|), což je funkcí u a tudíž není konstantní. Na druhou stranu, i když hodnoty transportních koeficientů nejsou zcela přesné, tento model poskytuje jasné schéma a postup, jak mohou být tyto transportní koeficienty určeny. (648) 3.11.6 Odklon od Maxwellovského rozdělení Jako první krok určíme jak velký je odklod daného rozdělení od Maxwellovského. Pak KGB rovnice dává f-f(0) |u|/(°) \g\ u • V/ = ----— =h- —— ~ L t \g\ « J^I/(0) « A/(0) (650) kde L je charakteristická škála, na které se mění daný systém, a kde A je střední dráha mezi srážkami. Vidíme, že modifikace Maxwellovského rozdělení bude malá za předpokladu, když střední volná dráha mezi srážkami je mnohem menší než škála změny daného systému. Když zavedeme parametr a jako a = y (651) 127 můžeme psát rozdělovači funkci / ve formě Taylorovy řady podle parametru a f = f{0) + + «2/(2) + • • • (652) kde /« jsou veličiny, které nezávisí na parametru a a tedy stejného řádu. Jestliže vložíme tento rozvoj do BKG rovnice dostaneme rekurzivní relaci pro každý příspěvek Například v prvním řádu dostáváme 9 = af (i) dt m <9u Poznamenejme, že rozdělovači funkce /(°) má tvar /(0)=n(x,í) m 2nkBT(x,t) 3/2 exp m(u — v)2 2A;BT(x,í) a tedy <9/(°) dn <9/(°) <9T dfW dvi ~oT .0/(0) 9r <9n dt dT dt dv'1 ' tdndfW ,<9T<9/(°) tdv'dfW dx% dn dx'1 dT dx'1 dv1 (653) (654) (655) a s použitím (654) dostáváme u dt :df^ dxi 1 dn n dt 3m m -T H--c 2 2kBT2 \ 9T &Vmo_ » (0) (9í (9í A;BT ' 1 dn rj n dx'1 3 m 2\ (9T ^ dvl mci 2 + 2A;BT2C )~ďx~l+U dxi kBT /(O). (656) Dosadíme tyto pomocné výpočty do rovnice (653) dostaneme explicitní formu poruchy rozdělovači funkce ve tvaru 9 kde 1 dT Tdxi \2kBT m 5 m Ai,- cV c = -u — -u /<°> (657) (658) 128 3.11.7 Teplotní tok Našim cílem je vypočítat momenty pomocí funkce / = /(0) + g, kde n = J d3uf , nv = J d3uvf , 3nkTT = m J d3uu2f , (659) a také q\ P^. V případě q1 dostáváme Q1 = I d3wéc2g 2 dx'1 í d^c2 (^c2 - 5-) /(o) J 1 \2kBT 2jJ (660) Protože tento integrál má stejnou hodnotu pro všechna i = 1,2,3, můžeme ho nahradit jednou třetinou sumy přes i. Pak dostaneme q% = —KdjT , (661) kde Tento integrál může být explicitně zintegrován a dostáváme K = -rn^ľ ; (663) 2 m což je koeficinet termální kondukce. Jinými slovy odvodili jsme pomoci mikroskopické fyziky Fourierův zákon teplodní kondukce. 3.11.8 P tensor Uvažujme tensor P%\ který je definován jako »—l****t-***+*, (664) kde ntj = m d3clcjg = (665) -r^-Kkl í d3uc^(ckCl-\ôHc2)f^ . kBT J 3 129 Vidíme, že irn = O, jež vyplývá ze skutečnosti, že integrand je lichý pro i ^ j, zatím co pro k = j integrand výrazu v závorce je roven nule. Protože je tento tensor lineární funkcí A^-, můžeme psát 1 dvi -2fj,(Aij - 3TrA) = -2/i I Kj ~ (666) Vidíme, že tedy platí ttíjS^ = —2p(Aijô:'í — A^1) = 0. Koeficient —2p můžeme vypočítat například z tohoto výrazu 7Ti2 -2/iAi2 ,2 rm ^Akl J ďW2 (ckCl - yklc2) ™ (Ai2 + A21) J d3uc2c2/(°) = -2A12rnA;BT což dává ji = TTIKbT . (667) (668) 3.11.9 Momemtové rovnice prvního řádu Když nyní vyjádříme a q1 jako funkce n,T and v můžeme napsat momentové rovnice, které zahrnují transportní jevy. Jestliže vezmeme p jako konstantu, dostáváme dxt dp dxJ dp dxi dp dxi d 2"ä? Fl/m. Jinými slovy budeme psát intenzity pole místo síly pole. Poté dostáváme následující hydrodynamické rovnice (674) kde druhá rovnice je slavná Navier-Stokesova rovnice. 131 Závěrem shrneme postup, jakým způsobem jsme odvodili tyto rovnice. Našim základním předpokladem bylo to, že distribuční funkce má být chápána jako malá porucha od Maxwellovského rozdělení. Jinými slovy předpokládali jsme malý odklod od lokální statistické rovnováhy, kde je možné použít BGK rovnici. Ukázali jsme, že tento předpoklad platí, jestliže střední volná dráha je mnohem menší než škála, na které se mění makroskopické vlastnosti systému. Pak je také jasné, že hydrodynamické rovnice přestanou platit v okamžiku, kdy tato podmínka nebude splněna. Samozřejmě, že je možné psát dále momentové rovnice, když budeme vycházet z obecného Chapman-Enskogova rozvoje, ale obecně všechny členy v daném rozvoji budou stejného řádu a tudiž není možné provést zanedbání členů vyšších řádů. 132