Spojité deterministické modely I
Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR
prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost v rámci projektu
Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ.1.07/2.2.00/15.0203).
Text vznikal v podzimním semestru 2011 jako elektronický učební materiál k předmětu
M5858, který je inovován v rámci tohoto projektu. V letech 2012–13 byl text rozšiřován a
upravován.
Září 2013 Zdeněk Pospíšil
Obsah
Prolog 1
I Obyčejné diferenciální rovnice 11
1 Základní pojmy 13
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Vektorové a maticové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Elementární metody řešení 19
2.1 Exaktní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Rovnice typu x = f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Rovnice se separovanými proměnnými x = f(t)g(x) . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Homogenní rovnice x = f
x
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Rovnice typu x = f
at + bx + c
αt + βx + γ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Lineární rovnice x = a(t)x + b(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Bernoulliova rovnice x = a(t)x + b(t)xr, r ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci F(t, x, x ) = 0 (implicitní rovnice) . 23
2.9 Autonomní rovnice druhého řádu x = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10 Rovnice typuF(t, x(k), x(k+1), . . . , x(n)) = 0, k ∈ {1, . . . , n − 1} . . . . . . . . . 26
2.11 Autonomní rovnice typu F x, x , x , . . . , x(n) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.12 Rovnice homogenní v x, x , x , . . . , x(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.13 Ekvidimensionální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.14 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Obecné vlastnosti diferenciálních rovnic 29
3.1 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Globální vlastnosti řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Odhady řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Lineární rovnice 41
4.1 Systémy lineárních ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Homogenní lineární systém s konstantní maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
i
ii OBSAH
4.4 Eulerova a Riccatiho diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Autonomní systémy 61
5.1 Fázový prostor, trajektorie, stacionární body . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Autonomní systémy v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4 Konzervativní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
II Aplikace 85
6 Některé klasické elementární úlohy 87
6.1 Traktrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Ciolkovského rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Archimédova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Romeo a Julie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 „Psí křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.7 Udržitelný rybolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.8 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7 Makroekonomické modely 117
7.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 Goodwinův model hospodářského cyklu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8 Chemická kinetika 131
8.1 Základní reakce enzymů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2 Přibližné řešení transformované úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9 Model populace produkující škodlivé odpady 141
10 Lotkovy-Volterrovy systémy 147
10.1 Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické rovnice . . . 148
10.2 Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.3 Koloběh dusíku v planktonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.4 Dissipativita konkurenčních systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.5 Trofický řetězec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.6 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy) . . . . . . . . . . . . . 163
11 Modely konfliktů 165
11.1 Některé pojmy teorie her . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 Vyjádření hry pomocí systému diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . 168
OBSAH iii
Následující text nemůže být považován za základní zdroj nahrazující standardní učební
texty, z něhož by bylo možné se naučit problematice obyčejných diferenciálních rovnic a jejich
aplikací. Představuje pouze podrobnou osnovu předmětu M5858 nebo poznámky z přednášky;
sám o sobě bez komentářů během přednášky je málo srozumitelný až nesrozumitelný (aby byl
s komentáři srozumitelný, je mým přáním a bude mou snahou).
V současnosti se stále jedná o polotovar; určitě obsahuje i nějaké nedůslednosti, formulační
nedostatky, překlepy nebo dokonce chyby. Budu vděčný každému, kdo mě na ně upozorní.
Jako základní studijní k předmětu M5858 lze používat:
1. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001 (druhé vydání), 212
stran.
Teorie obyčejných diferenciálních rovnic probraná důkladněji, než je v sylabu předmětu
M5858.
2. J. Diblík, M. Růžičková: Obyčajné diferenciálne rovnice. EDIS, 2008.
Úvod do studia základů teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Podrobně jsou probírány
zejména lineární rovnice a systémy.
3. J. Kalas, Z. Pospíšil: Spojité modely v biologii. MU, Brno 2001, 265 stran.
Doplňky k teorii autonomních systémů, aplikace diferenciálních rovnic především v populační
dynamice a teorii šíření epidemií.
4. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1998, 96 stran.
Popis některých elementárních metod řešení explicitních obyčejných diferenciálních rov-
nic.
5. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, 29
stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Jako doplňující literaturu lze doporučit
• P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney,
1964.
Klasická monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic, je obsáhlejší než
skripta 4
• E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche
Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
iv OBSAH
• P. N. V. Tu; Dynamical Systems: An Introduction with Applications in Economics and
Biology. Springer, 1995.
Monografie o dynamických systémech (autonomní diferenciální a diferenční rovnice) s
aplikacemi.
• N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer, London-Berlin-Heidelberg-New
York-Hong Kong-Milan-Paris-Tokio, 2003 (second printing).
Učebnice deterministických modelů v biologii; první tři kapitoly obsahují aplikace probírané
v rámci předmětu M5858.
• G. Gandolfo: Economic Dynamic. Springer, 2010.
Obsahuje rozmanité matematické metody použitelné v dynamickou ekonomii, nejen diferenciální
rovnice.
• R. J. Barro, X. Sala-i-Martin: Economic growth. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts-London,
England, 1999.
Obsahuje aplikace obyčejných diferenciálních rovnic v ekonomii vykládané jiným způsobem
než v předchozí monografii.
Prolog
Nejprve se podíváme na několik zjednodušených modelů nějakých reálných procesů. Na nich
potom ukážeme, čím se tento text, a tedy předmět M5858, zabývá.
Samočištění jezera
Představme si jezero, do kterého přitéká a ze kterého odtéká voda tak, že se jeho objem
nemění. Přitom proudění je dostatečně rychlé, aby voda byla stále dokonale promíchaná.
Odpařování vody z jezera a déšť mají na množství vody v jezeře zanedbatelný vliv.
V jistém okamžiku se do jezera dostane nějaké znečištění. Znečisťující látka (polutant)
je ve vodě rozpustná nebo je tvořena malými částicemi, které mají zhruba stejnou hustotu
jako voda. Za takové situace se látka v jezeře rovnoměrně rozptýlí, její koncentrace bude
v každém okamžiku konstantní a postupně se z jezera odplaví. Chceme tento proces popsat
kvantitativně.
Označme V objem jezera a v rychlost přítoku a odtoku vody; objem V budeme vyjadřovat
v objemových jednotkách (např. m3), rychlost v v objemových jednotkách za jednotku času
(např. m3 / den). Předpokládejme, že na počátku, tj. v čase t = 0, se do jezera dostal polutant
o celkové hmotnosti m; vyjádříme ji v nějakých jednotkách hmotnosti (např. g).
Dále označme x(t) koncentraci polutantu v jezeře v čase t od okamžiku znečištění; koncentraci
budeme vyjadřovat v jednotkách hmotnosti na jednotku objemu vody (tedy např.
g / m3), čas vyjadřujeme ve stejných jednotkách, k nimž je vztažena rychlost v (tedy např. ve
dnech).
Chceme znát koncentraci polutantu v libovolném čase od vzniku znečištění, hledáme tedy
neznámou funkci x nezávisle proměnné t. Koncentrace polutantu na počátku procesu je rovna
x(0) =
m
V
. (1)
Zvolme časový interval tak krátký, že se během něho koncentrace polutantu prakticky nezmění.
Označme délku tohoto časového intervalu ∆t. Za čas ∆t od okamžiku t bude množství
polutantu v jezeře rovno V x(t+∆t). Toto množství se rovná množství polutantu, které, které
bylo v jezeře v čase t, tj. V x(t), zmenšené o množství, které za časový interval délky ∆t odteklo.
Za tento interval z jezera odteče voda o objemu v∆t a v něm bylo zhruba (v∆t)x(t)
polutantu. Celkem dostáváme
V x(t + ∆t) = V x(t) − vx(t)∆t, (2)
nebo po snadné úpravě
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
=
v
V
x(t).
1
2 OBSAH
Za předpokladu, že funkce x je diferencovatelná, můžeme v této rovnosti provést limitní
přechod ∆t → 0 a dostaneme
x (t) =
v
V
x(t). (3)
Hledaná funkce x tedy splňuje rovnici (3), v níž je vázána hodnota neznámé funkce a její
derivace. Dále funkce splňuje podmínku (1), v níž je dána hodnota funkce x na počátku
procesu. Nyní můžeme snadno přímým výpočtem ověřit, že funkce daná předpisem
x(t) =
m
V
e− v
V
t
splňuje rovnici (3) i podmínku (1). Je to klesající funkce, pro kterou platí
lim
t→∞
x(t) = 0.
Koncentrace znečisťující látky v jezeře tedy exponenciálně klesá; v libovolném čase od znečištění
je však polutant v jezeře stále přítomný.
Růst populace
Představme si populaci nějakých organismů. Všechny jedince budeme považovat za stejné; je
tedy přiměřenější si představovat bakterie než například obratlovce. Tyto organismy jednak
umírají, jednak dávají vznik novým jedincům. Velikost populace v nějakém okamžiku, na
počátku pozorování, považujeme za známou a budeme se snažit popsat, jak se její velikost
vyvíjí v průběhu času.
Označme tedy x(t) velikost populace v čase t. Tuto velikost můžeme vyjadřovat třeba
v počtu jedinců, v počtu jedinců vztaženém k jednotkové ploše nebo objemu živného média
(tedy jako populační hustotu) a podobně. Časová jednotka může být libovolná, je však vhodné
ji volit tak, aby byla menší než délka života jedince z uvažované populace, ale řádově s ní
srovnatelná. Zvolme nyní časový interval délky ∆t tak krátký, že jedinec, který během něho
vznikl (narodil se, oddělil se od jedince rodičovského), přežije jeho konec; dobu ∆t tedy
považujeme za mnohem kratší, než je doba života jedince. Velikost populace x(t + ∆t) za
časový interval délky ∆t od okamžiku t bude rovna velikosti populace v čase t zmenšené
o uhynulé jedince a zvětšené o jedince nově vzniklé.
Je přirozené předpokládat, že že množství uhynulých jedinců za jednotku času je úměrné
velikosti populace. Koeficient úměrnosti označíme d a nazveme ho úmrtnost (death rate).
Tento koeficient lze také interpretovat, jako klasickou pravděpodobnost, že jedinec během
jednotkového intervalu zemře; platí tedy 0 < d < 1. Za časový interval délky ∆t uhyne část
populace o velikosti dx(t)∆t.
Poněvadž všechny jedince považujeme za stejné, předpokládáme také, že každý jedinec
během jednotkového času vyprodukuje stejný počet potomků. To znamená, že množství nově
vzniklých jedinců za jednotku času je úměrné velikosti populace. Příslušný koeficient úměrnosti
označíme b a nazveme porodnost (birth rate). V živé populaci nějací noví jedinci vznikají,
proto je b > 0. Velikost části populace tvořené jedinci, kteří nově vznikli v časovém intervalu
délky ∆t, vyjádříme tedy součinem bx(t)∆t.
Provedenými úvahami jsme dospěli k rovnosti
x(t + ∆t) = x(t) + bx(t)∆t − dx(t)∆t,
OBSAH 3
kterou můžeme upravit na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= (b − d)x(t).
Budeme předpokládat, že funkce x je diferencovatelná. Tento předpoklad není realistický,
funkce x nabývá hodnot celočíselných (pokud je velikost populace vyjádřena v počtech jedinců)
nebo racionálních (pokud je velikost populace vyjádřena jako populační hustota). Pokud
je ale populace „dostatečně velká , lze diferencovatelnou funkci považovat za přijatelnou
aproximaci velikosti populace měnící se v čase. Za tohoto předpokladu v předchozí rovnosti
provedeme limitní přechod ∆t → 0 a dostaneme rovnici
x (t) = (b − d)x(t). (4)
Hledaná funkce tedy opět splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota její derivace.
Na počátku, v čase t = 0, můžeme velikost populace považovat za známou; označíme ji x0, tj.
x(0) = x0. (5)
Opět se snadno přímým výpočtem přesvědčíme, že funkce daná předpisem
x(t) = x0e(b−d)t
splňuje rovnici (4) i podmínku (5). Tato funkce je pro b > d (porodnost větší než úmrtnost)
rostoucí, pro b < d klesající a pro b = d konstantní. Dále platí
lim
t→∞
x(t) =



∞, b > d,
x0, b = d,
0, b < d.
To znamená, že v případě b > d velikost populace exponenciálně roste nade všechny meze1.
Pokud je b < d, populace vymírá a jedině v mezním případě b = d se velikost populace
nemění, zůstává (dynamicky) stálá.
Růst populace v omezeném prostředí
Model růstu populace (4) má v případě b > d (porodnost větší než úmrtnost) řešení, které
exponenciálně roste do nekonečna. To není v konečném světě možné, populace musí narazit na
nějaké „meze růstu . Tyto meze si však nemusíme představovat jako nějakou tvrdou hranici,
na kterou populace při svém růstu narazí. Spíše se jedná o vliv prostředí, o dostupnost zdrojů,
které v něm jsou a podobně. Růst populace se tomuto prostředí nějak přizpůsobuje.
Rovnice (4) přepíšeme ve tvaru
x (t)
x(t)
= b − d. (6)
Poněvadž derivace funkce x (velikosti populace) vyjadřuje její změnu, můžeme levou stranu
předchozí rovnosti interpretovat jako relativní změnu velikosti populace. A ta je rovna rozdílu
1
Tento výsledek zpopularizoval Thomas Malthus ve své slavné Eseji o principu populace z roku 1798.
Nezískal ho však předvedeným výpočtem, ale empiricky — vyhodnocením údajů o velikosti osídlení nových
území v Severní Americe.
4 OBSAH
porodnosti a úmrtnosti. V prostředí, které považujeme za neomezené, tj. v němž má každý
jedinec dostatek zdrojů pro svůj život a reprodukci, jsou porodnost i úmrtnost konstantní,
jedná se o vnitřní fyziologické charakteristiky populace.
V prostředí, v němž jsou některé zdroje vzácné, mohou porodnost i úmrtnost záviset na
dostupnosti těchto zdrojů. A dostupnost zdrojů závisí na velikosti populace — čím je populace
větší, tím je pravděpodobnost, že se jedinec dostane ke zdroji menší. Porodnost a úmrtnost
populace budou tedy záviset na její velikosti, b = b(x), d = d(x). Označme g(x) = b(x)−d(x).
Pak rovnice (6) přejde na tvar
x (t)
x(t)
= g x(t) ,
neboli
x (t) = x(t)g x(t) . (7)
Výraz g(x) vyjadřuje relativní přírůstek populace o velikosti x. Nazývá se růstový koeficient.
Je-li populace malá, zdrojů prostředí na jedince je dostatek a jedinec má dost energie pro
reprodukci; porodnost je tedy velká. Je-li populace velká, zdrojů na jedince je málo a ten
je proto schopen vyprodukovat jen málo potomků, pokud vůbec nějaké; porodnost je malá.
Navíc velká populace produkuje mnoho zplodin svého metabolismu, tyto odpadní produkty
bývají pro jedince toxické, proto je úmrtnost velká, může být i větší než porodnost. Z těchto
úvah můžeme učinit závěr, že růstový koeficient malé populace je malý, dokonce záporný.
Přesněji řečeno, funkce g definovaná na intervalu [0, ∞) by měla mít vlastnosti
g(0) = r > 0, lim
x→∞
g(x) < 0.
Budeme-li funkci g navíc považovat za spojitou a monotonní, bude existovat taková hodnota
K > 0, že g(K) = 0 a (x − K)g(x) < 0 (funkce g je na intervalu [0, K) kladná a na intervalu
(K, ∞) záporná).
Nejjednodušší funkce, která má tyto vlastnosti je funkce lineární
g(x) = r 1 −
x
K
.
Rovnice (7) tak získá konkrétní tvar
x (t) = rx(t) 1 −
x(t)
K
. (8)
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce x daná předpisem
x(t) =
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
vyhovuje rovnici (8) i podmínce (5). Pokud je x0 < 1
2K, pak funkce x v pravém okolí nuly
roste a je konvexní. V jistém čase t1 populace dosáhne velikosti 1
2K a její růst se zpomalí, tj.
funkce x bude na intervalu (t1, ∞) konkávní.
Pokud je x0 > K, pak funkce x je konvexní a klesající. V případě x0 = K je funkce x
konstantní. V každém případě platí
lim
t→∞
x(t) = lim
t→∞
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
= K;
velikost populace se v průběhu času ustálí na hodnotě K, pokud tuto hodnotu nemá již od
začátku. Veličinu K můžeme nazvat kapacita nebo úživnost prostředí.
OBSAH 5
Růst majetku
Představme si naivního člověka, který má nějaký majetek v penězích. Jeho naivita se projevuje
představou, že v bance se budou jeho peníze nějak samovolně množit, proto je uloží. Úrok
(podle reklamních materiálů výhodný) je stanovován podle aktuálního ceníku banky. Budeme
chtít popsat, jak se v průběhu času hodnota uvažovaného majetku mění.
Označme proto x = x(t) velikost majetku v čase t. Ta je vyjádřena v nějaké peněžní
jednotce, čas budeme udávat v rocích. Počáteční velikost majetku označíme x0, tedy
x(0) = x0. (9)
K uložené částce banka připisuje úrok. Jeho nominální velikost se mění, je určena aktuální
situací na trhu bankovních služeb a úrokovou sazbou centrální banky, tedy výkonností ekonomiky.
Reálná velikost úroku je oproti nominální menší o inflaci a bankovní poplatky. Označme
reálnou úrokovou míru v čase t symbolem p(t). Tato veličina bývá vyjádřena v procentech za
rok. Úroková míra se nemění plynule, k její změně dochází jen v určitých časových okamžicích.
Proto budeme funkci p nezávisle proměnné t považovat za funkci po částech konstantní. V bodech
skoku funkce r nemusí být definována, z technických důvodů ji však budeme definovat
tak, aby byla spojitá zprava v každém bodě svého definičního oboru, tj. intervalu [0, ∞).
Po uplynutí časového intervalu s levým krajním bodem t, který má délku ∆t tak malou,
že se v jeho průběhu úroková míra nezmění, bude hodnota majetku rovna její hodnotě na
začátku tohoto intervalu změněná o hodnotu reálného (nikoliv připsaného) úroku za tento
časový interval, tj.
x(t + ∆t) = x(t) +
p(t)
100
x(t)∆t.
Tuto rovnost upravíme na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= 1
100p(t)x(t)
a provedeme limitní přechod ∆t → 0. Dostaneme rovnici
x (t) = 1
100p(t)x(t), (10)
v níž je vázána hodnota derivace hledané funkce x a hodnota této funkce.
Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že funkce x splňující rovnici (10) a podmínku
(9) je dána výrazem
x(t) = x0e
1
100
t
0
p(τ)dτ
.
Ještě poznamenejme, že funkce po částech spojitá je integrabilní a tedy funkce x je zadána
korektně.
Z vyjádření majetku x v čase t od začátku (od uložení do banky) vidíme, že za tento čas
se majetek zvětší, resp. zmenší, pokud platí nerovnost
t
0
p(τ)dτ > 0, resp.
t
0
p(τ)dτ < 0,
tj. pokud nominální úroková míra je v průběhu času převážně větší, resp. menší, než inflace
a poplatky; v reálné ekonomice patrně nastane druhý případ.
6 OBSAH
Chladnutí kávy
V místnosti je pokojová teplota. Uvaříme si kávu a nalijeme ji do hrnku, nebo v hrnku zalijeme
mletou kávu vroucí vodou. Hrnek má tepelně izolované stěny i dno, neprobíhá přes ně žádná
výměna tepla. Hrnek nemá žádnou pokličku, hladina kávy není od okolního prostředí nijak
izolovaná. Za takové situace lze očekávat, že káva v hrnku bude chladnout. Navíc teplá káva (a
kapalina obecně) má menší hustotu, než chladná a to znamená, že ochlazená káva od hladiny
klesá a teplá káva ze dna stoupá k hladině. Tímto procesem se káva v hrnku promíchává,
takže její teplotu můžeme považovat za stejnou v celém objemu.
Chceme popsat vývoj teploty kávy v průběhu času. Za tímto účelem označíme x = x(t)
teplotu kávy v čase t; čas je vhodné uvádět v minutách, teplotu ve stupních Celsia. Teplotu
v místnosti označíme T a také ji budeme uvádět ve ◦C. Výměna tepla mezi kávou a prostředím
probíhá přes hladinu. Označíme její obsah S; můžeme ho vyjádřit v cm2.
Experimentálně byl ověřen Newtonův zákon chladnutí: zmenšení teploty za krátký časový
interval je úměrné rozdílu teplot, obsahu plochy přes kterou výměna tepla probíhá a času, po
který chladnutí probíhá. Příslušný koeficient označíme κ; při zvolených jednotkách bude mít
rozměr cm−2min−1. Označíme-li délku časového intervalu ∆t, bude mít tento zákon tvar
x(t + ∆t) − x(t) = κS x(t) − T ∆t.
Po vydělení výrazem ∆t a limitním přechodu ∆t → 0 dostaneme rovnici
x (t) = κS x(t) − T . (11)
Opět se jedná o rovnici vyjadřující vztah funkční hodnoty a derivace hledané funkce.
Na začátku děje byla káva vařící, její teplota byla 100◦C, tj.
x(0) = 100. (12)
Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že funkce daná předpisem
x(t) = T + (100 − T)e−κSt
vyhovuje rovnici (11) i podmínce (12). Jedná se o funkci, která exponenciálně klesá od hodnoty
100◦C k pokojové teplotě T. Teplota kávy se „velice rychle vyrovnává s teplotou místnosti,
v konečném čase ale až na tuto teploty neklesne.
Dynamika mezd a zaměstnanosti
Richard M. Goodwin sestavil ve druhé polovině šedesátých let minulého století matematický
model třídního boje. S použitím méně ideologické terminologie se jedná o model časového
vývoje mezd a zaměstnanosti, ve kterém lze pozorovat vznik hospodářských cyklů. Jeho podrobné
odvození bude uvedeno v 7.3, zde pouze naznačíme výsledek.
Jedna makroekonomická charakteristika, která v modelu vystupuje je relativní zaměstnanost
l (práce, labor) vyjádřená jako podíl zaměstnaných v celkovém množství práceschopného
obyvatelstva; jedná se tedy o bezrozměrnou veličinu. Druhá je průměrná mzda w (wage) vyjádřená
v peněžních jednotkách. Obě tyto veličiny se v čase mění, tedy l = l(t), w = w(t);
tyto funkce budeme považovat za diferencovatelné. Časová změna zaměstnanosti mezd je pak
vyjádřena jako derivace těchto funkcí.
OBSAH 7
Jedním „ekonomickým zákonem je skutečnost, že při vysoké mzdě (tj. při vysoké garantované
minimální mzdě) zaměstnanost klesá (zaměstnavatelům se nevyplatí zaměstnávat
drahé pracovníky); naopak, při nízké průměrné mzdě zaměstnanost roste. Odtud plyne, že
existuje nějaká „rovnovážná úroveň mezd, při níž se zaměstnanost nemění. Tuto myšlenku
vyjádříme přesněji.
Za „změnu zaměstnanosti budeme považovat relativní změnu zaměstnanosti l, tedy hodnotu
l (t)/l(t). Její pokles s růstem hladiny mezd budeme specifikovat zjednodušujícím předpokladem,
že tato hodnota závisí na průměrné mzdě lineárně, přičemž tato lineární funkce je
klesající, tedy
l (t)
l(t)
= γ − σw(t), (13)
kde γ a σ jsou kladné parametry; σ vyjadřuje „citlivost změny zaměstnanosti na růst mezd,
γ vyjadřuje relativní růst zaměstnanosti při hypoteticky nulové mzdě. Parametr γ má rozměr
1/čas, parametr σ má rozměr 1/(čas · peněžní jednotka), hodnota γ/σ je „rovnovážná
hladina mezd.
William Phillips na základě údajů o nominální mzdě a zaměstnanosti v Británii v letech
1861–1957 vypozoroval závislost změny průměrné mzdy na zaměstnanosti; tato závislost není
lineární, je vyjádřena známou Phillipsovou křivkou. S rostoucí zaměstnaností roste mzda (pokud
chce hospodář při téměř úplné zaměstnanosti najít mezi práceschopným obyvatelstvem
nějakého práceochotného, musí ho přeplatit), naopak při malé zaměstnanosti mzda klesá (mezi
hladovějícími nezaměstnanými jsou lidé ochotní pracovat za alespoň nějakou mzdu). Přesněji,
za změnu mzdy budeme považovat změnu relativní a vyjádříme ji rovností
w (t)
w(t)
= ϕ(l) − α, (14)
kde ϕ je rostoucí spojitá funkce definovaná na intervalu (0, 1), která má vlastnost
lim
l→0+
ϕ(l) < 0, lim
l→1−
ϕ(l) > 0;
limity připouštíme i nevlastní. Parametr α vyjadřuje hodnotu Phillipsovy křivky při „rovnovážné
úrovni mezd. Veličiny α i ϕ mají rozměr „čas−1 .
Rovnice (13) a (14) můžeme přepsat ve tvaru systému
l (t) = l(t) γ − σw(t) ,
w (t) = w(t) ϕ (l(t) − α ,
(15)
v němž jsou vzájemně provázány hodnoty derivace neznámých funkcí l, w a jejich funkční
hodnoty.
Zákon síly
Isaac Newton definoval sílu pomocí jejího účinku na pohyb tělesa, její velikost zavedl jako
součin hmotnosti tělesa a uděleného zrychlení. Tento postulát budeme precizovat pro velice
jednoduchou situaci. Místo tělesa si budeme představovat abstraktní „hmotný bod , tj. těleso
o stejné nenulové hmotnosti m ale o nulovém objemu. Dále si budeme představovat, že tento
hmotný bod se může pohybovat pouze po přímce. Tuto přímku prohlásíme za souřadnou
osu, tj. zvolíme na ní počátek a orientaci. Polohu hmotného bodu pak vyjádříme jako jeho
8 OBSAH
souřadnici x; přitom je x reálné číslo. Poněvadž hmotný bod se pohybuje, jeho poloha je
v každém okamžiku jiná, souřadnice závisí na čase, x = x(t). Rychlost pohybu je ve fyzice
definována jako relativní změna polohy vztažená k času. Změnu polohy za krátký časový
interval délky ∆t vyjádříme rozdílem x(t + ∆t) − x(t), tedy rychlost v uvažovaném časovém
intervalu je zhruba rovna
v(t) ≈
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 dostaneme přesně v(t) = x (t).
Zrychlení je analogicky definováno jako relativní změna rychlosti vzhledem k času, tedy
zrychlení v uvažovaném krátkém časovém intervalu je zhruba rovno
a(t) ≈
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 přesně a(t) = x (t).
Na hmotný bod působí síla F, která nemusí být stejná v každém místě. Její velikost tedy
závisí na poloze, tj. na souřadnici bodu, F = F(x) nebo podrobněji F = F x(t) . Postulovaný
vztah mezi hmotností m hmotného bodu, jeho zrychlením a a působící silou F je
F = ma,
se zahrnutím času
F x(t) = ma(t) = mx (t),
takže
x (t) =
1
m
F x(t) . (16)
Časově proměnná poloha bodu tedy splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota
její druhé derivace.
Shrnutí
Všechny matematické modely, které jsme výše sestavili, měly dvě společné vlastnosti:
• Ve všech jsme předpokládali, že čas plyne spojitě, je neomezeně dělitelný. Techničtěji
vyjádřeno, časový okamžik t je prvkem intervalem [0, ∞) ⊆ R a je možné provádět
limitní přechod ∆t → 0; přitom ∆t reprezentuje časový krok, délku krátkého časového
intervalu. Okamžik t = 0 v modelech označoval začátek procesu a v tomto okamžiku
většinou byl znám stav procesu (1), (5), (9), (12); výjimkou jsou poslední dva modely,
u kterých jsme však nenašli (ani nehledali) žádné řešení.
• Modelovaný proces byl vyjádřen nebo aproximován nějakou diferencovatelnou funkcí
času x = x(t) (v případě modelu změn mezd a zaměstnanosti dvojicí diferencovatelných
funkcí l = l(t), w = w(t)). Model představovala rovnice (nebo soustava rovnic) ve které
byla vázána hodnota derivace hledané funkce (hledaných funkcí) podle času v jednom
časovém okamžiku a její funkční hodnota v témže okamžiku; v modelech (3), (4), (7),
(8), (10), (11), (15) byla derivace první, v modelu (16) druhá.
OBSAH 9
Rovnice, v nichž vystupuje neznámá funkce jedné reálné proměnné a její derivace, se
nazývají diferenciální, podrobněji obyčejné diferenciální rovnice. Budou základním objektem,
kterým se budeme zabývat. Jak ukazuje ekonomický model (15) nevystačíme s jednou rovnicí,
a jak ukazuje fyzikální model (16) můžeme potřebovat i vyšší derivace, než první.
Název „diferenciální rovnice má původ v tradiční symbolice. Např. rovnici (2) můžeme
přepsat ve tvaru
V x(t + ∆t) − x(t) = −vx(t)∆t,
neboli
V ∆x(t) = −vx(t)∆t,
v níž vystupuje konečný přírůstek hledané funkce x a přírůstek nezávisle proměnné t. Pokud
přírůstky budeme považovat za infinitesimální, tj. za „nekonečně malé , poslední rovnice
dostane tvar
V dx(t) = −vx(t)dt,
což je rovnice, v níž vystupují diferenciály dx a dt hledané funkce a její nezávisle proměnné.
Ještě můžeme připomenout, že obyčejnou derivaci v tradiční symbolice zapisujeme
x (t) =
dx
dt
(t) nebo stručně x =
dx
dt
;
tento způsob zápisu je výhodný zejména v situacích, kdy ve formulích vystupuje hledaná
funkce x, nikoliv její funkční hodnota x(t) (což bude často), nezávisle proměnná v nich není
explicitně uvedena, a přitom potřebujeme nějak označit nezávisle proměnnou.
Máme-li diferenciální rovnici, chceme znát její řešení, nejlépe v explicitním tvaru. Pro
rovnice (3), (4), (8), (10) a (11) jsme takové řešení napsali. Hledání explicitních řešení diferenciálních
rovnic je věnována kapitola 2.
Řešení v explicitním tvaru však nelze nalézt vždy, u systémů rovnic jsou dokonce explicitní
řešení dosti vzácná. V takovém případě chceme alespoň znát, zda řešení dané nebo sestavené
rovnice existuje, zda je jediné nebo jich je víc, případně na jakém intervalu je řešení definováno.
Pokud rovnice má modelovat nějaký skutečný proces, nemůžeme znát úplně přesně hodnoty
všech parametrů rovnice, stav procesu na počátku a podobně. V takovém případě je dobré
vědět, zda drobná chyba v parametrech nebo počáteční podmínce řešení neznehodnotí. O této
problematice pojednává kapitola 3.
V obecném modelu růstu populace v omezeném prostředí (7) neznáme konkrétní tvar
pravé strany, postulujeme jen nějaké vlastnosti funkce g. Podobně u ekonomického modelu
(15) také neznáme přesný tvar pravé strany druhé rovnice, známe jen nějaké vlastnosti funkce
ϕ, která na ní vystupuje. A přesto potřebujeme i v těchto případech něco o průběhu řešení
vědět. Nelze očekávat, že z „neurčité rovnice získáme přesné kvantitativní informace, ale
můžeme se dozvědět alespoň nějaké vlastnosti řešení vyjádřené kvalitativně, např. zda je
funkce x rostoucí, klesající, ohraničená, má limitu v nevlastním bodě a podobně. Některé
základní poznatky z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic jsou uvedeny v kapitole 5.
Podívejme se ještě jednou na rovnice (3), (4), (10) a (11). Všechny čtyři lze zapsat v jednotném
tvaru
x (t) = a(t)x(t) + c(t); (17)
v rovnici (3) je funkce a(t) ≡ r/V , v rovnici (4) je a(t) ≡ b−d, v rovnici (10) je a(t) = 1
100 p(t) a
v rovnici (11) je a(t) ≡ κS, v rovnici (11) je c(t) ≡ κST, v rovnicích (3), (4) a (10) je c(t) ≡ 0.
Rovnice tvaru (17) se nazývají lineární. V rovnici (11) člen c(t) = κST vyjadřoval vliv
10 OBSAH
okolního prostředí na popisovaný proces (teplotu místnosti, v níž probíhá chladnutí kávy), ve
zbývajících modelech jsme žádné „okolí popisovaného procesu neuvažovali. Proto se lineární
rovnice s c ≡ 0 nazývají homogenní (stejnorodé; celý proces se „rodí z jednoho „zdroje , nic
ho neovlivňuje), rovnice s nenulovým členem c se nazývá nehomogenní.
Ve všech uvedených řešeních se vyskytovala přirozená exponenciální funkce. Později uvidíme,
že množina řešení lineární rovnice (nebo systému lineárních rovnic) má také „pěkné
algebraické vlastnosti — může tvořit konečněrozměrný vektorový prostor. Navíc se lineární
rovnice často vyskytují v aplikacích, nebo bývají prvním přiblížením se k modelu zkoumaného
procesu. Z těchto důvodů se lineárními rovnicemi zabývá samostatná kapitola 4.
Část I
Obyčejné diferenciální rovnice
11
Kapitola 1
Základní pojmy
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu
Převážně budeme pracovat s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, kterou označíme t.
Je-li x : R → R, budeme psát x = x(t) nebo x = x( · ). Obyčejnou derivaci funkce x v bodě t
(v čase t) značíme x (t) nebo jako podíl diferenciálů, tedy
x (t) =
dx(t)
dt
.
Zápis x =
dx
dt
označuje derivaci funkce x v obecném bodě. Můžeme tedy psát =
d
dt
a obecně
pro n-tou derivaci
x(n)
=
dnx
dtn
nebo stručně (n) =
dn
dtn
.
Diferenciální rovnice (podrobněji obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu) je rovnice,
v níž vystupuje neznámá funkce x = x(t), její první derivace x = x (t) a hodnota nezávisle
proměnné t, tedy
F(t, x, x ) = 0,
kde F je nějaká funkce tří proměnných. Řešením rovnice je funkce x, která ji splňuje; podrobněji
diferencovatelná funkce x definovaná na nějakém intervalu J, přičemž pro každé t ∈ J je
t, x(t), x (t) v definičním oboru funkce F a platí F t, x(t), x (t) = 0.
Uvedená rovnice se nazývá implicitní nebo nerozřešená vzhledem k derivaci. Pokud se
podaří derivaci x z rovnice vyjádřit, dostaneme explicitní rovnici nebo rovnici rozřešenou
vzhledem k derivaci.
Definice 1. Buď G ⊆ R2 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x = f(t, x) (1.1)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci.
Řešením této rovnice se rozumí diferencovatelná funkce x : J → R, kde J ⊆ R je interval,
která splňuje podmínky
t, x(t) ∈ G, x (t) = f t, x(t) pro každé t ∈ J.
Graf řešení rovnice (1.1) se nazývá integrální křivka.
13
14 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
Příklad: G = {(t, x) ∈ R2 : t > 0}, f(t, x) =
x
t
.
Funkce x(t) = kt, kde k ∈ R je řešením rovnice
x =
x
t
(1.2)
na intervalu J = (0, ∞).
Diferenciální rovnice může mít více řešení.
Definice 2. Nechť G, f mají stejný význam jako v definici 1 a nechť (t0, x0) ∈ G je libovolný
bod. Úloha najít řešení rovnice (1.1), které splňuje podmínku
x(t0) = x0 (1.3)
se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka (1.3) se nazývá počáteční nebo Cauchyova
podmínka.
Příklad: Nechť t0 > 0, x0 ∈ R. Funkce x(t) =
x0
t0
t je řešením úlohy
x =
x
t
, x(t0) = x0
na intervalu J = (0, ∞).
Definice 3. Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.1), (1.3) na intervalu J a ˜x = ˜x(t) je řešením
úlohy (1.1), (1.3) na intervalu ˜J, t0 ∈ J ∩ ˜J. Jestliže ˜J ⊆ J a pro každé t ∈ ˜J je x(t) = ˜x(t),
řekneme, že řešení x = x(t) je prodloužením řešení ˜x = ˜x(t) a že řešení ˜x = ˜x(t) je zúžením
řešení x = x(t). Jestliže řešení x = x(t) úlohy (1.1), (1.3) není zúžením žádného jiného řešení
této úlohy, řekneme, že x = x(t) je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy (1.1), (1.3).
V dalším budeme pod pojmem „řešení rozumět úplné řešení.
Příklad: Počáteční úloha
x = 3
3
√
x2, x(0) = 0 (1.4)
má více různých úplných řešení, např.
x(t) ≡ 0, x(t) = t3
, x(t) =
0, t < a
(t − a)3, t ≥ a
,
kde a ≥ 0 je libovolné číslo.
Definice 4. Buď g = g(t, C) funkce dvou proměnných. Řekneme, že g je obecným řešením
rovnice (1.1), jestliže ke každému (t0, x0) ∈ G existuje C0 ∈ R takové, že x = x(t) = g(t, C0)
je řešením úlohy (1.1), (1.3).
Řešení úlohy (1.1), (1.3) se nazývá partikulární řešení rovnice (1.1).
Proměnnou t funkce g v předchozí definici považujeme za nezávisle proměnnou reálné
funkce g( · , C) jedné reálné proměnné; proměnnou C považujeme za parametr.
Příklad:
x = Ct je obecným řešením rovnice (1.2).
Diferenciální rovnice v úloze (1.2) nemá obecné řešení.
1.2. VEKTOROVÉ A MATICOVÉ FUNKCE 15
1.1.1 Geometrická interpretace
Rovnice (1.1) přiřazuje každému bodu z G právě jednu hodnotu x = f(t, x), tedy každému
bodu (t0, x0) ∈ G lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě (t0, x0), tj.
přímky x − x0 = f(t0, x0)(t − t0). Tento vektor má souřadnice 1, f(t0, x0) . To znamená, že
rovnice (1.1) definuje na G vektorové pole1. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice (1.1).
Každá integrální křivka rovnice (1.1) je vektorovou čárou2 směrového pole. Směrové pole
tedy poskytuje představu o průběhu řešení rovnice (1.1).
Vrstevnice funkce f, (tj. křivky zadané rovnicí f(t, x) = c) se nazývají izokliny rovnice
(1.1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
1.2 Vektorové a maticové funkce
Reálný n-rozměrný vektor x je prvkem prostoru Rn. Složky (standardní souřadnice) vektoru
x budeme značit x1, x2, . . . , xn nebo (x)1, (x)2, . . . , (x)n.
Matice A o m řádcích a n sloupcích je prvkem prostoru Rmn. Její složku na i-tém řádku
a v j-tém sloupci budeme značit aij nebo (A)ij. Vektor z prostoru Rn budeme chápat jako
matici o n řádcích a jednom sloupci.
Je-li tedy x ∈ Rn a A ∈ Rmn, můžeme psát
x =





x1
x2
...
xn





, (x)i = xi, A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, (A)ij = aij, (Ax)i =
n
k=1
aikxk.
1.2.1 Normy vektorů a matic
Normu vektoru x =





x1
x2
...
xn





, podrobněji vektorovou 1-normu nebo součtovou normu definujeme
předpisem
||x|| = ||x||1 =
n
i=1
|xi|.
Normu matice A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, podrobněji maticovou 1-normu nebo součtovou
normu definujeme předpisem
||A|| = ||A||1 =
m
i=1
n
j=1
|aij|.
1
Vektorové pole na množině G je zobrazení ϕ množiny G do (konečně rozměrného reálného) vektorového
prostoru, tj. ϕ : G → Rn
; v našem případě je n = 2.
2
Vektorová čára vektorového pole ϕ : G → R2
je křivka v Rn
taková, že vektor ϕ(t, x) je tečným vektorem
k této křivce v bodě (t, x).
16 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
Na množině vektorů zavádíme metriku (x, y) = ||x − y||, na množině matic zavádíme metriku
(A, B) = ||A − B||. Jedná se o součtovou neboli taxíkářskou metrikou, sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iii.
• Platí: ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||. Této vlastnosti se říká, že maticová norma je souhlasná s vektorovou
normou.
Důkaz: Pro libovolné i, k ∈ {1, 2, . . . , n} je |aik| ≤
n
j=1
|aij|. Odtud plyne
||Ax|| =
m
i=1
|(Ax)1| =
m
i=1
n
k=1
aikxk ≤
m
i=1
n
k=1
|aik| |xk| =
=
n
k=1
|xk|
m
i=1
|aik| ≤
n
k=1

|xk|
m
i=1
n
j=1
|aij|

 =
n
k=1
|xk|


m
i=1
n
j=1
|aij|

 .
1.2.2 Spojitost, derivace a integrál vektorových a maticových funkcí
Vektorová funkce, podrobnněji n-vektorová funkce, x = x(t) je zobrazení x : R → Rn,
maticová funkce, podrobněji čtvercová n-rozměrná maticová funkce, A = A(t) je zobrazení
A : R → Rn2
,
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





.
Na množině R uvažujeme přirozenou metriku, na množině Rn, resp. Rn2
, uvažujeme příslušnou
součtovou metriku. Spojitost vektorové, resp. maticové, funkce chápeme jako spojitost
příslušného zobrazení metrických prostorů. Podrobněji: vektorová funkce x (resp. maticová
funkce A) je spojitá v bodě t0 svého definičního oboru, jestliže ke každému kladnému číslu
ε existuje kladné číslo δ tak, že pro všechna t z definičního oboru funkce x z nerovnosti
|t − t0| < δ plyne nerovnost ||x(t) − x(t0)|| < ε (resp. ||A(t) − A(t0)|| < ε). Vektorová (resp.
maticová) funkce je spojitá právě tehdy, když všechny její složky jsou spojité.
Limitu v bodě t0, derivaci v obecném bodě t a integrál v mezích od t do t0 vektorové,
resp. maticové, funkce definujeme vztahy (v uvedeném pořadí)
lim
t→t0
x(t)
i
= lim
t→t0
xi(t),
dx
dt
(t)
i
= x (t) 1
= xi(t) ,


t
t0
x(s)ds


i
=
t
t0
xi(s)ds,
lim
t→t0
A(t)
ij
= lim
t→t0
aij(t),
dA
dt
(t)
ij
= A (t) ij
= aij(t),


t
t0
A(s)ds


ij
=
t
t0
aij(s)ds.
1.3. SYSTÉMY DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC A ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 17
1.3 Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu
Definice 5. Buď G ⊆ Rn+1 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → Rn. Rovnice
x = f(t, x) (1.5)
se nazývá systém n obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo n-vektorová obyčejná
diferenciální rovnice prvního řádu.
Vektorovou rovnici můžeme rozepsat do složek
x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
xn = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
Počáteční podmínku k rovnici (1.5) zadáváme ve tvaru
x(t0) = x0 = (x0)1, (x0)2, . . . , (x0)n = x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0) . (1.6)
Pojmy řešení, obecné řešení, partikulární řešení, úplné řešení rovnice (1.5) jsou analogiemi
těchto pojmů z jednorozměrného případu. Obecné řešení závisí na n parametrech.
Definice 6. Buď G ⊆ Rn+1 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x(n)
= f t, x, x , x , . . . , x(n−1)
(1.7)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci.
Řešením této rovnice se rozumí n-krát diferencovatelná funkce x : J → R, kde J ⊆ R je
interval, která splňuje podmínky
t, x(t), x (t), x (t), . . . , x(n−1)
(t) ∈ G, x(n)
(t) = f t, x(t), x (t), x (t), . . . , x(n−1)
(t)
pro každé t ∈ J.
Počáteční (Cauchyovu) podmínku pro rovnici (1.7) zadáváme ve tvaru
x(t0) = x0, x (t0) = x0,1, x (t0) = x0,2, . . . , x(n−1)
(t0) = x0,n−1, (1.8)
kde (t0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n−1) ∈ G.
Úplné řešení, obecné řešení, partikulární řešení rovnice (1.7) definujeme analogicky jako
u rovnic prvního řádu. Obecné řešení závisí na n parametrech.
Tvrzení 1. Řešení počáteční úlohy (1.7), (1.8) je ekvivalentní s řešením počátečního problému
pro systém n diferenciálních rovnic prvního řádu:
x1 = x2
x2 = x3
...
xn−1 = xn
xn = f(t, x1, x2, . . . , xn)
(1.9)
18 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
x1(t0) = x0, x2(t0) = x2,0, . . . , xn(t0) = x0,n−1, (1.10)
v tomto smyslu: Je-li x = x(t) řešením úlohy (1.7), (1.8), pak n-tice funkcí x1 = x, x2 = x ,
x3 = x , . . . , xn = x(n−1) je řešením úlohy (1.9), (1.10) a je-li n-tice funkcí x1 = x1(t),
x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t) řešením úlohy (1.9), (1.10), pak je funkce x = x(t) = x1(t)
řešením úlohy (1.7), (1.8).
Kapitola 2
Elementární metody řešení
2.1 Exaktní rovnice
x =
f(t, x)
g(t, x)
, přičemž
∂f(t, x)
∂x
= −
∂g(t, x)
∂t
Tuto rovnici lze přepsat na tvar
dx
dt
=
f(t, x)
g(t, x)
, neboli
0 = f(t, x)dt − g(t, x)dx .
Za uvedených podmínek je f(t, x)dt − g(t, x)dx totálním diferenciálem nějaké funkce F dvou
proměnných (sr. např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU,
Brno 1999, kap. 4), přičemž platí dF(t, x) = 0. Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně
zadáno rovností F(t, x) = C, kde C je reálná konstanta.
2.2 Rovnice typu x = f(t)
Jedná se v podstatě o rovnost, jíž je definována primitivní funkce k dané funkci f. Obecné
řešení této rovnice tedy je
x(t) = f(t)dt
a partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.3) je
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ)dτ;
samozřejmě za předpokladu, že příslušná primitivní funkce nebo určitý integrál existují.
Příklady na užití rovnice tohoto typu jsou 6.1 a 6.2.
2.3 Rovnice se separovanými proměnnými x = f(t)g(x)
Tuto rovnici můžeme pomocí diferenciálů zapsat ve tvaru
dx
dt
= f(t)g(x).
19
20 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ
Za předpokladu g(x) = 0 můžeme rovnici formálně přepsat na tvar
dx
g(x)
= f(t)dt
a po integraci obou stran dostaneme
dx
g(x)
= f(t)dt. (2.1)
Touto rovností je implicitně zadáno nějaké řešení dané rovnice.
Rovností g(x) = 0 je implicitně zadáno singulární (konstantní) řešení. Poznamenejme, že
singulární řešení může, ale nemusí, být zahrnuto v řešení (2.1) pro nějakou volbu integrační
konstanty. Pokud je singulární řešení zahrnuto ve formuli (2.1), pak je rovností (2.1) implicitně
zadáno obecné řešení dané rovnice.
Rovností
x
x0
dξ
g(ξ)
=
t
t0
f(τ)dτ
je implicitně zadáno partikulární řešení dané rovnice, které splňuje počáteční podmínku (1.3)
takovou, že g(x0) = 0. Pokud g(x0) = 0, pak řešením dané rovnice s počáteční podmínkou
(1.3) je konstantní funkce x(t) ≡ x0.
Povšimněme si, že rovnici typu 2.2 bez hledané funkce na pravé straně lze považovat
za zvláštní případ rovnice se separovanými proměnnými pro g(x) ≡ 1. Jiným speciálním
případem rovnice se separovanými proměnnými je rovnice autonomní
x = g(x)
pro f(t) ≡ 1.
Příklad na užití rovnice se separovanými proměnnými je uveden v 6.5.
2.4 Homogenní rovnice x = f
x
t
Zavedeme funkci u = u(t) =
x(t)
t
. Pak x(t) = tu(t), x = u + tu . Dosazením do původní
rovnice dostaneme
u =
f(u) − u
t
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
Příkladem na užití homogenní rovnice je Archimédova úloha 6.3.
2.5 Rovnice typu x = f
at + bx + c
αt + βx + γ
1. c = γ = 0. Pak f
at + bx
αt + βx
= f
a + bx
t
α + β x
t
a daná rovnice je homogenní.
2.6. LINEÁRNÍ ROVNICE X = A(T)X + B(T) 21
2. c2 + γ2 = 0,
α
a
=
β
b
= k.
Zavedeme funkci u = u(t) = at + bx. Pak u = a + bx a tedy x =
u − a
b
. Dosazením
do původní rovnice dostaneme
u = a + bf
u + c
ku + γ
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
3. c2 + γ2 = 0, aβ = bα.
Nechť m a n jsou řešením soustavy lineárních algebraických rovnic
am + bn = −c
αm + βn = −γ .
Zavedeme funkce u = u(t) = t − m
v = v(t) = x − n.
Pak dt = du, dx = dv,
at+bx+c = a(u+m)+b(v +n)+c = au+bv +(am+bn)+c = au+bv,
αt+βx+γ = α(u+m)+β(v+n)+γ = αu+βv+(αm+bn)+γ = αu+βv
Daná rovnice přejde na tvar
dv
du
= f
au + bv
αu + βv
,
což je rovnice typu 1. pro neznámou funkci v = v(u).
2.6 Lineární rovnice x = a(t)x + b(t)
1. b(t) ≡ 0 (homogenní rovnice)
Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení počátečního problému
(s podmínkou (1.3)) je:
x
x0
dξ
ξ
=
t
t0
a(τ)dτ
ln x − ln x0 =
t
t0
a(τ)dτ
x = x0 exp
t
t0
a(τ)dτ
Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat
x = C exp
t
t0
a(τ)dτ .
22 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ
2. b(t) ≡ 0 (nehomogenní rovnice)
Řešení hledáme ve tvaru
x(t) = C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ
(metoda variace konstanty). Pak x = (C (t) + a(t)C(t)) exp
t
t0
a(τ)dτ. Dosazením do
dané rovnice dostaneme
C (t) + a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ = a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ + b(t)
C (t) = b(t) exp
t0
t
a(τ)dτ
C(t) − C(t0) =
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ
Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je
x(t) =

const +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ .
Partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.3) je
x(t) =

x0 +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ .
Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, pak
x(t) = x0 +
B
A
eA(t−t0)
−
B
A
.
Jiný postup při řešení nehomogenní rovnice:
x − a(t)x = b(t) / e− a(t)dt
x e− a(t)dt
− a(t)xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
d
dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
dt
x = e a(t)dt
b(t)e− a(t)dt
dt
Příklad na užití lineární rovnice je 6.6.
2.7. BERNOULLIOVA ROVNICE X = A(T)X + B(T)XR, R ∈ R 23
2.7 Bernoulliova rovnice x = a(t)x + b(t)xr
, r ∈ R
Zavedeme funkci u = u(t) = x(t)1−r. Pak x = u
1
1−r , x =
1
1 − r
u
1
1−r
−1
u . Dosadíme do dané
rovnice:
1
1 − r
u
r
1−r u = a(t)u
1
1−r + b(t)u
r
1−r / (1 − r)u
r
r−1
u = (1 − r)a(t)u + (1 − r)b(t) .
To je lineární rovnice pro neznámou funkci u.
Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, lze použít substituci
x = y −
B
A
− 1
r−1
.
pak
x = −
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1
−1
y
a tedy
−
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1
−1
y = A + B y −
B
A
−1
y −
B
A
− 1
r−1
−
1
r − 1
y = A + B
A
Ay − B
Ay − B
A
1
1 − r
y =
A2y − AB + AB
Ay − B
Ay − B
A
y = (1 − r)Ay,
což je lineární homogenní rovnice.
Příklad na užití Bernoulliovy rovnice je 6.6.
2.8 Rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci F(t, x, x ) = 0
(implicitní rovnice)
Zavedeme funkci p = p(t) = x (t).
1. Rovnice autonomní F(x, x ) = 0
Rovnicí F(x, p) = 0 může být implicitně zadána funkce p = p(x). Rovnici F(x, p(x)) = 0
derivujeme podle proměnné x:
∂F
∂x
(x, p) +
∂F
∂p
(x, p)
dp
dx
= 0
dp
dx
= −
∂F
∂x
(x, p)
∂F
∂p
(x, p)
,
24 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ
což je rovnice pro neznámou funkci p nezávisle proměnné x rozřešená vzhledem k derivaci.
Je-li p = p(x) řešením poslední rovnice, pak rovnice se separovanými proměnnými
x = p(x) je řešením původní rovnice; její obecné řešení je tedy implicitně zadáno rovnicí
dx
p(x)
= t + const .
2. Rovnice nezávisející na neznámé funkci F(t, x ) = 0.
Rovnici F(t, p) = 0 derivujeme podle proměnné t:
∂F
∂t
(t, p) +
∂F
∂p
(t, p)
dp
dt
= 0
dp
dt
= −
∂F
∂t
(t, p)
∂F
∂p
(t, p)
,
což je rovnice pro neznámou funkci p = p(t) rozřešená vzhledem k derivaci. Je-li p = p(t)
řešením poslední rovnice, je funkce x = x(t) = p(t)dt obecným řešením dané rovnice.
3. Clairautova rovnice x = tx + g(x ).
Rovnici x = tp + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = p + t
dp
dt
+ g (p)
dp
dt
0 = t + g (p)
dp
dt
Musí tedy být
dp
dt
= 0 nebo t = −g (p).
Z první rovnosti a dané rovnice dostaneme obecné řešení
x(t) = ct + g(c),
kde c ∈ R je libovolná konstanta; z druhé rovnice dostaneme parametrické vyjádření
singulárního řešení
t = −g (p)
x = −pg (p) + g(p) ,
kde p je parametr.
4. Lagrangeova rovnice x = tf(x ) + g(x ).
Rovnici x = tf(p) + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = f(p) + tf (p)
dp
dt
+ g (p)
dp
dt
p − f(p) = tf (p) + g (p)
dp
dt
2.9. AUTONOMNÍ ROVNICE DRUHÉHO ŘÁDU X = F(X) 25
Má-li rovnice p − f(p) = 0 řešení p ≡ c, pak x(t) = ct + c1 je singulárním řešením dané
rovnice. Konstantu c1 určíme dosazením do dané rovnice:
ct + c1 = tf(c) + g(c)
c1 = t f(c) − c + g(c)
a poněvadž f(c) = c, je c1 = g(c). Singulární řešení Lagrangeovy rovnice tedy je
x(t) = ct + g(c) ,
kde c je řešením rovnice c = f(c) (je pevným bodem funkce f).
Pro p = f(p) dostaneme
dt
dp
=
tf (p) + g (p)
p − f(p)
,
což je lineární rovnice pro neznámou funkci t nezávisle proměnné p. Označíme-li její
řešení t = t(p) = Φ(p), pak
t = Φ(p)
x = f(p)Φ(p) + g(p)
je parametrickým vyjádřením obecného řešení Lagrangeovy rovnice.
2.9 Autonomní rovnice druhého řádu x = f(x)
Rovnici vynásobíme 2x :
2x x = 2x f(x)
d
dt
x
2
= 2
dx
dt
f(x)
Položíme-li p = x , máme
d
dt
p2
= 2
dx
dt
f(x)
dp2
dx
dx
dt
= 2f(x)
dx
dt
dp2
dx
= 2f(x)
p2
= 2 f(x)dx .
Položíme dále F(x) = 2 f(x)dx a dostaneme
p = ± F(x)
dx
dt
= ± F(x) ,
což je rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými.
Příklad na použití rovnice tohoto typu je model expandujícího Vesmíru 6.8.
26 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ
2.10 Rovnice typu
F(t, x(k)
, x(k+1)
, . . ., x(n)
) = 0, k ∈ {1, . . ., n − 1}
Položíme y = y(t) = x(k)(t) a dostaneme rovnici
F t, y, y , y , . . . , y(n−k)
= 0 ,
což je rovnice řádu o k nižšího, než daná rovnice.
Řešením rovnice tohoto typu je například „psí křivka uvedená v 6.5.
2.11 Autonomní rovnice typu F x, x , x , . . ., x(n)
= 0
Položíme p = p(t) = x (t). Pak
x =
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
= p
dp
dx
x =
d
dt
p
dp
dx
=
d
dx
p
dp
dx
dx
dt
=
dp
dx
2
+ p
d2p
dx2
p .
Postupujeme-li tak dále, vidíme, že
x(k)
= fk p,
dp
dx
, . . . ,
dk−1p
dxk−1
pro každé k ∈ N. (fk je nějaká funkce k proměnných.) Dosazením do původní rovnice tedy
dostaneme
F x, p, p
dp
dx
, f3 p,
dp
dx
,
d2p
dx2
, . . . , fn p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1p
dxn−1
= 0 ,
neboli
G x, p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1p
dxn−1
= 0 ,
což je rovnice řádu o jedna nižšího, než daná rovnice.
2.12 Rovnice homogenní v x, x , x , . . . , x(n)
Nechť F je funkce n + 1 proměnných splňující podmínku
F(z0, cz1, cz2, . . . , czn) = cF(z0, z1, z2, . . . , zn) (*)
pro každé c ∈ R a každé (z0, z1, z2, . . . , zn) ∈ Dom F.
Řešení rovnice
F t, x, x , x . . . , x(n)
= 0
lze hledat ve tvaru x(t) = e y(t)dt, kde y = y(t) je nová neznámá funkce. Je totiž
x = ye y(t)dt
x = y e y(t)dt
+ y2
e y(t)dt
= (y + y2
)e y(t)dt
x = (y + 2yy )e y(t)dt
+ (y + y2
)y e y(t)dt
= (y + 3yy + y3
)e y(t)dt
...
2.13. EKVIDIMENSIONÁLNÍ ROVNICE 27
Dosadíme-li z těchto rovnic do dané rovnice, vypadne vzhledem k podmínce (*) faktor e y(t)dt
a dostaneme rovnici řádu o 1 nižšího, než byla daná rovnice.
2.13 Ekvidimensionální rovnice
Řekneme, že rovnice
F t, x, x , . . . , x(n)
= 0
je ekvidimensionální v nezávisle proměnné, jestliže změna měřítka nezávisle proměnné t → at
pro každé a ∈ R\{0} nezmění její tvar. Transformace t = eτ převede danou rovnici na rovnici
autonomní (typ 2.11).
2.14 Cvičení
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
1) 2t(2x − 3)dt + (t2 + 1)dx = 0 2)
dx
dt
= et−x
3) texdx +
t2 + 1
x
dt = 0 4)
√
1 + t2 dx +
√
x2 − 1 dt = 0
5) t2dx + (x2 − tx)dt = 0 6)
dt
dx
=
t + x
x − t
7) t sin
x
t
− x cos
x
t
dt + t cos
x
t
dx = 0 8) 2
dx
dt
− x = et/2
9) tdx + xdt = sin tdt 10) (t − 1)3x + 4(t − 1)2x = t + 1
11) e2xdt + 2(te2x − x)dx = 0 12) (x2 + 1)dt + (2tx + 1)dx = 0
13) (t + x)dt + (t + x2)dx = 0 14) tdx − xdt + t3dt = 0
15) (t2 + t − x)dt + tdx = 0 16) (cos t + x cos t)dt + dx = 0; x(π/2) = 0
17) x + 2x = t; x(0) = 2 18) (t + 2x)dt + (x + 2t)dx = 0; x(1) = 1
19) Určete konstanty a, b, c tak, aby rovnice (at2 +bx2)dt+ctx dx = 0 byla exaktní a vyřešte
ji.
20) Řešte počáteční úlohu pro implicitní rovnici druhého řádu
x x = t x
2
, x(1) = 1, x (1) = −1.
Výsledky:
1)x =
3
2
+
C
(t2 + 1)2
2)ex = et+C 3)ex(x−1)+
t2
2
+ln |t| = C 4)(x+
√
x2 − 1 )(t+
√
t2 + 1 ) = C
5)x =
t
ln |t| + C
6)
1
2
ln(t2 + x2) + arctg
x
t
= C 7)x = t arcsin
C
t
8)x =
t + C
2
et/2 9)x =
C − cos t
t
10)x =
t3 − 3t + C
3(t − 1)4
11)t =
x2 + C
2
e−2x 12)t =
C − x
x2 + 1
13)
t2
2
+ tx +
x3
3
= C
14)x = Ct −
t3
2
15)x = Ct − t2 − t ln |t| 16)x = e1−sin t − 1 17)x =
t
2
+
9
4
e−2t −
1
4
18)x =
√
3t2 + 6 − 2t 19)c = 2b;
at3
3
+ btx2 = C 20)x = exp 3
√
2 arctg
1 − t
3
√
2
28 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ
Kapitola 3
Obecné vlastnosti diferenciálních
rovnic
3.1 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR
V tomto oddílu se budeme zabývat počáteční úlohou (1.5), (1.6) pro vektorovou diferenciální
rovnici.
Lemma 1. Buď funkce f spojitá na G ⊆ Rn+1. Funkce x = x(t) je řešením úlohy (1.5),
(1.6) na intervalu J právě tehdy, když pro každé t ∈ J je t, x(t) ∈ G a
x(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (3.1)
Důkaz:
„⇒ Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.5), (1.6) na J. Pak
d
ds
x(s) = f s, x(s)
na J. Integrací této rovnosti podle s v mezích [t0, t] dostaneme:
[x(s)]t
s=t0
= x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds
a vzhledem k (1.6) funkce x = x(t) splňuje (3.1).
„⇐ Nechť funkce x = x(t) splňuje (3.1). Pak x(t0) = x0 +
t0
t0
f s, x(s) ds = x0, tedy je
splněna podmínka (1.6). Derivováním (3.1) podle t dostaneme (1.5).
Nechť C1(J) je množina (vektorových) funkcí x = x(t) diferencovatelných na uzavřeném
intervalu J takových, že x(t0) = x0. Na této množině zavedeme metriku
(x, y) = max{||x(t) − y(t)|| : t ∈ J}
29
30 KAPITOLA 3. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
(metrika stejnoměrné konvergence). Prostor C1(J), je úplný (sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iv a III.1.3.6.i). Dále definujme zobrazení F :
C1(J) → C1(J) předpisem:
F(x)(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (3.2)
Řešení úlohy (1.5), (1.6), tedy funkce, která splňuje integrální rovnici (3.1), je zřejmě pevným
bodem zobrazení F.
Podaří-li se tedy ukázat, že F je kontrakce úplného metrického prostoru C1(J), , z Banachovy
věty vyplyne, že existuje jediný pevný bod tohoto zobrazení, tedy že existuje jediné
diferencovatelné řešení úlohy (1.5), (1.6) (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU,
Brno 1996, IV.2. a V.1.).
Věta 1 (Picard (1856–1941)–Lindelöf (1870–1946)). Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈
Rn. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b}, (3.3)
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn je spojitá a vzhledem k x Lipschitzovská (tj. existuje L ∈ R
tak, že platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ L ||x − y|| pro všechna t ∈ ˜J, x, y ∈ D). Pak existuje právě
jedno řešení počátečního problému (1.5), (1.6) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Toto řešení je (stejnoměrnou) limitou posloupnosti funkcí {xn(t)}∞
n=0; tato posloupnost
je definována rekurentně vztahem
xk+1(t) = x0 +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, 3, . . .
Důkaz: Je-li funkce x diferencovatelná, pak je spojitá (sr. V. Novák: Diferenciální počet v
R. MU, Brno 1997, kap. V, věta 1.2). Proto je funkce y(t) = F(x)(t) diferencovatelná a pro
její derivaci platí y (t) = f t, x(t) (sr. V. Novák: Integrální počet v R. MU, Brno 2001, 2.4,
věta 4.2). To znamená, že zobrazení F definované vztahem (3.2) zobrazuje množinu C1(J)
do sebe. Buď K > L. Na C1(J) zavedeme metriku ∗ vztahem
∗
(x, y) = max e−K(t−t0)
||x(t) − y(t)|| : t ∈ J .
Tato metrika je na C1(J) ekvivalentní s metrikou stejnoměrné konvergence , neboť
e−Kδ
(x, y) ≤ ∗
(x, y) ≤ (x, y) .
Prostor C1(J), ∗ je tedy úplný.
Položme P = {x ∈ C1(J) : ||x(t) − x0|| ≤ b pro každé t ∈ J}. Poněvadž P je uzavřená
podmnožina množiny C1(J), je prostor (P, ∗) úplný (sr. sc Z. Došlá, O. Došlý: Metrické
prostory. MU, Brno 1996, III.1.3.3). Zobrazení F zobrazuje množinu P do sebe, neboť pro
každou funkci x ∈ P platí
F(x)(t) − x0
=
t
t0
f(s, x(s))ds ≤
t
t0
f s, x(s) ds ≤ (t − t0)m ≤ δm ≤ b .
3.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 31
Ukážeme, že F je kontrakcí prostoru (P, ∗): Pro každé t ∈ J platí
∗
F(x), F(y) ≤ e−K(t−t0)
||F(x)(t) − F(y)(t)|| =
= e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) ds −
t
t0
f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
L ||x(s) − y(s)|| ds =
= L
t
t0
e−K(t−s)
e−K(s−t0)
||x(s) − y(s)|| ds ≤
≤ L
t
t0
e−K(t−s) ∗
(x, y)ds =
= L ∗
(x, y)
1
K
e−K(t−s)
t
s=t0
=
=
L
K
∗
(x, y) 1 − e−K(t−t0)
≤
≤
L
K
∗
(x, y) .
Poněvadž L < K, je
L
K
< 1, což znamená, že F je kontrakce.
Poznámka 1. Posloupnost funkcí zavedená ve větě 1 se nazývá Picardova posloupnost postupných
aproximací.
Poznámka 2. Analogické tvrzení platí, nahradíme-li ve větě 1 interval ˜J = [t0, t0 + a] intervalem
[t0 − a, t0] nebo intervalem [t0 − a, t0 + a].
Poznámka 3. Má-li funkce
f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn na množině
˜J × D (zavedené rovností (3.3)), pak jsou předpoklady Picardovy-Lindelöfovy věty splněny.
Důkaz: Množina ˜J × D jakožto uzavřená a ohraničená podmnožina prostoru Rn+1 je
kompaktní (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU, Brno 1996, III.3.3.16). Z ohraničenosti
parciálních derivací funkce f plyne existence čísla
M = max
∂fi(t, x)
∂xj
: i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, (t, x) ∈ ˜J × D .
32 KAPITOLA 3. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Podle věty o střední hodnotě pro funkce více proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 3.4) pro všechna t ∈ ˜J a x =
(x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ D existují čísla ξk ležící mezi xk a yk, k = 1, 2, . . . , n
taková, že
||f(t, x) − f(t, y)|| =
n
i=1
|fi(t, x) − fi(t, y)| =
=
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn)(xk − yk) ≤
≤
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn) |xk − yk| ≤
≤
n
i=1
n
k=1
M|xk − yk| =
n
i=1
M ||x − y|| = nM ||x − y|| ,
takže funkce f je vzhledem k x Lipschitzovská s konstantou nM.
Důsledek 1. Má-li (vektorová) funkce
f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém
okolí bodu (t0, x0), pak počáteční problém (1.5), (1.6) má v okolí t0 jediné řešení.
Důsledek 2. Má-li (skalární) funkce f(t, x1, x2, . . . , xn) ohraničené parciální derivace podle
každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém okolí bodu (t0, x0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n), pak počáteční
problém (1.7), (1.8) má v okolí t0 jediné řešení.
Věta 2 (Peano 1890). Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈ Rn. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b},
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn je spojitá. Pak existuje alespoň jedno řešení počátečního
problému (1.5), (1.6) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 67–70.
3.2 Globální vlastnosti řešení systému ODR
Věta 3 (o existenci úplného řešení). Nechť funkce f : G → Rn je spojitá na otevřené množině
G ⊆ Rn+1. Je-li x = x(t) řešení rovnice (1.5), pak je toto řešení buď úplné, nebo existuje
úplné řešení y = y(t), které je prodloužením řešení x.
3.2. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 33
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 73–76.
Důkaz využívá věty 2.
Definice 7. Buď G ⊆ Rn+1. Řekneme, že funkce f : G → Rn je lokálně lipschitzovská v G
vzhledem k x, jestliže ke každému (τ, a) ∈ G existuje okolí Oτ,a ⊆ G a číslo Lτ,a ∈ R tak, že
pro všechna (t, x), (t, y) ∈ Oτ,a platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ Lτ,a ||x − y||.
Věta 4 (o globální jednoznačnosti). Nechť funkce f : G → Rn je spojitá a lokálně lipschitzovská
v G vzhledem k x a nechť funkce x = x(t), y = y(t) jsou dvě řešení rovnice (1.5).
Jestliže existuje t0 takové, že x(t0) = y(t0), pak x(t) = y(t) pro všechna t, v nichž jsou řešení
x, y definována.
Důkaz: Připusťme, že existuje b > t0 takové, že x(b) = y(b). Označme c = inf{t : x(t) = y(t)}.
Funkce x, y jsou spojité (poněvadž jsou diferencovatelné).
Ukážeme, že x(c) = y(c):
Připusťme, že x(c) = y(c). Položme ε = ||x(c) − y(c)||. Pak ε > 0
K
ε
4
> 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé t ∈ (c−δ, c) je ||y(t) − y(c)|| <
ε
4
a ||x(t) − x(c)|| <
ε
4
.
Poněvadž pro t ∈ (c − δ, c) je x(t) = y(t), platí pro t ∈ (c − δ, c) nerovnost
ε = ||x(c) − y(c)|| = ||x(c) − x(t) + y(t) − y(c)|| ≤ ||x(c) − x(t)||+||y(t) − y(c)|| ≤
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
,
což je spor, neboť ε > 0, a tedy x(c) = y(c).
Podle věty 1 nyní existuje α takové, že pro t ∈ [c, c + α] je x(t) = y(t), což je spor.
Analogicky vyloučíme možnost existence b < t0 takového, že x(b) = y(b).
Definice 8. Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.5) definované na intervalu (S, T), kde
−∞ ≤ S < T ≤ ∞.
Řekneme, že ξ ∈ Rn je
ω-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk < T pro všechna
k ∈ N, lim
k→∞
tk = T a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
α-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk > S pro všechna
k ∈ N, lim
k→∞
tk = S a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
limitní bod řešení x, jestliže je ω-limitním bodem nebo α-limitním bodem.
Množina všech ω-limitních bodů řešení x se nazývá ω-limitní množina řešení x, množina všech
α-limitních bodů řešení x se nazývá α-limitní množina řešení x, množina všech limitních bodů
řešení x se nazývá limitní množina řešení x.
Příklady:
1. x = eat je úplné řešení rovnice x = ax definované na intervalu (−∞, ∞). Je-li a > 0,
pak 0 je α-limitním bodem tohoto řešení a ω-limitní body toto řešení nemá. Je-li a < 0,
pak 0 je ω-limitním bodem tohoto řešení a α-limitní body toto řešení nemá. Je-li a = 0,
pak 1 je α- i ω-limitním bodem tohoto řešení.
2. x = sin
1
t
je úplné řešení rovnice x = −
1
t2
√
1 − x2 definované na intervalu (−∞, 0).
Interval [−1, 1] je ω-limitní množinou tohoto řešení.
34 KAPITOLA 3. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
3.
x
y
=
cos tg t
sin tg t
je úplné řešení soustavy rovnic
x
y
=



−
y
cos2 t
x
cos2 t


 definované na
intervalu −
π
2
,
π
2
. Limitní množina tohoto řešení je {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Věta 5. Nechť funkce f : G → Rn je spojitá na otevřené množině G ⊆ Rn+1 a x = x(t) je
úplné řešení rovnice (1.5) definované na intervalu (S, T). Pak platí:
T = ∞ nebo lim
t→T−
||x(t)|| = ∞ nebo každý ω-limitní bod řešení x leží na hranici G.
S = −∞ nebo lim
t→S+
||x(t)|| = ∞ nebo každý α-limitní bod řešení x leží na hranici G.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.5) definované na intervalu (S, T), T < ∞ a buď
ξ jeho ω-limitní bod. Kdyby (T, ξ) ∈ G, pak by existovalo okolí OT,ξ bodu (T, ξ) takové,
že OT,ξ ⊆ G, neboť G je otevřená. Podle věty 2 by existovalo řešení y = y(t) rovnice (1.5)
s počáteční podmínkou y(T) = ξ definované na [T, T +δ], kde δ je vhodné (malé) číslo. Funkce
z = z(t) =
x(t), S < t < T
y(t), T + δ
by byla řešením rovnice (1.5), které by bylo prodloužením řešení x, což by byl spor s úplností
řešení x.
Pro α-limitní bod se důkaz provede analogicky s využitím „levostranné varianty věty 2.
Důsledek 3. Nechť J = [t0, ∞), D = {x ∈ Rn : ||x|| < a}, kde t0 ∈ R a 0 < a ≤ ∞ a nechť
vektorová funkce f : J × D → Rn je spojitá. Pokud existuje spojitá funkce g : J → R taková,
že úplné řešení x = x(t) rovnice (1.5) definované na (S, T) splňuje pro každé t ∈ [t0, T)
podmínku ||x(t)|| ≤ g(t) < a, pak T = ∞.
Důsledek 4. Nechť J = [t0, ∞) a funkce f : J × Rn → Rn je spojitá. Jestliže existuje m ∈ R
takové, že pro každé (t, x) ∈ J ×Rn → Rn platí ||f(t, x)|| ≤ m, pak každé úplné řešení rovnice
(1.5) je definováno pro všechna t ≥ t0.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.5). Podle lemma 1 je
x(t) = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds .
Pro každé t, pro něž je x(t) definováno, platí
||x(t)|| = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds ≤ ||x(t0)|| +
t
t0
||f(s, x(s))|| ds ≤ ||x(t0)|| + m(t − t0) .
Tvrzení tedy plyne z důsledku 3, položíme-li g(t) = ||x(t0)|| + m(t − t0).
Toto tvrzení umožňuje rozhodnout, zda lze každé řešení rovnice (1.5) prodloužit do nekonečna,
aniž bychom toto řešení znali.
3.2. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 35
Věta 6. Buď Ω ⊆ Rn+1 otevřená množina a nechť pro každé k = 1, 2, . . . je vektorová funkce
fk : Ω → Rn spojitá a (tk, ξk) ∈ Ω. Označme xk = xk(t) úplné řešení počátečního problému
x = fk(t, x), x(tk) = ξk.
Jestliže posloupnost funkcí {fk}∞
k=1 konverguje k funkci f∞ : Ω → Rn stejnoměrně na každé
kompaktní podmnožině K ⊆ Ω, posloupnost bodů {(tk, ξk)}∞
k=1 konverguje k bodu (t∞, ξ∞) a
počáteční úloha
x = f∞(t, x), x(t∞) = ξ∞
má jediné úplné řešení x∞ = x∞(t) definované na intervalu J, pak posloupnost funkcí
{xk}∞
k=1 konverguje k funkci x∞ stejnoměrně na každém intervalu [a, b] ⊆ J.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 80–82.
Příklad (Matematické kyvadlo)
Matematické kyvadlo je hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na
nehmotném vlákně délky r na který působí pouze gravitační síla.
Lze ho realizovat jako kuličku zavěšenou na niti, přičemž průměr
kuličky je zanedbatelný vzhledem k délce niti a hmotnost niti je
zanedbatelná vzhledem k hmotnosti kuličky.
Zavedeme souřadný systém podle obrázku tak, že vodorovná osa
x směřuje zleva doprava a svislá osa y směřuje shora dolů a kyvadlo je
zavěšeno v počátku souřadnic. Označme ϕ = ϕ(t) výchylku kyvadla
od rovnovážné polohy v čase t. Poloha hmotného bodu v čase t je
dána souřadnicemi
x = x(t) = r sin ϕ(t), y = y(t) = r cos ϕ(t).
r
h
y
x
ϕ
Vektor rychlosti hmotného bodu je derivací jeho polohy podle času, velikost v = v(t)
rychlosti v čase t je euklidovskou délkou tohoto vektoru, tj.
v(t)
2
=
dx(t)
dt
2
+
dy(t)
dt
2
= rϕ (t) cos ϕ(t)
2
+ − rϕ (t) sin ϕ(t)
2
= rϕ (t)
2
.
Výška h = h(t) hmotného bodu nad rovnovážnou polohou y = r v čase t je rovna
h(t) = r − y(t) = r 1 − cos ϕ(t) .
Podle zákona zachování energie je součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu
konstantní, tj.
1
2
m v(t)
2
+ mgh(t) = const;
přitom g
.
= 6,674 m3kg−1s−2 je gravitační konstanta. Do předchozí rovnosti dosadíme vypočítané
v a h a dělíme ji konstantou r. Dostaneme
1
2
r ϕ (t)
2
+ g 1 − cos ϕ(t) = const.
36 KAPITOLA 3. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
0 2 4 6 8 10 12
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
t
ϕ
0 2 4 6 8 10 12
−1
0
1
2
t
ϕ k=1 k=2 k=3 k = ∞
Obrázek 3.1: Řešení úloh (3.8) pro k ∈ {1, 2, 3} a řešení úlohy (3.6), tj. úlohy (3.8) pro k = ∞.
Počáteční podmínky jsou ϕ0 = 1
20π (nahoře) a ϕ0 = 1
2 π (dole).
Tuto rovnost derivujeme podle času
rϕ (t)ϕ (t) + gϕ (t) sin ϕ(t) = 0,
a upravíme
ϕ (t) rϕ (t) + g sin ϕ(t) = 0.
Dostáváme tedy dvě diferenciální rovnice pro časově proměnnou výchylku kyvadla ϕ = ϕ(t):
ϕ = 0, ϕ = −
g
r
sin ϕ(t). (3.4)
Nechť na začátku procesu je výchylka hmotného bodu rovna úhlu ϕ0 = 0 a jeho rychlost, tj.
změna výchylky, je nulová (kuličku vychýlíme a pustíme). Dostáváme tak počáteční podmínky
ϕ(0) = ϕ0, ϕ (0) = 0. (3.5)
Řešení první z rovnic (3.4) s počáteční podmínkou (3.5) je konstantní funkce ϕ(t) ≡ ϕ0.
Toto řešení není fyzikálně realistické, neboť hmotný bod pod vlivem gravitační nemůže zůstat
vychýlený z rovnovážné polohy a nepohybovat se.
Dosavadními úvahami dostáváme model pohybu matematického kyvadla jako počáteční
úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu
ϕ = −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ϕ (0) = 0,
3.2. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 37
kterou můžeme podle tvrzení 1 v 1.3 přepsat jako počáteční úlohu pro systém dvou rovnic
prvního řádu
ϕ = ψ,
ψ = −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(3.6)
Tuto počáteční úlohu neumíme vyřešit explicitně. Funkci sinus však můžeme vyjádřit jako
stejnoměrně konvergentní Maclaurinovu řadu
sin ϕ =
∞
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
.
Označme nyní x =
ϕ
ψ
. Pro k = 1, 2, . . . zavedeme vektorové funkce fk a body (tk, ξk)
následujícími formulemi
fk(t, x) = fk(ϕ, ψ) =




ψ
−
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!



 , tk = 0, ξk =
ϕ0
0
.
Funkce fk a body (tk, ξk) splňují předpoklady věty 6 s Ω = R3. Úloha
x = f∞(t, x), x(0) = x(t∞) = ξ∞ =
ϕ0
0
(3.7)
je totožná s úlohou (3.6). Poněvadž všechny parciální derivace
∂ f∞ 1
∂ϕ
=
∂ψ
∂ϕ
= 0,
∂ f∞ 1
∂ψ
=
∂ψ
∂ψ
= 1,
∂ f∞ 2
∂ϕ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ϕ
= −
g
r
cos ϕ,
∂ f∞ 2
∂ψ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ψ
= 0
jsou ohraničené, je podle poznámky 3 úloha (3.7) jednoznačně řešitelná. To znamená, že řešení
úlohy (3.6) je stejnoměrnou limitou řešení úloh
ϕ = ψ,
ψ = −
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(3.8)
Na obrázku 3.1 je první složka řešení (výchylka kyvadla ϕ) několika těchto úloh; nahoře pro
počáteční hodnotu ϕ0 = 1
20 π, dole pro ϕ0 = 1
2π. Vidíme, že v případě malé počáteční výchylky
již první člen posloupnosti dostatečně přesně aproximuje řešení úlohy (3.6). V případě
velké počáteční výchylky, dokonce maximální možné, je řešení úlohy (3.6) dostatečně přesně
aproximováno třetím členem posloupnosti řešení úloh (3.8).
Malé kmity matematického kyvadla lze tedy modelovat systémem rovnic
ϕ = ψ, ψ = −
g
r
ϕ,
který je ekvivalentní s rovnicí druhého řádu ϕ +
g
r
ϕ = 0.
38 KAPITOLA 3. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Věta 7 (o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech). Buď Ω otevřená
množina v R1+n+m a nechť spojitá vektorová funkce g : Ω → Rn je taková, že pro
všechna τ ∈ R, ξ ∈ Rn, λ ∈ Rm splňující podmínku (τ, ξ, λ) ∈ Ω, má počáteční problém
x = g(t, x, λ), x(τ) = ξ
právě jedno úplné řešení x = x(t) = x(t; τ, ξ, λ). Pak toto řešení, chápané jako zobrazení
R1+1+n+m
→ Rn
,
je spojité.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 82–83.
Tato věta říká, že změní-li se málo funkce f v rovnici (1.5) a málo se změní počáteční
podmínka (1.6), pak se řešení nového — změněného — problému liší na konečném intervalu
málo od řešení původního problému.
3.3 Odhady řešení
Definice 9. Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.3) se nazývá maximální řešení, jestliže pro
každé řešení x = x(t) této úlohy platí x(t) ≤ x∗(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení
definována.
Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.3) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení
x = x(t) této úlohy platí x∗(t) ≤ x(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení definována.
Příklad
Uvažujme počáteční úlohu
x =
3
√
x2, x(0) = 0. (3.9)
Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí
x(t) ≡ 0, x(t) =
0, t < a,
(t − a)3, t ≥ a,
x(t) =
(t + a)3, t < −a,
0, t ≥ −a,
,
x(t) =



(t + b)3, t < −b,
0, −b ≤ t ≤ a,
(t − a)3, t ≥ a,
kde a, b jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení
úlohy (3.9) tedy jsou funkce
x∗(t) =
t3, t < 0,
0, t ≥ 0,
x∗
(t) =
0, t < 0,
t3, t ≥ 0;
řešení je znázorněno na obrázku 3.2 a).
3.3. ODHADY ŘEŠENÍ 39
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
a) b)
t
x∗(t)
x∗
(t) x(t)
t
u(t) v(t)
x(t)
Obrázek 3.2: a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy (3.9). b) Odhady řešení x =
x(t) úlohy (3.10) s hodnotami t0 = x0 = 0.
Věta 8 (srovnávací). Nechť t0 ∈ R, 0 < a ≤ ∞, J = [t0, ∞), G = {(t, x) ∈ Rn+1 : t ∈
J, ||x|| < a}. Nechť dále f : G → Rn je spojitá funkce a g : J × [0, a) → [0, ∞) je spojitá
funkce taková, že ||f(t, x)|| ≤ g (t, ||x||) pro (t, x) ∈ G. Buď u0 ≥ ||x0|| a u∗ = u∗(t) maximální
řešení úlohy
u = g(t, u), u(t0) = u0
na intervalu J.
Pak každé úplné řešení úlohy (1.5), (1.6) je definováno pro všechna t ∈ J a platí
||x(t)|| ≤ u∗
(t) pro t ∈ J .
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.
Příklad
Najdeme odhad řešení počátečního problému
x =
t + x
1 + x2
, x(t0) = x0 (3.10)
na intervalu [t0, ∞).
Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné x s jedním parametrem
t. Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této
funkce; konkrétně, pro každé t ∈ R platí
t −
√
t2 + 1
2
≤
t + x
1 + x2
≤
t +
√
t2 + 1
2
.
Odtud plyne že
t + x
1 + x2
≤ 1
2 t +
√
t2 + 1 . Počáteční úloha
u =
t +
√
t2 + 1
2
, u(t0) = |x0|
má podle 2.2 jediné řešení
u(t) = |x0| +
1
4
t2
+ t t2 + 1 − t2
0 − t0 t2
0 + 1 + ln
t +
√
t2 + 1
t0 + t2
0 + 1
40 KAPITOLA 3. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
a podle srovnávací věty 8 platí |x(t)| ≤ u(t) pro všechna t ≥ t0.
Řešení úlohy (3.10) pro t0 ≥ 0 lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž
platí
t + x
1 + x2
=
|t + x|
1 + x2
≤
t + |x|
1 + x2
≤ t + |x|.
Jediné řešení počáteční úlohy
v = v + t, v(t0) = |x0|
pro nehomogenní lineární rovnici je podle 2.6 rovno
v(t) = |x0| + t0 + 1 et−t0
− t − 1
a podle srovnávací věty 8 platí |x(t)| ≤ v(t) pro všechna t ≥ t0 ≥ 0.
Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů u, v řešení úlohy
(3.10) byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 3.2 b).
Důsledek 5. Nechť symboly t0, a, J, G mají stejný význam jako ve větě 8. Nechť funkce
f : G → Rn je spojitá a nechť existuje spojitá funkce ϕ : J → [0, ∞) taková, že
||f(t, x)|| ≤ ϕ(t) ||x|| pro (t, x) ∈ G.
Pak pro každé x0 ∈ Rn takové, že
||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ < a pro všechna t ∈ J,
jsou úplná řešení úlohy (1.5), (1.6) definována na celém intervalu J a platí
||x(t)|| ≤ ||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ pro t ∈ J.
Důkaz plyne z věty 8 volbou g(t, u) = ϕ(t)u, u0 = ||x0||.
Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy u = ϕ(t)u, u(t0) = u0 je podle 2.6
u(t) = u0 exp
t
t0
ϕ(τ)dτ.
Kapitola 4
Lineární rovnice
4.1 Systémy lineárních ODR
Nechť a11,, a12, . . . , a1,n, a21, a22, . . . , a2n, . . . , an1, an2, . . . , ann, b1, b2, . . . , bn jsou funkce definované
na intervalu J ⊆ R. Systém n lineárních obyčejných diferenciálních rovnic (nrozměrný
lineární systém) je tvaru
x1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . . + a1n(t)xn + b1(t)
x2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . . + a2n(t)xn + b2(t)
...
...
...
...
...
...
xn = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . . + ann(t)xn + bn(t)
Při označení
A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





, b(t) =





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





, x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





lze tento systém zapsat ve vektorovém tvaru
x = A(t)x + b(t). (4.1)
Tuto rovnici nazýváme nehomogenní lineární rovnice. Spolu s rovnicí (4.1) budeme uvažovat
počáteční podmínku
x(t0) = x0. (4.2)
Rovnici
x = A(t)x (4.3)
nazýváme lineární homogenní rovnicí přidruženou k rovnici (4.1).
Věta 9 (o existenci a jednoznačnosti řešení). Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová
funkce b = b(t) jsou spojité na intervalu J ⊆ R. Pak má počáteční problém (4.1), (4.2) právě
jedno řešení, které existuje na celém intervalu J.
41
42 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Důkaz: Vzhledem k větám 1 a 4 stačí ukázat, že ke každému τ ∈ J existuje okolí Oτ ⊆ J
takové, že funkce A(t)x + b(t) je Lipschitzovská vzhledem k x na Rn × Oτ .
Je-li τ vnitřní bod intervalu J, existuje a ∈ R, a > 0 takové, že [τ − a, τ + a] ⊆ J.
Položme Lτ = max{||A(t)|| : t ∈ [τ −a, τ +a]} (toto maximum existuje podle druhé Weierstrassovy
věty) a Oτ = (τ − a, τ + a). Podle 1.2.1 je maticová norma souhlasná s vektorovou
normou a z toho plyne, že pro každé t ∈ Oτ a každé dva vektory x, y ∈ Rn platí nerovost
A(t)x + b(t) − A(t)y + b(t) = ||A(t)x − A(t)y|| = ||A(t)(x − y)|| ≤ ||A(t)|| ||x − y|| ≤
≤ Lτ ||x − y|| .
Je-li τ pravý krajní bod intervalu J, položíme
Lτ = max {||A(t)|| : τ − a ≤ t ≤ τ} , Oτ = (τ − a, τ]
a provedeme analogickou úvahu.
Pro levý krajní bod intervalu J provedeme důkaz podobně.
Věta 10 (princip superpozice). Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení rovnice (4.3), pak také
c1x(t) + c2y(t), kde c1, c2 jsou konstanty, je řešením rovnice (4.3).
Důkaz:
d
dt
(c1x + c2y) = c1x + c2y = c1A(t)x + c2A(t)y = A(t)(c1x) + A(t)(c2y) =
= A(t)(c1x + c2y).
4.1.1 Struktura řešení lineární homogenní rovnice
Množina všech n-vektorových funkcí definovaných a diferencovatelných na intervalu J tvoří
vektorový prostor nad polem reálných čísel; sčítání vektorů je definováno jako sčítání funkcí,
násobení skalárem je definováno jako násobení funkce reálným číslem,
y1 + y2 (t) = y1(t) + y2(t), αy (t) = αy(t),
nulový vektor v tomto prostoru je konstantní funkce y(t) ≡ o, kde o označuje nulový vektor
v prostoru Rn. Podle principu superpozice (věta 10) je množina všech řešení lineární homogenní
rovnice (4.3) podprostorem tohoto prostoru, neboť y(t) ≡ o je řešením této rovnice;
nazýváme ho triviální řešení.
Řekneme, že funkce y1, y2, . . . , yk z vektorového prostoru diferencovatelných n-vektorových
funkcí definovaných na intervalu J jsou lineárně nezávislé, pokud jsou lineárně nezávislé
jakožto vektory, tj. pokud z rovnosti
c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = o, pro všechna t ∈ J (4.4)
plyne rovnost c1 = c2 = · · · = ck = 0.
Lemma 2. Nechť maticová funkce A = A(t) je spojitá na intervalu J a y1, y2, . . . , yk jsou
řešení homogenní rovnice (4.3). Jestliže existuje t0 ∈ J takové, že vektory
y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn
jsou lineárně nezávislé, pak vektory
y1(t), y2(t), . . . , yk(t) ∈ Rn
jsou lineárně nezávislé pro každé t ∈ J.
4.1. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ODR 43
Důkaz: Připusťme, že existuje t1 ∈ J takové, že vektory y1(t1), y2(t1), . . . , yk(t1) jsou závislé.
Pak existují konstanty c1, c2, . . . , ck, z nichž aspoň jedna je nenulová a platí
o = c1y1(t1) + c2y2(t1) + · · · + ckyk(t1).
Funkce x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) je podle principu superpozice (věta 10)
řešením lineární homogenní rovnice (4.3) s počáteční podmínkou x(t1) = o. Avšak řešením
této úlohy je konstantní funkce x(t) ≡ o a podle věty 9 je toto řešení jediné. To znamená, že
funkce y1, y2, . . . , yk splňují podmínku (4.4) a proto také platí c1 = c2 = · · · = ck = 0, což je
spor.
Z tohoto tvrzení plyne: Jsou-li funkce y1, y2, . . . , yk řešením homogenní rovnice (4.3) se
spojitou maticí A a s počátečními podmínkami takovými, že vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0)
z prostoru Rn jsou lineárně nezávislé, pak jsou funkce y1, y2, . . . , yk lineárně nezávislé.
Ve vektorovém prostoru Rn existuje právě n lineárně nezávislých vektorů, které tvoří jeho
bázi. Z Lemma 1 tedy dále plyne, že i v prostoru všech řešení homogenní rovnice (4.3) se
spojitou maticí A existuje n lineárně nezávislých funkcí y1, y2, . . . , yn.
Lemma 3. Nechť maticová funkce A = A(t) je spojitá na intervalu J a y1, y2, . . . , yn jsou
lineárně nezávislá řešení homogenní rovnice (4.3). Pak libovolné řešení homogenní rovnice
(4.3) je lineární kombinací funkcí y1, y2, . . . , yn, tj. tyto funkce tvoří bázi prostoru řešení
rovnice (4.3).
Důkaz: Nechť x = x(t) je řešení počáteční úlohy (4.3), (4.2). Vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0)
tvoří bázi vektorového prostoru Rn a proto existují konstanty c1, c2, . . . , cn takové, že
x(t0) = c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + cnyn(t0).
Podle principu superpozice (věta 10) je vektorová funkce x = c1y1 +c2y2 +· · ·+cnyn řešením
rovnice (4.3). Toto řešení splňuje počáteční podmínku (4.2). Podle věty 9 je tento problém
jednoznačně řešitelný, takže x = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn.
Odvodili jsme tak následující větu a jsme oprávněni zavést následující definici.
Věta 11. Je-li maticová funkce A = A(t), A : J → Rn2
spojitá, pak množina všech řešení
rovnice (4.3) tvoří n-rozměrný vektorový prostor.
Definice 10. Libovolná báze prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice (4.3) se nazývá
fundamentální systém řešení rovnice (4.3).
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (4.3). Obecné řešení této rovnice je jejich lineární kombinace
x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t).
Označme yj,i = yj,i(t) = yj(t) i
,
Y = Y(t) = y1(t), y2(t), . . . , yn(t) =






y1,1(t) y1,2(t) . . . y1,n(t)
y2,1(t) y2,2(t) . . . y2,n(t)
...
...
...
...
yn,1(t) yn,2(t) . . . yn,n(t)






, c =





c1
c2
...
cn





.
44 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Matice Y = Y(t) se nazývá fundamentální matice řešení systému (4.3). Z lineární nezávislosti
vektorových funkcí y1, y2, . . . , yn plyne, že sloupce fundamentální matice Y jsou lineárně
nezávislé pro každé t ∈ J. To znamená, že matice Y(t) je regulární, det Y(t) = 0 pro každé
t ∈ J.
Obecné řešení rovnice (4.3) lze nyní zapsat ve tvaru
x = x(t) = Y(t)c.
Symbolem c0 označme n-tici konstant takových, že funkce x = x(t) = Y(t)c0 je řešením
počátečního problému (4.3), (4.2). Z rovnosti x0 = Y(t0)c0 pak plyne, že c0 = Y(t0)−1x0.
Řešení počáteční úlohy (4.3), (4.2) tedy můžeme psát ve tvaru
x(t) = Y(t)Y(t0)−1
x0.
Pro fundamentální matici Y = Y(t) řešení systému (4.3) zřejmě platí Y (t) = A(t)Y(t).
Fundamentální matici řešení systému (4.1) tedy můžeme definovat jako regulární maticovou
funkci, která je řešením maticové diferenciální rovnice
Y = A(t)Y. (4.5)
Věta 12. Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová funkce b = b(t) jsou spojité na
intervalu J ⊆ R. Pak obecné řešení x = x(t) vektorové rovnice (4.1) je součtem obecného
řešení přidružené homogenní rovnice (4.3) a nějakého partikulárního řešení nehomogenní
rovnice (4.1),
x(t) = Y(t)c + ˜x(t),
kde Y(t) je fundamentální matice řešení rovnice (4.3) a ˜x(t) je libovolné řešení rovnice (4.1).
Řešení počátečního problému (4.1), (4.2) je dáno vztahem
x(t) = Y(t)c0 + ˜x(t),
kde pro konstantní vektor c0 platí c0 = Y(t0)−1 x0 − ˜x(t0) .
Důkaz: Funkce x(t) = Y(t)c + ˜x(t) je řešením rovnice (4.1), neboť podle (4.5) platí
x = Y c + ˜x = AYc + A˜x + b = A(Yc + ˜x) + b.
Dále platí Y(t0)c0 + ˜x(t0) = Y(t0)Y(t0)−1 x0 − ˜x(t0) + ˜x(t0) = x0.
4.1.2 Nalezení partikulárního řešení nehomogenní rovnice (4.1) — metoda
variace konstant
Řešení rovnice (4.1) hledáme ve tvaru ˜x = ˜x(t) = Y(t)c(t), kde c = c(t) je nějaká vektorová
funkce. Pak s využitím rovnosti (4.5) dostaneme
˜x = Y c + Yc = AYc + Yc
˜x = A˜x + b = AYc + b
4.1. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ODR 45
Odtud
A(t)Y(t)c(t) + Y(t)c (t) = A(t)Y(t)c(t) + b(t)
Y(t)c (t) = b(t) (4.6)
c (t) = Y(t)−1
b(t)
c(t) = η +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds ,
kde η = c(t0) je konstantní vektor.
Obecné řešení rovnice (4.1) je tedy dáno formulí
x(t) = Y(t)

η +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds

 = Y(t)η +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds .
Aby toto řešení splňovalo počáteční podmínku (4.2), musí platit x0 = Y(t0)η, tj. η =
Y(t0)−1x0. Řešení počátečního problému (4.1), (4.2) je tedy tvaru
x(t) = Y(t)

Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds

 = Y(t)Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds .
4.1.3 Převedení systému lineárních diferenciálních rovnic na rovnici vyššího
řádu
Uvažujme systém dvou rovnic
x = a(t)x+b(t)y+c(t),
y = α(t)x+β(t)y+γ(t);
(4.7)
o funkcích a, b, c, α, β, γ předpokládáme, že jsou definovány na nějakém intervalu J a jsou
na něm diferencovatelné. V případě, že existuje t0 ∈ J takové, že b(t0) = 0, je funkce b na
nějakém podintervalu I intervalu J nenulová. Pro t ∈ I z první rovnice vyjádříme druhou
složku
y =
1
b
x − ax − c (4.8)
a dosadíme ji do druhé rovnice:
y = αx +
β
b
x − ax − c + γ. (4.9)
První z rovnic (4.7) zderivujeme
x = a x + ax + b y + by + c ,
za y dosadíme (4.8) a za y dosadíme (4.9). Dostaneme
x = a x + ax +
b
b
x − ax − c + bαx + β x − ax − c + bγ + c =
= a + β +
b
b
x − aβ − bα +
ab − a b
b
x + bγ + c − cβ −
cb
b
.
46 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
První složka řešení systému (4.7) je tedy na intervalu I řešením rovnice druhého řádu
x − a + β +
b
b
x + aβ − bα +
ab − a b
b
x = bγ + c − cβ −
cb
b
,
jeho druhá složka je pak dána rovností (4.8).
V případě konstantních funkcí a, b, α, β a funkcí c, γ identicky rovných nule (homogenního
systému s konstantní maticí), dostaneme rovnici
x − (a + β)x + (aβ − bα)x = 0. (4.10)
Povšimněme si, že charakteristický polynom konstantní matice A =
a b
α β
je
det
a − λ b
α β − λ
= λ2
− (a + β)λ + aβ − bα = λ2
− (tr A)λ + det A,
jeho koeficienty jsou tedy shodné s koeficienty na levé straně rovnice (4.10).
Analogicky lze postupovat u systémů n rovnic.
4.2 Homogenní lineární systém s konstantní maticí
Uvažujme vektorovou rovnici
x = Ax. (4.11)
Konstantní maticová funkce A je definována na celé množině R. To podle věty 9 znamená,
že řešení rovnice (4.11) existuje, je definováno na intervalu J = (−∞, ∞) a pro libovolnou
počáteční podmínku (4.2) je řešení jediné.
4.2.1 Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací
Řešení rovnice (4.11) s počáteční podmínkou (4.2) budeme hledat jako limitu Picardovy
posloupnosti postupných aproximací. Členy této posloupnosti jsou podle věty 1 rekurentně
dány formulemi
xk+1(t) = x0 +
t
t0
Axk(s)ds = x0 + A
t
t0
xk(s)ds.
Obecný člen posloupnosti je
xk(t) = E + (t − t0)A +
(t − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(t − t0)k
k!
Ak
x0,
kde E označuje jednotkovou matici. Toto tvrzení ověříme úplnou indukcí. Pro k = 0 máme
x0(t) =
(t − t0)0
0!
A0
x0 = Ex0 = x0
4.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 47
a z platnosti formule pro k plyne
xk+1(t) = x0 + A
t
t0
E + (s − t0)A +
(s − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(s − t0)k
k!
Ak
x0ds =
= x0 +


t
t0
ds

Ax0 +


t
t0
(s − t0)ds

 A2
x0 + · · · +

 1
k!
t
t0
(s − t0)k
ds

 Ak
x0 =
= E + (t − t0)A +
1
2
(t − t0)2
A2
+
1
3!
(t − t0)3
A3
+ · · · +
1
(k + 1)!
(t − t0)k+1
Ak+1
x0.
Pokud bychom A považovali za konstantu a E za jedničku (tj. pro n = 1), je výraz v závorce
k-tým částečným součtem Taylorovy řady funkce eA(t−t0). Řešení úlohy
x = Ax, x(t0) = x0
lze proto zapsat ve tvaru x(t) = eA(t−t0)x0. Matice eA(t−t0) je dána nekonečnou řadou
eA(t−t0)
=
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Ak
.
Lze ukázat, že tato řada konverguje pro každé t ∈ R a tato konvergence je stejnoměrná.
4.2.2 Obecné řešení
Řešení rovnice (4.11) budeme hledat ve tvaru x(t) = ξeλt, kde ξ ∈ Rn je konstantní vektor a
λ je zatím neznámé číslo. Hodnota λ musí splňovat rovnosti
x (t) = ξλeλt
, Ax = Aξeλt
,
takže vzhledem k tomu, že eλt = 0, musí platit
Aξ = λξ.
To znamená, že λ je vlastní hodnotou matice A a ξ je příslušný vlastní vektor.
Nyní rozlišíme tři případy:
(i) Jsou-li λ1, λ2 různé vlastní hodnoty matice A a ξ1, ξ2 jsou příslušné vlastní vektory,
pak ξ1eλ1t, ξ2eλ2t jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (4.11).
Důkaz: Tvrzení plyne z předchozího výpočtu a faktu, že vlastní vektory příslušné k různým
vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
(ii) Je-li λ vlastní hodnota matice A, ξ příslušný vlastní vektor, přičemž λ je k-násobným
kořenem charakteristického polynomu det(A − λE), pak funkce
ξeλt
, η1,0eλt
+ η1,1teλt
, . . . , ηk−1,0eλt
+ ηk−1,1teλt
+ · · · + ηk−1,k−1tk−1
eλt
jsou pro vhodné vektory
η1,0, η1,1, . . . , ηk−1,0, ηk−1,1, . . . , ηk−1,k−1
48 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
řešením rovnice (4.11).
Důkaz ukážeme pro k = 2. V případě vyšší násobnosti kořene charakteristické rovnice
lze postupovat analogicky.
Nechť λ je dvojnásobný kořen charakteristického polynomu. Buď B = B(s) diferencovatelná
(a tedy spojitá) maticová funkce definovaná na okolí nuly taková, že B(0) = A, λ
je pro každé s z definičního oboru funkce B jednoduchým kořenem charakteristického
polynomu matice B(s) a existuje jednoduchý kořen µ(s) = λ charakteristického polynomu,
pro nějž platí lim
s→0
µ(s) = λ. (Matici A nepatrně porušíme tak, aby se dvojnásobný
kořen rozdělil na dva různé jednoduché.)
Označme ζµ(s) (resp. ζλ(s)) vlastní vektor matice B(s) příslušný k vlastní hodnotě µ(s)
(resp. λ). Z diferencovatelnosti funkce B plyne podle věty o diferencovatelnosti implicitně
zadané funkce (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných.
MU, Brno 1999, 8.1) diferencovatelnost funkcí ζµ a ζλ, zejména tedy existence limit
lim
s→0
ζλ(s) = ζλ,0, lim
s→0
ζµ(s) = ζµ,0.
Rovnice x = B(s)x má podle předchozí úvahy řešení ζλ(s)eλt a ζµ(s)eµ(s)t a podle
principu superpozice 10 také řešení
ζλ(s)eλt − ζµ(s)eµ(s)t
λ − µ(s)
.
Poněvadž lim
s→0
B(s) = A, plyne z věty 7 o spojité závislosti řešení na parametrech, že
rovnice (4.11) má řešení
lim
s→0
ζλ(s)eλt − ζµ(s)eµ(s)t
λ − µ(s)
= lim
s→0
ζλ(s)eλt − ζµ(s)eµ(s)t − ζµ(s)tµ (s)eµ(s)t
−µ (s)
=
=
ζλ,0 − ζµ,0
−µ (0)
+ ζµ(0)t eλt
;
při výpočtu limity bylo využito de l’Hôpitalovo pravidlo. Označíme-li nyní
η1,0 =
ζµ,0 − ζλ,0
µ (0)
, η1,1 = ζµ(0),
dostaneme tvrzení.
(iii) Má-li rovnice (4.11) komplexní řešení x(t) = α(t)+iβ(t), kde α a β jsou reálné vektorové
funkce, a řešení x je lineárně nezávislé na libovolném nenulovém reálném řešení této
rovnice, pak α a β jsou lineárně nezávislými reálnými řešeními rovnice (4.11).
Důkaz: Platí
α (t) + iβ (t) = α(t) + iβ(t) = A α(t) + iβ(t) = Aα(t) + iAβ(t).
Porovnáním reálných a imaginárních částí této rovnosti dostaneme, že funkce α a β
jsou řešeními rovnice (4.11).
Kdyby vektorové funkce α a β byly lineárně závislé, tj. α = cβ, pak by α + iβ =
(c + i)β a řešení α + iβ by bylo násobkem reálného nenulového řešení β. To by byl spor
s předpokladem tvrzení.
4.3. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 49
4.3 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu
Jedná se o rovnici tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ an−2(t)x(n−2)
+ · · · + a1(t)x + a0(t)x = f(t) , (4.12)
kde funkce an−1, an−2, . . . , a1, a0, f jsou definované na nějakém intervalu J ⊆ R.
Je-li f(t) ≡ 0, rovnice se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Rovnice
x(n)
+ an−1(t)xn−1
+ an−2(t)xn−2
+ · · · + a1(t)x + a0(t)x = 0 (4.13)
se nazývá přidružená homogenní rovnice k rovnici (4.12).
Spolu s rovnicí (4.12) uvažujeme počáteční podmínky
x(t0) = x0, x (t0) = x0,1, . . . , x(n−1)
(t0) = x0,n−1 . (4.14)
Podle tvrzení 1 je rovnice (4.12) ekvivalentní s vektorovou rovnicí (se systémem rovnic)
x1 = x2,
x2 = x3,
...
xn−1 = xn,
xn = −an−1(t)xn − an−2(t)xn−1 − · · · − a1(t)x2 − a0(t)x1 + f(t),
tj.







x1
x2
x3
...
xn−1







=







0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−a0(t) −a1(t) −a2(t) . . . −an−1(t)














x1
x2
x3
...
xn−1







+







0
0
0
...
f(t)







. (4.15)
Počáteční podmínky k vektorové rovnici (4.15) jsou tvaru
x1(t0) = x0, x2(t0) = x0,1, x3(t0) = x0,2, . . . , xn(t0) = x0,n−1.
Z tohoto faktu a z vět 9, 10 a 11 plynou následující tři tvrzení:
Věta 13 (o existenci a jednoznačnosti řešení). Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an−1, f spojité
na intervalu J ⊆ R a t0 ∈ J, pak má počáteční problém (4.12), (4.14) právě jedno řešení,
které existuje na celém intervalu J.
Věta 14 (princip superpozice). Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešením homogenní lineární rovnice
(4.13) a c1, c2 jsou libovolné konstanty, pak také z = z(t) = c1x(t) + c2y(t) je řešením této
rovnice.
Věta 15. Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an−1 spojité na intervalu J ⊆ R, pak množina
všech řešení rovnice (4.13) tvoří n-rozměrný vektorový prostor.
50 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Definice 11. Báze y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) vektorového prostoru všech řešení
rovnice (4.13) se nazývá fundamentální systém řešení rovnice (4.13).
Z ekvivalence lineární rovnice n-tého řádu (4.12) a lineárního n-rozměrného systému (4.15)
plyne, že funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (4.13) právě tehdy, když maticová funkce
Y = Y(t) =





y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





je fundamentální maticí řešení homogenního systému přidruženého k systému (4.15). To nastává
právě tehdy, když každá z funkcí y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) je řešením
homogenní rovnice (4.13) a sloupce matice Y(t) jsou lineárně nezávislé v nějakém, a v důsledku
toho (podle Lemma 1 z 4.1.1) v každém, t ∈ J.
Definice 12. Buďte ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm funkce jedné reálné proměnné. Funkce W definovaná
vztahem
W = W(t) = W(t; ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm) = det





ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕm(t)
ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕm(t)
...
...
...
...
ϕ
(m−1)
1 (t) ϕ
(m−1)
2 (t) . . . ϕ
(m−1)
m (t)





se nazývá wronskián funkcí ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm.
Následující výroky jsou ekvivalentní a charakterizují řešení homogenní rovnice (4.13):
• Funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice
(4.13) na intervalu J.
• Každá z funkcí y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) je řešením rovnice (4.13) a pro
jejich wronskián platí W(t) = W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 v nějakém t ∈ J.
• Obecné řešení rovnice (4.13) je tvaru
x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t),
kde c1, c2, . . . , cn jsou konstanty.
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (4.13). Při označení
y = y(t) =





y1(t)
y2(t)
...
yn(t)





, c =





c1
c2
...
cn





lze obecné řešení homogenní rovnice (4.13) zapsat ve tvaru
x = x(t) = y(t)T
c.
Z věty 12, ekvivalence rovnice (4.12) a systému (4.15) plyne následující tvrzení.
4.3. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 51
Věta 16. Nechť funkce a1, a2, . . . , an−1, f jsou spojité na intervalu J. Pak obecné řešení
lineární rovnice n-tého řádu (4.12) je tvaru
x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t) + ˜x(t) = y(t)T
c + ˜x(t),
kde ˜x je libovolné partikulární řešení rovnice (4.12), y1, y2, . . . , yn je fundamentální systém
řešení přidružené homogenní rovnice (4.13) a c1, c2, . . . , cn jsou konstanty.
4.3.1 Nalezení fundamentálního systému řešení rovnice druhého řádu v případě,
že jedno řešení je známé
Uvažujme rovnici
x + P(t)x + Q(t)x = 0
a předpokládejme, že známe jedno její nekonstantní řešení y1 = y1(t). Zavedeme substituci
x(t) = y1(t)y(t).
Pak x = y1y + y1y , x = y1y + 2y1y + y1y , tedy
y1y + 2y1y + y1y + Py1y + Py1y + Qy1y = 0
y1y + (2y1 + Py1)y + y1 + Py1 + Qy1 y = 0
y + P + 2
y1
y1
y = 0 ,
což je rovnice typu 2.10 pro neznámou funkci y = y(t). Položíme z(t) = y (t). Pak
z = − P(t) + 2
y1(t)
y1(t)
z.
Pro řešení této rovnice se separovanými proměnnými platí
z(t) = z(t0) −
t
t0
P(s) +
2y1(s)
y1(s)
ds = z(t0) − ln y1(t)
2
+ ln y1(t0)
2
−
t
t0
P(s)ds,
takže
z(t) = const ·
1
y1(t)2
e
t
t0
P (s)ds
.
Volbou const = 1 a integrací dostaneme
y(t) =
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds
a tedy druhé řešení dané rovnice je
y2(t) = y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds
52 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Poněvadž platí
W(t, y1, y2) =
y1(t) y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds
y1(t) y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds + 1
y1(t) e
−
t
t0
P (s)ds
= e
−
t
t0
P (s)ds
> 0 ,
jsou funkce y1, y2 lineárně nezávislé a tedy tvoří fundamentální systém řešení dané rovnice.
4.3.2 Metoda variace konstant
Nechť y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice (4.13). Partikulární
řešení ˜x = ˜x(t) nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru
˜x(t) = y(t)T
c(t),
kde c = c(t) je nějaká vektorová funkce. Z ekvivalence rovnice (4.12) se systémem (4.15)
a z rovnosti (4.6) v metodě variace konstant 4.1.2 pro systémy lineárních rovnic plyne, že
derivace vektorové funkce c = c(t) splňuje soustavu lineárních (algebraických) rovnic
y1(t)c1 + y2(t)c2 + · · · + yn(t)cn = 0,
y1(t)c1 + y2(t)c2 + · · · + yn(t)cn = 0,
...
y
(n−2)
1 (t)c1 + y
(n−2)
2 (t)c2 + · · · + y(n−2)
n (t)cn = 0,
y
(n−1)
1 (t)c1 + y
(n−1)
2 (t)c2 + · · · + y(n−1)
n (t)cn = f(t).
Determinant této soustavy je wronskiánem fundamentálního systému řešení y1, y2, . . . , yn a
proto je nenulový. Soustava má tedy jediné řešení c1, c2, . . . , cn. Integrací jeho složek dostaneme
hledané funkce funkce c1 = c1(t), c2 = c2(t), . . . , cn = cn(t).
4.3.3 Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x + a0x = 0 . (4.16)
Řešení hledáme ve tvaru x(t) = eλt. Pak x (t) = λeλt, x (t) = λ2eλt, . . . , x(n)(t) = λneλt a
tedy
λn
eλt
+ an−1λn−1
eλt
+ an−2λn−2
eλt
+ · · · + a1λeλt
+ a0eλt
= 0.
Poněvadž eλt = 0 pro všechna t ∈ R, můžeme rovnici touto funkcí vykrátit. Dostaneme
λn
+ an−1λn−1
+ an−2λn−2
+ · · · + a1λ + a0 = 0. (4.17)
Rovnice (4.17) se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice (4.16)
4.3. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 53
Speciální případ n = 2
Řešíme rovnici druhého řádu
x − ax + b = 0, (4.18)
kde a, b jsou reálné parametry. Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice
λ2
− aλ + b = 0 (4.19)
má kořeny
λ1,2 =
1
2
a ± a2 − 4b =
1
2
a ±
a2
4
− b .
Rozlišíme tři možnosti:
(i) a2 > 4b
V tomto případě má charakteristická rovnice (4.19) dva reálné různé kořeny λ1, λ2. Funkce
y1 = y1(t) = eλ1t
, y2 = y2(t) = eλ2t
jsou řešením diferenciální rovnice (4.18). Wronskián těchto funkcí je
W(t; y1, y2) =
eλ1 t eλ2 t
λ1eλ1 t λ2eλ2 t
= (λ2 − λ1)e(λ1+λ2)t
= 0.
To znamená, že funkce y1, y2 tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.18).
(ii) a2 < 4b
Označme ϕ = b −
a2
4
; pak ϕ > 0. Charakteristická rovnice (4.19) má komplexně sdružené
kořeny λ1,2 = 1
2a ± iϕ. Komplexní funkce
z1 = z1(t) = e(1
2
a+iϕ) = e
1
2
at
(cos ϕt + i sin ϕt), z2 = z2(t) = e(1
2
a−iϕ) = e
1
2
at
(cos ϕt − i sin ϕt)
jsou řešením diferenciální rovnice (4.18). Podle principu superpozice (věty 10) jsou také reálné
funkce
y1 = y1(t) =
1
2
z1(t) + z2(t) = e
1
2
at
cos ϕt, y2 = y2(t) =
i
2
z2(t) − z1(t) = e
1
2
at
sin ϕt
řešením této diferenciální rovnice. Jejich derivace jsou
y1(t) =
1
2
a cos ϕt − ϕ sin ϕt e
1
2
at
, y2(t) =
1
2
a sin ϕt + ϕ cos ϕt e
1
2
at
,
takže pro jejich wronskián platí
W(t; y1, y2) =
cos ϕt sin ϕt
1
2 a cos ϕt − ϕ sin ϕt 1
2a sin ϕt + ϕ cos ϕt
eat
=
= ϕ(cos ϕt)2
+
1
2
a sin ϕt cos ϕt −
1
2
a sin ϕt cos ϕt + ϕ(sin ϕt)2
eat
= ϕeat
= 0.
54 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Funkce y1, y2 jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy fundamentální systém řešení a obecné řešení
rovnice (4.18) je
x(t) = (c1 cos ϕt + c2 sin ϕt)e
1
2
at
,
kde c1, c2 jsou konstanty. Pokud je řešení netriviální, je alespoň jedna z nich nenulová a platí
−1 ≤
c1
c2
1 + c2
2
≤ 1, −1 ≤
c2
c2
1 + c2
2
≤ 1,
c1
c2
1 + c2
2
2
+
c2
c2
1 + c2
2
2
= 1,
a proto existuje číslo ψ takové, že
sin ψ =
c1
c2
1 + c2
2
, cos ψ =
c2
c2
1 + c2
2
.
Označme nyní b = c2
1 + c2
2. Obecné řešení rovnice (4.18) přepíšeme do tvaru
x(t) = c2
1 + c2
2
c1
c2
1 + c2
2
cos ϕt +
c2
c2
1 + c2
2
sin ϕt e
1
2
at
=
= be
1
2
at
(sin ψ cos ϕt + cos ψ sin ϕt) = be
1
2
at
sin(ϕt + ψ).
Poznamenejme, že v tomto tvaru řešení je zahrnuto i řešení triviální x ≡ 0.
(iii) a2 = 4b
V tomto případě je diferenciální rovnice tvaru
x − ax +
a2
4
x = 0 (4.20)
a její charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen λ = 1
2 a. Jedno řešení diferenciální
rovnice (4.20) je tedy funkce
y1 = y1(t) = e
1
2
at
.
Spolu s rovnicí (4.20) uvažujme pomocnou rovnici
x − (a + ε)x +
a2
4
+
1
2
aε x = 0. (4.21)
Její charakteristická rovnice
λ2
− (a + ε)λ +
a2
4
+
aε
2
= λ −
a
2
λ −
a
2
− ε = 0
má dva reálné různé kořeny λ = 1
2a, µ = 1
2a + ε. Pomocná rovnice (4.21) má tedy podle
výsledku (i) fundamentální systém řešení
y1 = y1(t) = e
1
2
at
, y2 = y2(t) = e(1
2
a+ε)t
.
Podle principu superpozice má lineární rovnice (4.21) také řešení
yε = yε(t) =
1
ε
e(1
2
a+ε)t
− e
1
2
at
.
4.3. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 55
Poněvadž levá strana strana rovnice (4.20) je limitou levé strany pomocné rovnice (4.21) pro
ε → 0, lze očekávat, že také funkce yε bude v limitě ε → 0 řešením původní rovnice (4.20).
S využitím de l’Hôpitalova pravidla dostaneme
lim
ε→0
yε(t) = lim
ε→0
e(1
2
a+ε)t
− e
1
2
at
ε
= lim
ε→0
te(1
2
a+ε)t
1
= te
1
2
at
.
Ověříme, že funkce y2 = y2(t) = te
1
2
at
je skutečně řešením rovnice (4.20). Platí
y2(t) = 1 +
a
2
t e
1
2
at
, y2(t) = a +
a2
4
t e
1
2
at
,
takže
y2(t) − ay2(t) +
a2
4
y2(t) = a +
a2
4
t − a −
a2
2
t +
a2
2
t e
1
2
at
= 0
a funkce y2 je řešením rovnice (4.20). Wronskián funkcí y1, y2 je
W(t; y1, y2) =
e
1
2
at
te
1
2
at
1
2ae
1
2
at
1 + 1
2at e
1
2
at
= eat
1 +
a
2
t −
a
2
t = eat
= 0.
Funkce y1, y2 jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (4.20), tvoří tedy její fundamentální systém
řešení.
Rovnice obecného řádu
Řešení rovnice (4.16) řádu n je přímým zobecněním předchozího speciálního případu.
Lemma 4. Pokud λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce
x1(t) = eλt
, x2(t) = teλt
, x3(t) = t2
eλt
, . . . , xk(t) = tk−1
eλt
jsou řešení rovnice (4.16).
Důkaz: Označme an = 1 a P(λ) =
n
i=0
aiλi pravou stranu charakteristické rovnice (4.17).
Poněvadž λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, platí
∂i
∂λi
P(λ) = 0 pro i = 0, 1, 2, . . . , k − 1. (4.22)
Funkce xl = xl(t) = tl−1eλt, l = 1, 2, . . . , k vyjádříme ve tvaru
xl(t) =
∂l−1
∂λl−1
eλt
,
dosadíme je do pravé strany rovnice (4.16) a upravíme s využitím Leibnizovy formule pro
vyšší derivace součinu funkcí. Dostaneme
n
i=0
aix
(i)
l (t) =
n
i=0
ai
∂i
∂ti
∂l−1
∂λl−1
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
ai
∂i
∂ti
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
aiλi
eλt
=
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
n
i=0
aiλi
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
P(λ) =
l−1
i=0
l − 1
i
∂iP(λ)
∂λi
∂l−1−ieλt
∂λl−1−i
= 0
podle (4.22). Funkce xl tedy splňují rovnici (4.16).
56 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Lemma 5. Nechť λ1, λ2, . . . , λl jsou všechny navzájem různé kořeny charakteristické rovnice
(4.17), přičemž kořen λi je ki-násobný, i = 1, 2, . . . , l, k1 + k2 + · · · + kl = n. Pak funkce
y1(t) = eλ1t
, y2(t) = teλ1t
, y3(t) = t2
eλ1t
, . . . , yk1 (t) = tk1−1
eλ1t
,
yk1+1(t) = eλ2t
, yk1+2(t) = teλ2t
, yk1+3(t) = t2
eλ2t
, . . . , yk1+k2 (t) = tk2−1
eλ2t
, . . . ,
...
yk1+k2+···+kl−1+1(t) = eλlt
, yk1+k2+···+kl−1+2(t) = teλlt
, yk1+k2+···+kl−1+3(t) = t2
eλlt
, . . . ,
yn(t) = tkl−1
eλlt
tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.16).
Důkaz: Každá z funkcí y1, y2, . . . , yn je řešením rovnice (4.16) podle lemma 4. Stačí tedy
dokázat jejich lineární nezávislost, tj. ukázat, že jejich wronskián
W(t; y1, y2, . . . , yn) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y1(t) y2 (t) . . . yn (t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)
je nenulový pro všechna t ∈ R. Připusťme, že existuje t0 ∈ R, že W(t0; y1, y2, . . . , yn) = 0. Pak
podle Lemma 2 v 4.1.1 je W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 pro všechna t ∈ R. Wronskián má lineárně
závislé řádky a tedy existují konstanty c0, c1, . . . , cn−1, mezi nimiž je alespoň jedna nenulová,
takové že
c0yj + c1yj + · · · + cn−1y
(n−1)
j ≡ 0
pro všechna j = 1, 2, . . . , n.
Pro λ ∈ R a n-krát diferencovatelnou funkci x nyní položíme
q(λ) = c0 + c1λ + c2λ2
+ · · · + cn−1λn−1
,
M x(t) = c0x(t) + c1x (t) + c2x (t) + · · · + cn−1x(n−1)
(t).
Pak q je polynom stupně nejvýše n − 1. Pro funkci M a pro libovolné κ ∈ {1, 2, . . . , k1} platí
0 = M yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
λ=λ1
=
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ciλi
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
q(λ)
λ=λ1
=
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
∂i
∂λi
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
ti
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
.
Zejména pro t = 0 dostáváme
0 =
∂κ−1
∂λκ−1
q(λ)
λ=λ1
.
4.3. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 57
To znamená, že λ1 je kořenem (κ − 1)-té derivace polynomu q pro každé κ ∈ {1, 2, . . . , k1},
tedy λ1 je k1-násobným kořenem polynomu q.
Analogicky ukážeme, že λi je ki-násobným kořenem polynomu q pro všechna i = 1, 2, . . . , l.
Polynom q tedy musí být stupně alespoň k1 + k2 + · · · + kl = n a to je spor.
Lemma 5 umožňuje zkonstruovat fundamentální systém řešení lineární rovnice (4.16).
Mezi jeho prvky však mohou být i komplexní funkce, neboť polynom na levé straně charakteristické
rovnice (4.17) může mít komplexně sdružené kořeny. Popíšeme, jak komplexní funkce
z fundamentálního systému nahradíme lineárně nezávislými reálnými funkcemi.
Nechť λc = α + iβ je k-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice (4.17). Pak také
komplexně sdružené číslo λc = α − iβ je k-násobným kořenem charakteristické rovnice a ve
fundamentálním systému řešení z Lemma 2 jsou funkce
tj
e(α+iβ)t
= tj
eαt
(cos βt + i sin βt), tj
e(α−iβ)t
= tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
Bez újmy na obecnosti můžeme funkce z fundamentálního systému přečíslovat tak, že
y1(t) = tj
eαt
(cos βt + i sin βt), y2(t) = tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
Lemma 6. Nechť y1, y2, y3, . . . , yn je fundamentální systém řešení rovnice (4.16) popsaný
předchozí konstrukcí. Položme
z1 = z1(t) =
1
2
y1(t) + y2(t) = tj
eαt
cos βt, z2 = z2(t) =
i
2
y2(t) − y1(t) = tj
eαt
sin βt.
Pak funkce z1, z2, y3, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.16).
Důkaz: Funkce z1, z2 jsou řešením rovnice (4.16) podle věty 10 (principu superpozice). Ukážeme,
že funkce z1, z2, y3, . . . , yn jsou lineárně nezávislé.
Položme
C =










1
2 −i1
2 0 0 . . . 0
1
2 i1
2 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . 1










,
W(t) =





y1(t) y2(t) y3(t) . . . yn(t)
y1(t) y2(t) y3(t) . . . yn(t)
...
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) y
(n−1)
3 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





.
Pak
det C =
1
2 −i1
2
1
2 i1
2
· 1 =
i
2
= 0
a pro wronskián funkcí z1, z2, y3, . . . , yn platí
W(t; z1, z2, y3, . . . , yn) = det(W(t)C) = det W(t) det C =
i
2
W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0.
Z lemmat 4–6 plyne následující závěr:
58 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
Věta 17. Každému reálnému k-násobnému kořenu λ charakteristické rovnice (4.17) odpovídá
k řešení
eλt
, teλt
, t2
eλt
, . . . , tk−1
eλt
,
diferenciální rovnice (4.16) a každé dvojici j-násobných nereálných kořenů α ± iβ charakteristické
rovnice (4.17) odpovídá 2j reálných řešení
eαt
cos βt, teαt
cos βt, t2
eαt
cos βt, . . . , tj−1
eαt
cos βt,
eαt
sin βt, teαt
sin βt, t2
eαt
sin βt, . . . , tj−1
eαt
sin βt
diferenciální rovnice (4.16). Množina řešení odpovídající všem kořenům charakteristické rovnice
(4.17) tvoří fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého
řádu s konstantními koeficienty (4.16).
4.3.4 Partikulární řešení nehomogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty
a se speciální pravou stranou
Partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x + a0x = f(t) . (4.23)
lze najít metodou variace konstant 4.3.2. V některých případech však lze tuto metodu nahradit
jednodušší metodou neurčitých koeficientů:
• f(t) = Pm(t), kde Pm je polynom stupně m.
Je-li nula k-násobným kořenem charakteristické rovnice (samozřejmě připouštíme i k =
0), lze partikulární řešení hledat ve tvaru ˜x(t) = tkQm(t), kde Qm je polynom stejného
stupně jako Pm.
• f(t) = eαtPm(t).
Substituce x(t) = eαty(t) převede rovnici na lineární rovnici n-tého řádu s pravou stranou
Pm (předchozí případ).
• f(t) = cos(αt)Pm(t) nebo f(t) = sin(αt)Pm(t).
Najdeme partikulární řešení rovnice
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x + a0x = eiαt
Pm(t).
Jeho reálná část je partikulárním řešením uvažované rovnice v prvním případě, imaginární
část ve druhém.
• f(t) = g(t) + h(t).
Partikulární řešení je součtem partikulárních řešení rovnic
x(n)
+an−1x(n−1)
+· · ·+a1x +a0x = g(t) a x(n)
+an−1x(n−1)
+· · ·+a1x +a0x = h(t).
4.4. EULEROVA A RICCATIHO DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 59
4.4 Eulerova a Riccatiho diferenciální rovnice
4.4.1 Eulerova rovnice
tn
x(n)
+ an−1tn−1
xn−1
+ an−2tn−2
xn−2
+ · · · + a1tx + a0x = f(t)
Zavedeme substituci t = eτ , tj. τ = ln t. Pak
x =
dx
dt
=
dx
dτ
dτ
dt
=
1
t
dx
dτ
x =
d
dt
1
t
dx
dτ
= −
1
t2
dx
dτ
+
1
t
d2x
dτ2
dτ
dt
=
1
t2
d2x
dτ2
−
dx
dτ
x =
d
dt
1
t2
d2x
dτ2
−
dx
dτ
= −
2
t3
d2x
dτ2
−
dx
dτ
+
1
t2
d3x
dτ3
−
d2x
dτ2
dτ
dt
=
=
1
t3
d3x
dτ3
− 3
d2x
dτ2
+ 2
dx
dτ
...
Dosadíme-li do dané rovnice, vypadnou faktory t, t2, . . . , tn, takže dostaneme rovnici s konstantními
koeficienty.
4.4.2 Riccatiho rovnice
x = P(t)x2
+ Q(t)x + R(t)
Zavedeme substituci x(t) = −
y (t)
P(t)y(t)
.
Pak
x = −
Pyy − (P y + Py )y
P2y2
= −
y
Py
+
P y
P2y
+
y 2
Py2
a tedy
−
y
Py
+
P y
P2y
+
y 2
Py2
=
Py 2
P2y2
−
Qy
Py
+ R
−
y
Py
+
1
Py
P
P
+ Q y − R = 0
y −
P
P
+ Q y + PRy = 0 ,
což je lineární homogenní rovnice druhého řádu.
Příkladem na užití Riccatiho rovnice je model udržitelného rybolovu 6.7.
60 KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ ROVNICE
4.5 Cvičení
Řešte rovnice
1)
d2x
dt2
+
dx
dt
= 0 2) x + tx = 0 3) tx − 2x = 0
Ukažte, že x = u(t) je řešením dané rovnice a rovnici vyřešte.
4) u = t2; t2x − 2x = 0 5) u =
√
t; x +
x
4t2
= 0 (t > 0)
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
6) x + 2x = 0 7) x + 6x + 5x = 0
8) x + 6x + 9x = 0 9) x − 2x + 4x = 0
10) x − x = 0; x(0) = 1, x (0) = −2 11) x + 4x = 0; x(0) = 0, x (0) = 2
12) x + x = t 13) x + x = sin t
14) x − x = et 15) x − 3x − 10x = −3
16) x − x = sin t 17) x − 3x = e3t − 12t
18) x + x = cotg t 19) x − 8x = e8t
20) x + 2x = t2 − et 21) t2x − tx + x = t
22) t2x − tx + 2x = (ln t)2
23) t3x − t4x2 − t2x = 2
Řešte systémy rovnic
24) x = −2x + y 25) x = −x − 2
3 y + 1
3et
y = 3x − 4y y = 4
3x + y − t
26) x + 3x + 2y = 5 sin t 27) 4x + 9y + 2x + 31y = et
y − 2x + 7y = 8 cos t 3x + 7y + x + 24y = 3
Výsledky:
1) x = C1e−t + C2 2) x = C1 e−t2/2dt + C2 3) x = C1t4 + C2t + C3 4) x =
C1
t
+ C2t2
5) x =
√
t (C1 ln |t| + C2) 6) x = C1 + C2e−2t 7) x = C1e−t + C2e−5t 8) x = (C1 + C2t)e−3t
9) x = et(C1 cos
√
3 t+C2 sin
√
3 t) 10) x =
3e−t − et
2
11 x = sin 2t 12) x = C1 +C2e−t +
t2
2
−t
13) x = C1 cos t + C2 sin t −
t cos t
2
14) x = C1et + C2e−t +
tet
2
15) x = C1e5t + C2e−2t + 3
10
16) x = C1 + C2et +
cos t − sin t
2
17) x = C1 + C2e3t + 2t2 +
te3t + 4t
3
18) x = C1 cos t + C2 sin t − sin t ln
1 + cos t
sin t
19) x = C1 + C2 +
t
8
e8t
20) x = C1 + C2e−2t +
t3
6
−
t2
4
+
t
4
−
et
3
21) x = t A ln t + B + 1
2 (ln t)2
22) At sin(B + ln t) + (1 + ln t)2 23) x =
2Ct − 1
t2(1 − Ct)
, x = −
2
t2
24) x = Ae−t + Be−5t, y = Ae−t − 3Be−5t
25) x = Aet/3 + Be−t/3 − 6t, y = −2Aet/3 − Be−t/3 + 9t + 1
2et + 9
26) x = Ae−5t + Bte−5t + 365
338 sin t − 307
338 cos t, y = 2A−B
2 e−5t + Bte−5t + 144
338 sin t + 278
338 cos t
27) x = e−4t(A cos t + B sin t) + 31
26 et − 93
17 , y = e−4t((B − A) cos t − (B + A) sin t) − 2
13 et + 6
17
Kapitola 5
Autonomní systémy
Budeme uvažovat systém rovnic
x = f(x) , (5.1)
kde f = (f1, f2, . . . , fn) : Ω → Rn, Ω ⊆ Rn je množina s neprázdným vnitřkem a bez izolovaných
bodů. Systém (5.1) se nazývá autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic,
definiční obor pravých stran Ω se nazývá fázový (nebo stavový) prostor. V celé kapitole budeme
předpokládat, že f je spojitá funkce taková, že počáteční problém (5.1) s podmínkou
x(t0) = x0 (5.2)
má jediné řešení pro každé t0 ∈ R, x0 ∈ Ω.
Věta 18. Je-li x = x(t) řešením úlohy (5.1), (5.2), pak pro každé τ ∈ R je y = y(t) = x(t+τ)
řešením rovnice (5.1) s počáteční podmínkou y(t0 − τ) = x0. Je-li x definováno na intervalu
(S, T), je y definováno na intervalu (S − τ, T − τ).
Důkaz: y (t) =
d
dt
x(t + τ) = f x(t + τ) = f(y(t)).
Tato věta ukazuje, že autonomní systémy popisují děje invariantní vzhledem k posunutí
v čase. Bez újmy na obecnosti se tedy u autonomních systémů můžeme omezit na počátečními
problémy s počáteční podmínkou
x(0) = x0 ∈ Ω. (5.3)
5.1 Fázový prostor, trajektorie, stacionární body
Úplné řešení x = x(t) problému (5.1), (5.3) definované na intervalu (S, T), (přitom platí
−∞ ≤ S < T ≤ ∞) lze interpretovat buďto jako graf zobrazení x : (S, T) → Ω, nebo jako
orientovanou křivku C = {x(t) : S < t < T} ve fázovém prostoru Ω zadanou parametricky.
Tuto křivku nazveme trajektorií řešení x.
Křivku C+ = {x(t) : t ≥ 0}, resp. C− = {x(t) : t ≤ 0}, nazveme pozitivní, resp. negativní,
polotrajektorií systému 5.1.
Příklad: Lineární systém
x = −y, y = x
61
62 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
má řešení x(t) = r cos(t + ψ), y(t) = r sin(t + ψ), kde
r = x(0)2 + y(0)2 , cos ψ =
x(0)
x(0)2 + y(0)2
, sin ψ =
y(0)
x(0)2 + y(0)2
.
Poněvadž x(t)2 + y(t)2 = r2, jsou trajektorie řešení kružnice se středem v počátku.
Věta 19. Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení systému (5.1), pak jejich trajektorie buďto
splývají, nebo nemají žádný společný bod.
Důkaz: Nechť x(t1) = y(t2) pro nějaká t1, t2 ≥ 0. Podle věty 18 je z = z(t) = x(t + (t1 − t2))
řešením rovnice (5.1) s počáteční podmínkou z(t2) = x(t1). Trajektorie řešení z a x zřejmě
splývají. Současně ale z je řešením rovnice (5.1) s počáteční podmínkou z(t2) = y(t2) a
z předpokládané jednoznačné řešitelnosti problému (5.1) s libovolnou počáteční podmínkou
plyne z ≡ y.
Dále budeme předpokládat, že úplné řešení Cauchyova problému (5.1), (5.3) je pro každou
počáteční hodnotu x0 ∈ Ω definováno na intervalu (−∞, ∞).
Definice 13. Bod x∗ ∈ Ω se nazývá stacionární bod (rovnovážný bod, ekvilibrium, kritický
bod, singulární bod, degenerovaná trajektorie) rovnice (5.1), jestliže f(x∗) = 0.
Trajektorie rovnice (5.1) se nazývá cyklus, je-li uzavřenou křivkou.
Trajektorie {x(t) : t ∈ R} rovnice (5.1) se nazývá homoklinická, jestliže existuje stacionární
bod x∗ ∈ Ω takový, že lim
t→∞
x(t) = lim
t→−∞
x(t) = x∗.
Trajektorie {x(t) : t ∈ R} rovnice (5.1) se nazývá heteroklinická, jestliže existují stacionární
body x∗
1 ∈ Ω, x∗
2 ∈ Ω takové, že x∗
1 = x∗
2, lim
t→∞
x(t) = x∗
1 a lim
t→−∞
x(t) = x∗
2.
Věta 20. Libovolná trajektorie řešení autonomního systému (5.1) je právě jednoho z typů:
– stacionární bod (odpovídá konstantnímu řešením);
– cyklus (odpovídá nekonstantnímu periodickému řešení);
– trajektorie, která sama sebe neprotíná.
Důkaz plyne z věty 19.
5.1.1 Autonomní rovnice (autonomní systém na přímce)
Rovnice (5.1) pro n = 1, tj. rovnice
x = f(x) (5.4)
je speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými. Podle 2.3 lze tedy najít její
řešení přinejmenším v implicitním tvaru. Často ovšem rozbor stavového prostoru dá názornější
představu o průběhu jejího řešení.
Stavovým prostorem Ω autonomní rovnice (5.4) je interval nebo sjednocení intervalů.
Trajektorie může být
• Přímka, pokud je stavovým prostorem celá množina R a funkce f je stále kladná nebo
stále záporná.
• Polopřímka bez krajního bodu, pokud existuje číslo a ∈ R takové, že f(a) = 0 nebo
a ∈ Ω nastává některá z (nevylučujících se) možností
(−∞, a) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x < a, nebo (a, ∞) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x > a.
5.1. FÁZOVÝ PROSTOR, TRAJEKTORIE, STACIONÁRNÍ BODY 63
• Vnitřek úsečky, pokud existují čísla a, b ∈ R taková, že (a, b) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x ∈ (a, b)
a
f(a) = 0 nebo a ∈ Ω a současně f(b) = 0 nebo b ∈ Ω.
V případě a ∈ Ω, b ∈ Ω se jedná o heteroklinickou trajektorii.
• Stacionární bod x∗ ∈ Ω, pokud f(x∗) = 0.
Je-li trajektorií přímka nebo vnitřek polopřímky nebo úsečky, pak je trajektorie orientovaná
souhlasně s orientací osy x, pokud f(x) > 0 ve všech bodech této přímky nebo vnitřku polopřímky
nebo úsečky. Takovým trajektoriím odpovídají rostoucí řešení rovnice (5.4). Pokud
je zde f(x) < 0, pak je trajektorie orientována proti orientaci osy x.
Nechť x∗ je stacionárním bodem rovnice (5.4) takovým, že existuje jeho pravé ryzí okolí
(x∗, x∗ + ε) ⊆ Ω tak, že f(x) = 0 pro x ∈ (x∗, x∗ + ε). Trajektorie odpovídající řešení rovnice
(5.4) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ (x∗, x∗ + ε) směřují ke stacionárnímu, resp. od
stacionárního, bodu x∗, pokud f(x) < 0, resp. f(x) > 0, na intervalu (x∗, x∗ + ε). Analogicky
můžeme vyšetřit směr trajektorií nalevo od stacionárního bodu.
Nechť nyní x∗ je vnitřní stacionární bod rovnice (5.4), tj. x∗ ∈ Ω a f(x∗) = 0. Pokud
je f (x∗) = 0, pak je tento stacionární bod izolovaný, tj. existuje jeho ryzí okolí, v němž
f(x) = 0. Je-li přitom f (x∗) > 0, resp. f (x∗) < 0, pak všechny trajektorie začínající v okolí
bodu x∗ směřují od stacionárního, resp. ke stacionárnímu, bodu x∗.
5.1.2 Další vlastnosti autonomních systémů
Definice 14. Nechť x∗ je stacionární bod autonomního systému (5.1). Položme
Df(x∗
) =













∂f1
∂x1
(x∗)
∂f1
∂x2
(x∗) · · ·
∂f1
∂xn
(x∗)
∂f2
∂x1
(x∗)
∂f2
∂x2
(x∗) · · ·
∂f2
∂xn
(x∗)
...
...
...
...
∂fn
∂x1
(x∗)
∂fn
∂x2
(x∗) · · ·
∂fn
∂xn
(x∗)













.
Řekneme, že stacionární bod x∗ je hyperbolický, pokud každé vlastní číslo matice Df(x∗)
má nenulovou reálnou část. Mají-li všechna vlastní čísla matice Df(x∗) kladnou reálnou část,
řekneme, že hyperbolický stacionární x∗ bod je zdroj (source); mají-li všechna vlastní čísla
matice Df(x∗) zápornou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární bod x∗ je stok
(sink).
Homogenní lineární systém s konstantní maticí
x = Df(x∗
)x
se nazývá linearizace systému (5.1) ve stacionárním bodě x∗.
Matice Df(x∗) je vlastně Jacobiho maticí zobrazení f v bodě x∗, proto se někdy používá
označení Df(x∗) = J(x∗). Tato matice se někdy také nazývá variační matice systému (5.1)
a linearizace tohoto systému se nazývá variační rovnice systému (5.1).
64 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Definice 15. Neprázdná podmnožina A fázového prostoru Ω systému (5.1) se nazývá
pozitivně invariantní (invariantní vpřed, forward invariant), pokud pro libovolné řešení x( · )
systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0;
negativně invariantní (invariantní vzad, backward invariant), jestliže pro každé řešení x( · )
systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≤ 0;
invariantní, je-li současně pozitivně i negativně invariantní.
Poznámka 4. Povšimněme si ještě dvou vlastností invariantních množin:
1. Jsou-li množiny A, B ∈ Ω pozitivně (resp. negativně) invariantní, pak také množiny
A ∩ B a A ∪ B jsou pozitivně (resp. negativně) invariantní.
2. Libovolná trajektorie C systému (5.1) je invariantní množinou tohoto systému.
Definice 16. Nechť A, B ⊆ Ω, B = ∅ a je nějaká metrika na Ω ekvivalentní s euklidovskou.
Řekneme, že
množina A atrahuje (přitahuje) množinu B (množina A je atraktorem množiny B), jestliže
pro každé řešení systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B platí, že
lim
t→∞
x(t), A = 0;
množina A je (globální) atraktor, jestliže A přitahuje Ω;
množina A absorbuje množinu B, jestliže A je pozitivně invariantní a ke každému řešení x
systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B existuje T ≥ 0 takové, že x(T) ∈ A;
množina A je globálně absorbující, jestliže absorbuje množinu Ω.
Poznámka 5. Nechť x( · ) je řešením systému (5.1) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ Ω.
Pokud množina A je ω-limitní množinou řešení x( · ), pak je pozitivně invariantním atraktorem
množiny {x0}.
Poznámka 6. Trajektorii C systému (5.1) nazveme limitní trajektorií, jestliže existuje množina
B ⊆ Ω taková, že B ∩ (Ω \ C) = ∅ a C atrahuje množinu B. Je-li C navíc cyklem, nazveme
ho limitním cyklem.
Poznámka 7. Buď i ∈ {1, 2, . . . , n}. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro
každý bod x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω splňující podmínku |xi| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ|xi|,
pak množina Ai = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |xi| ≤ K} je globálně absorbující množinou
systému (5.1).
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu Ai. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · ) systému (5.1) takové, že pro všechna t ≥ 0 je |xi(t)| >
K. Položme u(t) = |xi(t)|. Pak pro všechna t ≥ 0 je
u (t) =
d
dt
|xi(t)| = sgn xi(t) fi x(t) ≤ −δ|xi(t)| = −δu(t),
5.1. FÁZOVÝ PROSTOR, TRAJEKTORIE, STACIONÁRNÍ BODY 65
neboli
u (t)
u(t)
≤ −δ.
Integrací této nerovnosti v mezích od 0 po t dostaneme ln u(t) − ln u(0) ≤ −δt, tj.
0 ≤ |xi(t)| = u(t) ≤ u(0)e−δt
= |xi(0)|e−δt
pro libovolné t ≥ 0. Odtud plyne, že lim
t→∞
|xi(t)| = 0, což je ve sporu s předpokladem |xi(t)| >
K > 0.
Množina Ai má neprázdný průnik s libovolnou trajektorií, je tedy neprázdná. Ukážeme, že je
navíc pozitivně invariantní. Připusťme, že existuje řešení
x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · )
systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ Ai takové, že pro jisté t1 > 0 je x(t1) ∈ Ai, tj.
|xi(t1)| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, |xi(t)| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce xi( · ) a z vlastností suprema plyne, že T < t1, xi(T) = K a
funkce xi( · ) je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
|xi(t)|
t=T
= sgn xi(T) fi x(T) ≤ −δ|xi(t)| = −δK < 0,
což je spor s faktem, že funkce xi( · ) je v T rostoucí.
Definice 17. Systém (5.1) se nazývá dissipativní, jestliže existuje ohraničená globálně absorbující
množina.
Z definice bezprostředně plyne:
Poznámka 8. Je-li systém (5.1) dissipativní, pak každé jeho řešení je ohraničené.
V aplikacích budou užitečné následující vlastnosti dissipativních systémů:
Poznámka 9. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n}
a všechna x ∈ Ω taková, že ||x|| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ,
pak je systém (5.1) dissipativní a globálně absorbující je množina A = {x ∈ Ω : ||x|| ≤ K}.
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu A. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) systému (5.1) takové, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0. Pak ||x(t)|| > K pro všechna
t > 0, a tedy pro libovolné t > 0 platí
d
dt
||x(t)|| =
n
i=1
d
dt
|xi(t)| =
n
i=1
sgn xi(t) xi(t) =
n
i=1
sgn xi(t) fi x(t) ≤
n
i=1
(−δ) = −nδ.
Integrací této nerovnosti dostaneme ||x(t)|| ≤ ||x(0)|| − nδt, takže pro t ≥
||x(0)|| − K
nδ
je
||x(t)|| ≤ K, což je spor. Každá trajektorie má tedy s množinou A neprázdný průnik, což také
66 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
znamená, že množina A je neprázdná.
Ukážeme, že množina A je navíc pozitivně invariantní. Nechť x( · ) je řešením systému (5.1)
s počáteční podmínkou x(0) ∈ A. Připusťme, že existuje t1 > 0, pro něž x(t1) ∈ A. Pak
||x(t1)|| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, ||x(t)|| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce ||x( · )|| a z vlastností suprema plyne, že ||x(T)|| = K a funkce
||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
||x(t)||
t=T
=
n
i=1
sgn xi(T) xi(T) =
n
i=1
sgn xi(T) fi x(T) ≤ −nδ < 0,
což je spor s tím, že funkce ||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Pro všechna t > 0 je tedy x ∈ A a
množina A je invariantní.
Poznámka 10. Nechť ke každému i ∈ {1, 2, . . . , n} existují kladné konstanty Ki, δi takové, že
pro všechna x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω z nerovnosti |xi| ≥ Ki plyne nerovnost
(sgn xi)fi(x) ≤ −δi|xi|.
Pak je systém (5.1) dissipativní s globálně absorbující množinou
A = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |x1| ≤ K1, |x2| ≤ K2, . . . , |xn| ≤ Kn} .
Důkaz: Položme Ai = {x ∈ Ω : |xi| ≤ Ki}. Pak každá z množin Ai je podle poznámky 7
globálně absorbující množinou a A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An. Podle poznámky 4 je množina A
pozitivně invariantní. Ukážeme, že je také globálně absorbující.
Buď x(t) libovolné řešení systému (5.1). Podle poznámky 7 existuje t1 ≥ 0 takové, že |x1(t1)| ≤
K1 pro všechna t ≥ t1. Dále existuje t2 ≥ t1 takové, že pro všechna t ≥ t2 je |x2(t2)| ≤ K2 atd.
Nakonec existuje tn ≥ tn−1 takové, že |xn(t)| ≤ Kn pro všechna t ≥ tn. Takže pro všechna
t ≥ tn je |x1(t)| ≤ K1, |x2(t)| ≤ K2, . . . , |xn(t)| ≤ Kn, tj. x(t) ∈ A.
5.2 Autonomní systémy v rovině
V tomto oddílu se budeme zabývat systémem (5.1) pro n = 2, tedy systémem
x = f(x, y)
y = g(x, y).
(5.5)
Definice 18. Křivka zadaná implicitně rovnicí f(x, y) = 0 (resp. g(x, y) = 0) se nazývá
x-nulklina (resp. y-nulklina) rovnice (5.5).
Průsečík nulklin je stacionární bod, tečna k trajektorii v jejím průsečíku s x-nulklinou
(resp. y-nulklinou) je rovnoběžná s osou y (resp. x).
Definice 19 (typy stacionárních bodů v rovině). Stacionární bod (x∗, y∗) systému (5.5) se
nazývá
bod rotace, jestliže v jeho libovolném okolí leží cyklus, obsahující (x∗, y∗) ve svém vnitřku;
5.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 67
střed, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že každá trajektorie s x(0), y(0) ∈ U je
cyklem obsahujícím (x∗, y∗) ve svém vnitřku (střed je speciálním případem bodu rotace);
ohnisko, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗, y∗) s nějakým pevným
vektorem platí
lim
t→∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→∞
ψ(t) = −∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = −∞
(trajektorie se přibližuje ke stacionárnímu bodu (nebo se od něho vzdaluje) po spirále);
uzel, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗, y∗) s nějakým pevným
vektorem existuje vlastní lim
t→∞
ψ(t) nebo lim
t→−∞
ψ(t);
sedlo, jestliže existuje jen konečný počet trajektorií (x, y) = x(t), y(t) takových, že
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) .
5.2.1 Stacionární body lineárního homogenního autonomního systému
Lineární homogenní autonomní systém je lineární homogenní systém s konstantní maticí.
Budeme se tedy zabývat dvojrozměrným systémem
x = ax + by
y = cx + dy.
(5.6)
Označme
A =
a b
c d
.
Pokud det A = ad−bc = 0, má systém (5.6) jediný stacionární bod (0, 0). Vlastní čísla matice
A jsou kořeny charakteristické rovnice
a − λ b
c d − λ
= λ2
− (a + d)λ + ad − cb = λ2
− (tr A)λ + det A = 0, (5.7)
tedy při označení D = (tr A)2 − 4 det A je λ1,2 =
1
2
tr A ±
√
D .
(i) det A > 0
(i.1) tr A = 0
68 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
V tomto případě je D = −4 det A < 0 a kořeny charakteristické rovnice (5.7) jsou ryze
imaginární, λ1 = i
√
det A , λ2 = −i
√
det A , takže řešení systému (5.6) s počáteční podmínkou
x(0), y(0) = (0, 0) je
x(t)
y(t)
=



cos
√
det A t − ϕ
− −
c
b
sin
√
det A t − ϕ + ˜ϕ



pro vhodné konstanty , ϕ, přičemž
= 0, tg ˜ϕ =
a
√
det A
, ˜ϕ ∈
2k + 1
2
π : k ∈ Z .
Jedná se o parametrické vyjádření elips se středem (0, 0), každá trajektorie je tedy cyklem se
stacionárním bodem (0, 0) ve svém vnitřku. To znamená, že stacionární bod (0, 0) je střed.
(i.2) tr A = 0
(i.2.a) det A > 1
4 (tr A)2
V tomto případě je D < 0, charakteristická rovnice (5.7) má dva různé komplexně sdružené
kořeny 1
2 tr A ± i
√
−D a systém (5.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) = (0, 0) má řešení
x(t)
y(t)
=





cos
√
−D
2
t − ϕ
− −
c
b
sin
√
−D
2
t − ϕ − ˜ϕ





e(1
2
tr A)t
,
kde , ϕ, ˜ϕ jsou vhodné konstanty, přičemž
= 0, tg ˜ϕ =
d − a
√
−D
, ˜ϕ ∈
2k + 1
2
π : k ∈ Z .
Jedná se o parametrické vyjádření spirály, která se „navíjí na stacionární bod (0, 0) nebo se
z něho „odvíjí .
Pokud tr A > 0, pak lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
0
0
, pokud tr A < 0, pak lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
0
.
(i.2.b) det A < 1
4 (tr A)2
.
Nechť x(t), y(t) je řešením systému (5.6) a označme ϕ(t) úhel, který svírá přímka procházející
body (0, 0), x(t), y(t) s vodorovnou osou. Platí
tg ψ(t) =
y(t)
x(t)
, pokud x(t) = 0, cotg ψ(t) =
x(t)
y(t)
, pokud y(t) = 0.
V tomto případě je D > 0 a
√
D < |tr A|. Charakteristická rovnice (5.7) má dva reálné
různé kořeny λ1, λ2 takové, že oba mají stejné znaménko jako tr A. Nechť pro určitost λ1 < λ2
a
u =
u1
u2
, resp. v =
v1
v2
,
5.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 69
je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě λ1, resp. λ2. Alespoň jedna ze souřadnic každého
z vlastních vektorů je nenulová. Obecné řešení systému (5.6) s počáteční podmínkou
x(0), y(0) = (0, 0) je
x(t)
y(t)
= α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
;
přitom alespoň jedna z konstant α, β je nenulová.
Je-li tr A > 0, pak 0 < λ1 < λ2 a
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= lim
t→−∞
α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
= α
u1
u2
0 + β
v1
v2
0 =
0
0
;
je-li tr A < 0, pak λ1 < λ2 < 0 a
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= lim
t→∞
α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
= α
u1
u2
0 + β
v1
v2
0 =
0
0
.
Pokud α = 0 = u1, pak
lim
t→−∞
y(t)
x(t)
= lim
t→−∞
αu2eλ1t + βv2eλ2t
αu1eλ1t + βv1eλ2t
= lim
t→−∞
αu2 + βv2e(λ2−λ1)t
αu1 + βv1e(λ2−λ1)t
=
u2
u1
a pokud α = 0 = v1, pak
lim
t→∞
y(t)
x(t)
= lim
t→∞
αu2eλ1t + βv2eλ2t
αu1eλ1t + βv1eλ2t
= lim
t→−∞
αu2e(λ1−λ2)t + βv2
αu1e(λ1−λ2)t + βv1
=
v2
v1
.
Analogicky, pokud α = 0, pak
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
u1
u2
když u2 = 0, lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
v1
v2
když v2 = 0.
Pokud α = 0, pak
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
v2
v1
když v1 = 0, lim
t→±∞
x(t)
y(t)
=
v1
v2
když v2 = 0.
Stacionární bod (0, 0) je v tomto případě uzel. Směrový vektor polotečny k libovolné trajektorii
ve stacionárním bodě je vlastním vektorem matice A.
(i.2.c) det A = 1
4 (tr A)2
V tomto případě je tr A = 0, neboť det A = 0, charakteristická rovnice (5.7) má dvojnásobný
kořen 1
2 tr A a systém (5.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) = (0, 0) má řešení
x(t)
y(t)
=
α + βt
γ + δt
e(1
2
tr A)t
,
kde α, β, γ, δ jsou nějaké konstanty, z nichž aspoň dvě jsou nenulové. Proto platí
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
δ
β
pro β = 0, lim
t→±∞
x(t)
y(t)
=
β
δ
pro δ = 0,
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
γ
α
pro β = 0 = δ.
70 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Je-li tr A < 0, pak
lim
t→∞
e(1
2
tr A)t
= 0, lim
t→∞
te(1
2
tr A)t
= lim
t→∞
t
e−(1
2
tr A)t
= lim
t→∞
1
−1
2 tr A e−(1
2
tr A)t
= 0
a tedy lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
0
. Je-li tr A > 0 pak analogicky lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
0
0
.
Stacionární bod (0, 0) je v tomto případě uzel. Nyní však již obecně neplatí, že směrový
vektor polotečny k trajektorii ve stacionárním bodě je vlastním vektorem matice A; v případě
β = 0 = δ (tj. pokud vlastní hodnotě λ matice A přísluší dva lineárně nezávislé vlastní
vektory) je každá přímka procházející bodem (0, 0) polotečnou nějaké trajektorie.
Je-li b = 0, pak z podmínky det A = 1
4(tr A)2, tj. 4ad − 4bc = (a + d)2 plyne, že
c = −
1
b
a − b
2
2
.
Vlastní hodnotě λ = 1
2 (a+d) přísluší jediný (až na násobek skalárem) vlastní vektor
2b
a − d
.
Je-li b = 0, pak z podmínky det A = 1
4(tr A)2 plyne (a − d)2 = 0, tj. a = d. Matice
a 0
c a
má pro c = 0 jednoznačně určený vlastní vektor
0
1
příslušný k vlastní hodnotě λ = a; pro
c = 0 je každý vektor vlastním vektorem matice
a 0
0 a
příslušným k vlastní hodnotě λ = a.
Nyní můžeme předchozí tvrzení upřesnit. Je-li a2 + d2 > 0, pak směrový vektor polotečny
k trajektorii ve stacionárním bodě (0, 0) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastní
hodnotě λ = 1
2 tr A. Je-li a2 + d2 > 0, pak každý nenulový vektor je směrovým vektorem
polotečny k nějaké trajektorii ve stacionárním bodě (0, 0).
(ii) det A < 0
V tomto případě je D > (tr A)2
≥ 0, což znamená, že rovnice (5.7) má dva reálné různé
kořeny λ1, λ2. Poněvadž
√
D > |tr A|, mají tyto kořeny opačná znaménka. Nechť pro určitost
λ1 < 0 < λ2. Označme v1, resp. v2, vlastní vektor matice A příslušný k vlastní hodnotě λ1,
resp. λ2. Obecné řešení systému (5.6) je podle 4.2
x(t)
y(t)
= αv1eλ1t
+ βv2eλ2t
,
kde α, β jsou nějaké konstanty. Pro α = 0 = β je
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= (βv2) lim
t→−∞
eλ2t
= o,
pro α = 0 = β je
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= (αv1) lim
t→∞
eλ1t
= o
a pro α = 0 = β je
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= ||αv1|| lim
t→−∞
eλ1t
+ ||βv2|| lim
t→−∞
eλ2t
= ∞ + 0 = ∞,
5.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 71
det A
tr A
det A = 1
4 (tr A)
2
střed
ohnisko
stok
zdroj
uzel
stok
zdroj
sedlo
Obrázek 5.1: Typy izolovaných stacionárních bodů dvourozměrného autonomního lineárního
homogenního systému (5.6) v závislosti na hodnotách stopy a determinantu jeho matice.
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= ||αv1|| lim
t→∞
eλ1t
+ ||βv2|| lim
t→∞
eλ2t
= 0 + ∞ = ∞.
To znamená, že stacionární bod (0, 0) je sedlo. Směrový vektor polotečny ke trajektorii, která
směřuje ke stacionárnímu, resp. od stacionárního, bodu, je vlastním vektorem matice A příslušným
k záporné, resp. kladné, vlastní hodnotě.
Výsledky provedené analýzy lineárního dvourozměrného systému (5.6) s konstantní maticí
jsou shrnuty graficky na obrázku 5.1.
Věta 21. Uvažujme autonomní systém
x = ax + by + P(x, y)
y = cx + dy + Q(x, y) ,
(5.8)
kde P, Q jsou funkce dvou proměnných spojité v okolí počátku. Nechť ad − bc = 0 a nechť
existuje ε > 0 takové, že
lim
(x,y)→(0,0)
|P(x, y)| + |Q(x, y)|
(|x| + |y|)1+ε
= 0 .
Je-li bod (0, 0) uzlem nebo ohniskem pro systém (5.6), pak je stejného typu i pro systém (5.8).
Je-li bod (0, 0) středem pro systém (5.6), pak je bodem rotace nebo ohniskem pro systém (5.8).
Je-li bod (0, 0) sedlem pro systém (5.6) a funkce P, Q mají spojité parciální derivace podle
obou proměnných v okolí počátku, pak je (0, 0) sedlem i pro systém (5.8).
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VIII.
Důsledek 6. Nechť (x∗, y∗) je stacionárním bodem systému (5.5) (tj. f(x∗, y∗) = g(x∗, y∗) =
0) a funkce f, g mají spojité druhé parciální derivace podle obou proměnných v okolí bodu
(x∗, y∗). Označme
f1 =
∂f
∂x
(x∗
, y∗
), f2 =
∂f
∂y
(x∗
, y∗
), g1 =
∂f
∂x
(x∗
, y∗
), g2 =
∂f
∂y
(x∗
, y∗
)
72 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
a nechť f1g2 − f2g1 = 0.
Pak je bod (x∗, y∗) uzlem, ohniskem nebo sedlem pro systém (5.5), je-li počátek stacionárním
bodem stejného typu pro lineární homogenní systém
x = f1x + f2y
y = g1x + g2y .
(5.9)
Je-li počátek středem pro systém (5.9), je bod (x∗, y∗) buďto ohniskem nebo bodem rotace pro
systém (5.5).
Důkaz: Podle Taylorovy věty pro funkce dvou proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 5.2) existuje okolí O(x∗,y∗) stacionárního
bodu (x∗, y∗) takové, že ke každému (x, y) ∈ O(x∗,y∗) existuje číslo ϑ ∈ (0, 1) tak, že platí
f(x, y) = f(x∗
, y∗
) +
∂f(x∗, y∗)
∂x
(x − x∗
) +
∂f(x∗, y∗)
∂y
(y − y∗
)+
+
1
2
∂2f x∗ + ϑ(x − x∗), y∗ + ϑ(y − y∗)
∂x2
(x − x∗
)2
+
+ 2
∂2f x∗ + ϑ(x − x∗), y∗ + ϑ(y − y∗)
∂x∂y
(x − x∗
)(y − y∗
)+
+
∂2f x∗ + ϑ(x − x∗), y∗ + ϑ(y − y∗)
∂y2
(y − y∗
)2
=
= f1(x − x∗
) + f2(y − y∗
) + P(x − x∗
, y − y∗
),
kde jsme symbolem P(x − x∗, y − y∗) označili Taylorův zbytek v uvedeném tvaru.
Ze spojitosti druhých parciálních derivací funkce f a z druhé Weierstraßovy věty plyne,
že existuje konstanta K taková, že pro všechna (x, y) ∈ O(x∗,y∗) platí
∂2f(x, y)
∂x2
≤ K,
∂2f(x, y)
∂x∂y
≤ K,
∂2f(x, y)
∂y2
≤ K.
Odtud plyne, že
|P(x − x∗
, y − y∗
)| ≤
1
2
K|x−x∗
|2
+2K|x−x∗
||y−y∗
|+K|y−y∗
|2
=
K
2
|x−x∗
|+|y−y∗
|
2
.
Analogicky ukážeme, že existuje konstanta L a funkce Q takové, že na okolí stacionárního
bodu (x∗, y∗) platí
g(x, y) = g1(x − x∗
) + g2(y − y∗
) + Q(x − x∗
, y − y∗
),
přičemž
|Q(x − x∗
, y − y∗
)| ≤
L
2
K |x − x∗
| + |y − y∗
|
2
.
Nyní budeme vyšetřovat průběh malých odchylek řešení systému (5.5) od stacionárního bodu
(x∗, y∗), tj. zavedeme nové neznámé funkce
ξ = ξ(t) = x(t) − x∗
, η = η(t) = y(t) − y∗
.
5.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 73
(jinak lze říci, že posuneme stacionární bod (x∗, y∗) do počátku.) Funkce ξ, η jsou řešením
autonomního systém tvaru
ξ = f1ξ + f2η + P(ξ, η),
η = g1ξ + g2η + Q(ξ, η).
Pro funkce P, Q platí nerovnost |P(ξ, η)| + |Q(ξ, η)| ≤ M |ξ| + |η|
2
, kde M = max {K, L}.
Pro libovolné ε ∈ (0, 1) nyní dostaneme
0 ≤ lim
(ξ,η)→(0,0)
|P(ξ, η)| + |Q(ξ, η)|
|ξ| + |η|
1+ε ≤ lim
(ξ,η)→(0,0)
M |ξ| + |η|
2
|ξ| + |η|
1+ε = M lim
(ξ,η)→(0,0)
|ξ| + |η|
1−ε
= 0
a tvrzení plyne z věty 21.
S použitím terminologie zavedené v definici 14 můžeme část tohoto tvrzení přeformulovat:
Je-li (x∗, y∗) hyperbolický stacionární bod systému (5.5), pak je stejného typu jako stacionární
bod (0,0) linearizace tohoto systému ve stacionárním bodě (x∗, y∗).
Věta 22 (Dulacovo kritérium). Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω a existují
jednoduše souvislá otevřená množina B ⊆ Ω a spojitě diferencovatelná funkce q : B → R tak,
že výraz
F(x, z) =
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina
{(x, y) ∈ B : F(x, y) = 0} má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému (5.5).
Důkaz: Připusťme, že existuje cyklus C ⊆ B rovnice (5.5) a nechť jeho parametrické vyjádření
je
x = ϕ(t), y = ψ(t);
přitom funkce ϕ, ψ vyjadřují ω-periodické řešení systému (5.5), tedy
ϕ (t) = f ϕ(t), ψ(t) , ψ (t) = g ϕ(t), ψ(t) .
Předpokládejme, že křivka C je orientována kladně a má
tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou y a právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou x. Označme A množinu ohraničenou
křivkou C, [a, b] průmět množiny A na osu x,
t0 hodnotu parametru pro niž ϕ(t0) = ϕ(t0 + ω) = b, α
nejmenší kladné číslo pro něž ϕ(t0 + α) = a.
Dále zavedeme funkce m = m(x), resp. M = M(x),
takové, že jejich graf na intervalu [a, b] splývá s dolním,
resp. horním, obloukem křivky C. Pak
y
xba
M(x)
m(x)
C
A
m(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0 + α, t0 + ω],
M(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0, t0 + α].
74 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že
A
F(x, y) = 0. (5.10)
Podle Fubiniovy věty nyní platí
I =
A
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dxdy =
=
b
a



M(x)
m(x)
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dy


 dx =
b
a
[q(x, y)g(x, y)]
M(x)
y=m(x) dx =
=
b
a
q x, M(x) g x, M(x) dx −
b
a
q x, m(x) g x, m(x) dx.
V integrálech zavedeme substituci x = ϕ(t), tedy dx = ϕ (t)dt = f ϕ(t), ψ(t) dt,
I =
t0
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt−
−
t0+ω
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
t0+ω
t0
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
C
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) ds,
kde
C
Φ(x, y)ds označuje křivkový integrál z funkce Φ přes uzavřenou křivku C. Analogicky
ukážeme, že
J =
A
∂
∂x
q(x, y)f(x, y)dxdy =
C
q ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) ds.
Odtud plyne, že
A
F(x, y) =
A
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
dxdy = J + I = 0,
což je ve sporu s (5.10).
V případě, že by křivka byla orientovaná záporně, provedeme důkaz stejně s příslušnou
změnou znamének.
Pokud by na křivce C existovalo k > 2 bodů, v nichž je tečna rovnoběžný s osou y,
rozdělili bychom interval [t0, t0 + ω] na k subintervalů [t0, t0 + α1], [t0 + α1, t0 + α1 + α2], . . . ,
[t0 + ω − αk, t0 + ω] takových, že na každém z nich oblouk křivky C splyne s grafem nějaké
funkce proměnné x.
5.3. STABILITA 75
Důsledek 7 (Bendixsonovo kritérium). Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω
a existuje jednoduše souvislá otevřená množina B ⊆ Ω tak, že výraz
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina,
na níž je tento výraz nulový má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému
(5.5).
Věta 23 (Poincaré (1854–1912)-Bendixson (1861-1935)). Jestliže rovnice (5.1) má trajektorii
C+ = {x(t) : t ≥ 0}, která je ohraničená a její uzávěr neobsahuje stacionární body rovnice
(5.1), pak existuje cyklus rovnice (5.1), který leží v C+.
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VII.
5.3 Stabilita
Definice 20 (Persidskij (1903–1970)). Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (5.1) definované na
intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke každému ε > 0 existuje
δ > 0 tak, že pro každé t0 ≥ 0 všechna řešení x = x(t) systému (5.1) splňující podmínku
||x(t0) − x0(t0)|| < δ existují pro všechna t ≥ t0 a splňují pro ně nerovnost ||x(t) − x0(t)|| < ε.
Není-li řešení x0 = x0(t) systému (5.1) stejnoměrně stabilní, nazývá se nestabilní.
Definice 21 (Ljapunov (1857–1918)). Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (5.1) definované
na intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá stejnoměrně asymptoticky stabilní, je-li stejnoměrně
stabilní a existuje δ > 0 tak, že pro každé t1 ≥ 0 a všechna řešení x = x(t) systému (5.1)
splňující podmínku ||x(t1) − x0(t1)|| < δ platí lim
t→∞
||x(t) − x0(t)|| = 0.
Ze struktury prostoru řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty
(sr. 4.2) plynou následující tři věty.
Věta 24. Buď A konstantní matice. Jestliže všechny kořeny její charakteristické rovnice
det(A − λE) = 0 (vlastní čísla matice A) mají nekladnou reálnou část a ty s nulovou reálnou
částí jsou jednoduché, pak řešení x0 = x0(t) ≡ 0 lineárního autonomního systému
x = Ax (5.11)
je stejnoměrně stabilní.
Věta 25. Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice A má kladnou reálnou část, pak řešení
x0 = x0(t) ≡ 0 lineárního autonomního systému (5.11) je nestabilní.
Věta 26. Řešení x0 = x0(t) ≡ 0 lineárního autonomního systému (5.11) je stejnoměrně
asymptoticky stabilní právě tehdy, když každé vlastní číslo matice A má zápornou reálnou
část.
Uvažujme nyní perturbovaný lineární systém s konstantními koeficienty
x = Ax + g(x) . (5.12)
76 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Věta 27. Buď Y = Y(t) fundamentální matice řešení systému (5.11). Jestliže existují konstanty
K > 0 a γ <
1
K
takové, že
t
0
Y(t)Y(s)−1
ds ≤ K pro t ≥ 0 (5.13)
a ||g(x)|| ≤ γ ||x|| pro x ∈ Ω, pak řešení x0 = x0(t) ≡ 0 systému (5.12) je stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 130–131.
Poznámka 11. Podmínka (5.13) zaručí stejnoměrnou asymptotickou stabilitu nulového řešení
systému (5.11). Věta říká, že je-li perturbace g v jistém smyslu dostatečně malá, zůstává
zachována stejnoměrná asymptotická stabilita nulového řešení rovnice (5.12).
Z hlediska aplikací je důležité vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních
řešení (stacionárních bodů) rovnice (5.1).
Je-li funkce f dvakrát spojitě diferencovatelná a f(x∗) = o, pak podle Taylorovy věty
pro funkce více proměnných platí
f(x) = A(x − x∗
) + r1(x, x∗
) ,
kde A = (aij) =
∂fi
∂xj
(x∗) a r1 je příslušný Taylorův zbytek. Vyšetřování stejnoměrné
asymptotické stability konstantních řešení rovnice (5.1) lze transformací y = x − x∗ převést
na vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability nulového řešení rovnice
y = Ay + g(y),
kde g(y) = r1(y + x∗, x∗) a tu vyšetřit podle věty 27.
Věta 28. Buď x∗ stacionární bod systému (5.1) a nechť zobrazení f je spojitě diferencova-
telné.
Mají-li všechna vlastní čísla variační matice Df(x∗) = J(x∗) záporné reálné části, pak
konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo variační matice Df(x∗) = J(x∗) s kladnou reálnou částí, pak
je konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1) nestabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 137–138.
První tvrzení věty 28 říká, že stok je asymptoticky stabilní, sr. def. 14.
5.3.1 Kvalitativní vlastnosti řešení dvourozměrného autonomního systému
(5.5)
Nechť (x∗, y∗) je stacionární bod systému (5.5), funkce f, g jsou dvakrát spojitě diferencovatelné
a J(x∗, y∗) je variační matice tohoto systému v bodě (x∗, y∗). Spojením definice 19,
důsledku 6 a věty 28 dostaneme dostatečné podmínky pro to, aby stacionární bod (x∗, y∗) byl
sedlem, stabilním nebo nestabilním uzlem a ohniskem; tyto podmínky jsou shrnuty v tabulce
5.1.
Do konce tohoto odstavce budeme symbolem ϕ(t; x0) = ϕ1(t; x0), . . . , ϕn(t; x0) označovat
řešení počáteční úlohy (5.1), (5.2).
5.3. STABILITA 77
det J(x∗, y∗) < 0 sedlo
tr J(x∗, y∗)
2
≥ 4 det J(x∗, y∗) nestabilní uzel
tr J(x∗, y∗) > 0
tr J(x∗, y∗)
2
< 4 det J(x∗, y∗) nestabilní ohnisko
tr J(x∗, y∗)
2
≥ 4 det J(x∗, y∗) stabilní uzel
det J(x∗, y∗) > 0
tr J(x∗, y∗) < 0
tr J(x∗, y∗)
2
< 4 det J(x∗, y∗) stabilní ohnisko
Tabulka 5.1: Klasifikace stacionárních bodů systému (5.5). Uvedené podmínky jsou dostatečné
pro to, aby stacionární bod (x∗, y∗) byl typu uvedeného v posledním sloupci tabulky; J(x∗, y∗)
označuje variační matici systému (5.5) ve stacionárním bodě (x∗, y∗).
Definice 22. Buď x∗ ∈ Ω a G okolí bodu x∗ ve fázovém prostoru Ω. Spojitá funkce V : G →
R se nazývá ljapunovská funkce systému (5.1) v bodě x∗, jestliže
(i) V (x∗) = 0 a V (x) > 0 pro každé x ∈ G \ {x∗}.
(ii) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ϕ(t; η) (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné
t) nerostoucí pro všechna t ≥ 0.
Věta 29 (Přímá Ljapunova metoda). Existuje-li ljapunovská funkce systému (5.1) v bodě x∗,
pak x∗ je stacionárním bodem systému (5.1) a konstantní řešení x(t) ≡ x∗ tohoto systému
je stejnoměrně stabilní.
Pokud navíc podmínku (ii) z definice 22 lze nahradit silnější podmínkou
(ii∗) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ϕ(t; η) (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné
t) klesající pro všechna t ≥ 0,
pak je konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1) stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz: Pokud by existovalo τ > 0 takové, že ϕ(τ; x∗) = x∗, pak by V ϕ(τ; x∗) > 0 =
V ϕ(0; x∗) a funkce V ϕ(·; x∗) by nebyla nerostoucí. Bod x∗ je tedy stacionárním bodem
systému (5.1).
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x∗ = o. V opačném případě bychom totiž
mohli systém (5.1) substitucí y = x − x∗ transformovat na systém y = f(y + x∗), pro který
je o stacionárním bodem.
Buď ε > 0 libovolné číslo takové, že {x ∈ Rn : ||x|| ≤ ε} ⊆ G a označme
γ = min {V (x) : ||x|| = ε} .
Pak γ > 0 a V (x) ≥ γ pro každé x takové, že ||x|| = ε. Ze spojitosti funkce V plyne, že
existuje δ > 0 takové, že |V (x) − 0| = V (x) < γ pro všechna x taková, že ||x|| < δ. Zřejmě je
δ < ε.
Buď dále ξ ∈ Ω takové, že ||ξ|| < δ. Pak V ϕ(0; ξ) < γ a poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je
nerostoucí, platí
V ϕ(t; ξ) < γ pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ). (5.14)
78 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Kdyby nyní existovalo t1 > 0 takové, že ||ϕ(t1, ξ)|| ≥ ε, pak by ze spojitosti funkce ||ϕ( · ; ξ)||
a z Bolzanovy věty plynula existence t0 ∈ (0, t1) takového, že ||ϕ(t0; ξ)|| = ε a platilo by
V ϕ(t0; ξ) ≥ γ, což by byl spor s (5.14).
Pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ) tedy platí ||ϕ(t; ξ)|| < ε. Odtud navíc
podle 3 plyne, že ϕ( · ; ξ) je definována pro všechna t > 0. Tvrzení o stejnoměrné stabilitě je
tedy dokázáno.
V případě, že ξ = x∗, platí: ϕ(t; ξ) = ϕ(t; x∗) = x∗ pro každé t ≥ 0, takže lim
t→∞
ϕ(t; ξ) =
x∗.
Nechť ξ = x∗ = o a funkce V ϕ( · ; ξ) je klesající. Poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je monotonní,
existuje
lim
t→∞
V ϕ(t; ξ) = α ∈ R (5.15)
a z nezápornosti funkce V plyne α ≥ 0. Připusťme α > 0. Z toho, že
lim
x→x∗
V (x) = V (x∗
) = 0,
plyne existence t2 > 0 a β > 0 takových, že ||ϕ(t; ξ)|| ≥ β pro všechna t ≥ t2. Pro všechna
t ≥ t2 je tedy
β ≤ ||ϕ(t; ξ)|| ≤ ε.
Položme v(z) = V ϕ(1; z) − V ϕ(0; z) . Funkce v je podle 7 spojitá na kompaktní množině
{z ∈ Rn : β ≤ ||z|| ≤ ε} a je zde záporná. Podle Weierstrassových vět existuje
∆ = max {v(z) : β ≤ ||z|| ≤ ε} ;
je ∆ < 0 a pro k ∈ N platí
V ϕ(t2 + k; ξ) = V ϕ(t2 + k; ξ) − V ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) =
= v ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) = . . .
· · · =
k
i=1
v ϕ(t2 + i − 1; ξ) + V ϕ(t2; ξ) ≤ k∆ + V ϕ(t2; ξ) .
Poněvadž lim
k→∞
k∆ = −∞, je také lim
k→∞
V ϕ(t2 + k; ξ) = −∞, což je spor s (5.15). Tento
spor dokazuje, že α = 0. Ze spojitosti funkce V , z faktu ϕ(t; ξ) = x∗ pro t > 0 a ξ = x∗, z
podmínky (i) v definici 22 a ze vztahu (5.15) nyní plyne lim
t→∞
ϕ(t; ξ) = x∗. Tím je dokázáno
i tvrzení o stejnoměrné asymptotické stabilitě.
Důsledek 8. Buď V : G → R diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (i) z definice
22. Jestliže pro každé x ∈ G platí
˙V (x) =
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) ≤ 0, (5.16)
pak funkce V je ljapunovskou funkcí systému (5.1) v bodě x∗ a tedy konstantní řešení x(t) ≡
x∗ tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Jestliže pro každé x ∈ G \ {x∗} platí ˙V (x∗) < 0, pak funkce V splňuje podmínku (ii∗)
z věty 29 a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗ tohoto systému je stejnoměrně asymptoticky
stabilní.
5.4. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 79
Důkaz: Pro každé η ∈ G a každé t ≥ 0 je x = ϕ(t, η) ∈ G a podle věty o derivaci složené
funkce platí
d
dt
V ϕ(t; η) =
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η)
dϕi(t; η)
dt
=
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η) fi ϕ(t; η) =
=
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) = ˙V (x).
Odtud a ze známých vět o vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné pomocí derivace
plynou obě tvrzení.
Je-li U diferencovatelná funkce definovaná na G ⊆ Ω, pak výraz ˙U(x) definovaný vztahem
˙U(x) =
n
i=1
∂U(x)
∂xi
fi(x)
se nazývá derivace funkce U vzhledem k systému (5.1).
5.4 Konzervativní systémy
Nejprve připomeneme dva pojmy, jeden z analýzy a druhý z lineární algebry: Operátor (nabla,
gradient) přiřazuje spojitě diferencovatelné skalární funkci F proměnných x1, x2, . . . , xn
vektorovou funkci
F =
∂F
∂x1
,
∂F
∂x2
, . . . ,
∂F
∂xn
T
.
stejných proměnných.
Matice A se nazývá antisymetrická (polosymetrická, anglicky skew-symmetric), pokud platí
rovnost A = −AT .
Definice 23. Funkce U : Ω → R se nazývá první integrál (invariant) systému (5.1), je-li
spojitě diferencovatelná a v každém bodě x ∈ Ω pro její derivaci vzhledem k systému (5.1)
platí
˙U(x) = U(x)T
f(x) =
n
i=1
∂U
∂xi
(x)fi(x) = 0.
Řekneme, že systém (5.1) je konzervativní, jestliže existuje jeho první integrál.
Věta 30. Nechť U : Ω → R je první integrál systému (5.1) a nechť x( · ) je řešení systému
(5.1). Pak je funkce U x( · ) konstantní.
Důkaz:
d
dt
U(x(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t)
d
dt
xi(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t) fi x(t) = 0.
První integrál tedy vyjadřuje veličinu, která je na trajektoriích systému (5.1) konstantní,
tj. veličinu, která se v průběhu vývoje systému zachovává; název „invariant je tedy adekvátní.
80 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Systém je konzervativní, pokud zachovává (konzervuje) veličinu U. V aplikacích může jít např.
o celkovou energii nebo hmotu a podobně.
Větu lze přeformulovat i takto: trajektorie systému (5.1) jsou vrstevnicemi prvního integrálu.
Znalost prvního integrálu tedy poskytuje informaci o řešení systému (5.1).
Znalost několika prvních integrálů umožňuje také zmenšit dimenzi systému (5.1). Uvažujme
systém (5.1) s počáteční podmínkou (5.3). Nechť k je přirozené číslo splňující nerovnosti
1 ≤ k < n, U1, U2, . . . , Uk jsou první integrály systému (5.1) a nechť vektory
U1(x0), U2(x0), . . . , Uk(x0) jsou lineárně nezávislé. Definujme zobrazení Φ =: Ω → Rk,
Φ = (Φ1, Φ2, . . . , Φk)T předpisem
Φ(x) =





U1(x) − U1(x0)
U2(x) − U2(x0)
...
Uk(x) − Uk(x0)





.
Toto zobrazení je spojitě diferencovatelné. Označme
x0 = (x0)1, (x0)2, . . . , (x0)n)
T
= (x0,1, x0,2, . . . , x0,n)T
y = (x1, x2, . . . , xk)T
, z = (xk+1, xk+2, . . . , xn)T
,
y0 = (x0,1, x0,2, . . . , x0,k)T
, z0 = (x0,k+1, x0,k+2, . . . , x0,n)T
.
Pak je Φ(y0, z0) = o a z lineární nezávislosti vektorů U1(x0), U2(x0), . . . , Uk(x0) plyne
det











∂
∂y1
Φ1(y0, z0)
∂
∂y2
Φ1(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ1(y0, z0)
∂
∂y1
Φ2(y0, z0)
∂
∂y2
Φ2(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ2(y0, z0)
...
...
...
...
∂
∂y1
Φk(y0, z0)
∂
∂y2
Φk(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φk(y0, z0)











=
= det











∂
∂x1
U1(x0)
∂
∂x2
U1(x0) · · ·
∂
∂xk
U1(x0)
∂
∂x1
U2(x0)
∂
∂x2
U2(x0) · · ·
∂
∂xk
U2(x0)
...
...
...
...
∂
∂x1
Uk(x0)
∂
∂x2
Uk(x0) · · ·
∂
∂xk
Uk(x0)











= 0.
Jsou splněny předpoklady věty o implicitním zobrazení (viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, Věta 8.5). To znamená, že existuje
jediné spojité zobrazení Ψ = (Ψ1, Ψ2, . . . , Ψk)T : Rn−k → Rk takové, že Φ Ψ(z0), z0 = o.
Substitucí
z1 = xk+1, z2 = xk+2, . . . , zn−k = xn
přejde systém (5.1) na systém
z1 =fk+1(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
z2 =fk+2(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
...
zn−k=fn(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k).
5.4. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 81
Stručně řečeno, složky x1, x2, . . . , xk vypočítáme ze soustavy rovnic
U1(x1, x2, . . . , xn) = U1(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
U2(x1, x2, . . . , xn) = U2(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
...
Uk(x1, x2, . . . , xn) = Uk(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
tak, že je vyjádříme v závislosti na složkách xk+1, xk+2, . . . , xn, a pak je dosadíme do posledních
n − k rovnic systému (5.1). Obecněji: vyjádříme k neznámých funkcí pomocí zbývajících
n − k a dosadíme je do příslušných n − k z původních diferenciálních krovnic.
Definice 24. Nechť existuje antisymetrická matice S a spojitě diferencovatelná funkce H :
Ω → R taková, že pro všechna x je f(x) = S H(x). Pak se systém (5.1) nazývá hamiltonovský,
funkce H se nazývá hamiltonián systému (5.1).
Hamiltonovský systém je tedy tvaru
x = S H(x).
Věta 31. Hamiltonovský systém je konzervativní, hamiltonián je jeho invariantem.
Důkaz: Nejprve si všimněme, že pro libovolný vektor x ∈ Rn a antisymetrickou matici S řádu
n platí
vT
Sv = vT
Sv
T
= vT
ST
v = −vT
Sv
a tedy vT Sv = 0. Odtud plyne, že
H(x)T
f(x) = H(x)T
S H(x) = 0.
Definice 25. Existuje-li přirozené číslo k, 1 ≤ k < n a existují-li zobrazení
g = (g1, g2, . . . , gk) : Rn−k
→ Rk
, h = (h1, h2, . . . , hn−k) : Rk
→ Rn−k
tak, že pro všechna x ∈ Ω je
f(x) = f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn) =
= g1(xk+1, xk+2, . . . , xn), g2(xk+1, xk+2, . . . , xn), . . . , gk(xk+1, xk+2, . . . , xn),
h1(x1, x2, . . . , xk), h2(x1, x2, . . . , xk), . . . , hn−k(x1, x2, . . . , xk) ,
pak se systém (5.1) nazývá bipartitní.
Při označení y = (x1, x2, . . . , xk), z = (xk+1, xk+2, . . . , xn) lze bipartitní systém zapsat ve
tvaru
y = g(z), z = h(y).
Neznámé funkce jsou rozlišeny na dvě sady; derivace funkcí z první sady závisí pouze na
funkcích z druhé sady a naopak.
82 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Příklad (Newtonovy zákony pohybu)
Uvažujme hmotný bod X o hmotnosti m, který má v čase t souřadnice x = x(t), y = y(t),
z = z(t) a na nějž působí síla F = (Fx, Fy, Fz), která může záviset na poloze bodu X.
Polohu bodu X lze zapsat jako vektor x = (x, y, z)T . Označme po řadě v = (vx, vy, vz)T ,
a = (ax, ay, az)T , p = (px, py, pz)T rychlost, zrychlení a hybnost bodu X.
Zákon setrvačnosti říká, že pokud je hmotný bod v klidu nebo vykonává rovnoměrný
přímočarý pohyb, pak jeho hybnost („množství pohybu ) je konstantní a úměrná rychlosti s
koeficientem úměrnosti m, tj. p = mv. Ze zákona setrvačnosti tak dostáváme
x = v =
1
m
p a dále a = x =
1
m
p , tj. p = ma.
Síla působí zrychlení hmotného bodu; definujeme ji jako úměrnou tomuto zrychlení opět s
koeficientem úměrnosti m, tj. F = ma. První dva Newtonovy pohybové zákony tedy můžeme
vyjádřit ve tvaru bipartitního systému
x =
1
m
p, p = F (x). (5.17)
Nechť nejprve nepůsobí žádná síla, F = o. Pak funkce
U(x, p) = U(x, y, z, px, py, pz) = px + py + pz
je prvním integrálem systému
x =
1
m
p, p = o. (5.18)
Vskutku
U(x, y, z, px, py, pz) = (0, 0, 0, 1, 1, 1)T
, f(x, y, z, px, py, pz) =
px
m
,
py
m
,
pz
m
, 0, 0, 0
T
,
takže UT f = 0. Analogicky se lze přesvědčit, že každá z funkcí
U1(x, p) = px, U2(x, p) = py, U3(x, p) = pz, U4 = p2
x + p2
y + p2
z
je prvním integrálem systému (5.18); uvedené první integrály U4 a U1, U2, U3 vyjadřují zákon
zachování hybnosti, resp. jejích složek.
Uvažujme nyní centrální sílu působící v počátku, tj. sílu, která bod X přitahuje k počátku
nebo ho od něj odpuzuje. O velikosti síly budeme předpokládat, že je přímo úměrná hmotnosti
bodu X a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu X od počátku (takovou
přitažlivou silou je například síla gravitační). Platí tedy
Fx(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
x
x2 + y2 + z2
, Fy(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
y
x2 + y2 + z2
,
Fz(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
z
x2 + y2 + z2
, tj. F (x) =
cm
||x||3 x,
kde || · || nyní označuje euklidovskou velikost (normu) vektoru. Je-li konstanta úměrnosti c
kladná, jedná se o přitažlivou sílu, je-li záporná, jedná se o sílu odpudivou. Systém (5.17) je
nyní tvaru
x =
1
m
p, p =
cm
||x||3 x. (5.19)
5.4. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 83
V souřadnicích ho lze rozepsat
x =
1
m
px, px =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
x,
y =
1
m
py, py =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
y,
z =
1
m
pz, pz =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
z.
Fázový prostor tohoto systému je množina Ω = (x, p) ∈ R3+3 : ||x|| > 0 . Pro funkci H :
Ω → R definovanou předpisem
H(x, p) =
||p||2
2m
+
cm
||x||
, tj. H(x, y, z, px, py, pz) =
1
2m
(p2
x + p2
y + p2
z) +
cm
x2 + y2 + z2
platí
∂H
∂x
= −
cmx
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂y
= −
cmy
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂z
= −
cmz
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂px
=
px
m
,
∂H
∂py
=
py
m
,
∂H
∂pz
=
pz
m
.
(5.20)
Tedy HT f = 0 a funkce H je prvním integrálem systému (5.19). Výraz
1
2m
(p2
x +p2
y +p2
z) =
1
2m
(m2
x
2
+m2
y
2
+m2
z
2
) =
1
2
m(x
2
+y
2
+z
2
) =
1
2
m x
2
=
1
2
m ||v||2
vyjadřuje kinetickou energii hmotného bodu X, výraz
cm
x2 + y2 + z2
=
cm
||x||
vyjadřuje jeho energii potenciální. První integrál je tedy celkovou mechanickou energií hmotného
bodu X, která se zachovává.
Z vyjádření (5.20) vidíme, že systém (5.19) lze také zapsat ve tvaru








x
y
z
px
py
pz








=








0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0






























∂
∂x
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂y
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂z
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂px
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂py
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂pz
H(x, y, z, px, py, pz)






















84 KAPITOLA 5. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
nebo stručně
x
p
=
O E
−E O
H(x, p),
kde O, resp. E, je nulová, resp. jednotková, matice. Odtud vidíme, že první integrál H je
současně hamiltoniánem systému (5.19). Označíme-li nyní
x =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
T
, p =
∂
∂px
,
∂
∂py
,
∂
∂pz
T
můžeme systém (5.19) také zapsat jako hamiltonovský systém
x = pH(x, p), p = − xH(x, p).
Část II
Aplikace
85
Kapitola 6
Některé klasické elementární úlohy
V této kapitole je uvedeno několik úloh vedoucích na obyčejné diferenciální rovnice, které lze
vyřešit elementárními metodami z kapitoly 2. Lze ji tedy považovat za jakousi sbírku řešených
příkladů.
Úlohy vychází z různých oborů — kinematiky (úlohy 6.1, 6.5), geometrické optiky (Archimédova
úloha 6.3), dynamiky (úloha o reaktivním motoru 6.2), kosmologie (jednoduchý model
expandujícího Vesmíru 6.8), epidemiologie (úloha 6.6), teorie řízení (problém „menežmentu
obnovitelných zdrojů 6.7) nebo psychologie (nepříliš vážně míněná úloha 6.4).
6.1 Traktrisa
Po stole táhneme hodinky na napjatém řetízku délky tak, že koncem řetízku sledujeme
hranu stolu. Na počátku svírá řetízek a hrana stolu úhel α ∈ (0, 1
2π]. Úkolem je určit dráhu
hodinek.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, že svislá osa splývá s hranou stolu a je
souhlasně orientovaná se směrem pohybu konce řetízku, viz obr. 6.1. Při této volbě budou
hodinky na počátku v bodě (− sin α, 0). Dráhu hodinek vyjádříme jako graf funkce y = y(x).
Hodinky se pohybují ve směru působící síly, síla působí ve směru řetízku. To znamená, že
přímka incidentní s řetízkem je tečnou ke grafu funkce y v každém bodě. Směrnice této tečny
je tedy rovna
y (x) =
√
2 − x2
−x
. (6.1)
Hledaná funkce je řešením této obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
y(− sin α) = 0. (6.2)
Na pravé straně rovnice (6.1) se nevyskytuje hledaná funkce y, proto můžeme řešení úlohy
(6.1), (6.2) bezprostředně psát ve tvaru určitého integrálu
y(x) =
x
− sin α
2 − ξ2
−ξ
dξ = ln
+ 2 − ξ2
|ξ|
− 2 − ξ2
x
ξ=− sin α
=
= cos α − 1 −
x2
2
+ ln
+
√
2 − x2
−x
sin α
1 + cos α
.
87
88 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
y
x
√
2 − x2
α
Obrázek 6.1: Traktrisa
Úlohu o dráze hodinek tažených na řetízku po stole zformuloval Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646–1716). Křivku podrobně studoval v roce 1692 Christiaan Huygens, který jí také dal jméno
tractrix (z latinského trahere, táhnout).
6.2 Ciolkovského rovnice
Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné
vnější síly (tedy ve stavu beztíže). Nechť v čase t0 = 0 se raketa pohybuje rychlostí v0. V čase
t0 se zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas T a v podobě plynů proudí z trysky na zádi
rakety rychlostí u vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného
manévru, tedy její rychlost v čase T.
Označme M . . . hmotnost rakety na počátku (v čase t0 = 0),
µ . . . hmotnost paliva vyhořelého za čas T,
m = m(t) . . . hmotnost rakety (s dosud nevyhořelým palivem) v čase t,
v = v(t) . . . rychlost rakety v čase t.
Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností
m(t) = M −
µ
T
t =
MT − µt
T
. (6.3)
Rychlost v neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí
svého argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase t je
p(t) = m(t)v(t). (6.4)
Uvažujme krátký časový interval [t, t + ∆t] ⊆ [0, T]. Během něho shoří palivo o hmotnosti
∆µ = µ(t) − µ(t + ∆t) = M −
µ
T
t − M −
µ
T
(t + ∆t) =
µ
T
∆t. (6.5)
6.2. CIOLKOVSKÉHO ROVNICE 89
Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase t rovna
v(t) − u a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu v(t + ∆t) − u.
Hybnost vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako
pP (t, ∆t) = w(t, ∆t)∆µ, (6.6)
kde w(t, ∆t) je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky ∆t, tj.
w(t, ∆t) =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ) − u dτ =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ)dτ − u.
Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo η ∈ (0, 1) takové, že
t+∆t
t
v(τ)dτ = v(t + η∆t)∆t,
takže w(t, ∆t) = v(t + η∆t) − u. S využitím této rovnosti a rovnosti (6.5) vyjádříme hybnost
(6.6) vytékajícího plynu výrazem
pP (t, ∆t) = v(t + η∆t) − u
µ
T
∆t. (6.7)
Hybnost rakety v čase t + ∆t je vzhledem k (6.3) rovna
pR(t + ∆t) = m(t + ∆t)v(t + ∆t) = M −
µ
T
(t + ∆t) v(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t + ∆t).
Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí
v(t + ∆t) = v(t) + v (t + ϑ∆t)∆t,
kde ϑ ∈ (0, 1). Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme
pR(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t) + v (t + ϑ∆t)∆t =
= m(t)v(t) −
µ
T
v(t) − m(t)v (t + ϑ∆t) ∆(t) −
µ
T
v (t + ϑ∆t)(∆t)2
. (6.8)
Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase t + ∆t rovna
p(t + ∆t) = pR(t + ∆t) + pP (t, ∆t).
Odtud a z (6.7), (6.8) dostaneme
p(t + ∆t) − p(t)
∆t
= v(t + η∆t) − u − v(t)
µ
T
+ m(t)v (t + ϑ∆t) −
µ
T
v (t + ϑ∆t)∆t.
Limitním přechodem ∆t → 0 a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy
rakety s palivem ve tvaru
p (t) = m(t)v (t) − u
µ
T
.
90 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Podle zákona o zachování hybnosti je p (t) = 0, takže s využitím rovnosti (6.3) dostaneme
diferenciální rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru
v (t) =
µu
MT − µt
.
Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce v, stačí tedy integrovat obě strany rovnice
v mezích od 0 po t. S využitím počáteční podmínky v(0) = v0 dostaneme
v(t) = v0 +
t
0
µu
MT − µτ
dτ = v0 − u [ln |MT − µτ|]t
τ=0 = v0 + u ln
MT
MT − µt
=
= v0 + u ln 1 +
µt
MT − µt
.
Zejména pro t = T máme
v(T) = v0 + u ln 1 +
µ
M − µ
. (6.9)
Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice.
Rovnici (6.9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro
Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na
ní rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku
ÓÐ ÓÚ× ¸ ú º ÁÞ×Ð ÓÚ Ò Ñ ÖÓÚÝ ÔÖÓ×ØÖ Ò×ØÚ Ö Ø ÚÒÝÑ ÔÖ Ó¹
Ö Ñ º Æ ÙÕÒÓ Ó ÓÞÖ Ò º 1903, Ó X, No. 5
zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným
prostředkem pro lety do vesmíru.
6.3 Archimédova úloha
Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska).
Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku O, přicházející paprsky
byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 6.2).
Uvažujme přicházející paprsek p, který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném
bodě P = (x0, y0), x0 > 0, y0 < 0. Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí
y = y(x); přitom samozřejmě y(x0) = y0.
Označme τ, resp. ν, tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě P, q přímku incidentní s odraženým
paprskem PO, r vodorovnou přímku procházející bodem P. Nechť dále ϕ = νq je
úhel, který svírá odražený paprsek s normálou ν. Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a tedy
pν = ϕ. Odtud plyne, že pτ = 1
2π − ϕ. Dále platí rτ = 1
2π − pτ = ϕ. Poněvadž τ je
tečnou ke křivce o rovnici y = y(x), platí
dy
dx
(x0) = tg( rτ) = tg ϕ. (6.10)
Poněvadž přímky p a r jsou kolmé, je qr = 1
2 π − pν − νq = 1
2 π − 2ϕ a tedy
tg( qr) = tg
π
2
− 2ϕ = cotg(2ϕ) =
1 − (tg ϕ)2
2 tg ϕ
. (6.11)
6.3. ARCHIMÉDOVA ÚLOHA 91
τ
r
ν
p
q
ϕ
. P
x0
y0
O
y = y(x)
Obrázek 6.2: K Archimédově úloze: y = y(x) – zrcadlo, p – přicházející paprsek, q – odražený
paprsek, P – bod dopadu a odrazu paprsku, O – ohnisko, τ – tečna k zrcadlu v bodě dopadu
přicházejícího paprsku, ν – normála k zrcadlu, ϕ –úhel odrazu.
Současně
tg( qr) =
|y0|
x0
= −
y0
x0
. (6.12)
Spojením (6.10), (6.11) a (6.12) dostaneme rovnost
−
y0
x0
=
1 −
dy
dx
(x0)
2
2
dy
dx
(x0)
.
Poněvadž bod P = (x0, y0) byl libovolný, dostáváme pro tvar zrcadla diferenciální rovnici
dy
dx
2
− 1 = 2
y
x
dy
dx
.
To je rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci. Jedná se však o jednoduchou kvadratickou
rovnici pro neznámou derivaci, takže ji můžeme vyjádřit ve tvaru
dy
dx
=
y
x
±
y
x
2
+ 1 .
Pro y < 0 a x > 0 je
dy
dx
> 0, viz obrázek 6.2. Znaménko před odmocninou tedy musí být +.
Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla
dy
dx
=
y
x
+
y
x
2
+ 1 .
To je rovnice homogenní. Substitucí u = u(x) =
y(x)
x
, tedy y(x) = xu(x),
dy
dx
= u + x
du
dx
dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je
du
√
u2 + 1
=
dx
x
,
92 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
tedy ln u +
√
u2 + 1 = ln |x| + const. Odtud
u(x) =
1
2
x
C
−
C
x
,
kde C je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost
y(x) =
1
2
x2
C
− C ,
neboli x2 = C(C + 2y). To je rovnice paraboly s ohniskem (0, 0) a řídící přímkou x = −C.
Název „Archimédova úloha vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus
armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214–212 př. n. l. z vyleštěných štítů obránců města
sestavoval zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované
smolou.
6.4 Romeo a Julie
Romeo na plese zahlédl Julii a na první pohled se do ní zamiloval. Svoji zamilovanost začal
Julii dávat najevo a tak se i ona do něho zamilovala. Pokusíme se popsat vývoj jejich citů,
pokud by nedošlo k tragédii popsané Williamem Shakespearem.
Předpokládejme, že cit lze nějak kvantifikovat a označme r = r(t) Romeův cit k Julii
a j = j(t) Juliin cit k Romeovi v čase t. Cit s kladným znaménkem budeme interpretovat
jako okouzlení nebo zamilovanost1, cit se záporným znaménkem jako odpor nebo nechuť.
Romeův cit samozřejmě závisí na Juliině odezvě a současně je citem renesančního kavalíra,
tedy dobyvatele: čím více náklonnosti Julie projevuje, tím je pro dobyvatele Romea méně
přitažlivá. Tento jev vyjádříme tak, že Romeův cit k Julii se zmenšuje, pokud její k němu
je kladný. V prvním přiblížení budeme změnu Romeova citu k Julii, tj. derivaci funkce r,
považovat za úměrnou Juliinu citu k Romeovi se záporným koeficientem úměrnosti. Formálně
to zapíšeme rovností
dr
dt
= −aj, (6.13)
kde a je kladná konstanta. Naopak Juliin cit k Romeovi je povzbuzován Romeovými projevy
náklonnosti. Touto úvahou dostaneme rovnici pro Juliin cit v prvním přiblížení jako
dj
dt
= br, (6.14)
kde b > 0. Na počátku se Romeo zamiloval a Julie o něm ani nevěděla, její cit k Romeovi byl
nulový. Romeovu zamilovanost budeme považovat za jednotkový kladný cit. Dostáváme tak
podmínky
r(0) = 1, j(0) = 0. (6.15)
1
Používáme slovo „zamilovanost , nikoliv „láska . Láska totiž není jen citem, ale je z velké míry i záležitostí
rozhodnutí a vůle; nelze ji proto jednoduše popisovat nějakým „přírodovědeckým způsobem. Samotný cit však
lze do jisté míry biologickými nebo chemickými termíny popsat a proto ho lze i matematicky modelovat.
6.4. ROMEO A JULIE 93
Diferenciální rovnice (6.13), (6.14) s počátečními podmínkami (6.15) představují model vývoje
Romeových a Juliiných citů. Jedná se o homogenní systém dvou lineárních rovnic s konstantními
koeficienty a lze ho tedy vyřešit metodami popsanými v 4.2, konkrétně postupem z 4.1.3
a 4.3.3.
Derivováním rovnice (6.13) a dosazením z rovnosti (6.14) dostaneme
d2r
dt2
= −a
dj
dt
= −abr.
Vývoj Romeova vztahu k Julii je tedy popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého
řádu s konstantními koeficienty
d2r
dt2
+ abr = 0. (6.16)
Příslušná charakteristická rovnice λ2 + ab = 0 má dva různé ryze komplexní kořeny λ1,2 =
±i
√
ab. Obecné řešení rovnice (6.16) tedy je tvaru
r(t) = A cos
√
ab t + B sin
√
ab t .
Řešení musí splňovat počáteční podmínky (6.15), tedy
r(0) = 1,
dr
dt
(0) = −aj(0) = 0.
Odtud dostaneme A = 1, B = 0, takže r(t) = cos
√
ab t a podle rovnosti (6.13) dále platí
j(t) = −
1
a
dr(t)
dt
=
1
a
√
ab sin
√
ab t =
b
a
sin
√
ab t .
Model (6.13), (6.14), (6.15) vývoje citů veronských milenců tedy předpovídá, že Romeovy city
k Julii by periodicky kolísaly mezi zamilovaností a zhnusením, stejně tak Juliiny city k Romeovi.
Pozitivní city k sobě navzájem mohou prožívat pouze na začátku příběhu, konkrétně
do času
t =
π
2
√
ab
.
Shakespearovo řešení konfliktu tedy není tragédií, ale dobrým koncem. Kdyby příběh probíhal
v neomezeném čase, pak pouze čtvrtinu z něho prožívají Romeo s Julií ve vzájemné
náklonnosti, čtvrtinu ve vzájemném odporu a polovinu času s city rozdílnými. Povšimněme
si ještě, že v případě b > a kolísají Juliiny city s větší amplitudou než Romeovy, v případě
b < a je tomu naopak. Jinak řečeno, větším výkyvům citů (většímu utrpení?) je vystaven ten
z dvojice, který je citově závislejší.
Vývoj citů lze modelovat i obecněji. Předpokládejme, že také úroveň vlastního citu ovlivňuje
změnu tohoto citu. Můžeme tedy uvažovat model tvořený systémem rovnic
dr
dt
= α1r − aj,
dj
dt
= br + α2j,
(6.17)
s počáteční podmínkou
r(0) = 1, j(0) = 0.
94 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Záporný koeficient α1 může vyjadřovat, že Romeo se svých citů bojí, nechce ztrácet vnitřní
klid; kladný koeficient α1 může znamenat, že se Romeo svými city nechá vést. Koeficient α1
lze tedy považovat za jakési „umístění Romea na ose racionalita-romantismus ; koeficient α2
lze interpretovat podobně pro Julii.
Modely vývoje milostných citů (6.13), (6.14) a (6.17) publikoval Steven H. Strogatz v článku
Strogatz, S. H. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine. 1988,
Vol. 61, No. 1, p. 35.
Účelem článku ovšem nebylo vytvořit matematickou teorii zamilovanosti, ale navrhnout neobvyklý a
pokud možno atraktivní způsob výkladu klasické látky – systému dvou obyčejných lineárních diferenciálních
rovnic.
6.5 „Psí křivka
Pes pronásleduje zajíce. Zajíc se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí u, pes běží ve
směru k zajíci rovnoměrnou rychlostí v, v > u. Určete tvar dráhy psa a čas T, za který pes
zajíce dohoní.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, aby se zajíc pohyboval po druhé ose
souhlasně s její orientací a na počátku, tj. v čase t0 = 0, se zajíc nacházel v bodě (0, b) a pes
v bodě (−a, 0). Nechť pro určitost je a > 0; případ a = 0 je triviální a v případě a < 0 bude
tvar dráhy zřejmě obrazem tvaru pro a > 0 v osové symetrii kolem druhé souřadné osy.
Situace je znázorněna na obr. 6.3 a). Dráhu psa vyjádříme jako funkci y = y(x). V čase
t = 0 je x = −a a y = 0, tj.
y(−a) = 0. (6.18)
Pes k zajíci směřuje od začátku, tj.
y (−a) =
b
a
. (6.19)
V jistém čase t, t < T, se pes nachází v bodě (x, y), x ∈ (−a, 0), a zajíc v bodě (0, b + ut).
Poněvadž pes stále směřuje k zajíci, platí
y (x) =
b + ut − y(x)
|x|
=
y(x) − b − ut
x
,
neboli
ut = y − xy (x) − b. (6.20)
Za čas t urazí pes dráhu délky vt. Této hodnotě tedy musí být rovna délka křivky (grafu
funkce) y = y(x) od bodu (−a, 0) po bod (x, y), tedy
vt =
x
−a
1 + y (ξ)
2
dξ.
Z této rovnosti vyjádříme t a dosadíme do (6.20),
u
v
x
−a
1 + y (ξ)
2
dξ = y(x) − xy (x) − b. (6.21)
6.5. „PSÍ KŘIVKA 95
−a x
b
y
b + ut
u
v
y
x
b
−a
a) b)
y
x
−a
y
x
−a
b
c) d)
Obrázek 6.3: a) K odvození rovnice „psí křivky . Vektor rychlosti zajíce u má v každém
okamžiku souřadnice (0, u), vektor rychlosti psa v má v každém okamžiku velikost v a v čase
t směřuje k zajíci, tj. je rovnoběžný s vektorem o souřadnicích (|x|, b + ut − y).
b) „Psí křivka pro a < 0, b > 0.
c) „Psí křivka pro a > 0, b = 0.
d) „Psí křivka pro a > 0, b < 0.
96 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Označíme
s =
u
v
. (6.22)
Podle předpokladu je s < 1. Obě strany rovnosti (6.21) zderivujeme podle x. Dostaneme
s 1 + y (x)
2
= y (x) − y (x) − xy (x)
a po úpravě
xy (x) + s 1 + y (x)
2
= 0. (6.23)
Dráha psa je tedy řešením neautonomní nelineární diferenciální rovnice druhého řádu (6.23)
s počátečními podmínkami (6.18), (6.19).
Rovnice (6.23) je typu 2.10. Proto zavedeme novou neznámou funkci p = p(x) = y (x).
Dosadíme ji do rovnice (6.23) a počáteční podmínky (6.19). Po snadné úpravě dostaneme
počáteční úlohu
p = −
s
x
1 + p2 , p(−a) =
b
a
.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými. Řešení úlohy v implicitním tvaru tedy podle
2.3 je
p
b
a
dη
1 + η2
= −s
x
−a
dξ
ξ
.
Integrací dostaneme
ln
a p + 1 + p2
b +
√
a2 + b2
= ln −
a
x
s
a odtud
p =
1
2C
C2
−
a
x
s
− −
x
a
s
,
kde
C =
b
a
+ 1 +
b
a
2
. (6.24)
Poněvadž p = y a funkce y splňuje podmínku (6.18), dostaneme řešení úlohy integrací poslední
rovnosti, tedy
y(x) =
1
2C
x
−a
C2
−
a
ξ
s
− −
ξ
a
s
dξ =
=
Ca
2(1 − s)
1 − −
x
a
1−s
−
a
2C(1 + s)
1 − −
x
a
1+s
.
Za konstanty s a C dosadíme z rovností (6.22) a (6.24). Po úpravách dostaneme „psí křivku
ve tvaru
y(x) =
v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
−
v
2
b −
√
a2 + b2
v + u
x
a
1+ u
v
+
b +
√
a2 + b2
v − u
x
a
1− u
v
.
6.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 97
Nalezená funkce y je sudá, vyjadřuje tedy tvar dráhy psa pro a > 0 i pro a < 0; v prvním
případě bychom za definiční obor považovali interval [−a, 0], ve druhém interval [0, −a].
Pes dostihne zajíce v bodě 0, y(0) . To znamená, že zajíc rychlostí u urazí dráhu délky
y(0) − b a čas, za který pes zajíce dohoní, je tedy roven
T =
y(0) − b
u
=
1
u


v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
− b

 =
ub + v
√
a2 + b2
v2 − u2
.
„Psí křivku („courbe chien ) jako první studoval v roce 1732 francouzský matematik Pierre
Bouger (ten je známější jako účastník expedice do Peru v roce 1735, která změřila délku jednoho
stupně zeměpisné délky na rovníku). Křivka je nejjednodušším případem křivek sledování (pursuit
curves, pojem poprvé použil George Boole ve svém spisu „Treatise on Differential equations v roce
1859), které jsou definovány takto: jestliže body A a P se pohybují rovnoměrně, bod A po dané křivce
a směr pohybu bodu P stále míří k bodu A, pak bod P opisuje křivku sledování.
Úloha bývá někdy formulována tak, že pes sleduje svého pána, nebo že liška honí králíka.
6.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho
Uvažujme chorobu, která trvá krátce, někteří pacienti na ni zemřou, jiní se uzdraví a získají
vůči nákaze imunitu; typickým představitelem takové infekce byly neštovice. Budeme modelovat
epidemii této choroby, tj. její šíření v nějaké kohortě. Kohortou rozumíme skupinu osob
narozených ve stejnou dobu.
Zavedeme označení: N počet osob zahrnutých do kohorty, a jejich věk (tj. čas od počátku),
S = S(a), resp. R = R(a) počet osob věku a, které neprodělaly, resp. prodělaly, chorobu. Při
tomto označení je N = S(0) + R(0) = S(0), neboť novorozenci chorobu neprodělali, tj.
R(0) = 0. Další symboly zavedeme na základě následujících předpokladů:
• Počet osob věku a, které zemřou z jiných příčin, než je uvažovaná infekce, je úměrná
délce (krátkého) časového intervalu sledování ∆a a počtu nenakažených osob S(a).
Konstantu úměrnosti — přirozenou úmrtnost ve věku a — označíme µ(a).
• Počet osob věku a, které se nakazí uvažovanou chorobou je úměrná délce sledování
∆a a počtu S(a) osob, které dosud chorobu neprodělaly a jsou tedy citlivé na infekci.
Koeficient úměrnosti — incidenci choroby ve věku a — označíme λ(a)
• Počet nemocných osob věku a, které se uzdraví za časový interval ∆a je úměrný počtu
infikovaných osob tohoto věku a délce intervalu ∆a. Koeficient úměrnosti — index přežití
choroby osobami věku a — označíme s(a).
Úmrtnost µ(a) lze interpretovat jako pravděpodobnost, že „zdravá osoba (tj. ta, která nemá
uvažovanou chorobu) věku a zemře během časového intervalu délky ∆a; incidenci λ(a) jako
pravděpodobnost, že se „zdravá osoba věku a, která není imunní vůči uvažované chorobě,
nakazí během časového intervalu délky ∆a; ukazatel přežití s(a) jako pravděpodobnost, že
nakažená osoba věku a se během časového intervalu délky ∆a uzdraví. Budeme předpokládat,
že onemocnění a uzdravení jsou jevy nezávislé, tj. že pravděpodobnost, že osoba citlivá
k infekci se během časového intervalu délky ∆a nakazí a uzdraví, je rovna s(a)λ(a). Dále
zavedeme letalitu choroby ve věku a vztahem
c(a) = 1 − s(a);
98 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
?
- ?
?
&%
'$
nemocní
S(a)
náchylní k chorobě
R(a)
imunní
µ(a) µ(a)c(a)
λ(a) s(a)
Obrázek 6.4: Schéma vývoje kohorty ohrožené chorobou
lze ji interpretovat jako pravděpodobnost, že nemocná osoba věku a během časového intervalu
délky ∆a zemře. Proměnné
u = u(a) =
S(a)
N
, resp. w = w(a) =
R(a)
N
vyjadřují (klasickou) pravděpodobnost, že osoba se dožila věku a a neprodělala, resp. prodělala,
chorobu. Novorozenec určitě chorobu neprodělal, tedy platí
u(0) = 1, w(0) = 0. (6.25)
Vývoj kohorty, v níž probíhá choroba, lze schematicky znázornit obrázkem 6.4 a předpoklady
vyjádřit ve tvaru rovností:
S(a + ∆a) = S(a) − µ(a)S(a)∆a − λ(a)S(a)∆a = S(a) − µ(a) + λ(a) S(a)∆a,
R(a + ∆a) = R(a) + s(a)λ(a)S(a)∆a − µ(a)R(a)∆a =
= R(a) + 1 − c(a) λ(a)S(a)∆a − µ(a)R(a)∆a.
V první z uvedených rovností převedeme na levou stranu S(a) a ve druhé z nich R(a), rovnosti
vydělíme výrazem N∆a a provedeme limitní přechod ∆a → 0. Pro zjednodušení modelu
budeme předpokládat, že funkce u a w jsou diferencovatelné; takový předpoklad je v případě
velké kohorty dostatečně realistický. Dostaneme tak systém neautonomních diferenciálních
rovnic
du
da
= − µ(a) + λ(a) u,
dw
da
= 1 − c(a) λ(a)u − µ(a)w;
(6.26)
jejich řešení splňuje počáteční podmínky (6.25).
První rovnice systému (6.26) je lineární homogenní rovnicí pro neznámou funkci u. Její
řešení s počáteční podmínkou (6.25) je při označení
M(a) =
a
0
µ(α)dα, Λ(a) =
a
0
λ(α)dα (6.27)
podle 2.6 rovno
u(a) = e−Λ(a)−M(a)
. (6.28)
Toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice systému (6.26) a dostaneme
dw
da
= −µ(a)w + 1 − c(a) λ(a)e−Λ(a)−M(a)
,
6.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 99
což je lineární nehomogenní rovnice pro neznámou funkci w. Její řešení s počáteční podmínkou
(6.25) je opět podle 2.6 rovno
w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 − e−Λ(a)−M(a)
. (6.29)
Dosud provedené úvahy a výpočty lze shrnout: Pravděpodobnosti u(a), resp. w(a), že se
osoba dožije věku a a neprodělá, resp. prodělá, chorobu, jsou řešením soustavy rovnic (6.26)
s počátečními podmínkami (6.25) a jsou dány výrazy (6.28), resp. (6.29), kde funkce M a Λ
jsou dány výrazy (6.27).
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a za předpokladu, že choroba se v kohortě
neobjevuje (tj. λ ≡ 0 a v důsledku toho také Λ ≡ 0), je rovna přímo funkci u s Λ ≡ 0, tj.
0(a) = e−M(a)
.
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a pokud se choroba vyskytuje, je rovna
(a) = u(a) + w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 =
= 0(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 .
Pravděpodobnost dožití věku a je tedy součinem pravděpodobnosti dožití věku a při přirozené
úmrtnosti a faktoru, který závisí pouze na incidenci a letalitě choroby.
Označme dále
x(a) =
u(a)
(a)
, z(a) =
w(a)
(a)
=
(a) − u(a)
(a)
= 1 − x(a);
Veličina x(a), resp. z(a), vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost, že osoba věku a neprodělala,
resp. prodělala, chorobu za podmínky, že se věku a dožila.
Poněvadž
x(a) =
e−Λ(a)−M(a)
e−M(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
=
e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
, (6.30)
platí rovnost x(0) = 1 a dále
dx(a)
da
=
−λ(a)e−Λ(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα + e−Λ(a)c(a)λ(a)e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2 =
= −λ(a)





e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
−
c(a)e−2Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2





=
= −λ(a)x(a) 1 − c(a)x(a) .
100 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Relativní zastoupení osob věku a, které v uvažované kohortě neprodělaly chorobu, je tedy
veličina x(a) daná formulí (6.30), která je současně řešením počáteční úlohy pro Bernoulliovu
rovnici
dx
da
= −λ(a)x 1 − c(a)x , x(0) = 1. (6.31)
Vývoj zastoupení osob, které neprodělaly chorobu, tedy nezávisí na přirozené úmrtnosti µ.
Úlohu (6.31) můžeme vyřešit metodami popsanými v 2.7 a přesvědčit se, že řešení je stejné
jako (6.30), nebo podrobněji
x(a) =
e
0
a
λ(α)dα
1 −
a
0
λ(ξ)c(ξ)e
ξ
a
λ(α)dα
dξ
.
Zejména pro incidenci choroby a letalitu choroby nezávislé na věku dostaneme
x(a) =
1
c + (1 − c)eλa
.
Poznamenejme ještě, že v teorii přežití se funkce 0, µ, M nazývají funkce přežití, riziková
funkce a kumulativní riziková funkce (v uvedeném pořadí). Pokud
lim
a→∞
M(a) =
∞
0
µ(a)da = ∞,
pak pro funkci přežití platí
0(a) = 1 − F(a),
kde F je distribuční funkce náhodné veličiny „věk dožití jedince z kohorty .
Uvedený model šíření epidemie neštovic publikoval Daniel Bernoulli (1700–1782) v článku
Bernoulli, D. Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole
et des avantages de l’inoculation pour la prévenir. Hist. Acad R. Sci. Paris. 1760/1766,
p.1–45.
v němž hledal odpověď na otázku, zda zavádět očkování proti neštovicím, přestože tato operace někdy
končí smrtí.
Na základě tabulek úmrtí, které publikoval královský astronom Edmond Haley (1656–1742)
Halley E. An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious
tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the
price of annuities upon lives. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1693, vol. 17, p. 596–610.
odhadl D. Bernoulli hodnoty incidence a letality neštovic nezávislé na věku jako λ = 1
8 , c = 1
8 ;
skutečnost, že mu koeficienty vyšly stejné, je náhoda.
6.7. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 101
6.7 Udržitelný rybolov
Představme si nějakou vodní nádrž, v níž žijí ryby. Tato nádrž je uzavřená v tom smyslu, že
ryby z ní ani do ní nemigrují. Úživnost této nádrže budeme považovat za konstantní. Populaci
ryb považujeme za homogenní (nerozlišujeme věk, velikost, pohlaví ani jiné charakteristiky
jedinců) a všechny její charakteristiky kromě velikosti považujeme za konstantní v čase.
Označíme-li x = x(t) velikost populace ryb v čase t, pak vývoj této veličiny lze modelovat
logistickou diferenciální rovnicí
x = rx 1 −
x
K
,
kde r je vnitřní koeficient růstu populace a K je kapacita (úživnost) prostředí; oba parametry
r a K jsou kladné.
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času
Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme
popsat tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času
je vyloveno určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři,
kteří mají pevně daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny
naplní.) Označme h množství ryb ulovených za jednotku času; parametr h je kladný. Pak
vývoj populace ryb, jejíž velikost byla na začátku rovna hodnotě x0 ≥ 0, je popsán počáteční
úlohou pro diferenciální rovnici
x = rx 1 −
x
K
− h, x(0) = x0. (6.32)
Základní otázkou je, zda rybolov je udržitelný, tj. zda v dostatečně dlouhém časovém horizontu
bude populace ryb přežívat nebo ji lov vyhubí.
Rovnice v úloze (6.32) je Riccatiho, podle 4.4.2 ji řešíme substitucí
x(t) =
K
r
y (t)
y(t)
. (6.33)
Dosazení do rovnice (6.32) dává
K
r
y y − (y )2
y2
= x = r
K
r
y
y
−
r
K
K
r
y
y
2
− h,
tj.
K
r
y
y
−
K
r
y
y
2
= −
K
r
y
y
2
+ K
y
y
− h.
Odtud snadnou úpravou dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními
koeficienty
y − ry +
rh
K
y = 0. (6.34)
Její charakteristická rovnice (sr. 4.3.3) je
λ2
− rλ +
rh
K
= 0. (6.35)
102 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Označme D = 1 −
4h
rK
. Pak D < 1, neboť parametry r, K, h jsou kladné. Při řešení úlohy
(6.32) rozlišíme tři případy podle znaménka veličiny D.
(i) D > 0, tj. h < 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (6.35) dva reálné různé kořeny
λ1,2 =
r
2
1 ±
√
D
a protože D < 1, jsou oba kořeny kladné. Obecné řešení lineární rovnice (6.34) je
y(t) = Ae
1
2
r(1+
√
D)t
+ Be
1
2
r(1−
√
D)t
= e
1
2
r(1+
√
D)t
A + Be−r
√
D t
,
kde A, B jsou nějaké konstanty. Platí tedy
y (t) = e
1
2
r(1+
√
D)t r
2
1 +
√
D A + Be−r
√
D t
− Br
√
D e−r
√
D t
=
=
r
2
e
1
2
r(1+
√
D)t
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
.
Odtud a z transformačního vztahu (6.33) dostaneme obecné řešení rovnice z úlohy (6.32) ve
tvaru
x(t) =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
A + Be−r
√
D t
.
Konstanty A, B získáme z počáteční podmínky v úloze (6.32):
x0 =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D B
A + B
=
K
2
1 +
√
D
A − B
A + B
.
To je jedna rovnice pro dvě neznámé a hodnoty A, B z ní nelze vypočítat. Lze však určit
jejich poměr
2x0
K
− 1 =
√
D
A − B
A + B
, tj. 2x0 − K − K
√
D A = −B 2x0 − K + K
√
D .
Řešení úlohy (6.32) je tedy dáno formulí
x(t) =
K
2
1 +
√
D K 1 −
√
D − 2x0 − 1 −
√
D K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
=
=
K
r
rx0 1 +
√
D − 2h − rx0 1 +
√
D − 2h e−r
√
D t
2x0 − K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D e−r
√
D t
,
neboť 1 − D =
4h
rK
.
Nyní můžeme vyšetřovat průběh funkce x v závislosti na počáteční hodnotě (parametru)
x0. Pokud je x0 > 1
2K 1 −
√
D , pak je funkce x kladná pro jakoukoliv hodnotu nezávisle
proměnné t a platí
lim
t→∞
x(t) = K
1 +
√
D
2
;
6.7. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 103
x
t
x∗
0 < h < 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = 1
4 rK
x
t
K
h > 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = Ex, E = Emax = 1
2 r
Obrázek 6.5: Modely rybolovu. Rybolov s konstantním úlovkem za časovou jednotku, tj. řešení
úlohy (6.32) pro různé hodnoty intenzity lovu h a pro různé počáteční hodnoty x0 (nahoře
a vlevo dole). Rybolov s konstantním loveckým úsilím, tj. řešení úlohy (6.37) s úsilím E
přinášejícím maximální udržitelný úlovek pro různé počáteční hodnoty x0 (vpravo dole).
zejména pro x0 = 1
2 K 1+
√
D je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2K 1+
√
D . Rybolov zredukuje
velikost populace ryb na hodnotu x∗ = 1
2 K 1 +
√
D .
Pokud je x0 = 1
2 K 1 −
√
D , pak je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2K 1 −
√
D .
Ovšem, pokud je x0 < 1
2K 1 −
√
D , pak pro
tE =
1
r
√
D
ln
2h − rx0 1 −
√
D
2h − rx0 1 +
√
D
je x(tE) = 0. To znamená, že lov ryby vyhubí.
Řešení počáteční úlohy (6.32) s hodnotou h ∈ (0, 1
4rK) a s různými počátečními hodnotami
je zobrazeno na obr. 6.5 vlevo nahoře.
(ii) D > 0, tj. h = 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (6.35) dvojnásobný reálný kladný kořen
λ = 1
2r. Obecné řešení lineární rovnice (6.34) v tomto případě je rovno
y(t) = (A + Bt)e
1
2
rt
.
Pro toto řešení musí platit y(0) = 0, jinak by transformace (6.33) nebyla definována v pravém
104 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
okolí počáteční hodnoty. Odtud plyne, že A = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
y(t) = A 1 +
B
A
t e
1
2
rt
= A(1 + Ct)e
1
2
rt
,
kde C =
B
A
. Derivace řešení je rovna
y (t) = A C +
r
2
(1 + Ct) e
1
2
rt
a obecné řešení rovnice z úlohy (6.32) je
x(t) =
K
r
C + r
2(1 + Ct)
1 + Ct
=
K
2
+
K
r
C
1 + Ct
.
Toto řešení má splňovat počáteční podmínku v úloze (6.32), takže
C =
r
2K
(2x0 − K).
Řešení úlohy (6.32) je tedy v případě h = 1
4 rK dáno formulí
x(t) = K
1
2
+
2x0 − K
2K + r(2x0 − K)t
.
Pokud x0 ≥ 1
2K, je toto řešení kladné pro každé t ≥ 0. Zejména pro x0 = 1
2 K je řešení
konstantní, x(t) ≡ 1
2 K. Pokud naopak x0 < 1
2K, je řešení kladné pouze pro t ∈ [0, tE), kde
tE =
2K
r(K − 2x0)
a x(tE) = 0. Řešení úlohy (6.32) v případě h = 1
4rK pro různé počáteční hodnoty je znázorněno
na obr. 6.5 vpravo nahoře.
V případě h = 1
4 rK je tedy rybolov udržitelný pouze pokud byla počáteční velikost
populace ryb alespoň na polovině úživnosti prostředí. V takovém případě rybolov dlouhodobě
udržuje velikost populace na hodnotě 1
2 K, neboť
lim
t→∞
x(t) =
K
2
.
Pokud je počáteční velikost populace ryb menší, lov ryby vyhubí v čase tE.
(iii) D < 0, tj. h > 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (6.35) komplexně sdružené kořeny
λ1,2 =
r
2
± iϕ, kde ϕ =
r
2
√
−D =
r
2
4h
rK
− 1
a obecné řešení lineární rovnice (6.34) je tvaru
y(t) = Ae
1
2
rt
sin(ϕt + ψ),
6.7. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 105
kde A, ψ jsou konstanty. Jeho derivace je rovna
y (t) = Ae
1
2
rt r
2
sin(ϕt + ψ) + ϕ cos(ϕT + ψ)
a řešení rovnice z úlohy (6.32) podle transformačního vztahu (6.33) je dáno formulí
x(t) =
K
r
r sin(ϕt + ψ) + 2ϕ cos(ϕt + ψ)
2 sin(ϕt + ψ)
=
K
2
+
Kϕ
r
cotg(ϕt + ψ) =
=
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕt + ψ) .
Aby toto řešení splnilo počáteční podmínku v úloze (6.32), musí platit
x0 =
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg ψ ,
tedy
ψ = arccotg
2x0 − K
K
rK
4h − rK
.
Řešení úlohy (6.32) je nyní kladné pouze na intervalu [0, tE), kde tE je nejmenší kladné řešení
rovnice
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕtE + ψ) = 0,
tedy
tE =
1
ϕ
arccotg −
rK
4h − rK
− ψ =
2
r
rK
4h − rK
π
2
− ψ + arctg
rK
4h − rK
.
Pro h > 1
4rK tedy rybolov nemůže být udržitelný. Řešení úlohy (6.32) v případě h > 1
4rK
pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. 6.5 vlevo dole.
Z rozboru řešení modelu (6.32) plyne, že rybolov může být udržitelný pouze v případě, že
není příliš intenzivní a počáteční populace ryb je dostatečně velká, konkrétně když
h ≤
1
4
rK a x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
Maximální udržitelný úlovek je tedy
hmax =
1
4
rK. (6.36)
106 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Rybolov s konstantním úsilím
K modelování rybolovu můžeme přistoupit i jinak. Předpokládejme, že nikoliv úlovek za
jednotku času, ale úsilí vynaložené na lov je konstantní. To si můžeme představit například
tak, že rybáři mají pevnou denní pracovní dobu, po kterou vlečou sítě. Úlovek za jednotku
času je v takovém případě úměrný množství ryb, které jsou k dispozici, tj. h = Ex, kde kladná
konstanta E vyjadřuje vynaložené úsilí.
Místo modelu (6.32) tedy uvažujeme model
x = rx 1 −
x
K
− Ex, x(0) = x0. (6.37)
Rovnici upravíme na tvar
x = −
r
K
x2
+ (r − E)x
a vidíme, že se opět jedná o Riccatiho rovnici. Substituce (6.33) ji převede na tvar
K
r
y
y
−
K
r
y
y
2
= −
r
K
K
r
y
y
2
+ (r − E)
K
r
y
y
,
z něhož po úpravě dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koefi-
cienty
y − (r − E)y = 0. (6.38)
Příslušná charakteristická rovnice λ2 − (r − E)λ = 0 má dva reálné kořeny
λ1,2 =
0,
r − E.
(6.39)
Pokud E = r, jsou tyto kořeny různé a obecné řešení rovnice (6.38) je tvaru
y(t) = A + Be(r−E)t
.
Jeho derivace je rovna y (t) = B(r − E)e(r−E)t, takže zpětnou transformací (6.33) dostaneme
řešení rovnice z úlohy (6.37) jako
x(t) =
K
r
B(r − E)e(r−E)t
A + Be(r−E)t
.
Pro x(0) = x0 > 0 musí být B = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
x(t) =
K(r − E)
r 1 + De−(r−E)t
;
hodnotu konstanty D =
A
B
určíme z počáteční podmínky úlohy (6.37),
D =
K(r − E)
rx0
− 1 =
1
rx0
K(r − E) − rx0 .
Řešení úlohy (6.37) je tedy v případě E = r dáno formulí
x(t) =
K(r − E)x0
rx0 − rx0 − K(r − E) e−(r−E)t
; (6.40)
6.7. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 107
povšimněme si, že tato funkce vyjadřuje řešení problému (6.37) i pro x0 = 0. Řešení (6.40)
úlohy (6.37) je pro libovolnou počáteční hodnotu x0 ≥ 0 definováno na celém intervalu [0, ∞)
a platí pro něho
lim
t→∞
x(t) =



K 1 −
E
r
, E < r,
0, E > r.
Pokud E = r, oba kořeny (6.39) charakteristické rovnice splývají do dvojnásobného kořene
λ1,2 = 0. Obecné řešení lineární rovnice (6.38) je v tomto případě rovno
y(t) = A + Bt,
takže z transformačního vztahu (6.33) plyne, že obecné řešení rovnice v úloze (6.37) je
x(t) =
K
r
B
A + Bt
=
K
r
1
D + t
.
Hodnota konstanty D nyní je D =
K
rx0
, takže řešení úlohy (6.37) je
x(t) =
Kx0
K + rx0t
.
Tato funkce je také při libovolném x0 ≥ 0 definována na celém intervalu [0, ∞) a platí pro ni
lim
t→∞
x(t) = 0.
Z rozboru řešení úlohy (6.37) vidíme, že rybolov je dlouhodobě udržitelný (tj. řešení x = x(t)
úlohy (6.37) je kladné pro všechna t ≥ 0) v případě E < r. Na rozdíl od předchozího modelu
(6.32) však i neudržitelný rybolov vyhubí ryby v dlouhodobém horizontu, nikoliv v konečném
čase. Jinak řečeno: je-li ochrana ryb (nebo jiného obnovitelného zdroje) prováděna pevným
omezením úlovku, může dojít ke katastrofickému vývoji — rychlé likvidaci ryb. Ochrana pomocí
zpětné vazby, tj. omezováním úlovku na základě aktuálního množství ryb, je bezpečnější.
Uvažujme nyní udržitelný rybolov papsaný modelem (6.37) za situace, kdy velikost populace
ryb je na limitní hodnotě
x∗
= K 1 −
E
r
.
Úlovek za jednotku času je v takovém případě roven h = Ex∗. Tento úlovek lze chápat jako
závislý na vynaloženém úsilí, tj. jako funkci
h = h(E) = EK 1 −
E
r
.
To je konkávní kvadratická funkce, která nabývá svého maxima pro E = Emax = 1
2 r. Maximální
úlovek za jednotku času je tedy
hmax = h(Emax) =
1
4
rK.
To je stejný výsledek jako (6.36), tj. v případě rybolovu s konstantním úlovkem za jednotku
času popsaného modelem (6.32). Řešení úlohy (6.37) s úsilím E = Emax = 1
2r je znázorněno
na obrázku 6.5 vpravo dole.
108 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Optimalizace udržitelného rybolovu
Nyní můžeme řešit problém optimalizace rybolovu. Vnitřní koeficient růstu populace ryb je
pro konkrétní druh konstanta, tu ovlivnit nelze. Úživnost prostředí však lze měnit, například
eutrofizací příslušné vodní nádrže (přikrmováním ryb). V takovém případě můžeme počáteční
velikost x0 považovat za kapacitu přirozeného prostředí. Zvyšování úživnosti prostředí ale
něco stojí. Předpokládejme, že náklady na eutrofizaci rybníka, které zvýší jeho úživnost na
hodnotu K, jsou vyjádřeny funkcí n(K). Cenu ulovených ryb při intenzitě h označíme c(h) a
náklady na něho označíme l(h). Zisk z rybolovu je tedy roven c(h) − l(h) − n(K).
Maximální udržitelný rybolov má intenzitu h = 1
4rK. Chceme-li tedy maximalizovat zisk,
hledáme maximum funkce
f(K) = c 1
4rK − l 1
4rK − n(K)
za podmínky
x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
To se ovšem snáze řekne, než udělá.
Uvedené modely diskutovali Beddington a May v článku
Beddington, J. R., May, R. M. Harvesting natural populations in a randomly fluctuating
environment. Science. 1977, vol. 197, p. 463–465.
Přestože se jedná o modely velice jednoduché, přinášejí důležitý vhled do problematiky řízení
využívání obnovitelných zdrojů.
6.8 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru
Seriózní modely Vesmíru jako celku jsou konstruovány v rámci obecné teorie relativity, Ovšem
již Newtonovy zákony (a tedy středoškolská fyzika) umožňují jistý vhled do vývoje Vesmíru,
zejména mohou ukázat význam jeho současné hustoty pro jeho další osud.
Budeme si tedy představovat, že Vesmír je umístěn v klasicky nekonečném euklidovském
trojrozměrném prostoru. Vesmír sám nemůže být nekonečný, nemůže tento hypotetický absolutní
prostor rovnoměrně vyplnit. To snadno nahlédneme, pokud se za bezoblačné noci a
mimo městské osvětlení podíváme na oblohu. Uvidíme tmu a hvězdy. Kdyby byl Vesmír nekonečný,
v každém směru by náš pohled nakonec na nějakou hvězdu narazil a noční obloha
by celá zářila jako polední slunce. Uvedený argument pro konečnost Vesmíru však není úplně
přesvědčivý – mohla by v něm být nějaká mezihvězdná nebo mezigalaktická mračna, která
vzdálenější hvězdy zastíní; nebo by světlo mohlo během dlouhé cesty Vesmírem zestárnout a
přestat svítit. Avšak dalším argumentem pro konečnost Vesmíru může být existence gravitačního
zákona. V nekonečném Vesmíru by se v každém směru nacházelo nekonečné množství
hmoty a gravitační působení těchto hmot na jakékoliv těleso by se vzájemně vyrušila. Pokud
tedy chceme zůstat v přehledném světě klasické fyziky, tj. ve světě, v němž působí obecné
Newtonovy zákony pohybu i zákon gravitační, musí hmotný vesmír (což je z pohledu novověké
materialistické přírodovědy celý Vesmír) být konečný, byť se nachází v nekonečném
absolutním prostoru.
Z prostorové omezenosti Vesmíru plyne také skutečnost, že nemůže být neproměnný v čase;
čas si v souladu s newtonovskou fyzikou představujeme jako rovnoměrně plynoucí nezávisle
6.8. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 109
na jakémkoliv procesu, tedy jako jednorozměrný euklidovský prostor. Konečný Vesmír nemůže
mít stále stejnou rozlohu – gravitační síla by totiž každou částici přitahovala do těžiště
Vesmíru a ten by se postupně zhroutil a vytvořil nějaké těleso obrovské hustoty. O trvání
Vesmíru tato úvaha ještě nic neříká: Vesmír mohl mít počátek a při něm dostat nějaký impuls,
který způsobuje jeho neustálé rozpínání až po úplné „vyvanutí ; nebo mohl být na
počátku veliký a postupně se smršťuje; žádný počátek ani konec nemusí mít, jen se v průběhu
času nějak periodicky nebo neperiodicky mění a podobně. Také proto chceme vývoj Vesmíru
nějak modelovat. Modelovaný Vesmír bude homogenní (v každém místě stejný) a izotropní
(v každém směru stejný); to celkem dobře odpovídá pozorování na dostatečně velké prostorové
škále. K tomu budeme ještě předpokládat, že platí zákon zachování hmoty a přírodní
zákony, zejména zákon gravitační, jsou na čase nezávislé, jsou věčné.
Model Vesmíru je tedy postaven na předpokladech:
(i) Vesmír je homogenní koule o poloměru R > 0.
(ii) Poloměr Vesmíru se v čase mění, R = R(t). Současný poloměr Vesmíru označíme R0.
(iii) Vesmír má konstantní hmotnost M; samozřejmě je M > 0.
(iv) V celém Vesmíru platí Newtonův gravitační zákon a gravitační konstanta G > 0 nezávisí
na čase.
Z astronomických pozorování je známo, že se Vesmír rozpíná; čím jsou galaxie od sebe vzdálenější,
tím rychleji se od sebe vzdalují. Změnu velikosti Vesmíru, tedy derivaci jeho poloměru
R (t), budeme proto považovat za úměrnou jeho velikosti. Spolu s předpokladem (ii) tak pro
poloměr Vesmíru dostáváme počáteční podmínky
R(0) = R0, R (0) = HR0, (6.41)
kde H > 0 je Hubbleova konstanta2.
Uvažujme částici (galaxii) o hmotnosti µ na „hranici Vesmíru , tj. ve vzdálenosti R od
jeho středu. Podle předpokladů (i), (iii) a (iv) na ni působí gravitační síla orientovaná do
středu Vesmíru, tedy síla daná vztahem
F = −G
Mµ
R2
,
která částici uděluje zrychlení R . Podle zákona síly je F = µR , tedy
R = −G
M
R2
. (6.42)
Diferenciální rovnice druhého řádu (6.42) spolu s počátečními podmínkami (6.41) představuje
model vývoje velikost Vesmíru.
Označme 0 současnou hustotu Vesmíru. Podle předpokladu (iii) platí M = 4
3πR3
0 0. Dále
zavedeme bezrozměrný poloměr Vesmíru r a bezrozměrný čas τ vztahy
r =
R
R0
, τ = Ht. (6.43)
2
Přesněji řečeno, současná hodnota Hubbleovy konstanty; tento parametr by se mohl v průběhu vývoje
Vesmíru měnit.
110 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Pak pravá strana rovnice (6.42) je rovna
−G
M
R2
= −
G
(R0r)2
4
3
πR3
0 0 = −
4πGR0 0
3r2
,
její levá strana je
d2R
dt2
=
d
dτ
d
dτ
R0r
dτ
dt
dτ
dt
= R0H2 d2r
dτ2
,
takže rovnice (6.42) se transformuje na rovnici
d2r
dτ2
= −
4πG 0
3H2
1
r2
.
Rozměr veličiny
H2
G
v jednotkách SI je kg m−3, což znamená, že tato veličina vyjadřuje
hustotu hmotnosti. To nás opravňuje k zavedení kritické hustoty vztahem
krit =
3H2
8πG
. (6.44)
Při tomto označení rovnici (6.42) přepíšeme do tvaru
d2r
dτ2
= −
1
2
0
krit
1
r2
. (6.45)
Dále platí
dr
dτ
=
d
dt
R
R0
dt
dτ
=
1
HR0
dR
dt
a τ = 0 právě tehdy, když t = 0, takže podle druhé rovnosti (6.41) je
dr
dτ
(0) =
1
HR0
dR
dt
(0) =
1
HR0
HR0 = 1.
Dostáváme tak počáteční podmínky pro funkci r ve tvaru
r(0) = 1,
dr
dτ
(0) = 1. (6.46)
Transformace (6.43) a označení (6.44) tedy převádí počáteční úlohu (6.42), (6.41) na úlohu
(6.45), (6.46).
Pro zjednodušení zápisu ještě označíme
σ =
0
krit
a rovnici (6.45) přepíšeme ve tvaru
d2r
dτ2
= −
σ
2r2
. (6.47)
6.8. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 111
Řešení úlohy (6.47), (6.46)
Explicitní autonomní rovnici druhého řádu (6.47) můžeme podle 2.9 převést na implicitní
rovnici prvního řádu ve tvaru
dr
dτ
2
= 2 −
σ
2r2
dr =
σ
r
+ const.
Z počátečních podmínek (6.46) dále plyne, že
1 =
dr
dτ
(0)
2
=
σ
r(0)
+ const = σ + const,
tj. že integrační konstanta je rovna 1 − σ. Úloha (6.47), (6.46) se tedy transformuje na úlohu
dr
dτ
2
=
σ + (1 − σ)r
r
, r(0) = 1. (6.48)
V okolí počáteční hodnoty je derivace funkce r podle druhé rovnosti v (6.46) blízká hodnotě
1, zejména tedy
dr
dτ
> 0 a rovnici můžeme vyřešit vzhledem k derivaci. Úlohu (6.47), (6.46)
tedy transformujeme na tvar
dr
dτ
=
σ + (1 − σ)r
r
, r(0) = 1. (6.49)
Z první rovnosti a z (6.47) vidíme, že
dr
dτ
> 0,
d2r
dτ2
< 0
pro všechna přípustná r, tj. pro r > 0 v případě σ ≤ 1 a pro r ∈ 0,
σ
1 − σ
v případě σ > 1.
To znamená, že řešení úlohy (6.49) je rostoucí konkávní funkce. Tento výsledek můžeme interpretovat
tak, že poloměr Vesmíru se v průběhu času zvětšuje, Vesmír expanduje, a rychlost
expanze se přitom snižuje.
Rovnice v (6.49) je autonomní, řešení úlohy je podle 2.3 implicitně dáno rovností
τ =
r
1
x
σ + (1 − σ)x
dx.
Substituce
u2
=
x
σ + (1 − σ)x
, tj. x =
σu2
1 − (1 − σ)u2
, dx =
2σu
(1 − (1 − σ)u2)2 du
převede integrál na pravé straně rovnosti na integrál z racionální funkce
I(r) = 2σ
r
σ+(1−σ)r
1
u
1 − (1 − σ)u2
2
du. (6.50)
112 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Řešení úlohy (6.47), (6.46) je tedy implicitně dáno rovností
τ = I(r), (6.51)
kde výraz I(r) je integrál zavedený rovností (6.50). Nyní musíme rozlišit tři případy podle
hodnoty parametru σ, poměru aktuální hustoty Vesmíru k hustotě kritické.
1. σ = 1, tj. 0 = krit
V tomto případě se integrál v (6.50) redukuje na tabulkový integrál
I(r) = 2
√
r
1
u2
du = 2
3
√
r3 − 1 .
Po dosazení do rovnosti (6.51) můžeme řešení úlohy (6.47), (6.46) vyjádřit ve tvaru
r(τ) =
3 3
2τ + 1
2
.
Tato funkce je definována pro libovolné τ, její první derivace
dr
dτ
=
1
3 3
2 τ + 1
je definována pro τ > −2
3. Dále platí
lim
τ→− 2
3
+
r(τ) = 0, lim
τ→∞
r(τ) = ∞, lim
τ→− 2
3
+
dr
dτ
(τ) = ∞, lim
τ→∞
dr
dτ
(τ) = 0.
Odtud a z obecné úvahy provedené za (6.49) plyne, že úplné řešení úlohy (6.45), (6.46) je
definováno na intervalu (−2
3, ∞), funkce r je na tomto intervalu kladná, rostoucí a konkávní.
V čase τ = −2
3 má funkce r singularitu (nulovou hodnotu a nekonečnou derivaci) — poloměr
Vesmíru byl nulový a rychlost jeho rozpínání nekonečná. Tento čas tedy můžeme považovat
za okamžik vzniku Vesmíru, hodnota αp = 2
3 vyjadřuje stáří Vesmíru. Stáří Vesmíru můžeme
podle druhého z transformačních vztahů (6.43) vyjádřit také v časových jednotkách jako
Ap =
αp
H
=
2
3H
.
Je-li tedy současná hustota Vesmíru rovna hustotě kritické, pak se Vesmír vyvíjí od počáteční
singularity (nulového poloměru) v čase Ap před současností tak, že jeho poloměr roste
neomezeně v prostoru i v čase. Rychlost jeho růstu přitom klesá z nekonečna (počáteční exploze,
big bang) k nule, tj. v nekonečném čase se rozpínání Vesmíru zastaví. Takový Vesmír
se nazývá parabolický.
2. σ < 1, tj. 0 < krit
V tomto případě je
I(r) =
σu
(1 − σ) 1 − (1 − σ)u2
−
σ
2 (1 − σ)3
ln
1 +
√
1 − σu
1 −
√
1 − σu
r
σ+(1−σ)r
u=1
=
=
σr + (1 − σ)r2 − 1
1 − σ
−
1
2 (1 − σ)3
ln
1 −
√
1 − σ σ + (1 − σ)r + (1 − σ)r
1 +
√
1 − σ σ + (1 − σ)r − (1 − σ)r
6.8. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 113
a tato funkce je definována pro libovolné r ≥ 0. Zejména platí
I(0) = −
1
1 − σ
1 +
1
2
√
1 − σ
ln
1 −
√
1 − σ
1 +
√
1 − σ
.
Označme pravou stranu této rovnosti −αh. Pak platí
lim
τ→−αh+
r(τ) = 0, (6.52)
což znamená, že v čase −αh měl Vesmír nulový poloměr. Tento čas lze považovat za počátek
Vesmíru, takže jeho stáří nyní vyjádříme výrazem
Ah =
αh
H
=
1
(1 − σ)H
1 +
1
2
√
1 − σ
ln
1 −
√
1 − σ
1 +
√
1 − σ
.
Již víme, že funkce r = r(τ) je rostoucí a konkávní. Dále je
lim
r→∞
I(r) = ∞
a tedy také
lim
τ→∞
r(τ) = ∞.
Z vyjádření derivace v (6.49), z předchozí rovnosti a z (6.52) dále plyne
lim
τ→∞
dr
dτ
(τ) = lim
r→∞
σ
r
+ 1 − σ =
√
1 − σ, lim
τ→−αh+
dr
dτ
(τ) = lim
r→0+
σ
r
+ 1 − σ = ∞.
Je-li tedy současná hustota Vesmíru menší než hustota kritické, pak se Vesmír opět vyvíjí
od počáteční singularity v čase An před současností tak, že jeho poloměr roste neomezeně
v prostoru i v čase. Rychlost jeho růstu přitom klesá z nekonečné k jisté kladné hodnotě.
V tomto případě se tedy rozpínání Vesmíru nezastaví ani v nekonečném čase. Takový Vesmír
se nazývá hyperbolický.
3. σ > 1, tj. 0 > krit
V tomto případě je
I(r) =
σ
(σ − 1)3
arctg u
√
σ − 1 −
σu
(σ − 1) 1 + (σ − 1)u2
r
σ−(σ−1)r
u=1
=
=
1 − σr − (σ − 1)r2
σ − 1
+
σ
(σ − 1)3
arctg r(σ − 1)σ − (σ − 1)r − arctg
√
σ − 1 .
Tato funkce je definována pro r ∈ 0,
σ
σ − 1
. Označme pro stručnost rm =
σ
σ − 1
. Platí
I(0) =
1
σ − 1
1 −
σ arctg
√
σ − 1
√
σ − 1
< −2
3,
0 < lim
r→rm−
I(r) =
1
σ − 1
1 +
σ
√
σ − 1
π
2
− arctg
√
σ − 1 < ∞;
114 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
platnost první nerovnosti ověříme tak, že podle de l’Hôpitalova pravidla vypočítáme
lim
σ→0+
I(0) = lim
σ→0+
√
σ − 1 − σ arctg
√
σ − 1
(σ − 1)3
= −2
3
a dále
d
dσ
I(0) =
1
2(σ − 1)2
(2 − σ)
arctg
√
σ − 1
√
σ − 1
− 1 < 0
pro σ > 0. Označme dále
αe = −I(0) a ωe = lim
r→rm−
I(r).
Pak je αe > 0, ωe > 0, r(−αe) = 0, r(ωe) = rm a podle první rovnosti v (6.49) je
lim
τ→−αe+
dr
dτ
(τ) = lim
r→0−
σ
r
+ 1 − σ = ∞, lim
τ→ωe−
dr
dτ
(τ) = lim
r→rm−
σ
r
+ 1 − σ = 0.
To znamená, že funkce r roste z nulové hodnoty v čase τ = −αe ke konečné hodnotě rm
v konečném čase τ = ωe a její derivace přitom klesá z nekonečna k nule. Rovnost (6.51) tedy
nepopisuje úplné řešení úlohy (6.47), (6.46) (sr. větu 5 v 3.2).
Řešení úlohy (6.47), (6.46) se σ > 1 prodloužíme za bod ωe tak, že budeme řešit rovnici
(6.47) s novou počáteční podmínkou
t(ωe) = rm,
dr
dτ
(ωe) = 0. (6.53)
Pro zjednodušení zápisu nejprve posuneme počátek času do bodu ωe, tj. zavedeme novou
nezávisle proměnnou s vztahem s = τ − ωe. Pak je
dτ
ds
= 1,
d2τ
ds2
=
d
dτ
dr
dτ
dτ
ds
dτ
ds
=
d2r
dτ2
= −
σ
2r2
.
Úloha (6.47), (6.53) se tedy transformuje na úlohu
d2r
ds2
= −
σ
2r2
, r(0) = rm,
dr
ds
(0) = 0. (6.54)
Uvažujme nyní funkci q nezávisle proměnné s definovanou vztahem q(s) = r(−s). Pak je
q (s) = −r (−s), q (s) = r (−s), takže funkce q splňuje vztahy
d2q
ds2
= −
σ
2q2
, q(0) = rm,
dq
ds
(0) = 0.
Funkce q = q(s) je řešením stejné počáteční úlohy (6.54) jako funkce r = r(s). Z jednoznačnosti
řešení úlohy (6.54) nyní plyne, že r(s) = q(s) = r(−s), tedy že řešení této úlohy je
funkce sudá.
Z provedené úvahy můžeme usoudit, že řešení r = r(τ) úlohy (6.47), (6.46) se σ > 1 lze
prodloužit na interval [ωe, 2ωe + αe) a přitom bude platit r(ωe + s) = r(ωe − s) pro každé
s ∈ (0, αe + ωe), tj. graf funkce r bude symetrický kolem osy τ = ωe.
6.8. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 115
Úplné řešení r = r(τ) úlohy (6.47), (6.46) se σ > 1 je tedy definováno na intervalu
(−αe, 2ωe + αe). Přitom
r(−αe) = 0 = r(2ωe + αe), r(ωe) = rm,
funkce r je konkávní, rostoucí na intervalu (−αe, ωe] a klesající na intervalu [ωe, 2ωe + αe).
Dostáváme tak stáří Vesmíru, dobu jeho expanze a dobu jeho existence
Ae =
αe
H
, Ωe =
ωe
H
, a Te =
2(αe + ωe)
H
(v uvedeném pořadí).
Je-li současná hustota Vesmíru větší než hustota kritická, pak vesmír expanduje z počáteční
singularity v čase Ae před současností. Jeho expanze se zpomaluje, v jistém okamžiku
v budoucnosti se zastaví a vesmír se bude smršťovat až do singularity konečné (big crunch).
Doba trvání tohoto procesu je Te. Takový Vesmír se nazývá eliptický.
Počáteční úlohu (6.48) pro implicitní diferenciální rovnici jsme řešili vyřešením rovnice
vzhledem k derivaci, tj. převedením implicitní rovnice na explicitní. Alternativně bychom
úlohu (6.48) mohli řešit bezprostředně metodou 2.8 pro řešení implicitní rovnice. Řešení
bychom pak dostali v parametrickém tvaru.
Povšimněme si, že znalost gravitační konstanty G, současné hodnoty Hubbleovy konstanty
H a současné hustoty Vesmíru 0 umožňuje odhadnout stáří Vesmíru a v případě Vesmíru
eliptického i dobu jeho trvání. O velikosti Vesmíru však studovaný model neříká nic; tu lze
odhadovat až při použití rovnic obecné relativity.
Skutečnost, že expanzi Vesmíru a Hubbleovu zákonu vzdalování galaxií vysvětlovaným na základě
Einsteinových rovnic obecné relativity lze v hlavních rysech porozumět již v rámci Newtonovy teorie
gravitace, ukázali angličtí kosmologové Arthur Milne (1896–1950) a William McCrea (1904–1999):
Milne E.A. A Newtonian Expanding Universe. Quaterly Journal of Mathematics 1934,
vol. 5, p. 64–72.
McCrea W.H., Milne E.A. Newtonian Universes and the Curvature Space. Quaterly
Journal of Mathematics 1934, vol. 5, p.73–80
Za zmínku stojí také to, že E. A. Milne výrazně preferoval nekonečný vesmír, který dává prostor
neomezenému počtu evolučních experimentů, které Bůh (nebo božská bytost) provádí. Tomuto tématu
věnoval např. knihu
Milne E.A. Modern Cosmology and the Christian Idea of God. Clarendon, Oxford 1952.
116 KAPITOLA 6. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Kapitola 7
Makroekonomické modely
7.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu
Základní ekonomickou veličinou je produkce. Produkovat může subjekt, který vlastní kapitál.
Kapitálem jsou nejen peníze, ale především budovy, stroje, zařízení a podobně. Kapitál vzniká
a obnovuje se investicemi. Budeme tedy uvažovat tři ekonomické ukazatele, tj. tři časově
závislé proměnné – produkci Y = Y (t), kapitál K = K(t) a investice I = I(t). Kdekoliv je
vyvíjena jakákoliv ekonomická aktivita, tam je nějaká produkce; proto je veličina Y kladná.
A jak již bylo řečeno, z toho, že je produkce plyne, že byl kapitál; tedy i veličina K je kladná.
První model dynamiky produkce sestavíme na základě tří postulátů:
HD1 Kapitál vzniká investicemi a mizí amortizací.
HD2 Do tvorby kapitálu je investován stálý podíl produktu.
HD3 Relativní přírůstek kapitálu se projevuje relativním přírůstkem produkce.
Označme δ podíl kapitálu, který se za jednotku času znehodnotí amortizací, κ čas, za který
se z investované částky stane kapitál. Typicky je κ = 1, neboť investice z jednoho období jsou
v následujícím období již kapitálem. S těmito symboly upřesníme postulát HD1 jako rovnost
K(t + ∆t) = K(t) +
1
κ
I(t)∆t − δK(t)∆(t),
neboli
K(t + ∆t) − K(t)
∆t
=
1
κ
I(t) − δK(t).
Budeme dále předpokládat, že čas plyne spojitě a veličina K je diferencovatelná. Pak můžeme
limitním přechodem ∆t → 0 vyjádřit postulát HD1 ve tvaru diferenciální rovnice
K =
1
κ
I − δK. (7.1)
Předpoklad HD2 je vyjádřen rovností
I = (1 − s)Y, (7.2)
kde s ∈ (0, 1). Parametr s vyjadřuje podíl produkce, který není investován, tedy je spotřebován
nebo uspořen. Z nerovnosti s < 1 a kladnosti veličiny Y plyne, že také veličina I je
kladná.
117
118 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Předpoklad HD3 formálně zapíšeme jako rovnost
K
K
=
Y
Y
. (7.3)
Z této rovnosti plyne
0 =
K
K
−
Y
Y
=
K Y − KY
Y 2
Y
K
=
K
Y
Y
K
.
Poněvadž veličiny K a Y jsou kladné, plyne odtud, že
K
Y
= 0 a tedy existuje konstanta
r ∈ R, že
K
Y
= r, (7.4)
neboli
K = rY. (7.5)
Naopak, z této rovnosti plyne K = rY a vydělením této rovnosti rovností (7.5) dostaneme
rovnost (7.3). Předpoklad HD3 lze tedy ekvivalentně vyjádřit rovností (7.3) nebo (7.5).
Z rovností (7.3), (7.1), (7.2) a (7.5) nyní dostaneme
Y
Y
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
(1 − s)Y
K
− δ =
1 − s
κr
− δ,
tedy
Y
Y
=
1 − s
κr
− δ = const, (7.6)
relativní rychlost růstu produkce je za předpokladů HD1, HD2 a HD3 konstantní. Označme
ji g a z rovnice (7.6) dostaneme
Y (t) = Y0egt
,
kde Y0 = Y (0) je počáteční produkce. Znaménko konstanty g určuje, zda produkce roste nebo
klesá. Konstanta r je podle (7.4) poměrem produkce a kapitálu, vyjadřuje tedy kapitálovou
náročnost jednotky produkce. Závěr analýzy modelu nyní můžeme přeformulovat:
je-li r <
1 − s
κδ
pak produkce roste,
je-li r =
1 − s
κδ
pak produkce stagnuje,
je-li r >
1 − s
κδ
pak produkce klesá.
Nebo stručně: je-li kapitálová náročnost jednotky produkce příliš velká, pak produkce nemůže
růst.
7.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu
Budeme uvažovat uzavřenou ekonomiku, tj. takovou, že jedinými produkčními faktory jsou
kapitál a práce, nikoliv zahraniční obchod. Kromě (agregátní) produkce Y = Y (t), kapitálu
K = K(t) a investic I = I(t) do modelu zahrneme i práci L = L(t). Práci pro potřeby modelu
7.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 119
stotožníme s vytvářenou hodnotou1, měříme ji tedy ve stejných jednotkách (penězích) jako
veličiny Y , K, nebo I. Práce vždy vytváří hodnotu, proto je veličina L kladná.
Budeme předpokládat, že kapitál a investice splňují postuláty HD1 a HD2, tedy rovnosti
(7.1) a (7.2). Dále budeme postulovat:
SS1 Relativní růst (změna) práce je konstantní, odpovídá přirozenému přírůstku (nebo úbytku)
obyvatelstva.
SS2 Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce.
Postulát SS1 lze zapsat jako rovnost
L
L
= λ, (7.7)
kde λ ∈ R je nějaká konstanta. Postulát SS2 zapíšeme rovností
Y = f(K, L). (7.8)
Funkce f se nazývá (agregátní) produkční funkce. Poněvadž všechny tři veličiny K, L, Y
považujeme za kladné, je
f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞).
Aby funkce f vystihovala ekonomickou realitu, budeme předpokládat, že vyhovuje třem přirozeným
požadavkům
pf1 Malá změna produkčního faktoru vyvolá malou změnu produkce, přitom zvětšení výrobního
faktoru nevede ke zmenšení produkce.
pf2 Produkce není závislá na tom, v jakých (peněžních) jednotkách vyjadřujeme produkci a
produkční faktory.
pf3 Platí zákon klesajících výnosů: dodatečná jednotka produkčního faktoru nevytvoří větší
produkt, než jednotka předcházející a mezní produkt při neomezeném růstu produkčního
faktoru klesá k nule.
Postulát pf1 říká, že produkční funkce je spojitá a neklesající v každé své proměnné. Změna
jednotky je totéž, co vynásobení proměnné nějakou kladnou konstantou. Postulát pf2 tedy
požaduje, aby pro každé α > 0 platilo
f(αK, αK) = αY = αf(K, L), (7.9)
tj. produkční funkce je homogenní prvního řádu. Označme na chvíli jednotku kapitálu ∆K.
Zákon klesajících výnosů pro kapitál nyní můžeme zapsat ve tvaru
f(K, L) − f(K − ∆K, L) ≥ f(K + ∆K, L) − f(K, L) −−−−→
K→∞
0
pro libovolnou hodnotu L. Uvedenou nerovnost můžeme také přepsat ve tvaru
f(K, L) ≥
1
2
f(K − ∆K, L) +
1
2
f(K + ∆K, L).
1
Poznamenejme, že hodnota obecně není totéž, co produkce.
120 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Analogicky vyjádříme zákon klesajících výnosů pro práci. Obecně přeformulujeme (zesílíme!)
postulát pf3 výrokem: pro každé γ ∈ (0, 1) a všechny K1, K2, L1, L2 > 0 platí
f γK1 + (1 − γ)K2, γL1 + (1 − γ)L2 ≥ γf(K1, L1) + (1 − γ)f(K2, L2), (7.10)
tj. funkce f je konkávní, a
lim
K→∞
f(K + K1, L1) − f(K, L1) = 0 = lim
L→∞
f(K, L + L1) − f(K1, L) . (7.11)
Nyní zavedeme novou veličinu k, nazvanou míra vybavenosti práce kapitálem, vztahem
k =
K
L
. (7.12)
S využitím rovností (7.1), (7.7), (7.2), (7.8) a (7.9) postupně dostaneme
k
k
=
L
K
K
L
=
L
K
K L − KL
L2
=
K
K
−
L
L
=
1
κ
I
K
− δ − λ =
1 − s
κ
Y
K
− (δ + λ) =
=
1 − s
κ
f(K, L)
K
− (δ + λ) =
1 − s
κ
L
K
f
K
L
, 1 − (δ + λ) =
1 − s
κ
f(k, 1)
k
− (δ + λ).
Tímto způsobem dostáváme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu
k = −(δ + λ)k +
1 − s
κ
f(k, 1). (7.13)
Funkci f( · , 1) : (0, ∞) → (0, ∞) nazýváme produkční funkce v intenzivním tvaru. Je to spojitá
neklesající konkávní funkce, pro kterou podle (7.11) platí
lim
k→∞
f(k + k1, 1) − f(k, 1) = 0
pro každé k1 > 0. Z monotonie a nezápornosti funkce f( · , 1) plyne existence limity
lim
k→0+
f(k, 1) = f0 ≥ 0.
Fázovým prostorem jednorozměrné autonomní rovnice (7.13) je interval (0, ∞). Stacionární
bod k∗ této rovnice splňuje rovnnost
κ(δ + λ)k∗
= (1 − s)f(k∗
, 1). (7.14)
Izolovaný stacionární bod rovnice (7.13) v jejím fázovém prostoru existuje právě tehdy, když
δ + λ > 0, tj. případný úbytek obyvatelstva (práce) je pomalejší, než amortizace kapitálu, a
současně existuje ε > 0 takové, že
f(k, 1) > κ
δ + λ
1 − s
k (7.15)
pro k ∈ (0, ε), viz obr. 7.1. V takovém případě je pravá strana rovnice (7.13) kladná pro
k < k∗ a záporná pro k > k∗. To znamená, že za takové situace pro každé řešení k = k(t)
rovnice (7.13) platí
lim
t→∞
k(t) = k∗
,
7.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 121
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k∗
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k
(1 − s)f(k, 1)
κ(δ + λ)k
a) b) c)
Obrázek 7.1: Řešení rovnice (7.14) pro stacionární bod k∗ základní dynamické rovnice neoklasického
modelu (7.13). Na vodorovné ose je současně fázový portrét rovnice (7.13). a) δ+λ > 0
a je splněna podmínka (7.15). b) Není splněna podmínka (7.15). c) Neplatí δ + λ > 0.
vybavenost práce kapitálem se ustálí na konstantní hodnotě k∗ > 0.
Podle (7.9) platí rovnost
f(k, 1) = f
K
L
, 1 =
1
L
f(K, L) =
Y
L
.
Odtud plyne, že pro kapitálovou náročnost produkce r = r(t) platí
r =
Y
K
=
Y
L
L
K
=
f(k, 1)
k
.
Ze spojitosti funkce f( · , 1) nyní plyne, že existuje limita
r∗
= lim
t→∞
r(t) = lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= lim
t→∞
f k(t), 1
k(t)
=
f(k∗, 1)
k∗
, (7.16)
tj. kapitálová náročnost produkce se ustálí na jisté hodnotě. Porovnáním se vztahem (7.4),
který je ekvivalentní s postulátem HD3 vidíme, že Harrodův-Domarův model je limitním
případem modelu Solowova-Swanova. Harrodův-Domarův model popisuje rovnovážnou ekonomiku,
v níž produkce roste stejně rychle jako kapitál.
Pokud δ + λ > 0, ale není splněna podmínka (7.15), pak je pravá strana rovnice (7.13)
záporná; každé její řešení tedy konverguje k nule. Pokud δ + λ < 0, pak je pravá strana
rovnice (7.13) kladná a každé její řešení diverguje do nekonečna. V obou takových případech
ekonomika spěje ke kolapsu – vymizí kapitál nebo práce (tj. veškeré obyvatelstvo bude nezaměstnané).
V reálné ekonomice tedy úbytek obyvatelstva nemůže být rychlejší než amortizace
kapitálu a mezní produkt malého kapitálu musí být dostatečně velký.
7.2.1 Speciální produkční funkce
Leontiefova produkční funkce
f(K, L) = min {aK, bL} ,
kde a, b jsou kladné konstanty, vyjadřuje předpoklad, že kapitál a práce mají na produktu
pevný podíl. V případě, že aK < bL, tj. je nedostatek kapitálu, k produkci přispívá veškerý
122 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
kapitál, ale část práce je neproduktivní. V případě, že aK > bL, tj. je nedostatek pracovní
síly, zůstává část kapitálu ladem. Pouze v nepravděpodobném případě aK = bL je veškerý
kapitál i práce produktivní.
Produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = min{ak, b}.
Kladný izolovaný stacionární bod rovnice (7.13) s Leontiefovou
produkční funkcí existuje pouze tehdy, když je splněna podmínka
(7.15), v tomto případě konkrétně když
a > κ
δ + λ
1 − s
,
f(k, 1)
k
b
b
a
tj. podíl kapitálu na produkci je dostatečně velký, kapitál je dostatečně efektivně využíván.
Za takové situace je f(k∗, 1) = b, takže podle (7.14) je
lim
t→∞
K(t)
L(t)
= k∗
=
(1 − s)b
κ(δ + λ)
.
Odtud a z předchozí nerovnosti dostaneme
lim
t→∞
aK(t)
bL(t)
=
a(1 − s)
κ(δ + λ)
> 1,
což znamená, že ve stabilizované ekonomice je bL < aK a tedy v ní zůstává nevyužitý kapitál.
Naopak, pokud by platila opačná nerovnost
a < κ
δ + λ
1 − s
,
ekonomika by konvergovala k nulové vybavenosti práce kapitálem a v důsledku toho k nulové
produkci. Ani jeden ze scénářů samozřejmě nepředstavuje žádoucí stav.
Dvakrát diferencovatelná produkční funkce
Produkční funkce f = f(K, L) je podle pf1 neklesající a podle (7.10) konkávní v obou svých
proměnných. U dvakrát diferencovatelné produkční funkce tyto požadavky poněkud zesílíme
– budeme předpokládat, že funkce f je v obou svých proměnných rostoucí a ryze konkávní,
tj. že pro všechna kladná K, L splňuje nerovnosti
∂f
∂K
(K, L) > 0,
∂2f
∂K2
(K, L) < 0,
∂f
∂L
(K, L) > 0,
∂2f
∂L2
(K, L) < 0. (7.17)
Zákon klesajících výnosů ve tvaru
lim
K→∞
∂f
∂K
(K, L) = 0 = lim
L→∞
∂f
∂K
(K, L) (7.18)
doplníme předpokladem: pokud se v ekonomice objeví nový produkční faktor, pak jeho mezní
výnos je obrovský; přesněji řečeno, budeme předpokládat, že platí
lim
K→0+
∂f
∂K
(K, L) = ∞ = lim
L→0+
∂f
∂K
(K, L). (7.19)
7.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 123
Podmínky (7.18) a (7.19) se nazývají Inadovy. Produkční funkce, která má vlastnosti (7.9),
(7.17), (7.18) a (7.19) se nazývá neoklasická.
Tvrzení: V neoklasické funkci jsou oba produkční faktory podstatné, zmizí-li jeden z nich,
zmizí i produkce, tj.
lim
K→0+
f(K, L) = 0 = lim
L→0+
f(K, L). (7.20)
Pokud některý z produkčních faktorů roste neomezeně, pak neomezeně roste i produkce, tj.
lim
K→∞
f(K, L) = ∞ = lim
L→∞
f(K, L). (7.21)
Důkaz: Pro funkci f podle de l’Hospitalova pravidla a podle Inadovy podmínky (7.18) platí
lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
∂f(K, L)
∂L
= 0 pro libovolné K > 0.
Z homogenity funkce f nyní plyne
0 = lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
f
K
L
, 1 = lim
k→0+
f(k, 1)
a dále
lim
K→0+
f(K, L) = lim
K→0+
L f
K
L
, 1 = L lim
k→0+
f(k, 1) = 0,
což je první z rovností (7.20).
Z homogenity funkce f, z de l’Hospitalova pravidla a z Inadovy podmínky (7.19) plyne
lim
K→∞
f(K, L) = lim
K→∞
f 1,
L
K
1
K
= lim
K→∞
−
L
K2
f|2 1,
L
K
−
1
K2
= L lim
l→0+
f|2(1, l) = ∞
(symbol f|2(x, y) označuje parciální derivaci funkce f podle druhé proměnné v bodě (x, y)).
To je první z rovností (7.21). Platnost druhých rovností (7.20) a (7.21) ukážeme analogicky.
Z první rovnosti (7.20), de l’Hospitalova pravidla a druhé Inadovy podmínky (7.19) plyne
lim
k→0+
f(k, 1)
k
= lim
k→0+
∂f(k, 1)
∂k
= ∞.
Z této rovnosti dále plyne, že je splněna podmínka (7.15).
Rovnice (7.13) s neoklasickou produkční funkcí f má jediné kladné stacionární řešení k∗,
které je globálně asymptoticky stabilní.
Cobbova-Douglasova produkční funkce
f(K, L) = AKb
L1−b
,
kde A > 0, b ∈ (0, 1) je neoklasická; o tom se lze přesvědčit snadným přímým výpočtem.
Konstanta A vyjadřuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci. Z rovnosti
Y = AKb
L1−b
124 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
je vidět, že k danému množství kapitálu K a požadované produkci Y lze určit potřebné
množství práce
L =
1−b Y
AKb
,
které tuto produkci zajistí. Naopak, k danému množství práce L lze určit množství kapitálu
K =
b Y
AL1−b
,
které zajistí požadovanou produkci Y . Cobbova-Douglasova produkční funkce tedy vyjadřuje
produkci v takové ekonomice, v níž jsou kapitál a práce neomezeně substituovatelné.
Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = Akb
,
takže základní rovnice neoklasického modelu (7.13) je tvaru
k = −(δ + λ)k + A
1 − s
κ
kb
. (7.22)
To je rovnice Bernoulliova, kterou podle 2.7 řešíme substitucí
x = k1−b
.
Tato substituce převede rovnici (7.22) na lineární nehomogenní rovnici
x = −(1 − b)(δ + λ)x + A
(1 − s)(1 − b)
κ
,
která má podle 2.6 řešení
x(t) = x0 −
A(1 − s)
κ(δ + λ)
e−(1−b)(δ+λ)t
+
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
kde x0 je počáteční hodnota. Poněvadž pro δ + λ > 0 platí
lim
t→∞
x(t) =
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
dostaneme pro ustálenou hodnotu vybavenosti práce kapitálem vyjádření
k∗
= lim
t→∞
k(t) = lim
t→∞
1−b
x(t) = 1−b A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
tedy
(k∗
)1−b
=
A(1 − s)
κ(δ + λ)
.
Odtud s využitím definice Cobbovy-Douglasovy produkční funkce a porovnáním se vztahem
(7.16) dostaneme
κ(δ + λ)
1 − s
=
A
(k∗)1−b
=
A(k∗)b
k∗
=
f(k∗, 1)
k∗
= r∗
.
Poměr produkce a kapitálu v rovnovážné ekonomice s neomezeně substituovatelnou prací a
kapitálem je tedy rovna konstantě
κ
δ + λ
1 − s
.
7.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 125
7.3 Goodwinův model hospodářského cyklu
Práce v Solowovu-Swanovu modelu je abstraktní veličina, představuje vlastně hodnotu prací
vytvořenou. Nyní budeme jako práci L = L(t) označovat množství zaměstnaného obyvatelstva,
které za svou práci dostává mzdu W = W(t). Přesněji řečeno, W označuje nějakou
střední hodnotu mzdy jednoho pracovníka. Dále budeme uvažovat množství N = N(t) práceschopného
(nebo práceochotného) obyvatelstva. Pro zjednodušení zavedeme ještě veličiny:
produktivita práce
a =
Y
L
(7.23)
(střední množství produktu vytvořeného jedním pracujícím člověkem), relativní zaměstnanost
v =
L
N
(7.24)
a podíl mzdy na produkci
u =
W
a
=
WL
Y
. (7.25)
Ekonomiku budeme považovat za rovnovážnou, tj. budeme předpokládat, že produkce Y ,
kapitál K a investice I splňují postuláty HD1 a HD3 Harrodova-Domarova modelu, tedy
rovnost (7.1) a ekvivalentní rovnosti (7.3), (7.4). Dále budeme postulovat:
G1 Veškerá čistá produkce, tj. produkce bez vyplacených mezd, je investována.
G2 Relativní změna počtu obyvatel je konstantní.
G3 Projevuje se stálý technický pokrok, tj. konstantní relativní růst produktivity práce.
G4 Změna mzdové sazby závisí na zaměstnanosti.
Postulát G1 nahrazuje předpoklad o investování HD2 z Harrodova-Domarova modelu. Postuláty
G1, G2 a G3 zapíšeme po řadě rovnostmi
I = Y − WL, (7.26)
N
N
= β, (7.27)
a
a
= α, (7.28)
kde α > 0, β ∈ R jsou nějaké konstanty. V postulátu G4 budeme změnu považovat za relativní
a postulát zpřesníme vyjádřením
W
W
= ϕ(v), (7.29)
kde ϕ : [0, 1) → R je diferencovatelná funkce, jejímž grafem je Phillipsova křivka. Její vlastnosti,
které byly zjištěny empiricky, formálně vyjádříme tak, že funkce ϕ je na svém definičním
oboru rostoucí a konvexní, zejména
ϕ (v) > 0 pro v ∈ [0, 1) (7.30)
a splňuje nerovnosti
ϕ(0) = ϕ0 < 0, (7.31)
126 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
tj. při malé zaměstnanosti (velké nezaměstnanosti) mzdy klesají (je-li práce vzácná, lidé jsou
ochotni pracovat za nízkou mzdu),
lim
v→1−
ϕ(v) = ϕ1 > 0, (7.32)
tj. při velké zaměstnanosti mzdy rostou (chceme-li při téměř plné zaměstnanosti získat nového
pracovníka, musíme ho přeplatit); přitom připouštíme i ϕ1 = ∞ (to je dokonce obvyklejší
předpoklad).
Podle (7.1), (7.26), (7.4) a (7.25) platí
K
K
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
Y − WL
K
− δ =
1
κ
Y
K
1 −
WL
Y
− δ =
r
κ
(1 − u) − δ.
Odtud a z rovnosti (7.3) při označení σ =
r
κ
dostaneme
Y
Y
= σ(1 − u) − δ. (7.33)
Nyní vyjádříme relativní změnu zaměstnanosti pomocí rovností (7.24), (7.23), (7.27), (7.33)
a (7.28).
v
v
=
N
L
L
N
=
N
L
L N − LN
N2
=
L
L
−
N
N
=
a
Y
Y
a
− β =
a
Y
Y a − Y a
a2
− β =
=
Y
Y
−
a
a
− β = σ(1 − u) − δ − α − β.
Tedy při označení γ = σ − α − β − δ máme
v
v
= −σu + γ. (7.34)
Relativní změnu podílu mzdy na produkci vyjádříme pomocí rovností (7.25), (7.29) a (7.28).
u
u
=
a
W
W
a
=
a
W
W a − Wa
a2
=
W
W
−
a
a
= ϕ(v) − α,
tj.
u
u
= ϕ(v) − α. (7.35)
Rovnice (7.35) a (7.34) představují model vývoje podílu mezd na produkci a relativní zaměstnanosti.
Můžeme je přepsat v obvyklém tvaru
u = u ϕ(v) − α ,
v = v(γ − σu);
(7.36)
připomeňme, že fázový prostor systému (7.36) je množina Ω = [0, ∞) × [0, 1) a že parametry
α, σ jsou kladné.
Ze druhé rovnice systému (7.36) plyne diferenciální nerovnost u ≤ γv a tedy podle srovnávací
věty 8 je platí
v(t) ≤ v(0)eγt
.
7.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 127
Uvažujme nejprve γ < 0. Pak
lim
t→∞
v(t) = 0.
Ze spojitosti funkce ϕ a podmínky (7.30) odtud plyne, že existuje t1 ≥ 0 takové, že ϕ( v(t) ≤
0 pro t ≥ t1. Podle první rovnice systému (7.36) pro t ≥ t1 platí u (t) ≤ −αu(t), takže
u(t) ≤ u(t1)e−αt. Proto také
lim
t→∞
u(t) = 0.
Případ γ < 0 popisuje ekonomiku, která spěje k podivnému stavu – nikdo nepracuje a na
produkci se mzda nepodílí2.
Dále budeme realističtěji předpokládat, že γ > 0.
Pokud ϕ1 < α, pak z první rovnice systému (7.36) plyne, že u ≤ u(ϕ1 − α) a tedy pro
všechna t ≥ 0 je
u(t) ≤ u(0)e(ϕ1−α)t
.
To znamená, že existuje t2 ≥ 0 takové, že
u(t) ≤
γ
2σ
pro t ≥ t2.
Podle druhé rovnice systému (7.36) pro t ≥ t2 platí
v (t) = v(t) γ − σu(t) ≥ v(t) γ − σ
γ
2σ
=
1
2
γv(t),
takže v(t) ≥ v(t2)e
1
2
γt
. To znamená, že existuje T ≥ t2 takové, že
lim
t→T−
v(t) = 1.
Podle věty 5 řešení nelze prodloužit za čas T. V případě ϕ1 < α tedy ekonomika v konečném
čase dospěje k plné zaměstnanosti, ale v tom okamžiku přestanou platit „ekonomické zákony ,
ze kterých byl Goodwinův model sestaven3.
Je-li ϕ1 > α (což je zejména splněno, pokud ϕ1 = ∞), pak existuje v∗ ∈ (0, 1) takové, že
ϕ(v∗) = α, tj. v∗ = ϕ−1(α). Systém (7.36) má v tomto případě dva stacionární body
(0, 0) a (u∗
, v∗
) =
γ
σ
, ϕ−1
(α) .
Variační matice systému (7.36) je
J(u, v) =
ϕ(v) − α uϕ (v)
−σv γ − σu
,
tedy
J(0, 0) =
ϕ0 − α 0
0 γ
, det J(0, 0) = γ(ϕ0 − α) < 0,
2
To připomíná lidovou charakteristiku reálného socialismu, který fungoval v sedmdesátých a osmdesátých
letech dvacátého století v Československé socialistické republice: „Občané předstírají, že pracují, stát předstírá,
že platí.
3
Ekonomika s plnou zaměstnaností a s malým až zanedbatelným podílem mezd na produkci je snem komunistů
— všichni budou pracovat (práce se stane první životní nutností), ale peníze již za komunismu nebudou.
Tomuto ideálu se v realitě nejvíce přiblížil Pol Pot.
128 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
J(u∗
, v∗
) =
0
γ
σ
ϕ (v∗)
−σv∗ 0
, det J(u∗
, v∗
) = γv∗
ϕ (v∗
) > 0, tr J(u∗
, v∗
) = 0.
Podle 5.3.1 je triviální stacionární bod (0, 0) sedlo. O typu stacionárního bodu (u∗, v∗) nelze
podle tohoto kritéria rozhodnout.
Budeme hledat vyjádření trajektorií systému (7.36). Vydělením jeho rovnic dostaneme
dv
du
=
v(γ − σu)
u ϕ(v) − α
,
což je obyčejná rovnice se separovanými proměnnými. Podle 2.3 je její řešení implicitně dáno
rovností
ϕ(v) − α
v
dv =
γ − σu
u
du,
po úpravě
σu − ln (uγ
vα
) +
v
v0
ϕ(x)
x
dx = const;
přitom v0 ∈ (0, 1) je nějaká konstanta vyjadřující počáteční zaměstnanost. Levou stranu
poslední rovnosti označíme G(u, v). Trajektorie systému (7.36) jsou tedy vrstevnicemi funkce
G.
Poněvadž platí
∂G
∂u
= σ −
γ
u
= −
γ − σu
u
,
∂G
∂u
(u∗
, v∗
) = 0,
∂G
∂v
=
ϕ(v)
v
−
α
v
=
ϕ(v) − α
v
,
∂G
∂v
(u∗
, v∗
) = 0,
∂2G
∂u2
=
γ
u2
> 0,
∂2G
∂u∂v
= 0,
∂2G
∂v2
=
vϕ (v) − ϕ(v) − α
v2
,
∂2G
∂v2
(u∗
, v∗
) =
ϕ (v∗)
v∗
> 0,
je stacionární bod (u∗, v∗) lokálním minimem funkce G, a ta je v nějakém jeho okolí konvexní.
To znamená, že trajektorie systému (7.36) začínající v okolí stacionárního bodu (u∗, v∗) jsou
uzavřenými křivkami, stacionární bod je střed.
Možné umístění nulklin ve fázovém prostoru spolu s trajektoriemi systému (7.36) je znázorněno
na obr. 7.2. Vidíme, že i v případě γ > 0, ϕ1 > α je možné, že vývoj ekonomiky
dospěje v konečném čase k plné zaměstnanosti a malému podílu mzdy na produkci, pokud je
počáteční stav ekonomiky dostatečně daleko od rovnováhy. Jinak zaměstnanost kolísá kolem
jisté rovnovážné hodnoty, v ekonomice se střídají období prosperity a útlumu; Goodwinův
model tedy svým způsobem vysvětlil vznik a nevyhnutelnost hospodářského cyklu.
Obecně platí
G(u, v) =



−
γ − σu
u
ϕ(v) − α
v


 , tedy G(u, v)T
u ϕ(v) − α
v(γ − σu)
= 0,
7.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 129
ϕ1 < α ϕ1 > α
γ < 0
v
u
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ > 0
v
uγ
σ
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ
σ
Obrázek 7.2: Trajektorie a nulkliny systému (7.36) pro možné kombinace parametrů
což znamená, že funkce G je prvním integrálem (invariantem) systému (7.36). Dále při označení
x = ln u, y = ln v dostaneme
x = ϕ (ey
) − α, y = γ − σex
. (7.37)
Systém (7.36) lze tedy transformovat na systém bipartitní; fázovým prostorem transformovaného
systému je množina R × (−∞, 0].
Pro funkci
H(x, y) = G (ex
, ey
) = σex
− γx − αy +
ey
v0
ϕ(η)
η
dη = σex
− γx − αy +
y
ln v0
ϕ(eξ
)dξ
(integrál jsme transformovali substitucí ξ = ln η) platí
∂H
∂x
= σex
− γ,
∂H
∂y
= −α + ϕ (ey
) ,
takže systém (7.37) můžeme přepsat ve tvaru
x
y
=
0 −1
1 0
H(x, y).
Systém (7.37) je tedy hamiltonovský s hamiltoniánem H.
130 KAPITOLA 7. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Kapitola 8
Chemická kinetika
8.1 Základní reakce enzymů
Uvažujme reakci nějakého substrátu S a enzymu E, které spolu vytvoří nestabilní komplex
SE, z kterého dále vznikne nějaký produkt P a volný enzym.1 Schematicky tuto reakci můžeme
zapsat takto
S + E
k1
k−1
SE, SE
k2
→ P + E,
nebo stručně
S + E
k1
k−1
SE
k2
→ P + E.
Dvojitá šipka vyjadřuje, že reakce je vratná, jednoduchá šipka → vyjadřuje, že reakce
může probíhat jen jedním směrem. Kladné parametry k1, k−1, k2 označují reakční rychlost.
Zhruba řečeno, za jednotku času vznikne z jednotkového množství substrátu S za přitomnosti
jednotkového množství enzymu E množství k1 komplexu SE a podobně. Přesně budou reakční
rychlosti zavedeny dále.
Označme s = s(t). . . koncentrace substrátu S v čase t,
e = e(t). . . koncentrace enzymu E v čase t,
c = c(t). . . koncentrace komplexu SE v čase t,
p = p(t). . . koncentrace produktu P v čase t.
Michaelis a Menten2 navrhli jako model vývoje koncentrací v čase následující systém čtyř
obyčejných nelineárních diferenciálních rovnic
ds
dt
= −k1se + k−1c,
de
dt
= −k1se + (k−1 + k2)c,
dc
dt
= k1se − (k−1 + k2)c,
dp
dt
= k2c
(8.1)
1
Místo o enzymu bychom mohli mluvit o katalyzátoru, substrát by představoval výchozí látku a produkt
výslednou.
2
L. Michaelis, M. I. Menten. Die Kinetik der Invertinwirkung. Biochem. Z. 49, 333-369, 1913
131
132 KAPITOLA 8. CHEMICKÁ KINETIKA
Tento model vyjadřuje, že změny koncentrací považujeme za přímo úměrné koncentracím,
reakční rychlosti k jsou příslušné koeficienty úměrnosti. Budeme předpokládat, že na počátku
je koncentrace substrátu rovna s0 a koncentrace enzymu je rovna e0, komplex SE ani produkt
P nejsou na počátku přítomny. Spolu se systémem (8.1) tedy uvažujeme počáteční podmínky
s(0) = s0, e(0) = e0, c(0) = 0, p(0) = 0. (8.2)
Nejprve si všimněme, že veličina p se nevyskytuje v prvních třech rovnicích systému (8.1).
Koncentrace s, e a c jsou tedy řešením prvních tří rovnic z (8.1), koncentraci produktu můžeme
vyjádřit ze čtvrté rovnice integrací
p(t) = k2
t
0
c(σ)dσ. (8.3)
Množství enzymu E se v průběhu reakce nemění a enzym se vyskytuje jednak jako volný a
jednak jako vázaný v komplexu SE. To vzhledem k počáteční podmínce (8.2) znamená, že
by mělo platit e(t) + c(t) = e0 pro všechna t ≥ 0. Model (8.1) je skutečně v tomto smyslu
adekvátní, neboť
d
dt
(e + c) =
de
dt
+
dc
dt
= 0, (e + c)(0) = e0.
Veličina e+c je prvním integrálem systému (8.1) a proto koncentraci enzymu můžeme vyjádřit
jako
e(t) = e0 − c(t) (8.4)
a dosadit do první a třetí rovnice systému (8.1). Dostaneme
ds
dt
= −k1e0s + (k1s + k−1)c,
dc
dt
= k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c. (8.5)
Časový průběh koncentrací substrátu S a komplexu SE je tedy řešením systému dvou obyčejných
autonomních nelineárních diferenciálních rovnic (8.5) s počáteční podmínkou
s(0) = s0, c(0) = 0, (8.6)
průběh koncentrací volného enzymu E a produktu P je dána výrazy (8.4) a (8.3).
Změníme měřítko tak, aby všechny veličiny byly bezrozměrné, tj. zavedeme substituci
τ = k1e0t, x =
s
s0
, y =
c
e0
; (8.7)
veličina x vyjadřuje koncentraci substrátu a veličina y koncentraci komplexu SE v jednotkách
počáteční koncentrace substrátu a enzymu. Časová jednotka je určena rychlostí reakce
substrátu a enzymu. Platí
dx
dτ
=
d
dt
s
s0
dt
dτ
=
1
s0
− k1e0s + (k1s + k−1)c
1
k1e0
= −
s
s0
+
c
e0
s
s0
+
k−1
s0k1
c
e0
=
= −x + x +
k−1
k1s0
y,
8.1. ZÁKLADNÍ REAKCE ENZYMŮ 133
dy
dτ
=
d
dt
c
e0
dt
dτ
=
1
e0
k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c
1
k1e0
=
s
e0
−
s
e0
c
e0
−
k−1 + k2
k1e0
c
e0
=
=
s0
e0
x −
s0
e0
x +
k−1 + k2
k1s0
y.
Při označení
K =
k−1 + k2
k1s0
, λ =
k2
k1s0
, ε =
e0
s0
(8.8)
se systém (8.5) substitucí (8.7) transformuje na systém
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y,
dy
dτ
=
1
ε
x − (x + K)y (8.9)
s počátečními podmínkami
x(0) = 1, y(0) = 0. (8.10)
Poznamenejme, že parametry K, λ a ε jsou kladné a K > λ.
Úlohu (8.9), (8.10) nelze řešit explicitně. Proto ji budeme analyzovat ve fázovém prostoru.
Nulklinu proměnné x můžeme vyjádřit jako graf funkce
ϕ(x) =
x
x + K − λ
.
Derivace
dx
dτ
je pro y > ϕ(x) kladná, pro y < ϕ(x) záporná. Situace
je znázorněna na obrázku:
y
x
ϕ(x)
Podobně vyjádříme y-nulklinu jako graf funkce ψ(x) =
x
x + K
a vyšetříme
znaménka derivací:
y
x
ψ(x)
Poněvadž ϕ(0) = ψ(0) = 0 a ϕ(x) > ψ(x) pro všechna x > 0, vypadá fázový portrét systému
(8.9) tak, jak je znázorněno na obr. 8.1 Vidíme, že systém (8.9) má jediný stacionární
bod (0, 0) a že množina M = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ϕ(1) je jeho pozitivně
invariantní množinou (na úsečce {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} směřují trajektorie nahoru, na úsečce
x, ϕ(1) : 0 ≤ x ≤ 1 dolů, na úsečce {(0, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} směřují trajektorie doprava
a na úsečce {(1, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} doleva). Variační matice systému (8.9) v obecném bodě
(x, y) je
J(x, y) =



y − 1 x + K − λ
1
ε
(1 − y) −
1
ε
(x + K)


 ,
takže ve stacionárním bodě (0, 0) platí
J(0, 0) =



−1 K − λ
1
ε
−
K
ε


 , tr J(0, 0) = −
K + ε
ε
< 0, det J(0, 0) =
λ
ε
> 0,
134 KAPITOLA 8. CHEMICKÁ KINETIKA
y
x1
ϕ(1) ϕ(x) =
x
x + K − λ
ψ(x) =
x
x + K
0
Obrázek 8.1: Fázový portrét systému (8.9) a jeho trajektorie s počátečním bodem (8.9) a
hodnotou parametru ε = 10
11 .
tr J(0, 0)
2
− 4 det J(0, 0) =
K + ε
ε
2
−
4λ
ε
=
1
ε2
(K + ε)2
− 4λε =
=
1
ε2
K2
+ 2Kε + ε2
− 4λε + λ2
− λ2
=
1
ε2
K2
− λ2
+ 2Kε + (λ − ε)2
> 0,
neboť K > λ. Stacionární bod (0, 0) je podle 5.3.1 stabilní uzel (což bylo vidět z fázového
portrétu i bez výpočtů). Pro řešení úlohy (8.9), (8.10) tedy platí
lim
τ→∞
x(τ) = 0, lim
τ→∞
y(τ) = 0.
Výsledkem reakce je vyčerpání veškerého substrátu S, nebude volný ani vázaný s enzymem
v komplexu SE. Z trajektorie řešení úlohy (8.9), (8.10), která je rovněž zobrazena na obr. 8.1,
je také vidět, že složka x řešení této úlohy k nule monotonně klesá. Složka y nejdříve roste, v
jistém čase τ0 dosáhne svého maxima
ymax =
x(τ0)
x(τ0) + K
= 1 −
K
x(τ0) + K
a pak monotonně klesá k nule.
Nyní můžeme kvalitativně popsat řešení původní úlohy (8.1), (8.2), viz obr. 8.2. Koncentrace
s substrátu S monotonně klesá k nule. Koncentrace c komplexu SE roste ke své
maximální hodnotě, která je menší než byla počáteční koncentrace e0 enzymu E, a pak monotonně
klesá k nule. Koncentrace e volného enzymu E nejprve klesá, v okamžiku t0, kdy je
koncentrace komplexu SE maximální, dosáhne svého minima a pak monotonně roste k počáteční
hodnotě e0. Koncentrace p produktu P roste z nulové hodnoty, růst se nejprve zrychluje
(funkce je konvexní), od okamžiku t0 se začne zpomalovat (funkce je konkávní).
8.2 Přibližné řešení transformované úlohy
Charakteristickým rysem reakcí enzymu se substrátem je to, že koncentrace enzymu je výrazně
menší, než koncentrace substrátu, e0 s0. To vzhledem k (8.8) znamená, že
0 < ε 1,
parametr ε je „skoro nula . Také můžeme říci, že pravá strana druhé rovnice systému (8.9) je
„skoro nekonečno , nebo že pravá strana první rovnice tohoto systému je zanedbatelně malá
8.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 135
tt00
s0
e0
e
p
s
c
Obrázek 8.2: Průběh řešení úlohy (8.1), (8.2)
ve srovnání s pravou stranou druhé rovnice. Veličina x se mění „nesrovnatelně pomaleji , než
veličina y, takže veličina x je vzhledem k y „skoro konstantní . Z těchto důvodů budeme x
ve druhé z rovnic systému (8.9) považovat za konstantní parametr a tuto rovnici vyřešíme.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými, takže její řešení splňující druhou podmínku
z dvojice (8.10), tj. podmínku y(0) = 0, dostaneme ve tvaru
y(τ) =
x
x + K
1 − e− x+K
ε
τ
. (8.11)
Platí pro ně
y0 = lim
τ→∞
y(τ) =
x
x + K
.
„Rychle se měnící proměnná veličina (funkce) y se tedy „velice rychle ustálí na hodnotě
y0. Ovšem hodnota x se také mění, i když „pomalu . Tato změna je popsána první rovnicí
systému (8.9). V ní můžeme proměnou y považovat za parametr rovný ustálené hodnotě y0.
S využitím počáteční podmínky (8.10) tak dostaneme počáteční úlohu
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)
x
x + K
= −λ
x
x + K
, x(0) = 1.
Řešení této úlohy, které je „trochu jiné než řešení původní úlohy (8.9), (8.10) a proto ho
označíme symbolem x0, je implicitně dáno rovností
x0(τ) + K ln x0(τ) = 1 − λτ. (8.12)
Takto definovanou funkci x0 můžeme považovat za první složku přibližného řešení úlohy (8.9),
(8.10). Její druhou složku vyjádříme jako
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
; (8.13)
tato funkce však nesplňuje druhou z počátečních podmínek (8.10).
Funkce x0( · ), y0( · ) definované vztahy (8.12) a (8.13) se nazývá pseudo- nebo quasistacionární
aproximace řešení úlohy (8.9), (8.10). V mnoha aplikacích je tato aproximace
dostatečně přesná. Na obrázku 8.3 je trajektorie řešení úlohy (8.9), (8.10) s hodnotou parametru
ε = 1
10 ; vidíme, že trajektorie řešení s „malou hodnotou parametru ε skutečně od
jistého bodu téměř splývá s y-nulklinou, tj. s funkcí y =
x
x + K
.
136 KAPITOLA 8. CHEMICKÁ KINETIKA
y
x0 1
y =
x
x + K
y = ϕ(x)
Obrázek 8.3: Nulkliny systému (8.9) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou (8.10) a hodnotou
parametru ε = 1
10 .
Řešení úlohy (8.9), (8.10) si tedy lze představit tak, že v „kratičkém časovém intervalu od
začátku reakce se veličina x (relativní množství substrátu) „nestačí změnit , takže má stále
počáteční hodnotu 1. V tomto „kratičkém čase veličina y (relativní množství komplexu SE
vzhledem k množství enzymu) rychle dosáhne své quasi-stacionární hodnoty. Tento „rychlý
nárůst je popsán rovností (8.11) do níž je dosazeno x = 1, quasi-stacionární hodnota je tedy
1/(1 + K). Dále se veličiny x a y vyvíjejí tak, jak je popsáno rovnostmi (8.12) a (8.13).
Ještě můžeme specifikovat délku zmíněného „kratičkého časového intervalu pro dosažení
quasi-stacionárního stavu. Předpokládejme, že jsme schopni měřit koncentrace s relativní
přesností γ. Pak čas δ, za nějž veličina y naroste do quasi-stacionární hodnoty 1/(1 + K) je
přibližně dána přibližnou rovnicí
1
1 + K
1 − e− 1+K
ε
δ
≈ (1 − γ)
1
1 + K
,
tedy
δ ≈
ε
1 + K
ln
1
γ
. (8.14)
Popsanou aproximaci řešení lze získat i jiným způsobem méně se odvolávajícím na intuici:
řešení úlohy (8.9), (8.10) budeme hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε. Předpokládejme
tedy, že řešení úlohy (8.9), (8.10) je tvaru
x(τ) =
∞
n=0
εn
xn(τ), y(τ) =
∞
n=0
εn
yn(τ).
Za předpokladu, že tyto řady, chápané jako řady funkcí proměnné τ, konvergují stejnoměrně
(k tomu při ε < 1 stačí, aby všechny funkce x0( · ), y0( · ) byly ohraničené stejnou konstantou),
platí
dx
dτ
=
∞
n=0
εn dxn
dτ
=
dx0
dτ
+
∞
n=1
εn dxn
dτ
,
dy
dτ
=
∞
n=0
εn dyn
dτ
, tj. ε
dy
dτ
=
∞
n=1
εn dyn−1
dτ
8.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 137
a současně
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y = −
∞
n=0
εn
xn(τ) +
∞
n=0
εn
xn(τ) + K − λ
∞
n=0
εn
yn(τ) =
= −
∞
n=0
εn
xn(τ) + (K − λ)
∞
n=0
εn
yn(τ) +
∞
n=0
n
i=0
xiyn−i εn
=
=
∞
n=0
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
=
= −x0 + (x0 + K − λ)y0 +
∞
n=1
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
,
ε
dy
dτ
= x − (x + K)y =
∞
n=0
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
=
= x0 − (x0 + K)y0 +
∞
n=1
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin ε získáme nekonečný systém rovnic
dx0
dτ
= −x0 + (x0 + K − λ)y0, 0 = x0 − (x0 + K)y0,
dx1
dτ
= −x1 + (K − λ)y1 + x0y1 + x1y0,
dy0
dτ
= x1 − Ky1 − x0y1 − x1y0,
...
...
Z první dvojice rovnic dostaneme
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
, x0(τ) + K ln x0(τ) = C − λτ,
tedy quasi-stacionární aproximaci řešení (8.12), (8.13). V tomto případě však tato aproximace
závisí na jedné integrační konstantě C a ta závisí na počátečních podmínkách. Počáteční
podmínky (8.10) lze zapsat ve tvaru
1 =
∞
n=0
εn
xn(0), 0 =
∞
n=0
εn
yn(0),
takže z věty o jednoznačnosti Taylorových řad plyne
x0(0) = 1, y0(0) = 0, xn(0) = yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
První z těchto podmínek lze splnit volbou C = 1 stejně jako v (8.12), ale druhou z nich splnit
nelze. Odtud plyne, že alespoň jedna ze složek x, y řešení úlohy (8.9), (8.10) nemůže být
analytickou funkcí parametru ε.
138 KAPITOLA 8. CHEMICKÁ KINETIKA
Aby bylo možné splnit počáteční podmínky, je třeba v pravém okolí bodu τ = 0 hledat
řešení úlohy (8.9), (8.10) jiným způsobem. Zavedeme novou nezávisle proměnnou
σ =
τ
ε
. (8.15)
Pro ε → 0 je σ → ∞, takže změnou časového měřítka (8.15) „natáhneme malé okolí [0, δ)
na „velice dlouhou dobu . Substitucí (8.15) se úloha (8.9), (8.10) transformuje na úlohu
dX
dσ
= −εX + ε(X + K − λ)Y,
dY
dσ
= X − (X + K)Y, (8.16)
X(0) = 1, Y (0) = 0. (8.17)
Kvalitativní analýza úlohy (8.16), (8.10) dá stejné výsledky jako v 8.1.
Řešení úlohy (8.16), (8.17) budeme opět hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε,
tj. ve tvaru
X(σ) =
∞
n=0
εn
Xn(σ), Y (σ) =
∞
n=0
εn
Yn(σ).
Pak je
dX
dσ
=
dX0
dσ
+
∞
n=1
εn dXn
dσ
,
dY
dσ
=
dY0
dσ
+
∞
n=1
εn dYn
dσ
a současně
dX
dσ
=
∞
n=1
−Xn−1 + (K − λ)Yn−1 +
n−1
i=0
XiYn−i−1 εn
,
dY
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0 +
∞
n=1
Xn − KYn −
n
i=0
XiYn−i εn
.
Z počátečních podmínek (8.17) dostaneme
X0(0) = 1, Y0(0) = 0, Xn(0) = Yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
Nulté aproximace X0, Y0 řešení úlohy (8.16), (8.10) jsou řešením počáteční úlohy
dX0
dσ
= 0,
dY0
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0, X0(0) = 1, Y0(0) = 0,
takže
X0(σ) = 1, Y0(σ) =
1
K + 1
1 − e−(K+1)σ
.
Vrátíme se k původní nezávisle proměnné τ = εσ a dostaneme novou aproximaci řešení úlohy
(8.9), (8.10) ve tvaru
X0(τ) = 1, Y0(τ) =
1
K + 1
1 − e− K+1
ε
τ
; (8.18)
tyto funkce splňují počáteční podmínky (8.10).
Řešení úlohy (8.9), (8.10) lze v okolí bodu τ = 0, tj. na intervalu [0, δ) pro vhodné malé
kladné číslo δ, aproximovat funkcemi (8.18). Tato část řešení úlohy se nazývá singulární nebo
8.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 139
1
1
1 + K
τ0
x
Y0y0
y
x0
X0
Obrázek 8.4: Řešení úlohy (8.9), (8.10) s parametrem ε = 0.2. Plná čára — přesné řešení,
čárkovaná čára — vnější řešení, tečkovaná čára — vnitřní řešení.
vnitřní řešení. Na intervalu (δ, ∞) lze použít quasi-stacionární aproximaci (8.12), (8.13); tato
část řešení úlohy se nazývá nesingulární nebo vnější řešení.
No obr. 8.4 je znázorněno přibližné a přesné řešení úlohy (8.9), (8.10) s parametrem
ε = 0.2; vidíme, že již v tomto případě je přibližné řešení dosti blízké přesnému. Navíc, první
složka řešení, tj. funkce x, je i v pravém okolí nuly přesněji aproximována vnějším řešením
než vitřním.
Ještě odhadneme parametr δ — časový okamžik, od něhož vnější řešení lépe než vnitřní
aproximuje druhou složku řešení úlohy (8.9), (8.10). Je to taková hodnota nezávisle proměnné,
v níž mají funkce y0 a Y0 stejnou hodnotu, y0(δ) = Y0(δ). Takové číslo δ existuje podle
Bolzanovy věty, neboť
y0(0) − Y0(0) =
1
1 + K
> 0, lim
δ→∞
y0(δ) − Y0(δ) = −
1
K + 1
< 0.
Můžeme tedy řešit soustavu rovnic
1
K + 1
1 − e− K+1
ε
δ
=
ξ
ξ + K
, ξ + K ln ξ = 1 − λδ.
Vyjádřit řešení explicitně pomocí elementárních funkcí nelze, proto řešení odhadneme. Označme
na chvíli F(ξ) = ξ + K ln ξ − 1 + λδ. Pak je
F(1) = λδ > 0, lim
ξ→0+
F(ξ) = −∞ < 0, F (ξ) = 1 +
K
ξ
pro ξ > 0.
To znamená, že řešení druhé z rovnic, tj. rovnice F(ξ) = 0, leží v intervalu (0, 1) a funkce F
je na tomto intervalu rostoucí. Odtud dále plyne, že existuje konstanta ˜ξ ∈ (0, 1) taková, že
pro řešení ξ druhé z rovnic platí
0 < ξ ≤ ˜ξ < 1.
Z první rovnice nyní dostaneme
0 < δ =
ε
K + 1
ln
ξ + K
K(1 − ξ)
≤
ε
K + 1
ln
˜ξ + K
K(1 − ˜ξ)
.
Tato nerovnost vyjadřuje, že hodnota δ je malá stejného řádu, jako ε, tj. δ = O(ε). Tento
odhad souhlasí s vyjádření. (8.14).
140 KAPITOLA 8. CHEMICKÁ KINETIKA
Řešení původní úlohy (8.5), (8.6) můžeme nyní zapsat ve tvaru
s(t) = s0x0(k1e0t) + O
e0
s0
,
c(t) =



k1s0e0
k1s0 + k−1 + k2
1 − e−(k1s0+k−1+k2)t + O
e0
s0
, 0 ≤ t ≤ O
e0
s0
,
k1s0x0(k1e0t)
k1s0x0(k1e0t) + k−1 + k2
+ O
e0
s0
, t ≥ O
e0
s0
;
přitom funkce x0( · ) je implicitně dána rovnicí (8.12).
Kapitola 9
Model populace produkující
škodlivé odpady
Označme N = N(t) velikost nějaké populace v čase t. Specifická míra růstu nebo růstový
koeficient p této populace je definován jako relativní změna velikosti populace, tj.
p =
N
N
.
Vývoj populace je tedy modelován diferenciální rovnicí
N = pN. (9.1)
V případě konstantního růstového koeficientu dostaneme klasický Malthusův1 model růstu
populace N(t) = N0ept, kde N0 = N(0) je počáteční velikost populace. V něm je exponenciální
růst (pro p > 0) nebo úbytek (pro p < 0) velikosti populace nerealistický.
Model (9.1) se přiblíží realitě, pokud specifickou míru růstu p nebudeme považovat za
nezávislou konstantu populace, ale za veličinu závislou na její velikosti, tedy p = p(N), nebo
obecněji na nějakých „projevech její velikosti, tj. p = p F(N) , kde F je nějaký funkcionál,
tedy zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel.
V tomto oddílu budeme uvažovat populaci, která produkuje odpady svého metabolismu,
které jsou toxické, nebo přinejmenším zmenšují schopnost přežívání populace. Tyto odpady se
v prostředí hromadí, ale také rozkládají, mizí nebo přeměňují v něco, co populaci neomezuje.
Budeme tedy předpokládat:
1. V čistém prostředí (bez uvažovaných odpadů) je specifická míra růstu rovna nějaké
konstantě r (vnitřnímu koeficientu růstu, intrinsic growth rate).
2. V každém okamžiku populace produkuje odpad, jehož množství je úměrné velikosti
populace. Množství odpadu vyprodukovaného v čase t označíme Pp(t); platí pro něho
Pp(t) = cN(t), kde c je nějaká kladná konstanta.
3. Odpad se rozkládá konstantní relativní rychlostí δ > 0, tj. označíme-li P(t) množství
odpadu v čase t a neuvažujeme jeho produkci, platí
P (t) = −δP(t). (9.2)
1
Správněji malthusovský, Thomas Robert Malthus (1766–1834) model v takovém tvaru nikdy nepublikoval.
141
142 KAPITOLA 9. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
4. Specifická míra růstu populace klesá s rostoucím množstvím odpadu. Budeme uvažovat
nejjednodušší možnost, že tato závislost je lineární.
5. Existuje jistá velikost populace K > 0, při které je populace se svým prostředím v
dynamické rovnováze, její velikost se v čase nemění. Konstanta K představuje kapacitu
prostředí (úživnost) pro uvažovanou populaci.
Uvažujme na chvíli idealizovanou situaci, že pouze v čase s vzniklo množství Pp(s) odpadu
a žádný další odpad není do prostředí dodáván. Množství odpadu v čase t > s tedy bude podle
předpokladů 2. a 3. řešením rovnice (9.2) s počáteční podmínkou P(s) = Pp(s) = cN(s), tj.
P(t) = cN(s)e−δ(t−s). V reálné situaci se však odpad v prostředí kumuluje, v čase t ho tedy
bude množství, které zůstalo ze všech odpadů vzniklých až do okamžiku t, tj. množství odpadu
závislé na celé předchozí historii velikosti populace bude
F(N) =
t
−∞
cN(s)e−δ(t−s)
ds.
Předpoklad 4. lze nyní přepsat ve tvaru
p = p F(N) = α − βF(N),
kde β > 0. Z předpokladu 1. plyne, že p(0) = r, tj. α = r. Pro funkci ˜N = ˜N(t) ≡ K podle
předpokladu 5. nyní platí
0 = p F( ˜N) = r − βF( ˜N) = r − βc
t
−∞
Ke−δ(t−s)
ds = r −
βcK
δ
e−δ(t−s)
t
s=−∞
= r −
βcK
δ
.
Odtud dostaneme, že βc =
rδ
K
a specifická míra růstu populace je
p = r

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 .
Model (9.1) je tedy nyní ve tvaru integrodiferenciální2 rovnice
N (t) = rN(t)

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 . (9.3)
Zavedeme nové neznámé funkce x a y novou nezávisle proměnnou τ následujícími vztahy:
τ = rt, x(τ) =
δ
rK
N
τ
r
, y(τ) =
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds.
2
V této rovnici vystupuje neznámá funkce N za znakem integrálu i jako derivovaná.
143
Pak
x (τ) =
dx(τ)
dτ
=
δ
rK
N
τ
r
1
r
=
δ
r2K
rN
τ
r


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 =
=
δ
rK
rK
δ
x(τ)


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 = x(τ) 1 − y(τ) ,
y (τ) =
dy(τ)
dτ
=
δ
K
d
dτ
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds =
=
δ
K



1
r
N
τ
r
e−δ(τ
r
− τ
r ) −
δ
r
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 =
=
δ
rK
N
τ
r
−
δ
r
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds = x(τ) −
δ
r
y(τ).
Rovnice (9.3) se tedy transformuje na dvourozměrný autonomní systém
x = x(1 − y),
y = x −
δ
r
y.
(9.4)
Nejprve si všimněme, že uzavřený první kvadrant ¯R2
+ = (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0 je pozitivně
invariantní množinou tohoto systému. Uzavřená polopřímka {(0, y) : y ≥ 0} je totiž
pozitivně invariantní množinou (x(t) ≡ 0, y(t) = y0e−(δ/r)t je řešením systému (9.4) pro každé
y0 ≥ 0), pro řešení s počáteční podmínkou x(0) = x0 > 0, y(0) = 0 platí x (0) > 0, y (0) > 0
a tedy příslušná trajektorie směřuje dovnitř prvního kvadrantu.
Systém (9.4) má stacionární body(0, 0) a (x∗, y∗) =
δ
r
, 1 a jeho variační matice je
J(x, y) =
1 − y −x
1 −
δ
r
.
Tedy J(0, 0) =
1 0
1 −
δ
r
, det J(0, 0) = −
δ
r
> 0, takže stacionární bod (0, 0) je sedlo. Dále
J(x∗
, y∗
) =



0 −
δ
r
1 −
δ
r


 , det J(x∗
, y∗
) =
δ
r
> 0, tr J(x∗
, y∗
) = −
δ
r
< 0,
tr J(x∗
, y∗
)
2
− 4 det J(x∗
, y∗
) =
δ
r2
(δ − 4r),
144 KAPITOLA 9. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
y
xδ
r
0
1
y
xδ
r
0
1
a) b)
Obrázek 9.1: Fázový portrét systému (9.4) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou 0 <
x(0) 1, y(0) = 0. a) δ ≥ 4r, b) δ < 4r. Oba obrázky mají stejné měřítko na ose x.
N
t
K
0
N
t
K
0
a) b)
Obrázek 9.2: Průběh řešení úlohy (9.3), (9.5). a) δ = 4r, b) δ = 1
2r.
takže v případě δ ≥ 4r je vnitřní stacionární bod (x∗, y∗) stabilní uzel, v opačném případě
se jedná o stabilní ohnisko. Fázové portréty systému systému (9.4) v obou případech jsou
znázorněny na obr. 9.1.
S využitím Dulacova kriteria (věta 22) vyloučíme existenci cyklu v prvním kvadrantu.
Položíme q(x, y) =
1
x
. Pak
∂
∂x
1
x
x(1 − y) +
∂
∂y
1
x
x −
δ
r
y = −
δ
rx
< 0
pro všechna x > 0. Uvnitř prvního kvadrantu tedy neexistuje cyklus systému (9.4).
Uvažujme nyní situaci, že na počátku (v čase t = 0) se dostane malá populace do nového
prostředí. K rovnici (9.3) přidáme tedy počáteční podmínky
N(0) = N0, N(t) = 0 pro t < 0. (9.5)
Počáteční podmínky pro systém (9.4) v tomto případě budou
x(0) =
δ
rK
N0, y(0) =
δ
K
0
−∞
N(s)eδs
ds = 0;
145
Trajektorie systému (9.4) s těmito počátečními podmínkami jsou také zobrazeny na obr. 9.1.
Z provedené analýzy systému (9.4) plyne, že pro řešení N počáteční úlohy (9.3), (9.5) platí
lim
t→∞
N(t) =
rK
δ
x∗
= K;
funkce N konverguje k hodnotě K v případě δ ≥ 4r monotonně, viz obr. 9.2 a), v opačném
případě s tlumenými oscilacemi, viz obr. 9.2 b).
146 KAPITOLA 9. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
Kapitola 10
Lotkovy-Volterrovy systémy
xi = xi

bi −
n
j=1
aijxj

 , i = 1, 2, . . . , n. (10.1)
Tyto systémy modelují vývoj společenstva (časové změny velikostí jednotlivých populací,
z nichž se společenstvo skládá). Neznámé funkce a parametry interpretujeme následovně:
xi = xi(t) . . . velikost i-té populace
bi . . . růstový koeficient izolované i-té populace (vnitřní koeficient růstu i-té populace)
bi > 0 . . . i-tá populace je soběstačná (producent)
bi ≤ 0 . . . i-tá populace závisí na jiných populacích (konzument)
aii . . . koeficient vnitrodruhových vztahů i-té populace
aii > 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová konkurence
aii < 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová kooperace
aij . . . koeficient vlivu j-té populace na i-tou
min {aij, aji} > 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu konkurence
max {aij, aji} < 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu mutualismu (symbiózy)
aij < 0 < aji . . . j-tá populace je kořistí (hostitelem) i-té populace;
i-tá populace je predátorem (parazitem) j-té populace
aij > 0 . . . j-tá populace je amenzalistou i-té populace
aij < 0 . . . j-tá populace je komenzalistou i-té populace
Fázový prostor systému (10.1) je n-rozměrný uzavřený kladný orthant
¯Rn
+ = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0} .
147
148 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
10.1 Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické
rovnice
Logistickou rovnici
x = rx 1 −
x
K
,
v níž jsou oba parametry r (vnitřní koeficient růstu) a K (kapacita prostředí pro modelovanou
populaci) kladné, lze považovat za jednorozměrný Lotkův-Volterrův systém s b1 = r
a a11 = r/K, tedy za model soběstačné populace s vnitrodruhovou konkurencí (tak byla
Verhulstova rovnice sestavena). Také platí K = b1/a11; odtud lze usoudit, že pro soběstačnou
populaci s vnitrodruhovou konkurencí představuje podíl vnitřního koeficientu růstu a
koeficientu vnitrodruhové konkurence kapacitu prostředí neovlivněnou ostatními populacemi
společenstva.
Jinou interpretaci logistické rovnice lze získat následující úvahou: Označme
y = 1 −
x
K
=
K − x
K
.
Poněvadž y = −x /K, dostaneme
x = rxy
y = −
r
K
xy.
(10.2)
Jedná se o dvojrozměrný Lotkův-Volterrův systém s parametry
b1 = b2 = 0, a11 = a22 = 0, a12 = r, a21 = −
r
K
.
Proměnnou y lze interpretovat jako relativní dostupnost zdrojů pro modelovanou populaci
vzhledem k celkové kapacitě prostředí K. Velikost populace a relativní dostupnost zdrojů jsou
tedy ve vztahu predace, obě tyto „složky společenstva nejsou ani producenty ani konzumenty
a neprojevuje se u nich žádný vnitrodruhový vztah.
Poznamenejme, že systém (10.2) nemá izolované stacionární body.
Systém (10.2) lze také přepsat ve vektorovém tvaru
x
y
=
r
K
0 xy
−xy 0
1
K
=
r
K
0 xy
−xy 0
(x + Ky).
Matice
S = S(x, y) =
r
K
0 xy
−xy 0
je antisymetrická. To znamená, že systém (10.2) je hamiltonovský a funkce H(x, y) = x + Ky
je jeho hamiltoniánem (sr. definici 24 a větu 31). Invariantem systému (10.2) je součet velikosti
populace a (absolutní) dostupnosti zdrojů. Tento invariant je podle definičního vztahu
proměnné y také roven
x + Ky = x + K 1 −
x
K
= K,
což je kapacita prostředí z Verhulstovy logistické rovnice. Tyto výsledky jsou matematicky
triviální, umožňují ale alternativní interpretaci kapacity prostředí a tím snad i lepší vhled do
problematiky populační ekologie.
10.2. OBECNÉ VLASTNOSTI LOTKOVÝCH-VOLTERROVÝCH SYSTÉMŮ 149
10.2 Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů
Zavedeme označení
b =



b1
...
bn


 , A =



a11 · · · a1n
...
...
...
an1 · · · ann


 ,
matice A se nazývá matice interakcí společenstva. Pro libovolný vektor v = (v1, v2, . . . , vn)T
položíme
diag v =







v1 0 · · · 0 0
0 v2 · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 · · · vn−1 0
0 0 · · · 0 vn







a vektory ze standardní orthonormální báze n-rozměrného vektorového prostoru označíme ej,
ej
=





δ1j
δ2j
...
δnj





, kde δij =
0, i = j
1, i = j
je Kroneckerův symbol.
Systém (10.1) lze zapsat jako vektorovou rovnici
x = diag x (b − Ax) . (10.3)
Je-li matice A regulární, existuje nejvýše jeden stacionární bod x∗ = A−1b systému (10.1)
takový, že všechny jeho složky jsou kladné. Takový stacionární bod budeme nazývat vnitřní.
Pokud vnitřní stacionární bod existuje, lze tuto skutečnost interpretovat jako možnou koexistenci
všech populací společenstva, přičemž koexistující populace mají dynamicky stálé
velikosti dané složkami vektoru x∗.
Parciální derivace pravé strany rovnice (10.3) podle j-té proměnné je
∂
∂xj
diag x (b − Ax) =
∂
∂xj
diag x (b − Ax) + diag x
∂
∂xj
(b − Ax) =
= diag ej
(b − Ax) + diag x −A · ej
a pro vnitřní stacionární bod x∗ platí b − Ax∗ = O. Proto variační matice systému (10.1) ve
vnitřním stacionárním bodě x∗ je
J(x∗
) = − diag x∗
· A.
Odtud a z 28 plyne:
Věta 32. Buď x∗ stacionární bod systému (10.1), jehož všechny složky jsou nenulové. Mají-li
všechna vlastní čísla matice diag x∗ · A kladnou reálnou část, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (10.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo matice diag x∗ · A které má zápornou reálnou část, pak je
konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (10.1) nestabilní.
150 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Poznámka 12. Pro čtvercovou matici M položme SM = 1
2 M + MT . Matice SM je zřejmě
symetrická.
Pro každý n-rozměrný vektor v a čtvercovou matici M řádu n platí
vT
Mv = vT
SMv.
Důkaz: Poněvadž vT Mv je číslo, tj. čtvercová matice řádu 1, platí
vT
Mv = vT
Mv
T
= vT
MT
v.
Odtud plyne
vT
Mv = 2vT 1
2
(M + MT
) −
1
2
MT
v = 2vT
SM v − vT
MT
v = 2vT
SM v − vT
Mv
a tato rovnost je již ekvivalentní s dokazovaným vztahem.
Věta 33. Buď x∗ = (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = A−1b vnitřní stacionární bod systému (10.1). Jestliže
existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými a existuje okolí U
bodu x∗ takové, že pro všechna x ∈ U je výraz
(x − x∗
)T
S(diag c A) (x − x∗
) (10.4)
nezáporný, pak funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ
je ljapunovskou funkcí systému (10.1), tj. konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (10.1) je
stejnoměrně stabilní.
Pokud je výraz (10.4) pro všechna x ∈ U \ {x∗} kladný, pak je toto řešení stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
Důkaz: Funkce V je definována pro všechna x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0. Platí
V (x∗
) =
n
i=1
ci
x∗
i
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ = 0.
Pro každé xi > 0 je
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ ≥ 0,
neboť integrovaná funkce je kladná pro xi > x∗
i (tj. v případě, že horní mez integrálu je větší,
než dolní mez) a záporná pro xi < x∗
i (horní mez integrálu menší než dolní mez). Rovnost
nastane právě tehdy, když xi = x∗
i . Odtud plyne, že pro x = x∗ a takové, že všechny jeho
složky jsou kladné, platí V (x) > 0.
Dále podle věty o derivaci integrálu jako funkce horní meze platí
∂V (x)
∂xi
= ci
xi − x∗
i
xi
,
10.3. KOLOBĚH DUSÍKU V PLANKTONU 151
a poněvadž b = Ax∗, platí dále
bi =
n
j=1
aijx∗
j ,
takže derivace funkce V vzhledem k systému (10.1) je
˙V (x) =
n
i=1
ci
xi − x∗
i
xi
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 =
n
i=1
ci (xi − x∗
i )


n
j=1
aijx∗
j −
n
j=1
aijxj

 =
= −
n
i=1
n
j=1
(xi − x∗
i ) ciaij xj − x∗
j = − (x − x∗
)T
(diag c A) (x − x∗
) =
= − (x − x∗
)T
S (diag c A) (x − x∗
)
(poslední rovnost plyne z poznámky 12). Věta nyní plyne z věty 29 a a jejího důsledku 8.
Důsledek 9. Nechť systém (10.1) má vnitřní stacionární bod x∗ = (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n).
Jestliže existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými takový,
že matice
S (diag c A) (10.5)
je pozitivně semidefinitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (10.1) je stejnoměrně
stabilní.
Pokud je matice (10.5) pozitivně definitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (10.1)
je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
10.3 Koloběh dusíku v planktonu
Uvažujme proces schématicky znázorněný na obrázku 10.1: Ve fytoplanktonu probíhá fotosyntéza
a při ní se dusík z okolního prostředí váže v jeho buňkách; fytoplankton slouží
jako potrava pro zooplankton, takže dusík ze zkonzumovaného fytoplanktonu se stává součástí
zooplanktonu. Plankton v důsledku svého metabolismu dusík opět vylučuje do okolního
prostředí a také při rozkladu mrtvého planktonu se dusík uvolňuje. Dusík z prostředí není
odebírán ani není nějakým způsobem do něho přidáván. Dusíku vylučovaného planktonem je
tím více, čím je více planktonu, dusíku vázaného ve fytoplanktonu přibývá tím více, čím je
více volného dusíku a fytoplanktonu; dusíku vázaného v zooplanktonu přibývá tím více, čím
více je fytoplanktonu pozřeného zooplanktonem a toho je tím více, čím více je fytoplanktonu
i zooplanktonu. Označme po řadě N, P a Z množství dusíku v prostředí, vázaného ve fytoplanktonu
a vázaného v zooplanktonu. Všechny tyto veličiny se mění s časem, tj. N = N(t),
P = P(t) a Z = Z(t). Celkové množství dusíku v systému je rovno V = N + P + Z. Koloběh
dusíku lze nejjednodušeji modelovat systémem rovnic
N = aP + bZ − cNP,
P = cNP − dPZ − aP,
Z = dPZ − bZ;
všechny parametry a, b, c, d jsou kladné.
152 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
- -
6
? ?
a b
c dN
dusík v prostředí
P
fytoplankton
Z
zooplankton
Obrázek 10.1: Schéma koloběhu dusíku
Nejprve si všimněme, že V = N + P + Z = 0, což znamená, že celkové množství dusíku
V je konstantní. Proto lze množství dusíku v prostředí vyjádřit jako N(t) = V − P(t) − Z(t)
a dosadit do druhé a třetí rovnice systému. Dostaneme
P = (V c − a)P − cP2 − (c + d)PZ = P V c − a − cP − (c + d)Z ,
Z = −bZ + dPZ = Z − b + dP .
(10.6)
Jedná se tedy o Lotkův-Volterrův systém s vektorem růstových koeficientů a maticí interakcí
b =
V c − a
−b
a A =
c −(c + d)
d 0
.
To je systém typu dravec-kořist; dravcem je zooplankton, kořistí fytoplankton. Variační matice
systému (10.6) v obecném bodě je
J(P, Z) =
V c − a − 2cP − (c + d)Z −(c + d)P
dZ −b + dP
,
Systém (10.6) má vždy triviální stacionární bod
s0 =
0
0
vyjadřující nepřítomnost planktonu. Variační matice v triviálním stacionárním bodě, její stopa
a determinant jsou
J(s0) =
V c − a 0
0 −b
, tr J(s0) = c V −
a
c
− b, det J(s0) = −bc V −
a
c
,
Pokud pro množství dusíku platí
V >
a
c
, (10.7)
pak det J(s0) < 0 a podle 5.3.1 to znamená, že triviální stacionární bod s0 je sedlo. Pokud
naopak
V <
a
c
,
pak det J(s0) > 0, tr J(s0) < −b < 0 a tr J(s0)
2
− 4 det J(s0) = (V c − a + b)2 ≥ 0,
což znamená, že s0 je stabilní uzel.
Je-li splněna nerovnost (10.7), pak má systém (10.6) další stacionární bod
s1 =
V −
a
c
0
,
10.3. KOLOBĚH DUSÍKU V PLANKTONU 153
vyjadřující dynamicky stálé množství fytoplanktonu bez přítomnosti zooplanktonu. Variační
matice systému (10.7) ve stacionárním bodě s1 je
J(s1) =
−c V − a
c −(c + d) V − a
c
0 d V − a
c − b
,
její stopa a determinant jsou
tr J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
− c V −
a
c
, det J(s1) = −cd V −
a
c
V −
a
c
−
b
d
.
Pokud navíc množství dusíku splňuje podmínku
V >
a
c
+
b
d
, (10.8)
pak det J(s1) < 0 a stacionární bod je sedlo. Je-li naopak
V <
a
c
+
b
d
,
pak det J(s1) < 0, tr J(s1) < 0 a
tr J(s1)
2
− 4 det J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
+ c V −
a
c
2
≥ 0,
což znamená, že stacionární bod je stabilní uzel.
Vnitřní stacionární bod systému (10.6) je
P∗
Z∗ = A−1
b =
1
d(c + d)
0 −(c + d)
d c
V c − a
−b
=




b
d
c
c + d
V −
a
c
−
b
d



 .
Vidíme, že P∗ > 0 a pokud je splněna podmínka (10.8), pak také Z∗ > 0; v takovém případě
je tedy možná koexistence fyto- i zooplanktonu. Dále platí
J(P∗
, Z∗
) = −




b
d
O
O
c
c + d
V −
a
c
−
b
d




0 −(c + d)
d c
=
=





0
b(c + d)
d
−
cd
c + d
V −
a
c
−
b
d
−
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d





.
Je-li splněna podmínka (10.8), pak
tr J(P∗
, Z∗
) = −
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d
< 0, det J(P∗
, Z∗
) = bc V −
a
c
−
b
d
> 0,
154 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
což znamená, že reálná část vlastních čísel variační matice J(P∗, Z∗) je záporná, a tedy vnitřní
stacionární řešení (P∗, Z∗) systému (10.6) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Povšimněme si, že kladná stacionární hodnota P∗ nezávisí na celkovém množství dusíku
V . Pokud se tedy zvětší přísun živin, nemá z toho užitek fytoplankton, ale jeho predátor
zooplankton.
Z dosud provedených úvah a výpočtů lze učinit závěr, že přežívání planktonu je závislé na
celkovém množství dusíku v prostředí:
(i) V <
a
c
plankton nepřežívá,
(ii)
a
c
< V <
a
c
+
b
d
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
c
+
b
d
< V fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Povšimněme si, že podmínku (iii) lze splnit pouze v případě
V >
b
d
; (10.9)
v opačném případě by totiž mělo být V −
b
d
>
a
c
> 0 a současně V −
b
d
≤ 0.
Výsledky lze ovšem interpretovat i jinak. Předpokládejme, že platí podmínka (10.9) a
příslušné nerovnosti i závěry z nich plynoucí přepíšeme do tvaru:
(i) c <
a
V
plankton nepřežívá,
(ii)
a
V
< c <
a
V
+
ab
V (V d − b)
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
V
+
ab
V (V d − b)
< c fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Koeficient c vyjadřuje, s jakou intenzitou je dusík z prostředí vázán do biomasy fytoplanktonu.
Tato vazba vzniká procesem fotosyntézy, jejíž intenzita roste s množstvím slunečního světla
a to se mění s ročním obdobím. Při stálém množství dusíku se s rostoucím množstvím světla
nejprve objeví fytoplankton, poté i zooplankton; v zimě se plankton nevyskytuje, na jaře se
nejprve objeví fytoplankton a poté s prodlužujícím se dnem i zooplankton.
10.4 Dissipativita konkurenčních systémů
Uvažujme společenstvo n soběstačných populací, z nichž každá projevuje vnitrodruhovou
konkurenci a každá z populací je amenzalistou jiné nebo ji neovlivňuje (zejména tedy každé
dvě populace mohou být ve vztahu konkurence). Vývoj takového společenstva lze modelovat
systémem (10.1) s kladnými parametry bi, aii, i = 1, 2, . . . , n a s nezápornými parametry aij
pro i = j. S využitím poznámky 10 ukážeme, že takový systém je dissipativní, tedy že všechny
složky jeho řešení jsou ohraničené:
Nechť ε > 0 a i ∈ {1, 2, . . . , n} jsou libovolná. Položme
Ki =
bi
aii
+ ε, δi = εaii.
10.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 155
Pak Ki > 0, δi > 0 a pro všechna xj ≥ Kj, j ∈ {1, 2, . . . , n} platí
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 ≤ xi(bi − aiixi) ≤ xi(bi − aiiKi) = xiaii
bi
aii
− Ki =
= xiaii(Ki − ε − Ki) = −εxiaii = −δixi,
takže předpoklady poznámky 10 jsou splněny.
Poněvadž kladná konstanta ε je libovolně malá, pro každé řešení
x( · ) = x1(·), x2(·), . . . , xn(·)
systému (10.1) s bi > 0, aii > 0, aij ≥ 0, i, j = 1, 2, . . . , n existuje T ≥ 0 takové, že pro všechna
t ≥ T je
x1(t) ≤
b1
a11
, x2(t) ≤
b2
a22
, . . . , xn(t) ≤
bn
ann
.
V dlouhém časovém horizontu populace nepřekračují velikost danou kapacitou prostředí pro
populace izolované.
10.5 Trofický řetězec
Trofický řetězec je takové společenstvo, v němž je první druh producentem a každý jiný
druh je nesoběstačným specializovaným predátorem právě jednoho dalšího druhu. Označíme
x1 velikost populace producenta, x2 velikost populace jeho predátora, x3 velikost populace,
která je predátorem populace o velikosti x2, atd. Každá z populací na některé trofické úrovni
nemusí být tvořena jedním biologickým druhem, může jít o společenstvo organismů majících
stejný způsob obživy. Trofický řetěz o n úrovních lze tedy modelovat systémem
x1 = x1(r − ax1) − p1x1x2
x2 = −d2x2 + q2x1x2 − p2x2x3
...
xk = −dkxk + qkxk−1xk − pkxkxk+1
...
xn−1 = −dn−1xn−1 + qn−1xn−2xn−1 − pn−1xn−1xn
xn = −dnxn + qnxn−1xn,
(10.10)
parametry r, d2, d3, . . . , dn, q2, q3, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn−1 jsou kladné, parametr a je nezáporný
(producent může, ale nemusí projevovat vnitrodruhovou konkurenci).
Stabilita vnitřního stacionárního bodu
Matice interakcí a vektor růstových koeficientů jsou
A =









a p1 0 · · · 0 0 0
−q2 0 p2 · · · 0 0 0
0 −q3 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −qn−1 0 pn−1
0 0 0 · · · 0 −qn 0









, b =









r
−d2
−d3
...
−dn−1
−dn









.
156 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Položme
c1 = 1, c2 =
p1
q2
, c3 =
p1p2
q2q3
, . . . , cn−1 =
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−1
, cn =
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn
.
Pak je
diag c A =

















a p1 0 · · · 0 0 0
−p1 0
p1p2
q2
· · · 0 0 0
0 −
p1p2
q2
0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−2
0
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0 0 0 · · · 0 −
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0

















,
takže
S (diag c A) =









a 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0









z čehož plyne
(x − x∗
)T
S(diag c A) (x − x∗
) = a(x1 − x∗
1)2
≥ 0.
Pokud existuje vnitřní stacionární bod x∗ uvažovaného systému, pak je příslušné konstantní
řešení stejnoměrně stabilní.
Existence vnitřního stacionárního bodu
Hledejme nyní podmínky, které zaručí existenci takového stacionárního bodu x∗. Jeho souřadnice
splňují n-rozměrný systém algebraických rovnic
ax∗
1 + p1x∗
2 = r,
qkx∗
k−1 − pkx∗
k+1 = dk, k = 2, 3, . . . , n − 1.
qnx∗
n−1 = dn.
(10.11)
„Prostřední rovnice tohoto systému lze přepsat ve tvaru rekurentních formulí
x∗
k−1 =
1
qk
pkx∗
k+1 + dk nebo x∗
k+1 =
1
pk
qkx∗
k−1 − dk , k = 2, 3, . . . , n − 1. (10.12)
Poněvadž všechny koeficienty pk, qk, dk jsou kladné, plyne z tohoto vyjádření:
(i) je-li x∗
0
> 0 pro nějaké l0 ∈ {2, 3, . . . , n} ,
pak je x∗
> 0 pro všechna ∈ 0, 0 − 2, 0 − 4, . . . ,
1
2
3 + (−1) 0
;
10.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 157
(ii) je-li x∗
1
≤ 0 pro nějaké 1 ∈ {1, 3, . . . , n − 2} ,
pak je x∗
< 0 pro všechna ∈ 1 + 2, 1 + 4, . . . , n −
1
2
1 − (−1) 1+n
.
Podle poslední rovnice systému (10.11) je
x∗
n−1 =
dn
qn
.
Z první rekurentní formule (10.12) postupně vyjádříme
x∗
n−3 =
1
qn−2
pn−2x∗
n−1 + dn−2 =
pn−2
qn−2
dn
qn
+
dn−2
qn−2
,
x∗
n−5 =
1
qn−4
pn−4x∗
n−3 + dn−4 =
pn−4
qn−4
pn−2
qn−2
dn
qn
+
pn−4
qn−4
dn−2
qn−2
+
dn−4
qn−4
,
atd. Celkem dostaneme
x∗
n−(2 +1) =
i=0
dn−2i
qn−2i j=i+1
pn−2j
qn−2j
, pro = 0, 1, . . .
n
2
− 1, (10.13)
kde [ξ] označuje celou část z čísla ξ a klademe
k−1
j=k
αj = 1 pro libovolné přirozené k a každou
posloupnost {αj}∞
j=0.1 Přímým výpočtem se lze přesvědčit, že (10.13) je skutečně řešením
druhé až n-té rovnice systému (10.11).
Nechť nejprve je n sudé. V tomto případě lze rovnost (10.13) přepsat na tvar
x∗
2k−1 = x∗
n−(2(n
2
−k)+1) =
n
2
−k
i=0
dn−2i
qn−2i
n
2
−k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n
2
i=k
d2i
q2i
i−1
j=k
p2j
q2j
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Z tohoto vyjádření je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ s lichými indexy
jsou kladné. Pro jeho první souřadnici platí
x∗
1 =
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.14)
Z první rovnice systému (10.11) nyní dostaneme
x∗
2 =
r − ax∗
1
p1
,
a ze druhé rekurentní formule (10.12)
x∗
4 =
1
p3
(q3x∗
2 − d3) =
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
d3
p3
,
1
Uvedená konvence je přirozeným rozšířením rovnosti
k
j=m
αj = αk
k−1
j=m
αj , která platí pro libovolné k > m,
také pro k = m.
158 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
x6 =
1
p5
(q5x∗
4 − d5) =
q5
p5
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
q5
p5
d3
p3
−
d5
p5
,
atd. Obecně
x∗
2k =
r − ax∗
1
p1
k−1
i=1
q2i+1
p2i+1
−
k−1
i=1
d2i+1
p2i+1
k−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Souřadnice x∗
1 je vyjádřena formulí (10.14). Tedy platí
x∗
n = x∗
2n
2
=
r − ax∗
1
p1
n
2
−1
=1
q2 +1
p2 +1
−
n
2
−1
i=1
d2i+1
p2i+1
n
2
−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
=
=


n
2
−1
=1
q2 +1
p2 +1



r − ax∗
1
p1
−
n
2
−1
i=1
d2i+1
p2i+1
i
j=1
p2j+1
q2j+1

 =
=

 1
p1
n
2
−1
=1
q2 +1
p2 +1



r − a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
− p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1

 .
Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ byly
kladné, je tedy podle tvrzení (i) a (ii) nerovnost
r > p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.15)
Nechť nyní je n liché. V tomto případě lze rovnost (10.13) přepsat na tvar
x∗
2k = xn−(2(n−1
2
−k)+1) =
n−1
2
−k
i=0
dn−2i
qn−2i
n−1
2
−k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n−1
2
i=k
d2i+1
q2i+1
i−1
j=k
p2j+1
q2j+1
,
k = 1, 2, . . . ,
n − 1
2
.
Z něho je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ se sudými indexy jsou kladné.
Zejména jeho druhá souřadnice je
x∗
2 =
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
. (10.16)
Je-li a = 0, dostaneme z první rovnice systému (10.11)
x∗
1 =
r − p1x∗
2
a
,
ze druhé rekurentní formule (10.12) nyní můžeme postupně vyjádřit
x∗
3 =
1
p2
(q2x∗
1 − d2) =
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
d2
p2
,
10.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 159
x∗
5 =
1
p4
(q4x∗
3 − d4) =
q4
p4
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
q4
p4
d2
p2
−
d4
p4
,
atd. Obecně dostaneme
x∗
2k−1 =
r − p1x∗
2
a
k−1
i=1
q2i
p2i
−
k−1
i=1
d2i
p2i
k−1
j=i+1
q2j
p2j
, k = 1, 2, . . . ,
n + 1
2
.
Odtud s využitím (10.16) vyjádříme
x∗
n = x∗
2n+1
2
−1
=
r − p1x∗
2
a
n−1
2
=1
q2
p2
−
n−1
2
i=1
d2i
p2i
n−1
2
j=i+1
q2j
p2j
=
=

1
a
n−1
2
=1
q2
p2



r − p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
− a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j

 .
Pro liché n a a = 0 tedy dostáváme jako nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby všechny
souřadnice stacionárního bodu x∗ byly kladné, nerovnost
r > p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.17)
Pokud je n liché a a = 0, dostaneme z první rovnice systému (10.11) rovnost
x∗
2 =
r
p1
.
Současně však musí platit rovnost (10.16), takže soustava rovnic (10.11) má řešení (a to
nekonečně mnoho řešení; stacionární bod není v takovém případě izolovaný) pouze tehdy,
když
r = p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
Pravděpodobnost, že tato rovnost bude splněna pro systém (10.10) modelující reálné společenstvo,
je však nulová.
Povšimněme si ještě, že nerovnosti (10.15) a (10.17) lze zapsat jednotně ve tvaru
r > p1
[n−1
2 ]
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
[n
2 ]
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.18)
Závěr: Je-li a > 0 (základní zdroj je omezený, v populaci producenta je vnitropopulační
konkurence), pak vnitřní stacionární bod systému (10.10) existuje (je možná koexistence všech
populací tvořících trofický řetězec) právě tehdy, když je splněna podmínka (10.18) (vnitřní
koeficient růstu producenta je dostatečně velký).
Je-li a = 0 (základní zdroj je neomezený), pak vnitřní stacionární bod systému (10.10)
existuje pouze pro sudé n (je možná koexistence pouze sudého počtu trofických úrovní);
vnitřní stacionární bod v takovém případě existuje právě tehdy, když je splněna podmínka
r > p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
160 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
10.6 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi
Uvažujme společenstvo tvořené dvěma skupinami druhů — producenty (kořistí) a konzumenty
(predátory). Mezi druhy uvnitř jednotlivých trofických úrovní nejsou žádné interakce a konzumenti
nemohou bez producentů přežít. Je-li takové společenstvo tvořeno n druhy producentů
a m druhy konzumentů, lze jeho vývoj popsat systémem Lotkových-Volterrových rovnic tvaru
xi = xi ri −
m
k=1
aikyk , i = 1, 2, . . . , n,
yj = yj −sj +
n
k=1
bjkxk , j = 1, 2, . . . , m;
(10.19)
xi označuje velikost i-tého druhu producentů, yj velikost j-tého druhu konzumentů, parametry
ri, sj, aij, bji jsou kladné. Systém (10.19) můžeme při zavedení vektorů x = (x1, x2, . . . , xn)T ,
y = (y1, y2, . . . , ym)T , r = (r1, r2, . . . , rn)T , s = (s1, s2, . . . , sm)T , a matic
A = aij 1≤i≤n
1≤j≤m
=





a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
...
...
...
...
an1 an2 . . . anm





, B = bji 1≤j≤m
1≤i≤n
=





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn





zapsat vektorově
x = diag x (r − Ay),
y = diag y (−s + Bx),
nebo ve tvaru
x
y
= diag
x
y
r
−s
−
O A
B O
x
y
,
kde O označuje nulovou matici.
Příklad: klasický Lotkův-Volterrův systém dravec-kořist
Uvažujme společenstvo jednoho producenta a jednoho konzumenta (jednoho dravce a jeho
kořisti). V takovém případě je n = m = 1 a systém (10.19) je tvaru
x = x(r − ay),
y = y(−s + bx).
(10.20)
Tento systém má vnitřní stacionární bod
(p, q) =
s
b
,
r
a
.
Systém (10.20) můžeme přepsat na tvar
x
x
= r − ay,
y
y
= −s + bx,
neboli
d
dt
ln x = r − ay,
d
dt
ln y = −s + bx.
10.6. SPOLEČENSTVO SE DVĚMA TROFICKÝMI ÚROVNĚMI 161
Při označení u = ln x, v = ln y dostaneme
u = r − aev,
v = −s + beu,
což je systém bipartitní. Bezprostředně vidíme, že tento systém můžeme psát ve tvaru
u =
∂
∂v
(rv − aev) ,
v = −
∂
∂u
(su − beu) ,
nebo vektorově
u
v
=
0 1
−1 0
(su − beu
+ rv − aev
) . (10.21)
Systém (10.20) je tedy ekvivalentní s hamiltonovským systémem (10.21). Jeho hamiltonián
(invariant) v původních proměnných je
H(x, y) = s ln x − bx + r ln y − ay = b
s
b
ln x − x + a
r
a
ln y − y =
= b (p ln x − x) +
a
b
(q ln y − y) .
Transformace systému (10.19) na systém bipartitní
Stavové proměnné xi, yj transformujeme na nové, které označíme ui, vj a definujeme rov-
nostmi
ui = ln xi, vj = ln yj, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m. (10.22)
Pak
ui =
xi
xi
= ri −
m
k=1
aikyk = ri −
m
k=1
aikevk
, vj = −sj +
n
k=1
bjkeuk
.
Zavedeme označení
eu
= (eu1
, eu2
, . . . , eun
) , ev
= (ev1
, ev2
, . . . , evm
) .
Systém (10.19) se transformuje na tvar
u = r − Aev
, v = −s + Beu
; (10.23)
derivace první sady proměnných závisí pouze na druhé sadě, derivace druhé sady proměnných
závisí pouze na první sadě. Systém (10.19) lze tedy substitucí (10.22) transformovat na systém
bipartitní.
Invariant systému (10.19)
Hodnota aij vyjadřuje množství i-tého druhu kořisti, kterou za jednotku času zničí predátoři
j-tého druhu za předpokladu, že populace i-tého druhu kořisti i j-tého druhu predátora měly
jednotkovou velikost. Stručněji, aij je specifická úmrtnost i-tého druhu kořisti způsobená
populací j-tého druhu predátora o jednotkové velikosti. Hodnota bji je specifická porodnost
162 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
j-tého druhu predátora po konzumaci jednotkového množství populace i-tého druhu kořisti.
Poměr bji/aij lze tedy chápat jako efektivitu, s jakou se úbytek i-tého druhu kořisti přeměňuje
do růstu populace j-tého druhu predátora. Předpokládejme nyní, že každý druh predátora
využívá všechny druhy kořisti stejně efektivně, tj. že ke každému j = 1, 2, . . . , m existuje
konstanta cj > 0 taková, že
bji
aij
= cj pro všechny indexy i = 1, 2, . . . , n.
Jinak řečeno, nechť existuje vektor c = (c1, c2, . . . , cm)T pro nějž platí
BT
= A diag c, neboli B = diag c AT
. (10.24)
Předpokládejme dále, že existuje vnitřní stacionární bod systému (10.19), tj. že existují vektory
p = (p1, p2, . . . , pn)T , q = (q1, q2, . . . , qm)T se všemi složkami kladnými, takové že Aq = r,
Bp = s, tj.
ri =
m
k=1
aikqk pro i = 1, 2, . . . , n, sj =
n
k=1
bjkpk pro j = 1, 2, . . . , m. (10.25)
Poznamenejme, že v případě m = n nemusí být některý z vektorů p, q určen jednoznačně.
Pak vnitřní stacionární bod není izolovaný.
Definujme nyní funkci H : Rn+m
+ → R předpisem
H(x, y) = H(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn) =
n
i=1
(pi ln xi − xi) +
m
j=1
1
cj
(qj ln yj − yj) .
Pokud x, y jsou řešením systému (10.19), která mají všechny složky v každém čase kladné,
pak platí
d
dt
H(x, y) =
n
i=1
pi
xi
xi
− xi +
m
j=1
1
cj
qj
yj
yj
− yj =
n
i=1
(pi − xi)
xi
xi
+
m
j=1
1
cj
(qj − yj)
yj
yj
=
=
n
i=1
(pi − xi) ri −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−sj +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
(pi − xi)
m
k=1
aikqk −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−
n
k=1
bjkpk +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
m
k=1
(pi − xi)aik(qk − yk) −
n
k=1
m
j=1
(pk − xk)
bjk
cj
(qj − yj) = 0,
neboť bjk/cj = akj. Jinak řečeno, funkce H je na trajektoriích systému (10.19) konstantní, je
invariantem (prvním integrálem) tohoto systému.
Transformace systému (10.19) na hamiltonovský
Opět použijeme transformaci (10.22) a s využitím vztahů (10.25) vyjádříme transformovaný
systém (10.23) jako u = A(q − ev), v = −B(p − eu). Podmínka (10.24) nyní umožňuje
přepsat tento systém ve tvaru
u = A(q − ev
), v = −(A · diag c)T
(p − eu
). (10.26)
10.7. GROSSBERGOVY SYSTÉMY (ZOBECNĚNÉ LOTKOVY-VOLTERROVY) 163
Invariant H systému (10.19) vyjádříme také v proměnných u a v,
H(u, v) =
n
i=1
(piui − eui
) +
m
j=1
1
cj
(qjvj − evj
).
Platí
∂H
∂ui
(u, v) = pi − eui
,
∂H
∂vj
(u, v) =
1
cj
(qj − evj
), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Při označení u =
∂
∂u1
,
∂
∂u2
, . . . ,
∂
∂un
T
, v =
∂
∂v1
,
∂
∂v2
, . . . ,
∂
∂vm
T
tedy je
uH(u, v) = p − eu
, vH(u, v) = (diag c)−1
(q − ev
),
takže systém (10.26) je tvaru
u = A diag c vH(u, v), v = −(A diag c)T
uH(u, v),
neboli
u
v
=
O A diag c
−(A diag c)T O
uH(u, v)
vH(u, v)
,
symbol O označuje nulovou matici. Pokud tedy platí (10.24) a existuje vnitřní stacionární
bod systému (10.19), lze tento systém transformovat na systém hamiltonovský.
Modely společenstev tvořených producenty a jejich konzumenty, které mají vnitřní stacionární
bod a splňují podmínku (10.24), mají v populační ekologii podobný význam jako
Newtonovy zákony v mechanice (srov. 5.4).
10.7 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy)
Vlivy populací tvořících společenstvo na růst jednotlivých populací nemusí být tvaru přímé
úměrnosti. Proto může být realističtější místo systému (10.1) uvažovat systém
xi = gi(xi)

bi −
n
j=1
aijfj(xj)

 , i = 1, 2, . . . , n. (10.27)
Funkce fi, gi, i = 1, 2, . . . , n jsou definovány a spojité na intervalu [0, ∞) a splňují podmínky:
• (∀i)gi(0) = 0 . . . je-li velikost i-té populace nulová (tj. i-tá populace ve společenstvu
není), pak nulovou zůstane; uvažujeme tedy izolovaná společenstva, kde nedochází k
imigraci nových druhů.
• (∀i)(∀ξ > 0)gi(ξ) > 0 . . . skutečnost, zda je i-tá populace soběstačná nebo ne, nezávisí
na její velikosti; neuvažujeme tedy např. Alleeho efekt.
• (∀j)fj(0) = 0 . . . není-li j-tá populace ve společenstvu přítomná, nijak neovlivňuje růst
ostatních populací.
164 KAPITOLA 10. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
• (∀j)fj je rostoucí . . . s rostoucí velikostí populace roste i její vliv na růst populací ostat-
ních.
Systém (10.27) lze zapsat vektorově:
x = G(x) b − Af(x) ,
kde
G(x) = G(x1, x2, . . . , xn) = diag g1(x1), g2(x2), . . . , gn(xn) ,
f(x) = f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn)
T
.
Poněvadž všechny složky zobrazení f : Rn → Rn jsou rostoucí (tedy prosté) funkce, je
toto zobrazení prosté a existuje k němu zobrazení inverzní f−1
= (f−1
1 , f−1
2 , . . . , f−1
n ). Je-li
matice interakcí společenstva A regulární, existuje nejvýše jeden vnitřní stacionární bod
x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = f−1
A−1
b
systému (10.27), tj. takový bod, že x∗
1 > 0, x∗
2 > 0, . . . , x∗
n > 0, který lze opět interpretovat
jako dynamicky stálé velikosti všech populací koexistujících ve společenstvu.
Analogicky jako v důkazu věty 33 ověříme, že pokud existuje okolí U vnitřního stacionárního
bodu x∗ a existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými,
pro něž je výraz
f(x) − f(x∗
)
T
S(diag c A) f(x) − f(x∗
)
nezáporný pro každé x ∈ U, pak je funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
fi(ξ) − fi(x∗
i )
gi(ξ)
dξ
ljapunovskou funkcí systému (10.27) ve stacionárním bodě x∗. Odtud je vidět, že tvrzení
důsledku 9 platí také pro systém (10.27).
Kapitola 11
Modely konfliktů
11.1 Některé pojmy teorie her
Definice 26. Hra dvou hráčů je pětice
{H; X, Y ; M1(x, y), M2(x, y)} ,
kde H je dvouprvková množina, X, Y jsou nějaké množiny a M1, M2 : X × Y → R je reálná
funkce. Jsou-li množiny X, Y konečné, řekneme, že hra je konečná.
Prvky množiny H nazveme hráči.
Množinu X, resp. Y nazýváme prostor strategií prvního hráče, resp. druhého hráče. Prvky
množiny X, resp. Y , nazveme (ryzí) strategie prvního hráče, resp. druhého hráče.
Funkce M1, resp. M2 nazveme výplatní funkce prvního hráče, resp. druhého hráče.
U hry dvou hráčů můžeme bez újmy na obecnosti položit H = {1, 2}.
Hodnota Mi(x, y) představuje výhru i-tého hráče v jednom kole (tahu) hry, pokud první
hráč použil strategii x ∈ X a druhý hráč strategii y ∈ Y .
Připomeňme n-rozměrný simplex, tj. množinu
Sn = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
: xi ≥ 0,
i
= 1n
xi = 1 .
Definice 27. Nechť
{{1, 2}; X, Y ; M1(x, y), M2(x, y)}
je konečná hra dvou hráčů. Označme n, resp. m, počet prvků množiny X, resp. Y . Smíšená
strategie prvního hráče, resp. druhého hráče je n-tice x ∈ Sn, resp. m-tice y ∈ Sm.
Složku xi ze smíšené strategie x prvního hráče můžeme interpretovat jako pravděpodobnost,
se kterou první hráč použije svou i-tou strategii v jednom kole, nebo ekvivalentně jako
relativní frekvenci, s jakou používá i-tou strategii při opakované hře. Analogicky interpretujeme
smíšené strategie druhého hráče.
Nechť X, Y , n, m mají stejný význam jako v předchozí definici. V dalším textu budeme
používat stručnější značeni (X) = Sn, (Y ) = Sm. Tyto množiny nazveme prostory smíšených
strategií prvního a druhého hráče.
165
166 KAPITOLA 11. MODELY KONFLIKTŮ
Definice 28 (Rovnovážné strategie). Nechť
{{1, 2}; X, X; M1(x, y), M2(x, y)}
je konečná hra dvou hráčů, kteří mají stejné prostory strategií. Smíšená strategie ¯x ∈ (X) se
nazývá rovnovážná podle Nashe, jestliže pro každou smíšenou strategii x ∈ (X) platí
M1(x, ¯x) ≤ M1(¯x, ¯x),
M2(¯x, x) ≤ M2(¯x, ¯x).
Definice 29 (Symetrické hry). Nechť
{{1, 2}; X, Y ; M1(x, y), M2(x, y)}
je konečná hra dvou hráčů. Řekneme, že tato hra je symetrická, pokud X = Y , a M1(x, y) =
M2(y, x) pro všechny strategie x, y ∈ X.
Je-li množina strategií X konečná, X = {1, 2, . . . , n}, označíme aij = M1(i, j). Výplatní
funkce obou hráčů jsou v takovém případě jednoznačně určeny maticí A = (aij); platí totiž
M1(i, j) = aij, M2(i, j) = aji. Jsou-li x, y ∈ (X) smíšené strategie,
x =





x1
x2
...
xn





, y =





y1
y2
...
yn





,
pak příslušné výplatní funkce jsou dány formulemi
M1(x, y) = xT
Ay, M2(x, y) = yT
Ax
Poznámka 13. Nechť matice A určuje výplatní funkce v symetrické konečné hře. Smíšená
strategie ¯x ∈ (X) je rovnovážnou strategií právě tehdy, když xT A¯x ≤ ¯xA¯x pro všechny
smíšené strategie x ∈ (X), tj. ¯xT A¯x = max xT A¯x : x ∈ (X) .
Důkaz: Nechť ¯x ∈ (X) je rovnovážná strategie. Pak pro libovolnou smíšenou strategii x ∈ (X)
platí
xT
A¯x = M1(x, ¯x) ≤ M1(¯x, ¯x) = ¯xT
A¯x.
Nechť naopak platí ¯xT A¯x = max xT A¯x : x ∈ (X) . Pak pro libovolnou smíšenou strategii
x ∈ (X) platí
M1(x, ¯x) = xT
A¯x ≤ ¯xT
A¯x = M1(¯x, ¯x),
M2(¯x, x) = xT
A¯x ≤ ¯xT
A¯x = M2(¯x, ¯x).
Označme
ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . , 0)T
,
nenulová je i-tá složka vektoru. Vektory e1, e2, . . . , en tvoří bázi n-rozměrného vektorového
prostoru.
11.1. NĚKTERÉ POJMY TEORIE HER 167
Věta 34. Nechť
{H = {1, 2}; X, X; M1(x, y), M2(x, y)}
je symetrická konečná hra, X = {1, 2, . . . , n}, M1(i, j) = aij. Pro smíšenou strategii
x = (x1, x2, . . . , xn)T
∈ (X)
položme
C(x) = {k ∈ {1, 2, . . . , n} : xk > 0} .
Smíšená strategie ¯x = (¯x1, ¯x2, . . . , ¯xn)T =
n
i=1
¯xiei ∈ (X) je rovnvážná právě tehdy, když
eT
i A¯x ≤ ¯xT
A¯x pro všechna i ∈ C(¯x) (11.1)
a
eT
i A¯x = ¯xT
A¯x pro všechna i ∈ C(¯x). (11.2)
Důkaz: Nechť ¯x je rovnovážná strategie. Podle předchozí poznámky platí
eT
i A¯x ≤ ¯xT
A¯x pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Připusťme, že existuje k ∈ C(¯x) tak, že eT
k A¯x < ¯xT A¯x. Pak
¯xT
A¯x =
n
i=1
¯xieT
i A¯x =
i∈C(¯x)
¯xieT
i A¯x = ¯xkeT
k A¯x +
i∈C(¯x) {k}
¯xieT
i A¯x <
< ¯xk ¯xT
A¯x +
i∈C(¯x) {k}
¯xi ¯xT
A¯x =
n
i=1
¯xi ¯xT
A¯x = ¯xT
A¯x,
což je spor, který dokazuje první implikaci.
Nechť platí podmínky (11.1) a (11.2). Pak pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n} platí eT
i A¯x ≤
¯xT A¯x. Je-li nyní x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ (X) libovolná smíšená strategie, pak
xT
A¯x =
n
i=1
xieT
i A¯x ≤
n
i=1
xi ¯xT
A¯x = ¯xT
i A¯x,
takže podle předchozí poznámky je ¯x ronovážnou strategií.
Poznámka 14. Ryzí strategie ei ∈ (X) je rovnovážnou strategií symetrické konečné hry s výplatními
funkcemi určenými maticí A právě tehdy, když aji ≤ aii pro všechna j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Důkaz: V tomto případě je C(ei) = {i}, eT
j Aei = aji, eT
i Aei = aii.
11.1.1 Nalezení rovnovážné strategie symetrické konečné hry
Buď
{H = {1, 2}; X, X; M1(x, y), M2(x, y)}
symetrická konečná hra, X = {1, 2, . . . , n}, M1(i, j) = aij > 0. Podmínka kladnosti čísel aij
není újmou na becnosti; její splnění lze pro libovolnou matici dosáhnout přičtením vhodné
konstanty ke všem jejím prvkům. Budeme hledat rovnovážnou strategii ¯x ∈ (X) takovou, že
v = xT
A¯x = max xT
Ax : x ∈ (X) je rovnovážná strategie .
168 KAPITOLA 11. MODELY KONFLIKTŮ
Pro ¯x = (¯x1, ¯x2, . . . , ¯xn)T
musí podle věty 34 platit
¯xi ≥ 0, eT
i A¯x ≤ v pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n},
n
j=1
¯xj = 1, v = ¯xT
A¯x → max .
Položme
ξi =
¯xi
v
.
Pak ξi ≥ 0, neboť v =
n
i=1
n
j=1
¯xiaij ¯xj > 0. Dále platí
eT
i A¯x =
n
j=1
aij ¯xj = v
n
j=1
aijξj ≤ v,
takže
n
j=1
aijξj ≤ 1.
Navíc
n
j=1
ξj =
1
v
n
j=1
¯xj =
1
v
→ min,
takže
−
n
j=1
ξj → max .
Z provedené úvahy plyne, že hledaná rovnovážná strategie je
¯x =


n
j=1
ξj





ξ1
...
ξn


 ,
kde ξ1, ξ2, . . . ,ξn je řešení lineární optimalizační úlohy (úlohy lineárního programování)
−
n
j=1
ξj → max,
n
j=1
aijξj ≤ 1, ξi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n.
11.2 Vyjádření hry pomocí systému diferenciálních rovnic
Pro symetrické hry lze uvažovat jistou analogii metody fiktivní hry. Bez újmy na obecnosti
lze předpokládat, že všechna čísla aij jsou nezáporná (toho lze případně dosáhnout přičtením
vhodné konstanty k jednotlivým výhrám) a celá čísla (což lze zajistit vhodnou volbou peněžní
jednotky).
11.2. VYJÁDŘENÍ HRY POMOCÍ SYSTÉMU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 169
Představme si, že máme nějakou fiktivní nebo virtuální „populaci skládající se z N „jedinců
, kteří spolu — každý s každým — soupeří a každý z nich používá právě jednu strategii
z množiny X. Do dalšího „kola hry postoupí každý „jedinec z původní populace a spolu
s ním další „jedinci používající stejnou strategii; budeme jim říkat „potomci uvažovaného
„rodičovského jedince . Počet potomků jednoho „jedince bude roven celkové výhře, kterou
„jedinec při všech konfliktech jednoho „kola získá. Úspěšné strategie — ty, které více
vyhrávají — mají více „potomků a tedy se více v „populaci šíří.
Nechť v „populaci je νi „jedinců používajících strategii i ∈ X. Poněvadž celá virtuální
hra se odehrává v čase, je celková velikost „populace N i každá hodnota νi funkcí času, tj.
N = N(t), νi = νi(t). Samozřejmě platí
N(t) =
n
i=1
νi(t).
Položme
xi(t) =
νi(t)
N(t)
.
Pak je xi(t) relativní četnost výskytu „jedinců používajících strategii i ∈ X a platí
n
i=1
xi(t) = 1,
takže vektor
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





představuje smíšenou strategii. Jinak řečeno, hodnota xi(t) představuje pravděpodobnost,
že náhodně vybraný „jedinec používá strategii i ∈ X. Střední hodnota počtu „potomků
jednoho „jedince používajícího strategii i ∈ X za jednotku času tedy bude
αi(t) =
n
j=1
aijxj(t).
Počet „jedinců jedinců požívajících strategii i ∈ X za časový interval délky ∆t bude
νi(t + ∆t) = νi(t) + νi(t)αi(t)∆t = νi(t)

1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t

 .
Dále
N(t + ∆t) =
n
i=1
νi(t + ∆t) =
n
i=1
νi(t)

1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t

 ,
170 KAPITOLA 11. MODELY KONFLIKTŮ
takže
xi(t + ∆t) =
νi(t + ∆t)
N(t + ∆t)
=
νi(t) 1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
n
i=1
νi(t) 1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
=
=
xi(t)N(t) 1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
N(t)
n
i=1
xi(t) 1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
= xi(t)
1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
1 +
n
i=1
n
j=1
xi(t)aijxj(t)∆t
=
= xi(t)
1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
1 + x(t)T Ax(t)∆t
.
Odtud dostáváme
xi(t + ∆t) − xi(t)
∆t
=
xi(t)
∆t





1 +
n
j=1
aijxj(t)∆t
1 + x(t)T Ax(t)∆t
− 1





=
=
xi(t)
∆t
n
j=1
aijxj(t)∆t − x(t)T Ax(t)∆t
1 + x(t)T Ax(t)∆t
= xi(t)
n
j=1
aijxj(t) − x(t)T Ax(t)
1 + x(t)T Ax(t)∆t
a limitním přechodem ∆t → 0 obdržíme systém obyčejných autonomních diferenciálních
rovnic pro neznámé funkce xi:
xi = xi


n
j=1
aijxj − xT
Ax

 , i = 1, 2, . . . , n,
který ještě můžeme přepsat na tvar
xi = xi eT
i Ax − xT
Ax , i = 1, 2, . . . , n. (11.3)
Věta 35. Je-li ¯x rovnovážnou strategií symetrické konečné hry s výplatními funkcemi určenými
maticí A, pak ¯x je stacionárním bodem autonomního systému (11.3).
Důkaz: Plyne bezprostředně z věty 34.
Obrácené tvrzení neplatí; každá ryzí strategie ei je stacionárním bodem systému (11.3),
ale ryzí strategie obecně není rovnovážná.
Věta 36. Je-li ˆx = (ˆx1, ˆx2, . . . , ˆxn)T ∈ (X) stabilním stacionárním bodem systému (11.3)
takovým, že
n
i=1
ˆxi = 1, pak je ˆx je rovnovážnou strategií symetrické konečné hry s výplatními
funkcemi určenými maticí A.
11.2. VYJÁDŘENÍ HRY POMOCÍ SYSTÉMU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 171
Důkaz: Označme
Fi(x) = xi eT
i Ax − xT
Ax = xi
n
k=1
aikxk −
n
l=1
n
k=1
alkxlxk .
Pak
∂Fi
∂xj
(x) = δij
n
k=1
aikxk −
n
l=1
n
k=1
alkxlxk + xi aij −
n
k=1
ajkxk −
n
l=1
aljxl =
= δij eT
i Ax − xT
Ax + xi aij − eT
j Ax − xT
Aej ,
kde
δij =
1, i = j
0, i = j
je Kroneckerův symbol. Prvky variační matice systému (11.3) v bodě ˆx tedy jsou
∂Fi
∂xj
(ˆx) =



ˆxi aij − eT
j Aˆx − ˆxT
Aej , ˆxi = 0,
δij eT
i Aˆx − ˆxT
Aˆx , ˆxi = 0.
Vlastní čísla variační matice splňují rovnici
det
∂Fi
∂xj
(ˆx) − δijλ = 0.
Buď i takové, že ˆxi = 0. Determinant rozvineme podle i-tého řádku:
eT
i Aˆx − ˆxT
Aˆx − λ · (příslušný algebraický doplněk).
Odtud plyne, že pro každé i takové, že ˆxi = 0, je číslo eT
i Aˆx− ˆxT
Aˆx vlastní hodnotou variační
matice. Ze stability stacionárního řešení ˆx plyne
eT
i Aˆx − ˆxT
Aˆx ≤ 0 pro každé i takové, že ˆxi = 0.
Současně platí
eT
i Aˆx − ˆxT
Aˆx = 0 pro každé i takové, že ˆxi = 0,
neboť ˆx je stacionární řešení systému (11.3). Celkem tedy
eT
i Aˆx − ˆxT
Aˆx ≤ 0 pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Je-li nyní x =
n
i=1
xiei ∈ (X) libovolná smíšená strategie, pak platí
xT
Aˆx =
n
i=1
xieT
i Aˆx ≤
n
i=1
xi ˆxT
Aˆx = ˆxT
Aˆx
n
i=1
xi = ˆxT
Aˆx,
což znamená, že ˆx je rovnovážnou strategií.
172 KAPITOLA 11. MODELY KONFLIKTŮ
Obrácené tvrzení opět neplatí. Uvažme například konečnou symetrickou hru s maticí
A =
1 0
0 0
.
Pak strategie ¯x = (0, 1)T je rovnovážná, neboť
(x, 1 − x)
1 0
0 0
0
1
= 0 = (0, 1)
1 0
0 0
0
1
pro libovolné x ∈ [0, 1]. Příslušný systém diferenciálních rovnic je
x = x (1, 0)
1 0
0 0
x
y
− (x, y)
1 0
0 0
x
y
= x(x − x2
) = x2
(1 − x),
y = y (0, 1)
1 0
0 0
x
y
− (x, y)
1 0
0 0
x
y
= y(−x2
) = −x2
y.
Stacionární body tedy jsou (0, y), (1, 0) pro libovolné y ∈ [0, 1]. Variační matice ve stacionárním
bodě (x, y) je tvaru
J(x, y) =
2x − 3x2 0
−2xy −x2 .
Zejména tedy
J(0, 1) =
0 0
0 0
.
Charakteristický polynom této matice má dvojnásobný kořen λ = 0, což znamená, že stacionární
řešení (0, 1) není stabilní.
11.2.1 Zmenšení dimenze systému (11.3)
Spolu se systémem (11.3) uvažujme počáteční podmínky
xi(0) = xi,0 ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n. (11.4)
Aby vektor x0 = (x1,0, x2,0, . . . , xn,0)T vyjadřoval smíšenou strategii konečné symetrické hry
s výplatní maticí A, musí platit
n
i=1
xi,0 = 1. (11.5)
Pro řešení x = x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T
systému (11.3) platí
d
dt
n
i=1
xi(t) − 1 =
n
i=1
xi(t) =
n
i=1
xi(t)


n
j=1
aijxj(t) − xT
(t)Ax(t)

 =
= xT
(t)Ax(t) 1 −
n
i=1
xi(t) ,
11.2. VYJÁDŘENÍ HRY POMOCÍ SYSTÉMU DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 173
takže
d
dt
n
i=1
xi(t) − 1
n
i=1
xi(t) − 1
= −xT
(t)Ax(t) .
Integrací poslední rovnosti v mezích od 0 do t dostaneme
ln
n
i=1
xi(s) − 1
t
s=0
= −
t
0
xT
(s)Ax(s)ds ,
neboli
n
i=1
xi(t) − 1 =
n
i=1
xi(0) − 1 exp


0
t
xT
(s)Ax(s)ds

 .
Z rovnosti (11.5) nyní plyne platnost rovnosti
n
i=1
xi(t) = 1
pro všechna t ≥ 0. Tato skutečnost umožňuje zredukovat dimenzi systému (11.3) o jedna. Při
následujících výpočtech budeme opět používat Kroneckerův symbol δij. Ze vztahu
xn = 1 −
n−1
j=1
xj
plyne
n
j=1
aijxj − xT
Ax =
n
j=1
aijxj −
n
l=1
n
j=1
xlaljxj =
=
n−1
j=1
aijxj + ain

1 −
n−1
j=1
xj

 −
n
l=1
xl


n−1
j=1
aljxj + aln

1 −
n−1
j=1
xj



 =
=
n−1
j=1
(aij − ain)xj + ain −
n
l=1
xl


n−1
j=1
(alj − aln)xj + aln

 =
=
n−1
j=1
(aij − ain)xj + ain −
n−1
l=1
xl


n−1
j=1
(alj − aln)xj + aln

 −
− 1 −
n−1
l=1
xl


n−1
j=1
(anj − ann)xj + ann

 =
174 KAPITOLA 11. MODELY KONFLIKTŮ
=
n−1
j=1
(aij − ain)xj + ain −
n−1
j=1
(anj − ann)xj − ann−
−
n−1
l=1
xl


n−1
j=1
(alj − aln − anj + ann)xj + aln − ann

 =
=
n−1
j=1
(aij − ain − anj + ann)xj + ain − ann−
−
n−1
l=1
xl


n−1
j=1
(alj − aln − anj + ann)xj + aln − ann

 =
=
n−1
l=1
n−1
j=1
δil [(alj − aln − anj + ann)xj + aln − ann] −
−
n−1
l=1
n−1
j=1
xl [(alj − aln − anj + ann)xj + aln − ann] =
=
n−1
l=1
n−1
j=1
(δil − xl) [(alj − aln − anj + ann)xj + aln − ann] .
Označme nyní
˜aij = aij − ain − anj + ann, bi = ann − ain
pro i, j = 1, 2, . . . , n − 1 a dále
˜A =





˜a11 ˜a12 . . . ˜a1(n−1)
˜a21 ˜a22 . . . ˜a2(n−1)
...
...
...
...
˜a(n−1)1 ˜a(n−1)2 . . . ˜a(n−1)(n−1)





, b =





b1
b2
...
bn−1





.
Předchozí úvaha a výpočet ukazují, že systém (11.3) lze zredukovat na
xi = xi(ei − x)T ˜Ax − b , i = 1, 2, . . . , n − 1. (11.6)
Nyní označujeme x = (x1, x2, . . . , xn−1)T
, ei = δi1, δij, . . . , δi(n−1)
T
.