Počítačové cvičení
předmětu M6130 Výpočetní statistika
Marie Budíková
2013
Poděkování
Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního
fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního
programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost v rámci
projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě
(CZ.1.07/2.2.00/15.0203).
Cvičení 1.: Průzkumová analýza jednorozměrných dat
Vedení pojišťovny (zaměřené na pojištění automobilů) požádalo manažera oddělení
marketingového výzkumu o provedení průzkumu, který by ukázal názory zákazníků na
uvažovaný nový systém pojištění aut.
Náhodně bylo vybráno 110 současných zákazníků pojišťovny a ti byli telefonicky
seznámeni s následujícím textem:
„Naše pojišťovna nabízí nový systém pojištění aut výhradně pro cesty nad 300 km. Za
roční poplatek 12 tisíc Kč budete pojištěni pro případ libovolných potíží s autem při všech
cestách nad 300 km. V případě nehody pojišťovna uhradí opravu, cestovní náklady a popř. i
některé další výlohy, jako je ubytování a stravování v hotelu, telefon atd.
Stupnicí od 1 (jednoznačný nezájem) do 5 (jednoznačný zájem) laskavě vyjádřete svůj
postoj k nabízenému novému typu pojištění. Dále uveďte svůj věk, počet cest nad 300 km
v loňském roce, stáří vašeho auta a váš rodinný stav. Děkujeme.“
Získané odpovědi byly zaznamenány do datového souboru pojist.sta a zakódovány takto:
POSTOJ ... postoj k novému typu pojištění (jednoznačný nezájem = 1, lehký nezájem = 2,
neutrální postoj = 3, lehký zájem = 4, jednoznačný zájem = 5).
RODSTAV ... rodinný stav (svobodný = 1, rozvedený, ovdovělý = 2, ženatý = 3).
VEK ... věk v dokončených letech.
STARIAUT ... stáří auta v letech.
CESTY ... počet cest nad 300 km v předešlém roce.
Ukázka části datového souboru:
Úkol 1.: Datový soubor pojist.sta načtěte do systému STATISTICA. Všem proměnným vytvořte
návěští a popište význam jednotlivých variant proměnných POSTOJ a RODSTAV.
Návod: Soubor – Otevřít – pojist.sta – Otevřít.
Názvy a vlastnosti proměnných se upravují v okně, do něhož vstoupíme, když 2x klikneme
myší na název proměnné. Návěští se píše do Dlouhého jména, význam variant do Text.
hodnot.
Úkol 2. Zjistěte absolutní a relativní četnosti a absolutní a relativní kumulativní četnosti
proměnných POSTOJ a RODSTAV.
Návod: Statistiky – Základní statistiky/Tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné
POSTOJ, RODSTAV – OK – Výpočet.
Tabulky se uloží do pracovního sešitu, listovat v nich můžeme pomocí stromové struktury
v levé části okna.
Tabulka četností pro POSTOJ
Tabulka četností:POSTOJ: postoj k novému typu pojišt (pojist.sta)
Kategorie
Četnost Kumulativní
četnost
Rel.četnost Kumulativní
rel.četnost
jednoznačný nezájem
lehký nezájem
neutrální postoj
lehký zájem
jednoznačný zájem
ChD
24 24 21,81818 21,8182
34 58 30,90909 52,7273
23 81 20,90909 73,6364
21 102 19,09091 92,7273
8 110 7,27273 100,0000
0 110 0,00000 100,0000
Tabulka četností pro RODSTAV
Tabulka četností:RODSTAV: rodinný stav zákazníka (pojist.sta)
Kategorie
Četnost Kumulativní
četnost
Rel.četnost Kumulativní
rel.četnost
svobodný
rozvedený
ženatý
ChD
48 48 43,63636 43,6364
16 64 14,54545 58,1818
46 110 41,81818 100,0000
0 110 0,00000 100,0000
Úkol 3. Absolutní četnosti proměnných POSTOJ a RODSTAV znázorněte graficky pomocí
výsečového diagramu.
Návod: V menu zvolíme Grafy – 2D Grafy – Výsečové grafy.
Vybereme proměnné POSTOJ, RODSTAV a dostaneme následující grafy:
Výsečový graf z POSTOJ
pojist.sta 6v*110c
POSTOJ
jednoznačný nezájem
jednoznačný zájem
lehký zájem
neutrální postoj lehký nezájem
jednoznačný nezájem
jednoznačný zájem
lehký zájem
neutrální postoj lehký nezájem
Výsečový graf z RODSTAV
pojist.sta 6v*110c
RODSTAV
svobodný
ženatý
rozvedený
svobodný
ženatý
rozvedený
Z prvního diagramu je zřejmé, že nejméně zákazníků projevilo jednoznačný zájem o nový typ
pojištění. Ostatní varianty jsou zastoupeny vcelku rovnoměrně.
Co se týká rodinného stavu zákazníků, vidíme, že v daném souboru jsou s přibližně stejnou
četností zastoupeni ženatí a svobodní zákazníci. Rozvedených či ovdovělých je nejméně.
Úkol 4. Vytvořte histogram proměnné VEK se šesti třídicími intervaly <23,29>, (29,35>,
(35,41>, (41,47>, (47,53>, (53,59>.
Návod: V menu vybereme Grafy – Histogramy – Proměnné VEK, OK, Detaily – zaškrtneme
Hranice – Určit hranice – zaškrtneme Zadejte hraniční rozmezí, Minimum 23, Krok 6,
Maximum 59 – OK – Vypneme normální proložení – OK. Dostaneme histogram v tomto
tvaru:
Histogram ( 5v*110c)
29 35 41 47 53 59
VEK
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Početpozorování
Ze vzhledu histogramu lze soudit, že v souboru zákazníku jsou nejvíce zastoupeni lidé od 35
do 47 let. Soubor vykazuje kladné zešikmení, protože mladší věkové kategorie jsou
zastoupeny s vyšší četností než starší věkové kategorie.
Úkol 5.: Vytvořte kategorizovaný histogram proměnné VEK podle proměnné RODSTAV.
Návod: Postupujeme stejně jako v předešlém případě a zvolíme Kategorizovaný – Kategorie
X – Zapnuto – Změnit proměnnou RODSTAV – OK - OK.
Histogram z VEK; kategorizovaný RODSTAV
pojist.sta 6v*110c
VEK
Početpozorování
RODSTAV: svobodný
23 29 35 41 47 53 59
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
RODSTAV: rozvedený
23 29 35 41 47 53 59
RODSTAV: ženatý
23 29 35 41 47 53 59
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Úkol 6.: Vypočtěte následující číselné charakteristiky:
POSTOJ (ordinální proměnná) – modus, medián, dolní a horní kvartil, kvartilová odchylka.
RODSTAV (nominální proměnná) – modus.
VEK, STARIAUT, CESTY (poměrové proměnné) – průměr, směrodatná odchylka, koeficient
variace, šikmost, špičatost.
Návod: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK, Proměnné –
zadáme název příslušné proměnné, Detailní výsledky – vybereme příslušné charakteristiky.
Popisné statistiky (pojist.sta)
Proměnná
Medián Modus Četnost
modu
Spodní
kvartil
Horní
kvartil
Kvartilové
rozpětí
POSTOJ 2 2 34 2 4 2
Vidíme, že medián, modus a dolní kvartil jsou stejné – je to varianta 2 „lehký nezájem“.
Horním kvartilem je varianta 4 „lehký zájem“.
Popisné statistiky (pojist.sta)
Proměnná
Modus Četnost
modu
RODSTAV 1 48
V našem datovém souboru je nejčetnější variantou rodinného stavu varianta 1 „svobodný“.
Popisné statistiky (pojist.sta)
Proměnná Průměr Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
VEK
STARIAUT
CESTY
39,58182 8,823844 22,29267 0,191625 -0,59532
4,16364 2,359938 56,67974 0,905405 0,35924
7,16364 5,304537 74,04811 3,150711 15,99807
Průměrný věk zákazníka je 39 let a 7 měsíců se směrodatnou odchylkou 8 let a 10 měsíců.
Rozložení věku vykazuje kladnou šikmost (podprůměrné hodnoty věku jsou četnější než
nadprůměrné) a zápornou špičatost (rozložení věku je plošší než normální rozložení).
Průměrné stáří auta je 4 roky a 2 měsíce se směrodatnou odchylkou 2 roky a 4 měsíce.
Rozložení stáří aut je kladně zešikmené a špičatější než normální rozložení.
Průměrný počet cest nad 300 km je 7,2 se směrodatnou odchylkou 5,3. Rozložení počtu cest
na 300 km je značně kladně zešikmené a podstatně špičatější než normální rozložení.
Z porovnání variability uvedených tří proměnných pomocí koeficientů variace (koeficient
variace je podíl směrodatné odchylky a průměru, často se udává v procentech) vyplývá, že
nejvyšší variabilitu má proměnná CESTY, nejnižší VEK.
Úkol 7.: Zjistěte, jaký je průměrný počet cest nad 300 km pro svobodné, rozvedené , ženaté
zákazníky pojišťovny. Výpočet doplňte krabicovým diagramem.
Návod: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Rozklad&jednofakt. ANOVA – OK –
Proměnné – Závisle proměnné CESTY, Grupovací proměnná RODSTAV – OK – OK –
Popisné statistiky – ponecháme jen N platných – Výpočet
Rozkladová tabulka popisných statistik (pojist.sta)
N=110 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
RODSTAV CESTY
průměr
CESTY
N
svobodný 7,895833 48
rozvedený 5,750000 16
ženatý 6,891304 46
Vš.skup. 7,163636 110
Vidíme, že nejvyšší průměrný počet cest nad 300 km mají svobodní zákazníci pojišťovny.
Vytvoření krabicového grafu: Grafy – 2D Grafy – Krabicové grafy – Proměnné – Závisle
proměnné CESTY, Grupovací proměnná RODSTAV – OK – OK
Krabicový graf z CESTY seskupený RODSTAV
pojist.sta 6v*110c
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémy
svobodný rozvedený ženatý
RODSTAV
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
CESTY
Ve všech třech variantách rodinného stavu se vyskytují odlehlé hodnoty, u svobodných
zákazníků pojišťovny jsou dokonce i extrémní hodnoty.
Úkol 8.: Pro proměnnou STARIAUT sestrojte N-P graf a s jeho pomocí posuďte normalitu
této proměnné.
Návod: Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné STARIAUT –
OK.
Normální p-graf STARIAUT (pojist 5v*110c)
0 2 4 6 8 10 12 14
Pozorovaná hodnota
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Očekávanánormálního
Tečky v NP grafu se značně odchylují od zakreslené přímky a řadí se do konkávního tvaru.
Datový soubor vykazuje kladné zešikmení, nejedná se tedy o normální rozložení.
Úkol 9.: Pro proměnnou STARIAUT nakreslete histogram s proloženou hustotou normálního
rozložení. Ponechejte implicitní počet třídicích intervalů.
Návod: Grafy – Histogramy – Proměnné STARIAUT – OK.
Histogram z STARIAUT
pojist.sta 6v*110c
STARIAUT = 110*1*normal(x; 4,1636; 2,3599)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
STARIAUT
0
5
10
15
20
25
30
35
Početpozorování
Tvar histogramu svědčí o kladně zešikmeném rozložení, jehož hustota neodpovídá hustotě
normálního rozložení.
Příklad k samostatnému řešení:
Načtěte datový soubor lide.sta.
1. Vytvořte tabulku absolutních a relativních četností proměnné SEX. Četnosti znázorněte
pomocí výsečového diagramu.
Tabulka četností:Sex (Lide.sta)
Kategorie Četnost Rel.četnost
muž
žena
16 50
16 50
Výsečový graf z Sex
Lide.sta 5v*32c
Sex
mužžena mužžena
2. Vytvořte histogram proměnné VEK se šesti třídicími intervaly (16,23>, (23,30>, (30,37>,
(37,43>, (43,50>, (50,57> a zakreslenou Gaussovou křivkou.
Histogram z Vek
Lide.sta 5v*32c
Vek = 32*7*normal(x; 34,4375; 9,5172)
16 23 30 37 44 51 58
Vek
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Početpozorování
3. Vytvořte kategorizované histogramy proměnné BMI pro muže a pro ženy.
Histogram z BMI; kategorizovaný Sex
Lide.sta 5v*32c
Sex: muž BMI = 16*1*normal(x; 23,6091; 1,3199)
Sex: žena BMI = 16*1*normal(x; 18,741; 1,1113)
BMI
Početpozorování
Sex: muž
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sex: žena
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
4. Vypočtěte průměr, směrodatnou odchylku, koeficient variace, šikmost a špičatost
proměnné BMI pro muže a pro ženy. Výsledky udávejte na dvě destinná místa.
Pro muže:
Popisné statistiky (Lide.sta)
Zhrnout podmínku: Sex=1
Proměnná N platných Průměr Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
BMI 16 23,61 1,32 5,59 -0,78 -0,25
Pro ženy
Popisné statistiky (Lide.sta)
Zhrnout podmínku: Sex=2
Proměnná N platných Průměr Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
BMI 16 18,74 1,11 5,93 1,39 2,65
5. Sestrojte N-P plot pro proměnnou Hmotnost.
Normální p-graf z Hmotnost
Lide.sta 5v*32c
40 50 60 70 80 90 100
Pozorovaná hodnota
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Očekávanánormálníhodnota
6. Vytvořte kategorizované krabicové diagramy pro proměnnou Vyska pro muže a pro ženy.
Krabicový graf z Vyska seskupený Sex
Lide.sta 5v*32c
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémy
muž žena
Sex
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
Vyska
7. K extrémní hodnotě výšky umístěte jméno muže, kterému tato výška přísluší.
(Jan)
Cvičení 2.: Shluková analýza
V souboru stanice.sta jsou uloženy údaje (v μg/m3
) o průměrných ročních koncentracích
oxidu siřičitého v letech 1993 – 1998 na deseti brněnských měřicích stanicích: Dobrovského,
Húskova, Krasová, Kroftova, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, Polní, Přízřenice,
Skaunicové, Soběšice, Tuřany. Cílem je najít metodami shlukové analýzy skupiny stanic,
které vykazují podobné rysy chování.
Datový soubor:
1
Stanice
2
r93
3
r94
4
r95
5
r96
6
r97
7
r98
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
DOB 6,828 5,202 5,137 11,568 4,104 3,097
HUS 9,241 9,281 10,259 10,442 7,035 3,857
KRA 7,205 5,535 5,197 13,741 8,651 4,085
KRO 24,039 9,018 12,237 18,189 15,601 9,762
MZL 23,079 16,222 13,353 20,363 15,312 7,925
POL 25,005 14,568 10,723 15,76 11,068 4,916
PRI 15,874 15,251 13,241 19,435 16,943 8,081
SKA 14,297 9,49 7,209 14,434 10,961 8,063
SOB 19,728 13,772 12,943 20,948 17,564 11,039
TUR 22,524 16,708 19,502 24,144 18,377 11,024
Úkol 1.: Soubor stanice.sta upravte tak, aby případy 1 až 10 byly pojmenovány názvy stanic.
Návod: Data – Správce jmen případů – Délka jména příp. 5, Přenést jména případů z
proměnné Stanice, OK.
Úkol 2.: Prozkoumejte proměnné r93 až r98 pomocí krabicových diagramů.
Návod: Grafy – 2D Grafy – Krabicové grafy –Typ grafu vícenásobný – Proměnné r93, ...,
r98, OK, OK.
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémy
r93 r94 r95 r96 r97 r98
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Interpretace: Z krabicových diagramů je vidět, že proměnné r93 až r98 vykazují velmi
rozdílnou variabilitu. Nejvyšší variabilitu ve sledovaných deseti stanicích měly koncentrace
oxidu siřičitého v roce 1993, naopak nejmenší v roce 1998.
Úkol 3.: Vzhledem k velmi rozdílné variabilitě proměnných r93 až r98 vytvořte
standardizované proměnné a nadále pracujte s nimi.
Návod: Data – Standardizovat – Proměnné r93, ..., r98, OK.
1
Stanice
2
r93
3
r94
4
r95
5
r96
6
r97
7
r98
DOB
HUS
KRA
KRO
MZL
POL
PRI
SKA
SOB
TUR
DOB -1,398 -1,4569 -1,3398 -1,2048 -1,7224 -1,3635
HUS -1,0591 -0,514 -0,1653 -1,4591 -1,1255 -1,11
KRA -1,3451 -1,3799 -1,326 -0,714 -0,7964 -1,0339
KRO 1,01924 -0,5748 0,28819 0,29058 0,61898 0,85957
MZL 0,88441 1,09043 0,54408 0,78159 0,56013 0,24685
POL 1,15491 0,7081 -0,0589 -0,258 -0,3042 -0,7568
PRI -0,1275 0,86598 0,5184 0,57199 0,89228 0,29889
SKA -0,349 -0,4657 -0,8647 -0,5575 -0,326 0,29288
SOB 0,41376 0,5241 0,45007 0,91371 1,01875 1,2855
TUR 0,80646 1,20277 1,95397 1,63553 1,18432 1,2805
Úkol 4.: Z proměnných r93 až r98 vytvořte dvě hlavní komponenty a graficky znázorněte
rozmístění stanic na ploše prvních dvou hlavních komponent.
Návod: Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Hlavní komponenty & klasifikační
analýza – Proměnné r93, ..., r98, OK, OK – Počet faktorů 2, zaškrtneme 2D graf fakt.
souřadnic případů.
Aktiv.
DOB
HUS
KRAKRO
MZL
POL
PRI
SKA
SOB
TUR
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Faktor 1: 83,15%
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Faktor2:7,87%
Interpretace: Z rozmístění stanic na ploše prvních dvou hlavních komponent lze usoudit, že
stanice DOB, KRA, HUS, SKA mohou tvořit jeden shluk, stanice KRO, SOB, PRI, TUR,
MZL druhý shluk a stanice POL se chová poněkud atypicky.
Úkol 5.: Pro standardizované proměnné r93 až r98 proveďte shlukovou analýzu
s euklidovskou vzdáleností a třemi metodami: nejbližšího souseda, nejvzdálenějšího souseda
a průměrné vazby. Výsledky znázorněte pomocí dendrogramu.
Návod: Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Shluková analýza – Spojování
(hierarchické shlukování) – OK – Proměnné r93 až r98 – OK – na záložce Detaily vybereme
Shlukovat Případy (řádky), pravidlo slučování ponecháme Jednoduché spojení, míru
vzdálenosti ponecháme Euklidovské vzd. – OK – Horizontální graf hierarch. stromu. Pro další
dvě metody na záložce Detaily vybereme pravidlo slučování Úplné spojení resp. Nevážený
průměr skupin dvojic.
Dendrogram pro metodu nejbližšího souseda
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Vzdálen. spojení
TUR
POL
SOB
PRI
MZL
KRO
SKA
HUS
KRA
DOB
Interpretace: Stanice DOB, KRA, HUS a STA tvoří jeden shluk, stanice KRO, MZL, PRI,
DOB, POL a TUR druhý shluk.
Dendrogram pro metodu nejvzdálenějšího souseda
0 1 2 3 4 5 6 7
Vzdálen. spojení
TUR
SOB
PRI
MZL
KRO
SKA
POL
HUS
KRA
DOB
Interpretace: Stanice DOB, KRA, HUS, POL a STA tvoří jeden shluk, stanice KRO, MZL,
PRI, SOB a TUR druhý shluk.
Dendrogram pro metodu průměrné vazby
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Vzdálen. spojení
POL
TUR
SOB
PRI
MZL
KRO
SKA
HUS
KRA
DOB
Interpretace: Stanice DOB, KRA, HUS a STA tvoří jeden shluk, stanice KRO, MZL, PRI,
SOB, TUR a POL druhý shluk.
Shrneme-li výsledky všech tří metod, je zřejmé, že stanice DOB, KRA, HUS a STA zřejmě
patří do jednoho shluku, zatímco stanice KRO, MZL, SOB a TUR patří do druhého shluku.
Příslušnost stanice POL k jednomu či druhému shluku není jednoznačná.
Úkol 6.: Vypočtěte a pomocí sloupkových diagramů znázorněte průměrné roční koncentrace
SO2 a směrodatné odchylky za celé sledované období pro všech deset stanic.
Návod: Je nutné se vrátit k původním nestandardizovaným hodnotám, tj. znovu načíst soubor
stanice.sta a pojmenovat případy názvy stanic – viz úkol 1. Pak je zapotřebí soubor
transponovat – zaměnit řádky za sloupce: Data – Transponovat – Soubor. Vymažeme 1.
řádek: Případy – Odstranit – Od případu 1 do případu 1, OK. Pomocí Popisných statistik
vypočteme průměry a směrodatné odchylky proměnných DOB až TUR.
Popisné statistiky (Tema4)
Proměnná Průměr Sm. odch.
DOB
HUS
KRA
KRO
MZL
POL
PRI
SKA
SOB
TUR
5,98933 3,003043
8,35250 2,513866
7,40233 3,496625
14,80767 5,707322
16,04233 5,326765
13,67333 6,719292
14,80417 3,873187
10,74233 3,083617
15,99900 3,993683
18,71317 4,645334
Vytvoření sloupkových diagramů pro průměry: ve workbooku klikneme pravým tlačítkem
myši na sloupek Průměr: Grafy bloku dat – Vlastní graf bloku podle sloupce – Typ grafu –
Sloupcové/pruhové grafy - OK. Podobně pro směrodatné odchylky.
Sloupkový diagram pro průměry
DOB HUS KRA KRO MZL POL PRI SKA SOB TUR
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Slopupkový diagram pro sm. odchylky
DOB HUS KRA KRO MZL POL PRI SKA SOB TUR
0
1
2
3
4
5
6
7
Interpretace: Stanice v 1. shluku (DOB, HUS, KRA, SKA) vykazují za sledované období
poměrně nízké průměrné koncentrace SO2 (od 6 μg/m3
po 11 μg/m3
) i malé směrodatné
odchylky (od 2,5 μg/m3
po 3,5 μg/m3
). Druhý shluk obsahuje stanice s vysokými
koncentracemi (od 13 μg/m3
po 19 μg/m3
) a velkými směrodatnými odchylkami (od 3,8
μg/m3
po 6,8 μg/m3
).
Příklad k samostatnému řešení:
U 12 velmi slavných amerických hráčů košíkové byly v sezóně 1989 zjištěny hodnoty osmi
proměnných.
Výška – výška hráče v cm
Hmotnost – hmotnost hráče v kg
FgPct – první antropometrická charakteristika
FtPct – druhá antropometrická charakteristika
Body – průměrný počet dosažených bodů
Doskoky - průměrný počet doskoků
Asistence – průměrný počet asistencí
Fauly – průměrný počet faulů
Data jsou uložena v souboru hraci_kosikove.sta.
1
Jméno hráče
2
Vyska
3
Hmotnost
4
Fgpct
5
Ftpct
6
Body
7
Doskoky
8
Asistence
9
Fauly
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Jabbar K.A. 218,6 105,0 55,9 72,1 24,6 11,2 3,6 3
Barry R. 200,8 93,6 44,9 90,0 23,2 6,7 4,9 3
Baylor E. 195,7 102,7 43,1 78,0 27,4 13,5 4,3 3,1
Bird L. 205,9 100,4 50,3 88,0 25,0 10,2 6,1 2,7
Chamberlain W. 216,0 125,5 54,0 51,1 30,1 22,9 4,4 2
Cousy B. 184,3 79,9 37,5 80,3 18,4 5,2 7,5 2,4
Erving J. 199,5 91,3 50,6 77,8 24,2 8,5 4,2 2,8
Johnson M. 205,9 98,1 53,0 83,4 19,5 7,4 11,2 2,4
Jordan M. 198,3 89,0 51,3 84,8 32,6 6,2 5,9 3,1
Robertson O. 195,7 95,8 48,5 83,8 25,7 7,5 9,5 2,8
Russell B. 207,1 100,4 44,0 56,1 15,1 22,6 4,3 2,7
West J. 189,4 82,2 47,4 81,4 27,0 5,8 6,7 2,6
Metodami shlukové analýzy najděte skupiny hráčů podobných vlastností.
(Příklad je převzat z knihy M. Meloun, J. Militký, M. Hill: Počítačová analýza
vícerozměrných dat. Academia Praha 2005)
Cvičení 3: Základní pojmy matematické statistiky I
Úkol 1.: Průzkum chování výběrového průměru a výběrového rozptylu
1. Vytvořte nový datový soubor o 103 proměnných a 100 případech. Pomocí programu
gener.svb, který si stáhnete z Učebních materiálů, se naplní prvních 100 proměnných 100
realizacemi náh. veličin Xi ~ Rs(0,1), i=1, …, 100, do proměnné v101 se uloží pořadová čísla
1 až 100, do proměnné v102 (resp. v103) se uloží průměry (resp. rozptyly) proměnných v1 až
v100.
Option Base 1
Sub Main
Dim s As Spreadsheet
Set s = ActiveSpreadsheet
For i = 1 To 100
s.Variable(i).FillRandomValues
'do promennych v1 az v100 se ulozi nahodna cisla z intervalu(0,1)
Next i
s.VariableLongName(101) = "=v0"
'do promenne v101 se ulozi poradova cisla 1 az 100
s.VariableLongName(102) = "=mean(v1:v100)"
'do promenne v102 se ulozi prumery promennych v1 az v100
s.VariableLongName(103) = "=stdev(v1:v100)^2"
'do do promenne v103 se ulozi rozptyly promennych v1 az v100
s.Recalculate
End Sub
(Makro se spouští pomocí modré šipky na panelu nástrojů.)
Proměnnou v101 přejmenujte na PORADI, v102 na PRUMER a v103 na ROZPTYL. Vzniklý
datový soubor uložte pod názvem uniform.sta.
2. Graficky znázorněte hodnoty některé z proměnných v1, …, v100 (např. v1) a hodnoty
proměnné PRUMER.
Návod: Grafy – Bodové grafy – Typ grafu Vícenásobný – vypneme Lineární proložení –
Proměnné X PORADI, Y v1, PRUMER, OK, OK. Vidíme, že hodnoty proměnné v1 se
nacházejí mezi 0 a 1, zatímco hodnoty proměnné PRUMER se koncentrují v úzkém pásu
kolem 0,5.
Bodový graf z více proměnných proti poradi
Tabulka1 103v*100c
Prom1
prumer
-20 0 20 40 60 80 100 120
poradi
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
3. Vypočtěte průměr a rozptyl např. proměnné v1 a proměnné PRUMER. Průměr proměnné
v1 by měl být blízký 0,5, rozptyl 1/12 = 0,083. Průměr proměnné PRUMER by se měl blížit
0,5, zatímco rozptyl by měl být 100 x menší než 1/12, tj. 0,00083. Dále vypočtěte průměr
proměnné ROZPTYL. Měl by se blížit 1/12 = 0,083.
Popisné statistiky (uniform)
Proměnná Průměr Rozptyl
Prom1
PRUMER
0,536605 0,078676
0,503984 0,000783
Popisné statistiky (uniform)
Proměnná Průměr
ROZPTYL 0,083143
4. Nakreslete histogram pro proměnnou v1 a pro proměnnou PRUMER. První histogram se
blíží úsečce, druhý Gaussově křivce.
Histogram z Prom1
Tabulka1 103v*100c
0,0107 0,1197 0,2287 0,3377 0,4467 0,5557 0,6647 0,7737 0,8827 0,9917
Prom1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Početpozorování
Histogram z prumer
Tabulka1 103v*100c
prumer = 100*0,0128*normal(x; 0,5029; 0,026)
0,4422 0,4551 0,4679 0,4808 0,4936 0,5065 0,5193 0,5321 0,5450 0,5578
prumer
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Početpozorování
5. Celý postup zopakujte pro exponenciální rozložení s parametrem λ=2. V programu
gener.stb napište místo s.Variable(i).FillRandomValues
s.VariableLongName(i) = "=Vexpon(rnd(1);2) "
Připomeneme si, že průměr proměnné v1 i průměr proměnné PRUMER by se měl blížit 1/2,
rozptyl proměnné v1 by měl být blízký 1/4 a rozptyl proměnné PRUMER by měl být 100 x
menší, tj. 0,0025. Průměr proměnné ROZPTYL by se neměl příliš lišit od 1/4.
Úkol 2.: Ilustrace nestrannosti výběrové distribuční funkce
1. Vytvořte nový datový soubor o třech proměnných a 1000 případech.
2. Do proměnné v1 uložte 1000 realizací náhodné veličiny s rozložením N(0,1) tak, že
v Dlouhém jménu použijte příkaz =vnormal(rnd(1);0;1)
3. Hodnoty proměnné v1 setřiďte podle velikosti: Data - Setřídit.
4. Proměnnou v2 transformujte tak, že v Dlouhém jménu použijte příkaz =v0/1000.
5. Do proměnné v3 uložte hodnoty distribuční funkce rozložení N(0,1). Do Dlouhého jména
napište příkaz =INormal(v1;0;1)
6. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, kde na osu x vyneste v1 a na osu y v2 a v3.
Bodový graf z více proměnných proti Prom1
Tabulka2 3v*1000c
Prom2
Prom3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Prom1
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Vidíme, že průběh výběrové distribuční funkce F1000(x) (modrá čára) je velmi podobný
průběhu distribuční funkce Ф(x) (červená čára).
7. Postup zopakujte pro rozsah výběru n = 100. Uvidíte, průběh výběrové distribuční funkce
F100(x) se od průběhu distribuční funkce Ф(x) liší výrazněji.
Úkol 3.: Sledování vlivu rozsahu výběru na šířku intervalu spolehlivosti (při α=0,05)
Pro hypotetické náhodné výběry rozsahu n (n = 5, 7, 9, …, 85) z rozložení N(0,1), jejichž
výběrové průměry se vždy realizovaly hodnotou 0, vypočtěte dolní a horní meze 95%
intervalů spolehlivosti pro μ a graficky znázorněte závislost těchto mezí na rozsahu n.
Upozornění: Meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu při
známém rozptylu se počítají podle vzorců: d = m -
n

u1-α/2, h = m +
n

u1-α/2
Návod: Z Učebních materiálů stáhněte program intsp1.svb a otevřete ho v programovacím
okně.
Option Base 1
Dim s As Spreadsheet
Sub Main
alfa = 0.05
'pevně zvolené riziko
m = 0
'pevně zvolený průměr
sigma = 1
'pevně zvolená směrodatná odchylka
n = 3
'počáteční rozsah výběru
Set s = ActiveSpreadsheet
For I = 1 To 41
s.Cells(I, 2) = m - VNormal(1 - alfa / 2, 0, 1) / Sqrt(n + 2 * I)
'dolní mez intervalu spolehlivosti
s.Cells(I, 3) = m + VNormal(1 - alfa / 2, 0, 1) / Sqrt(n + 2 * I)
'horní mez intervalu spolehlivosti
s.Cells(I, 1) = n + 2 * I
'zvětšení rozsahu výběru o 2
Next I
End Sub
Vytvořte nový datový soubor o 3 proměnných a 41 případech. Po spuštění programu intsp1 se
do proměnné v1 uloží rozsahy výběrů 5, 7, ..., 85, do v2 (resp. v3) dolní (resp. horní) meze
95% intervalů spolehlivosti pro μ. Vytvoření grafu: Grafy – Bodové grafy – Typ grafu
Vícenásobný – vypneme Lineární proložení – Proměnné X v1, Y v2, v3 OK, OK.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Prom1
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Vidíme, že šířka intervalu spolehlivosti klesá se zvětšujícím se rozsahem náhodného výběru, zprvu
rychle a pak stále pomaleji.
Úkol 4.: Sledování vlivu rizika na šířku intervalu spolehlivosti (při konstatním rozsahu
výběru)
Pro hypotetický náhodný výběr rozsahu n=25 z rozložení N(0,1), jehož výběrový průměr se
realizoval hodnotou 0, vypočtěte dolní a horní meze 100(1-α)% intervalů spolehlivosti
(α=0,20, 0,19, …, 0,01) pro μ a graficky znázorněte závislost těchto mezí na riziku α.
Návod: Z Učebních materiálů stáhněte program intsp2.svb a otevřete ho v programovacím
okně.
Option Base 1
Dim s As Spreadsheet
Sub Main
alfa = 0.21
'počáteční hodnota rizika
m = 0
'pevně zvolený průměr
sigma = 1
'pevně zvolená směrodatná odchylka
n = 25
'pevně zvolený rozsah výběru
Set s = ActiveSpreadsheet
For I = 1 To 20
s.Cells(I, 2) = m - VNormal(1 - (alfa - I / 100) / 2, 0, 1) / Sqrt(n)
'dolní mez intervalu spolehlivosti
s.Cells(I, 3) = m + VNormal(1 - (alfa - I / 100) / 2, 0, 1) / Sqrt(n)
'horní mez intervalu spolehlivosti
s.Cells(I, 1) = alfa - I / 100
'zmenšení rizika o 1/100
Next I
End Sub
Vytvořte nový datový soubor o 3 proměnných a 20 případech. Po spuštění programu intsp2 se
do proměnné v1 uloží rizika 0,20, 0,19, ..., 0,01, do v2 (resp. v3) dolní (resp. horní) meze
100(1-α)% intervalů spolehlivosti pro μ. Vytvoření grafu: stejným způsobem jako
v předešlém případě.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
Prom1
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
Vidíme, že šířka intervalu spolehlivosti s rostoucím rizikem klesá.
Cvičení 4.: Základní pojmy matematické statistiky II, testy normality
Úkol: Měřením délky deseti válečků byly získány hodnoty (v mm): 5,38 5,36 5,35 5,40
5,41 5,34 5,29 5,43 5,42 5,32. Těchto deset hodnot považujeme za realizace náhodného
výběru rozsahu 10 z normálního rozložení s neznámou střední hodnotou μ a známou
směrodatnou odchylkou σ = 0,04.
Na hladině významnosti 0,1 testujte nulovou hypotézu, že střední hodnota délky válečků je
5,35 mm. Proti nulové hypotéze postavte
a) oboustrannou alternativu
b) levostrannou alternativu
c) pravostrannou alternativu.
Test proveďte pomocí
a) kritického oboru
b) intervalu spolehlivosti
c) p-hodnoty.
Systém STATISTICA použijte jako inteligentní kalkulačku.
Návod:
Formulace nulové hypotézy: H0: μ = 5,35, formulace alternativní hypotézy:
ad a) H1: μ ≠ 5,35, ad b) H1: μ < 5,35, ad c) H1: μ > 5,35
Jedná se o jednovýběrový z-test.
Testová statistika T0 =
n
cM


bude mít rozložení N(0, 1), pokud je nulová hypotéza
pravdivá.
Provedení testu:
Ad a) Pomocí kritického oboru
Kritický obor pro oboustrannou alternativu:
W =    ,uu, 2/12/1 .
Kritický obor pro levostrannou alternativu:
W = ).u, 1 
Kritický obor pro pravostrannou alternativu:
W = ),u1  .
Pokud Wt0  , H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Ad b) Pomocí intervalu spolehlivosti
Oboustranný interval spolehlivosti pro μ při známém σ:
(d, h) = (m -
n

u1-α/2, m +
n

u1-α/2).
Pravostranný interval spolehlivosti pro μ při známém σ:
(-∞, h) = (-∞, m +
n

u1-α).
Levostranný interval spolehlivosti pro μ při známém σ:
(d, ∞) = (m -
n

u1-α, ∞).
Pokud číslo c (v našem případě 5,35) nepatří do 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro μ, H0
zamítáme na hladině významnosti α.
Ad c) Pomocí p-hodnoty
Vzhledem k tomu, že testová statistika T0 je spojitá náhodná veličina, můžeme použít úpravu
P(T0 ≥ t0) = P(T0 > t0) = 1 – Φ(t0).
Vzorec pro výpočet p-hodnoty pro oboustrannou alternativu:
p = 2 min{P(T0 ≤ t0), P(T0 ≥ t0)} = 2 min{Φ(t0), 1 – Φ(t0)}.
Vzorec pro výpočet p-hodnoty pro levostrannou alternativu:
p = P(T0 ≤ t0) = Φ(t0).
Vzorec pro výpočet p-hodnoty pro pravostrannou alternativu:
p = P(T0 ≥ t0) = 1 – Φ(t0).
Pokud p ≤ α, H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Zjištěné hodnoty zapíšeme do nového datového souboru o 10 případech a jedné proměnné,
kterou nazveme X.
Pomocí Popisných statistik spočteme realizaci výběrového průměru: m = 5,37.
Pro pomocné výpočty otevřeme nový datový soubor o jednom případu a osmi proměnných,
které nazveme t0, p1, p2, p3, kv1, kv2, d, h, d1, h2, p.
Do proměnné t0 uložíme realizaci testové statistiky. Do jejího Dlouhého jména napíšeme
vzorec pro výpočet testové statistiky:
= (5,37-5,35)/(0,04/sqrt(10)).
Zjistíme, že t0 = 1,5811.
Nyní již můžeme provést test pomocí p-hodnoty.
Do Dlouhého jména proměnné p1 napíšeme vzorec pro výpočet p-hodnoty pro oboustrannou
alternativu:
=2*min(INormal(t0;0;1);1-INormal(t0;0;1))
Vypočtená p-hodnota je 0,1138, což je větší než hladina významnosti 0,1 a nulovou hypotézu
nelze na této hladině významnosti zamítnout ve prospěch oboustranné alternativy.
Do Dlouhého jména proměnné p2 napíšeme vzorec pro výpočet p-hodnoty pro levostrannou
alternativu:
=INormal(t0;0;1)
I tato p-hodnota (0,9431) je větší než 0,1, což znamená, že nulovou hypotézu nelze na hladině
významnosti 0,1 zamítnout ve prospěch levostranné alternativy.
Do Dlouhého jména proměnné p3 napíšeme vzorec pro výpočet p-hodnoty pro pravostrannou
alternativu:
=1-INormal(t0;0;1)
Vyjde nám 0,0569, tedy na hladině významnosti 0,1 zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch
pravostranné alternativy. S rizikem omylu nejvýše 10 % jsme prokázali, že střední hodnota
délky válečků je větší než 5,35 mm.
Dále provedeme test pomocí kritického oboru, nejprve pro oboustrannou alternativu.
Do proměnné kv1 uložíme kvantil u1-α/2 = u0,95:
= VNormal(0,95;0;1).
Vyjde nám 1,6449.
Kritický obor pro oboustrannou alternativu je tedy   ,6449,16449,1,W .
Vidíme, že testová statistika nepatří do W, což znamená, že H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch oboustranné alternativy.
Pro testování nulové hypotézy proti jednostranným alternativám musíme znát kvantil u1-α =
u0,9. Uložíme ho do proměnné kv2:
= VNormal(0,9;0;1).
Vyjde nám 1,2816.
Kritický obor pro levostrannou alternativu je tedy ).2816,1,W 
Vidíme, že testová statistika 1,5811 nepatří do W, což znamená, že H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch levostranné alternativy.
Kritický obor pro pravostrannou alternativu je tedy ),2816,1W 
Vidíme, že testová statistika1,5811 patří do W, což znamená, že H0 zamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch pravostranné alternativy.
Nakonec provedeme test pomocí intervalu spolehlivosti.
Pro oboustrannou alternativu:
Do Dlouhého jména proměnné d (resp. h) napíšeme vzorec pro dolní (resp. horní) mez
oboustranného 90% intervalu spolehlivosti pro μ při známém σ:
=5,37-0,04*kv1/sqrt(10) (resp. =5,37+0,04*kv1/sqrt(10))
Zjistíme, že číslo c = 5,35 patří do intervalu (5,3492; 5,3908), tedy H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch oboustranné alternativy.
Pro levostrannou alternativu:
Do Dlouhého jména proměnné h2 napíšeme vzorec pro horní mez pravostranného 90%
intervalu spolehlivosti pro μ při známém σ:
=5,37+0,04*kv2/sqrt(10)
Protože 5,35 patří do intervalu (-∞; 5,3862), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,1 ve
prospěch levostranné alternativy.
Pro pravostrannou alternativu:
Do Dlouhého jména proměnné d2 napíšeme vzorec pro dolní mez levostranného 90%
intervalu spolehlivosti pro μ při známém σ:
=5,37-0,04*kv2/sqrt(10)
Protože 5,35 nepatří do intervalu (5,3538; ∞), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,1 ve
prospěch pravostranné alternativy.
Kolmogorovův – Smirnovův test normality dat
Testujeme nulovou hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního
rozložení s parametry μ a σ2
. Distribuční funkci tohoto rozložení označme ΦT (x). Nechť
Fn(x) je výběrová distribuční funkce. Testovou statistikou je statistika
)x()x(FsupD Tn
x
n 

. Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když Dn
≥ Dn(α), kde Dn(α) je tabelovaná kritická hodnota.
V případě, že neznáme parametry μ a σ2
normálního rozložení (což je nejčastější případ),
změní se rozložení testové statistiky Dn. V takovém případě jde o Lilieforsovu modifikaci
Kolmogorovova – Smirnovova testu. Příslušné modifikované kvantily byly určeny pomocí
simulačních studií.
Poznámka ke K-S testu ve STATISTICE
Test normality poskytuje hodnotu testové statistiky (ozn. max D) a dvě p-hodnoty. (p-hodnota
vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace x1, ..., xn náhodného výběru X1, ..., Xn
podporují nulovou hypotézu, je-li pravdivá. P-hodnotu porovnáváme s námi zvolenou
hladinou významnosti α. Jestliže p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α,
je-li p-hodnota > α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α.) První p-hodnota se
vztahuje k případu, kdy střední hodnotu μ a rozptyl σ2
známe předem, druhá (ozn.
Lilieforsovo p) se vztahuje k případu, kdy μ a σ2
neznáme. Objeví-li se ve výstupu p = n.s. (tj.
non significant), pak hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Shapirův – Wilkův test normality dat
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení N(μ, σ2
).
Test je založen na zjištění, zda body v Q-Q grafu jsou významně odlišné od regresní přímky
proložené těmito body.
(S-W test se používá především pro výběry menších rozsahů, n < 50, ale nyní již existuje
modifikace pro velká n. V systému STATISTICA je implementováno rozšíření na n kolem
5000.)
Andersonův – Darlingův test
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního rozložení
N(μ, σ2
).
Testová statistika má tvar:
   
,n
s
mx
1ln
s
mx
ln)1i2(
n
1
AD
n
1i
i1ni






























 





 
 

kde x(i) jsou vzestupně uspořádané realizace náhodného výběru, Φ je distribuční funkce
rozložení N(0,1). Hypotéza H0 se zamítá na hladině významnosti , je-li vypočítaná hodnota
testové statistiky AD větší než kritická hodnota D1-α.
Úkol 1. : U 48 studentek VŠE v Praze byla zjišťována výška a obor studia (1 – národní
hospodářství, 2 – informatika). Hodnoty jsou uloženy v souboru vyska.sta. Pomocí
Lilieforsovy modifikace K-S testu, pomocí S-W testu a pomocí A-D testu testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že data pocházejí z normálního rozložení. Pomocí N-P grafu
posuďte vizuálně předpoklad normality.
Návod:
Provedení Lilieforsova a S-W testu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky
četností – OK – Proměnné X – OK – Normalita – zaškrtneme Lilieforsův test a S-W test –
Testy normality.
Testy normality (vyska.sta)
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 48 0,155621 p < ,01 0,965996 0,176031
Výstupní tabulka obsahuje počet pozorování, hodnotu testové statistiky Lilieforsovy
modifikace K-S testu (max D = 0,155621), p-hodnotu (p < 0,01), testovou statistiku S-W testu
(W = 0,965996) a odpovídající p-hodnotu (p = 0,176031). Vidíme, že Lilieforsův test zamítá
hypotézu o normalitě na hladině významnosti 0,05, zatímco S-W test nikoli.
Provedení A - D testu:
Statistiky – Rozdělení & simulace – proložení dat rozděleními – OK – Proměnné Spojité: X –
na záložce Spojité proměnné ponecháme zaškrtnuté pouze Normální, na záložce Možnosti
vybereme Anderson – Darling – OK – Souhrnné statistiky rozdělení.
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (vyska.sta)
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,155621 0,175802 0,660990 0,591425 15,37500 0,017532 6,000000
Vidíme, že Testová statistika A – D testu je 0,661, odpovídající p-hodnota je 0,5914, tedy
hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Vytvoření N-P grafu:
Návod: Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné X – OK.
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Pozorovaný kvantil
-3
-2
-1
0
1
2
3
Oček.normál.hodnoty
Tečky se řadí podél ideální přímky, normalita je jen lehce porušena.
Samostatný úkol: Testy normality a grafické ověření normality proveďte jak pro výšky
studentek oboru národní hospodářství, tak pro výška studentek oboru informatiky.
Pro kontrolu:
Výsledky pro obor národní hospodářství:
Testy normality (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 28 0,167473 p < ,05 0,970969 0,606793
Vidíme, že Lilieforsova varianta K-S testu zamítá hypotézu o normalitě na hladině
významnosti 0,05 (p-hodnota je menší než 0,05), zatímco S-W test hypotézu o normalitě
nezamítá (p-hodnota je větší než 0,05).
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,167473 0,370570 0,419238 0,828398 2,000000 0,157299 1,000000
A-D test poskytne hodnotu testové statistiky 0,4192, odpovídající p-hodnota je 0,8284, tedy
A-D test nezamítá hypotézu o normalitě na hladině významnosti 0,05.
Výsledky pro obor informatika:
Testy normality (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=2
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 20 0,172301 p < ,15 0,922747 0,111924
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=2
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,172301 0,536360 0,566019 0,678546
V tomto případě ani jeden z testů hypotézu o normalitě nezamítá na hladině významnosti
0,05.
Upozornění: V archivu závěrečných prací https://is.muni.cz/auth/th/77721/prif_m/ je uložena
diplomová práce Dominika Grůzy „Ověřování normality“.
Zkoumání vlastností testů normality pomocí simulací je popsáno v bakalářské práci Marka
Haičmana https://is.muni.cz/auth/th/150689/prif_b_a2/
Cvičení 5.: Parametrické úlohy
o jednom náhodném výběru z normálního rozložení
Úkol 1.: Vlastnosti výběrového průměru z normálního rozložení
Předpokládejme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky ze statistiky normálně
rozloženy kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Najděte
pravděpodobnost, že průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude větší než 80 bodů.
Návod:
X1, ..., X10 je náhodný výběr z N(72, 81). Počítáme P(M > 80), přičemž výběrový průměr M
má normální rozložení se střední hodnotou E(M) = μ = 72 a rozptylem D(M) =
10
81
n
2


=
8,1 (viz skripta Základní statistické metody, věta 6.1.1.1., bod 2).
Tedy P(M > 80) = 1 - P(M ≤ 80) = 1 – Φ(80), kde Φ(80) je hodnota distribuční funkce
rozložení N(72; 8,1) v bodě 80.
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme =1 – INormal(80;72;sqrt(8,1)). Zjistíme, že 1 - Φ(80) = 0,00247005.
Funkce INormal(x;μ;σ) počítá hodnotu distribuční funkce rozložení N(μ,σ2
) v bodě x.
1
Prom1
1 0,00247
Úkol 2.: Intervaly spolehlivosti pro parametry μ, σ2
normálního rozložení
Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno šest selat a po dobu půl roku
jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenávány průměrné denní přírůstky
hmotnosti v Dg. Z dřívějších pokusů je známo , že v populaci mívají takové přírůstky
normální rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se měnívají. Přírůstky v Dg: 62, 54, 55,
60, 53, 58.
a) Najděte 95% empirický levostranný interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu
μ při neznámé směrodatné odchylce σ.
b) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku σ.
Návod:
Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné X a 6 případech. Do proměnné X napíšeme
dané hodnoty.
Ad a) Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK
– Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. (ostatní volby zrušíme) – pro
jednostranný interval změníme hodnotu na 90,00 - Výpočet. (Hodnotu změníme na 90,
protože dolní mez levostranného 95% intervalu spolehlivosti pro μ je stejná jako dolní mez
oboustranného 95% intervalu spolehlivosti pro μ.)
Popisné statistiky (Tabulka1)
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
X 54,05683 59,94317
Vidíme, že μ > 54,06 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
Ad b) Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK
– Detailní výsledky – zaškrtneme Meze sp. směr. odch., ponecháme implicitní hodnotu 95,00
– Výpočet.
Popisné statistiky (Tabulka1)
Proměnná
Spolehlivost
Sm.Odch.
-95,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+95,000%
X 2,233234 8,774739
Dostáváme výsledek: 2,23 g < σ < 8,77 g s pravděpodobností aspoň 0,95.
Úkol 3.: Testování hypotézy o parametru μ normálního rozložení
Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu,
jehož správná hodnota je μ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly
získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05, které považujeme
za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(μ, σ2
). Je možné při riziku 0,05
vysvětlit odchylky od hodnoty 10,00 působením náhodných vlivů?
Návod:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: μ = 10 proti oboustranné alternativě H1:
μ ≠ 10. Jde o úlohu na jednovýběrový t-test. Ten je ve STATISTICE implementován.
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a devíti případech, kam zapíšeme naměřené
hodnoty. V Základních statistikách/tabulkách vybereme t-test, samostatný vzorek. Do
Referenčních hodnot zapíšeme 10. Ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na
p-hodnotu. Pokud p-hodnota bude menší nebo rovna 0,05, zamítneme hypotézu H0: μ = 10 ve
prospěch oboustranné alternativní hypotézy H1: μ ≠ 10 na hladině významnosti 0,05.
V opačném případě H0 nezamítáme. V našem případě je
Test průměrů vůči referenční konstantě (hodnotě)
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční
konstanta
t SV p
Prom1 10,05111 0,162669 9 0,054223 10,00000 0,942611 8 0,373470
Protože p-hodnota 0,373470 > 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti
0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% lze tedy odchylky od hodnoty 10 vysvětlit působením
náhodných vlivů.
Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: 0t = 0,942611. Kritický obor
         
 
 
,306,2306,2,
,8t8t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1
Protože Wt0  , nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu 0H .
Úkol 4.: Interval spolehlivosti pro rozdíl parametrů μ1 - μ2 dvourozměrného rozložení
Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně
dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky v Dg jsou následující: (62,52), (54,56), (55,49), (60,50),
(53,51), (58,50). Za předpokladu, že rozdíly uvedených dvojic tvoří náhodný výběr z
normálního rozložení se střední hodnotou μ1 - μ2, sestrojte 95% interval spolehlivosti pro
rozdíl středních hodnot.
Návod:
Vytvoříme datový soubor o třech proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2
zapíšeme naměřené přírůstky, do proměnné v3 uložíme rozdíly v1 - v2.
Ve STATISTICE je implementován výpočet oboustranného intervalu spolehlivosti pro μ,
když 2
 neznáme. Pomocí Popisných statistik zjistíme meze 95% intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu proměnné v3 tak, že zaškrtneme Meze spoleh. prům.
Popisné statistiky
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
+95,000%
Prom3 0,626461 10,70687
Dostaneme výsledek: 0,63 Dg < μ < 10,71 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
Úkol 5.: Testování hypotézy o rozdíl parametrů μ1 - μ2 dvourozměrného rozložení
Pro data z úkolu 4. testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě výkrmné diety mají
stejný vliv.
Návod:
Označme μ = μ1 - μ2. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: μ = 0 proti
oboustranné alternativě H1: μ ≠ 0. Jde o úlohu na párový t-test. Ten je ve STATISTICE
implementován.Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných a šesti případech. Do
proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky. V menu Základní statistiky/tabulky
vybereme t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy obou proměnných a ve výstupu se podíváme
na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu.
t-test pro závislé vzorky
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch.
rozdílu
t sv p
Prom1
Prom2
57,00000 3,577709
51,33333 2,503331 6 5,666667 4,802777 2,890087 5 0,034183
Protože p-hodnota 0,034183 < 0,05, zamítáme hypotézu H0: μ = 0 ve prospěch alternativní
hypotézy H1: μ ≠ 0 na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že jsme s rizikem omylu
nejvýše 5% prokázali rozdíl v účinnosti obou výkrmných diet.
Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: 0t = 2,890087. Kritický obor
         
 
 
,5706,25706,2,
,5t5t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1
Protože Wt0  , zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu 0H .
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: Měřením délky deseti válečků byly získány hodnoty (v mm): 5,38 5,36 5,35
5,40 5,41 5,34 5,29 5,43 5,42 5,32. Těchto deset hodnot považujeme za realizace
náhodného výběru rozsahu 10 z normálního rozložení N(μ, σ2
).
a) Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu μ
b) Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou směrodatnou odchylku σ.
c) Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že střední hodnota délky válečků je
5,3 mm proti oboustranné alternativě.
Výsledky:
ad a)
5,3228 mm < µ < 5,4172 mm s pravděpodobností aspoň 0,99
ad b)
0,0284 mm < σ < 0,1046 mm s pravděpodobností aspoň 0,99.
ad c) Testujeme H0: μ = 5,3 proti H1: μ  5,3 na hladině významnosti 0,01. Nulovou
hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,01 a přijímáme alternativní hypotézu.
Příklad 2.: Bylo náhodně vybráno 15 desetiletých chlapců a byla zjištěna jejich výška (v cm).
Výsledky měření 130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147
považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 15 z rozložení N(μ,σ2
). Podle názoru
odborníků by střední hodnoty výšky desetiletých chlapců měla být 136,1 cm. Testujte tuto
hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Pomocí N-P plotu a S-W testu ověřte normalitu dat.
Výsledky:
S-W test poskytl p-hodnotu 0,7998, tedy hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině
významnosti 0,05. Dále testujeme H0: μ = 136,1 proti H1: μ ≠ 136,1 na hladině významnosti
0,05. Protože p = 0,0947 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Příklad 3.: Pět mužů se rozhodlo, že budou hubnout. Zjistili svou hmotnost před zahájením
diety a po ukončení diety.
Číslo osoby 1 2 3 4 5
Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5
Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že dieta neměla vliv na hmotnost.
Výsledky:
Testujeme H0: μ1 - μ2 = 0 proti H1: μ1 - μ2 ≠ 0. Testová statistika nabývá hodnoty 4,1105,
odpovídající p-hodnota je 0,0147, tedy nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti
0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že dieta má vliv na střední hodnotu
hmotnosti.
Cvičení 6.: Parametrické úlohy
o dvou nezávislých výběrech z normálních rozložení
Úkol 1.: Do programu STATISTICA načtěte soubor studentky.sta, který obsahuje údaje o 48
náhodně vybraných studentkách VŠE v Praze:
1. sloupec – výška, 2. sloupec – známka z matematiky v 1. semestru, 3. sloupec – obor studia
(1 – národní hospodářství, 2 – informatika).
Úkol 2.: Orientačně ověřte normalitu výšky ve skupině studentek oboru národní hospodářství
a oboru informatika vykreslením N-P plotu a histogramu.
Návod:
Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné X – na záložce
Kategorizovaný zaškrtneme Kategorie X Zapnuto – Změnit proměnnou – Z - OK – OK.
Podobně pro histogram.
Oček.normál.hodnoty
Z: nh
150 155 160 165 170 175 180 185 190
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Z: inf
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Početpozorování
Z: nh
150 155 160 165 170 175 180 185 190
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Z: inf
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Komentář: Grafy svědčí o mírném narušení normality, jedná se o mírné kladné zešikmení.
Nyní provedeme testy normality.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Select cases – Zapnout filtr
– některé vybrané pomocí Z=1 – OK – Proměnná X – OK - Normalita - zaškrtneme Liliefors
test, Shapiro-Wilk's test - Testy normality. Dostaneme tyto výsledky:
Pro studentky oboru nh
Testy normality (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=1
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 28 0,167473 p < ,05 0,970969 0,606793
Pro studentky oboru inf
Testy normality (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=2
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 20 0,172301 p < ,15 0,922747 0,111924
Komentář: Vypočtenou p-hodnotu porovnáváme se zvolenou hladinou významnosti testu
(většinou volíme α = 0,05). Je-li vypočtená p-hodnota ≤ α, pak hypotézu o normalitě
zamítáme na hladině významnosti α. V našem případě dojde k zamítnutí hypotézy o normalitě
výšky na hladině významnosti 0,05 pouze u Lilieforsova testu pro studentky oboru nh.
Úkol 3.: Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu výšky
a) studentek oboru nh,
b) studentek oboru inf.
Návod:
Vzhledem k tomu, že data lze považovat za realizace náhodného výběru z normálního
rozložení, můžeme použít postup pro konstrukci intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu,
když rozptyl neznáme. Výpočet je implementován ve STATISTICE. Meze 95% intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu proměnné X zjistíme pomocí Popisných statistik, kde
zaškrtneme Meze spoleh. prům.
Popisné statistiky (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=1
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
X 167,3328 172,3100
Popisné statistiky (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=2
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
X 164,7693 169,0307
Komentář: S pravděpodobností aspoň 95% lze očekávat, že střední hodnoty výška studentek
oboru národní hospodářství leží v intervalu 167,3 cm až 172,3 cm, zatímco u studentek oboru
informatika v intervalu 164,8 cm až 169 cm.
Úkol 4.: Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů výšek studentek oboru nh a
inf.
Návod:
K datovému souboru přidáme další dvě proměnné DM a HM pro výpočet dolní a horní meze
intervalu spolehlivosti. Do Dlouhého jména těchto proměnných zapíšeme vzorce pro dolní a
horní mez intervalu spolehlivosti pro podíl rozptylů (viz skripta Základní statistické metody,
Věta 7.1.2.1., bod 4 (a)). Výběrové rozptyly pro 1. a 2. výběr zjistíme pomocí Popisných
statistik.
Interval spolehlivosti je
(d, h) =








  )1n,1n(F
s/s
,
)1n,1n(F
s/s
21/2
2
2
2
1
21/2-1
2
2
2
1
, přičemž první výběr tvoří studentky nh,
druhý výběr studentky inf.
Popisné statistiky (Tema7)
Include condition: z=1
Proměnná N platných Rozptyl
X 28 41,18915
Popisné statistiky (Tema7)
Include condition: z=2
Proměnná N platných Rozptyl
X 20 20,72632
Do Dlouhého jména proměnné DM napíšeme:
=(41,18915/20,72622)/VF(0,975;27;19)
(Funkce VF(x;ný;omega) počítá x-kvantil Fisherova – Snedecorova rozložení F(ný, omega).)
Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme:
=(41,18915/20,72622)/VF(0,025;27;19)
Vyjde DM = 0,821186, HM = 4,513831.
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy platí: 0,821 < σ1
2
/ σ2
2
< 4,514.
Úkol 5.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozptyly výšek studentek oboru
nh a inf jsou shodné.
Návod:
Jedná se o F-test, kdy testujeme hypotézu 1:H 2
2
2
1
0 


proti oboustranné alternativě
1:H 2
2
2
1
1 


1. způsob: lze využít výsledku 4. úkolu. 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů
obsahuje číslo 1, tedy hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
2. způsob: F-test je implementován ve STATISTICE.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, nezávislé, podle skupin - OK, Proměnné –
Závislé proměnné X, Grupovací proměnná Z – OK – Výpočet
t-testy; grupováno: Z: obor studia (Tema7)
Skup. 1: nh: narodni hospodarstvi
Skup. 2: inf: informatika
Proměnná
Průměr
nh
Průměr
inf
t sv p Poč.plat
nh
Poč.plat.
inf
Sm.odch.
nh
Sm.odch.
inf
F-poměr
rozptyly
p
rozptyly
X 169,8214 166,9000 1,744008 46 0,087837 28 20 6,417878 4,552616 1,987288 0,124925
Komentář: Ve výstupní tabulce nás zajímá hodnota testové statistiky F-testu (v našem
případě 1,987288) a odpovídající p-hodnota: 0,124925. Protože p-hodnota je větší než hladina
významnosti α = 0,05, nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout nulovou hypotézu.
S rizikem omylu nanejvýš 5% se tedy neprokázalo, že by rozptyly výšek studentek oborů nh a
inf byly odlišné.
Úkol 6.: Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot výšek studentek
oboru nh a inf.
Návod:
K datovému souboru přidáme další dvě proměnné DM1 a HM1 pro výpočet dolní a horní
meze intervalu spolehlivosti. Do Dlouhého jména těchto proměnných zapíšeme vzorce pro
dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot (viz skripta Základní
statistické metody, Věta 7.1.2.1., bod 2 (a)). Výběrové průměry a výběrové rozptyly pro první
a druhý výběr zjistíme pomocí Popisných statistik.
Oboustranný interval spolehlivosti pro μ1 - μ2, když rozptyly σ1
2
, σ2
2
neznáme, ale víme, že
jsou shodné, je:
(d, h) = (m1 – m2 –
21
*
n
1
n
1
s  t1-α/2(n1+n2-2), m1 – m2 +
21
*
n
1
n
1
s  t1-α/2(n1+n2-2)), kde
2nn
s)1n(s)1n(
s
21
2
22
2
112
*


 je vážený průměr výběrových rozptylů.
Do Dlouhého jména proměnné DM1 napíšeme
=169,8214-166,9-
sqrt((27*41,18915+19*20,72622)/46)*sqrt((1/28)+(1/20))*VStudent(0,975;46)
Do Dlouhého jména proměnné HM1 napíšeme
=169,8214-166,9+
sqrt((27*41,18915+19*20,72622)/46)*sqrt((1/28)+(1/20))*VStudent(0,975;46)
Vyjde DM1 = -0,450446, HM1 = 6,293246
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy -0,45 cm < μ1 – μ2 < 6,29 cm.
Úkol 7.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty výšek studentek
oboru nh a inf jsou shodné. Výpočet doplňte krabicovými diagramy.
Návod:
Jedná se o dvouvýběrový t-test, kdy testujeme hypotézu 0:H 210  proti oboustranné
alternativě 0:H 211 
1. způsob: lze využít výsledku 6. úkolu. 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot
obsahuje číslo 0, tedy hypotézu o shodě středních hodnot nezamítáme na hladině významnosti
0,05.
2. způsob: dvouvýběrový t-test je implementován ve STATISTICE.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, nezávislé, podle skupin - OK, Proměnné
– Závislé proměnné X, Grupovací proměnná Z – OK – Výpočet
t-testy; grupováno: Z: obor studia (Tema7)
Skup. 1: nh: narodni hospodarstvi
Skup. 2: inf: informatika
Proměnná
Průměr
nh
Průměr
inf
t sv p Poč.plat
nh
Poč.plat.
inf
Sm.odch.
nh
Sm.odch.
inf
F-poměr
rozptyly
p
rozptyly
X 169,8214 166,9000 1,744008 46 0,087837 28 20 6,417878 4,552616 1,987288 0,124925
Komentář: Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu testového kritéria (t0 = 1,744006) a
odpovídající p-hodnotu. Protože p-hodnota = 0,087837 je větší než hladina významnosti 0,05,
nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nanejvýš 5% se
tedy neprokázal rozdíl mezi středními hodnotami výšek studentek oborů nh a inf.
Konstrukce krabicových diagramů: V tabulce t-test, nezávislé, podle skupin zvolíme
Krabicový diagram. Dostaneme graf:
Krabicový graf : X: vyska
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
nh inf
Z
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
X
Komentář: Ze vzhledu krabicových diagramů je vidět, že rozložení výšek v obou skupinách
je vcelku symetrické kolem průměru, odlehlé ani extrémní hodnoty se nevyskytují, variabilita
vyjádřená směrodatnou odchylkou se liší jen nepatrně a průměrná výška ve skupině studentek
oboru inf je o něco menší než ve skupině studentek oboru nh.
Poznámka: Protože F-test neprokázal odlišnost rozptylů, mohli jsme ve STATISTICE použít
variantu dvouvýběrového t-testu se shodnými rozptyly. Pokud by však F-test zamítl na dané
hladině významnosti hypotézu o shodě rozptylů, museli bychom zvolit variantu
dvouvýběrového t-testu se separovanými odhady rozptylů.
Úkol k samostatnému řešení: Hejtman Jihomoravského kraje chtěl porovnat situaci svého
kraje s ostatními moravskými kraji vzhledem ke znečištění ovzduší oxidem siřičitým, oxidy
dusíku a oxidem uhelnatým. Požádal proto Stranu zelených, aby na základě údajů ze
Statistické ročenky ČSÚ za léta 2000 až 2006 její experti provedli příslušnou analýzu. Roční
měrné emise jsou uvedeny v tunách na km2
. Data jsou uložena v souboru znecisteni.sta.
Vaším úkolem bude provést srovnání středních hodnot znečištění oxidem siřičitým
v Jihomoravském kraji a Olomouckém kraji. Na hladině významnosti 0,05 ověřte normalitu
dat, homogenitu rozptylů a proveďte test shody středních hodnot. Výpočty doplňte
krabicovými grafy a rovněž vypočtěte Cohenův koeficient věcného účinku.
Výsledek:
Průměrné znečištění oxidem siřičitým v Jihomoravském kraji v letech 2000 – 2006 je 0,51,
v Olomouckém 1,23. Testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje hodnotou 1,94117,
odpovídající p-hodnota je 0,4397, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o
shodě rozptylů.
(Upozornění: v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce t-testu pro
nezávislé vzorky dle skupin na záložce Možnosti zaškrtnout volbu Test se samostatnými
odhady rozptylu.)
Testová statistika pro test shody středních hodnot se realizuje hodnotou -12,247, počet stupňů
volnosti je 12, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy hypotézu o shodě středních
hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 5%
se prokázal rozdíl ve středních hodnotách znečištění oxidem siřičitým v Jihomoravském a
Olomouckém kraji.
Cohenův koeficient nabyl hodnoty 6,55, vliv kraje na velikost znečištění oxidem siřičitým je
tedy velký. (Výpočet Cohenova koeficientu je možno provést pomocí programu Cohen.svb.)
Cvičení 7.: Parametrické úlohy
o jednom výběru a dvou nezávislých výběrech z alternativního rozložení
Úkol 1.: Vlastnosti výběrového průměru z alternativního rozložení
Mezi americkými voliči 60% osob volí republikány a 40% demokraty. Jaká je
pravděpodobnost, že v náhodném výběru 100 amerických voličů budou voliči republikánů
v menšině? Výpočet proveďte jak přesně, tak pomocí aproximace normálním rozložením.
Návod:
X1, ..., X100 je náhodný výběr z A(0,6), Xi = 1, když i-tá osoba volí republikány,
Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 100. Zavedeme statistiku Y100 = X1 + ... + X100, Y100 ~ Bi(100; 0,6) (viz
skripta Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika, sbírka příkladů, příklad 8.10.),
E(Y100) = n = 100.0,6 = 60 ,     244,0.6,0.1001nYD 100  Označme Φ100(y)
distribuční funkci náhodné veličiny Y100, t100t
y
0t
100 4,06,0
t
100
)y( 

 





 .
Přesný výpočet: P(Y100 < 50) = P(Y100 ≤ 49) = Φ100(49) = 0,016761686.
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme =IBinom(49;0,6;100). Funkce IBinom(x;p;n) počítá hodnotu distribuční
funkce rozložení Bi(n,p) v bodě x.
Přibližný výpočet: užijeme důsledek Moivreovy - Laplaceovy integrální věty (viz skripta
Základní statistické metody, věta 6.3.1.1.). Nejdříve ověříme splnění podmínky dobré
aproximace n (1-  ) = 100.0,6.0,4 = 24 > 9. Podmínka je splněna.
P(Y100 < 50) = P(Y100≤49) Φ(49), kde Φ(49) je hodnota distribuční funkce rozložení
N(60; 24) v bodě 49.
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme =INormal(49;60;sqrt(24)).
Zjistíme, že Φ(49) = 0,012372.
Přesný výpočet
1
Prom1
1 0,016762
Aproximativní výpočet
1
Prom1
1 0,012372
Úkol 2.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr  alternativního rozložení
Může politická strana, pro niž se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných
osob, očekávat se spolehlivostí aspoň 0,95, že by v této době ve volbách překročila 5%
hranici pro vstup do parlamentu?
Návod:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X1000, přičemž Xi = 1, když i-tá osoba se vysloví pro
danou politickou stranu a Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 1000. Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný
výběr z rozložení A( ). V tomto případě n = 1000, m = 60/1000 = 0,06, α = 0,05, u1-α = u0,95
= 1,645.
Ověření podmínky n (1- ) > 9: parametr  neznáme, musíme ho nahradit výběrovým
průměrem. Pak 1000.0,06.0,94 = 56,4 > 9.
95% levostranný interval spolehlivosti pro  je
   




















  ;u
1000
06,0106,0
06,0;u
n
m1m
m 95,01 (viz skripta Základní statistické
metody, důsledek 6.3.2.2.)
Postup ve STATISTICE:
1. možnost: Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého
jména této proměnné napíšeme =0,06-sqrt(0,06*0,94/1000)*VNormal(0,95;0;1). Vyjde
0,047647.
2. možnost: Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát
test – OK – Pozorovaný podíl p: 0,06, Velik. Vzorku (N): 1000, Spolehlivost: 0,9 –
Vypočítat. Dostaneme 0,0476.
S pravděpodobností přibližně 0,95 tedy  > 0,047647. Protože tento interval zahrnuje i
hodnoty nižší než 0,05, nelze vyloučit, že strana získá méně než 5% hlasů.
Úkol 3: Testování hypotézy o parametru  alternativního rozložení
Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků.
Z několika minulých let ví, že 30% všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po
zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto
zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl
právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti
0,05.
Návod:
Máme náhodný výběr X1, ..., X150 z rozložení A(0,3). Testujeme H0:  = 0,3 proti
levostranné alternativě H1:  < 0,3. V tomto případě je testovým kritériem statistika
n
)c1(c
cM
T0


 , která v případě platnosti nulové hypotézy má asymptoticky rozložení N(0,1)
(viz skripta Základní statistické metody, věta 6.3.3.1.). Musíme ověřit splnění podmínky n
(1-  ) > 9: 150.0,3.0,7 = 31,5 > 9. Vypočteme realizaci testového kritéria:
24722,1
150
)3,01(3,0
3,0
n
)c1(c
cm 150
38






. Kritický obor:   1u,W =  645,1, .
Protože testové kritérium nepatří do kritického oboru, H0 nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% tedy naše data neprokázala pokles
zájmu zákazníků cestovní kanceláře o zemi X.
Postup ve STATISTICE:
Asymptotický způsob: Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných (nazveme je t0 a
kvantil) a jednom případu. Vypočteme realizaci testového kritéria tak, že do Dlouhého jména
proměnné t0 napíšeme
=(38/150-0,3)/sqrt(0,3*0,7/150)
Do Dlouhého jména proměnné kvantil napíšeme
=VNormal(0,95;0;1)
Tím získáme kvantil u0,95.
1
t0
2
kvantil
1 -1,24721913 1,644854
Jelikož realizace testového kritéria t0 = -1,24721913 nepatří do kritického oboru
 644854,1,W  , H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Přibližný způsob: Do nového datového souboru o jedné proměnné X a 150 případech uložíme
38 jedniček (indikují zájem o danou zemi) a 112 nul (indikují nezájem o danou zemi).
Statistika – Základní statistiky a tabulky – t-test, samost. vzorek – OK – Proměnné X – OK,
Test všech průměrů vůči 0,3 – Výpočet.
Test průměrů vůči referenční konstantě (hodnotě) (Tabulka4)
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční
konstanta
t SV p
X 0,253333 0,436377 150 0,035630 0,300000 -1,30976 149 0,192294
Hodnota testové statistiky je při tomto přibližném způsobu -1,30976. Odpovídající p-hodnota
je 0,1923, ovšem to je p-hodnota pro oboustranný test. Tuto p-hodnotu tedy musíme dělit
dvěma a dostaneme 0,0961. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout
hypotézu, že zájem o danou zemi se nezměnil.
Použití aplikace Testy rozdílů
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,2533, do políčka N1 napíšeme 150,
do políčka P 2 napíšeme 0,3, do políčka N2 napíšeme 32767 (větší hodnotu systém
neumožní), zaškrtneme Jednostr. - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,1065, tedy nezamítáme
nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Úkol 4.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametrickou funkci 21 
Při výstupní kontrole bylo náhodně vybráno 150 výrobků vyrobených na ranní směně a
rovněž 150 výrobků vyrobených na odpolední směně. U ranní směny bylo zjištěno 16 zmetků
a u odpolední 12 zmetků. Sestrojte 95% asymptotického interval spolehlivosti pro rozdíl
pravděpodobností vyrobení zmetku v obou směnách.
Návod: Zavedeme náhodnou veličinu X1i, která bude nabývat hodnoty 1, když i-tý výrobek
z ranní směny je zmetek, 0 jinak, i = 1, …, 150. Náhodné veličiny X1,1, …, X1,150 tvoří
náhodný výběr z rozložení  1A  . Dále zavedeme náhodnou veličinu X2i, která bude nabývat
hodnoty 1, když i-tý výrobek z odpolední směny je zmetek, 0 jinak, i = 1, …, 150.. Náhodné
veličiny X2,1, …, X2,150 tvoří náhodný výběr z rozložení  2A  .
n1 = 150, n2 = 150, m1 = 16/150 = 0,1067, m2 = 12/150 = 0,08.
Ověření podmínek n1 1 (1- 1 ) > 9 a n2 2 (1- 2 ) > 9: Parametry 1 a 2 neznáme,
nahradíme je odhady m1 a m2: 16.(1-16/150) = 14,29 > 9, 12.(1-12/150) = 11,04 > 9.
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou
funkci 21  jsou:
092,096,1
150
)1(
150
)1(
150
12
150
16
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh
039,096,1
150
)1(
150
)1(
150
12
150
16
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmd
150
12
150
12
150
16
150
16
2/1
2
22
1
11
21
150
12
150
12
150
16
150
16
2/1
2
22
1
11
21






















Zjistili jsme tedy, že s pravděpodobností přibližně 0,95: –0,039 < 21  < 0,092.
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými d a h a o jednom případu. Do Dlouhého
jména proměnné d napíšeme:
=16/150-12/150-sqrt((16/150)*(134/150)/150+(12/150)*(138/150)/150)*VNormal(0,975;0;1)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme:
=16/150-
12/150+sqrt((16/150)*(134/150)/150+(12/150)*(138/150)/150)*VNormal(0,975;0;1)
Dostaneme tabulku
1
d
2
h
1 -0,0391 0,092433
S pravděpodobností přibližně 0,95 se rozdíl pravděpodobností vyrobení zmetku na ranní a
odpolední směně nachází v intervalu (-0,039; 0,092).
Úkol 5.: Testování hypotézy o parametrické funkci 21 
Pro údaje z úkolu 4 testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že
pravděpodobnost vyrobení zmetků v obou směnách je táž.
Postup ve STATISTICE:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,1067, do políčka N1 napíšeme 150,
do políčka P 2 napíšeme 0,08, do políčka N2 napíšeme 150 –Výpočet. Dostaneme p-hodnotu
0,4274, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Úkol k samostatnému řešení: Přírůstky cen akcií na burze (v %) u 10 náhodně vybraných
společností dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Sestrojte 95% asymptotický
empirický interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8,5%.
Výsledek: 0,096 <  < 0,704 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Znamená to, že pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8,5%, je aspoň 9,6% a
nanejvýš 70,4% (při spolehlivosti 95%.)
Úkol k samostatnému řešení: Z 28 studentek oboru národní hospodářství mělo z matematiky
trojku 17 studentek, zatímco z 20 studentek oboru informatika mělo z matematiky trojku jen 6
studentek. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pravděpodobnost
získání trojky z matematiky je obě skupiny studentek stejná.
Výsledek: Testová statistika se realizuje hodnotou 0t = 2,100009, kritický obor je
  ;96,196,1;W . Protože Wt0  , zamítáme nulovou hypotézu na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Použijeme-li v systému STATISTICA aplikaci Testy rozdílů, dostaneme p-hodnotu 0,0358,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme nulovou hypotézu.
Cvičení 8: Parametrické úlohy o více nezávislých náhodných výběrech
Úkol 1.: V jisté továrně se měřil čas, který potřeboval každý ze tří dělníků k uskutečnění
téhož pracovního úkonu. Čas v minutách:
1. dělník: 3,6 3,8 3,7 3,5
2. dělník: 4,3 3,9 4,2 3,9 4,4 4,7
3. dělník: 4,2 4,5 4,0 4,1 4,5 4,4.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výkony těchto tří dělníků jsou stejné.
Zamítnete-li nulovou hypotézu, určete, výkony kterých dělníků se liší na dané hladině
významnosti 0,05.
Návod:
Úloha vede na analýzu rozptylu jednoduchého třídění. Postupujeme podle skript Základní
statistické metody, odstavec 8.1.
Načteme datový soubor cas_delniku.sta. Proměnná X obsahuje zjištěné časy, proměnná ID
nabývá hodnoty 1 pro 1. dělníka, hodnoty 2 pro 2. dělníka a hodnoty 3 pro 3. dělníka.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – Proměnné Závislé
X, Grupovací ID, OK, Kódy pro grupovací proměnné – Vše, OK, Výpočet: Tabulka
statistik (zobrazí se průměry, směrodatné odchylky a rozsahy všech tří výběrů).
Rozkladová tabulka popisných statistik (cas_delniku.sta)
N=16 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
1 3,650000 4 0,129099
2 4,233333 6 0,307679
3 4,283333 6 0,213698
Vš.skup. 4,106250 16 0,353023
Komentář: Na uskutečnění daného pracovního úkonu potřebuje nejkratší čas 1. dělník.
Podává také nejvyrovnanější výkony – směrodatná odchylka proměnné X je u něj nejmenší.
Naopak nejpomalejší je 3. dělník.
Nyní vytvoříme krabicové diagramy: Návrat do Statistiky podle skupin – Kategoriz.
krabicový graf (současné zobrazení krabicových diagramů pro všechny tři výběry )
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdch
1 2 3
ID
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
Pomocí N-P plot orientačně posoudíme normalitu všech tří výběrů:
Návrat do Statistiky podle skupin – ANOVA & testy – Kategoriz. norm. pravd. grafy
ID: 1
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
ID: 3
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
Komentář: Ve všech třech případech se tečky jen málo odchylují od přímky, lze soudit, že
data pocházejí z normálního rozložení.
Provedení testu o shodě rozptylů:
Návrat do Statistiky podle skupin – Leveneovy testy
Leveneův test homogenity rozpylů (cas_delniku.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,042708 2 0,021354 0,183333 13 0,014103 1,514205 0,256356
Komentář: Testová statistika Levenova testu nabývá hodnoty 1,5142, stupně volnosti čitatele
= 2, jmenovatele = 13, odpovídající p-hodnota = 0,256, tedy na hladině významnosti 0,05 se
nezamítá hypotézu o shodě rozptylů.
Provedení testu o shodě středních hodnot:
Návrat do Statistiky podle skupin – Analýza rozptylu.
Analýza rozptylu (cas_delniku.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 1,117708 2 0,558854 0,751667 13 0,057821 9,665327 0,002680
Komentář: Skupinový součet čtverců SA = 1,1177, počet stupňů volnosti fA = 2, reziduální
součet čtverců SE = 0,7517, počet stupňů volnosti fE = 13, testová statistika
EE
AA
A
fS
fS
F 
nabývá hodnoty 9,6653, počet stupňů volnosti čitatele = 2, jmenovatele = 13, odpovídající phodnota
= 0,00268, tedy na hladině významnosti 0,05 se zamítá hypotéza o shodě středních
hodnot .
Provedení metody mnohonásobného porovnávání (Scheffého test – viz skripta Základní
statistické metody, věta 8.2.2.1.):
Návrat do Statistiky podle skupin – Post- hoc – Schefféův test.
Scheffeho test; proměn.:X(cas_delniku.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
ID
{1}
M=3,6500
{2}
M=4,2333
{3}
M=4,2833
1 {1}
2 {2}
3 {3}
0,008391 0,004705
0,008391 0,937504
0,004705 0,937504
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě středních hodnot
všech dvojic výběrů. Výsledek Scheffého metody ukazuje, že na hladině významnosti 0,05 se
liší výkony dělníků (1,2), (1,3) a neliší se (2,3).
Úkol 2.: V cestovní kanceláři zkoumali u 609 náhodně vybraných klientů, o jaké ubytování
měli zájem (varianty apartmán, bungalov, hotel, stan) a zjišťovali též pohlaví klienta.
Typ ubytování apartmán bungalov hotel stan
Počet žen 12 27 208 33
Počet mužů 100 68 36 152
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozdíly v typech ubytování
mezi muži a ženami jsou způsobeny pouze náhodnými vlivy.
Návod:
Postupujeme podle skript Základní statistické metody, Věta 8.5.1.1. Testujeme hypotézu H0:
41   proti alternativní hypotéze H1: aspoň jedna dvojice parametrů je různá.
Načteme datový soubor klienti_CK.sta. Proměnná POHLAVI obsahuje hodnotu 0 pro ženu, 1
pro muže. Proměnná TYP UBYTOVANI má hodnotu 1 pro apartmán, hodnotu 2 pro
bungalov, hodnotu 3 pro hotel a hodnotu 4 pro stan.
Nejprve zjistíme podíly mužů v jednotlivých typech ubytování.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky - Rozklad & jednofakt. ANOVA - OK - Proměnné Závislé
POHLAVI, Grupovaci TYP UBYTOVANI, OK, Kódy pro grupovací proměnné –
Vše, OK – Popisné statistiky - Výpočet: Tabulka statistik – ponecháme zaškrtnuto N - OK.
typ ubytovani pohlavi
průměr
pohlavi
N
apartmán 0,892857 112
bungalov 0,602941 68
hotel 0,147541 244
stan 0,821622 185
Vš.skup. 0,540230 609
Komentář: Vidíme, že z těch klientů, kteří se ubytovali v apartmánu, bylo 89,3% mužů, mezi
obyvateli bungalovů bylo 60,3% mužů, z ubytovaných v hotelu bylo mužů pouze 14,7% a
z těch, kteří bydleli pod stanem, bylo 82,1% mužů.
Ověříme splnění podmínek dobré aproximace: njm* > 5 pro všechna j = 1, ..., r. Vážený
průměr m* se nachází v posledním řádku výstupní Rozkladové tabulky popisných statistik.
Jeho hodnotu okopírujeme do políček pro průměry relativní četnosti ubytovaných
v jednotlivých typech ubytování, poslední řádek odstraníme a k tabulce přidáme jednu novou
proměnnou, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme =v2*v3.
typ ubytovani pohlavi
průměr
pohlavi
N
NProm
=v2*v3
apartmán 0,540230 112 60,505747
bungalov 0,540230 68 36,735632
hotel 0,540230 244 131,816092
stan 0,540230 185 99,942529
Komentář: Vidíme, že podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Dále provedeme testování hypotézy o shodě parametrů čtyř alternativních rozložení.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky – OK - Specif. tabulky – List
1 POHLAVI, List 2 TYP UBYTOVANI, OK– Možnosti - Statistiky dvourozm tabulek zaškrtneme
Pearson & M-L Chi –square – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm. tabulky
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
267,6070 df=3 p=0,0000
294,9782 df=3 p=0,0000
Komentář: Testová statistika Q (viz skripta Základní statistické metody, vzorec 8.15.) se
realizuje hodnotou 267,6070, počet stupňů volnosti je 3, odpovídající p-hodnota = 0,0000,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu H0 zamítáme. S rizikem omylu
nejvýše 0,05 jsme tedy prokázali, že rozdíly v podílech klientů a klientek ubytovaných
v různých typech ubytovacích zařízení nelze vysvětlit pouze náhodnými vlivy.
Nakonec provedeme metodu mnohonásobného porovnávání, abychom zjistili, které dvojice
typů ubytování se liší na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Návrat do Statistiky podle skupin – Post- hoc – Schefféův test.
typ ubytovani
{1}
M=,89286
{2}
M=,60294
{3}
M=,14754
{4}
M=,82162
apartmán {1}
bungalov {2}
hotel {3}
stan {4}
0,000016 0,000000 0,471207
0,000016 0,000000 0,000797
0,000000 0,000000 0,000000
0,471207 0,000797 0,000000
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě středních hodnot
všech dvojic výběrů. Výsledek Scheffého metody ukazuje, že z hlediska podílu mužů se na
hladině významnosti 0,05 neliší pouze ubytování v apartmánu a ve stanu.
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: Studenti byli vyučováni předmětu za využití pěti pedagogických metod: tradiční
způsob, programová výuka, audiotechnika, audiovizuální technika a vizuální technika.
Z každé skupiny byl vybrán náhodný vzorek studentů a všichni byli podrobeni témuž
písemnému testu. Výsledky testu:
metoda počet bodů
tradiční 76,2 48,3 85,1 63,7 91,6 87,2
programová 85,2 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 72,1 60,4
audio 67,3 60,1 55,4 72,3 40
audiovizuální 75,8 81,6 90,3 78 67,8 57,6
vizuální 50,5 70,2 88,8 67,1 77,7 73,9
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že znalosti všech studentů jsou stejné a
nezávisí na použité pedagogické metodě. V případě zamítnutí hypotézy zjistěte, které výběry
se liší na hladině významnosti 0,05.
Řešení:
Načteme datový soubor pet_metod.sta. Proměnná BODY obsahuje dosažené počty bodů a
proměnná METODA označení příslušné pedagogické metody.
Nejprve vypočteme průměry, směrodatné odchylky a rozsahy všech tří výběrů:
Rozkladová tabulka popisných statistik (pet_metod.sta)
N=31 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
METODA BODY
průměr
BODY
N
BODY
Sm.odch.
tradiční 75,35000 6 16,53901
programová 73,01250 8 7,86501
audio 59,02000 5 12,45941
audiovizuální 75,18333 6 11,32862
vizuální 71,36667 6 12,69199
Vš.skup. 71,30968 31 12,69534
Komentář: Nejlepších výsledků dosahují studenti vyučovaní tradiční metodou, podávají však
nejméně vyrovnané výkony (počty bodů v této skupině mají největší směrodatnou odchylku).
Naopak nejhoršího výsledku dosáhli studenti vyučovaní audio metodou. Nejvyrovnanější
výkony pozorujeme u studentů vyučovaných programovou metodou.
Vytvoříme krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdch
tradiční
programová
audio
audiovizuální
vizuální
METODA
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
BODY
Pomocí N-P grafů vizuálně posoudíme normalitu všech pěti výběrů:
METODA: tradiční
30 40 50 60 70 80 90 100
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
METODA: programová
30 40 50 60 70 80 90 100
METODA: audio
30 40 50 60 70 80 90 100
METODA: audiovizuální
30 40 50 60 70 80 90 100
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
METODA: vizuální
30 40 50 60 70 80 90 100
Komentář: Ze vzhledu N-P grafů je patrné, že předpoklad normality je ve všech pěti
případech oprávněný.
Provedeme Levenův test (testování homogenity rozptylů všech pěti výběrů)
Leveneův test homogenity rozpylů (pet_metod.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
BODY 162,4883 4 40,62208 1289,544 26 49,59783 0,819029 0,524791
Komentář: Testová statistika F se realizuje hodnotou 0,819, počet stupňů volnosti čitatele =
4, jmenovatele = 26, odpovídající p-hodnota = 0,5248, na hladině významnosti 0,05 tedy
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Budeme testovat hypotézu o shodě středních hodnot všech pěti výběrů:
Analýza rozptylu (pet_metod.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
BODY 966,3737 4 241,5934 3868,773 26 148,7990 1,623623 0,198252
Komentář: Testová statistika F se realizuje hodnotou 1,6236, počet stupňů volnosti čitatele =
4, jmenovatele = 26, odpovídající p-hodnota = 0,1983, na hladině významnosti 0,05 tedy
nezamítáme hypotézu o shodě středních hodnot. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 5%
se neprokázal rozdíl v účinnosti jednotlivých pedagogických metod..
Příklad 2.: Pan Novák může cestovat z místa bydliště do místa pracoviště třemi různými
způsoby: tramvají (způsob A), autobusem (způsob B) a metrem s následným přestupem na
tramvaj (způsob C). Máme k dispozici jeho naměřené časy cestování do práce v době ranní
špičky (včetně čekání na příslušný spoj) v minutách:
způsob A: 32, 39, 42, 37, 34, 38:
způsob B: 30, 34, 28, 26, 32,
způsob C: 40, 37, 31, 39, 38, 33, 34
Pro všechny tři způsoby dopravy vypočtěte průměrné časy cestování. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu, že doba cestování do práce nezávisí na způsobu dopravy. V případě
zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které způsoby dopravy do práce se od sebe liší na hladině
významnosti 0,05.
Řešení:
Načteme datový soubor doby_cestovani.sta. Proměnná CAS obsahuje zjištěné doby cestování
a proměnná ID označení příslušného způsoby dopravy.
Nejprve vypočteme průměry, směrodatné odchylky a rozsahy všech tří výběrů:
Rozkladová tabulka popisných statistik (doby_cestovani.sta)
N=18 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID CAS
průměr
CAS
N
CAS
Sm.odch.
tramvaj 37,00000 6 3,577709
autobus 30,00000 5 3,162278
metro 36,00000 7 3,366502
Vš.skup. 34,66667 18 4,379095
Komentář: Nejkratší průměrnou dobu do zaměstnání pan Novák cestuje, když použije
autobus, naopak nejdéle cestuje tramvají. Variabilita dob jednotlivých způsobů cestování je
vcelku vyrovnaná.
Vytvoříme krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdch
tramvaj autobus metro
ID
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
CAS
Pomocí N-P grafů vizuálně posoudíme normalitu všech tří výběrů:
ID: tramvaj
24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Očekávanánormálníhodnota
ID: autobus
24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
ID: metro
24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Očekávanánormálníhodnota
Komentář: Ze vzhledu N-P grafů je patrné, že předpoklad normality je ve všech třech
případech oprávněný.
Provedeme Levenův test (testování homogenity rozptylů všech tří výběrů)
Leveneův test homogenity rozpylů (doby_cestovani.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
CAS 0,609524 2 0,304762 43,39048 15 2,892698 0,105356 0,900665
Komentář: Testová statistika F se realizuje hodnotou 0,1054, počet stupňů volnosti čitatele =
2, jmenovatele = 15, odpovídající p-hodnota = 0,9007, na hladině významnosti 0,05 tedy
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Budeme testovat hypotézu o shodě středních hodnot všech tří výběrů:
Analýza rozptylu (doby_cestovani.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
CAS 154,0000 2 77,00000 172,0000 15 11,46667 6,715116 0,008267
Komentář: Testová statistika F se realizuje hodnotou 6,7151, počet stupňů volnosti čitatele =
2, jmenovatele = 15, odpovídající p-hodnota = 0,0083, na hladině významnosti 0,05 tedy
zamítáme hypotézu o shodě středních hodnot. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 5% se
prokázal rozdíl v dobách cestování pana Nováka do zaměstnání autobusem, tramvají a
metrem.
Scheffého metodou mnohonásobného porovnávání zjistíme, které dvojice způsobů cestování
do zaměstnání se liší na hladině významnosti 0,05:
Scheffeho test; proměn.:CAS (doby_cestovani.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
ID
{1}
M=37,000
{2}
M=30,000
{3}
M=36,000
tramvaj {1}
autobus {2}
metro {3}
0,013410 0,869732
0,013410 0,028046
0,869732 0,028046
Komentář: Z tabulky vyplývá, že s rizikem omylu nejvýše 5% se neliší pouze cestování
tramvají a metrem.
Příklad 3.: U 856 žáků ZŠ bylo zjišťováno celkové IQ (proměnná IQ_CELK). Na
asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pravděpodobnost výskytu dítěte
s nadprůměrným IQ_CELK (tj. nad 100 bodů) je stejná ve skupinách matek se základním,
středoškolským a vysokoškolským vzděláním (proměnná VZDEL_M).
Řešení:
Máme tři nezávislé náhodné výběry, j-tý pochází z rozložení A( j ), j = 1, 2, 3. Testujeme
hypotézu H0: 321  .
n1 = 361, n2 = 386, n3 = 109, n = 856
m1 = 111/361 = 30,75%, m2 = 227/386 = 58,81%, m3 = 85/109 = 77,98%, m* =
(111+227+85)/856 = 423/856 = 49,42%.
Podmínky dobré aproximace:
39,178
856
423
361  , 75,190
856
423
386  , 86,53
856
423
109 
Testová statistika
 
53,99
M1
M
nMn
M1M
1
Q
r
1j *
*2
jj
**




 
Kritický obor:     ,991,5,2W 95,0
2
.
Protože testové kritérium se realizuje v kritickém oboru, H0 zamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Metoda mnohonásobného porovnávání prokázala, že na asymptotické hladině významnosti
0,05 se liší všechny tři skupiny.
Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech
Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test
Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky:
Vzorek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 0,275 0,312 0,284 0,3 0,365 0,298 0,312 0,315 0,242 0,321 0,335 0,307
B 0,28 0,312 0,288 0,298 0,361 0,307 0,319 0,315 0,242 0,323 0,341 0,315
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí párového znaménkového testu a poté pomocí
párového Wilcoxonova testu hypotézu, že metody A a B dávají stejné výsledky.
Návod:
Načteme datový soubor kvalita_pudy.sta. Proměnná A obsahuje výsledky metody A,
proměnná B výsledky metody B.
Nejprve budeme testovat nulovou hypotézu pomocí párového znaménkového testu (viz
skripta Základní statistické metody, věta 9.3.1.3. a 9.3.1.1.).
Statistiky –Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků (proměnné) – OK –
1. seznam proměnných A, 2. seznam proměnných B – OK – Znaménkový test.
Znaménkový test (kvalita_pudy.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
A & B 9 77,77778 1,333333 0,182422
Komentář: Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 7,77 %, tj.7. Kladných
je tedy 9 – 7 = 2, což je hodnota testové statistiky SZ
+
. Asymptotická testová statistika U0 (zde
označená jako Z) se realizuje hodnotou 3,1 . Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,18422,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že obě metody dávají
stejné výsledky.
Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality
statistiky SZ
+
, tj. n > 20. Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový
test (viz skripta Základní statistické metody, tabulka na straně 156). Pro n = 9 a α = 0,05 jsou
kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 8. Protože kritický obor 9,81,0W  neobsahuje hodnotu
2, nezamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. Dostáváme stejný výsledek při použití
asymptotického testu
Nyní graficky znázorníme výsledky obou metod: Návrat do Porovnání 2 proměnných Krabicový
graf všech proměnných – OK – A, B – OK.
Krabicový graf
Medián
25%-75%
Min-Max
A B
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
Komentář: Z krabicových diagramů je vidět, že obě metody se poněkud liší v úrovni, ale
neliší se ve variabilitě.
Dále provedeme Wilcoxonův párový test (viz skripta Základní statistické metody, věta
9.3.2.1): Návrat do Porovnání 2 proměnných – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (kvalita_pudy)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z p-hodn.
A & B 9 5,000000 2,073221 0,038153
Komentář: Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW
+
(zde označena T),
hodnotu asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. V tomto případě je p-hodnota
0,038153, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05. Ze
srovnání asymptotických p-hodnot pro znaménkový test a pro Wilcoxonův test plyne, že
Wilcoxonův test je silnější.
Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality
statistiky SW
+
, tj. n ≥ 30. Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritickou hodnotu pro
Wilcoxonův párový test (viz skripta Základní statistické metody, tabulka na straně 157). Pro n
= 9 a α = 0,05 je kritická hodnota rovna 5. Protože kritický obor 5,0W  obsahuje hodnotu
5, zamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. To souhlasí s výsledkem asymptotického testu.
Úkol 2.: Znaménkový test a jednovýběrový Wilcoxonův test
Vyráběné ocelové tyče mají kolísavou délku s předpokládanou hodnotou mediánu 10 m.
Náhodný výběr 10 tyčí poskytl tyto výsledky:
9,83 10,10 9,72 9,91 10,04 9,95 9,82 9,73 9,81 9,90
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že předpoklad o mediánu délky tyčí je
oprávněný.
Návod:
Načteme datový soubor ocelove_tyce.sta. Proměnná X obsahuje naměřené hodnoty a
proměnná Y obsahuje konstantu 10. Provedení znaménkového a Wilcoxonova testu je nyní
stejné jako v předešlém případě.
Znaménkový test (ocelove_tyce.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X& Y 10 80,00000 1,581139 0,113846
Wilcoxonův párový test (ocelove_tyce)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
X& Y 10 5,500000 2,242448 0,024933
Komentář: Znaménkový test poskytl asymptotickou p-hodnotu 0,113846, tedy nulová
hypotéza se nezamítá na hladině významnosti 0,05. Wilcoxonův test dává asymptotickou phodnotu
0,024933, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině významnosti
0,05. Podobně jak v úkolu 1 by bylo vhodnější najít kritické hodnoty v tabulkách. V případě
znaménkového testu jsou kritické hodnoty pro n = 10 a α = 0,05 rovny 1 a 9, testová statistika
SZ
+
= 2. Protože SZ
+
nepatří do kritického oboru 10,91,0W  , nelze nulovou hypotézu
zamítnout na hladině významnosti 0,05, což je v souladu s výsledkem asymptotického testu.
V případě Wilcoxonova testu je kritická hodnota pro n = 10 α = 0,05 rovna 8. Protože kritický
obor 8,0W  obsahuje hodnotu 5,5, zamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. I zde tedy
existuje soulad mezi výsledkem přesného a asymptotického testu.
Podobně jako v úkolu 1. znázorníme výsledky měření pomocí krabicového diagramu:
X
9,70
9,75
9,80
9,85
9,90
9,95
10,00
10,05
10,10
10,15
Úkol 3.: Dvouvýběrový Wilcoxonův test, dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test
Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se zkoušel nový způsob hnojení,
zbylých šest bylo ošetřeno starým způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její
hektarový výnos. Je třeba testovat na hladině významnosti 0,05, zda nový způsob hnojení má
týž vliv na průměrné hektarové výnosy pšenice jako starý způsob hnojení.
hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55
hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50
Návod:
Načteme datový soubor hnojeni_poli.sta. Proměnná X udává výnosy pšenice při obou
způsobech hnojení a proměnná ID nabývá hodnoty 1 pro starý způsob hnojení, hodnoty 2 pro
nový způsob hnojení.
Dvouvýběrový Wilcoxonův test (viz skripta Základní statistické metody, věta 9.4.1.1):
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků (skupiny) – OK Seznam
závislých proměnných X, Grupovací proměnná ID - OK - Mann – Whitneyův U test.
Mann-Whitneyův U test (hnojeni_poli)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
st. zp.
Sčt poř.
n. zp.
U Z p-hodn. Z
uprav.
p-hodn. N platn.
st. zp.
N platn.
n. zp.
2*1str.
přesné p
X 27,00000 28,00000 7,000000 0,959403 0,337356 0,959403 0,337356 4 6 0,352381
Komentář: Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky
min(U1, U2) označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U0 (označená Z),
asymptotická p-hodnota pro U0 a přesná p-hodnota (ozn. 2*1 str. přesné p – ta se používá pro
rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,352381, tedy H0 nezamítáme
na hladině významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem.
stary zpusob novy zpusob
ID
42
44
46
48
50
52
54
56
X
Komentář: Je zřejmé, že výnosy při novém způsobu hnojení jsou vesměs nižší než při
starém způsobu a také vykazují mnohem větší variabilitu.
Dvouvýběrový Kolmogorovův – Smirnovův test (viz skripta Základní statistické metody, věta
9.4.3.1.) poskytne tabulku:
Kolmogorov-Smirnovův test (hnojeni_poli.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
p-hodn. Průměr
stary zpusob
Průměr
novy zpusob
Sm.odch.
stary zpusob
Sm.odch.
novy zpusob
N platn.
stary zpusob
X -0,083333 0,500000 p > .10 51,75000 49,00000 2,500000 4,098780 4
Komentář: Dostaneme maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami obou
výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p > 0,1), průměry,
směrodatné odchylky a rozsahy obou výběrů.
Protože p > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Úkol 4.: Kruskalův – Wallisův test a mediánový test
Voda po holení jisté značky se prodává ve čtyřech různých lahvičkách stejného obsahu. Údaje
o počtu prodaných lahviček za týden v různých obchodech:
1. typ: 50 35 43 30 62 52 43 57 33 70 64 58 53 65 39
2. typ: 31 37 59 67 44 49 54 62 34 42 40
3. typ: 27 19 32 20 18 23
4. typ: 35 39 37 38 28 33.
Posuďte na 5% hladině významnosti, zda typ lahvičky ovlivňuje úroveň prodeje.
Návod:
Načteme datový soubor voda_po_holeni.sta. Proměnná X udává počet prodaných lahviček a
proměnná TYP udává typ lahvičky. Úloha vede na Kruskalův – Wallisův test nebo
mediánový test (viz skripta Základní statistické metody, věta 9.5.1.1. resp. věta 9.5.3.1.):
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků (skupiny) – OK –
Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Grupovací proměnná TYP – OK – Shrnutí:
Kruskal-Wallis ANOVA & Mediánový test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví
výsledky K-W testu a mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (voda_po_holeni.sta
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 38) =18,80199 p =,0003
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1
2
3
4
1 15 379,0000
2 11 257,0000
3 6 24,0000
4 6 81,0000
Mediánový test, celk. medián = 39,5000; X (voda_po_holeni.sta
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Chi-Kvadr. = 17,53939 sv = 3 p = ,0005Závislá:
X 1 2 3 4 Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
4,00000 3,00000 6,00000 6,00000 19,00000
7,50000 5,50000 3,00000 3,00000
-3,50000 -2,50000 3,00000 3,00000
11,00000 8,00000 0,00000 0,00000 19,00000
7,50000 5,50000 3,00000 3,00000
3,50000 2,50000 -3,00000 -3,00000
15,00000 11,00000 6,00000 6,00000 38,00000
Komentář: Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách.
Testová statistika K-W testu je 18,802, počet stupňů volnosti 3, odpovídající asymptotická phodnota
0,0003. Testová statistika mediánového testu je 17,539, počet stupňů volnosti 3,
odpovídající asymptotická p-hodnota 0,0005. K-W test je poněkud silnější (p-hodnota =
0,0003, zatímco p-hodnota pro mediánový test je 0,0005).
Grafické znázornění výsledků: návrat do Shrnutí: Kruskal-Wallis ANOVA & Mediánový test
– Krabicový graf – Vyberte proměnnou: X – OK – Typ krabicového grafu:
Medián/Kvartily/Rozpětí – OK.
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2 3 4
TYP
10
20
30
40
50
60
70
80
X
Komentář: Je vidět, že úroveň prodeje pro 1. typ je nevyšší, zatímco pro 3. typ nejnižší. Pro
1. a 2. typ je variabilita prodeje značná, pro 3. a 4. typ naopak malá.
Vzhledem k tomu, že jsme zamítli nulovou hypotézu o shodě mediánů na asymptotické
hladině významnosti 0,05, provedeme metoda mnohonásobného porovnávání:Vícenás.
porovnání průměrného pořadí pro vš. sk.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.);X (voda_po_holeni.sta
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 38) =18,80199 p =,0003
Závislá:
X
1
R:25,267
2
R:23,364
3
R:4,0000
4
R:13,500
1
2
3
4
1,000000 0,000447 0,170297
1,000000 0,003579 0,481908
0,000447 0,003579 0,832208
0,170297 0,481908 0,832208
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro test hypotézy, že l-tý a k-tý výběr pocházejí
z téhož rozložení. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 zamítáme nulovou hypotézu pro 1.
a 3. typ lahvičky a pro 2. a 3. typ lahvičky.
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: U osmi osob byl změřen systolický krevní tlak před pokusem a po něm.
č. osoby 1 2 3 4 5 6 7 8
tlak před 130 185 162 136 147 181 128 139
tlak po 139 190 175 135 155 175 158 149
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pokus neovlivní systolický krevní tlak.
Řešení:
Stejně jako v úkolu 1 provedeme párový znaménkový a párový Wilcoxonův test. Načteme
soubor tlak.sta. Proměnná X obsahuje hodnoty tlaku před pokusem, proměnná Y po pokusu.
Výstupní tabulka:
Znaménkový test (tlak.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X& Y 8 75,00000 1,060660 0,288844
Komentář: Jelikož p-hodnota = 0,288844 > 0,05, nelze nulovou hypotézu zamítnout na
hladině významnosti 0,05. Vzhledem k malému rozsahu výběru je však vhodnější najít
v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový test (viz skripta Základní statistické metody,
tabulka na straně 156). Pro n = 8 a α = 0,05 jsou kritické hodnoty k1 = 0, k2 = 8. Hodnotu
testové statistiky SZ
+
získáme jako 75% z 8, což je 6. Protože kritický obor neobsahuje
hodnotu 6, nezamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. Dostáváme stejný výsledek při
použití asymptotického testu
Grafické znázornění výsledků pomocí krabicového diagramu:
Medián
25%-75%
Min-Max
X Y
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Komentář: Úroveň tlaku před pokusem byla poněkud nižší než po pokusu, variabilita je jen
nepatrně odlišná.
Výstupní tabulka Wilcoxonova testu:
Wilcoxonův párový test (tlak.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
X& Y 8 4,000000 1,960392 0,049951
Vidíme, že asymptotická p-hodnota = 0,049951, nulová hypotéza se tedy zamítá na
asymptotické hladině významnosti 0,05. Rozsah souboru je pouze 8, není splněna podmínka
dobré aproximace standardizovaným normálním rozložením (n > 30). Proto zjistíme ve
skriptech Základní statistické metody v tabulce na str. 157 kritickou hodnotu pro n = 8 a α =
0,05. Kritická hodnota je rovna 3, hodnota testové statistiky (ve výstupní tabulce označena T)
je 4 > 3, tedy nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05, což je v souladu
s výsledkem znaménkového testu.
Příklad 2.: Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost nákupů (v dolarech) placených
kreditními kartami Master/EuroCard a Visa jsou přibližně stejné. Náhodně vybral 7 nákupů
placených Master/EuroCard: 42 77 46 73 78 33 37 a 9 placených Visou: 39 10 119 68
76 126 53 79 102. Lze na hladině významnosti 0,05 tvrdit, že nákupů placených těmito
dvěma typy karet se shodují?
Řešení:
Stejně jako úkolu 3 použijeme dvouvýběrový Wilcoxonův test a Kolmogorovův - Smirnovův
test.
Načteme datový soubor kreditni_karty.sta. Proměnná X obsahuje hodnoty nákupů, proměnná
ID má hodnotu 1 pro kartu Master/EuroCard a hodnotu 2 pro kartu Visa.
Výstupní tabulka pro dvouvýběrový Wilcoxonův test:
Mann-Whitneyův U test (kreditni_karty.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
M/E Card
Sčt poř.
Visa
U Z Úroveň p Z
upravené
Úroveň p N platn.
M/E Card
N platn.
Visa
2*1str.
přesné p
X 48,00000 88,00000 20,00000 -1,21729 0,223495 -1,21729 0,223495 7 9 0,252273
Komentář: Zajímá nás především přesná p-hodnota (ozn. 2*1 sided exact p – ta se používá
pro rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,252273, tedy H0
nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výstupní tabulka pro Kolmogorovův – Smirnovův test:
Kolmogorov-Smirnovův test (kreditni_karty.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
Úroveň p Průměr
M/E Card
Průměr
Visa
Sm.odch.
M/E Card
Sm.odch.
Visa
N platn.
M/E Card
N platn.
Visa
X -0,444444 0,111111 p > .10 55,14286 74,66667 19,97856 37,64306 7 9
Komentář: Dostaneme maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami obou
výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p > 0,1), průměry,
směrodatné odchylky a rozsahy obou výběrů. Protože p > 0,05, nulovou hypotézu
nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem typu Medián/Kvartily/Rozpětí.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-MaxM/E Card Visa
ID
0
20
40
60
80
100
120
140
X
Komentář: Vidíme, že platby za nákupy kartou Master/EuroCard mají nižší úroveň, ale
přibližně stejnou variabilitu jako platby kartou Visa.
Příklad 3.: Z produkce tří podniků vyrábějících televizory bylo vylosováno 10, 8 a 12 kusů.
Byly získány následující výsledky zjišťování citlivosti těchto televizorů v mikrovoltech:
1. podnik: 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460
2. podnik: 400 420 580 470 470 500 520 530
3. podnik: 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 670
Testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě úrovně citlivosti televizorů v
jednotlivých podnicích.
Řešení:
Stejně jako v úkolu 4 provedeme Kruskalův-Wallisův test a mediánový test. Načteme datový
soubor televizory.sta. Proměnná X obsahuje hodnoty citlivosti televizorů, proměnná ID udává
číslo podniku.
Ve dvou výstupních tabulkách máme výsledky mediánového testu a K-W testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (televizory.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 30) =8,204318 p =,0165
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1. podnik
2. podnik
3. podnik
1 10 127,0000
2 9 101,5000
3 11 236,5000
Mediánový test, celk. medián = 535,000; X (televizory.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Chi-Kvadr. = 7,632323 sv = 2 p = ,0220Závislá:
X 1. podnik 2. podnik 3. podnik Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
6,00000 7,00000 2,00000 15,00000
5,00000 4,50000 5,50000
1,00000 2,50000 -3,50000
4,00000 2,00000 9,00000 15,00000
5,00000 4,50000 5,50000
-1,00000 -2,50000 3,50000
10,00000 9,00000 11,00000 30,00000
Komentář: Protože zjištěné p-hodnoty jsou menší než zvolená hladina významnosti 0,05, oba
testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných třech skupinách.
Výsledky metody mnohonásobného porovnávání:
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.); X (televizory.sta
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 30) =8,204318 p =,0165
Závislá:
X
1. podnik
R:12,700
2. podnik
R:11,278
3. podnik
R:21,500
1. podnik
2. podnik
3. podnik
1,000000 0,066447
1,000000 0,029347
0,066447 0,029347
Komentář: Na hladině významnosti 0,05 se liší citlivost televizorů vyráběných ve 2. a 3.
podniku.
Grafické znázornění výsledků:
Medián
25%-75%
Min-Max
1. podnik 2. podnik 3. podnik
ID
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
X
Komentář: Je vidět, že citlivost televizorů ze 3. podniku je nevyšší, zatímco ze 2.podniku
nejnižší. Citlivost výrobků 3. podniku však vykazuje největší variabilitu.
Cvičení 10: Porovnání empirického a teoretického rozložení
Úkol 1.: Ze souboru rodin s pěti dětmi bylo náhodně vybráno 84 rodin a byl zjišťován počet
chlapců:
Počet chlapců 0 1 2 3 4 5
Počet rodin 3 10 22 31 14 4
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozložení počtu chlapců se
řídí binomickým rozložením Bi(5; 0,5).
Řešení:
Testujeme H0: náhodný výběr X1, …, X84 pochází z Bi(5; 0,5) proti H1: non H0.
Pravděpodobnost, že náhodná veličina s rozložením Bi(5; 0,5) bude nabývat hodnot p0, ..., p5
je ,50,1,j,
32
1
j
5
pj 





 .
Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
j nj pj npj
0 3 0,03125 84.0,03125=2,625
1 10 0,15625 84.0,15625=13,125
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25
4 14 0,15625 84.0,15625=13,125
5 4 0,03125 84.0,03125=2,625
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny, sloučíme tedy první dvě varianty a poslední dvě
varianty.
j nj pj npj
 
j
2
jj
np
npn 
0 a 1 13 0,1875 84.0,1875=15,75 0,480159
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25 0,688095
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25 0,859524
4 a 5 18 0,1875 84.0,1875=15,75 0,321429
Vypočteme realizaci testové statistiky: K = 0,48059 + 0,688095 + 0,859524 + 0,321429 =
2,3492, počet tříd r = 4, počet odhadovaných parametrů p = 0, r – p - 1 = 3, kritický obor
        ;8147,7,3,1prW 95,0
2
1
2
. Protože WK  , nulovou hypotézu
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor se dvěma proměnnými a čtyřmi případy. Proměnná nj obsahuje
zjištěné četnosti (po sloučení variant), proměnná npj pak teoretické četnosti.
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované vs. očekávané χ2 – OK – Proměnné –
Pozorované četnosti nj, očekávané četnosti npj – OK – Výpočet.
Pozorované vs. očekávané četnosti (Tabulka1
Chi-Kvadr. = 2,349206 sv = 3 p = ,503161
Případ
pozorov.
nj
očekáv.
npj
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
Sčt
13,00000 15,75000 -2,75000 0,480159
22,00000 26,25000 -4,25000 0,688095
31,00000 26,25000 4,75000 0,859524
18,00000 15,75000 2,25000 0,321429
84,00000 84,00000 0,00000 2,349206
V záhlaví výstupní tabulky je uvedena hodnota testového kritéria (2,349206), počet stupňů
volnosti = 3 a p-hodnota (0,503161). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Úkol 2.: Na jistém nádraží byl sledován počet přijíždějících vlaků za 1 h. Pozorování bylo
prováděno celkem 15 dnů (tj. 360 h) a výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Počet vlaků za 1 hodinu 0 1 2 3 4 5 6 7 a víc
četnost 27 93 103 58 50 21 6 2
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že počet přijíždějících vlaků za
1 h se řídí Poissonovým rozložením, a to a) testem dobré shody, b) jednoduchým testem
Poissonova rozložení.
Řešení:
Testujeme H0: náhodný výběr X1, …, X360 pochází z Po(λ) proti H1: non H0.
Ad a) Nejprve odhadneme parametr λ Poissonova rozložení:
    3,272193027
360
1
xn
n
1
mˆ
r
0j
jj  

Pravděpodobnost, že náhodná veličina s rozložením Po(λ), kde λ = 2,3 bude nabývat hodnot
0, 1, ..., 7 a víc je  6107
3,2
jj
j ppp1p0,1,...,6,j,e
!j
3,2
e
!j
p 

 
 .
Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
j nj pj npj
0 27 0,1003 36,0932
1 93 0,2306 83,0143
2 103 0,2652 95,4665
3 58 0,2033 73,1910
4 50 0,1169 43,0848
5 21 0,0538 19,3590
6 6 0,0216 7,4210
7 a víc 2 0,0094 3,3703
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny, sloučíme tedy varianty 6 a 7 a víc.
j nj pj npj (nj - npj)2
/ npj
0 27 0,1003 36,0932 2,2909
1 93 0,2306 83,0143 1,2012
2 103 0,2652 95,4665 0,5945
3 58 0,2033 73,1910 3,1529
4 50 0,1169 43,0848 1,4887
5 21 0,0538 19,3590 0,1391
6 a víc 8 0,0300 10,7912 0,7220
K = 2,2909 + 1,2012 + … + 0,7220 = 9,5892, r = 7, p = 1, r – p – 1 = 5, χ2
0,95(5) = 11,0705.
Protože 9,5892 < 11,0705, nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05. Nepodařilo se tedy prokázat, že počty přijíždějících vlaků za 1 h se neřídí
Poissonovým rozložením.
Ad b)
Nejprve musíme vypočítat realizaci výběrového průměru a výběrového rozptylu:
  3,272193027
360
1
m  
       121448,23,2723,21933,2027
359
1
s
2222
 
Testová statistika:
  1304,331
3,2
121448,2359
M
S1n
K
2




 .
Kritický obor:       ,4,4134,308,0,359359,0W 975,0
2
025,0
2
.
H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor vlaky.sta.
Ad a) Statistiky – Prokládání rozdělení – Diskrétní rozdělení – Poissonovo – OK – Proměnná
POCET – klikneme na ikonu se závažím – Proměnná vah CETNOST – Stav Zapnuto – OK –
Výpočet.
Proměnná: pocet, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 2,29444 (vlaky.sta)
Chí-kvadrát = 9,60335, sv = 5, p = 0,08729
Kategorie
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
<= 0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
4,00000
5,00000
< Nekonečno
27 27 7,50000 7,5000 36,29426 36,2943 10,08174 10,0817
93 120 25,83333 33,3333 83,27517 119,5694 23,13199 33,2137
103 223 28,61111 61,9444 95,53512 215,1045 26,53753 59,7513
58 281 16,11111 78,0556 73,06667 288,1712 20,29630 80,0476
50 331 13,88889 91,9444 41,91185 330,0831 11,64218 91,6897
21 352 5,83333 97,7778 19,23288 349,3160 5,34247 97,0322
8 360 2,22222 100,0000 10,68405 360,0000 2,96779 100,0000
V tomto případě je parametr λ Poissonova rozložení neznámý, je odhadnut pomocí
výběrového průměru a odhad činí 2,29444. Dále je v záhlaví výstupní tabulky uvedena
hodnota testové statistiky (Chí kvadrát = 9,60335), počet stupňů volnosti r – p – 1 = 5 – 1 – 1
= 3 a p-hodnota (0,0879). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
Pro vytvoření grafu se vrátíme do Proložení diskrétních rozložení – Základní výsledky – Graf
pozorovaného a očekávaného rozdělení.
Proměnná: pocet, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 2,29444
Chí-kvadrát test = 9,60335, sv = 5, p = 0,08729
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Kategorie (horní meze)
0
20
40
60
80
100
120
Početpozorování
Ad b) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnná počet –
OK – zapneme proměnnou vah cetnost – OK. Na záložce Detailní výsledky zaškrtneme Počet
platn., Průměr, Rozptyl – Výpočet.
K výstupní tabulce přidáme za proměnnou Rozptyl tři nové proměnné, a to Test. Stat.,
Kvantil1, Kvantil 2.
Do Dlouhého jména proměnné Test. Stat. napíšeme:
=(v1-1)*v3/v2
Do Dlouhého jména proměnné Kvantil 1 napíšeme:
=VChi2(0,025;359)
Do Dlouhého jména proměnné Kvantil 2 napíšeme:
=VChi2(0,975;359)
Dostaneme výslednou tabulku:
Popisné statistiky (vlaky.sta)
Proměnná N platných Průměr Rozptyl Test. Kvantil 1 Kvantil 2
pocet 360 2,294444 2,074621 324,6053 308,4009 413,3862
Vidíme, že testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru  ,4,4134,308,0W ,
tedy H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
(Malé rozdíly mezi ručním výpočtem a výpočtem ve STATISTICE plynou ze
zaokrouhlovacích chyb.)
Úkol 3.: Jsou známy počty občanů města Brna podle měsíce narození (stav k 31.12.2001).
měsíc narození počet osob
leden 32309
únor 30126
březen 35010
duben 34761
květen 34955
červen 32883
červenec 33255
srpen 31604
září 31173
říjen 30536
listopad 28571
prosinec 29467
celkem 384650
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 ověřte hypotézu, že počty narozených jsou pro
všechny měsíce stejné. Počty narozených lidí v jednotlivých měsících roku rovněž znázorněte
graficky.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor obyvatele_brna.sta. Tento soubor má tři proměnné (počet, délka
měsíce a teor. počet) a 12 případů. Proměnná počet obsahuje absolutní četnosti z předchozí
tabulky. Proměnná délka měsíce obsahuje počtu dnů v jednotlivých měsících roku.
Proměnná teor. počet obsahuje teoretické četnosti, tj. její hodnoty získáme tak, že do jejího
Dlouhého jména napíšeme:
=384650/(365/v2)
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované versus očekávané χ2
– OK - Pozorované
četnosti počet, Očekávané četnosti teor. počet - OK – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Pozorované vs. očekávané četnosti (obyvatele_brna.sta
Chi-Kvadr. = 1506,153 sv = 11 p = 0,000000
POZN.: Nestejné součty pozor. a oček. četností
Případ
pozorov.
pocet
očekáv.
teor. pocet
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
C: 5
C: 6
C: 7
C: 8
C: 9
C: 10
C: 11
C: 12
Sčt
32309,0 32668,9 -359,90 3,965
30126,0 29507,4 618,60 12,969
35010,0 32668,9 2341,10 167,766
34761,0 31615,1 3145,93 313,043
34955,0 32668,9 2286,10 159,976
32883,0 31615,1 1267,93 50,851
33255,0 32668,9 586,10 10,515
31604,0 32668,9 -1064,90 34,713
31173,0 31615,1 -442,07 6,181
30536,0 32668,9 -2132,90 139,254
28571,0 31615,1 -3044,07 293,099
29467,0 32668,9 -3201,90 313,821
384650,0 384650,0 -0,00 1506,153
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když K ≥ χ2
1-α(r-1-p).
V našem případě je r = 12, p = 0 a   .675,19112
95,0  Protože K = 1506,153 ≥19,675,
zamítáme nulovou hypotézu na asymptotické hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu
nejvýše 5 % jsme prokázali, že obyvatelé Brna se rodí v průběhu roku nerovnoměrně.
Výpočet doplníme sloupkovým diagramem pozorovaných četností a očekávaných četností.
Pozorované a teoretické počty obyvatel Brna narozených v jednotlivých měsících roku
pozorov.
očekáv.
leden
únor
březen
duben
květen
červen
červenec
srpen
září
říjen
listopad
prosinec
28000
29000
30000
31000
32000
33000
34000
35000
36000
Komentář: Největší rozdíly mezi pozorovanými a očekávanými relativními četnostmi jsou
v prosinci, dubnu a listopadu, naopak nejmenší v lednu a září.
Úkol 4.: Firma, která vlastní několik supermarketů, se zajímá, zda zákazníci dávají přednost
některému dnu v týdnu pro nákup. Náhodně bylo vybráno 300 zákazníků, kteří měli říci, který
den v týdnu nejčastěji nakupují v supermarketu.
Výsledky:
Den pondělí úterý středa čtvrtek pátek sobota neděle
Počet 10 20 40 40 80 60 50
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že žádný den v týdnu nemá při
nakupování v supermarketu přednost před jinými dny.
Návod:
Načteme datový soubor nakupy.sta. Proměnná X obsahuje pozorované absolutní četnosti a Y
vypočítané teoretické četnosti (v našem případě 300/7).
Statistiky – Neparametrické statistiky – Pozorované vs. očekávané χ2
– Proměnné Pozorované
X, Očekávané Y, OK – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Pozorované vs. očekávané četnosti (nakupy.sta)
Chi-Kvadr. = 78,00000 sv = 6 p = ,000000
Případ
pozorov.
X
očekáv.
Y
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
C: 5
C: 6
C: 7
Sčt
10,0000 42,8571 -32,8571 25,19048
20,0000 42,8571 -22,8571 12,19048
40,0000 42,8571 -2,8571 0,19048
40,0000 42,8571 -2,8571 0,19048
80,0000 42,8571 37,1429 32,19048
60,0000 42,8571 17,1429 6,85714
50,0000 42,8571 7,1429 1,19048
300,0000 300,0000 0,0000 78,00000
Komentář: Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu testové statistiky (Chi-Square = 78) a
odpovídající p-hodnotu, kterou porovnáme se zvolenou hladinou významnosti. V našem
případě je p-hodnota velmi malá, takřka nulová, takže nulová hypotéza se zamítá na
asymptotické hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že
zákazníci nakupují během týdne nerovnoměrně.
Příklad 1 k samostatnému řešení: D rybníka bylo umístěno 5 pastí, přičemž každá past
svítila jiným světlem (bílým, žlutým, modrým, zeleným, červeným). Do těchto pastí se
chytilo 56, 72, 41, 53 a 38 jedinců. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že barva světla v pasti nemá vliv na počet chycených jedinců.
Výsledek: Testová statistika nabývá hodnoty 14,1154, kritický obor je  ;488,9W , tedy
na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme. S rizikem omylu
nejvýše 0,05 jsme prokázali, že barva světla v pasti má vliv na počet chycených jedinců.
Příklad 2 k samostatnému řešení: Byla zjišťována doba životnosti 45 součástek (v h). Ze
získaných údajů byla vypočtena realizace výběrového průměru m = 99,93 h a výběrového
rozptylu s2
= 7328,9 h2
. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte Darlingovým
testem hypotézu, že doba životnosti součástek se řídí exponenciálním rozložením.
Výsledek: Testová statistika nabývá hodnoty 32,2924, kritický obor je
      ;202,64575,27;0,4444,0W 975,0
2
025,0
2
, tedy na asymptotické
hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme.
Cvičení 11: Hodnocení kontingenčních tabulek
Úkol 1.: Testování hypotézy o nezávislosti, měření síly závislosti
V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.
Barva vlasůBarva očí
světlá kaštanová černá rezavá
modrá 1768 807 180 47
šedá nebo zelená 946 1387 746 53
hnědá 115 438 288 16
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy
vlasů. Vypočtěte Cramérův koeficient. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
Návod:
Testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti
H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testová statistika má tvar:
 








r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K . Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
((r-1)(s-1)),
kde r, s jsou počty variant jednotlivých proměnných.
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α,
když K ≥ χ2
1-α((r-1)(s-1)).
V našem případě zjistíme, že K = 1088,15, r = 3 , s = 4, χ2
1-α((r-1)(s-1) = χ2
0,95(6) = 12,592 a
protože hodnota testové statistiky K = 1088,15 ≥ 12,592, zamítáme nulovou hypotézu na
asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient:
)1m(n
K
V

 , kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá hodnot
mezi 0 a 1. Čím blíže je 1, tím je těsnější závislost mezi X a Y, čím blíže je 0, tím je tato
závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná závislost.
Otevřeme datový soubor oci_vlasy.sta. Před provedením testu je zapotřebí ověřit podmínky
dobré aproximace: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif.
tabulky – List 1 OCI, List 2 VLASY, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce
Možnosti zaškrtneme Očekávané četnosti – Výpočet.
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (oci_vlasy.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 1088,15, sv=6, p=0,00000
OCI VLASY
světlá
VLASY
kaštanová
VLASY
černá
VLASY
rezavá
Řádk.
součty
modrá 1167,259 1085,976 500,902 47,8622 2802,000
šedá nebo zelená 1304,731 1213,875 559,895 53,4990 3132,000
hnědá 357,010 332,149 153,202 14,6388 857,000
Vš.skup. 2829,000 2632,000 1214,000 116,0000 6791,000
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Nyní
budeme testovat hypotézu o nezávislosti proměnných OCI, VLASY.
Návrat do Výsledky; kontingenční tabulky – na záložce Detaily zaškrtneme Pearsonův & M-L
Chi - kvadrát, Phi & Cramerovo V – Detailní výsledky – Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
1088,149 df=6 p=0,0000
1155,669 df=6 p=0,0000
,4002923
,3716246
,2830494
Ve výstupní tabulce najdeme mj. hodnotu testové statistiky (Pearsonův chí-kv = 1088,149)
s počtem stupňů volnosti (sv = 6) a odpovídající p-hodnotou (p = 0,0000), dále Cramérův
koeficient (V = 0,283). Protože p-hodnota je mnohem menší než 0,05, nulovou hypotézu o
nezávislosti barvy očí a barvy vlasů zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient svědčí o slabé závislosti barvy očí a vlasů.
Pro grafické znázornění četností se vrátíme do Výsledky; kontingenční tabulky – Detailní
výsledky – 3D histogramy. Po vytvoření grafu 2 krát poklepeme levým tlačítkem myši na
pozadí grafu:
Rozvržení grafu – Typ Šipky – OK. Graf lze natáčet pomocí volby Zorný bod.
Dvourozměrné rozdělení:
OCI x VLASY
Úkol 2.: Fisherův faktoriálový test
100 náhodně vybraných osob bylo dotázáno, zda dávají přednost nealkoholickému nápoji A či
B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
pohlaví
preferovaný nápoj
muž žena
A 20 30
B 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných NAPOJ, POHLAVI, CETNOST
a čtyřech případech. Do proměnné NAPOJ napíšeme dvakrát pod sebe 1 (nápoj A) a dvakrát
pod sebe 2 (nápoj B). Do proměnné POHLAVI napíšeme jedničku (1 – muž) a dvojku (2 –
žena) a znovu jedničku a dvojku. D proměnné CETNOST napíšeme uvedené četnosti.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
NAPOJ, List 2 POHLAVI, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm.
tabulky.
Statist. : POHLAVI(2) x NAPOJ(2) (kap11_2)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
4,000000 df=1 p=,04550
4,027103 df=1 p=,04478
3,240000 df=1 p=,07186
p=,03567
p=,07134
,0250000 df=1 p=,87437
,0166667 df=1 p=,89728
Ve výstupní tabulce je mimo jiné uvedena p-hodnota pro oboustranný a jednostranný test.
V našem případě se jedná o oboustranný test (nevíme, zda muži více preferují nápoj A či
nápoj B než ženy), zajímáme se tedy o Fisherův přesný, 2-str. Ta je 0,07134. Protože phodnota
je větší než 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný
typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Úkol 3.: Podíl šancí
Pro údaje z úkolu 2 vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti
pro podíl šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti testujte na asymptotické hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Nejprve zopakujme teorii:
Ve čtyřpolních tabulkách používáme charakteristiku
bc
ad
OR  , která se nazývá podíl šancí
(odds ratio). Můžeme si představit, že pokus se provádí za dvojích různých okolností a může
skončit buď úspěchem nebo neúspěchem.
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů k počtu neúspěchů (tzv. šance) za 1. okolností je
c
a
, za druhých
okolností je
d
b
. Podíl šancí je
bc
ad
OR  . Považujeme ho za odhad skutečného podílu šancí
oρ. Pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro logaritmus skutečného
podílu šancí ln oρ lze na asymptotické hladině významnosti α testovat hypotézu o nezávislosti
nominálních veličin X a Y. Asymptotický 100(1-α)% interval spolehlivosti pro přirozený
logaritmus skutečného podílu šancí má meze:
2/1u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln  . Jestliže interval spolehlivosti nezahrne 0, pak hypotézu o
nezávislosti zamítneme na asymptotické hladině významnosti α.
V našem případě podíl šancí vypočteme ručně. 4,0
9
4
3030
2020
bd
ac
OR 


 . Dolní a horní
mez intervalu spolehlivosti pro OR zjistíme pomocí STATISTIKY. Vytvoříme datový soubor
o dvou proměnných DM a HM a dvou případech. Do Dlouhého jména proměnné DM
napíšeme vzorec pro dolní mez:
=log(4/9)-sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez:
=log(4/9)+sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
1
DM
2
HM
1 -1,61108 -0,01078
Výsledek: -1,61108 < ln oρ < -0,01078 s pravděpodobností přibližně 0,95. Protože tento
interval spolehlivosti neobsahuje 0, na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému dospěl Fisherův přesný test. Je to
způsobeno tím, že test pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti je pouze přibližný.
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: Zajímá nás, zda má lokalita v ČR vliv na objem exportu do sousedních zemí.
Sledujeme lokality: Ostrava, Brno, Plzeň, Praha a země: Slovensko, Rakousko, Německo,
Polsko, USA). Máme k dispozici tato data:
Kam:
Odkud: SlovenskoRakouskoNěmeckoPolskoUSA
Ostrava 350 216 189 626 46
Brno 387 489 274 126 115
Plzeň 52 83 264 132 51
Praha 484 594 737 447 141
Řešení:
Načteme datový soubor export.sta. Proměnná EXPORT obsahuje objem exportu pro zvolenou
kombinaci LOKALITA, ZEMĚ.
Testová statistika K ze vzorce (11.1) nabývá hodnoty 821,59, odpovídající p-hodnota je velmi
blízká nule, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 považujeme za prokázanou
závislost objemu exportu na lokalitě v České republice. Podmínky dobré aproximace jsou
splněny, jak vidíme z následující tabulky:
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (export.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 821,587, sv=12, p=0,00000
LOKALITA ZEME
Slovensko
ZEME
Rakousko
ZEME
Německo
ZEME
Polsko
ZEME
USA
Řádk.
součty
Ostrava 330,106 358,371 301,840 345,146 91,5375 1427,000
Brno 321,778 349,330 294,226 336,438 89,2282 1391,000
Plzeň 134,633 146,161 123,105 140,767 37,3335 582,000
Praha 486,484 528,138 444,829 508,649 134,9008 2103,000
Vš.skup. 1273,000 1382,000 1164,000 1331,000 353,0000 5503,000
Cramérův koeficient nabývá hodnoty 0,223, tedy mezi sledovanými proměnnými existuje
slabá závislost.
Zjištěná data ještě znázorníme graficky:
Dvourozměrné rozdělení: LOKALITA x ZEME
Příklad 2.: 200 respondentů, z nichž bylo 73 žen, hodnotilo úroveň jistého časopisu. 34 žen ji
hodnotilo kladně, stejně jako 47 mužů. Ostatní respondenti se o úrovni časopisu vyjádřili
záporně. Vypočtěte a interpretujte podíl šancí časopisu na kladné hodnocení a na
asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte pomocí asymptotického intervalu
spolehlivosti pro podíl šancí hypotézu, že hodnocení úrovně časopisu nezávisí na pohlaví
respondenta. Proveďte též Fisherův přesný test a vypočtěte Cramérův koeficient.
Řešení:
Sestavíme čtyřpolní kontingenční tabulku simultánních absolutních četností:
pohlaví respondentahodnocení časopisu
muž žena
nj.
kladné 47 34 81
záporné 80 39 119
n.k 127 73 200
Kladné hodnocení časopisu pozorujeme u 37% mužů a u 46,6 % žen.
Vypočítáme podíl šancí časopisu na kladné hodnocení.
,673897,0
8034
3947
bc
ad
OR 


 což znamená, že u mužů je 0,674 x menší šance na kladné
hodnocení časopisu než u žen.
Dále provedeme výpočty pro stanovení intervalu spolehlivosti.
96,1u,298,0
39
1
80
1
34
1
47
1
d
1
c
1
b
1
a
1
-0,39468,ORln 0,975 
89476,196,1298,039468,0hln,97876,096,1298,039468,0dln 
Protože interval (-0,97876; 1,89476) obsahuje číslo 0, na asymptotické hladině významnosti
0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Další výsledky máme v tabulce:
Statist. : hodnoceni(2) x pohlavi(2) (Tabulka13)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
Fí pro tabulky 2 x 2
Tetrachorická korelace
Kontingenční koeficient
1,760835 df=1 p=,18452
1,752654 df=1 p=,18555
1,386184 df=1 p=,23905
p=,11967
p=,23131
17,76316 df=1 p=,00003
,5697674 df=1 p=,45035
,0938306
,1507792
,0934202
Fisherův přesný test poskytl p-hodnotu 0,23131, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Cramérův koeficient je 0,0938, což svědčí o zanedbatelné závislosti mezi sledovanými
veličinami.
Příklad 3.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti pedagogické
hodnosti a pohlaví a vypočtěte Cramérův koeficient vyjadřující intenzitu závislosti
pedagogické hodnosti na pohlaví, jsou-li k dispozici následující údaje:
pedagogická hodnostpohlaví
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Výsledek: Podmínky dobré aproximace jsou splněny, pouze jediná teoretická četnost klesne
po 5. Testová statistika K nabývá hodnoty 3,5, p = 0,1739, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a pohlaví.
Cramérův koeficient: V = 0,187.
Příklad 4.: 18 mužů onemocnělo určitou chorobou. Někteří z nich se léčili, jiní ne. Někteří se
uzdravili, jiní zemřeli. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
léčení
přežití
ano ne
ano 5 3
ne 6 4
Vypočtěte a interpretujte podíl šancí. Pomocí intervalu spolehlivosti pro podíl šancí testujte
na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že přežití nezávisí na léčení proti
tvrzení, že léčení zvyšuje šance na přežití.
Výsledek: 1,1OR  , nulovou hypotézu nezamítáme asymptotické hladině významnosti 0,05,
protože levostranný 95% asymptotický interval spolehlivosti pro logaritmus podílu šancí je
(-1,49785; ∞).
Cvičení 12: Jednoduchá korelační analýza
Úkol 1.: Testování nezávislosti ordinálních veličin
12 různých softwarových firem nabízí speciální programové vybavení pro vedení účetnictví.
Jednotlivé programy byly posouzeny odbornou komisí složenou z počítačových odborníků a
komisí složenou z profesionálních účetních. Úkolem bylo doporučit vhodný program na
základě stanovení pořadí jednotlivých programů. Výsledky posouzení:
Produkt firmy číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pořadí dle odborníků 6 7 1 8 4 2,5 9 12 10 2,5 5 11
Pořadí dle účetních 4 5 2 10 6 1 7 11 8 3 12 9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou komisí jsou nezávislá.
Návod:
Testujeme vlastně nulovou hypotézu, že koeficient pořadové korelace je roven nule proti
oboustranné alternativě.
Načteme datový soubor vedeni_ucetnictvi.sta o dvou proměnných X (hodnocení 1. komise),
Y (hodnocení 2. komise) a 12 případech.
Statistiky – Neparametrické statistiky – Korelace – OK – vybereme Vytvořit detailní report Proměnné
X, Y – OK – Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanovy korelace (vedeni_ucetnictvi.sta)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) p-hodn.
X & Y 12 0,714537 3,229806 0,009024
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,7145, testová statistika se
realizuje hodnotou 3,2298, odpovídající p-hodnota je 0,009024, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení dvou komisí ve
prospěch oboustranné alternativy.
Upozornění: Systém STATISTICA používá při testování hypotézy o pořadové nezávislosti
veličin X, Y asymptotickou variantu testu bez ohledu na rozsah náhodného výběru. Pokud
rozsah výběru nepřesáhne 20, měli bychom systém STATISTCA použít jen k výpočtu rS a
testování bychom měli provést pomocí tabelované kritické hodnoty. V našem případě pro n =
12 a α = 0,05 je kritická hodnota 0,5804. Vidíme, že nulovou hypotézu zamítáme na hladině
významnosti 0,05, protože 0,7145 ≥ 0,5804.
Úkol 2.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin – oboustranná
alternativa
Zjišťovalo se, kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve matek prvorodiček (veličina X) a u
jejich novorozenců (veličina Y) těsně po porodu. Byly získány tyto výsledky:
Číslo matky 1 2 3 4 5 6
xi 40 64 34 15 57 45
yi 33 46 23 12 56 40
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, vypočtěte výběrový korelační koeficient, sestrojte
95% interval spolehlivosti pro korelační koeficient a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu o nezávislosti výsledků obou měření.
Návod: Načteme datový soubor kyselina_mlecna.sta o dvou proměnných X a Y a šesti
případech. Obvyklým způsobem zobrazíme dvourozměrný tečkový diagram, s jehož pomocí
posoudíme dvourozměrnou normalitu dat. Tedy:
Grafy – Bodové grafy – vypneme lineární proložení - Proměnné X, Y – OK – Detaily - Elipsa
normální – OK. Ve vzniklém grafu upravíme měřítka na vodorovné a svislé ose:
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
X
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice
– OK – 2 seznamy proměn. – X, Y – OK – na záložce Možnosti vybereme Zobrazit detailní
tabulku výsledků – Výpočet.
Korelace (kyselina_mlecna.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
Y
42,50000 17,39828
35,00000 15,89969 0,934832 0,873912 5,265339 0,006232 6 -1,30823 0,854311 6,696994 1,022943
Ve výstupní tabulce je mj. hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r=0,9348), tzn.
že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost), hodnota testové statistiky (t = 5,2653) a
p-hodnotu pro test hypotézy o nezávislosti (p=0,006232), H0 tedy zamítáme na hladině
významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že mezi oběma
koncentracemi existuje závislost.
Pro testování pomocí intervalu spolehlivosti využijeme modul Analýza síly testu:
Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu - Jedna korelace, t-test – OK – Pozorované
R: 0,9348, N: 6, Spolehlivost: 0,95 – Výpočetní algoritmus: zaškrtneme Fisherovo Z
(původní) – Vypočítat.
Zjistíme, že Dolní mez = 0,5106, Horní mez = 0,993. Protože tento interval neobsahuje 0, H0
zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Poznámka: Pokud známe výběrový koeficient korelace a rozsah výběru, můžeme test
nezávislosti veličin X, Y provést pomocí Pravděpodobnostního kalkulátoru.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Korelace – zadáme n a r, zaškrtneme Výpočet p
z r – Výpočet.
Úkol 3.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin – jednostranná
alternativa
Při průzkumu příčin dopravních nehod bylo provedeno měření diastolického tlaku 10 skupin
řidičů autobusů při různých teplotách vnějšího ovzduší. Data znázorněte graficky, posuďte
jejich dvourozměrnou normalitu, vypočtěte realizaci výběrového koeficientu korelace a na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že teplota ovzduší neovlivňuje krevní tlak řidičů
proti alternativě, že že mezi teplotou a tlakem existuje kladná korelace.
Teplota ovzduší (ve ° C): -10,5 -5,4 0,2 6,4 10,2 15,6 18,5 25, 5 28,9 31,5 35,8
průměrný tlak (v mm Hg): 76 78 81 81 74 72 76 81 82 83 84
Návod:
Načteme datový soubor ridici_autobusu.sta. Proměnná X obsahuje teploty, proměnná Y tlaky.
Vytvoříme dvourozměrný tečkový diagram s 95% elipsou konstantní hustoty
pravděpodobnosti:
-60 -40 -20 0 20 40 60 80
X
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Y
Komentář: Vzhled diagramu svědčí o dvourozměrné normalitě dat.
Číselná realizace výběrového koeficientu korelace: r12 = 0,3823 svědčí o existenci poměrně
slabé přímé lineární závislosti mezi vnější teplotou a diastolickým krevním tlakem řidičů
autobusů – s rostoucí teplotou poněkud roste krevní tlak.
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu 0:H0  proti pravostranné alternativě
0:H1  . Pomocí Pravděpodobnostního kalkulátoru zjistíme p-hodnotu pro tuto
jednostrannou alternativu: p = 0,1378. Na hladině významnosti 0,05 tedy nezamítáme
hypotézu, že vztah mezi teplotou a tlakem je pouze náhodný.
Úkol 4.: Porovnání dvou korelačních koeficientů
V psychologickém výzkumu bylo vyšetřeno 426 hochů a 430 dívek. Ve skupině hochů činil
výběrový koeficient korelace mezi verbální a performační složkou IQ 0,6033, ve skupině
dívek činil 0,5833. Za předpokladu dvourozměrné normality dat testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že korelační koeficienty se neliší.
Návod: Nejprve zopakujeme teorii:
Nechť jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n a n*
z dvourozměrných
normálních rozložení s korelačními koeficienty ρ a ρ*
. Testujeme H0: ρ = ρ*
proti H1: ρ ≠ ρ*
.
Označme R12 výběrový korelační koeficient 1. výběru a R12
*
výběrový korelační koeficient
2. výběru. Položme
12
12
R1
R1
ln
2
1
Z


 a *
12
*
12*
R1
R1
ln
2
1
Z


 . Platí-li H0, pak testová statistika
3n
1
3n
1
*
*
ZZ
U



 má asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor pro test H0 proti
oboustranné alternativě tedy je    ,uu,W 2/12/1 . H0 zamítáme na
asymptotické hladině významnosti α, když WU  .
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme 0,6033, do políčka N1
napíšeme 426, do políčka r2 napíšeme 0,5833, do políčka N2 napíšeme 430 - Výpočet.
Dostaneme p-hodnotu 0,6528, tedy nezamítáme nulovou hypotézu o shodě dvou koeficientů
korelace na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Úkoly k samostatnému řešení
Příklad 1.: Bylo sledováno 10 žáků. Na základě psychologického vyšetření byli tito žáci
seřazeni podle nervové lability (čím byl žák labilnější, tím dostal vyšší pořadí Ri). Kromě toho
sledování žáci dostali pořadí Qi na základě svých výsledků v matematice (nejlepší žák
v matematice dostal pořadí 1). Výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pořadí Qi 9 3 8 5 4 2 10 1 7 6
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že nervová labilita a výsledky v matematice jsou nezávislé.
Výsledek: rS = -0,127, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Příklad 2.: V náhodném výběru 10 dvoučlenných domácností byl zjišťován měsíční příjem
(veličina X, v tisících Kč) a vydání za potraviny (veličina Y, v tisících Kč).
xi 15 21 34 35 39 42 58 64 75 90
yi 3 4,5 6,5 6 7 8 9 8 9,5 10,5
Vypočtěte výběrový koeficient korelace. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y. Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro ρ
Výsledek: r12 = 0,9405, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05, s pravděpodobností aspoň
0,95 platí: 0,7623 < ρ < 0,9862
Příklad 3.: U určitého výrobku hodnotil expert dvě vlastnosti na desetibodové stupnici tak,
že nula je nejhorší a desítka nejlepší hodnocení. Máte k dispozici výsledky hodnocení 11
náhodně vybraných výrobků:
1. vlastnost 3,1 2,8 4,4 5,8 5,1 4,3 4,7 2,9 5,3 5,4 5,9
2. vlastnost 7,2 6,5 6,9 8,4 76 4,4 3,8 7,1 4,3 4,7 8,9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou vlastností jsou pořadově nezávislá.
Výsledek: rS = 0,282, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Cvičení 13: Jednoduchá regresní analýza
Úkol 1.: U šesti obchodníků byla zjišťována poptávka po určitém druhu zboží loni (veličina X
- v kusech) a letos (veličina Y - v kusech).
číslo. obchodníka 1 2 3 4 5 6
poptávka loni (X) 20 60 70 100 150 260
poptávka letos (Y) 50 60 60 120 230 320
a) Orientačně ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení.
Vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi X a Y, interpretujte jeho hodnotu a na hladině
významnosti 0,05 testujte hypotézu, že X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
b) Předpokládejte, že závislost letošní poptávky na loňské lze vystihnout regresní přímkou.
Sestavte regresní matici, vypočtěte odhady regresních parametrů a napište rovnici regresní
přímky. Interpretujte parametry regresní přímky.
c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte index determinace a interpretujte ho.
d) Najděte 95% intervaly spolehlivosti pro regresní parametry a zjistěte relativní chyby
odhadů regresních parametrů.
e) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.
f) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy.
g) Vypočtěte regresní odhad letošní poptávky při loňské poptávce 110 kusů.
h) Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram s proloženou regresní přímkou.
i) Spočtěte střední absolutní procentuální chybu predikce (MAPE)
j) Proveďte analýzu reziduí.
Návod:
Načteme nový datový soubor obchodnici.sta se dvěma proměnnými X a Y a 6 případy:
1
X
2
Y
1
2
3
4
5
6
20 50
60 60
70 60
100 120
150 230
260 320
a) Orientačně ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení.
Vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi X a Y, interpretujte jeho hodnotu a na hladině
významnosti 0,05 testujte hypotézu, že X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
Zobrazíme dvourozměrný tečkový diagram s proloženou elipsou 95% konstantní hustoty
pravděpodobnosti, s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou normalitu dat: Grafy – Bodové
grafy – vypneme Typ proložení – Proměnné X, Y - OK . Na záložce Detaily vybereme Elipsa
Normální – OK. Ve vzniklém dvourozměrném tečkovém diagramu změníme rozsah
zobrazených hodnot na vodorovné a svislé ose, abychom viděli celou elipsu
-300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600
X
-400
-200
0
200
400
600
Y
Ze vzhledu diagramu je patrné, že předpoklad dvourozměrné normality je oprávněný a že
mezi loňskou a letošní poptávkou existuje vcelku silná přímá lineární závislost.
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistika – Základní statistiky /Tabulky - Korelační
matice – OK – 2 seznamy proměnných X, Y, OK. Na záložce Možnosti zaškrtneme Zobrazit
detailní tabulku výsledků – Souhrn.
Korelace (Tabulka1)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
Y
110,0000 85,3229
140,0000 111,1755 0,971977 0,944739 8,269474 0,001167 6 0,686813 1,266484 5,566343 0,745955
Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r = 0,971977,
tzn. že mezi X a Y existuje velmi silná přímá lineární závislost), realizaci testové statistiky t =
8,269474 a p-hodnotu pro test hypotézy o nezávislosti (p = 0,001167, H0 tedy zamítáme na
hladině významnosti 0,05).
b) Předpokládejte, že závislost letošní poptávky na loňské lze vystihnout regresní přímkou.
Vypočtěte odhady regresních parametrů a napište rovnici regresní přímky. Interpretujte
parametry regresní přímky.
Statistiky – Vícerozměrná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnná X - OK – OK –
Výpočet: Výsledky regrese.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (Tabulka1)
R= ,97197702 R2= ,94473932 Upravené R2= ,93092415
F(1,4)=68,384 p<,00117 Směrod. chyba odhadu : 29,219
N=6
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(4) Úroveň p
Abs.člen
X
0,686813 20,64236 0,033272 0,975052
0,971977 0,117538 1,266484 0,15315 8,269474 0,001167
Ve výstupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na řádku označeném Abs. člen,
koeficient b1 ve sloupci B na řádku označeném X. Rovnice regresní přímky:
y = 0,686813 + 1,266484 x.
Znamená to, že při nulové loňské poptávce by letošní poptávka činila 0,6868 kusů a při
zvýšení loňské poptávky o 10 kusů by se letošní poptávka zvedla o 12,665 kusů.
c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte index determinace a interpretujte ho.
Vrátíme se do Výsledky – vícenásobná regrese – Detailní výsledky – ANOVA.
Analýza rozptylu (Tabulka1)
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F Úroveň p
Regres.
Rezid.
Celk.
58384,89 1 58384,89 68,38420 0,001167
3415,11 4 853,78
61800,00
Odhad rozptylu najdeme na řádku Rezid., ve sloupci Průměr čtverců, tedy s2
= 853,78.
Index determinace je uveden v záhlaví původní výstupní tabulky pod označením R2. V našem
případě ID2
= 0,9447, tedy variabilita letošní poptávky je z 94,5% vysvětlena regresní
přímkou.
d) Najděte 95% intervaly spolehlivosti pro regresní parametry.
Ve výstupní tabulce výsledků regrese přidáme za proměnnou Úroveň p dvě nové proměnné
dm (pro dolní meze 95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry) a hm (pro horní meze
95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry). Do Dlouhého jména proměnné dm resp.
hm napíšeme: =v3-v4*VStudent(0,975;4) resp. =v3+v4*VStudent(0,975;4)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (Tabulka1)
R= ,97197702 R2= ,94473932 Upravené R2= ,93092415
F(1,4)=68,384 p<,00117 Směrod. chyba odhadu : 29,219
N=6
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(4) Úroveň p dm
=v3-v4*V
hm
=v3+v4*
Abs.člen
X
0,686813 20,64236 0,033272 0,975052 -56,6256 57,99918
0,971977 0,117538 1,266484 0,15315 8,269474 0,001167 0,841266 1,691701
Vidíme, že -56,63 < β0 < 58 s pravděpodobností aspoň 0,95 a 0,841< β1 < 1,692
s pravděpodobností aspoň 0,95.
e) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.
Testovou statistiku F-testu a odpovídající p-hodnotu najdeme v záhlaví výstupní tabulky
regrese. Zde F = 68,384, p-hodnota < 0,00117, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu o nevýznamnosti modelu jako celku. (Výsledky F-testu jsou rovněž uvedeny
v tabulce ANOVA.)
f) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy a vypočtěte relativní chyby odhadů
regresních parametrů.
Výsledky dílčích t-testů jsou uvedeny ve výstupní tabulce regrese. Testová statistika pro test
hypotézy H0: β0 = 0 je 0,033272, p-hodnota je 0,975052. Hypotézu o nevýznamnosti úseku
regresní přímky tedy nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Testová statistika pro test
hypotézy H0: β1 = 0 je 8,269474, p-hodnota je 0,001167. Hypotézu o nevýznamnosti směrnice
regresní přímky tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
K upravené výstupní tabulce s mezemi intervalů spolehlivosti přidáme proměnnou chyba. Do
jejího Dlouhého jména napíšeme
=100*abs(0,5*(hm-dm)/v3)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Prom2 (Tabulka1)
R= ,97197702 R2= ,94473932 Upravené R2= ,93092415
F(1,4)=68,384 p<,00117 Směrod. chyba odhadu : 29,219
N=6
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(4) Úroveň p dm
=v3-v4*V
hm
=v3+v4*
chyba
=100*abs
Abs.člen
Prom1
0,686813 20,64236 0,033272 0,975052 -56,6256 57,99918 8344,681
0,971977 0,117538 1,266484 0,15315 8,269474 0,001167 0,841266 1,691701 33,57463
Výsledek pro parametr β0: Protože p = 0,975 < 0,05, hypotézu o nevýznamnosti regresního
parametru β0 (tj. posunutí regresní přímky) nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výsledek pro parametr β1: Protože p = 0,0012 < 0,05, hypotézu o nevýznamnosti regresního
parametru β1 (tj. směrnice regresní přímky) zamítáme na hladině významnosti 0,05.
g) Vypočtěte regresní odhad letošní poptávky při loňské poptávce 110 kusů.
Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi Předpovědi
závisle proměnné X: 110 OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako
Předpověď.
Předpovězené hodnoty (Tabulka1
proměnné: Y
Proměnná
B-váž. Hodnota B-váž.
* Hodnot
X
Abs. člen
Předpověď
-95,0%LS
+95,0%LS
1,266484 110,0000 139,3132
0,6868
140,0000
106,8803
173,1197
Při loňské poptávce 110 kusů je predikovaná hodnota letošní poptávky 140 kusů.
h) Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram s proloženou regresní přímkou.
Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní přímku tak, že v tabulce 2D
Bodové grafy zvolíme Typ proložení: Lineární, OK.
Bodový graf z Y proti X
Tabulka1 2v*6c
Y = 0,6868+1,2665*x
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280
X
0
50
100
150
200
250
300
350
Y
i) Vypočtěte střední absolutní procentuální chybu predikce (MAPE)
Ve výsledcích Vícenásobné regrese zvolíme záložku Rezidua / předpoklady / předpovědi –
Reziduální analýza – Uložit – Uložit rezidua a předpovědi – Vybrat vše – OK. Ve vzniklé
tabulce odstraníme proměnné 5 – 10, přidáme proměnnou chyby a do jejího Dlouhého jména
napíšeme
=100*abs(v4/v2)
Pak spočteme průměr této proměnné a zjistíme, že MAPE = 25,17%.
j) Proveďte analýzu reziduí.
Posouzení nezávislosti reziduí pomocí Durbinovy – Watsonovy statistiky:
Statistiky – Vícenásobná regrese – proměnná Závislá: y, nezávislá x – OK – na záložce
Residua/předpoklady/předpovědi vybereme Reziduální analýza - Detaily – DurbinWatsonova
statistika:
Durbin-
Watson.d
Sériové
korelace
Odhad 2,022847 -0,113505
Hodnota této statistiky je blízká 2, svědčí o tom, že rezidua jsou nekorelovaná.
Posouzení homoskedasticity reziduí
Reziduální analýza – Bodové grafy – Předpovědi vs. rezidua
Předpovězené hodnoty vs. rezidua
Závislá proměnná : Y
0 50 100 150 200 250 300 350
Předpov. hodnoty
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Rezidua
0,95 Int.spol.
Rezidua jsou kolem 0 rozmístěna náhodně.
Testování nulovosti střední hodnoty reziduí:
Pro proměnnou Rezidua z tabulky uložené pomocí Reziduální analýzy provedeme
jednovýběrový t-test: Statistiky - Základní statistiky/tabulky – t-test, samost. vzorek – OK –
proměnné Rezidua – OK.
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční
konstanta
t SV p
Rezidua -0,000003 26,13469 6 10,66944 0,00 -0,000000 5 1,000000
Na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že střední hodnota reziduí je 0.
Posouzení normality reziduí:
Na záložce Pravděpodobnostní grafy zvolíme Normální pravděpodobnostní graf reziduí:
Normální p-graf reziduí
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Rezidua
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekáv.normál.hodn.
Rezidua se řadí kolem ideální přímky, lze tedy soudit, že se řídí normálním rozložení.
Úkol 2.: (Příklad je převzat z knihy Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL/Alfa, Praha,
1978, str. 111)
U automobilu Škoda 120 byla změřena spotřeba benzínu (v l/100 km) v závislosti na rychlosti
(v km/h).
rychlost 40 50 60 70 80 90 100 110
spotřeba 5,7 5,4 5,2 5,2 5,8 6,0 7,5 8,1
a) Data znázorněte graficky dvourozměrným tečkovým diagramem a najděte vhodnou
regresní funkci.
Načteme datový soubor spotreba_benzinu.sta se dvěma proměnnými X a Y a 8 případy.
Grafy – Bodové grafy – vypneme Typ proložení – Proměnné X, Y - OK
Bodový graf z Y proti X
spotreba 3v*8c
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
X
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
Y
Z dvourozměrného tečkového diagramu je patrno, že vhodnou regresní funkcí bude parabola:
  2
210210 xx,,;xm  .
K datovému souboru tedy přidáme novou proměnnou Xkv a do jejího Dlouhého jména
napíšeme = X^2
1
X
2
Y
3
Xkv
1
2
3
4
5
6
7
8
40 5,7 1600
50 5,4 2500
60 5,2 3600
70 5,2 4900
80 5,8 6400
90 6 8100
100 7,5 10000
110 8,1 12100
b) Vypočtěte odhady regresních parametrů a napište rovnici regresní paraboly.
Statistiky – Vícerozměrná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnné X, Xkv - OK –
OK – Výpočet: Výsledky regrese.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (spotreba)
R= ,98403165 R2= ,96831829 Upravené R2= ,95564561
F(2,5)=76,410 p<,00018 Směrod. chyba odhadu : ,22973
N=8
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(5) Úroveň p
Abs.člen
X
Xkv
9,751786 0,945689 10,31183 0,000148
-3,38045 0,602292 -0,150536 0,026821 -5,61264 0,002483
4,22756 0,602292 0,001244 0,000177 7,01912 0,000905
Rovnice regresní paraboly: y = 9,751786 – 0,150536 x + 0,001244xkv
c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte index determinace a interpretujte ho.
Vrátíme se do Výsledky – vícenásobná regrese – Detailní výsledky – ANOVA.
Analýza rozptylu (spotreba)
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F Úroveň p
Regres.
Rezid.
Celk.
8,064881 2 4,032440 76,40988 0,000179
0,263869 5 0,052774
8,328750
Odhad rozptylu najdeme na řádku Rezid., ve sloupci Průměr čtverců, tedy s2
= 0,05277.
Index determinace je uveden v záhlaví původní výstupní tabulky pod označením R2. V našem
případě ID2
= 0,9683, tedy variabilita spotřeby benzínu je z 96,8% vysvětlena regresní
parabolou.
d) Určete 95 % intervaly spolehlivosti pro regresní parametry.
Ve výstupní tabulce výsledků regrese přidáme za proměnnou Úroveň p dvě nové proměnné
dm (pro dolní meze 95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry) a hm (pro horní meze
95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry). Do Dlouhého jména proměnné dm resp.
hm napíšeme: =v3-v4*VStudent(0,975;5) resp. =v3+v4*VStudent(0,975;5)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (spotreba)
R= ,98403165 R2= ,96831829 Upravené R2= ,95564561
F(2,5)=76,410 p<,00018 Směrod. chyba odhadu : ,22973
N=8
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(5) Úroveň p dm
=v3-v4*
hm
=v3+v4
Abs.člen
X
Xkv
9,751786 0,945689 10,31183 0,000148 7,320815 12,18276
-3,38045 0,602292 -0,150536 0,026821 -5,61264 0,002483 -0,21948 -0,08159
4,22756 0,602292 0,001244 0,000177 7,01912 0,000905 0,000788 0,0017
Vidíme, že
7,320815 < β0 < 12,18276 s pravděpodobností aspoň 0,95,
-0,21948 < β1 < -0,08159 s pravděpodobností aspoň 0,95,
0,000788 < β2 < 0,0017 s pravděpodobností aspoň 0,95
e) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.
Testovou statistiku F-testu a odpovídající p-hodnotu najdeme v záhlaví výstupní tabulky
regrese. Zde F = 76,41, p-hodnota < 0,00018, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu o nevýznamnosti modelu jako celku. (Výsledky F-testu jsou rovněž uvedeny
v tabulce ANOVA.)
f) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy a vypočtěte relativní chyby odhadů
regresních parametrů.
Výsledky dílčích t-testů jsou uvedeny ve výstupní tabulce regrese.
Testová statistika pro test hypotézy H0: β0 = 0 je 10,31183, p-hodnota je 0,000148. Hypotézu
o nevýznamnosti parametru β0 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Testová statistika pro test hypotézy H0: β1 = 0 je -5,61264, p-hodnota je 0,002483. Hypotézu
o nevýznamnosti parametru β1 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Testová statistika pro test hypotézy H0: β2 = 0 je 7,01912, p-hodnota je 0,000905. Hypotézu o
nevýznamnosti parametru β2 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
K upravené výstupní tabulce s mezemi intervalů spolehlivosti přidáme proměnnou chyba. Do
jejího Dlouhého jména napíšeme
=100*abs(0,5*(hm-dm)/v3)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (spotreba)
R= ,98403165 R2= ,96831829 Upravené R2= ,95564561
F(2,5)=76,410 p<,00018 Směrod. chyba odhadu : ,22973
N=8
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(5) Úroveň p dm
=v3-v4*
hm
=v3+v4
chyba
=100*a
Abs.člen
X
Xkv
9,751786 0,945689 10,31183 0,000148 7,320815 12,18276 24,92847
-3,38045 0,602292 -0,150536 0,026821 -5,61264 0,002483 -0,21948 -0,08159 45,79987
4,22756 0,602292 0,001244 0,000177 7,01912 0,000905 0,000788 0,0017 36,62259
Vidíme, že chyby odhadů jsou velké, v řádu desítek procent.
g) Určete regresní odhad spotřeby benzínu při rychlosti 80 km/h.
Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi - Předpovědi
závisle proměnné X: 80, Xkv 6400 OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena
jako Předpověď: 5,6708
h) Znázorněte data s proloženou regresní funkcí.
Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní přímku tak, že v tabulce 2D
Bodové grafy zvolíme na záložce Detaily Typ proložení: Polynomiální, OK. Stupeň
polynomu je implicitně nastaven na 2, lze změnit na záložce Možnosti 2.
Bodový graf z Y proti X
spotreba 3v*8c
Y = 9,7518-0,1505*x+0,0012*x^2
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
X
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
Y
i) Vypočtěte střední absolutní procentuální chybu predikce (MAPE)
Ve výsledcích Vícenásobné regrese zvolíme záložku Rezidua/předpoklady/předpovědi –
Reziduální analýza – Uložit – Uložit rezidua a předpovědi – Vybrat X, Y – OK. Ve vzniklé
tabulce odstraníme proměnné 5 – 10, přidáme proměnnou chyby a do jejího Dlouhého jména
napíšeme
=100*abs(v4/v2)
Pak spočteme průměr této proměnné a zjistíme, že MAPE = 2,15%.
Cvičení 14: Úvod do analýzy časových řad
Úkol 1.: Časová řada vyjadřuje počet obyvatelstva ČSSR (v tisících) v letech 1965 až 1974
vždy ke dni 31.12.
Rok 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974
počet 14194 14271 14333 14387 14443 14345 14419 14576 14631 14738
Charakterizujte tuto časovou řadu chronologickým průměrem.
Návod: Načteme datový soubor obyvatele_CSSR.sta o 11 proměnných a jednom případu. Do
Dlouhého jména poslední proměnné napíšeme
=(v1/2+sum(v2:v9)+v10/2)/9
Dostaneme výsledek 14430,11.
Úkol 2.: Pro časovou řadu HDP ČR v letech 1994 až 2000 (v miliardách Kč) vypočtěte
základní charakteristiky dynamiky a graficky znázorněte relativní přírůstky a koeficienty
růstu.
Návod: Načteme datový soubor HDP. sta.
Výpočet 1. diferencí: 1iii yyy  pro i = 2,...,n
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Časové řady/predikce – Proměnné Y – OK
– OK (transformace, autokorelace, kříž. korelace, grafy) – Oddělit-sloučit - OK
(transformovat vybrané řady) – vykreslí se graf.
Graf proměnné: HDP
D(-1)
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5
Čísla případů
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
HDP
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Otevře se nové datové okno,
kde v proměnné HDP_1 jsou uloženy 1. diference.
HDP HDP_1
1 1303,600
2 1381,100 77,500
3 1447,700 66,600
4 1432,800 -14,900
5 1401,300 -31,500
6 1390,600 -10,700
7 1433,800 43,200
Výpočet relativních přírůstků:
1i
i
i
y
y


 pro i = 2,...,n
Vrátíme se do Transformace proměnných – označíme proměnnou, kterou chceme
transformovat (HDP) – vybereme Posun – OK, (Transformovat vybrané řady) – vykreslí se
graf.
Vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Tato transformovaná veličina se
uloží do tabulky pod názvem HDP_1 (proměnná s 1. diferencemi se přejmenuje na HDP_2).
Přidáme novou proměnnou RP a do jejího Dlouhého jména napíšeme vzorec
=HDP_2/HDP_1.
Výpočet koeficientů růstu:
1i
i
i
y
y
k

 pro i = 2,...,n
Do tabulky přidáme proměnnou KR a do jejího Dlouhého jména napíšeme vzorec
=HDP/HDP_1.
Získáme tabulku
HDP HDP_2 HDP_1 RP KR
1 1303,600
2 1381,100 77,500 1303,600 0,059451 1,059451
3 1447,700 66,600 1381,100 0,048222 1,048222
4 1432,800 -14,900 1447,700 -0,010292 0,989708
5 1401,300 -31,500 1432,800 -0,02198 0,978015
6 1390,600 -10,700 1401,300 -0,00764 0,992364
7 1433,800 43,200 1390,600 0,031066 1,031066
8 1433,800
Pomocí Grafy - 2D Grafy – Spojnicové grafy (Proměnné) vykreslíme průběh relativních
přírůstků a koeficientů růstu.
Graf relativních přírůstků
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
ROK
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
RP
Graf koeficientů růstu
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
ROK
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
KR
Průměrný absolutní přírůstek a průměrný koeficient růstu vypočteme na kalkulačce pomocí
vzorců 7,21
6
6,13038,1433


 a 016,1
6,1303
8,1433
k 6  .
Úkol 3.: Je dána časová řada potratů (v tisících) v ČR v letech 1986 až 1996: 99,5 126,7
129,3 126,5 126,1 120,1 109,3 85,4 67,4 61,6 60.
Předpokládejte, že tato časová řada má kvadratický trend. Odhadněte parametry trendové
funkce.
Vypočtěte index determinace ID2
.
Proveďte celkový F-test. (Popis celkového F- testu: Na hladině významnosti α testujeme
H0:    


 0,,0,, p1  proti H1:    


 0,,0,, p1  , přičemž p je počet
odhadovaných regresních parametrů (bez parametru β0)
(Nulová hypotéza říká, že dostačující je model konstanty.)
Testová statistika
 1pnS
pS
F
E
R

 má rozložení F(p, n-p-1), pokud H0 platí. Přitom
 

n
1t
2
ttE yˆyS je reziduální součet čtverců a  

n
1t
2
tR yyˆS je regresní součet čtverců,
kde 

n
1t
ty
n
1
y .
Kritický obor:     ,1pn,pFW 1 .
 WF H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Proveďte dílčí t-testy. (Popis dílčích t-testů: Na hladině významnosti α pro j = 0,1, ..., p
testujeme hypotézu
H0: βj = 0 proti H1: βj ≠ 0.
Testová statistika:
jb
j
j
s
b
T  j má rozložení t(n-p-1), pokud H0 platí. Přitom jbs je směrodatná
chyba odhadu bj.
Kritický obor:        ,1pnt1pnt,W 2/12/1 .
 WTj H0 zamítáme na hladině významnosti α.)
Ověřte normalitu reziduí.
Sestrojte 95% intervaly spolehlivosti pro parametry trendové funkce. (Vzorec pro meze
100(1- α)% intervalu spolehlivosti pro βj:   jb2/1j s1pntb   )
Stanovte střední absolutní procentuální chybu predikce (MAPE). MAPE se počítá podle
vzorce 


n
1t t
tt
y
yˆy
n
1
MAPE .
Graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým trendem, 95% pásem spolehlivosti a
95% predikčním pásem.
Návod:
Načteme datový soubor potraty.sta. Pro lepší orientaci znázorníme časovou řadu graficky.
Grafy – Bodové grafy – Proměnné X ROK, Y POCET – OK – vypneme Lineární proložení–
OK.
Formát – Všechny možnosti – Graf: Obecné – zaškrtneme Spojnice – OK. Vznikne
spojnicový diagram.
1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998
ROK
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
POČET
Trendová funkce   2
210 tttfˆ 
Odhady parametrů:
Statistiky – Vícenásobná regrese – Proměnné Závislé, Nezávislé t, tkv - OK
Výsledky regrese se závislou proměnnou : POCET (potraty.sta)
R= ,94015284 R2= ,88388736 Upravené R2= ,85485920
F(2,8)=30,449 p<,00018 Směrod. chyba odhadu : 10,629
N=11
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(8) Úroveň p
Abs.člen
t
tkv
103,2418 11,67235 8,84499 0,000021
1,30140 0,531476 10,9470 4,47060 2,44866 0,040020
-2,16020 0,531476 -1,4748 0,36285 -4,06453 0,003611
Odhadnutá trendová funkce má tedy tvar:
  2
t4748,1t947,102418,103tf 

, kde t = 1, …, 11.
Index determinace je 0,884, což znamená, že kvadratická trendová funkce vysvětluje
variabilitu dané časové řady z 88,4%.
Testová statistika celkového F-testu je 30,449, p-hodnota je blízká 0, tedy na hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti modelu jako celku.
Všechny tři dílčí t-testy mají p-hodnoty menší než 0,05, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézy o nulovosti parametrů β0, β1, β2.
Ověření normality reziduí:
Na záložce Rezidua/předpoklady/předpovědi zvolíme Reziduální analýza – Uložit – Uložit
rezidua & předpovědi. Sestrojíme N-P plot reziduí a současně provedeme S-W test:
Normální p-graf z Rezidua
Tabulka4 8v*11c
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Pozorovaná hodnota
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
Rezidua : SW-W = 0,9217; p = 0,3333
S-W test poskytuje p-hodnotu 0,333, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu
o normalitě reziduí.
Sestrojení 95% intervalů spolehlivosti pro parametry trendu:
Ve výstupní tabulce výsledků regrese přidáme za proměnnou Úroveň p dvě nové proměnné
dm (pro dolní meze 95% intervalů spolehlivosti) a hm (pro horní meze 95% intervalů
spolehlivosti). Do Dlouhého jména proměnné dm resp. hm napíšeme:
=v3-v4*VStudent(0,975;8) resp. =v3+v4*VStudent(0,975;8)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : POCET (potraty.sta)
R= ,94015284 R2= ,88388736 Upravené R2= ,85485920
F(2,8)=30,449 p<,00018 Směrod. chyba odhadu : 10,629
N=11
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(8) Úroveň p dm
=v3-v4*
hm
=v3+v4
Abs.člen
t
tkv
103,2418 11,67235 8,84499 0,000021 76,32533 130,1583
1,30140 0,531476 10,9470 4,47060 2,44866 0,040020 0,637767 21,25622
-2,16020 0,531476 -1,4748 0,36285 -4,06453 0,003611 -2,31156 -0,63809
Vidíme, že 76,32 < β0 < 130,16 s pravděpodobností aspoň 0,95, 0,64 < β1 < 21,26 a
-2,31< β2 < -0,64 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výpočet MAPE:
Ve výsledcích Vícenásobné regrese zvolíme záložku Rezidua / předpoklady / předpovědi –
Reziduální analýza – Uložit – Uložit rezidua a předpovědi – Vybrat vše – OK. Ve vzniklé
tabulce odstraníme proměnné 7 – 12, přidáme proměnnou chyby a do jejího Dlouhého jména
napíšeme =100*abs(v6/v2). Pak spočteme průměr této proměnné a zjistíme, že MAPE =
9,21%.
Graf časové řady s proloženým kvadratickým trendem získáme takto:
Grafy – Bodové grafy – Proměnné X ROK, Y POCET – OK – Detaily Proložení
Polynomiální. Ve vytvořeném grafu 2x klikneme na pozadí, vybereme Graf: Regresní pásy –
Přidat nový pár pásů – Typ Spolehlivostní – OK. Totéž provedeme ještě jednou a nyní
zaškrtneme Typ Predikční.
1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998
ROK
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
POCET
Úkol 4.: Máme k dispozici údaje o počtu bytů předaných do užívání v Československu
v letech 1960 až 1970: 73 766 86 032 85 221 82 189 77 301 77 818 75 576 79 297
86 571 85 656 112 135. Odhadněte trend této časové řady pomocí klouzavých průměrů
s vyhlazovacím okénkem šířky 5 a graficky znázorněte.
Návod:
Načteme datový soubor byty.sta o dvou proměnných ROK a POCET a jedenácti případech.
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Časové řady/predikce – Proměnné POCET
– OK– OK (transformace, autokorelace, kříž. korelace, grafy) – Vyhlazování – zaškrtneme Nbod.
klouzavý průměr, N = 5 – OK (Transformovat vybrané řady) – vykreslí se graf, vrátíme
se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Otevře se nový spreadsheet, kde v
proměnné POCET_1 jsou uloženy klouzavé průměry pro N = 5. Proměnnou POČET_1
okopírujeme do původního datového souboru do nové proměnné KP5 (pozor – roky 1960,
1961, 1969 a 1970 nemají přiřazený odhad).
1
ROK
2
POCET
3
KP5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1960 73766
1961 86032
1962 85221 80901,8
1963 82189 81712,2
1964 77301 79621,0
1965 77818 78436,2
1966 75576 79312,6
1967 79297 80983,6
1968 86571 87847,0
1969 85656
1970 112135
Pomocí Grafy – Bodové grafy – Vícenásobný graf vytvoříme graf časové řady počtu bytů
s odhadnutým trendem.
1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972
ROK
70000
75000
80000
85000
90000
95000
100000
105000
110000
115000
Příklady k samostatnému řešení:
Příklad 1.: V průběhu jednoho roku byla čtyřikrát provedena inventarizace skladových
zásob. Určete průměrný stav zásob ve sledovaném roce, jestliže hodnoty jsou uvedeny
v tabulce. Pro jednoduchost počítejte, že každý měsíc má 30 dní.
inventarizace 1 2 3 4
datum 2.1. 2.3. 12.9. 30.12.
zásoby [tis. Kč] 752 652 925 426
Výsledky: použijeme vážený chronologický průměr a zjistíme, že průměrný stav zásob je
739,9 [tis. Kč].
Příklad 2.: Máme k dispozici čtvrtletní časovou řadu průměrných měsíčních mezd v České
republice v době od 1/2001 do 3/2009 (datový soubor ctvrtletni_ mzda.sta):
čas mzda čas mzda čas mzda
1/2002 14204 4/2004 19980 3/2007 21470
2/2002 15772 1/2005 17678 4/2007 23435
3/2002 15422 2/2005 18763 1/2008 22531
4/2002 17315 3/2005 18833 2/2008 23182
1/2003 15407 4/2005 20841 3/2008 23144
2/2003 17084 1/2006 18903 4/2008 25381
3/2003 16522 2/2006 20036 1/2009 22328
4/2003 18697 3/2006 19968 2/2009 22992
1/2004 16722 4/2006 21952 3/2009 23350
2/2004 17817 1/2007 20399
3/2004 17738 2/2007 21462
a) Odhadněte trend této časové řady pomocí klouzavých průměrů s vyhlazovacím okénkem
šířky 4.
b) Graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým trendem.
Výsledky:
1/2002
3/2002
1/2003
3/2003
1/2004
3/2004
1/2005
3/2005
1/2006
3/2006
1/2007
3/2007
1/2008
3/2008
1/2009
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
26000
Vidíme, že díky vhodné volbě šířky vyhlazovacího okénka se podařilo odhadnout trend dané
časové řady.