1. Řešení příkladů z 22.10.
1.1. Spočítejte
13
tg 660° +cos(-y7r) + sin 745°.
Řešení. Tangens je periodický s periodou ir a kosinus a sinus jsou periodické s periodou 2tt. Proto je výraz roven
tg(- 3) + cos(--) + sin — = -VŠ + 0 - —.
1.2. Řešte v M:
sin2x — \/2cosx.
Řešení. Ze vzorce pro sinus dvojnásobného argumentu máme ekvivalentní rovnici
i sm x cos x — coax.
Odtud vidíme, že rovnice je splněna pro cosx = 0, tj. x — -| + kir, k g Z. Pokud cosx ^ 0, pak musí platit sinx —       tj. x — j + 2/j7r nebo x = ^ + 2/j7r, fceZ.
1.3. Řešte v M:
2 sin2 x + 7 cos x — 5 = 0.
Řešení. Dosazením sin2x = 1 — cos2x a vydělením -1 dostáváme rovnici
2 cos2 x — 7 cos x + 3 = 0.
Kosinus tedy musí splňovat cosx — 7=l=v/4292'4— = ^iž. Pro jeden případ zřejmě řešení neexistuje, pro druhý máme cosx — ^, tj. x — ±^ + 2/j7r, /j g Z.
1.4. Řešte v M:
sin 3x + sin x = sin 2x.
Řešení. Ze vzorce pro sinus součtu argumentů můžeme jednoduše odvodit vzorec pro sinus trojnásobného argumentu sin3x — 3 sinx — 4sin3x. Zadaná rovnice je tedy ekvivalentní
4 sin x — 4 sin3 x — 2 sin x cos x.
Je tedy splněna pro sinx = 0, tj. x — kir,k g Z. Pokud sinx 7^ 0, pak vydělením dostaneme
2 — 2 sin2 x — cosx,
neboli 2cos2x — cosx. Rovnice je tedy splněna i pro cosx — 0, tj. x — ^ + kir, a pro cosx — ^, tj. x — ±^ + 2/í7r.
1.5. Řešte v M:
sin 2x + cos 2x = sin x + cos x.
Řešení. Rovnice lze přepsat na tvar sin(2x + ^) — sin(x + j). Odtud 2x + ^ — x + ^ + 2kir nebo 2x+^ = 7r — (x+^) + 2/í7r, to znamená x = 2/j7r nebo
1
2
1.6. Řešte v M:
sin2x + sinx < 0.
Řešení. Nerovnici můžeme upravit na tvar
2 sin x cos x + sin x — sin x(2 cos x + 1) < 0.
Jedna možnost je tedy sinx < 0, cosx > — ^ a druhá sinx > 0, cosx < — ^. První dává řešení x g {^ir,2ir), druhá x g (|7r,7r).
1.7. Řešte v M+:
7T
sm — > 0.
Řešení. Nerovnice je splněna pro taková x, pro která platí 2kir < ^ < ir + 2kir. Pro k — 0 tato podmínka dává i>la pro ři^Oie (2FPT' Á-) Pro každé A; g Z.
1.8. Řešte v M:
4 sin3 x < 2 sin x + cos 2x.
Řešení. Nejdřív vyjádříme cos 2x pomocí sinx, tj. cos2x= 1 —2sin2x. Dostaneme tak
4 sin3 x + 2 sin2 x — 2 sin x — 1 < 0. Ted potřebujeme rozložit polynom na levé straně, tj. polynom 4í3 + 2í2 — 2t — 1. Možné racionální kořeny jsou ±1,±|,±^. Vyhovuje t — —\, tj x — — ^ + 2/j7r nebo x = —    + 2/j7r. Pomocí Hornerova schématu zjistíme, že další kořeny jsou
í=±^, tj.  X = ±f +2/J7T.