8
3. Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
1. seminář
1. Z vlastností mocnin odvoďte vzorce a) - g):
a) logQ(xy) = loga x + loga y b) loga (^) = loga x ~ loSa V
c) logjx^) = i/ • loga x d) loga (^) = - loSa z
e) loga x = pkl. f) ioga b =
log6 a logb a
og„ c _ Jog„ b
g) b'"6'
2. Určete číslo m, je-li:
a) m = 491-j1°S7 25 b) m = log log
c)m = 81^ d) m = log2(|)+log4(|)
e) m = 32 log3 2+'°g3 s f) m= —!— +
, 3g
log2 3    log4 9    log8 3
g) m = 36log6 5 -I- ÍO1-'082 - 3log<>
3. Pomocí čísel a, 6, c vyjádřete číslo x:
a) x = log100 40;    a = log2 5
b) x = log6 16;   a = log12 27
c) ^ = log35o;   a = log 2,  b = log 3,  c = log5
d) x = log140 63;   a = log23,  b = log3 5,  c = log72
4. Zjednodušte výraz V = (loga ř> + logb a + 2)(loga 6- logob ř>) log6 a
5. Dokažte následující implikace:
22 a + b     log a + log b
a) a + b = 7ao ==> log- = -
; 6   3 2
,n9    „,9 ■        ,     a + 36    logo o + log, b
b) a2 -I- 9b2 = 10o6 => log,-= —s3--S3—
' 4 2
6. Reste v R následující rovnice:
a) 2X + (0,5)2x~3 - 6 • (0, 5)x = 1   b) 4X + 2X+1 - 24 = 0
c) 5X + 5X+1 + 5X+2 = 3X + 3X+1 + 3X+2
d) 9*2-1 - 36 • 3l2~3 + 3 = 0 e) |x|x2-2x = 1
f) 10x -        • 2X~2 = 950 g) (2 + VŠ)X + (2 - VŠ)X = 4
h) 3 • 16x + 37 ■ 36x = 26 • 81x        i) 6 ■ 9X - 13 • 6X + 6 • 4X = 0
j) (-V + - = 2X k)4x+6x = 2-9x
\5/ 5
3. Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
9
2. seminář 7. Řešte v R následující rovnice:
a) log(| - x) = log § - log x b) y^"^ = 3
log(5 - x)
c) log 5 + log(x 4- 10) = 1 - log(2x -1)4- log(21x - 20)
d) log4 log2 log3(2x - 1) = § e) log(20 - x) = log3 x
f) log2(x2 - 1) = logi (x - 1) g) log4(x + 12) ■ logx 2 = 1
h) l°So,5x x2 ~ 14 logiex x3 + 40 log4x Vx = 0
i) xlo«x = 103x2 j) xlob*x+i = 9X2 k) 16log* 2 = 8x 1) 15'°K5 3 . a-i+iog^Qx) = 1 m) aľ'°g2 5l . 14loS27 = 1
n) log vT+i + 31ogs/T^x = log Vl -x2 + 2 o) xlos»1 = alo<£ *, kde a > 0, a ^ 1
8. Řešte v R nerovnice:
a) 2* - 1 > 1 - 2*-1 ^ 2* 4-3 > 2X+2 - 1
,     c)FT^3^T V d)52^>5*4-4 u
. e) 2I+2 - 2I+3 - 2I+4 > 5I+1 - 5I+2
0
.)j , f) 8* 4- 18* - 2 • 27x > 0 s g) log8(x2 - 4x + 3) < 1
x2 - 4x + 6
f h) l°go,7---< 0 i) log
< 0
2x+l
j) log01(x2 + 1) < log0il(2x - 5)    k) logx(x + 2) > 2 l>teg*l±f>l m)logl|x2-l|>0 ^
n) logx n/20-x > 1 o) logx(x 4-1) > logi (2 - x)
p) logx2(2 4-x) < 1 q) log|x_1|0,5<0,5
r) log^i 0,3 > 0
s) log(x-2)(2a: - 3) > log(x_2)(24 - 6x) 3-2x
t)V/^T^?>1
u)xlog2x>2 v)2x>ll-x
1
logax
w) (x2 + x 4- l)x < 1 x) —— > 1, kde a > 1
y) loga x > 6 logx a - 1, kde a 6 (0,1)
10 4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
§4: GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE
Goniometrické funkce sinus a kosinus s reálným argumentem definujeme jako souřadnice bodů na jednotkové kružnici se středem v počátku kartézské souřadné soustavy. Dále definujeme:
sin a: „    i i f,„,    , ^1
tgx =- pro   xeR- 2fc + l -
cos x yf V 2 J
cos a; i i
cotg x = - pro   x 6 R — I I {kir \
smx V, fcez
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi jsou uvedeny v následujícím přehledu:
(i) sin(—x) = — sina:,   cos(—a;) = cos a: tg(—x) = — tgi,   cotg(—x) = — cotgx
(ii) sin(x + 2ir) = sina;,   cos(a; + 2ir) = cos x tg(a; + 7r) = tgx,   cotg(x + tt) = cotgx
(iii) sin2x + cos2x = 1,   tgxcotgx = l
(iv) sin x = sin(7T — x) = — sin(7T + x) = — sin(27r — x)
COS X = — C0S(7T — X) = — C0S(7T + x) = C0s(27T — x) tgX = -tg(7T - X)
cotgx = — cotg("7r — x)
(v) sin(|- — x) = cosx,    cos(| — x) = sin x tg(| - x) = cotgx,   cotg(f - x) = tgx
(vi) sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x — sin2 x = 1 — 2 sin2 x = 2 cos2 x — 1
(vii) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x — y) = sin x cos y — cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y cos(x — y) = cos x cos y + sin x sin y
tgx + tgy tgx - tg y
tg{x + y) = -----—, tg(x-y)-
1-tgxtgy 1+tgxtgy
4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
11
/ ...x .      .     „ . x + y    x — y
(vm) sin x + sin y = 2 sin —-— cos
„ .  x — y sin x — sin y = 2 sin —-— cos
2
x + y     x — y cos a; + cos y = 2 cos —-— cos —-—
cos x — cos y
. x+y . x-y -2 sin —-— sin —-—
(ix) sin-
(x) sin x
1 — cos ar
2tgf l + tg2f'
i     x i cos — = 1 21
1 + cos x
cos a; =
1 ~ tg2 f 1 + tg2 f
,   tg a;
2tgf 1 - tg2 f
í. seminář
1. Za předpokladu, že výrazy na obou stranách identit mají smysl, dokažte:
, sin x + cos x 0 ,
a) -5-= 1 + tg x + tg2 x + tgó x
cos x
, . 1+sin 2a;        /7r      \ . .. „ , . „
b)---= tg - + x) c) (1 + tgxtg2x)sin2a; = tg2a:
cos 2x \ 4 /
1-tgi     l-2sin2a;                   tg2¥>tgip . d) -= -;—-— e) —--= sin 2<p
f)
1 + tg x      1 + sin 2a; tg 2ip — tg ip
tg 3z _ 3-tg2 z tgz ~ 1 -3 tg2 z
.      sin(7r - a) . .
g) ~-—ä + C0S(7T - Q) = 1
srn a — cos a tg j
,   1 — cos 2a 4- sin 2a .  sin x + sin 3a; + sin 5x
h 7^-ň—i   ■  o   = tg a 1 -:-^—;-řT = tg 3a;
1 + cos 2a + sin 2q cos x + cos 3a; + cos 5a;
j) cos6 q — sin6 a — -(3 + cos2 2a) cos 2a
k) sin a cos(/3 — a) + cos a sin(/3 — a) = sin /3
1) cos(a + P) + s'm(a — (3) = (cosa + sina)(cos/3 — sin/3)
m) cos2 (J^ — a^j — sin2 ^ — a j = sin 2a
n) 1 + cos 2a; cos 2y = 2 sin2 a; sin2 y + 2 cos2 x cos2 j/
sl + sina     1/ a\2
o) -= - (1 + tg — )
y 1 + cosa    2 V      & 2J
v,. \ . /?r \
p) 4 sin a; sin --i  sin I —h x 1 = sin 3a;
.3      ) \3 sin(/3 - 7) + sin(7 - a) + sin(q - /?) _ Q cos P cos 7    cos 7 cos a     cos a cos P
12
4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
r) sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos7°
s) sin 50° sin 24° (tg 40° + tg 66°) + sin 74° = 2cosl6°
2. Vypočtěte bez tabulek a kalkulaček:
a) cos 15° b)tg75° jc) tg 20° + tg 40° + \/% tg 20° tg 40°
d) sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340° .      37r      7r      .  37T     2tt        7tt Zit
e) sin Tosm ío -sm Tsm T + sm iosm ío
3. Pomocí čísla u určete číslo z:
a) z = siní; u = tgx = — —; x 6 (0,7r)
3
b) z = tgx; u = cosx=— -; xG(7r, 27r)
5
e) z— sin2x; u = cotg a: = —2
5 sin a; + 7 cos a; 4
d)2:=^-V--i u = tga;= —
6 cos x — 3 sm x 15
12 /3?r „
2tt
, /1T        \ 12
e) z = cos I — — al; u = sina= ——;   a e
\ ô        i Lo
^5 1
f) Z = a . v ■   o   i u = tg a = -
6 + 7 sin 2a 5
4. Zjednodušte dané výrazy:
tg(180° - a) cos(180° - a) tg(90° - a)
2
a)
sin(90° + q) cotg(90° - a) tg(90° + a)
, . tg a + sin a „ sin 3a + sin 5a + sin 7a
b)     o „„„2 a OC)
0 d) -
2 cos2 § cos 3a + cos 5a + cos 7a
cos 2a
sin2 2a(cotg2 a — tg2 a) e) 4 cos4 a — 2 cos 2a — 3 sin2 2a — 2 cos 4a
5. Dokažte, že pro vnitřní úhly a,/3,7 trojúhelníka ABC platí:
, „ a     Ě 7
a) sm a + sin (3 + sin7 = 4 cos — cos — cos —
o a     /? 7
b) cos a + cos /? + cos 7 = 1 + 4 sin — sin — sin —
c) tga + tg/9 + tg7 = tgatg/3tg7
o d) sin 2a + sin 2/3 + sin 27 = 4 sin a sin /? sin 7
4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
13
2. seminář
6. ftešte v R rovnice:
a) sin 2x = sin x
c) cos 3x + sin 3a; = 0 6 e) sin2x = v/2 cos x
g) \/l — cosx = sin x; x £ (tt, 3tt)
i) cos x — 2 sin2 f = l 0 k) sin x + cos x = 1 + sin x cos x - m) sin 3x + sin x = sin 2x
o o) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x q) cos 3x + sin 5x = 0 s) cos2 2x + cos2 3x = 1
u) sin x + sin 2x = tg x
w) tg3 x + tg2 x — 3 tg x = 3
y) | cosx| = cosx — 2sinx
b) 2 cos x cos 2x = cos x
d) 2 sin2 x + 7 cos x — 5 = 0
f) cos 3x + sin 2x — sin 4x = 0
h) sin2 x + sin2 2x = 1
j) \/3cosx + sinx = 2
1) sin x cos x = cos4 x + sin4 x
n) sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x
p) cos x srn x — sin x cos x = -—
8
r) 2 cos 3x = \/3 cos x — sin x
sin 6x
t) 8 cos x cos 2x cos 4x = —-
sinx
v) tg x tg 3x = 1
x) sin 2x + cos 2x = sin x + cos x z) sin 2x + 5 sin x + 5 cos x + 1 = 0
7. V množině A řešte nerovnice s neznámou x:
a) sin x > -;   A = R
b) tgx<-v/3;   A = R
c) sinx < cosx;   A = R
d) sin3x < sinx;   A — (-7r,7r)
e) sin 2x + sin x < 0;   ,4 = (0,2n)
f) 2cos2x + 5cosx + 2 > 0;   A = R
l .     ,        , (tfyfK^X
g) sinx + cosx < -;    ,4 = (—7r,7r) '/ _
cosx
h) 1 - cosx < tg x - sinx; y4=(0,27r)
ofby-
i) sin x + sin 2x + sin 3x < 0;    A = (0, 2tt) ~,
j) sin - > 0;   A = R ^ - > -
x
k) 5 sin2 x + sin2 2x > 4cos2x;   A = R 1) cos22x + cos2x < 1;   A = R
m)sin3x>4sinxcos2x;    A = (0,2n) jUVW^t   ^   • ^ ^ X
n) 4sin3 x < 2sinx + cos2x;   A = (~, y ^ f*ďl<t"i /Wl SI***
32
Výsledky: 3. Exponenciální a logaritmické funkce,
2.
a) m = 49/5
b) m = -1
c) m = 625
d) m = 0
e) m = 20
f) m = - log3 2
g) m = 24
3.
, a + 3
a) a; = —-r
; 2(o+l)
; 3 + a
c) x - -(2a + b + 2c)
2ac+l
d) x =-
'       a&c + 2c + 1
4.
V = loga&
5.
a) a2 + b2 = 7a6 upravte na (a + 6)2 = 9a& a pak logaritmujte.
b) a2 H- 962 = 10a6 upravte na (a + 36)2 = 16a6 a pak logaritmujte.
6.
a) X! = 1, x2 = log2---
b) x = 2
.       log 13-log 31
c) a; = -
log 5 — log 3
d) Xi — —1, ^2 = 1, «3 = —v/2, 3ľ4 =
e) Xi = —1, X2 = 1, £3 = 2
f) x = 3
g) Xj = 1, x2 = -1 [Uvažte, že (2 - v^)-1 =2 4- a/Š.]
h) x = 1/2 [Po vydělení 81x položte y = (4/9)x.]
i) Xi = 1, x2 = -1 [Po vydělení 4X položte y = (3/2)x.]
j) x = 1 [Levá strana je klesající v x, pravá strana je rostoucí.] k) x = 0 [Zvolte substituci y = (3/2)x, nebo uvažte, že po vydělení mocninou 9X bude levá strana klesající a pravá konstantní.]
7.
a) xi = 3/2, x2 = 3
b) xi = 2, X2 = 3
c) xi = 3/2, x2 = 10
d) x = 41
e) x = 10 [Uvažte monotonii každé ze stran rovnice na intervalu (0,20).]
Výsledky: 3. Exponenciální a logaritmické funkce,
33
g) x = 4
u\ 1 a
h) rci = 1, x2 = 4, x3 = —
i) x, - 1/10, x2 = 1000 j) xi = 1/3, x2 = 9
k) x, = 1/16, x2 = 2
1) Xi = 1/3, x2 = 1/15 [Zlogaritmujte obč strany rovnice při základu 5
a zvolte substituci y = log5 x.] m) Xi = 7, x-i = 14 [Zlogaritmujte obě strany rovnice při základu 2 a
zvolte substituci y = log2 x.] n) x e 0
0) xi = 1, x2 = a 8.
a) x E (0,2 - log23) U (l,oo)
b) x G (-oo, -2) U (2 - log2 3, oo)
c) x G (-1,1)
d) x G (0,oo)
e) x € (0, oo)
f) x G (-oo,0) [Po vydělení 27* položte y = (2/3)*.]
g) x G (-1,1) U (3,5)
h) x G (0,2)U(3,oo)
1) x G (-oo, -2) U (0,1) U (1, oo) j) x G (5/2, oo)
k) x G (1,2) 1) x G (1,3)
m) x G (0,1) U (\/2, oo) n) x G (1,4)
p) x G (-2, -1) U (-1,0) U (0,1) U (2, oo)
q) x G (-oo, 0) U (3/4,1) U (1,5/4) U (2, oo)
r) x G (1, oo)
s) x G (2,3) U (27/8,4)
t) x G (—oo, 1)
u) x G (0,1/2) U (2, oo)
v) x G (3, oo) [Využijte monotonie každé z obou stran.]
w) x G (—oo, —1)
x) x G (1, a)
y) x G (0,a2) U (l,a"3)
34 Výsledky: 4. Goniometrické funkce, ...
§4: Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
2.
a) y/2(l + VŠ)/4 [cos 15° = cos(45° - 30°)]
b) 2+VŠ
c) VŠ [Využijte: tg 60° = tg(20° + 40°)]
d) 0
e) 0 [Využijte třikrát: sin a sin/3 = |(cos(o: — /3) — cos(a + /?))]
3.
a) VŠ/5
b) 4/3
c) -4/5
d) 125/78
e) (5 - 12v/3)/26
f) 65/113
4.
a) -1
b) tg a
c) tg 5a
d) 1/4
e) 0
5.
Obecně lze postupovat takto: dosadíme 7 = 180° — a — /? do obou stran a dokážeme vzniklou identitu v nezávislých proměnných a, f3.
6.
V zápisech kořenů značí k libovolné celé číslo.
.  ,      7T 57T
a) fc7T, — + 2K7T, — 4" 2fc7T
o o , .  7T      ,      7T      , 57T
b) g + fc7r> g + fc7r> "g" +
d) - + 2kn, — + 2kn
O O
s k k 37T
e) - + k-rr, - + 2kn,--h 2kix
2 4 4
f) —I--[Užijte vzorec pro rozdíl hodnot sinu.]
6 3
g) 2,, —
,. ff kn
h) ě + T
i) 2kir [Uvažte, že L < 1.]
j) ^ + 2fc7r [Upravte na rovnici sin ^2: + ^=1.]
Výsledky: 4. Goniometrické funkce, ... 35
k) 2fc7T, ^ + 2fc7T
1) — + kir [K oběma stranám přičtěte 2 sin2 x cos2 x a užijte substituci y = sin 2x.\
m) "77" > 77 + 2fc7r, — + 2fc7T [Užijte vzorec pro součet hodnot sinu.]
Á       á ó
n) —, — + kn, — 4- fcír [sinacos/? = ^(sin(a 4-/3) + sin(a — /?))] 2   6 6
o) — [Užijte vzorce pro součin hodnot sinu a rozdíl hodnot kosinu.]
7T       klt    3lT klT
V' 16 + T' 16 + T
q) — 4- ——, — 4- K7r [Prepiste cos 3x = sin I — — 3x ) a užijte vzorec pro 16     4    4 \2 /
součet hodnot sinu.]
.   7T 117T      fc7T . /        1T\ ,,,
r) — 4- fc7r, —— 4- — [Pravá strana je 2 cos I x 4- — ), dale užijte vzorec 12 24      2 V 6/
pro rozdíl hodnot kosinu.]
7T A/7T
s) — 4- — [Odvoďte sin 2x = ± cos 3x a dále postupujte jako v q).] 10 5
,   7T kw
u)       77 + 2kn, — 4- 2fc7T o o
v) — 4—— [Uvažte, že tg(3x 4- x) nemá smysl.] 8 4
, 37T 7T 27T
w) — 4- kn, — + kn, — +kn
Q ó O
x) 2kn, \ 4——- [Upravte do tvaru sinf^x 4- -j) = sin(x 4- -r ).] 63 \       4 / V      4 /
y) 2fc7r,      4- 2fc7r
37T
z) — 4- A;7r [Užijte substituci y = sinx 4- cosx, pak y2 = 1 + sin2x]. 7.
Obor pravdivosti je sjednocením uvedených intervalů, k značí libovolné celé číslo.
»  fit      „, 57T
a) I - 4- 2fc7r, — 4- 2fc7r
b) fr-| 4- fclT, -| 4- /ctt
%   /    37T      „, 7T
c)---h 2k-k, - + 2k-k
V   4 4
/ 3w\   (   ir   \   (w 3n
36 Výsledky: 5. Komplexní čísla
§5: Komplexní čísla
1.
[(o,6)(c,d)](e,/) =
= (ac - bd, ad + bc) • (e, /) = (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce), (a,6)-[(c,d)-(e,/)] =
= (a, b) ■ (ce - df, c f + de) = (ace - adf -bcf- bde, acf + ade + bce -bdf).
2.
a) -1 + 3i
b) 1-i
c) -1
d) -48Í/25
e) 0
f) 1 + ivT^ä
3.
a) a = 1, b = 2
b) a = 2, b = -3
4.
a) 0
b) 13/10
c) 5"
d) 2 (zi # 0 nebo z2 ŕ 0)