1. Vnitrosemestrální práce 29.10.2013, skupina B
1.1. Řešte v R nerovnici:
|2x- |3-x| -2| < 4.
Řešení. Rozdělíme nejdřív na dva případy:
• Pro x < 3 má nerovnost tvar \2x — 3 + x — 2| = |3x —5| < 4. Opět zvážíme dvě možnosti.
• Pro x > | máme 3x — 5 < 4, tj. x < 3. Odtud dostáváme interval
xe (§,3>.
• Pro x < | máme —3x + 5 < 4, tj. x > |. Odtud x e (|, |).
• Pro x > 3 má nerovnost tvar |2x + 3 — x — 2| = |x + l| < 4. Zřejmě ale zároveň x + 1 > 4, a proto v tomto případě žádné řešení není.
Dohromady je tedy nerovnost splněna pro x G (|, 3).
1.2. Napište nějaký kvadratický polynom s celočíselnými koeficienty, jehož kořenem je číslo
VŠ-y/7
Řešení. Usměrníme zlomek tak, aby nebylo iracionální číslo ve jmenovateli. Kořen x je pak roven
_ VŠ-VŤ _       (VŠ-V7)2       _ 3 + 7 - 2VŠV7 _ Í0-2V2Í X~ VŠ+V7 ~ (y/3 + V7)(VŠ - y/7) ~        3~7       "      ~A '
neboli x splňuje 4x + 10 — 2y 21. Vydělením dvěma a umocněním na druhou dostaneme (2x + 5)2 — 21 a úpravou pak 4x2 + 20x + 4 = 0. Číslo x ze zadání je tedy kořenem polynomu x2 + 5x + 1.
1.3. Řešte v R nerovnici:
g* _ gz + l + gZ+2  > 2 . rjX-1 + rjX
Řešení. Vytknutím 3X respektive 7X 1 dostaneme ekvivalentní nerovnici 3X(Í — 3 + 32) > 7X~1(2 + 7), neboli 7 • 3X > 9 • 7X~1. Vydělením číslem 63 pak máme 3X~2 > 7X~2, neboli {\)x~2 < 1. Z průběhu exponenciální funkce plyne, že tato nerovnice je splněna pro x < 2.
1.4. Z vzorce pro součet sinů sinx+siny odvodte pomocí základních vlastností goniometrických funkcí (napište kdy a které používáte) vzorec pro rozdíl cosinů cosx — cosy.
Řešení. Vzorec pro součet sinů má tvar sinx + siny — 2sin(^j2i) cos(^y2i). Z Využijeme toho, že cosx — sin(-| — x) a lichosti funkce sinx. Pak dostáváme
cosx — cosy — sin (7^ — x) — sin(lj — y) — sin(lj — x) + sin(—Ij + y) = 2sin(Í^i_ͱJÍ) cos(f'"+f^) = 2sin(^í)cos(§ -
S využitím stejných vlastností jako předtím tak máme
cos x — cos y — —2 sm(—-—) sm(—-—).
1
2
1.5. Načrtněte graf funkce f(x) — | logi |x|| — 1, určete její definiční obor a jeho podmnožinu, na které je funkce kladná.
Řešení. Logaritmus je definovaný pro kladný argument. V našem případě je v argumentu absolutní hodnota z x, a proto hned vidíme, že funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě nuly. Navíc je vidět, že nabývá stejné hodnoty pro x a pro —x. Jinými slovy, funkce je sudá a její graf je souměrný podle osy y. Venkovní absolutní hodnota překlopí zápornou část pro x G (—oo,—1) U (l,oo) do plusu a pak se vše posune o jedničku dolů podél osy y. Průsečíky s osou x pak budou tam, ke před posunutím byla hodnota 1, tj. v bodech ±^ a ±2. Funkce bude kladná pro x e (-oo, -2) U {-\, 0) U (0, \) U (2, oo).
1.6. Řešte v R rovnici:
sin 2x sin x — 2 cos2 x + 2 — 0.
Řešení. Využitím vztahu sin 2x — 2 sin x cos x dostaneme ekvivalentní rovnici
2 sin2 x cos x — 2 cos2 x + 2 — 0.
Vidíme, že sin x vystupuje jen v sudé mocnině, a proto ho můžeme jednoduše nahradit cosinem pomocí trigonometrické jedničky, tj. sin2 x — 1 — cos2 x. Pak máme po vydělení dvěma
(1 — cos2 x) cos x — cos2 x + 1 — — cos3 x — cos2 x + cos x + 1 — 0.
Substitucí t — cosx dostáváme polynomiální rovnici —í3 — t2 + t+ l = 0. Jinými slovy, potřebujeme určit kořeny tohoto polynomu. Podle Einsteinova kritéria jsou možné racionální kořeny t G {±1}- Ty vyzkoušíme Homérovým schématem a zjistíme, že vyhovuje t — 1. Vydělením příslušným kořenovým faktorem pak zjistíme —í3 — í2 + t + 1 — —(t — í)(t + l)2. Řešení jsou tedy právě ta x, která splňují cosx — ±1, takže x — kir, fceZ.