1. Vnitrosemestrální práce 10.12. 2013, skupina B
1.1. Určete absolutní hodnotu komplexního čísla z daného rovnicí (2 + i)z= (í-i)(í-2i).
Řešení. \z\ — \/2
1.2. V C vyřešte rovnici 1 — žz5. Všechna řešení napište v algebraickém i goniometrickém tvaru a zobrazte v komplexní rovině.
Řešení. 1 — žz5 — \z\2z4 — \z|6(cos4(p + isiniip). Odtud \z\ — 1 a 4(p — 2k-K, tj. if — T^kir. Algebraický tvar řešení je 0, i, — 1, —i.
1.3. Existuje takový konvexní mnohoúhelník, že jeden jeho vnitřní úhel je 65° a každý další je o 13° větší než ten předchozí?
Řešení. Pro n-úhelník jde o aritmetickou posloupnost, pro kterou má být součet prvních n členů roven (n — 2). 180°. Protože pro takový součet platí sn — a± + a± + d + ai + 2d + • • • + ai + (n — í)d — na,i + "*-"2 ^ d, dostáváme kvadratickou rovnici
65n+13n(^1)^180(n-2).
Ta má jediné celočíselné řešení n — 15. Už desátý úhel bude ale větší než 180°, a proto takový konvexní mnohoúhelník neexistuje.
1.4. Určete součet obsahů všech trojúhelníků následujícího fraktálu. Délka hrany nej většího trojúhelníka je 1.
Řešení. Jde o geometrickou posloupnost. Každý další trojúhelník je poloviční, tj. jeho obsah je čtvrtina předchozího.  Kvocient je tedy q — j a celkový obsah je
S = 5i(l + \ + (i)2 + • • •) = Siy^t = l^i, kde Si = ^ je obsah největšího trojúhelníka. S —
2
1.5. Určete největší člen v binomickém rozvoji čísla (y/E + l)30.
Řešení. Nerovnost mezi k-tým a následujícím členem má tvar (3fc°)(\/5)fe < (/c+'i) (v^5) je ekvivalentní nerovnici        <       Odtud k < 3yí^11 « 20,4. Tedy dvacátý člen je ještě pořád menší než dvacátý prvý, pak už nerovnost neplatí. Maximální je 21. člen.
1.6. Určete počet všech trojciferných čísel složených z právě dvou různých cifer.
Řešení. Napřed spočítáme čísla bez ohledu na to, jestli je na prvním místě nula nebo není. Vybereme nejprv 2 cifry A a B, které budeme používat, tj (12°) možností, a pro každý takový výběr může být na každém místě bud A anebo B, musíme však odečíst 2 případy - AAAA a BBBB. To znamená, že je (20)(23 - 2) takových čísel. Teď odečteme ty začínající nulou. Druhá cifra A může být libovolaná, tj. — 9 možností, a na každém s třech míst může být bud 0 nebo A, musíme ale odečíst případ 0000, tj. (^)(22 - 1) možností. Dohromady je (12°)(23 - 2) - (^)(22 - 1) = 270 — 27 — 243 čísel vyhovujících zadání.