Algebra II 7. Přednáška Věta. Nechť R C T je rozšíření těles, a E T prvek algebraický nad R. Nechť f G R[x] je minimální polynom prvku a nad R. Pak platí R(a) = R[a] = {g{a) \ g G = {g{a) \ g G R[x], stg < stf}. (1) Navíc stupeň rozšíření \R(a) : R] = st /. Důkaz. Nechť ip : R[x] —y T je homomorfismus okruhů určený předpisem tp(g) = g (a) pro každé g G R[x]. Následující diagram komutuje: R,c c R x\ ■T Zřejmě obraz ip(R[x\) = {g{a) \ g G je podokruh tělesa T obsahující R U {a}. Naopak každý podokruh tělesa T obsahující R U {a} obsahuje g(a) pro každé g G R[x]. Je tedy ip{R[x]) = R[a] a náš diagram můžeme upravit do tvaru R [x Podle věty o minimálním polynomu platí, že každý polynom g G R[x], který má kořen a, je dělitený polynomem / v R[x]. Proto jádro ker^ = ker (p = {g E R[x] | g (a) = 0} = (/), kde (/) je hlavní ideál generovaný polynomem /. Proto (2) R[A/U) Protože R[x]/(f) = R[a], což je je podokruh tělesa T, a tedy obor integrity, je (/) prvoideál okruhu R[x]. Protože R je těleso, znamená to, že (/) je maximálni ideál okruhu R[x] (a také že / je ireducibilní nad R, což už vime). Proto R[x]/(f) = R[a] je těleso, a tedy nejmenší podtěleso tělesa T obsahující R U {a}. Dostali jsme R(a) = R[a\. 1Pouze část přednášky, která se nenachází ve skriptech profesora Rosického. Označme n = st /. Pro každý polynom g E R[x] existují polynomy q, r E R[x] tak, že g = q ■ f + r, str < n. Přitom g(a) = q(a) ■ f {a) + r (a) = r (a). Dokázali jsme (1). Je-li r = rn-ixn~1 + • • • + r\x + ro G R[x], pak r(a) = rn_ian_1 H-----h r\a + r0, a tedy R[a] jakožto vektorový prostor nad R má systém generátorů l,a,a2,... ,an-\ (3) Kdyby vektory (3) byly lineárně závislé nad R, existovaly by r0, r1;..., rn_x G f?, ne všechny nulové, tak, že Yľi=o r iď = 0, odkud r = rn_ixn_1 + • • • + rirr + ro G i?[rr] by byl nenulový polynom s kořenem a splňující str < n = stf, spor. Jsou tedy (3) lineárně nezávislé nad R, odkud [R(a) : R] = st /. Poznámka. Nechť i? C T je rozšíření těles, a E T prvek transcendentní nad R. Pak stejným postupem ukážeme, že R[a] = R[x], což není těleso, a tedy R[a] ^ R(a). V tomto případě je R(a) podílové těleso okruhu R[a], tedy R(a) = {^g\h,geR[x],g^0} s obvyklými operacemi sčítání a násobení zlomků. Dennice. Nechť i? C T je rozšíření těles. Řekneme, že toto rozšíření je • jednoduché, existuje-li a E T, který je algebraický nad R, takový, že T = R(a); • konečné, je-li [T : R] < oo; • algebraické, je-li každý prvek t E T algebraický nad R. Věta. Každé jednoduché rozšířeni těles je konečné. Každé konečné rozšírení těles je algebraické. Důkaz, (i) Je-li T = R(a) pro a E T, který je algebraický nad R, pak podle předchozí věty je [T : R] = [R(a) : R] = st /, kde / G R[x] je minimálni polynom prvku a nad R. (ii) Je-li R C T konečné rozšíření těles, pak [T : R] = m je přirozené číslo. Pro libovolný prvek t E T jsou prvky 1, t, t2,..., tm lineárně závislé nad 2 R, neboť je jich více než dim^T = m. Existují tedy ro,ri,... ,rm G R, ne všechny nulové, tak, že YľiLorí^% = 0? odkud r = rmxm + - ■ • + r1x + r0 G R[x] je nenulový polynom s kořenem t, a tedy t je algebraický nad R. Věta. Nechť R C T je rozšířeni těles. Pak platí: R C T je jednoduché rozšířeni, právě když existuje polynom f G který je íreducíbílni nad R, a ízomorfismus okruhů ip : T —> R[x]/(f) tak, že následující diagram komutuje T (- R x\ ■m/u) Důkaz. Předpokládejme, že takové / a ip existují a označme a = ip kde a = tt(x) = x + (/). Ukážeme, že a je algebraický nad R a že T = R(a). Nechť / = fnxn H-----h /ix + /o, kde /0, /1?..., /„ G i?, /„ 7^ 0. Pro libovolné r E R jsme ztotožnili prvek r s jeho obrazem 7r(r) = r + (/). Z komutativity diagramu pak plyne rovnost p> je injektivní, z y?(/(a)) = /(a) = p> je injektivní. Proto T = R{a). 3 Naopak, předpokládejme, že T = R(a). Podle (1) platí T = R[a] a překreslením diagramu (2) dostaneme potřebné, vždyť inverzní zobrazení k izo-morfismu okruhů je izomorfismus okruhů. Poznámka. Předchozí věta je ve skriptech nepřesně formulovaná (jde o větu 11.12 na straně 114). V jejím důkaze sice chyba není, ale nedokazuje se zde přesně to, co je ve znění věty. Věta. Nechť R C T je rozšířeni těles. Označme A množinu všech prvků t G T, které jsou algebraické nad R. Pak A je podtěleso tělesa T obsahující těleso R. Důkaz. Zřejmě R C A, neboť každý r G i? je kořenem nenulového polynomu x — r G R[x]. Musíme dokázat, že pro každé a, (3 G A platí —a, a + (3, a ■ (3 G A, a pokud a ^ 0, tak také a-1 G A. Protože a je algebraický nad R, platí [R(a) : R] < oo. Zřejmě (/?(«))(/?) je nejmenší podtěleso tělesa T obsahující (/?(«)) U {/?}, a tedy nejmenší podtěleso tělesa T obsahující RU{a, /3}. Proto (R(a))(/3) = R(a, (3). Protože (3 je algebraický nad R, je také algebraický nad R(a) a platí [R(a, (3) : R(a)] < oo. Dohromady [R(a, (3) : R] = [R(a, (3) : R(a)] ■ [R(a) : R] < oo. Protože každé konečné rozšíření těles je algebraické, platí, že —a, a + (3, a ■ (3 G R(a, (3), a pokud tak také a-1 G R(a, (3) jsou algebraické prvky nad R. Příklad. Aplikujme předchozí větu na rozšíření Q C C. Pak A je těleso všech algebraických čísel. Proto je Q C A algebraické rozšíření. Není však konečné. Kdyby totiž [A : Q] = m G N, pak bychom z m+\/2 E A a [Q( mV2) : Q] = m + 1 dostali spor m + 1 | m. (Rovnost [Q(v^) : Q] = n pro libovolné n G N plyne z toho, že polynom xn — 2 je ireducibilní nad Q podle Eisensteinova kriteria.) 4