Algebra II
9. Přednáška
Věta. Nechť R C R[a) je jednoduché rozšíření těles, jeho stupeň označme n = [R(a) : R]. Nechť R C K je rozšíření těles. Pak existuje nejvýše n homomorfismů ip : R(a) —> K takových, že diagram
komutuje, (tj. zúžení ip\r = id^j. Navíc platí, že každý takový homomorfismus ip je určen jednoznačně svou hodnotou p){a), která je kořenem minimálního polynomu f G R[x] prvku a G R(a) nad R.
Důkaz. Zřejmě st/ = n, dále víme, že R(a) = R[a] = {g(a);g G (připomeňme, že R(a) je nejmenší těleso obsahující podmnožinu RU {«}, kdežto R[a] je nejmenší okruh obsahující podmnožinu R U {«})• Obecný prvek z R[x] je tvaru g = gmxm + • • • + gyx + g0, kde g0, g1}..., gm G R. Předpokládejme, že pro homomorfismus ip : R(a) —> K diagram (1) komutuje, a tedy íp(gi) = Qi pro každé i. Protože ip je homomorfismus, můžeme počítat
Předchozí výpočet znamená, že ze známe-li <p(a), jsme schopni určit <p(g(aj) pro každé g G R[x]. Speciálně pro g = f dostáváme 0 = </?(0) = <p(f(a)) = f(<p(a)), a tedy <p(a) je kořen / v K. V tělese K však nemůže mít polynom / více kořenů než n = st f, proto ani homomorfismů Lp, pro které komutuje diagram (1), není více než n.
Dodatek k větě. Nechť R C R[a) je jednoduché rozšíření těles, jeho stupeň označme n = [R(a) : R]. Nechť R C K je rozšíření těles a f je minimální polynom prvku a nad R. Nechť (3 G K je kořen polynomu f. Pak existuje (a to jediný) homomorfismus ip : R(a) —> K splňující, že diagram (1) z předchozí věty komutuje a že íp(a) = (3.
Důkaz. Nechť ip : R[x] —y R(a) a x '■ R[%] —> K jsou homomorfismy okruhů určené předpisy ip(g) = g(a) a x{9) =        Pro každé g G 7L\x\. Protože obrazem
1 Přednáška se nenachází ve skriptech profesora Rosického.
R
f(.9{°t)) = P(gmam H-----h gia + g0)
= ip(gm) ■ ^(a)m + • • • + v(gi) ■ + y{gQ) = gm(f(a)m H-----h gif(a) + g0
homomofismu ip je R[a] = R(a), je ip surjektivní. Dostáváme komutativní diagram
R\x]
R(a)
D      ^ c
K
Protože / je minimální polynom prvků a i (3 nad R, platí kerip = ker x = (/)• Proto existují injektivní homomorfismy okruhů ip a % tak, že následující diagram komutuje. Protože ip surjektivní, je i ip surjektivní, tedy je to izomorfismus. Stačí položit ip = x ° f/'-1.
Dodatek k větě je dokázán, stačí si uvědomit, že cesta diagramem z R doprava do K dává totéž jako cesta z R úplně nahoru a vpravo po x = V ° c°ž dává totéž jako z R doleva a pak po ip.
Poznámka. Nechť R C je jednoduché rozšíření, n = \R(a) : R]. Nechť
homomorfismus ip : R(a) —> R(a) je takový, že diagram
R
(2)
R{a)
■R(a)
komutuje. Pak >p> je bijekce (jinými slovy >p> je automorfismus tělesa R(a) ponechávající na místě prvky tělesa R, tj. Vr G R : </?(r) = i?), protože
• 99 je injekce, neboť R(a) je těleso,
• ip je surjekce, neboť 99 lze chápat jako lineární zobrazení vektorových prostorů R(a) —y R(a) nad tělesem R konečné dimenze.
Pak množina všech automorfismů <p> takových, že diagram (2) komutuje, tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Tato grupa má podle výše uvedené věty nejvýše n prvků.
2
Aplikace na konečná tělesa
Nechť A je konečné těleso charakteristiky charit = p. Pak A = Zp(«) pro vhodné a G A. Každý automorfismus ip : K —> A splňuje </?(r) = r pro každé r G Zp, neboť je-li r = 1 + • • • + 1 + 1, pak
n
y?(r) =        + • • • + y?(l) +        = l + -- - + l + l=r.
n ™
Definujme zobrazení ip : A —>• A předpisem ^(m) = wp pro každé w G A. Protože umocňujeme v komutativním okruhu na prvočíselnou charakteristiku, pro každé u,v G A platí
lfj(u + v) = (U + «)p = mp + VP = íp(u) + l/j(v),
ip(uv) = (uv)p = upvp = ifj(u)ifj(v), ^(1) = F = 1.
A tedy ip je homomorfismu okruhů, který je injektivní (A je těleso) i surjektivní (A je konečná množina). Proto ip G Aut (A'), kde Aut (A) je grupa automorfismů tělesa A. Snadno dokážeme indukcí vzhledem ke k G N, že ipk(u) = up pro každé u G A. Skutečně, pro k = 1 jde o definici ■0. Jestliže rovnost platí pro nějaké k G N, pak
^jk+l(u) = {ýo ýk)(u) = ^(ýk(u)) = ij(upk) = (upk)p = upk+\
Označme n = [A : Zp], pak |A| = pn. Výše jsme odvodili, že |Aut(A)| < n. Určeme řád prvku ip v grupě (Aut(A), o). Pro libovolné A; G N tedy platí následující ekvivalence:
ifjk = id ^ \/u e K : upk = u
k
<š=> Mu G A : u je kořen polynomu xp — rr.
Jestliže tedy pro nějaké A; G N platí tpk = id, pak polynom xpk — x stupně pk má | A| = pn kořenů, a tedy pn < pk, odkud n < k.
Dostali jsme, že řád prvku ip je alespoň n. Protože |Aut(A)| < n, musí být řád prvku ip roven n, a tedy platí, že Aut (A) je cyklická grupa generována ip.
Označení. Nechť A je konečné těleso. Automorfismus ip : K —> A definovaný výše (tj. umocňování na charakteristiku) nazýváme Frobeniův automorfismus tělesa A.
Věta. Nechť K je konečné těleso charakteristiky p. Nechi a E K je takové, že K = Zp(«). Pak minimální polynom prvku a nad Zp se rozkládá v K[x] na
3
lineární činitele, a to takto:
n—l i=0
kde n=[K :ZP], tj. \K\ = pn.
Důkaz. Protože n = st /, stačí ověřit, že pro každé i = 0,..., n — 1 je apl kořen / a že tyto kořeny jsou různé. Nechť ip je Frobeniův automorfismus tělesa K. Víme, že Aut(iť) = (ip) = {id, tp, tp2,... ,-í/>n_1}. Podle předchozích vět jsou a,
různé automorflsmy
ip(a) = ap, ip2{a) = ap2, ..., tpn~1(a) = ap" 1 kořeny /, a to různé.
Normované ireducibilní polynomy nad Zp
Označení. Nechť p je prvočíslo, d G N. Označme Mp4 (resp. mp4) součin (resp. počet) všech normovaných polynomů / G Zp[:r] stupně d, které jsou ireducibilní nad Zp.
Příklad.
M2,2 = x2 + x + 1; m2,2 = 1, -^2,1 = (^ + 1) • x',    m2,l = 2.
Poznámka. Zřejmě mPjn > 1 pro každé prvočíslo p a každé n G N. Vskutku, víme, že existuje těleso K mající pn prvků, přitom K = Zp(«) pro vhodné a, přičemž minimální polynom prvku a nad Zp má stupeň [K : Zp] = n.
Věta. Pro každé prvočíslo p a každé n G N p/aŕz
n mp4=xpn - x,
den
d\n
a tedy
d ■ mf,d = pn-
d&l d\n
Důkaz. Ukážeme, že z první rovnosti plyne druhá. Protože víme, že Mp4 je součinem právě mp4 polynomů stupně d, platí st Mp4 = d ■ mp4, a tedy můžeme
4
počítat
E
den
d\n
d ■ m.
p,d
J2*tMp4 = stl[Mp4 = St(xp
x
P"
den
d\n
den
d\n
r
K
Nechť těleso K má pn prvků, víme, že Y\aeK(x — a) = xpn — x (viz důkaz věty dokazující existenci tělesa o pn prvcích jakožto rozkladového tělesa polynomu xp" — x). Proto libovolný normovaný ireducibilní polynom z Zp[x], který je dělitelem po-
lynomu xp
se rozkládá na lineární činitele v K\
má tedy všechny kořeny v K, a je tedy jejich minimálním polynomem. Pro libovolné a E K označme fa minimální polynom prvku a E K nad Zp, pak d = st fa = \Lp(a) : Zp]. Z multiplikativity stupně rozšíření plyne d \ n. Dostali jsme, že každý normovaný ireducibilní polynom dělící xpn — x je dělitelem polynomu Mp^ pro vhodné d | n. Protože xpn — x nemá násobné kořeny, plyne z jednoznačnosti rozkladu na
že
ireducibilní činitele v 1*p[x
x>
X
Piď
den
d\n
Libovolný normovaný ireducibilní polynom h G Zp[x] stupně d \ n nám dává
těleso 7jp[x]/(h) mající p prvků, přičemž /3
x ■
(h) je kořenem h. Protože každý
prvek tělesa majícího p prvků je kořenem polynomu xp — x, je (5 kořenem tohoto
polynomu a proto minimální polynom h prvku (3 splňuje h
xľ
x. Využijeme
známého vzorce
A -B | (A-B)(A
Z d | n volbou A = pd, B
pd-\ B 1) | x ■ (x
m—l
Am-2B
B
TO—1\
Ar'
Br'
zase volbou A
ar
x
x ■ (x-
= x
Pd-i
1, m 1, m
.pn-i _
dostáváme, že pd — 1 \ pn 5^ plyne x
pn-i
.Pd-i
x
■pn-i
xľ
x. Celkem tedy h \ xp
1. Odtud
- 1. Proto
— x. Opět
využitím jednoznačnosti rozkladu na ireducibilní činitele v Zp[x] dostáváme, že
x.
n mp4 i xp
den
d\n
Oba polynomy jsou normované, proto z obou dělitelností plyne rovnost.
5