Domácí úloha ze dne 18. října 2013
Nechť ip : R —> S je surjektivní homomorfismus okruhů. Nechť X$ značí množinu všech ideálů okruhu S a Xr)¥, značí množinu všech ideálů I okruhu R splňujících ker <p> C I.
• Vysvětlete, proč (Xr)¥,, C) a (Xs, C) jsou úplné svazy.
• Dokažte, že tyto svazy jsou izomorfní.
Řešení. Ideál S okruhu S je největším prvkem uspořádané množiny (ís; Libovolná neprázdná podmnožina M množiny Xs má v této uspořádané množině infimum, kterým je průnik f]IeM I, neboť průnik libovolného neprázdného systému ideálů okruhu S je opět ideálem okruhu S; zřejmě je to největší ze všech ideálů okruhu S, které jsou podmnožinou každého ideálu I G M. Podle věty o úplných svazech odtud dostáváme, že (Xs, C) je úplný svaz.
Podobně se dokáže, že (Xr)¥,, C) je úplný svaz, stačí si jen navíc uvědomit, že pro libovolnou neprázdnou podmnožinu M množiny Xr)¥, platí ker <p> C I pro každý ideál I G M, a tedy ker 99 C f]IeM I.
Protože ip : R —> S je surjektivní homomorfismus okruhů, podle věty z přednášky víme, že pro každý ideál I okruhu i? je
ip(I) = {ip(a) I a G /}
ideálem okruhu S. Můžeme tedy definovat zobrazení $ : Xr)¥, —> Xs předpisem $(/) = </?(/) pro každý ideál I G Xr)(p.
Podobně pro každý ideál J okruhu S je
<p-1(J) = {reR\<p(r)e J} (1)
ideálem okruhu R, přičemž z 0 G J plyne ker <p> C y?_1(J). Můžeme tedy definovat zobrazení \P : X5 —>• Xr^, předpisem \I/(J) = </?_1(J) pro každý ideál J G X5.
Ukažme, že $ i \P jsou izotonní zobrazení. Jsou-li Ji, J2 G Xr)¥, takové, že A ^ h, pak
= ^(/i) = W(a) \ aeh}C {<p(a) \ a G I2} = <p{I2) = $(/2).
Jsou-li J±,J2 G Xs takové, že Ji C J2, pak
^(Jx) = vp-^Jx) = {reR\ <p(r) G C
C{reR\ <p(r) G J2} = v-\J2) = (J2).
1
Dokažme, že \řo<í> je identita na množině Tr,v. Pro libovolný ideál I E Ir,v tedy musíme dokázat \E'((I)(J)) = I. Promyslete si, proč je následující výpočet chybný (pokud na to nepřijdete, podívejte se dolů1)
*($(/)) = yr1^/)) = (ip-1 o V){i) = id(J) = J.
Musíme tedy postupovat jinak, platí
*($(/)) = = {r G i? | V{r) G ¥>(/)}.
Je-li a E I, pak y?(a) G </?(/), a tedy a G \t>(<3>(7)). Naopak, je-li r G \t>(<3>(7)), pak existuje b E I tak, že y?(r) = </?(&), tj. y?(r — b) = <p(r) — ip(b) = 0, a tedy r — b G ker 99 C J. Protože J je ideál, platí r = (r — 6) + b G /. Dokázali jsme *($(/)) = /.
Nyní dokažme, že $ o v|/ je identita na množině T$. Pro libovolný ideál J Els tedy musíme dokázat        J)) = J. Platí
(J)) = ipiip-^J)) = ip({r E R I ip(r) E J}) = {ip(r) \ r E R, ip(r) E J}.
Zřejmě tedy $(\I/(J)) C J. Naopak zvolme libovolné a E J. Protože je ip surjekce, existuje r E R splňující f (r) = a, a tedy a E <&(\I/(J)). Celkem
$(*(j)) = J.
Dokázali jsme, že $ a \P jsou navzájem inverzní bijekce. Protože $ i = \P jsou izotonní zobrazení, je $ izomorfismus uspořádaných množin. Podle věty z kapitoly o svazech víme, že pak $ je izomorfismus svazů.
1 Jestliže p není bijekce, neexistuje inverzní zobrazení proto ani nemůžeme psát <y9_1 ani počítat <y9_1 o p — id. Lze jen počítat úplný vzor libovolné podmnožiny oboru hodnot, což jsme také v (1) dělali.
2