Domácí úloha z 29. listopadu 2013 (odevzdává se 6. prosince)
1. Řešte následující soustavu rovnic v C
x3 + y3 + z3 = 9 + 3xyz, x + y + z = 3,
2,2 2 r
X   + í/   — £ =5.
2. Zvolme pevně n G N. Pro každé i G N označme
Pi = íc1+íC2 + ''' + ícn G Zfa^i,..., a^n] •
Nechť dále Si,... ,sn značí elementární symetrické polynomy n proměnných, doplňme tuto definici předpisem sq = 1 a Si = 0 pro i > n. Dokažte, že platí Newtonův vzorec
i-l
^~](—1)JSjPi-j = (—iy~1isi      pro každé i G N, i=o
neboli
Pi = si, P2 - sípí = -2s2, P3 - sip2 + s2pi = 3s3,
pí - síPi-i + s2pí-2-----h (-i)4 ^i-ipi = (-iy 1ist,
[Návod:
1. Přestože na levé straně třetí rovnice není symetrický polynom tří proměnných, pomocí symetrických polynomů z prvních dvou rovnic vypočtěte x2 + y2 + z2 a výsledek porovnejte se třetí rovnicí.
2. Vysvětlete, proč pro každý člen x^1 ... xfp, který se vyskytuje v některém ze sčítanců Newtonova vzorce s nenulovým koeficientem, platí, že e± + • • • + e„ — i a že nejvýše jeden index j splňuje ej > 1. Nakonec porovnejte koeficienty takovýchto členů na obou stranách Newtonova vzorce.]
1