Domácí úloha ze dne 18. října 2013 (odevzdává se 25. října)
Nechť ϕ : R → S je surjektivní homomorfismus okruhů. Nechť IS značí
množinu všech ideálů okruhu S a IR,ϕ značí množinu všech ideálů I okruhu
R splňujících ker ϕ ⊆ I.
• Vysvětlete, proč (IR,ϕ, ⊆) a (IS, ⊆) jsou úplné svazy.
• Dokažte, že tyto svazy jsou izomorfní.
[ Návod: O tom, že (IS, ⊆) je úplný svaz, jsme si povídali na přednášce. Zmiňte větu,
ze které to snadno plyne. Analogicky odvoďte, že i (IR,ϕ, ⊆) je úplný svaz.
Ukažte, že předpis Φ(I) = ϕ(I) definuje zobrazení Φ : IR,ϕ → IS a předpis Ψ(J) =
ϕ−1
(J) definuje zobrazení Ψ : IS → IR,ϕ (můžete použít nějakou větu z přednášky,
najdete-li vhodnou). Dokažte, že Φ a Ψ jsou izotonní zobrazení splňující, že Φ ◦ Ψ a
Ψ◦Φ jsou identity na příslušných množinách. S odvoláním na vhodnou větu z teorie svazů
vysvětlete, že z toho plyne požadované. ]
1