Domáca úloha M5858 č. 3
Lineárna diferenciálna rovnica I. rádu (LDR I.)
Nájdite riešenie LDR I. V prípade, ak je zadaná počiatočná úloha, nájdite
partikulárne riešenie, naviac určte pre každú rovnicu interval na ktorom je
zaručená existencia a jednoznačnosť riešenia.
1.
y
√
1 − x2 + y = arcsinx, y(0) = 0.
2.
y + y cos x = cos x, y(0) = 1.
3.
y −
y
xlnx
= xlnx, y(e) =
e2
2
.
3.
y +
2y
x
=
1
x exp(x2)
.
4.
y + y = 2x2
− 2x + 1.
5.
y −
2
x + 1
y = (x + 1)3
.
6.
y +
4xy
x2 + 1
= (x2
+ 1)−3
.
7. Odvoďte všeobecné riešenie Newtonovho tepelného zákona spĺňajúceho
počiatočnú podmienku θ(0) = θ0 keď viete, že
θ (t) = −k [θ(t) − T]
kde θ(t) predstavuje teplotu telesa v čase t, T je teplota okolného prostredia
a k je konštanta úmernosti.
Riešenie:
pre integračný faktor exp(kt) je partikulárne riešenie tvaru
θ(t) = T + (θ0 − T) exp[−kt].
Bernoulliho diferenciálna rovnica
Nájdite riešenie Bernoulliho diferenciálnej rovnice. V prípade, ak je zadaná
počiatočná úloha, nájdite partikulárne riešenie tejto rovnice.
1.
y + y = 2y2
, y(0) = 2.
2.
y −
xy
2(x2 − 1)
=
x
2y
, y(0) = 1.
3.
y + xy = xy3
.
3.
y +
y
x
= y2
lnx.
4.
2y lnx +
y
x
=
cos x
y
.
5.
y −
1
3
y sin x = −y4
sin x.
Mgr. Milan Bačík
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.