Domáca úloha M5858 č. 4
Stanovte typ diferenciálnych rovníc, tj. separovateľná, ..., exaktná/int.faktor,
Clairautova a nájdite ich obecné/singulárne riešenie.
1.
y = (y − 1) exp(y ).
2.
y = exp(
xy
y
).
3.
xy − y = lny .
4.
y =
2x cos2
y
x2 sin 2y − sin y
.
5.
y =
y cos x − x sin y
x2
2
cos y − tgy − sin x
.
6.
x
x2 − y2
dx =
y
x2 − y2
+ 1 dy.
7.
y + xy =
yy
1 + y2
.
8.
x2
y2
y + xy3
= 1.
9.
y + y + y2
ex
= 0.
10.
y cos x = (y + 2 cos x) sin x.
11.
2ydx + (y2
− 4x)dy = 0.
12.
(2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy = 0.
13.
y = −
2xy2
3x2y + 4
.
HINT: Pokúste sa nájsť funkciu R = R(x, y) ako integračný faktor,
príslušnej ”kvázi”exaktnej rovnice.
Postup: Zvoľte si závislosť funkcie R = R(x, y) a prenásobte ňou príslušné
funkcie M a N tejto rovnice zapísanej v tvare jedna-formy (vo
vektorovom tvare M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0). Nové funkcie M(x, y) :=
M(x, y)R(x, y), N(x, y) := N(x, y)R(x, y) musia spĺňať podmienku pre
existenciu kmeňovej funkcie K(x, y) : dK = Mdx + Ndy plynúcej zo
Schwartzovej vety (o zámene parciálnych derivácií pre spojité funkcie),
tj.
∂M(x,y)
∂y = ∂N(x,y)
∂x
Táto identita vygeneruje obecne parciálnu diferenciálnu rovnicu pre
neznámu funkciu R = R(x, y) v tvare
∂R(x, y)
∂x
N(x, y) −
∂R(x, y)
∂y
M(x, y) =
∂M
∂y
−
∂N
∂x
R(x, y).
Jej riešenie (ak je možné ho explicitne odvodiť) je potom náš integračný
faktor prevádzajúci pôvodnú rovnicu na exaktnú!
Poznámka: Niekedy je možné hľadať integračný faktor R pre vopred
zvolenú premennú z, ktorá v konečnom dôsledku prevedie problém riešenia
parciálnej diferenciálnej rovnice na problém, riešiť obyčajnú diferenciálnu
rovnicu so separovateľnými premennými. Napr. ak budeme
predpokladať, že integračný faktor bude závislý od x, tj. R = R(x)
potom nutne musí platiť
Φ = Φ(x) =
∂M(x,y)
∂y
− ∂N(x,y)
∂x
N(x, y)
.
Poslednú identitu možno chápať ako kritérium pre integračný faktor
R = R(x). Podobne by sme obdržali kritériá pre
R = R(y) · · · Φ = Φ(y) =
∂M(x,y)
∂y
− ∂N(x,y)
∂x
M(x, y)
,
R = R(xy) · · · Φ = Φ(xy) =
∂M(x,y)
∂y
− ∂N(x,y)
∂x
xM(x, y) − yN(x, y)
,
R = R( x2 + y2) · · ·Φ = Φ( x2 + y2) =
∂M(x,y)
∂y
− ∂N(x,y)
∂x
y√
x2+y2
M(x, y) − x√
x2+y2
N(x, y)
,
z čoho je zrejmé, že obecný tvar tohto kritéria pre integračný faktor
R = R(z) je v tvare
R = R(z) · · · Φ = Φ(z) =
∂M(x,y)
∂y −∂N(x,y)
∂x
∂z
∂y M(x,y)− ∂z
∂x N(x,y)
Za predpokladu, že je toto kritérium splnené, je integračný faktor v
tvare
R(z) = c0 exp Φ(z)dz .
{ integračný faktor z Pr. 13 je R = R(y) = cy, c ∈ R }
Mgr. Milan Bačík
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.