M5VM05 Statistické modelování 2. Základní pojmy matematické statistiky
Jan Koláček (kolacek@math.muni.cz)
Ustav matematiky a statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
podzim 2013
Jan Koláček (PřF MU) M5VM05 Statistické modelování podzim 2013 1/40
Motivace
V teorii pravděpodobnosti se předpokládá, že
• je známý pravděpodobnostní prostor (CÍ,A,P)
• a že také známe rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin (resp. náhodných vektorů), které na tomto pravděpodobnostním prostoru uvažujeme.
V matematické statistice však
• máme k dispozici výsledky n nezávislých pozorování hodnot sledované náhodné veličiny X, které se ve statistice říká statistický znak, tj. máme
xi = x{<x>i),...,xn = x{<x>n), (jů\,...,(jon e n
• a na základě těchto pozorování chceme učinit výpověď o rozdělení zkoumané náhodné veličiny.
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013
2/40
Náhodný výběr
Definice 1
Náhodný vektor X = (X^,..■ ,Xn)' nazýváme náhodným výběrem z rozdělení pravděpodobnosti P, pokud
(i) Xi,... ,Xn jsou nezávislé náhodné veličiny,
(ii) Xi, ...,Xn mají stejné rozdělení pravděpodobnosti P.
Číslo n nazýváme rozsah náhodného výběru. Libovolný bod x = (xi,... ,x„)', kde x,-je realizace náhodné veličiny X,- (i = l,...,n), budeme nazývat realizací náhodného výběru X = (Xi,... ,Xn)'.
■
Nechť náhodný výběr X = (Xi,..., Xn)' je z rozdělení, které je dáno distribuční funkcí F(x, 6), 6 E O. Zkráceně budeme značit:
-iL{Xi.....X„} ~F(x;6).
Cílem teorie odhadu je na základě náhodného výběru odhadnout
• rozdělení pravděpodobnosti,
• popřípadě některé parametry tohoto rozdělení,
• anebo nalézt odhad nějaké funkce parametrů 6, tj. 7(6).
Jan Koláček (PřF MU) M5VM05 Statistické modelování podzim 2013        3 / 40
Výběrové charakteristiky
Definice 2
Libovolnou náhodnou veličinu T„, která vznikne jako funkce náhodného výběru X = (Xi,... ,Xn)', budeme nazývat statistikou, tj. Tn = T{X\,... ,Xn)'.
Definice 3
Nechť X = (Xi,..., Xn)' je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení s distribuční funkcí F(x; 6), 6 6 0. Potom statistika
i "
Xn = X = j- £ X,- se nazývá    výběrový průměr
výběrový rozptyl
výběrová směrodatná odchylka výběrová (empirická) distribuční fce
F«W = i Ľ !(-<»,*)(X,-)
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013        4 / 40
Bodové odhady
Bodovým odhadem parametrické funkce 7(0) budeme rozumět nějakou statistiku Tn = T(Xi,... ,X„Y, která bude pro různé náhodné výběry kolísat kolem 7(0).
Definice 4
Nechť X = (Xi,..., X„Y je náhodný výběr z rozdělení pravděpodobnosti Pg, kde 6 je vektor neznámých parametrů. Nechť 7(6) je daná parametrická funkce. Řekneme, že statistika Tn = T(X\,... ,Xn)' je odhadem nestranným (nevychýleným)    pokud pro V0 £ O platí EgTn = 7(6).
kladně vychýleným EgTn > 7(6).
záporně vychýleným EeT„ < 7(6).
asymptoticky nestranným      lim EgT,, = 7(6).
n—»00
(slabě) konzistentním pokud pro Ve > 0 platí
lim P„(|T„ - 7(0)1 > e) = 0, tj. T„ 7(0)
Jan KoláCek (PřF MU) M5VM05 Statistické modelování podzim 2013        5 /
Bodové odhady
Poznámka 5
Vlastnost nestrannosti (tj. nevychýlenosti) ještě neposkytuje záruku dobrého odhadu, pouze vylučuje systematickou chybu.
Poznámka 6
Používaní konzistentních odhadu zaručuje
— malou pravděpodobnost velké chyby v odhadu parametru, pokud rozsah výběru dostatečně roste;
— volbou dostatečně velkého počtu pozorování lze učinit chybu odhadu libovolně malou.
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013
6/40
Odhady střední hodnoty a rozptylu
Věta 7
Necht X = (Xi,..., Xn)' je náhodný výběr z rozdělení, které má střední hodnotu }i(6) proMd E O. Pak výběrový průměr je nestranným odhadem střední hodnoty, tj.
EeX = F(0).
Věta 8
Nechi X = (Xi,..., X„Y je náhodný výběr z rozdělení, které má rozptyl cr2(Q) pro M d E O. Pak výběrový rozptyl je nestranným odhadem rozptylu, tj.
EeS2 = cr2(d).
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013        7 / 40
Postačující podmínka konzistence
Věta 9
Nechí statistika Tn = T(X\,... ,Xn)' je nestranný nebo asymptoticky nestranný odhad parametrické funkce 7(0) a platí
lim DqT„ = 0.
Pak je statistika Tn = T(X\,... ,Xn) konzistentním odhadem parametrické funkce 7(0).
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013
8/40
Důsledky
Důsledek 10
Necht X = (Xi,..., x„Y je náhodný výběr z rozdělení, které má pro V0 6 0 střední hodnotu jí(6) a rozptyl cr2{Q), tj.
Hx1.....x„}~£(}i(e),a2(e)).
Potom je-li }i(6) < co, pak výběrový průměr X je slabě konzistentním odhadem ]i(d).
Důsledek 11
Nechí X = (Xi,..., xn)' je náhodný výběr z rozdělení, které má pro V0 e 0 střední hodnotu jí(6) a rozptyl cr2(6), tj.
Hxľ.....x„} ~£(}i(e),a2(e)).
Potom je-li a2(8) < oo, pak výběrový rozptyl S2 je slabě konzistentním odhadem cr2(d).
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013
9/40
Více nestranných odhadů
Definice 12
Nechť T„ je nestranný odhad parametrické funkce 7(0) a pro všechna 6 E © platí
DeTn < DeT*n,
kde T* je libovolný nestranný odhad parametru 7(6). Potom odhad Tn nazveme (rovnoměrně) nejlepším nestranným odhadem parametrické funkce 7(6).
Příklad 13
Nalezněte nejlepší nestranný lineární odhad střední hodnoty Ji (6).
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013        10 / 40
Intervalové odhady
Odhady, jimiž jsme se doposud zabývali, se někdy nazývají bodové odhady parametrické funkce 7(6). Je tomu tak proto, že pro danou realizaci náhodného výběru X\,... ,xn představuje odhad daný statistikou Tn(x\,... ,xn) jediné číslo (bod), které je v jistém smyslu přiblížením ke skutečné hodnotě parametrické funkce 7(6).
Úlohu odhadu však lze formulovat i jiným způsobem. Jde o to, sestrojit na základě daného náhodného výběru takový interval, jehož hranice jsou statistiky, a který se s dostatečně velkou přesností pokryje skutečnou hodnotu parametrické funkce 7(0). V tomto případě mluvíme o intervalovém odhadu parametrické funkce 7(0).
Jan KoláCek (PřF MU) M5VM05 Statistické modelováni
Definice
Definice 14
Nechť -U-{Xi,... ,X„} ~ F(x; 6) je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení o distribuční funkci F(x;6), 6 E O. Dále mějme parametrickou funkci 7(6), m e (0,1) a statistiky D = D(X1,...,X„) a H = H(Xlr... ,X„). Potom intervaly (D,H) nazveme 100(1 — a) % intervalem spolehlivosti pro parametrickou funkci 7(6) jestliže
Pe(D(X1.....X„) < 7(0) < H(Xx.....X„)) = 1 - a
Jestliže
Pfl(D(X!.....X„) <7(e)) = l-a,
pak statistiku D = D(Xi,...,Xn) nazýváme dolním odhadem parametrické
funkce 7(6) se spolehlivostí 1 — a (nebo s rizikem a).
Jestliže
Pfl(7(0) <«(Xi.....X„)) = l-a
pak statistiku H = H(Xi,... ,Xn) nazýváme horním odhadem parametrické funkce 7(6) se spolehlivostí 1 — a (nebo s rizikem a).
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013        12 / 40
Konstrukce intervalových odhadů
O Najdeme nějakou tzv. pivotovou statistiku, tj. funkci \hj náhodného výběru X= (Xi,... ,Xn)' a parametrické funkce 7(6), tedy náhodnou veličinu
fe(X/7(fl)),
tak aby její rozdělení již nezáviselo na parametru 8.
O Nechť qa/2 a cj\-a/2 Jsou kvantily rozdělení statistiky
ft(X,7(0)).
Pak pro všechna 8 platí
Pe(qa/2 < h(X,7(8)) < qi_a/2) = l-tx
Q Jestliže lze nerovnosti v závorce převést ekvivalentními úpravami na tvar, kde mezi nerovnostmi stojí jen 7(6), pak jsme sestrojili intervalový odhad
D„(X) <7(0) <H„(X)
o spolehlivosti 1 — oc.
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013        13 / 40
Konstrukce intervalových odhadů - pokračování
Tedy, je-li h(X,'y(6)) ryze monotónní funkce, pak existuje inverzní funkce
h-1 (ft(X,7(0))) = 7(0).
(a) Pokud je h(X,ry{6)) rostoucí funkce, pak platí
Pe{h-\qa/2) < 7(0) < ft_1(íi-«/2)) = 1 - «.
(b) Pokud je h(X,ry{6)) klesající funkce, pak platí
Pe{h-\qi-a/2) < 7(e) < h-\qa/2)) = 1 - a.
Jan KoláCek (PřF MU) M5VM05 Statistické modelováni
Kvantily některých důležitých rozdělení
<í> distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení
Gn distribuční funkce rozdělení x1 o n stupních volnosti
Hn distribuční funkce Studentova rozdělení o n stupních volnosti
Qn,m distribuční funkce Fisherova-Snedecorova rozdělení o n a m stupních volnosti
ua kvantily standardizovaného normálního rozdělení
XÍ{y) kvantily rozdělení^2 o v stupních volnosti
ta(v) kvantily Studentova rozdělení o v stupních volnosti
Fa(vi,V2) kvantily Fisherova-Snedecorova rozdělení o V\ a V2 stupních volnosti
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelování
podzim 2013        15 / 40
Dobrá vlastnost
Je-li distribuční funkce F absolutně spojitá a ryze monotónní a je-li příslušná hustota / sudá funkce, pak platí
F(x) = l-F(-x) igR
a odtud
Xa = —X1_a OL E (0,1),
což speciálně platí pro normální a Studentovo rozdělení
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
Odhady parametrů normálního rozdělení
Normální rozdělení s hustotou
X ~ N(ii,cr2) ~f(x) =    i e-K2^)
x e R
má střední hodnotu EX = jí a rozptyl DX = a2
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013        17 / 40
Vlastnosti
Nechť k,n e'N, v, v\, v2,..., vk e N, b0,bi,...,bn e ÍR, 3 i e {!,...,n} :bi^0
-u- {Xi.....X„} A X,- ~ N(m, a?)         b0 + £ biXi ~ N f ft0 + Ľ E &^
í'=i            V      í=i í=i /
X^N(ji,a2) U = ^ ~N(0,1)
^2 rozdělení:
jl{Líi,...,Lív}~N(0,l) K= !J2 + --- + !J2~a:2(v)
-"-{^i ~X2(vi).....Kfc~^(vfc)} K = K1 + ---+ÍC;t-x2(vi + ---+v;t)
Studentovo t-rozdělení:
U ~N(0,l) -LK~ x2(v) T=-^=~ŕ(v)
Fisherovo F-rozdělení:
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelovaní
podzim 2013        18 / 40
Důsledek
Věta 15
n
Mějme -U-{Xi,..., X„} ~ N(ji, o2) a výběrový průměr X = i £ X, a výběrový
i=l
rozptyl Sz = ^ E (X,- - X)2. Pak platí
i=l
(1) Výběrový průměr  X ~ ^(F'1t)
(2) Statistika U = ^-^ň ~ N(0,1)
(3) Statistika K = ^-Sz ~ x2(« - 1)
(4) Statistika T = ^-^/ň ~ ř(n - 1)
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013        19 / 40
Pivotové statistiky
Statistiky u_, \k\ a \T\ se nazývají pivotové statistiky, přičemž u = ^-^-^Jn   je pivotovou statistikou pro    ]i    při známém a
neznámý parametr
k =
n-l C2
X-fi
ji    při neznámem £7
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013       20 / 40
Interval spolehlivosti pro střední hodnotu při známém rozptylu
Důsledek 16
Mějme -U-{Xi,.. . ,X„} ~ N{ji,a2), kde ji je neznámý parametr a o2 E IR je známé reálné číslo. Pak
(X — u1_a/2-y=,X + u1_a/2-n=)    -   je 100(1 — a) % interval spolehlivosti
pro střední hodnotu jí při známém o2 je dolní odhad střední hodnoty ji
X + «i-„^
při známém c2 se spolehlivostí 1 — cc je horní odhad střední hodnoty ji
při známém c2 se spolehlivostí 1 — cc
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       21 / 40
Důkaz
Za pivotovou statistiku zvolíme statistiku
U=UX= ^-Vň ~ N(0,1).
Počítejme
1 — a = Piu* < U < «i  «)
V   2  —       —     1    2 1
= P(X - «i-a/2^ < F < X + "l-a/2^)
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013       22 / 40
Příklad
Příklad 17
Rychlost letadla byla určována v 5 zkouškách a z jejich výsledků byl vypočten odhad x = 870,3 m/s. Najděte 95% interval spolehlivosti pro \i, je-li známo, že rozptýlení rychlosti letadla se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou a = 2, lm/s.
Řešení
X ± «0,975 —/=
870,3 ±1,959964 ^4 y/5
,46; 872,14).
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
Interval spolehlivosti pro střední hodnotu při neznámém rozptylu
Důsledek 18
Mějme -U-{Xi,.. . ,X„} ~ N{ji,a2), kde ji a a2 jsou neznámé parametry. Pak pro střední hodnotu VjT\
(X-ři-^íw-lJ^X+ř^/aín-l)-^)    -   je   100(1 - ol)% interval
spolehlivosti pro střední hodnotu ji při neznámém o2
X- h_a(n
je dolní odhad střední hodnoty ji při neznámém o2 se spolehlivostí 1 — ol
X+ ři_a(n
je horní odhad střední hodnoty ji při neznámém o2 se spolehlivostí 1 — ol
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       24 / 40
Interval spolehlivosti pro rozptyl
Důsledek 19
Mějme -U-{Xi,.. .,X„} ~ N{ji,a2), kde ]i a cr2 jsou neznámé parametry. Pak pro rozptyl c
(w-l)S2 (w-l)S2 X\ a(n-l)'xl(n-l)
(w-l)S2 (n-l)S2
v'e 100(1 — cl)% interval spolehlivosti pro rozptyl o2
je dolní odhad rozptylu cr2 se spolehlivostí 1-m
je horní odhad rozptylu cr2 se spolehlivostí 1-m
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013       25 / 40
Příklad
Příklad 20
Deset balíčků mouky pocházejících z balícího stroje mělo hmotnosti v gramech: 987, 1 001, 993, 994, 993, 1 005, 1 007, 999, 995, 1 002. Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu a rozptyl hmotnosti (předpokládejte normální rozdělení).
Řešení Vypočteme průměr x = 997,6 a směrodatnou odchylku s = 6,2397. IS pro \i:
c 6 2397
x±t0/975(9)-^= = 997,6 ±2,26 '       = (993,14; 1002,06).
10
10
IS pro o2
9sz _9s±
(n-l)S2      (n-l)S2  \ ^
("-!)'J       V4"7s(9)' 4o2s(9)
= (18,42; 129,76).
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013       26 / 40
Dva výběry
Věta 21
Necht -u-{Xi,..., Xni} ~ N(jii, a2), X výběrový průměr a S2 výběrový rozptyl. Dále necht -u-{Yi,..., y„2} ~ N(jí2/ ^2)' Y výběrový průměr a S\ výběrový rozptyl. Předpokládejme XI Y. Pak
(1) Statistika
Ux_?=*-?-^~ri ~N(0,1). '£1 + £i
«1 «2
(2) Pokud cr2 = d\ = cr2, pak statistika
_ X-Y-(Fl-F2)  / nin2 2 _ (Bl-i)S2+(B2_1
Tx-r--^-V^T^I    í(m + n2-2),s12- „i+„2_2
(3) Statistika
S2 o2
S2£72
2   2   ■ "   F(nl ~ 1'"2 - !)•
Jan KoláCek (PřF MU) M5VM05 Statistické modelování podzim 2013       27 / 40
IS pro ]i\ — }i2
Důsledek 22
Necht -u-{Xi,..., Xni} ~ N(fii, o2), X výběrový průměr a S2 výběrový rozptyl. Dále necht -u-{Yi,..., Y„2} ~ N(ji2r °2 )< ^ výběrový průměr a S2 výběrový rozptyl. Předpokládejme X _L Y. Pa/c
jsou-li
o2 a o2 známé
pak 100(1 — a) % /S pro     — ]i2
X-Y-U,   «\   TT + TTrX-Y + Ui   «\   TT + TT
l-2 V "1        "2' X~2 V "1 "2
Jestliže
o2 a o2 neznáme
a platí
CTn = c-, = c
, pak 100(1 - a) % IS
X — Y — tl_«(n1+n2-2) S12J^,X - Y+ tx_« (n1+n2-2) S
12
ni+n2 «l«2
kde
s2 = (^-l^ + ^-ljS2 12 ni + n2 - 2
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013       28 / 40
Příklad
Příklad 23
Bylo vylosováno 11 stejně starých selat téhož plemene, šest z nich bylo krmeno směsí A, zbývajících pět bylo krmeno směsí B. Denní přírůstky váhy selat (v dkg) byly při krmení směsí A : 62, 54, 55, 60, 53, 58, u směsi B : 52, 56, 50, 49, 51. Předpokládáme, že neznámé směrodatné odchylky si budou rovny u obou skupin. Sestrojte interval spolehlivosti pro rozdíl neznámých středních hodnot \i\ — ^2 pf> riziku a = 0,05.
Řešení Vypočteme průměry x = 57, y = 51,6 a směrodatné odchylky si = 3,58,
x - y ± t0/975(6 + 5 - 2)s12J f£ = 5,4±2,26-3,22- J$ = (0,99; 9,81).
s2 = 2,7, s 12 = 3,22. IS pro jíi —
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       29 / 40
Důsledek 24
Nechi -u-{Xi,..., Xni} ~ N(jii, a2), X výběrový průměr a S2 výběrový rozptyl. Dále nechi -u-{Yi,..., Yn2} ~ ^{Hir    )' Y výběrový průměr a S\ výběrový rozptyl. Předpokládejme XI Y. Pak
Při
neznámých ]1\,]i2,cf2,cf\ je 100(1 — ct)% IS roven
S2
S2 F1_í(n1-l,n2-í)' S2 Fí(n1-l,n2-l)
Alternativně
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       30 / 40
Příklad
Příklad 25
V tabulce jsou uvedeny výsledky analýz niklu získané dvěma analytickými metodami. Stanovte interval spolehlivosti pro podíl směrodatných odchylek obou metod při riziku cc = O,05, jestliže tyto výsledky považujeme za realizace náhodných výběrů z normálního rozdělení.
Metoda I    3,26   3,26   3,27 3,27
Metoda II   3,23   3,27   3,29 3,29
Řešení Vypočteme směrodatné odchylky Si = 0,0058, s2 = 0,028. IS pro \.
'2
(If^TO'^975 14"1'4"1') = t0'0027'0'643)'
odtud dostáváme IS pro ^:
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       31 / 40
Párové výběry
(K) aL =		
		°2 )
kde
Věta 26
NechíXi = (Xi,Yi)',... ,X„ = (Xn,Yn)' je náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozděleníN2 (//,£) s parametry ji
jii,ji2 e IR, cr? > 0, cr| > 0 a p 6 (0,1)-Pro z = 1,... ,n označme Pak
Zi    = Xi
Y
Ž     =   i Ľ"=i Z;
H^ELi^-Ž)2.
S2
Ž-ř,    «(ř!-l)^:,Ž + ř, «ÍH-1)^: jV 'y/ň lK y/ň
je intervalový odhad parametrické funkce     — \ii o spolehlivosti 1
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modelováni
podzim 2013       32 / 40
Příklad
Příklad 27
U 6 aut bylo zjištěno ojetípředních pneumatik (v mm)
L 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 P   1,5   1,1   2,0   1,1   1,4 1,4
Určete 95 % interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot ojetí levé a pravé pneumatiky.
Řešení Vypočteme rozdíl ojetí na každém autě
z = (0,3; -0,1;0,2; -0,2;0,1;0,2) a průměr 2 = 0,083 a směrodatnou odchylku
s = 0,194.
IS pro fii — ji2'-
ž ± ř0/975 ( 6 - 1) -4- = 0,083 ± 2,57 ■ ^ = (-0,120; 0,287).
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       33 / 40
Odhady založené na centrálni limitní větě
pro n
h(X,7(0))		má
N (0,1)	. tj.	
fc(X,7(0)) ~ n(0,1)
Přitom rozdělení, z něhož výběr pochází
- nemusí splňovat požadavky spojitosti a ryzí monotonie distribuční funkce,
- může být i diskrétní.
Věta 28
Mějme AL{Xlr...rXn} ~ £(^(0),£72(0)) a výběrový průměr X = \ E X,-. A/ed/ť
í'=i
S2 = S2(X) je fslaběj konzistentním odhadem rozptylu c2(0). Pa/c statistika
u* = ^m^ £ n(o,i).
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       34 / 40
Důsledky
Důsledek 29 (Binární náhodné výběry)
Nechí -u-{Xi,... ,X„} ~ -A(p) Je náhodný výběr s alternativním (binárním) rozdělením. Potom intervalovým odhadem parametru JpJ o asymptotické spolehlivosti 1 — ol je interval
(x-^-iV^^i-iV^)-
Důsledek 30 (Poissonovské náhodné výběry)
Nechí -u-{Xi,... ,X„} ~ Po(A) je náhodný výběr s Poisonovým rozdělením. Potom intervalovým odhadem parametru [X] fO < A < oo) o asymptotické spolehlivosti 1 — ol je interval
(^-"i-fV^ + Hi-fV7!)-
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       35 / 40
Příklad
Příklad 31
Z 42 náhodně vybraných účastníků sportovního odpoledne bylo 16 dívek a 26 chlapců. Určete 95 % interval spolehlivosti pro podíl dívek mezi účastníky.
Řešení Označme X,-, i = 1,.. .,42 náhodnou veličinu nabývající hodnoty 1, pokud vybraný účastník je dívka a hodnoty 0, pokud vybraný účastník je chlapec. Zřejmě X,- ~ A(p). Vypočteme průměr x = || = 0,38 a směrodatnou odchylku s = ^/x{\ - x) = 0,4856. IS pro p:
x ± u0/975 -j= = 0,38 ± 1,96 ■        = (o, 234; 0,527).
Jan KoláCek (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       36 / 40
Úlohy k procvičení
Příklad 1.1
Při zjišiovánípřesnosti nově zaváděné metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo rozhodnuto provést 4 nezávislá měření. Stanovte dolní odhad pro a s rizikem 0,05, když výsledky měření byly: 0,31%; 0,30%; 0,29%; 0,32%.
[0,00799]
Příklad 1.2
Ze základního souboru byl proveden náhodný výběr s naměřenými intervalovými hodnotami a jejich četnostmi sledovaného znaku
Xj   (15,17)   (17,19)   (19,21)   (21,23)   (23,25) (25,27) tli      10 30 50 70 60 30
Určete
a) interval ve kterém se nachází střední hodnota \i s pravděpodobností 0,95
b) interval ve kterém se nachází rozptyl o2 s pravděpodobností 0,95.
_
[a) (21,5094; 22,1706), b) (5,952; 8,464)]
Jan Koláček (PřF MU) M5VM05 Statistické modelování podzim 2013       37 / 40
Úlohy k procvičení
Příklad 1.3
V tabulce jsou uvedeny hodnoty odporu (v ohmech) vzorků drátů A a B. Je známo, že výsledky takových zkoušek mají normální rozdělení s rozptyly o2 = 4 ■ 10~6, 02=9 ■ 10~6. Stanovte dolní odhad pro rozdíl středních hodnot odporu drátů při riziku cc = 0,05.
A   0,140   0,138   0,143   0,142   0,144 0,137 B   0,135   0,140   0,142   0,136 0,138
[-0,000116]
Příklad 1.4
Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky (v dkg) jsou následující: (62; 52), (54; 56), (55; 49), (60; 50), (53; 51), (58; 50). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro \i\ — \i2.
j
[(0,626; 10,707)]
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       38 / 40
Úlohy k procvičení
Příklad 1.5
V tabulce jsou uvedeny výsledky analýz niklu získané dvěma analytickými metodami. Stanovte horní odhad pro podíl směrodatných odchylek obou metod při riziku cc = 0,05, jestliže tyto výsledky považujeme za realizace náhodných výběrů z normálního rozdělení.
Metoda I 3,26 3,26 3,27 3,27 Metoda II   3,23   3,27   3,29 3,29
[0,622]
Příklad 1.6
Mezi 160 pracovníky (náhodně vybranými z 8000 pracujících v závodě) 48 cestuje do práce vlakem. Napište bodový odhad a 95% interval spolehlivosti pro podíl a počet zaměstnanců dopravujících se vlakem.
Jan Koláček (PřF MU)
[podíl: 0,3; (0,229;0,371), počet: 2400; (1832;2968)]
M5VM05 Statistické modelování podzim 2013       39 / 40
Úlohy k procvičení
Příklad 1.7
Naprogramujte funkci uhol. R, která pro jediný vstupní parametr n vygeneruje n-rozměrný datový soubor z normálního rozděleníN(1/2,1) a na základě vygenerovaných dat sestrojí 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu \i. Sledujte, pro jak velká n tento interval obsahuje nulu a jak se mění šířka intervalu. Dokážete interpretovat pozorované jevy?
Jan Koláček (PřF MU)
M5VM05 Statistické modeloval
podzim 2013       40 / 40