MULTIVARIÁTNA ANALÝZA 2 1. Kvadratické formy Deflni cia 1.1. Nech X\,X2, ...,Xn sú nezávislé, N(0,1) rozdelené náhodné veličiny. Potom Y = Xl+X22+... + X2n má rozdelenie Xn (centrálne chi kvadrát rozdelenie s n stupňami volnosti). Veta 1.2. Nech Y ~ xl- Y má hustotu Íl _JL Hl ——-—-e !»! 1 pre y > 0, 2*r(§) 0 inde. Dôkaz. Pozri [Anděl, str. 79]. Poznámka. Xn rozdelenie je špeciálny pripad gama rozdelenia s parametrami a, p (a > 0,p > 0), ktoré má hustotu -e^axxv^x pre x > 0, 0 inde. Označujeme ho T(a,p). Piati, že xj; je rozdelenie T (-|, ( r(p) =/"e-**"-1^, p> 0.) Definícia 1.3. JVec/i X\, X2,X„ sm nezávislé, Xi ~ A(/íí,1), z = 1,2, ...,n. iVec/i A = Sľ=i M? 7^ 0- Náhodná veličina Y = Xl+Xl + ... + X2n má necentrálne x2 rozdelenie s n stupňami volnosti a koeficientom necentrality A. Označujeme ho Xn \ - Veta 1.4. Nech Xi, X2, Xn sú nezávislé, Xi ^ N(iii,í), i— 1,2,..., n. Rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny Y — Yľi=i X?', (teda Xn \, kde A = X)ľ=iAí?j závisi len od n a X (nezávisí od jednotlivých /ii, ...,/in). Dôkaz. Pozri [Anděl, str. 80]. Lema 1.5. JVec/i X ~ A (/i, 1). Náhodná veličina X2 má hustotu e^i + ^ + ^ + ...) *>0, 0 í ^ 0 1 2 Dôkaz. X2 má distribučnú funkciu pre t > O •y/i /-Vi \/2tt Preto je hladaná hustota pre t > 0 Fx;2(í) = P{X2 < í} = P {-Vi < X < Vi} — í -^er^^^dx. J-Jl V2tt „ . . dFx4t) 1 1 (Vt-m)2 1 1 (-vt-m)2 /x2(í) = —X-l-L = _____e--2— + ^^=e--s- = dí 2Vf^V^ŤŤ 2Vf^V^ŤŤ 2VtVŽŤř V^a/í v 2! 4! Samozrejme pre í 5= 0 je fx2(t) — 0. □ Poznámka. Použili sme vzorec d ľ13^ ľ13^ d f (x v) — f(x,y)dx= ^yidx + p>{v)mv)}V]-a>{v)f[a{v)}V]. dy Ja(v) Ja(y) ÔV Počítajme teraz charakteristickú funkciu náhodnej veličiny £ — X 2 oo eltx e ~ io V2~kV% Postupne pre prvý člen Jo 2„ l.,2„\2 1 ľ°° itx !c+f'2 -i r e 2 / -a;fi-íť) -i r e e 2 x 2dx— —==■ / e 12 ;x 2dx — '2tt Jo V2tt (substitúcia aľ(| — ií) = w) e ^ r00 W2 i 1 dw =-;-e-^r(^). _ / e — dw —-== 2 Pre druhý člen -±=\ e^e-^x-i^dx^^^L í er<^xi^dx V^ Jo 2! 2\V^ Jo (substitúcia aľ(| — iť) — w) 21V2K Jo ' ^(I-íí)3^ 2\V2^^J{\-itf ^ f°° e- ý'" dw =-f e-^r(l). 3 Pre treti člen itx -^L _l{h2)2x2 (/i2)2 e e e 2 x 2iľl-l—dx — 2tt Jo 4! 4!V2tt e ^ 'l>i2 1dx (substitúcia aľ(| — ií) = w) (M2)2e-^ W2 e — zdw : (M2) 2\2 =e--r(|), atď. Dostávame e 2 r(l)(M2)0 , r (f) (m2)1 , r(|)(M2)2 0!(±-it)* 2!(I-it)* 4! (i-i*)1 e 2 2\0 ^(m2)1 (M2)2 V^(m2) 0!(|-ií)° ' 2.1!(I-zí)1 ' 4.3.2! (I-zí)2' 2 2 2' 6.5.4.3! (i - íí)3 8.7.6.5.4! (§ - íí)4 e 2 (M2)0 (M2)1 ,2\2 (M2) 0!4° (i - it)° + 1Í41 (i -ít)1 + 2!42 (i - ít)2 (1.1) g- —g2(l-2it) VI - 2zt VI - 2zť Ak máme Xi,X2, ...,Xk nezávislé, Xj ~ N(/Aí, 1), tak charakteristická funkcia (1.2) MV = el-2l,t VI - 2zí a charakteristická funkcia náhodnej veličiny Y — X2 + X^ + ... + X\ je (1.3) Vy (í) = ýx?(Wx?(t)...ýxi(t) it Vfe u2 (í-2itp (1 — 2zí)f kde A = Ej=iM2- 4 Veta 1.6. Nech náhodné premenné Xi, X2, ■■■jXn sú nezávislé, Xi ~ N(/Aí, 1), i — 1,2,n. Potom n n i=l i=l má xi s rozdelenie práve vtedy ak (i) 7i — O aře&o 1 pre i — 1,2, ...,n, (U) ak 7i — 0 =>• 6i = 0 pre z — 1, 2,n, (Ui) c=£"=16?. v4fe sm podmienky (i),(U) a (Ui) splnené, tak k — X)ľ=i 7i « S — X)ľ=i 7í(^í + Mi)2- Dôkaz. Porovnáme charakteristické funkcie iJjt(-) a i/>y(.), kde y ~ %| á. Piati V>:r(t) = £(eiťT) =S í V 5ľ}=l 7^32+2E"=i b3X3+C+2E™=1 73#0 73#0 73=0 £"=1 7i(^ + ^-)^+c-E ,=1 S7+2E =1 'Í=l 73#0 i=i . j=l "ó^-ó 73=0 73#0 £ e tí=° i=i it~/j I x j + - . V" -i. c 2^ ,-=l -y. ■ 3 = 7^0 n v>íÄ-t) n ^(7^), i=i 73=0 i=i 73#0 kde & ~ ÍV (^i + 1) ak 7i ^ 0 a & ~ ÍV (/íí, 1) ak 7i = 0. Podlá (1.2) je (1.4) tj;T(t) = e ^ 'e tí=° tí=° : 1 Il"=i V1 - 2ií7i 73#0 e 73#o Podlá (1.3) pre charakteristickú funkciu Y ^ xt s piati 1 itS (1.5) n u VT^M 5 Porovnaním (1.4) a (1.5) musí platit pre každé t g 72 n k j=l 1=1 a súčasne e V 7j#0 /g 7j=0 7j=0 g 7^0 _ ei-2it z čoho je jasne vidiet, ako dokončime dôkaz. □ Veta 1.7. Nech ^ ~ Nn(fj,,T), An,n je symetrická, b g 72.™ a c g 72. Náhodná premenná T — £'A£ + 2b'^ + c má %| á rozdelenie práve vtedy ak (1) A2 — A, (ii) b g n(A), (iii) c — b'b. Ak sú podmienky (i),(U) a (iii) splnené, tak k — h(A), ô — (b + /x)'A(b + /x). Dôkaz. Pre A existuje ortogonálna matica P, že piati P'AP = A (diagonálna matica), P'P = PP' = I (pozri napr. Rao, str. 62). Potom rj = P'| ~ iV(P'/x,I) a £ = Píy. Preto T = £'A£ + 2b'| + c = í?'P'APí? + 2b'Pí? + c = í?'Aí? + 2b'Pí? + c. Podlá vety 1.6 má T rozdelenie x2. s práve vtedy ak (i) {A}ll = 0 alebo 1 pre'í = 1,2,...,n ^ A2 = A 4^ P'APP'AP = P'A2P = P'AP ^ A2 = A, (ii) {A}íí = 0 =>• {P'b}i — 0, čo je ekvivalentné s tým, že P'b g /z(A) •<=> PP'b = b g m(PP'AP) = /i(AP) = /z(A), (iii) c = (b'P)P'b = b'b. Ak sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, potom podlá vety 1.6 k — ~Yľl=i{A}a — trA = h(A) = ^(PAP') = h(A) a 5 = Eľ=i{Ak({p'b}í + {PW*)2 = (b'P + /x'P)A(P'b + P'/x) = (b + /x)'PAP'(b + /x) = (b + /x)'A(b + /x). □ Veta 1.8. Nech ~ Nn(fi,'S), An,n je symetrická, b g 72™ a c g 72. Náhodná premenná T — A£, + 2b'^ + c má x2. á rozdelenie práve vtedy ak (i) SAEAE = SAS ^ (SA)3 = (SA)2, (ii) S(A/x + b) g /i(SAS), fmj (A/x + b)'S(A/x + b) = /x'A/x + 2b'/x + c. Ak sú podmienky (i), (U) a (iii) splnené, tak k — tr (AS) aô— (b +A/x)'SAS(b + A/x). Dôkaz. Faktorizujeme maticu S — JJ', kde J je typu n x /i(S) (pozri Anděl, str. 64). Vieme, že P{£ = /x + j í?} = 1, kde 77 ~ A^(S)(0, I) (Anděl, str. 76). Teda T = £'A£ + 2b'í + c = (/x + Jt7)'A(/x + Jt?) + 2b'(/x + Jrj) + c = = tj'J'AJt? + 2(A/x + b)'Jí? + /x'A/x + 2b'/x + c. Podia vety 1.7 má T rozdelenie \k s práve vtedy ak (1) J'AJJ'AJ = J'AJ, (2) J'(A/x + b) e m(J'AJ), (3) (A/x + b)'JJ'(A/x + b) = /x'A/x + 2b'/x + c. Ďalej piati J'AJJ'AJ = J'AJ JJ'AJJ'AJJ' = JJ'AJJ', čiže SASAS = SAS, a tiež naopak SASAS = SAS => JJ'AJJ'AJJ' = JJ'AJJ' => (J'J) ij'.JJ'AJJ'AJJ'.JtJ'J) 1 = (J'J)^J'.JJ'AJJ'.JÍJ'J)-1, čiže J'AJJ'AJ = J'AJ, čo dokazuje prvú časí (i). Ekvivalencia SASAS = SAS ^ (SA)3 = (SA)2 je jedným smerom (=>•) zrejmá. Ku opaku potrebujeme nasledovné tvrdenie (1.6) 3 DKj„ : SAS = SASAD. Tvrdenie (1.6) dokážeme takto: /i(SAS) = /i(JJ'AJJ') ^ ^((J'J^J'.JJ'AJJ'.J^'J)-1) = /i(J'AJ). Podia Anděl, str. 62 je (1.7) /i(J'AJ) = /i(J'AJJ'AJ) ^ /i(JJ'AJJ'AJ) = /i(SASAJ), ale /i(SASAJ) = /i(JJ'AJJ'AJ) ^ /i((J'J)-1J'.JJ'AJJ'AJ) = (1.8) = /i(J'AJJ'AJ) = /i(J'AJ), a preto z (1.7) a (1.8) /i(SAS) = /i(SASAJ) ^ /i(SASA) ^ /i(SAS), teda /i(SASA) = /i(SAS). Pretože zrejme /i(SASA) C /i(SAS) a hodnosti matic vytvárajúcich tieto pod-priestory sa rovnajú, piati /z(EAEA) = m(SAE) 7 a dostávame vztah (1.6). Z predpokladu (SA)3 — (SA)2 pomocou (1.6) dostávame SASASAD = SASAD => SASAS = SAS, čim sme (i) úplne dokázali. Podme teraz dokázat (ii), čiže dokázat, že J'(A/x + b) e /z(J'AJ) ^ S(A/x + b) e /z(EAE). Ak J'(A/x + b) e m(J'AJ), tak JJ'(A/x + b) e m(JJ'AJ) = /z(EAJ) = = ^(SAJJ'AS) = ^(EAEAE) = /j(SAS) (podlá (i)). Naopak ak S(A/x + b) e /z(EAE), tak (J'J) 1 J'.JJ'(A/x + b) = J'(A/x + b) e /i((J'J)_1 J'.JJ'AJJ') — /i(J'AJJ') C /i(J'AJ), čim sme dokázali (ii). Samozrejme (iii) už máme dokázané (je ekvivalentné (1)). Dôkaz vety už dokončime jednoducho. Podlá vety 1.7 je totiž k = /i(JJ'A) = ír(SA) = ír(AS) aä = ([J'(A/x + b)]'J'AJ[J'(A/x + b)]) = (A/x + b)'EAE(A/x + b). □ Uvedieme bez dôkazu vety o nezávislosti kvadratických foriem. Podrobnejšie pozri [Rao, Mitra, kapitola 9]. Veta 1.9. Nech Y ~ Np((jl, S) a Qi = Y'AY, Q2 = y'by dw kvadratické formy. Nutné a postačujúce podmienky nezávislosti Q\ a Q2 sú (a) SASBS = 0,EAEB/x = 0, EBEA/x = 0 a /x'AEB/x = 0, ak A a B sm symetrické, nemusia byt pozitivně semidefinitné, pričom S nemusi byt regulárna. (b) ASBS — 0, AEB/x = 0, afc A je pozitivně semidefinitná. (c) ASB = 0, ak A aj B sm pozitivně semidefinitné. (d) ASB = 0, ak S je regulárna, A a B sm symetrické, nemusia byt pozitivně semidefinitné. Veta 1.10. JVec/i Y - Np((i, E) a Qi = Y'AY+2a'Y+a, Q2 = Y'BY+2b'Y+/3 dw lineárne-kvadratické formy. Nutné a postačujúce podmienky nezávislosti Q\ a Q2 sú (a) SAEBS = 0, EASb = 0, EBSa = 0a a'Eb = 0, ak /x = 0, pričom S nemusi byt regulárna. (b) ASB = 0, BSa = 0, ASb = 0 a a'Eb = 0, afc S je regulárna, pričom /x môže byt aj nenulový vektor. 2. WlSHARTOVO ROZDELENIE 2.1. ÚVODNÉ POZNÁMKY A DEFINÍCIA Majme Uj ~ A^/x^E), i — 1,2, ktoré sú nezávislé, E je pozitivně deŕinitná matica. Označme Uj = (Uu,U2i, ■■■,UPi)', Y j = (Uj±,Uj2, ■■■,Ujk)', j — 1,2, a /t/ll t/12 ^13 ■■■ ^lfe\ í^21 ^22 t^23 ■ ■ ■ U2k V Upi up2 up3 ... upk J 8 Teda w iu,:u,:...:u/,: Vy'/ ďalej označme Ml / Mu M12 Mi3 ■ ■ ■ Mife ^ M21 M22 M23 ■ ■ ■ M2fe (/xi:/x2: ■ ■ ■ :/ife)- V /ipl /ip2 Mp3 ■ ■ ■ Mpfe / Pre pevný vektor 1 G 1ZP sú náhodné veličiny l'Ui - ÍV(1'mí, l'Sl = o}), i = 1,2, ...,k nezávislé (lebo Uj sú nezávislé). Náhodný vektor U\ — íY^i je lineárna kombinácia normálne rozdelených nezávislých náhodných vektorov, pričom (2.1) lY-iVfcíMl.ffflfc.fc). ak b — (b\, 62, bk)' je vektor konštánt, tak (2.2) U'b = 61U1 + ... + 6fcUfc - ATp(M'b, b'bS). Poznámka. Nech / «11 «21 ain \ «2n V «ml Kroneckerov súčin matic A a B je ; Br,s /&11 Ď21 \6rl b2s * br„ J A (8> B = / anB ai2B «2iB a22B V«miB am2B ai„B \ «2nB «mnB / mr Vlastnosti Kroneckerovho súčinu matic pozri napr. v [Rao]. ak napíšeme "pod seba" stĺpce matice K, povieme, že sme vykonali na matici operáciu vec. Teda U2 » wecW = UfcPji = w 9 Ukážte, že (2.3) vecU' = U ~ iVfcp(i;ecM', Ifcjfc ® a (2.2) sa dá zapisat ako (2.4) Z/b = (b' (8> IptP)vecUŕ - Np((b' IPtP)vecM'', (b' Ip,p)(Ip,p ® Ep,p)(b IPjP)). Poznámka. Nech bi 7^ b2, bi,b2 G 7?.fe. Piati cov(U'b1,U'b2) = (K (8) Ip,p)(I® S)(b2 ® = b'1b2 ® £ = b^E. ak b'1b2 = 0, t.j. ak bi a b2 sú ortogonálně, tak Wbi a Z/b2 sú neskorelované, t.j. v tomto prípade nezávislé. Podlá predchádzajúcej poznámky lahko dokážeme nasledujúcu lemu Lema 2.1. Ak bi,b2, ...,br, r ^ k tvori ortonormálny systém v 7Zk, tak Vi = Z/bi,...,Vr = Z/br sú navzájom nezávislé a majú normálne rozdelenie, pričom Vj ~ Aŕp(M'bj, S), lahko dostaneme aj nasledujúci dôsledok Dôsledok 2.2. Ak Tik,k je ortogonálna matica (BB' — B'B — I), tak Vj = (U, i...;!.),.:}!?!., = W'{B}.i ~ Wp(M'{B},,£), z = 1,2,..., Ä; a co^V^Vj) = ({B};4 ® IPjP)(I ® S)({B}.j ® I) = {B};i{B}.J- ® S = 0 pre 3, teda V1;Vfc sú nezávislé. Definícia 2.3. Združené rozdelenie prvkov matice Sp,p — EÍLi U^U^ — U'IÁ sa nazýva Wishartovo rozdelenie s k stupňami volnosti a znači Wp{k, S, M). Ak M — 0, jedná sa o centrálne rozdelenie, označujeme ho Wp(k,'S). Poznámka. (i) {S}„- = {EÍLi U'Uí} = Eti UuUji = YíYj = {W'W}ý-, lebo / Eti^i' Ef=i^i^2í ... Y,LiUuUpl\ c — \Eti^^« Ylt=1uplu2l ... eÍLi^í / (ii) Pre p = 1 a /in = /ii2 = ... = /iifc = 0 sú Ut = C/H ~ ÍV(0, cr2), i = 1, 2,k nezávislé, W'W = E*=i Ul ~ Wi(*> ^ Pretože ^ ~ JV(0,1), má E*=i $ ~ 4 rozdelenie a Z/W ~ íj2Xfc rozdelenie. (iii) Pre k p existuje hustota Wp(k, S, M) rozdelenia, ináč nie. Dôkaz je naznačený v [Rao, str. 641]. 10 2.2. Niektoré vlastnosti Wishartovho rozdelenia Lema 2.4. Nech S ~ Wp(ä;,S,M) a 1 g W je vektor konštánt. Potom ľSl „2^2 /_2 _ ifyi r _ l'M'Ml ) ^lXŕc.í f0! -12jli ô —--J- Dôkaz. S = Etiuiuí. Preto ľS1 = EtiľUiUÍ1 = EtiO'Ui)2 = iY' iY °\XÍ,Ä, kde 5 l'M'Ml lebo iY - atfc(Ml, Ife,fe)- ak M = 0, tak 5 = 0. □ Lema 2.5. JVec/i Uj ~ -/Vp(0, S), z = 1,2, sm nezávislé, Aj^a, reálna symetrická matica. W AU ~ Wp(r, S) práw tJČedy ak\/ 1 elZp iY'A iY ~ ofx2, (of = ľSl, iY = Wl). K íomío prípade r = /i(A) = ír(A). Dófcaz. Zlemy2.4 vyplýva, žeakWAW - Wp(r,S), takVl g 7ep iY'A iY - a\xl-Samozrejme z (2.1) {Y ~ JVfc(0, <72Ifcjfc), čiže £ - Nk(0,Ik,k). Teda podlá vety 1.8 X2 •<=> A2 = A a v tom prípade r = /i(A) = tr(A). Naopak ak V 1 g W {Y'A {Y = VW AU\ ~ crfxr, čo je podlá vety 1.8 ekvivalentné tomu, že A2 — A, pričom v tom prípade h(A) — tr(A). A je reálna symetrická matica, idempotentná a h(A) — r. Teda A je pozitivně semideŕinitná a preto existuje ortonormálny systém vektorov bi,e 7Zk, že A — Ej=i Ajbjbj, I — Ej=i bjbj (reálne čisla Ai ^ A2 ^ ... ^ Ar > 0 sú vlastné čisla matice A a bi,br im prislúchajúce charakteristické vektory). Z rovnosti A2 — A dostávame r r r E AA-b; E A*b*b* = E A*b*b*< j=l s=l t=l Afbibí + AÍ;b2b2 + ...A2brb; = Aibibi + A2b2b2 + ...Arbrb;, z čoho vyplýva, že A2 — \, i — 1,2, čiže Ai — A2 = ... = Ar = 1 (lebo Ai > 0). Môžeme písat A = E^=i bibí a tiež W'AW = E^i^'b^W = Ej=ivjV^, pričom podlá lemy 2.1 Vj ~ ^(0, S) a Vi, V2,T^. sú nezávislé. Z definície preto W AU ~ Wp(r, S). □ Veta 2.6. JVec/i S ~ Wp(k, S) a BPíg matica konštánt. Potom B'SB ~ Wq(A;, B'SB). Dôkaz. B'SB = B'W'WB, kde /U'A ' Uí > UB /Vi \ B V V'/ Uj ~ ^(0, S) sú nezávislé. Preto /Vi\ /UÍB\ ' v 1 ' U2B > V vi/ Vu^b/ má riadky nezávislé, ccw(B'Ui, B'Uj) = B'ccw(Ui, U,)B = 0 a B'U4 - atg(0, B'SB). Platí B'SB = Eľ=i v4V^ - B'SB) (priamo z definície). □ 11 Dôsledok 2.7. (a) Diagonálne submatice matice S majú tiež Wishartovo rozdelenie, lebo ak g _ / Sn S12 kde Sn je rozmeru l x l, tak (IM OjS^'^Sn. f&j afc S - Wp(/í,I) a afc pre Bp,g piati B'B = I, poíom B'SB - Wg(A:,I). Veta 2.8. Nech S ~ Wp(k, S) a a e 7?.p je tofcý vektor konštánt, že a'Sa 7^ 0. Potom ——— ~ ví. a'Sa A/" Dôkaz. Podia vety 2.6 piati, že a'Sa ~ Wi(fc,a'Sa), čo znamená podlá poznámky a'Sa (ii) pod definíciou 2.3, že -~ x\- ^ a'Sa Veta 2.9. JVec/i U1;U„ je náhodný výber z Np(0, S) fteda - Wp(n, S)j, je symetrická matica. Piati U'CU ~ Wp(r, S) <ŕ=> C2 = C. K takomto prípade r — tr(C). Dôkaz. Podlá lemy 2.5 je W'CW - Wp(r, S) 4^ V 1 g 7?.p iY'C iY - cr2*2, (cr2 = l'Sl, iY = U\). V tomto prípade r = /i(C) = ír(C). Pretože podlá (2.1) je Y Y' Y 1 ^(0,1), je podlá vety 1.7 iY'C iY - a\xl ^ ")=C^= ~ xl ^ Vl'Sl " 1 Vl'Sl Vl'Sl C2 = C. V tomto prípade r = /i(C). □ Lema 2.10. Nech Si ~ Wp(n1, S), S2 ~ Wp(n2, S). Si a S2 sm nezávislé. Potom S! + S2 - Wp(n!+n2,S). ^az. Si = wíwi, s2 = w2u2, kde w{ = íu,;...;u„ =. w2 = (u„1+1:...:u„1+„2) a Uj ~ ~Np(Q,YÍ),i = 1,2, + n2 sú nezávislé. Preto ak označíme U' — (U['^)p,ni+n2, tak Si + S2 = (WÍWi + Z^W2) = W'W - Wp(ni + n2, S). □ Veta 2.11. Nech Cn,n — C je p.s.d. matica konštánt, Uj ~ -/Vp(0,S),z = 1, 2,n nezávislé. Piati, žeUpnCU ^ ^2™=1 XiWp\l, ~£), kde X±, ...,Xn sú vlastné čisla matice C a W^\\, S),Wpn\í, S) sm nezávislé. Dôkaz. Môžeme pisat C — J]™=1AiPip-, I — E™=1PiPÍ, pričom Ai ^ ... ^ A„ ^ 0 sú vlastné čisla matice C a pi, ...p„ ortonormálně vektory. Teda U'CU — Eľ=i XM'pip'jU = Eľ=i <^viví, kde V, - Np(0, S) a sú nezávislé (lema 2.1). Z vety 2.9 vieme, že W'p.p^W = V,V^ - W^\l, S). □ 12 Lema 2.12. Pre matice príslušných rozmerov platí (2.5) vecABC = (C A)uecB, Ír A B = (uecB')WA. Dôkaz. Lemu dokážte ako cvičenie. Veta 2.13. Nech Uj ~ Ap(/x,S), z = 1,2,..., n, U1; U2,U„ sm nezávislé, Ci, C2 symetrické a idempotentné. WCilA a WC2U sú nezávislé •<=> C1C2 = 0. Dôkaz, ak W'Ci a WC2 sú nezávislé, tak sú nezávislé aj WC\IÁ a U'C^U. WC\ a WC2 sú nezávislé práve vtedy ak sú nezávislé JLÍ'Ci a VJ'C^ a to je práve vtedy ak sú nezávislé vec(JU'C\) a t>ec(K/C2), čiže podlá lemy 2.12 ak sú nezávislé vektory (C[ £p,p). Pretože (Ci <8> I)(I <8> S)(C2 <8> I) = (CiC2 <8> £) = 0, sú W'Ci a W'C2 nezávislé. Teraz už lahko dokončime dôkaz. □