Bateman-Horn/Hardy-Littlewood-Dickson conjecture Nechť f1(x), . . . , fk(x) ∈ Z[X] jsou po dvou různé ireducibilní (tedy nutně nekonstantní) polynomy s kladnými vedoucími koeficienty. Dále nechť πf1,...,fk (N) := n ∈ {1, . . . , N}: f1(n), . . . , fk(n) ∈ P , kde P značí množinu všech prvočísel. Pro každé prvočíslo p označme ωf1,...,fk (p) počet navzájem nekongruentních mod p řešení kongruence k i=1 fi(n) ≡ 0 (mod p). Pokud ωf1,...,fk (p) = p pro nějaké p ∈ P, pak je pro každé n ∈ N některé z čísel f1(n), . . . , fk(n) dělitelné p, a tudíž f1(n), . . . , fk(n) můžou být zárověň prvočísla jedině pokud je některé z nich rovno p, což nastane jenom pro konečně mnoho n. Funkce πf1,...,fk (N) je tedy v tomto případě ohraničená. Lze ukázat, že součin Cf1,...,fk := p 1 − ωf1,...,fk (p) p 1 − 1 p k je konvergentní (obecně ale ne absolutně), zejména tedy pokud ωf1,...,fk (p) < p pro všechna p ∈ P, pak je tento součin kladný. Bateman-Horn conjecture říká, že za těchto předpokladů platí πf1,...,fk (N) ∼ Cf1,...,fk k i=1 deg fi N 2 dt lnk t , N → ∞, zejména tedy πf1,...,fk (N) → ∞ (toto pouze kvalitativní tvrzení se nazývá Schinzelova hypotéza H). Jelikož pro každé k ∈ N platí N 2 dt lnk t ∼ N lnk N , N → ∞, lze tvrzení ekvivalentně zformulovat ve tvaru πf1,...,fk (N) ∼ Cf1,...,fk k i=1 deg fi · N lnk N , N → ∞. Stejně jako u PNT lze ale očekávat, že v první z těchto formulací bude chybový člen asymptoticky výrazně menší než v té druhé. Příklad 1 (Dirichletova věta). Nechť k = 1 a f1(x) = ax + b, kde a, b ∈ Z, a > 0, (a, b) = 1. Potom platí ωax+b(p) = 0 pokud p | a a ωax+b(p) = 1 pro ostatní prvočísla, takže Cax+b = p|a 1 1 − 1 p = a ϕ(a) , 1 a BHC tedy v tomto případě tvrdí πax+b(N) ∼ aN ϕ(a) ln N ∼ π(aN + b) ϕ(a) , N → ∞, kde π := πx značí prime counting function (druhá asymptotická rovnost plyne z PNT). Tudíž BHC se v tomto případě redukuje na Dirichletovu větu. Příklad 2 (Twin prime conjecture). Nechť k = 2, f1(x) = x, f2(x) = x + 2. Pak ωx,x+2(2) = 1 a ωx,x+2(p) = 2 pro p = 2. Snadno je vidět, že součin Cx,x+2 = 2 p=2 Ç 1 − 1 (p − 1)2 å . = 1, 3203236 je absolutně konvergentní. Hodnota C2 := Cx,x+2/2 . = 0, 6601618 se nazývá twin prime constant. Rovněž se obvykle značí π2 := πx,x+2. BHC potom tvrdí π2(N) ∼ 2C2 N 2 dt ln2 t ∼ 2C2N ln2 N , N → ∞. Tento vztah je kvantitativní verze twin prime conjecture. Označme πe 2(N) := ú 2C2 N 2 dt ln2 t + 1 2 ü odhad π2(N) zaokrouhlený na celá čísla (zaokrouhlení na celá čísla neovlivní asymptotické chování této funkce). Následující tabulka porovnává vybrané hodnoty π2 a πe 2 (viz [1] a [2]). N π2(N) πe 2(N) π2(N)/πe 2(N) 103 35 46 0.7608695652 106 8169 8248 0.9904219205 109 3424506 3425308 0.9997658605 1012 1870585220 1870559867 1.0000135540 1015 1177209242304 1177208491861 1.0000006370 1018 808675888577436 808675901493606 0.9999999840 Hypotéza tedy říká, že hodnoty v pravém sloupci konvergují k 1 pro N → ∞. Příklad 3 (Hardy-Littlewood k-tuples conjecture). Předchozí příklad je speciálním případem následující situace. Nechť f1(x) = x + c1,...,fk(x) = x + ck, kde c1, . . . , ck jsou navzájem různá celá čísla. Potom ωx+c1,...,x+ck (p) < p pro všechna p ∈ P právě tehdy, když pro žádné prvočíslo p nepokrývají čísla c1, . . . , ck všechny zbytkové třídy mod p. Potom se k-tice (c1, . . . , ck) nazývá admissible k-tuple. Hardy-Littlewood k-tuples conjecture (která je historicky starší než obecný případ) tedy říká, že pro každý admissible k-tuple (c1, . . . , ck) platí πx+c1,...,x+ck (N) ∼ Cx+c1,...,x+ck N 2 dt lnk t ∼ Cx+c1,...,x+ck N lnk N , N → ∞. 2 Příklad 4 (Prvočísla tvaru n2 + 1). Nechť k = 1 a f1(x) = x2 + 1. Platí ωx2+1(2) = 1, ωx2+1(p) = 2 pro p ≡ 1 (mod 4), a ωx2+1(p) = 0 pro p ≡ 3 (mod 4). Odtud vyjde Cx2+1 = p=2 Ñ 1 − (−1) p−1 2 p − 1 é . = 1, 3728135. Tento součin konverguje, ale neabsolutně. BHC potom říká πx2+1(N) ∼ Cx2+1 2 N 2 dt ln t ∼ Cx2+1 2 N ln N , N → ∞. Opět označme πe x2+1(N) := ú Cx2+1 2 N 2 dt ln t + 1 2 ü odhad πx2+1(N) zaokrouhlený na celá čísla. Následující tabulka porovnává vybrané hodnoty πx2+1(N) a πe x2+1 (N) (viz [3], kde ovšem počítají pouze prvočísla větší než 2 takže hodnoty tam jsou o jedna menší než hodnoty zde). N πx2+1(N) πe x2+1 (N) πx2+1(N)/πe x2+1 (N) 102 19 20 0.95000000 104 841 855 0.98362573 106 54110 53970 1.00259403 108 3954181 3955219 0.99973756 1010 312357934 312353236 1.00001504 1012 25814570672 25814350227 1.00000854 Hypotéza tedy opět říká, že hodnoty v pravém sloupci konvergují k 1 pro N → ∞. Literatura [1] Number of twin prime pairs below 10n, http://oeis.org/A007508. [2] Hardy-Littlewood approximation to the number of twin primes less than 10n, http://oeis.org/A152051. [3] Number of primes of the form 1 + b2 for 1 < b < 10n, http://oeis.org/A215047. 3