Domácí úkol do semináře z teorie čísel, 1. týden (19. 9. 2013)
1. (a) Určete
lim sup
n→∞
σ(n)
n
,
kde σ(n) značí součet přirozených dělitelů čísla n ∈ N (tedy např. σ(12) =
= 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28).
(b) Určete
lim inf
n→∞
ϕ(n)
n
,
kde ϕ značí Eulerovu funkci.
Hint (pro obě části): využijte toho, že
p
1
p
= ∞.
2. Pomocí nějakého matematického softwaru vytvořte graf nebo tabulku hodnot funkce
y = ln(x) − x/π(x) (kde π(x) značí počet prvočísel menších nebo rovných x ∈ R)
pro nějaký vhodně velký rozsah hodnot proměnné x, a vyslovte hypotézu o asymptotickém
chování této funkce pro x → ∞.
Pozn.: v SAGE nastává jistý problém s kompatibilitou funkcí prime pi a plot,
návod jak ho vyřešit viz např. http://sage.maa.org/home/pub/146/.