Domácí úkol do semináře z teorie čísel, 11. týden (28.11.2013)
Nechť p je liché prvočíslo. Cílem tohoto úkolu je dokázat, že pro libovolné k G Z, k > 0, je grupa (Z*fe, •) cyklická. (Číslo g G Z splňující ([g]pfc) = Z*fe se nazývá primitivní kořen modulo pk.)
Dokažte následující tvrzení:
1. Pro libovolná a, b, k G Z, k > 0, platí
a = 6   (mod ap = F (modpfc+1).
2. Grupa (Z*, •) je cyklická.
3. Pro libovolné c G Z splňující, že {[c]p) = Z* existuje x G Z tak, že pro p = c + p:r platí gp~ľ = 1 + p (mod p2).
4. Dokažte, že číslo g získané výše splňuje pro každé k G Z, k > 1, kon-gruenci ^(p_1)p     = 1 (mod
5. Dokažte, že číslo g získané výše splňuje pro každé k G Z, k > 0, že zbytková třída [g]pk je generátor grupy Zxfe.
[Návod:
1. Rozložte ap — bp na součin čísla a — b a dalšího činitele, o kterém ukážete, že je dělitelný prvočíslem p.
2. Užijte větu o multiplikativních grupách konečných těles.
3. Umocněte (c + px)13^1 binomickou větou a zjistěte, s čím je výsledek kongruentní modulo p2. Vysvětlete, proč požadované iěZ existuje.
4. Užijte indukci vzhledem ke k. Pravou stranu (1 +pk~1)p upravte binomickou větou modulo pk+1.
5. Označte n řád prvku [g]pk v grupě ^*k- Ukažte, že p — 1 | n a že n | (p — l)pk~1. Vysvětlete, proč n \ (p — l)pk~2.]
1