Domácí úkol do semináře z teorie čísel, 12. týden (5.12.2013)
Nechť p je libovolné prvočíslo splňující p = 1 (mod 8). Cílem tohoto úkolu je dokázat, že grupa C{—Ap) tříd forem diskriminantu — Ap obsahuje prvek řádu 4.
1. Dokažte, že C{—Ap) = %2a x G pro vhodnou grupu G lichého řádu a vhodné a G N.
2. Dokažte, že existuje liché b E 7L nesoudělné s p tak, že b2 = ^y-(mod p).
3. Dokažte, že forma / = 2x2 + 2xy + ^-y2 je redukovaná forma diskriminantu —4p, a určete řád třídy, která ji obsahuje, v grupě C{—Ap).
A. Dokažte, že / i hlavní forma x2 + py2 patří do stejného genu.
5. Dokažte, že grupa C{—Ap) tříd forem diskriminantu — Ap obsahuje právě dvě (navzájem inverzní) třídy řádu 4.
[Návod:
1. Vysvětlete, proč z věty o struktuře konečných komutativních grup plyne, že stačí ověřit, že v C{—Ap) existuje právě jeden prvek řádu 2. K tomu stačí spočítat /i pro D — —Ap pomocí Proposition 3.11.
2. Užijte vzorec pro Legendreův symbol (^).
3. Užijte Lemma 3.10.
4. Ukažte, že obě formy vyjadřují čísla ze zbytkové třídy [£^-]4P-
5. Užijte větu 3.15.]
1