logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL - DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL - DEFINICE þSignál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí informaci o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice. þJe-li zdrojem informace živý organismus, pak hovoříme o biosignálech bez ohledu na podstatu nosiče informace. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þabychom mohli úspěšně řešit praktické problémy (analýza, syntéza), potřebujeme reálné signály vyjádřit matematicky jejich (abstraktními) modely; þmodel signálu by měl splňovat dva základní požadavky: èvýstižnost, přesnost; èjednoduchost, snadná manipulace; SIGNÁLY R MATEMATICKÉ MODELY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KLASIFIKACE SIGNÁLŮ (JEJICH MATEMATICKÝCH MODELŮ) A)Spojité a diskrétní signály þ Analogové a digitální (číslicové) signály B)Reálné a komplexní signály C)Deterministické a náhodné signály D)Sudé a liché signály E)Periodické a neperiodické signály levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ SIGNÁLY þSpojitý signál (přesněji signál se spojitým časem) je takový signál x(t), kde čas t je spojitá proměnná. þDiskrétní signál (přesněji signál s diskrétním časem) je takový signál x(t), kde čas t je definován v diskrétních časových okamžicích. Diskrétní signál proto často zapisujeme jako posloupnost {xn}, kde n je celé číslo, resp. x(nT). þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto smyslu nespojitý signál v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu). Příklad: obdélníkový signál. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ SIGNÁLY scopeshot3 Obraz017 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ SIGNÁLY þ 1-1b 1-1a levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ SIGNÁLY þU diskrétního signálu není hodnota signálu mezi jednotlivými diskrétními časovými okamžiky definována. þDiskrétní signál lze také získat vzorkováním spojitého signálu: x(t0), x(t1), x(t2), ..., x(tn), ... (též značení x0, x1, x2, ..., xn, ...). Hodnoty xi = xi(t) se nazývají vzorky. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ SIGNÁLY èexplicitně seznamem hodnot, např. è (zde se implicitně předpokládá, že prvky jsou číslovány od nuly a pro záporné indexy n jsou hodnoty nulové) þDiskrétní signál vyjádřený posloupností můžeme zapsat èfunčním předpisem, např. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ANALOGOVÉ A DIGITÁLNÍ (ČÍSLICOVÉ) SIGNÁLY þAnalogový signál nabývá hodnot ze spojitého intervalu. þDigitální (číslicový) signál nabývá hodnot z konečné množiny hodnot. þ Příkladem analogového signálu může být např. EKG signál zaznamenaný na papír nebo hodnota napětí zobrazená na analogovém osciloskopu. þ þ Příkladem digitálního signálu může být např. barva pixelu digitální fotografie <0;255>. þ þKvantování je proces, kterým se převádí spojité hodnoty veličin na diskrétní. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz B) REÁLNÉ A KOMPLEXNÍ SIGNÁLY þReálný signál je takový signál, který nabývá reálných hodnot. (V praxi skutečně měřitelný.) þKomplexní signál je takový signál, který nabývá komplexních hodnot. (Hypotetický, v praxi neměřitelný.) Čas t je spojitý nebo diskrétní. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ SIGNÁLY þDeterministický signál je takový signál, jehož hodnoty jsou v daném čase jednoznačně určeny. Takovýto signál může být tedy popsán analytickou funkcí času t. þNáhodný (stochastický) signál (veličina) je takový signál, jehož hodnoty jsou náhodné. Takovéto signály popisujeme statistickými prostředky. Např. bílý/barevný šum. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ SIGNÁLY þNáhodný (stochastický) signál (veličina) je takový signál, jehož hodnoty jsou náhodné. Takovéto signály popisujeme statistickými prostředky. Např. bílý/barevný šum. > levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ SIGNÁLY Náhodný (stochastický) signál (veličina) je takový signál, jehož hodnoty jsou náhodné. Takovéto signály popisujeme statistickými prostředky. Např. bílý/barevný šum. Náhodný proces Systém {xi} náhodných veličin xi, definovaných pro všechna tÎR se nazývá náhodný proces (random process) a označuje se x(t). Nezávislá veličina t je zpravidla čas. vstacionarita; vergodicita levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU þzhruba: þstacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním 001.jpg 002.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpřesněji: þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2) þ þZ praktického hlediska často vnímáme pojem stacionarity v tzv. širším slova smyslu, kdy stačí, aby se s nezávisle proměnnou neměnily pouze statistické momenty 1. a 2. řádu, střední hodnota, rozptyl a autokorelační, resp. autokovarianční funkce. þ STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þErgodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu z jediné libovolné realizace. þ þZpravidla požadujeme (je to z hlediska analýzy pohodlnější), aby byl analyzovaný proces jak stacionární, tak i ergodický, ale obecně ergodický proces nemusí být nezbytně i stacionární a samozřejmě i naopak. þ ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz D) SUDÉ A LICHÉ SIGNÁLY þSudý signál je takový, pro který platí nLichý signál je takový, pro který platí nSoučin sudého a lichého signálu je lichý signál. nSoučin dvou sudých nebo dvou lichých signálů je sudý signál. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz D) SUDÉ A LICHÉ SIGNÁLY 1-2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz E) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ SIGNÁLY þSpojitý signál x(t) je periodický s periodou T, jestliže existuje hodnota T taková, že pro všechna t platí nNejmenší kladná hodnota T, pro kterou platí uvedený vztah se nazývá základní perioda. nObecně lze psát kde k je celé číslo. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPozor! þPro konstantní signál není definována základní perioda. Konstantní signál je periodický pro každou hodnotu T. þSpojitý signál, který není periodický se nazývá neperiodický nebo aperiodický. þReálné biosignály nejsou zcela periodické – hovoříme o repetičních signálech. þPohov! řečový signál – samohláska „e“ E) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ SIGNÁLY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz E) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ SIGNÁLY þPozor! þDiskrétní signál získaný rovnoměrným vzorkováním periodického spojitého signálu nemusí být periodický. þSoučet dvou spojitých periodických signálů nemusí být periodický signál. þSoučet dvou diskrétních periodických signálů je vždy periodický signál. èPohov! nPro diskrétní signál definujeme periodický signál s periodou N obdobně a levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz E) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ SIGNÁLY 1-3 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁLY SPOJITÉ V ČASE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÝ SIGNÁL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þharmonický signál je popsán funkcí þx(t) = A.cos(ωt + φ0), þkde þ A>0 je amplituda harmonické funkce þ ω >0 je úhlový kmitočet h.f. þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze v čase t=0 þ ωt + φ0 je fáze harmonické funkce þPerioda harmonické funkce je dána vztahem þT = 2p/ω þkmitočet h.f. je definován þ f = 1/T = ω/2p HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). þ þtříparametrický harmonický signál lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x (úhlový) kmitočet a þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet: þA = A(ω) a φ0 = φ0(ω); þ HARMONICKÁ FUNKCE spektrum amplitud spektrum počátečních fází levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz !!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!! þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. þ þ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdalší definice þ þx(t) = Re{ (t)} = Re{A.exp[j(ωt + φ0)]} þ þ(vyplývá z Eulerových vztahů) HARMONICKÝ SIGNÁL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkupodivu lze použít i vztah þ þx(t) = Re{A.exp[j(-ωt – φ0)]} = Re{ *(t)} þ þpozor !!! pozor þ- záporný kmitočet - ale funguje to HARMONICKÝ SIGNÁL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þProtože platí þx(t) = Re{ (t)} = Re{ *(t)} a Im{ (t)} = -Im{ *(t)} þje i þx(t) = ½.{ (t) + *(t)} þx(t) = ½.{A.exp(jφ0).exp(jωt)} + þ+ ½.{Aexp(-jφ0).exp(-jωt)} þ þOznačíme-li þĊ1 = ½.A.exp(jφ0) a Ċ-1 = ½.Aexp(-jφ0) þje þx(t) = Ċ1.exp(jωt) + Ċ-1.exp[j(-ω)t] HARMONICKÝ SIGNÁL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÝ SIGNÁL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ è è è è è þ þ þ spektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÝ SIGNÁL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPERIODICKÉ FUNKCE þjednorázový deterministický signál þ s(t) = 10.10-6 V pro tÎá-0,5 ms; 0,5 msñ s(t) = 0 V pro tÎ(0,5 ms; ¥ñ s(t) = 0 V pro tÎá-¥; -0,5 ms ) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNORÁZOVÉ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah JEDNORÁZOVÉ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNORÁZOVÉ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ FUNKCE þjednotkový skok (Heavisidova funkce) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ FUNKCE þpro obě uvedené jednorázové funkce platí: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU þjsou odvozeny z primární představy signálu, reprezentovaného elektrickými veličinami, elektrickým napětím, příp. proudem. Na základě fyzikálních zákonitostí platí, že okamžitá výkon p(t) v čase t, vykonaný na reálném odporu R je roven součinu okamžitého napětí na odporu a proudu, jím protékajícím, tedy þp(t) = u(t).i(t) þPodle Ohmova zákona je þu(t) = R.i(t) þa po dosazení můžeme psát, že þp(t) = R.i(t).i(t) = R.i2(t) = u(t).u(t)/R = u2(t)/R. þKdyž je R = 1 Ω, se vztah zjednoduší na þA(t) = i2(t) = u2(t) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU þcelková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je þ þ þNa základě této rozvahy definujeme obecně energii spojitého signálu x(t) vztahem þ þa pro diskrétní signál x(nTvz) þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU þVýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj. þ þa z toho a þ þNebo v normalizovaném diskrétním tvaru þ þ þPokud se energie kumuluje v nekonečně dlouhém časovém intervalu, pak se vztahy modifikují do tvaru þ a þpříp. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnásobení konstantou þ x(t) ~ A.x(t), þ ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ A=2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(t) ~ x(mt), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(t) ~ x(mt), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ a) originál; b) k=2; c) k=2/3 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – ? ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – zpoždění ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ a) originál x(t); b) funkce x(t-1); c) funkce x(t+1); levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobrácení (inverze) časové osy þ þx(t) ~ x(-t) , ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ a) originál x(t); b) funkce x(-t); c) funkce x(-t-1) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SHRNUTÍ þJaké typy signálů známe (dle vlastností)? þStacionarita, ergodicita þDefinice základních signálů (jednotkový skok, impuls, harmonický signál) þRůzné formy vyjádření harmonického signálu þCo je frekvenční spektrum? þZákladní operace se signály þ