( XI )
-124 -
XI. PORUCHY ZÁVISLÉ NA ČASE . PŘECHODY
1. Formulace úlohy
Ústředním tématem této kapitoly je výpočet pravděpodobnosti přQC du soustavy z jednoho stacionárního stavu do druhého pod vlivem nějaké vnější, na čase závislé, poruchy. S úlohami tohoto typu se v praxi setká váme velice často. Značná část experimentů je totiž uspořádána tak že na zkoumanou fyzikální soustavu působíme nějakými vnějSlmi vlivy (elek trickým, magnetickým nebo elektromagnetickým polem apod.) a sledujeme odezvu soustavy na působící vnější podněty. Vyhodnocení experimentu pak spočívá ve vytvoření modelu studované soustavy, vypočítání reakce modelu na působící vnější vlivy a porovnání s naměřenými hodnotami; přijatelný souhlas vypočtených a naměřených hodnot pak svědčí ve prospěch přijatého modelu.
Připomeňme si ještě, že v jednoduché podobě jsme již úlohu tohoto typu řešili v odst.VI.2.3; výsledkem provedených výpočtů tam byla tzv. Rabiho formule. Problém, který budeme řešit nyní, je mnohem obecnější. Budeme uvažovat systémy s libovolným počtem diskrétních stavů (v odst. VI.2.3 jsme měli soustavu pouze se dvěma stavy), případně i se spojitým spektrem. Porucha W(t), působící na takovou soustavu, bude libovolnou funkcí času. Na druhé straně je ovšem pochopitelné, že při tak obecném přístupu bude možné získávat pouze přibližná řešení.
Mějme tedy kvantovou soustavu s hamiltoniánem 3Í0 a označme jeho vlastní hodnoty En a vlastní funkce   yn , takže platí
^fn = Enfn
Pro jednoduchost budeme nejprve předpokládat, že spektrum je diskrétní a nedegenerované; zobecnění není obtížné a bude provedeno později.
Nechí v čase t=0 začne na soustavu působit nějaká porucha V(t). Výsledný hamiltonién pak je
9e<t> = 3^   + 1ď(t) '• (2a)
Z obdobných.důvodů jako v předchozí kapitole, zavedeme bezrozměrný reálný parametr A^l a budeme psát místo (2a)
#<t) = dtn   + Alď(t)
(2b)
Energie reprezentovaná operátorem '1i/(t) je pro   t.<0 rovna nule.
Předpokládejme dále, že v čase t=0 byla soustava ve stavu s energií E^. Jestliže začala v t=0 působit porucha lif(t), stav   vj^ již nebude obecně vlastním stavem porušeného hamiltoniánu Bt(t). V dalším se zaměříme na výpočet pravděpodobnosti, že v čase t>0 bude soustava nalezena v nějakém stavu  <j?f   s energií Ef. Jinými slovy: budeme se zabývat přechody mezi stacionárními stavy neporušené soustavy, indukovanými poruchou.
( XI )
I
Pouhá formulace úlohy je snadná. V čase t > 0 se stav soustavy vyvíjí
ve shodě se Schrodingerovou rovnicí (IV.83)
ifc        «|/(t) =[9eo t A 1if(t)] i|Kt>   , (3)
která má s počáteční podmínkou
vj/(t=0) =   fx (4)
jediné řešení.
Hledaná pravděpodobnost P^(t), že soustava bude v čase t ve stavu je (viz (IV.73))
pif<*> =K^f I t(t)>!2   s- |J«fJý(t)dt |2 (5)\
K výpočtu P^f(t) je tudíž třeba nalézt řešení rovnice (3), které výhovu-.; je podmínce (4). Přesné řešení je obecně nemožné, takže opět přichází ke slovu přibližné metody. V dalším budeme hledat  <jy(t) ve tvaru mocninné řady v A   a vypočteme explicitně  vj/(t) i Pif(t) v přiblížení 1.řádu (vzhledem k A  ). Získané obecné formule budeme pak aplikovat na dva důležité speciální případy: poruchu měnící se v čase periodicky a póru-*-chu působící jen po určitou dobu, avšak během této doby konstantní. V následující kapitole si ještě podrobněji všimneme důležitého tématu-interakce atomu s elektromagnetickým polem.
2. Přibližné řešeni
Rozviňme hledanou funkci  vj/(t) podle vlastních funkcí operátoru %,Qi
t(t) =žľ Ck(t) fk <6)
Oasová závislost   v|>(t) je soustředěna v koeficientech ck(t), pro něž platí (srov.(IV.8))
ck(t) ■ <vpk | ty (t)> (7) Rovnice pro koeficienty ck(t) získáme obvyklým postupem. Rozvoj (6) :  dosadíme do (3), místo  dtQ ^   dosadíme podle (1) » levou i. pravou
1   stranu rovnice vynásobíme funkcí    vf>*   a zintegrujeme přes celý prostor proměnných ve funkcích cf> (provedeme tím vlastně projekci obou stran rovnice (3) na stav  v|7n; srov. díl I,str. 108). Označlme-li
a využijeme ještě podmínku ortonormality vlastních funkcí operátoru %Qi
= $ (9)
(8)
nbdržime soustavu rovnic
dt
nk
ifc
dt
cn(t) =Encn(t) ; E)^« Vt}
k S
(10)
( XI )
- 126 -
Rovnice v soustavě (10) jsou vzájemně "svázané" přes maticové prvky W Jestliže by vSechny prvky Mi^ byly nulové (porucha Wby nepůsobila), rovnice by byly vzájemně nezávislé a jejich řeSeni by bylo
-iE t/h
c (t) = b e nv ' n
n
(11)
Jestliže Jsou prvky Wnk obecně nenulové, ale porucha je slabá, očekáváme, že řeěení cn(t) rovnic (10) se bude málo lišit od (11). Jinými slovy: napíSeme-li
-iE t/n
cn(t) = bn(t) e
potom by bn(t) měla byt funkce měnící se s časem jen velmi málo.
(12)
Dosazením (12) do (10) obdržíme -iE t/n d
ih
-iE_t/h
-iEnt/h
=Enbn(t)e
*Wnk bk(t) 6
-iEkt/h
Vynásobíme-li obě strany exp(+iEnt/n) a zavedeme
E_ - E,
co
n
nk
máme
in
dt
iuJnkt
Vnk(t) bk(t)
(13)
(14)
Zatím jsme neprovedli žádnou aproximaci, takže soustava rovnic (14) je ekvivalentní Schrbdingerově rovnici (3).
Rozvedeme nyní bfi( t) v řadu podle mocnin J\ bn(t) = b<o)(t) + Abí1}(t) +  A2 b<2)(t) + . . .
(15)
Rozvoj dosadíme do rovnic (14) a napíšeme podmínky, že koeficienty u Ar (r=0,l,2,...) na obou stranách rovnice se musí sobě rovnat: (a) pro r = 0 dostaneme
takže b,
(o)
n
nezávisí na t a pro A = 0 dostáváme výsledek (11).
(16)
(b) pro r ý 0 získáme
ih
dt
(17)
- 127 -
( xi )
Získané rovnice (17) zřejmě dovolují iteráčni řeSeni. Koeficienty b (t) v aproximaci (r-l)-řádu dosadíme na pravou stranu a řešením získaných diferenciálních rovnic l.řádu obdržíme bn v aproximaci r-tého řádu. Celý proces začneme s koeficienty b^°^ vybranými tak, aby byla splněna počáteční podmínka (4). •
Řešeni v aproximaci l.řádu
Předpokládali jsme, že pro t<0 je soustava ve stacionárním stavu xfi . Z toho ale plyne, že všechny koeficienty bn(t), kromě b,(t), musí být pro   t<0 rovny nule (bi je navíc konstantní), takže
bn(t=0) =  Sni (18)
Protože v čase t=0 to musí být pravda pro všechna A , platí pro koeficienty rozvoje (15)
-(o)(t=0)    u §
(r)
ni
(t=0)   = 0
n---* pro   r >1
Rovnice (16) pak pro všechna t >0 dává řešeni v nulté aproximaci
Dosadíme-li ho na pravou stranu (17)» obdržíme pro   r = 1 d
dt    n i—« k
^ki
ico_.t = e    ni Wni(t)
(19a)
(19b)
(20)
(21)
což je diferenciální rovnice, kterou lze bez problémů integrovat. Vezme-
poči
(1),
me-li ještě v úvahu počáteční podmínku (19b), máme
n in
J   e Wni(t > dt
(22)
Dosadíme-li (20) a (22) do (12) a potom«ještě do (6), získáme hledanou vlnovou funkci v|;(t) v čase t, vypočtenou v přiblíženi l.řádu (vzhledem k parametru A ).
Spojení (5) a .('7) dává pravděpodobnost P^f(t) přechodu ze stavu do stavu rovnu |cf(t)|2. Protože   lcf(t)|= 11>^(-t)t
2
Pif (t) = |bf(t)ľ
(23) ;
kd od
e bf(t) je vyjádřeno rozvojem (15) (h=f). Je-li koncový stav vff lišný od   \f± , je b£o)(t)=0 a
Pif(t) =  A2 Ib^ít)!2
(24)
( XI )
- 128 -
Dosazením z (22) dostaneme (pro J\ = 1) 1.přiblíženi pro hledanou pravděpodobnost přechodu ze stavu ij>^ do stavu za &as t
(25)
i 3. Dva významné speciální případy: periodická a konstantní porucha
Budeme nyní aplikovat předchozí výsledky na dva konkrétní typy poruch: poruchu periodickou v čase a její speciální případ- poruchu ) v daném časovém intervalu konstantní.
' 3.1) Aplikace obecných formulí
Předpokládejme, Že porucha W(t) má jednu z těchto dvou jednoduchých ! závislostí na čase:
W(t) = w sintot (26a) W(t) = w costot (26b) I
(a)
	A				,A/1	
		V V V		v		
;(b)
i(C)
			
		j v v y v	
i'
Obr.53
Znázornění uvažovaných poruch. W(ť) má uvedený průběh pro t'€<0,t>, vně tohoto intervalu je W(ť)=0. (a) porucha (26a), (b) porucha (26b), (c) speciální případ (26b) pro úd =0; porucha konstantní pro t'€<0,t^.
Ve výrazech (26) je w na čase nezávislá měřitelná veličina a co Je konstantní kruhová frekvence (obr.53). S podobnými poruchami se ve fyzice setkáváme často; hned v následující kapitole se např. budeme podrobněji zabývat interakcí atomu s monochromatickou elektromagnetickou vlnou.
Pro poruchu (26a) má maticový prvek        (v (8) se integruje přes prostorové(resp. i spinové) souřadnice, nikoliv přes t!) tvar
w.
Wfl(t) = wfi
sin co t =
fi
2i
( e
i co t
- e-icot )
(27)
kde wfl je obecně komplexní, na čase nezávislé, číslo.
Vypočtěme nyní vlnovou funkci v přiblížení l.řádu. Dosazením (27)
„„vil----------řOOl nVXmn
do obecného vzorce (22) získáme
** i(tuni+^)t
Le
Jo
3(1>
n
(t) = -
w
ni
2n
-ei(a^-W)t]dt'-
- 129 -
( XI )
Výpočet integrálu je snadný a dá výsledek
i(coni+oj)t
b(D(t) = M.
n 2in
1 - e
1 -
e
i(tonl-co)t 1
"ni + ^
conl - co
(28)
Pravděpodobnost přechodu ze stavu   ife do stavu  iff za čas t Je podle (24) Pif(t;co) = l41}(t)|2
fil
4*2
i( cufi+co)t
1 - e
1 - e
i(cofi-co)t
cufi + co
<jjfl - CO
(29a)
( U Pif je explicitně vypsán parametr co , aby se zřetelně zdůraznila závislost na frekvenci poruchy.)
Jestliže vybereme poruchu (26b), změní se jen znaménko mezi zlomky z -na ♦ ,takže
i(W-1+0))ť K Co,.,-to) t
1 - e      ÍX_ _^     1 - e
Pif(t;to) =
lwfil
fil
4n2
ojfi + OJ
cofi - co
(29b)
Význam tohoto řeSení je v tom, že porucha (26b) pro 0)= 0 dává poruchu nezávislou na čase (obr.53c). Pravděpodobnost přechodu indukovaná časově konstantní poruchou (W(t)=w pro t>0) se tudíž získá z (29b) dosazením co= 0 :
■2 ♦   .2        »w_. I2
(30)
Pif(t)=  l^il^-e1^   f   »  ^ *Ä>
if
kde (po jednoduché úpravě )
F(t,eofi) =
sin( cofit/2)
cofi/2
(31)
Fyzikální obsah formulí (29),(30) rozebereme nejprve pro dva diskrétní stavy \pA ,      a potom pro případ, kdy koncový stav patři do kontinua
stavů.
• c ■ ■ '
3.2) Přechody mezi dvěma diskrétními stavy
Pro pevné t je pravděpodobnost přechodu Pif(t;to) funkcí proměnné Co. Uvidíme, že tato funkce má maximum pro
co = co,
nebo pro
'fi
(32a) (32b)
to =-cofi
Ohjev^e se m teOv **- resoÄJev, ,eetli*e « ^-.poruchového pole rovhá Bohrové frekvenci wfí pro etevjf  ^ . f f •
(  XI )
- 130 -
Vybereme-li   co >0, potom relace (32) dávají rezonanční podmínku pro (of j > 0 ,resp. cofi< 0. V prvním případě (cOfi>0) přechází soustava ze stavu s nižší energií       do stavu 8 vyšší energií E^, (srov.(13)), takže jde o rezonanční absorpci kvanta n oj (obr.54a). Ve druhém případě . (cufi<0) stimuluje porucha přechod s vyšší hladiny E^ na nižší hladinu Ef; přechod je doprovázen indukovanou emisí kvanta "ncu (obr.54b). Všimněme si podrobněji prvního případu a tím, že analogické řešení druhého případu ponecháme za cvičení.
E„
E,
fi
i co
(a) (b)
Obr.54
Schematické znázornění vzájemné polohy energiových hladin EitEf (pro stavy yít *ff )• (a) Pro Ef >E± dochází absorpcí kvanta laui k přechodu
fi~* *ff * Pro Ei>Ef   Je Přecnod fi"* ff   spojen s indukovanou
emisí kvanta tjoj . V obou případech je oJssto^,
Výraz pro P±f podle (29) je úměrný čtverci modulu dvou komplexních sčítanců:
i(wfl+co)t
=   i e    [ 1(c°fi"uj)t ] ^nC(^i»0j)t/2l
K =
wf i + co
■>fi+CO)/2
(33a)
A =
1 - e
i(cofi-co)t
^f i ~ 10
= -i exp
T i(0Jfl-6j)t -i 8in[(cufl-ca)t/2j 2 (cufl-cu)/2
(33b)
Jmenovatel výrazu A_ jde pro co -* U>fl k nule. Proto pro co blízká k cofl budeme uvažovat pouze člen A_ a budeme o něm mluvit jako o rezonančním členu (člen A+ převezme tuto roli pro  co jdoucí k -tofi). Uvažujme nyní případ, kdy
\CÚ - Cofi| « |GJfl|
a zanedbejme "antirezonanční" člen A+. S výrazem (33b) dostaneme
Pif(t;cu) = F(t> UJ_
kde
4h2
P( t, co - cofi) =
sin[(cofl-co)t/2]
{_    (cofi-co)/2
(34)
(35)
(36)
- 131 -
( xi )
Závislost Pif(t;co) na to pro pevné t je v obr.55; je z něho zřetelně vidět rezonanční charakter pravděpodobnosti přechodu. Pravděpodobnost Pif nabývá maxima pro  OJ = Cofi , kdy je rovna |wfi|2t2/4n2   a pro cd vzdalující se od, cofi je výrazně menší, osciluje a má průběh připomínající difrakční závislosti z optiky.
&nodícW fmuchcc
Obr.55
Závislost pravděpodobnosti přechodu P^ (v 1.aproximaci) na frekvenci co   "sinusové" poruchy (26a) pro dané t. Pro cowco^ se objevuje rezonance úměrná t , jejíž šířka je úměrná 1/t.
Za povšimnutí stojí souvislost mezi šířkou A co  hlavního maxima **iŕ a relacemi neurčitosti. Šířku rezonančního maxima Aeo můžeme přibližně definovat jako vzdálenost dvou nulových bodů P^, najbližších N co = ^fi* Uvnitř tohoto intervalu nabývá Pif největší hodnoty; není
těžké ověřit, že nejbližší sousední maxima (viz obr.55),v bodech pro něž
2 2 2+2
je   (co- = 371"/2,jsou rovna |wfil t /9jt a   , což je méně než
% Pif v
bodě co= ť-o^. Vezměme tedy
4 JT T"
(37)
Čím delší čas působení poruchy, tím menší je šířka Ato . Výsledek (37) velice připomíná relace neurčitosti pro dvojici energie-čas (viz odst. II.5.5). Předpokládejme, 2ě chceme měřit rozdíl energií E^-E^ = ^^fi tak, že na soustavu necháme působit poruchové pole se "sinusovou" závislostí (26a) a budeme měnit co až zaregistrujeme rezonanci. Jestliže potom bude porucha působit po dobu t^ bude neurčitost A E určení rozdílu E^-Ej podle (37) řádu
A E = "n A co   Ä — (38)
t
Odtud je zřejmé, že součin táE nemůže být menší než "n.
Konečně je ještě třeba se zabývat otázkou, do jaké míry jaou provedené aproximace oprávněné. Nejprve si přitom všimneme zanedbání členu A+ a potom fakta, že vše počítáme v aproximaci l.řádu.
2
Srovnejme absolutní hodnoty A+ a A_. Průběh funkce |A_(cu)| je v obr.55.
XI )
- 132 -
Protože |A+(oj)|2 = |A_(-u>)|2, můžeme |A+(6j)|2 získat tak, že nakreslí, me I A_( uj ) \    symetricky vzhledem k <*> = 0. Jestliže maxima těchto dvou křivek jsou v mnohem větší vzdálenosti než Je A co , potom je evidentní, že modul A+ je v bodě   co m, oj^ zanedbatelný vzhledem k | A_ t . Zanedbáni clenu A+ Je tedy oprávněné, jestliže
2 lUJfll » AtJ (39)
což spolu 8 (37) dá
i     „ 1
t »
Formule (35) pro Plf tedy dobře platí pouze tehdy, jestliže doba po níž působí "sinusová"' porucha Je velká ve srovnání s a>~^. Fyzikální význam této podmínky je jasný: během intervalu <0,t> musí porucha realizovat mnoho oscilací, aby se to na soustavě projevilo jako "sinusová" porucha. Jestliže, z druhé strany, bude t malé ve srovnání s oj~^, nebude mít porucha čas projevit svůj oscilační charakter a bude téměř ekvivalentní poruše měnící se lineárně s časem (v případě (26a)) nebo poruěe v čase konstantní (v případě (26b).
Pro časově konstantní poruchu nemaže být podmínka (40) ověem nikdy splněna, nebol w= 0. Není však obtížné modifikovat předcházející úvahu na tento případ. Poruchu nezávislou na čase jsme dostali tak, že jsme v (29b) položili oj = 0. Všimněte si, že v tomto případě A+ ■ A_ , což znamená, že při splnění podmínky (40) není "antirezonančnl" člen zanedbatelný. Závislost pravděpodobnosti přechodu Pif na energiové diferenci "hwfi (pro pevné t) je v obr.56. Maximum této křivky je v bodě 6jfi=0, což je ve shodě s tím, co jsme zjistili: je-li  oj = 0, objeví se "rezonance" při ojfi=0 (musí jít o degenerovanou hladinu s E^E^).
(40)
A<o»4»r/t
co
fi
crrtslo mí m V ^cřu* ch oj '■• Obr.56
Závislost Pfi na co;fi=(Ef-Ei)/h pro pevné t a poruchu nezávislou na čase Rezonance se objevuje při 6jfi=0 (zákon zachování energie) se stejnou Šířkou ó oj jako v Obr. 55, ale "intenzitou" 4x větSÍ (je to důsledkem '"konstruktivní" .interference A+ a A_, které se v tomto případě rovnají).
Zvažme nyní ještě meze 'použitelnosti výpočtů Plf v aproximaci l.řádu. Předně si uvědomme, že nestačí požadovat aby porucha byla malá Uvidíme to např. na výrazu (35), jestliže ho napíšeme pro oj- ujr. :
|w i2
Plf.(t;oj°ojfl) -    f1' -2
4 V
(41)
- 133 -
( xi )
Pro t -*oo   dostáváme absurdní výsledek Plf-*-oo , zatímco víme, že P musí být vždy menší než 1.
Rozumné praktické kriterium pro použitelnost 1.aproximace spočívá v tomto případě v požadavku P^f «1, tj.
Zpravidla bude třeba ještě požadovat, aby podmínka (42) byla kompatibilní s požadavkem (40). Pak musí platit
což znamená, že energiový rozdíl lE^-E^ ■ h|6Jfil je mnohem větší než maticový prvek |j(obdobná podmínka vystupovala ve stacionárním poruchovém počtu).
V případě, že podmínka (42) není splněna, je vhodné zvolit jiný postup řešení než pracně počítat korekce vyšších řádů v rozvoji (15). Vychází se přitom z toho, že při rezonanci u>9tui~. jsou poruchou W(t) vázány prakticky jen stavy  ip^, if^.. Pravděpodobnost přechodu do ostatních stavů je zanedbatelná. Pak je ale možné volit postup blízký tomu, který nás v oäst. V.2.3 přivedl k Rabiho formuli. Takto se např. také řeší úloha o elektronové spinové rezonanci.
3.3) Přechod do kontinua stavů
Patří-li energie Ef do spojité části spektra hamiltoniánu 9&Q (koncové stavy jsou "indexovány" spojitě se měnící proměnnou), nelze mluvit o pravděpodobnosti nalezení soustavy v přesně definovaném stavu
yf v čase t. Z kap.IV,odst.2 víme (viz (IV.77)), že v tomto případě bude veličina K^f ' ^t^ )2 představovat hustotu pravděpodobnosti. Hodnotu,kterou chceme srovnávat s experimentem,pak získáme integrací přes odpovídající skupinu možných koncových stavů (integrační proměnná by byla f). Objasněme si to nejprve na příkladě. Konkrétní příklad : rozptyl částice
Předpokládejme, že studujeme rozptyl částice s hmotností m na potenciálu W(r) (spin neuvažujeme). Vlnovou funkci Částice «f/(t) v čase ť můžeme rozvinout podle rovinných vln (11.35),resp.(D12)
(ppi r) = (23rh)-3/2 e1^ (44) Každé z těchto vln odpovídá stav s přesně určeným impulsem ]J a energií
(45)
P
Jt 2m
Hustota pravděpodobnosti naměření impulsu p ve stavu v|/(t) Je
(46)
( XI )
- 134 -
Detektor použitý pro sledováni rozptylu (obr.57) má vôak konečnou uhlovou aperturu a jeho citlivost na energii dopadajících   částic také není dokonalá; tzn., že bude registrovat částici vždy,když její impuls "p bude ležet v prostorovém úhlu   dft^ kolem směru vektoru p^ a energie částice bude v nS jakém Intervalu <5Ef kolem bodu Ef = p^/2m. Označíme-li Df oblast p-prostoru která splňuje tyto podmínky, potom pravděpodobnost, že detektor zaregistruje částici bude
spíp^.t) = j d3pv^pi t(t)>r
(47)
detektor
dopadající částice
Obr.57
Částice přicházející s daným impulsem pj do oblasti působení potenciálu W(?) se s určitou pravděpodobností rozptýlí do prostorového úhlu d&f kolem p^ , v němž je detektor schopen registrovat dopad částic.
Rozptyl částice může být pružný (její energie se nemění), takže se mění pouze její impuls (stav). Takovéto měření je příkladem přechodu částice 2 daného stavu p^ do kontinua stavů p^. Přestože W(r) nezávisí na čase, lze úlohu řešit poruchovým počtem závislým na čase, nebol potenciál W(r) působí na částici pouze v určitém časovém intervalu, když prochází vyzna-čenou oblastí ._
Abychom mohli užít výsledky z předchozího odstavce, musíme přejít k integraci přes energii E. Provedeme to snadno, když si uvědomíme, že je možné psát (jde o přechod ke sférickým souřadnicím v p-prostoru; srov. (VIII.5)) p
d^p = p* dp díl (48) a za p dosadíme z (45). Potom
d3p * p(E) dE dft
(49)
kde ^>(E) je hustota koncových stavů rovná (z(45)+(48)+(49))
0
Výraz (47) pak je
<3E
p~ - = m\] 2mE
P
$P(pf,t) =    Kfp I vj/(t)>|2,, ^> (E) dE dQ
(50)
(51)
- 135 -
( XI )
Obecná formulace.
Sformulujeme nyní získané výsledky v obecné formě. Nechí urSitá část spektra  36Q Je spojitá a odpovídající stavy    <p(k) jsou rozlisovány spojitě se měnící proměnnou k. Ortonormalizační podmínka pro stavy »p(k) je (srov.(IV.79))
<k| k'>= <vf(k) |vp(k')>      = <S(k-k') (52)
Stav soustavy s hamiltoniánem 96 = diQ + W je v čase t určen normalizovanou vlnovou funkci   \J/(t). Úkolem Je určit pravděpodobnost £P(kf,t), že soustava bude nalezena v dané množině koncových stavů      kolem hodnoty kf za předpokladu, že energie příslušející těmto stavům se mění spojitě. Z postulátů kvantové mechaniky (viz odst.IV.2) plyne, že
ip(kf,t) = ľ |<*f
(k)l v|;(t)> |2 dk
(53)
Stejně jako v předchozím příkladu,přejdeme od k k proměnné E, doplněné podle potřeby o další parametry - označme je souhrnně p - nutné k úplnému určení stavu (srov. d& v předcházejícím příkladu). Element dk vyjádříme takto
dk =   <p ((J ,E) d|i dE     , (54) čímž také zavedeme hustotu koncových stavů   ^> ( |5,E) (velice často, stejně jako v uvedeném příkladu, závisí^) pouze na E). Označíme-li ještě <S|3f a  8Ef intervaly v nichž jsou hodnoty (5 a E z oblasti D^, máme
5P(kf,t) =
| <f ( (S,E)I v|/(t)> I2 (p(|3 ,E) dE dp
(55)
3.4) Fermiho zlaté pravidlo
V závěrech předchozího odstavce figuruje přesná vlnová funkce ^(t). Vyjádříme nyní získané výsledky opět v aproximaci l.řádu. Výchozí stav soustavy (před působením poruchy) bude odpovídat opět diskrétnímu stavu
hamiltoniánu 96Q. Abychom tuto skutečnost zdůraznili, budeme místo 5P(kf,t) psát  SP( ^.k^t).
Uvažujme nejdříve poruchu konstantní v daném časovém intervalu. Pro ni jsme/v případě přechodu mezi dvěma diskrétními stavy,, obdrželi" výsledek (30), který zůstává v platnosti i pro spojitě se měnící koncové stavy. Podle (30) tudíž platí v aproximaci l.řádu
2 -Jlj-KfCMW 1 fi> i2 r(*> in)(56)
h
kde E Je energie ve stavu y( (i,E), E± je energie v počátečním stavu ^ a funkce F je definována výrazem (31).
<Ý< (Í,E)| ý(t)> i
( XI ) - 136 -
Pro pravděpodobnost  <$P( ^±tkf,t) tak dostáváme
P( y±,kftt) =
|<vp(p,?)lVly1>|2?(piB) P(t, (57) EeáEj
Jedna z možných reprezentací    (f-funkce (neuvedená v dod.C) je
<S(x) = lim — £-♦0+
sin^x/e )
Porovnáme-li ji s (31), vidíme, že pro velká t ( 1/6 »t, t-*co ) se bude funkce P chovat jako  ó~-funkce (při úpravě použijeme jeStě (CIO))
tli   F(t' "**  ^-^r>   = 25rttJ(B-Bl)
(58)
Z druhé strany, funkce |<vp( 0 ,E) i 1u" I vp± > \ 2 ® ( p, ,É) se obecně mění, v závislosti na E, mnohem pomaleji. Budeme předpokládat t tak velké, že v intervalu 47Ch/t se středem v EsEj (obr.56), bude možné pokládat tuto funkci za konstantní. Jestliže potom nahradíme F(t,(E-E^/fc) v (57) ď-funkcí podle (58), mažeme výsledek integrace přes E napsat okamžitě (viz (C7)). Když navíc bude Sfi^. velmi malé, nemusíme provádět integraci přes |3 ( v integrandu nahradíme |3 hodnotou |3f, vytkneme a TI dfj dá ).
Tak nakonec obdržíme výsledek
2jt
m vfi,kf,t) = %    t |<f( pf,%«Bi)iii;if1>|2 pi^vv
pro energii E^ z <5Ef ô*P( »t) = 0 pro E^ vně intervalu áEf
(58)
Skutečnost, že časově konstantní porucha může indukovat pouze přechody do stavů se stejnou energií (přesněji: ještě + 2?cVt) jsme již zaznamenali (viz např.obr.56).
Pravděpodobnost (58) roste lineárně s Časem. Vypočteme-li pravděpodobnost přechodu za jednotku času jako
1T ďp( fi'V***
(59)
bude konstantní. Obdobně se spočte pravděpodobnost připadající na jednotkový interval proměnné fb+.
Hustota pravděpodobnosti přechodu za jednotku času a na jednotkový interval proměnné |3f tedy je (<ft,g) ipfft.En
2jc
wíf^kf) = K^Bf^lVI fi>r ^((if.E^)
(60)
- 137 -
( xi )
Formple (60) byla odvozena pro časově konstantní poruchu. Její použití je tak Široké, že ji E.Fermi nazval zlatým pravidlem. Později se začala uvádět jako Fermiho zlaté pravidlo.
Závisi-li W na čase periodicky podle (26), váže taková porucha mezi sebou stavy  vpA a stavy z oblasti kontinua  ^( jJf,E^), jejichž energie Ef je blízká k      + hca (absorpce; pro emisi E^^ - hu>). Vyjdeme-li z (35), dovede nás stejný postup k výsledku
w( fifkf) = K^.E^+hol Vlfi>|2 <p ( pf.E^+hco)
(61)
Při praktických výpočtech pravděpodobnosti přechodu ze stavu vj>^ do stavu        se zpravidla začíná výpočtem maticového prvku 4$^ \ %f | ^i)ř Často se totiž dá ukázat (většinou  bez počítání, pouze na základě symetrie soustavy s využitím závěrů teorie grup), že tento maticový prvek je roven nule. Potom se říká, že přechod Je zakázaný (ovšem v aproximaci l.řádu ! ; ve vyšších aproximacích může vycházet pravděpoi-dobnost přechodu nenulová, vždy však bude menší než hodnoty vycházející v l.řádu, takže např. příslušné čáry ve spektru budou slabé). Takovýmto způsobem se také získávají známá výběrová pravidla s nimiž se setkáme i v následující kapitole.