Teoretická fyzika - Základy teoretické mechaniky Michal Lenc - podzim 2013
Obsah
1. Funkcionály..............................................................................................................4
2. Eulerovy - Lagrangeovy rovnice.............................................................................5
2.1 Snellův zákon z Fermatova principu................................................................5
2.2 Eulerovy - Lagrangeovy rovnice.....................................................................6
2.3 Poznámky k Lagrangeovým rovnicím..............................................................8
2.4 Legendrova transformace.................................................................................9
2.5 Tvar Lagrangeovy funkce...............................................................................12
2.6 Zobecněné souřadnice....................................................................................14
2.7 Časová závislost potenciální energie..............................................................15
2.8 Stručně o teorii pole........................................................................................16
3. Zákony zachování..................................................................................................18
3.1 Základní zákony zachování............................................................................18
3.2 Popis soustavy částic ve dvou různých inerciálních soustavách....................20
3.3 Mechanická podobnost...................................................................................21
3.4 Viriálový teorém.............................................................................................22
4. Invariance...............................................................................................................23
4.1 Úvodní poznámky...........................................................................................23
4.2 Rundova - Trautmanova identita...................................................................24
4.3 Teorém Emmy Noetherové............................................................................25
5. Pohyb v centrálním poli - Keplerova úloha..........................................................29
5.1 Newtonovy rovnice.........................................................................................29
5.2 Relativní pohyb (pohyb v těžišťové soustavě)...............................................32
5.3 Keplerovy zákony...........................................................................................33
5.4 Lagrangeovy rovnice......................................................................................36
6. Pohyb v centrálním poli - rozptyl dvou částic.......................................................40
1
6.1 Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu..................................................40
6.2 Rutherfordův účinný průřez............................................................................43
6.3 Popis v laboratorní soustavě a soustavě středu hmotnosti..............................44
7. Pohyb v centrálním poli - harmonický oscilátor...................................................47
8. Pohyb v neinerciální souřadné soustavě................................................................49
8.1 Transformace z inerciální do neinerciální soustavy.......................................49
8.2 Rovnoměrně rotující souřadná soustava.........................................................50
8.3 Pohyby v gravitačním poli Země ovlivněné její rotací...................................51
9. Hamiltonova formulace mechaniky.......................................................................53
9.1 Hamiltonovy rovnice......................................................................................53
9.2 Poissonovy závorky........................................................................................54
9.3 Hamiltonova - Jacobiho rovnice........................... .........................................55
9.4 Maupertuisův princip......................................................................................57
10. Pohyb tuhého tělesa...............................................................................................60
10.1 Tuhé těleso......................................................................................................60
10.2 Tensor setrvačnosti.........................................................................................61
10.3 Moment hybnosti tuhého tělesa......................................................................63
10.4 Pohybové rovnice tuhého tělesa.....................................................................64
10.5 Eulerovy úhly a Eulerovy rovnice.......................... ........................................66
11. Mechanika pružných těles......................................................................................70
11.1 Tensor deformace...........................................................................................70
11.2 Tensor napětí..................................................................................................72
11.3 Hookův zákon.................................................................................................74
11.4 Homogenní deformace...................................................................................77
11.5 Rovnice rovnováhy pro izotropní tělesa.........................................................78
11.6 Tensor deformace ve sférických souřadnicích...............................................79
12. Mechanika tekutin..................................................................................................81
12.1    Rovnice kontinuity.........................................................................................81
2
12.2 Eulerova rovnice.............................................................................................82
12.3 Bernoulliho rovnice........................................................................................84
12.4 Malé odbočení k termodynamice...................................................................86
12.5 Tok energie a hybnosti...................................................................................87
12.6 Navierova - Stokesova rovnice......................................................................89
13.   Vlny........................................................................................................................91
13.1 Gravitační vlny...............................................................................................91
13.2 Zvukové vlny..................................................................................................93
13.3 Vlny v pružném prostředí...............................................................................96
3
1. Funkcionály
Při odvození Lagrangeových budeme vycházet z principu nejmenšího účinku. Základním pojmem je účinek (akce), což je integrál na určitém časovém intervalu z tzv. Lagrangeovy funkce, která je opět funkcí popisujících časovou závislost trajektorií a rychlostí (skutečných nebo virtuálních). Pro účely mechaniky budeme nazývat funkcionálem zobrazení jisté množiny funkcí (v mechanice funkcí jedné proměnné) do množiny reálných čísel. Triviálním příkladem je délka křivky, charakterizované v rovině x - y funkcí y= y(x) mezi
body A=(a,y(a)) a B = (b,y(b))
ť = Jdť = JVdx2 + dy2=J>fr7ľdx   ,   y'=M^ .
A A a "X
Pokud je funkce y=y(x)dána, jde pak už jen o výpočet určitého integrálu. Zajímavější je
úloha, jak najít křivku spojující zmíněné body, která má nejkratší vzdálenost. Fyzikálně velmi zajímavý je Fermatův princip. Předpokládejme, že světelný paprsek vychází z bodu A a směřuje do bodu B. Fermatův princip říká, že výsledná trajektorie je taková, aby potřebná doba šíření byla minimální. Prostředí, ve kterém se paprsek šíří, je charakterizováno indexem lomu, který udává poměr rychlosti světla ve vakuu k rychlosti vdaném prostředí n = c/v. Podle Fermatova principu hledáme tedy minimum funkcionálu
At = Jdt = J— = -}n(x,y)Vl+y/2dx . Základem Newtonovy mechaniky je Hamiltonův princip, který vychází z účinku
b
S = J(K-U)dt   , (1.1)
a
kde pro jednu částici hmotnosti m závisí kinetická energie K a potenciální energie U na zobecněných souřadnicích q'" (t) a jejich derivacích q^dq^/dt vztahy
K = K(q,q) = |mg^(q)q-q^   ,  U=U(q,t)   . (1.2)
Užíváme Einsteinova sumačního pravidla, kdy se sčítá přes daný interval indexů, pokud se ve výrazu vyskytne stejné označení v dolním i horním indexu. Zjednodušeně také píšeme
f = f (q) nebo f = f (q'") místo f = f ({q'")) • Řecké indexy budou označovat prostorové
souřadnice, je tedy v trojrozměrném případě // = 1,2,3. Latinské indexy budou označovat
časoprostorové   souřadnice,   ve   čtyřrozměrném   případě   (x°=ct)   tedy   i = 0,1,2,3.
4
Jednoduchým příkladem pro (1.1) je částice v homogenním gravitačním poli (volba kartézských souřadnic na obrázku):
(1.3)
a
V obecné teorii relativity je základním funkcionálem pro popis pohybu částice hmotnosti m v gravitačním poli
b
S = -mcj(gikdxidxk)1/2   , (1.4)
a
kde gik jsou složky metrického tensoru.
Pro jednorozměrný případ (zobecnění na vícerozměrný případ je zřejmé) je matematicky přesná definice funkcionálu následující:
Nechť Ds je množina všech funkcí y=y(x) definovaných na intervalu [a ,b], jejichž grafem je po částech hladký rektifikovatelný oblouk. Funkcionálem rozumíme zobrazení
S:   Ds3y(x)   ->   S[y]eM   . (1.5)
Nechť dále l=l(x,y,y;) je funkce na otevřené podmnožině prostoru MxM2 obsahující
množinu [a ,b]xM2, se spojitými parciálními derivacemi do řádu 2 včetně. Pak funkcionál
b
S:   Ds3y(x)   ->   S [y] = Jl(x, y(x), y; (x))dxe R (1.6)
a
se nazývá variační integrál.
2. Eulerovy - Lagrangeovy rovnice
2.1   Snellův zákon z Fermatova principu
Značení zvolíme podle obrázku. Předpokládejme, že už víme, že v homogenním prostředí nejkratší vzdáleností mezi dvěma body je přímka. Při cestě z bodu (a,b)v prvním
5
prostředí do bodu (A,B) v druhém prostředí prochází paprsek bodem (s,0) na rozhraní -souřadnice s tohoto bodu je jediným volným parametrem úlohy. Máme tedy
At(e) = -(nl Sj +n2 s2) = — |nxyj^-af +b2 + n2yj(A-sf + B2 J   . (2.1)
Dále
dAt(^)
d^
0
nj(£--a) n2(A-£-)
0 ,
(a,b)
odkud už plyne Snellův zákon
Jde opravdu o minimum, neboť
rij sin(9j = n2 sin<92
d2At(^) _ l(njcos2^ | n2coszff2
2/3 A
>0
'2 J
(2.2)
2.2   Eulerovy - Lagrangeovy rovnice
Nejprve důležité Lemma: Jestliže
b
JF(t)^(t)dt = 0   ,   77(a) = /7(b) = 0
a
a jestliže jsou na intervalu [a,b] obě funkce F (t) i 77(t) dvakrát diferencovatelné, potom F(t) = 0na [a,b]. Důkaz vedeme sporem. Předpokládejme, že F(c)^0 (pro určitost F (c)>0) pro nějaké a<c<b . Za daných předpokladů pak existuje interval (tj ,t2)e[a ,b] obsahující bod c, kde F(t)>0. Zkonstruujeme funkci (pokud splňuje požadavky, je jinak libovolná)
7(t)=j(t-t>)3(t2-t)3 Í^'O
Pak ovšem integrál z lemmatu není nulový, což je spor. Nyní můžeme přistoupit k důkazu následující věty:
Uvažujme funkcionál S, jehož Lagrangeova funkce L závisí na n funkcích x" jedné proměnné t, na prvních derivacích těchto funkcí a na samotné proměnné t
u
S=JL(t,x",x")dt .
(2.3)
Soubor n funkcí jx" (t)j, pro které nabývá funkcionál S extrému je řešením n Eulerových Lagrangeových rovnic
d ÔL	
	--= 0
dtdxa	dxa
(2.4)
Důkaz: Ať x" (t) označuje právě tu (skutečnou) trajektorii, pro kterou nastane extrém funkcionálu S. Kolem této trajektorie vytvoříme množinu (virtuálních) trajektorií
x?e] = xa(t,e) = xa(t) + erja(t)   ,   7" (a) = 7" (b) = 0   . (2.5) Definujme funkcionál
b
S(e) = jh(e)dt   ,   L(f) = L(t,x[ae],xf])   . (2.6)
a
Má-li funkcionál (2.6) dosáhnout extrému (2.3), musí být
S(e)-S dS(e) lim—^-- v ;
£->0
de
0
(2.7)
£=0
Potřebná derivace je
dS(e) de
ÔL(s) ^ | ÔL(s)
d
de d
de
dt
(2.8)
Máme
de
de dx£e]
dh
dxa
dh(e)
£=0
dh
d±a
(2.9)
£=0
takže
7
dS(ff)
de
E = 0 J
dh
dh .,
— n   H--77
ox ox
dL a dt =-na
ox
dh    d dh
dxa   dt dxa
rjadt   . (2.10)
Podmínky 77"(a) = 77"(b) = 0 a použití Lemmatu uzavírají důkaz.
Poznámka. Ve vztahu (2.8) je dobře ilustrováno sumační pravidlo. Člen d^dx?^ má index a „dole", člen dx?^jds ,nahoře" - index je sčítací. Aby nedošlo k záměně, je skutečnost, že s
je proměnná a nikoliv index, zvýrazněna uzavřením [s] do závorky. 2.3   Poznámky k Lagrangeovým rovnicím
1. Provedeme explicitně totální derivaci podle proměnné t. Dostáváme tak
d2L dh
d L     ,      d L ■xp +■
0
(2.11)
dxp dxa       dxp dxa       dtdx" dxa Lagrangeovy rovnice tvoří soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu.
2. Definujeme zobecněnou hybnost kanonicky sdruženou se zobecněnou souřadnicí x" jako
dh
ox
Potom mají Lagrangeovy rovnice tvar
(2.12)
(2.13)
dt dxa
Z rovnice (2.13) vidíme okamžitě zákon zachování: Zobecněná hybnost se zachovává, jestliže Lagrangeova funkce nezávisí na kanonicky sdružené souřadnici. 3. Definujeme Hamiltonovu funkci jako
H=H(t,x,p)=p„x"(t,x,p)-L(t,x",x"(t,x,p))   . (2.14)
Tímto zápisem je zdůrazněna skutečnost, že na pravé straně vystupující rychlosti x" jsou vyjádřeny pomocí souřadnic a hybností pomocí vztahu (2.12). Není však jisté, že je vždy možné vyřešit soustavu tuto rovnic vzhledem k rychlostem. Podmínkou je, aby
det-
d2L
*0 .
(2.15)
dxa dxf1
Této podmínky si všimneme blíže v souvislosti s Legendrovou transformací. 4. Proveďme totální derivaci Lagrangeovy funkce podle času a dosaďme ze vztahů (2.13) a (2.12)
8
dL   ôL    ôL .«    dL dL .«
— =--1--x H--x =--h p x +p x
dt     ôt    ôxa        ô±a ôt a
Po malé úpravě pak
ÔL    d,    . x dH
(2.16)
Opět je okamžitě vidět zákon zachovaní: jestliže Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, je Hamiltonova funkce konstantní - energie se zachovává. 2.4   Legendrova transformace
Uvažujme hladkou reálnou funkci f (u) jedné proměnné ugI, která je konvexní (tj.
f" (u)>0 . Legendrovou transformací dvojice (u, f (u)) je zobrazení na dvojici (p, F (p)) , kde
F(p) = max[pu-f (u)]   . (2.17)
Nutnou podmínkou maxima je p= f' (u) (maxima - předpokládáme konvexní průběh funkce f), takže můžeme také definovat funkci F pomocí dvou vztahů
F(p)=pu-f(u)   ,   p=f;(u)   . (2.18)
Přitom do prvního vztahu dosazujeme u=u(p), hodnotu, kterou získáme z druhého vztahu. Ten chápeme jako rovnici s hledanou neznámou u.
Existence inverzní funkce k f' (u) a tedy k nalezení jednoznačné hodnoty u k dané hodnotě p je zaručeno monotónním chováním funkce, vyplývajícím z podmínky f;/(u)>0 . Ve vícerozměrném případě je tato podmínka nahrazena požadavkem na kladnou hodnotu
determinantu hessiánu.
9
V mechanice hraje úlohu proměnné u rychlost, proměnná p je hybnost. Funkce mohou ovšem záviset i na dalších parametrech (konkrétně v mechanice na souřadnicích), ty ale v Legendrově transformaci vystupují právě jen jako parametry. Podívejme se opět, jak to v takovém případě vypadá v jednom rozměru, kdy parametr označíme jako x: Legendrova transformace je
df (u,x)
F(p,x)=pu-f(u,x)   , p
du
(2.19)
Diferenciál funkce F můžeme zapsat dvojím způsobem - buď obecně, nebo konkrétně z (2.19)
dF
dF
op
dF
dp +-
<3x
dx
df
dF = pdu+udp--
du
Porovnáním obou výrazů dostáváme
dF dp
du
df dx
A A Ôí
dx = udp--
dx
dx
	dF		df
= u	-		z--
X	dx	v	dx
(2.20)
Legendrova transformace je involucí. Zapíšeme-li totiž (2.18) s pomocí (2.20), máme
f(u) = up-F(p) = F/(p)p-F(p) ,
máme analogicky k (2.17)
f (u) = maxrup-F(p)l   . (2.21)
p
Máme tedy zobrazení f(u)^F(p)^f(u). Tři krátké příklady:
Youngova nerovnost: Pro libovolné hodnoty u a p bude z definice Legendrovy transformace funkce F (u, p)=u p- f (u) menší než F (p). Jsou-li tedy f (u) a F (p) spojeny Legendrovou transformací, platí pro libovolná čísla u a p
pu<f(u) + F(p)   . (2.22)
Například pro a > 1
a -t C (   \     U     _^ a-l _^ Ví""1) ^ y /    \      U—l al(a-\)
f(u)=—^>p=u    ^>u = pn   y^>F(p) =-p n   ' ,
a a
takže
10
pu <
u" ^
+ ■
1+1=1
a p
(2.23)
a fi
pro x,p>0 a a,P>\ .
Přechod od entropie k teplote: Základní termodynamická rovnice (U je vnitřní energie, S entropie, T teplota, P tlak, V objem [i chemický potenciál a N počet částic) je
dU =TdS-PdV + //dN .
Přechod k záporně vzaté volné energii -F =TS-U(S,V,N) je příkladem Legendrovy
transformace (u = S , p =T , Xj =V,   = N ). Podmínkou řešitelnosti je <32U/dS2 >0, musí být
tedy
dU dS
	d2XJ		ffT		í as	
V,N	' ÔS2	V,N	~~dŠ	V,N	v	V,N y
>0 .
Růst entropie s teplotou, pokud se nemění nic jiného než vnitřní energie, je fyzikálně přijatelný předpoklad. Pak je tedy možné spočítat S = S(T) a zapsat vztah po transformaci jako
d(-F) = SdT + PdV-//dN   . (2.24)
Hamiltonova formulace nerelativistické mechaniky jedné částice. Zvolíme tvar Lagrangeovy funkce v obecných souřadnicích
L(q,4) = T(q4)-U(q)   ,   T (q 4) = ^qa \p (q)q*   , (2.25)
kde A(q) je positivně definitní symetrická regulární matice, což plyne z její konstrukce
dr dv
dqa dqp '
Pro Legendrovu transformaci spočteme rychlosti z definice hybnosti
.a .« 1   / .-\\aP
dq mv    > H
Hamiltonova funkce (již s q" z předchozího vztahu) je
H = P« q° - L = ^- Po ( A-1)"" p, +U (q)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Hamiltonovy rovnice. Porovnáme diferenciál Hamiltonovy funkce vyjádřené Legendrovou transformací
11
dH =d
p«q -L(t,q ,q J
p0dq0+q0dp,
dh    «    dh   .«    dh    .« .      « SL
-dq--dq--= q dp -p dq--
dqa  4     dqa  4     a "     " dt
(2.29)
Po
s diferenciálem Hamiltonovy funkce vyjádřené již pomocí souřadnic a hybností
,„  dn , a  dn , dn
dH =-dq" +-dp +- .
dqa dpa dt
Dostáváme tak vztah pro parciální derivace vzhledem k času
(2.30)
		ÔL	
	dt	dt	
a především Hamiltonovy rovnice			
	q a		en
(2.31)
(2.32)
2.5   Tvar Lagrangeovy funkce
Samozřejmým požadavkem je, aby Lagrangeova funkce dvou soustav A a B dostatečně od sebe vzdálených tak, aby bylo možné zanedbat interakci, byla součtem Lagrangeových funkcí obou soustav. Také je potřeba si uvědomit, že ke stejným pohybovým rovnicím povede celá třída Lagrangeových funkcí, kde se jednotlivé lagrangiány liší o tzv. triviální lagrangián. Máme-li totiž
L/(q,q,t) = L(q,q,t) + —f (q,t)
(2.33)
liší se účinky
S; =JL/(q,q,t)dt = JL(q,q,t)dt +
df(q,t)
dt
dt
(2.34)
S + f(q(t2),t2)- f^O,^) jen o členy, jejichž variace je vzhledem k podmínce Jq(t2) = í5'q(t1) = 0 nulová.
Pro popis jevů musíme zvolit nějakou určitou souřadnou soustavu. Nevhodná volba souřadné soustavy může vést k tomu, že popis jednoduchého děje je velmi komplikovaný. Ukazuje se, že pro volný hmotný bod je vždy možno najít takovou souřadnou soustavu, v níž se jeví prostor jako homogenní a izotropní a čas je homogenní. V takovém případě musí Lagrangeova funkce záviset pouze na v2 =v-v
L=L(v2)   . (2.35)
12
Lagrangeovy rovnice jsou pak
d dh   „ dh   , _ ,
0        — = konst. v = konst. (2.36)
dt <3v d\ Budeme často používat značení vektoru
<3v   5vj      <3v2 <3v3 naopak nad „konst." šipku vynecháme, pokud nemůže dojít k nejasnosti. Z (2.36) vidíme, že v inerciální soustavě se volný pohyb děje s rychlostí konstantní co do velikosti i směru. Tomuto závěru říkáme zákon setrvačnosti.
Jestliže přejdeme k jiné inerciální soustavě, která se vůči původní pohybuje konstantní rychlostí, bude situace stejná. Ekvivalence všech inerciální soustav při popisu mechanických dějů se nazývá Galileův princip relativity. Transformace mezi souřadnými soustavami K a
K7, kde druhá se vůči první pohybuje rychlostí V je zapsána jako Galileova transformace
f = f/+Vt , t = ť . (2.37) Pro volnou částici budeme mít pro Lagrangeovu funkci v inerciální soustavě, která se vůči původní pohybuje s infinitesimálně malou rychlostí
L/=L(v/2) = L(v2+2v-ř + ^2) = L(v2) + 2|^v-ř + ... .
Má-li být druhý člen derivací podle času, musí být
L = a v2   ,   a = konst.
Abychom dostali levou stranu Newtonových rovnic ve standardním tvaru, je třeba zvolit konstantu jako a = m/2 .
Porovnání s druhým Newtonovým zákonem je jedním z vodítek k tomu, proč obvykle platí „Lagrangián rovná se kinetická mínus potenciální energie". Pro soustavu částic (index a označuje určitou částici), jejichž interakci popisujeme pomocí potenciální energie, je Lagrangeova funkce
2
L = T-U=^-m^-U(r;,f2,...)   . (2.38)
a ^
Z Lagrangeových rovnic
d dh dh
dt <3va dr^
dostáváme
(2.39)
13
dva    aj ~
n\ —- =--= F„
(2.40)
dt 5fa
Další potvrzení tvaru Lagrangeovy funkce pochází z obecné teorie relativity. Tam nacházíme trajektorii částice z variačního principu
u
S=-mc|ds   ,   ds2 = gik dx1 dxk
(2.41)
kde gik jsou složky metrického tensoru. Ve slabém gravitačním poli popsaném Newtonovým potenciálem O je přibližně
ds2=íl+^jc2dt2-íl-^j(dx2+dy2 + dz2):
c2dt2
, 20 r 20 W 1+^-- 1
c  J c
takže máme pro 0/c2«la v2/c2«l
(2.42)
S = -mc
\ O v2 1+—r +
c 2c
dt
r f 2 ' mv
m O
dt-mc2(tb-ta)
(2.43)
2.6   Zobecněné souřadnice
Při vhodné volbě zobecněných souřadnic můžeme dosáhnout toho, že Lagrangeova funkce obsahuje jen tolik souřadnic, kolik je stupňů volnosti. Uvažujme soustavu N částic, která má s stupňů volnosti. Pak volíme (a = l,2,...,N)
xa=fa(q1,q2,...,qs)   ,   K=Z^ >
Lagrangeova funkce
ya=ga(q\q2,...,qs)   , ýa=£|b.qk
z^h^q2,...^) , ^ifjK
1 4^
přejde na
L = ôZma (Äa +ýa2+Ža2) "U (Xl . ľl >Zl -••'xn . Yn >zn) ^ a=l
L = 7Zaik(q)q'qk-U(q)
^ i,k=l
(2.44)
(2.45)
(2.46)
kde
14
aik(q) = Žma
d fa s fa , aga aga , aha d\
(2.47)
<3q' <3qk    <3q' dqk    dq1 dqk
Jednoduchým příkladem je dvojité rovinné kyvadlo v homogenním gravitačním poli (značení je patrné z obrázku). Uvažovaná soustava má jen dva stupně volnosti. Transformace od souřadnic {xj, yt, x2, y2| k zobecněným souřadnicím \cpx ,(p2) je
(2.48)
y »m2
Xj =lj sin^ , yj = L cos^j   ,   Xj =L sin^ +12 sin<^2 , yj = L cos^ +12 cos^2 Dosazením do obecného vztahu dostáváme
T    m+rrL. .2   m, 2 .2       , ,  . .      , . L=    2    \ <Pi +^\<Pi + m2l1l2^2cos(^-^2) +
(m,+m2)gl1 cos^j + nij gl2cos^2 .
2.7    Časová závislost potenciální energie
Budeme popisovat chování soustavy A, která není isolovaná, ale interaguje se soustavou B, jejíž pohyb je dán. Do Lagrangeovy funkce
L=TA(qA'qA)+TB(qB'qB)-uAB(qA,qB) (2.49)
dosadíme zadaný pohyb soustavy B, tj. qB = f (t),qB = f (t). Dostáváme tak Lagrangeovu funkci soustavy A
/        \       /     \   dF (t) L = TA(qA,qA)-UA(qA,t) + —^ ,
dt
(2.50)
kde jsme označili
UA(qA,t)=UAB(qA,f(t))   ,   F(t) = JTB(f(t),f(t))dt   . (2.51)
Víme již, že totální derivaci podle času v Lagrangeově funkci nemusíme uvažovat. Je tedy vidět, že pohyb soustavy ve vnějším poli je v tomto případě dán standardním tvarem Lagrangeovy funkce, pouze v potenciální energii se objevila explicitní závislost na čase.
15
2.8   Stručně o teorii pole
Budeme uvažovat o polích       (t, x) = ^A^x° =ct, x1, x2, x3) , horní index A čísluje
pole, kterých může být např. N. Toto číslování někdy bude odpovídat polím jakožto složkám vektoru nebo spinoru, ale není to obecně nutné. Lagrangeova funkce bude obsahovat jednotlivá pole, jejich derivace (my budeme uvažovat jen první) podle prostoročasových souřadnic, případně i explicitně tyto souřadnice. Pro stručnost zápisu je vhodné psát
^(A)(x°,x\x2,x3)
dx1
,(a)
Variační princip bude vycházet z účinku
S (e) = j L(x1 , <p(A) + s77(a),d,<p(A) + edi77(a))dQ .
(2.52)
(2.53)
V integrálu (2.53) integrujeme přes čtyřrozměrnou oblast prostoročasu. Podle variačního principu hledáme extrém účinku
dS(ff)
Rozepsání dává
dS(ff)
de
£ = 0
dh
,(A)
de
7(A) +
0
(2.54)
£=0
dh
,(A)
d^(A) \df2--
dL   7WdS +
,(A)
" J dh	d	í   ÔL )
	dx1	v ôô{ (p^ y
(2.55)
tj(a) dn = o
Stejnými úvahami jako v případě jedné proměnné docházíme k Lagrangeovým rovnicím
dh
d(p(A) dx1
dh
a výrazu pro složky hybnosti
7t
(A)i
dd{<p
dh
,(A)
(2.56)
(2.57)
(3(3;
Derivace podle souřadnice x1 v Lagrangeově rovnici, která vznikla integrací per partes vzhledem k této souřadnici, bývá někdy zapisována jako d/dx1. V každém případě musíme tuto derivaci funkce f ( x, cp, d{<p) chápat jako
df    df   d f dtp    df dd (p   df    df ~       df ~ .
—- = —- +--— +--— = —- + —di<p +-d^d cp
dx1    dx1    dg) dx1    dd-cp dx1     dx1    d<p dd-cp
(2.58)
16
Uvedeme dva příklady, pro jednoduchost pro funkce jedné prostorové proměnné x a času t. Lagrangeova funkce pro vlnovou rovnici má tvar
L = I
2
1
1 d<p\    f dep '
ydXj
(2.59)
Lagrangeova funkce neobsahuje explicitně prostoročasové proměnné ani samotnou vlnovou funkci. Máme tak
dh     1 d<p
d
d(p c2 dt dt
dh dtp d(p dx dx
(2.60)
a má tedy Lagrangeova rovnice tvar
dŕ dť
1 d m   dm . + —?- = 0
(2.61)
dt dx c2 dt1 dx2 Nepatrně složitější je odvození Schrodingerovy rovnice. V Lagrangeově funkci budou vystupovat dvě pole qfi = y/ a qft =\p (pruhem značíme komplexní sdružení). Pro nerelativistickou částici hmotnosti m v potenciálovém poli U =U (t, x) máme
2
_ dy/     dy/ j    h  dy/ dy/
y/--y/
v   dt       dt j
2m dx dx
U y/y/ .
(2.62)
Pro hybnosti dostáváme
7t
-v
7C"
h2 dy/ 2m dx
Lagrangeovy rovnice jsou
dw1 dw^
7t
ih _
7t"
h2 dy/ 2m dx
(2.63)
dt
dh _   i h dy/    h  d y/   i h dy/ dx    dy?      2 dt    2m dx2    2 dt
+ Uy/ = 0
. ^ dy/      h2 d2w TT
ih— =---^-+U w
dt      2 m dx2
(2.64)
a rovnice komplexně sdružená
-in—1— dt
h2 d2yž 2m dx2
+ XJ y7
(2.65)
Hamiltonova funkce bude
TT   ^dy/     , dy/ ,-xdi//     x dy/
ti = n--h n--h n--v n —
dt        dt        dx dx
h2 dy/ dy/ 2m dx dx
+ U y/y/
(2.66)
17
3. Zákony zachování
3.1   Základní zákony zachování
Stav uzavřené soustavy, která má s stupňů volnosti, je popsán 2s veličinami q1, q1, kde i = l,2,...,s. Existuje 2 s -1 veličin - integrálů pohybu - jejichž hodnota se s časem nemění a je dána počátečními podmínkami. Počátečních podmínek je sice 2s, ale protože pohybové rovnice uzavřené soustavy neobsahují čas explicitně, je jedna z konstant - volba počátku odečítání časy - již dána. Vyloučíme-li tedy t+t0 z 2s funkcí
q —q ^t+tQ ,Cj ,C2,...,C2s_j^ , q —q ^t+tQ ,Cj ,C2,...,C2s_j^ ,
dostaneme vyjádření konstant Cj ,C2 ,...,C2s_j jako funkcí q'aq1. Mezi integrály pohybu se
vyskytují některé, které mají hluboký fyzikální význam. Většinou jsou spojeny s existencí nějaké symetrie prostoru a času. Takové integrály pohybu mají jednu důležitou vlastnost: pokud lze interakci podsoustav celé soustavy zanedbat, je integrál soustavy roven součtu integrálů podsoustav. Obecný pohled na spojení symetrie se zákony zachování uvidíme v části o teorému Noetherové. Teď zatím probereme některé důležité integrály jednotlivě. Homogenita casu - zachování energie. Vezměme malé posunutí v čase t —»t + s. Požadujeme
Vzhledem k libovolnosti s musí být
dt
^ = 0
dt
takže (připomínáme sumační pravidlo)
dL dh
dh
f
-= —-q +—-q = —
dt    dq1       dq1 dt
dL^ ;    dh dq1
q +
Máme tak
dt
dq1
dh
dq1
dh
dq1 dt    dt l dq
0
(3.1)
a dostáváme zachovávající se veličinu - energii
„ .i dh E = q —-
dq
(3.2)
Pokud je Lagrangeova funkce dána jako
18
l = T(q,q)-U(q) ,
dostáváme z
q —r= q —r= 2T
<3q <3q (Eulerova věta o homogenních funkcích1)
E=T(q,q)+U(q)   . (3.3)
V kartézských souřadnicích pak
e = ž^+u(r^f2,-^n)   • (3-4)
a=l ^
Homogenita prostoru - zachování hybnosti. Vezměme malé posunutí v prostoru f —» f + s . Požadujeme
jl=v—jfa = řT—=0 .
» 3£ „ <3r
Vzhledem k libovolnosti £ musí být
Z-=o •
r 5r
Sečtením Lagrangeových rovnic pro jednotlivé částice dostáváme pak
y^d5L_dy^5L_^
^ďtä^'ďtr^"
Máme tak zachovávající se veličinu - hybnost
P = IPa   ,   P.=|^  • (3-5)
Podmínku zachování hybnosti můžeme také zapsat jako podmínku, aby součet sil působících na jednotlivé částice byl roven nule
o-zf-Z-f-2* •
a        a        a a a
Derivaci Lagrangeovy funkce podle zobecněné rychlosti nazveme zobecněnou hybností, derivaci podle zobecněné souřadnice zobecněnou silou. Můžeme proto Lagrangeovy rovnice interpretovat takto: časová změna složky zobecněné hybnosti je rovna odpovídající složce zobecněné síly
d f
1   f (tx1 ,tx2       = tm f (V,x2,...)   =>   2jxl~^~T = mf   ■ Důkaz: parciálně derivovat obě strany rovnice podle t a pak položit t=l.
19
d_ŕ
dt
F1
(3.6)
Izotropie prostoru - zachování momentu hybnosti. Vezměme malé pootočení v prostoru f —» f + ô(pxv (význam symbolů je vidět z obrázku), s tímto pootočením je spojena i změna rychlosti v —» v + ôcp x v . Požadujeme tedy (při přepisu využíváme možnosti cyklické záměny
vektorů ve smíšeném součinu)
fr(^xf»)+lr(^x^)
dh
<3v.
^   dh   _ dh ra       + va <3r <3v
Vzhledem k libovolnosti ôcp musí být
ra x^ +va x^^ <3r <3v
d p df
r„ x—— + —-x pa
dt dt
Máme tak další zachovávající se veličinu - moment hybnosti
l = zla   . la=faxpa
dt
(3.7)
3.2   Popis soustavy částic ve dvou různých inerciálních soustavách
Inerciální soustava K7 se pohybuje vůči soustavě K rychlostí V . Souřadnice a rychlosti jednotlivých částic jsou tedy
f =ť +Vt   ,   v = v' +V .
a        a '       a a
Pro celkovou hybnost platí
mm a
tedy (s označením celkové hmotnosti M = ^ )
p = p/ + MV . (3.8) Vždy tedy najdeme klidovou („čárkovanou") soustavu, ve které je celková hybnost nulová. Rychlost takové soustavy vůči laboratorní („nečárkované") soustavě spočteme z předchozího
20
vztahu dosazením P'=0. Vidíme, že tuto rychlost můžeme chápat jako časovou změnu polohového vektoru jistého bodu - středu hmotnosti
v d2>f'
a
Energii soustavy částic v laboratorní soustavě pak můžeme rozdělit na součet kinetické energie soustavy, pohybující se jako celek rychlostíV a vnitřní energie U. Máme
E4^^Va2+u=^ma^/+v)2+u4Mv2+v'^m^:+^mav:2'
a a ^ a a
tedy
E= —+ V-P' + E'   . (3.9) 2
V klidové soustavě je P; =0 a E; =U . Pro moment hybnosti nejprve spočteme jeho chování v samotné soustavě K, pokud změníme polohu počátku souřadné soustavy, tj. při záměně
ra=ra +d
L=ZfaXPa =ZCXPa +dx^Pa =L* +dxP .
a a a
Při přechodu od soustavy K k soustavě K7 máme
L = £iniŕaxva=£inií,xv: Wtx£^ .
a a a a
Pokud je soustava K7 klidová a její počátek je volen ve hmotném středu, bude platit L= L7.
3.3   Mechanická podobnost
Předpokládejme, že potenciální energie je homogenní funkcí souřadnic stupně k, tj. že
platí
U(ař;,af2,...,afN) = akU(r;,f2,...,fN)   . (3.10)
Proveďme v Lagrangeově funkci transformaci proměnných
fa^afa   ,  t^/?t . Kinetická a potenciální energie se změní v poměru
P1
Pokud jsou oba násobící faktory stejné, tj. pokud platí
j3 = axkl2   , (3.11)
21
Účinek se pouze vynásobí faktorem a^2+x , ale rovnice trajektorie se nezmění. Změníme-li rozměry trajektorie k - krát, bude doba strávená mezi odpovídajícími si body (l-k/2)
násobkem původní doby a podobně u dalších veličin (P je hybnost, E celková energie, M moment hybnosti)
r
T
	2	P*		k 2	E*		k	M*	fL'l
U,		P "			E "	U,		M "	
(3.12)
Nejznámějšími příklady jsou malé kmity (k = 2), kdy perioda nezávisí na amplitudě, podíl kvadrátů doby pádu v homogenním poli je dán poměrem počátečních výšek (k = l) a třetí Keplerův zákon (k = -1). 3.4   Viriálový teorém
Střední hodnotu funkce času f (t) definujeme jako
t
t->coT
0
Pokud je funkce f derivaci nějaké ohraničené funkce F, je její střední hodnota rovna nule
(f> = Ä7ÍfWdt
(3.13)
lim —
dF(t) F(T)-F(0)
-^-dt = lim —^-^ = 0
dt t->« T
(3.14)
Počítejme teď (kinetická energie je homogenní funkcí rychlostí stupně 2, potenciální energie homogenní funkcí souřadnic stupně k)
d '
dt
d í ^ -   -   1     ^ 5U -
dt
ZPa
+ kU
tedy
2T=ä ?ř-ř- +kU
S využitím (3.14) dostáváme pro střední hodnoty vztah
2(T) = k(U>   ,   (E> = ^(T> .
(3.15)
(3.16)
Ze vztahu (3.16) vidíme například stejný příspěvek kinetické i potenciální energie u harmonického oscilátoru nebo to, že pro Newtonův potenciál musí být celková energie záporná, má-li se pohyb odehrávat v uzavřené oblasti prostoru.
22
4. Invariance
4.1   Úvodní poznámky
Všimněme si nejprve triviálního příkladu. Uvažujme nějakou rovinu, na ní zvolme
kartézskou soustavu souřadnic. Čtverec vzdálenosti dvou bodů o souřadnicích (xj,yj)a
(x2,y2) je dán vztahem d2 =(x2-Xj)2+ (y2 - y^2. Jestliže soustavu souřadnic otočíme (se středem otáčení v počátku) o nějaký úhel s, změní se souřadnice bodů na
x,' = Xj coss + Vj sins   ,   y[ = - Xj sins + Vj coss , x^ = Xj coss + y2 sins   ,   y2 = -x^ sins + y2 coss .
Co se však nezmění, je vzdálenost (resp. čtverec vzdálenosti) těchto dvou bodů, protože
d/2=(x^-xí)2+(y;-y02 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2=d2 .
Říkáme, že vzdálenost bodů je invariantní vůči rotaci souřadné soustavy. Podobně definujeme-li ve speciální teorii relativity (uvažujeme jen jeden prostorový rozměr) interval
mezi dvěma událostmi (ctj,Xj)a (ct2,x2)jako s2 =c2(t2-tj)2-(xj-x,)2, je tento interval
invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci (přechodu od jedné inerciální soustavy K k soustavě K7, která se vůči K pohybuje rychlostí V)
ctí
ct2
ct,-	-V*/c	
	-V2/c2	1 Jl-V2/c2
ct2	-Vxjc	J_ x2"Vt2
/c2 Jl-V2/c2
Předchozí transformace je lépe zapsat zavedením „úhlu rotace é?" jako
tanh# = —   , (4.1) c
(4.2)
takže transformační vztahy mají tvar
c tj' = c tj coshé?- Xj sinhé?  ,   \ = Xj coshé?- c tj sinhé? , ct2 = ct2 coshé*-Xj sinhé*  ,   x^ = ^ coshé?-ct2 sinhé? .
Není obtížné přesvědčit se, že platí
s/2=c2(t^-t1/)2-(x;-xí)2=c2(t2-t)2-(x2-x1)2 = s2   . (4.3)
Velmi často zjišťujeme invarianci vůči infinitesimálně malým změnám. V případě Lorentzovy transformace by to bylo
23
c ť = ctcosh#- xsinhé?  —» cť=cť
d(c')
x' = xcoshé?- ctsinhé?  —»   x = x
=° dG áx1
0 = ct-x0 ,
0=0
(4.4)
0=x-ct0
0=0
4.2   Rundova - Trautmanova identita
K Lorentzově transformaci se ještě vrátíme v části o speciální teorii relativity. Teď uvažujme obecné transformace v klasické mechanice, kdy
dť
t   -»   ť = ť(t,qv,s)   ,   ť=t + s- + 0(V)
v ' de v '
e = 0
q»   _>   q^=q^(t,q^,^)   ,   q^=q"+s^- +0(e2)
(4.5)
£ = 0
Koeficienty u první mocniny parametru transformace v Taylorově rozvoji se nazývají generátory transformace, budeme je značit
dť de
:T(t,qv)   , Q>
dq
if
e = 0
de
Q/(t,qv)
(4.6)
£ = 0
takže
ť = t + eT + 0[e2)   ,   qlfl =qfl +eW +0(e2)   . (4.7)
Budeme studovat invarianci funkcionálu akce vzhledem k transformacím času a souřadnic typu (4.7) a její důsledky. Je-li původní funkcionál
dq/ '~ď7
dt ,
(4.8)
bude funkcionál po transformaci
ť,q
dť
dť
f
dq'^dť
ť q'" — ' dť ,
dt
dt
(4.9)
Řekneme, že funkcionál je invariantní vůči dané transformaci, pokud
S'-S=0(ffs)   , s>l
nebo vhodněji vyjádřeno
dS;
de
0 .
(4.10)
(4.11)
£ = 0
S ohledem na (4.9) máme
24
_d_ de
ŕ dq'^dť
ť.q",-
dť
dt
L (t, q", q" ——
v ' de dt
£=0
d J,    ,„ dq'^
£=0
+ —L dff
ť,q"V
V
dť
£=0
L^I + ^T+—0"+——Í^-^
' dť
(4.12)
0 .
£ = 0
dt     8t      dqM        dqM de
Zatímco výpočet prvních dvou členů u totální derivace Lagrangeovy funkce podle parametru e byl triviální, u posledního člene je potřeba počítat pečlivě
dQ^
dfdq"1^
qM + e-
dq'M    dq^ + ^dQ^    H dt
dť
dt + ^dT
1 + e
dT dt
de
vdť j
á<r dT
£=0
dt
dt
Můžeme tedy (4.12) zapsat jako (Rundova - Trautmanova identita)
q"
dh
dqM
dT
0 .
(4.13)
dt       dqM        dqM dt
Viděli jsme, že pokud se Lagrangeovy funkce liší o časovou totální derivaci libovolné funkce souřadnic a času, dostáváme stejné Lagrangeovy rovnice. Můžeme proto připustit, že se po transformaci invariance budou Lagrangiány lišit o tuto derivaci, tj.
ť,q",dq'
'^dť
dť
f
--L
dt
V
u dq
Zapíšeme-li
f(t,q",ff):
df(t,q",ff)
de
e + OÍe2)   ,   F(t,q')S     V j
v   7 v      7 dá-
£ = 0
(4.14)
£=0
dostaneme zobecněnou Rundovu - Trautmanovu identitu
Q"+ —
dh dQ
dh
dq
dt       dqM        dqM dt
4.3   Teorém Emmy Noetherové
S označením
dh dh p„ =- ,   H = qM--L
V"    dq" dq"
můžeme malou úpravou přepsat identitu (4.15) na
dT _ dF dt dt
(4.15)
(4.16)
(Q"-q"T) p.
dh dqM
dt
(p,Q"-ht-f)
(4.17)
25
Dostáváme se tak k teorému Noetherové. Jsou-li kromě předpokládané symetrie funkcionálu účinku při transformaci s parametrem s charakterizované generátory transformace času, souřadnic a lagrangiánu T,    , F splněny také pohybové rovnice
P u=—   , (4-18)
" dqM
potom platí zákon zachování veličiny
pMQM -m -F = konst. (4.19)
Noetherová formulovala teorém matematicky precizně a poněkud obecněji. Na příkladech uvidíme, že pro klasickou mechaniku je naše znění postačující.
Zákon zachování energie. Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, je účinek invariantní k transformaci ť =t + s , takže máme
T = 1 , Q^=0 , F=0 => H = konst. (4.20) Zákon zachování složky zobecnené hybnosti. Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na některé zobecněné souřadnici q", je účinek invariantní k transformaci qa> = q" + s , takže máme
T=0 , QM=óMa , F=0 => p„= konst. (4.21) Zákon zachování momentu hybnosti. Pro částici ve sféricky symetrickém poli je Lagrangeova funkce invariantní vůči rotaci f —» r' = f + S(pxr . Místo jednoho parametru s tady máme tři parametry udávající směr osy a velikost úhlu rotace ô<p. Můžeme v jednom zápisu psát
T = 0   ,   Q^" = s^p qp   ,   F = 0  ^>   s^ap pM qp = (konst.)" (4.22) Tlumený harmonický oscilátor. Lagrangeova funkce
L-
vede k rovnici Transformace
' m 2   ma>   2 |     ( 2A
— x--x
v2 2 ,
exp^-tj (4.23)
X + 2—X+ of x = 0 m
ť=t + s   ,   x^xexpí-—]   ^>  T = l   ,   Q = - — x
\   m J m
nemění Lagrangeovu funkci h(t' ,x' jdx'/dt^ = L(t,x,dx/dt), je tedy F=0 azachováváse
26
H-pQ
m 2   mco   2 ,
— x H--X + ÄXX
2 2
exp -1 = konst.
(4.24)
O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit dosazením řešení x=aexp(-/í,t/m)cos|^/ŕy2 -/ť/m2 t + aj     do    (4.24)    -    konstanta    vyjde rovna
(m/2)(ŕy2-^2/m2)a2.
Dvourozměrný harmonický oscilátor. Začněme nejprve se standardní Lagrangeovou funkcí
L = ^(r + f)-^ + f)  . (4.25)
Lagrangeovy rovnice jsou
d		dh
dt	[dXj	dx
d		dh
dt		dy
(4.26)
0
ý + co y = 0
Obecné řešení Lagrangeových rovnic (4.26) můžeme zapsat jako
x= acos(cot + a) , y = bcos(ť»t + /?) , (4.27) kde a,a,b,/3 jsou konstanty určené počátečními podmínkami. Pro hybnosti a hamiltonián máme
dh
dx
Px= —= mx  >   Py= —= my
dh
dy
1 m 2
H = pxx+pyý-L = —(p2 + p2) + -^(x2 + y2) .
(4.28)
-íx2 + v2Nl .
2mv s     y/ 2
Lagrangeova funkce (4.25) je invariantní vzhledem k transformaci (homogenita času), kdy ť=t + s, x1 =x a y; = y, takže T = l , Qx=Qy = F=0 a podle (4.19) se zachovává energie, tj. platí
h =    ti + p;)+^(xj + y>)=f (ŕ + f + y2) = tas<- <4-»)
Lagrangeova funkce je také invariantní vzhledem k transformaci (isotropie v rovině) ť=t
(4.30)
x = xcoss + ysms   ,   y = - xsms + ycosž- => T=0   ,   Qx = y   ,   Qy=-x  , F=0
a podle (4.19) se zachovává veličina (složka momentu hybnosti kolmá k rovině oscilátoru)
PXQX + PyQy = yPx "xPy =m(yx-xý) = konst. (4.31)
Dvourozměrný harmonický oscilátor však můžeme také popsat Lagrangeovou funkcí
27
L = mxý-rriřy2xy . Lagrangeovy rovnice budou přirozeně stejné, pouze vzniknou variací jiné proměnné
(4.32)
d		dh
dt	[dXj	dx
d		dh
dt		dy
(4.33)
0
x+ co x = 0
Pro hybnosti a hamiltonián máme
dh dh Px=^- = mý   >   Py= —= mx ,
dx dy
1 ,
H = Pxx+Pv ý-L = — px pv + mco xy .
(4.34)
m
Lagrangeova funkce (4.25) je invariantní vzhledem k transformaci (homogenita času), kdy ť=t + s, x1 =x a y; = y, takže T = l , Qx=Qy = F=0 a podle (4.19) se zachovává energie, tj. platí
H = — px p + mco2 xy = mxý + mo2 xy= konst.
m
(4.35)
Lagrangeova funkce je také invariantní vzhledem k transformaci (eliptická deformace)
ť =t   ,   x = xexp(-*-)   ,   y; = yexp(*-) =>
Q>
F =0
T=0   ,   Qx = -x a podle (4.19) se zachovává veličina
PXQX + PyQy = "xPx +yPy = m(yx-xý) = konst.
(4.36)
(4.37)
Elektron v homogenním magnetickém poli. Předpokládejme, že osa z je orientována podle siločar pole a elektron se bude pohybovat v rovině x - y. Vektorový potenciál v Lagrangeově funkci zvolíme tak, aby souřadnice x byla cyklická, tj.
m,
Lagrangeovy rovnice jsou
d		dh
ďt	[dXj	dx
d		dh
dt		dy
L = -(x2 + y2)-eByx .
0  ^>   mx-eBý = 0 ^^ = 0  ^>   mý + eBx = 0
(4.38)
(4.39)
Už v této chvíli vidíme dvě zachovávající se veličiny, ale budeme postupovat standardním způsobem. Pro hybnost a Hamiltonovu funkci máme
28
dh dh px= —= mx-eBy   ,   p = — = my ,
ox oy
(4.40)
H = Pxx+p ý-L = —r(px + eBy)2 + p2lp=^(x2 + ý2) .
2
Invariance vůči translaci času nebo souřadnice x vede podle (4.19) k zákonu zachování energie H (pouze T =1 je různé od nuly) a složky zobecněné hybnosti px
px = mx - e B y = konst. (4.41)
(pouze Qx = 1 bylo různé od nuly). Při translaci souřadnice y(y/ = y + £") máme
L/=^(x/2 + ý/2)-eBy/x/=^(x2 + ý2)-eByx-^eBx = L-^^(eBx)   . (4.42)
Jsou tedy od nuly různé generátory Qy=l a F=-eBx.Podle (4.19) se zachovává
py+eBx = mý+ eBx = konst. (4.43)
Jak jsme již uvedli, zachovávající se veličiny (4.41) a (4.43) bychom v tomto případě získali snadněji, když v Lagrangeových rovnicích (4.39) napíšeme derivaci podle času před celý výraz.
Částice v homogenním gravitačním poli. Při translaci x1 = x+ s máme
Ľ =yx  +mgx =yx +mgx + mg£ = L+£—(mgt)   . (4.44)
Máme tak QX=1,F =mgt , takže podle (4.19) je
px - mg t = m(x- gt) = konst. (4.45)
5. Pohyb v centrálním poli - Keplerova úloha
Tuto neobyčejně významnou úlohu probereme poměrně podrobně a na elementární úrovni.
5.1   Newtonovy rovnice
Ve zvolené inerciální soustavě uvažujeme dvě tělesa (jako hmotné body), které na sebe působí gravitační silou. Průvodič prvního bodu hmotnosti m, označme rj , obdobně průvodič
druhého bodu hmotnosti     označíme v2. Vektor spojnice od prvního ke druhému bodu bude
v=ľ1-ľi . Podle Newtonova gravitačního zákona působí na první bod druhý bod silou
Gmjmjf/r3 a na druhý bod první bod silou -Gmjrrijf/r3 . (Velikost síly je úměrná součinu
hmotností a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti, síla je přitažlivá. Také je přirozeně splněn třetí Newtonův zákon.) Druhý Newtonův zákon tak dává pohybové rovnice
29
m.
dt2
m,
dt2
(5.1)
(5.2)
Odečtením rovnice (5.1) vydělené m, od rovnice (5.2) vydělené rr^ dostáváme
d2f
dť
r
(5.3)
sečtením obou rovnic máme pak
d2r; d2f2 m, —7- + m, —7- = 0 1 dt2     ^ dt2
(5.4)
Označíme celkovou hmotnost M, redukovanou hmotnost ju a průvodič hmotného středu R
(5.5)
M^+ir^   ,   ju= m*mz    ,   Ŕ = .BÍL±3Ji
mj+m,
m, +m2
Potom můžeme (5.3) a (5.4) psát jako
d2f f //-^-=-G m, n^-j
(5.6)
M
d2 R
dt2
0
Rovnice pro pohyb hmotného středu je jednoduše integrovatelná na
dŘ
dt
:V0   ,   R = V0t + R0 ,
(5.7)
(5.8)
kde počáteční hodnoty souřadnic Rq a rychlosti V0 hmotného středu představují celkem šest integrálů pohybu. Vynásobením rovnice (5.6) vektorově vektorem f dostáváme
r x/u-
d2f ár
dt2 dt
r x/u
d_f_ dt
0 ,
(5.9)
odkud integrací
r x u,— = L , dt
(5.10)
30
kde L je konstantní vektor. Složky tohoto vektoru tvoří další tři integrály pohybu. Vektor L má charakter momentu hybnosti, ukážeme tedy, jak souvisí s celkovým momentem hybnosti soustavy
Kt =Tlxn\wl +f2xm2v2   . (5.11)
Budeme v dalším užívat obvyklého značení rychlostí, takže
dr dr,       _   df       -? dR
v, = —   ,   v2=—   ,   v = —   ,  V = — . dt dt dt dt
Vektory rj ,v*j a v2 ,v2 ve výrazu (5.11) nahradíme vektory f ,v a R,V , tj.
r=Ř-—f   ,   f9 = Ř + —f M M
a dostáváme
4t=Lcm+L , Lcm=ŘxMV , L = fx//v . (5.12) Je tedy celkový moment hybnosti roven součtu momentu hybnosti hmotného středu Lcm a momentu hybnosti L relativního pohybu. Dosazením z (5.8) do výrazu pro Lcm vidíme, že se tento moment také zachovává, zachovává se tedy i celkový moment hybnosti soustavy . To bychom zjistili i přímo, sečtením rovnice (5.1) vektorově vynásobené ŕj s rovnicí (5.2) vektorově vynásobenou f2 .
Před odvozením zákona zachování energie z Newtonových rovnic si připomeneme, že
platí
-   , ,   df(r)~ df(r)ř
V f (r) =-^Vr =-
dv dv r
a
f(r) .
dt      dt    1 w
Gravitační sílu v Newtonových rovnicích můžeme proto psát jako záporně vzatý gradient
gravitační potenciální energie, takže máme
dv 1
m,—L = Gm1m2Vrl-r (5.13)
dt 1 r2-rJ
^^ = 0^^ _L_  . (5.14) dt r9 -r,
31
Sečtením rovnice (5.13) skalárně vynásobené v*j s rovnicí (5.14) skalárně vynásobenou v2 dostáváme zákon zachování celkové energie
dEtct_0      p   _m,  2   m,  2   G m. m, Tľ   — "   '   btotvi +— v2 -~iZ—q-   • (5.15) dt 2 2 |r2-ri|
Podobně jako u momentu hybnosti nahradíme vektory ŕj ,v*j a r2, v2 ve výrazu (5.15) vektory r,v a R,V , takže dostáváme
E^+E   ,   Ecn,=MV=   ,   E=^-°äiSL  . (5.16)
Protože se Etot a Ecm zachovávají, zachovává se i energie relativního pohybu E , což bychom
přímo zjistili skalárním vynásobením rovnice (5.6) vektorem v . 5.2   Relativní pohyb (pohyb v těžišťové soustavě)
V dalším se soustředíme pouze na popis relativního pohybu. Z pohybové rovnice
d2f f //—- = -Gm,m,— (5.17) dt2 ^ V
jsme odvodili, že se zachovává energie
e = //v2_GmLm1 dE=Q 2 r dt
a vektor momentu hybnosti
L = fx//v   ,  — = 0   . (5.19) dt
Uvidíme v dalším, že se tyto veličiny zachovávají při pohybu popsaném libovolným sféricky symetrickým potenciálem. Zákon zachování vektoru momentu hybnosti říká, že pohyb se děje v rovině. Pro Keplerovu úlohu je typická existence dalšího zachovávajícího se vektoru, definovaného obvykle vztahem
( x\ dÄ
A=// vxL-Gm-m,-    ,  — = 0   . (5.20)
Vektoru A se obvykle říká LRL (Laplaceův - Rungeho - Lenzův) vektor. Zachování LRL vektoru ověříme přímo derivováním, přitom kromě dosazení z pohybové rovnice (5.17) a užití zákona zachování (5.19) použijeme při úpravách rovnost
df ,^ ^   _ dr   df 2
--(r -r ) = r r---r
dtv     '       dt dt
Jiné normování má tzv. vektor excentricity e
	f. dr^		f	df^
f x	r x —	= f	r	-
			v	dt y
32
1-1       - f
vxL—   , (5.21)
G //m, rr^      G m, rr^ r pomocí jehož projekce dostaneme rovnici trajektorie. Máme
L2
e -r
—-f -(v xLj - f •— =-^-L'(F x^)
Gm,!!^    v      ;      r    Grujirij G jum^m^
takže s označením é-f = er cos^3 je rovnicí trajektorie rovnice kuželosečky
1   G//m, m,,, s. OON
-=     ^ ^(1 + ecos^)   . (5.22)
Čtverec velikosti e spočteme úpravou (5.21)
_     (vxL)2     2(vxL)-f V2L2 2L2
e -e = —-----------h 1 =----h 1
(GrrijmJ2    Gr^n^r        (Gr^n^)2    G //m, m, r
takže s dosazením za energii z (5.18) můžeme psát
9T2 F
e2-l=     2      2      . (5.23) (Gm,^) ju
Ze vztahu (5.23) vidíme, že pro záporné hodnoty energie je trajektorií elipsa. Všimněme si také invariance vůči škálování - levá strana je čistě geometrický výraz. Při transformaci
t—»/?"t , r—»/?/ř se transformuje kinetická energie jako T—>A2^~a^T , potenciálni
energie jako U —»A~^ a velikost momentu hybnosti jako L—»/i2^~a: . Musí být tedy
E —» Ar E a L2 E —» L2 E , což vede na vztah (například projevený ve třetím Keplerově
zákonu) 3/3 = 2a .
5.3   Keplerovy zákony
Dnešní formulace Keplerových zákonů se v nepodstatných detailech mírně odlišují. Můžeme zvolit například tu z českého překladu Feynmanových přednášek:
(1) Každá planeta se pohybuje kolem Slunce po elipse, přičemž Slunce je v jednom z ohnisek.
(2) Průvodič spojující Slunce s planetou opisuje stejné plochy za stejné časové intervaly.
(3) Druhé mocniny period libovolných dvou planet jsou úměrné třetím mocninám velkých poloos jejich drah: T ~ a3^2 .
Jak uvidíme v historické poznámce, Kepler nikdy žádné „zákony" neformuloval a v jeho rozsáhlém díle lze obsah „Keplerových zákonů" jen obtížně nalézat. Také v námi přejaté formulaci je několik míst, zasluhujících si dalšího komentáře. V dalším výkladu bude postup
33
stručnou kopií výkladu v Sommerfeldově Mechanice. Některé postupy budou jen opakováním již uvedených. Na Sommerfeldově výkladu je poučné, že se Keplerovy zákony objevují v tom pořadí, jak jejich obsah Kepler postupně nalézal.
Považujeme Slunce za nehybné (i hmotnost Jupitera je přibližně tisícinou hmotnosti Slunce), počátek souřadné soustavy položíme do jeho středu. Podle Newtonova gravitačního zákona působí na planetu síla (G je Newtonova gravitační konstanta, M je hmotnost Slunce, m hmotnost planety a f průvodič, tj. polohový vektor planety)
F- = _GmMf   . (5.24) r r
Platí tedy f x F = 0. Z druhého Newtonova zákona pak f x p = 0 a druhý Keplerův zákon máme zatím vyjádřen jako zákon zachování momentu hybnosti
— = 0   ,   L = řxmv   . (5.25) dt
Ve válcových souřadnicích (/?,#?, z) máme f = pe a y = pě~p +p(fi<Stp a h=mp2 (pez . Můžeme tedy (5.25) zapsat jako (d A je element plochy)
2da>   „   dA , 1   2 ,
m/7 — = 2m-=konst.   ,   dA=-p d(p  . (5.26)
dt dt 2
Volíme konst. = 2mC , C je pak konstantní plošná rychlost, obvykle je volena orientace os
v rovině x - y tak, že <p = 0 je v apheliu, tj. cp je pravá anomálie. Pro časovou změnu
anomálie máme
2C
(P = —   ■ (5.27) P
Zavedeme teď plochu opsanou průvodičem za časový interval At jako
A(t)
t+At/2
r dA
—dt (5.28) dt
t-At/2
a konečně dostáváme matematický zápis standardního tvaru druhého Keplerova zákona
A(t)
—^ = C   . (5.29) At
Pro odvození prvního Keplerova zákona zapíšeme pohybovou rovnici ve složkách dx     GM dý     GM .
— =--— cos#?  ,  — =--— sin#?   . (5.30)
dt       p dt p
Přejdeme k nové parametrizaci pomocí anomálie a s využitím (5.27) dostaneme
34
dx     GM             dý     GM . ,e „1S
- costp  ,   —*- =--sm<p  . (5.31)
dep      2C dep 2C
Integrace je snadná
gm •       a       . GM
x =--smm+A  ,   y =-cosm+B   . (5.32)
2C 2C
Všimněme si, že hodografem planetárního pohybu je kružnice
f GM^2
(x-A^y-B)2
V2C j
(5.33)
Rovnice (5.32) přepíšeme zcela v polárních souřadnicích
GM .
pcostp- p<psm<p = -—^-sm<p + A GM
psin+ p<pcos<p = ^ cos<p + B
(5.34)
Vynásobíme druhou rovnici v (5.34) cos<p a odečteme od ní první rovnici vynásobenou sin (p , dostáváme tak
a po dosazení z (5.27)
ptp =       - Aún<p + Bcosff? (5.35)
1     GM      A .        B .....
sm<p-\--cos<£>   . (5.36)
p   (2Cy    2C 2C
To je rovnice elipsy s počátkem v jednom z ohnisek. Už z rovnic (5.32) můžeme vidět, že
pokud má být <p pravou anomálií, musíme zvolit A=0 . Dostáváme tak (a je hlavní poloosa a
e excentricita elipsy) v periheliu (<p=n) a apheliu (cp = 0 )
1     _ GM     _B 1     _ GM _B
a(l-e)"(2C)2   Č   '   a(l + e)"(2C)2 +Č
Odtud vypočteme
GM 1 B
(2C)2    a(l-e2)   '   2C a(l-e2) Připomeneme-li ještě výraz pro parametr elipsy
P = - = a(l-e2) , a      v '
můžeme rovnici planetární trajektorie (5.36) zapsat jako
(5.37)
35
p = 1-
1 - ecos^
To je matematický zápis prvního Keplerova zákona.
(5.38)
Odvození třetího zákona je už jednoduché. Z druhého zákona (5.29) vzatého pro At=T (tj. pro celou periodu) máme
C=-j  ,   S =^ab = ^a2(l-e2)V2   . (5.39)
Vezmeme čtverec C2 a dosadíme za něj z prvního vztahu v (5.37). Dostáváme tak
T2_(2^)2
a3 GM
matematické vyjádření třetího Keplerova zákona. 5.4   Lagrangeovy rovnice
Lagrangeova funkce je
(5.40)
L = ^rr+^f22 + G^   . (5.41) 2 1     2 2 |ř2-r;|
Přejdeme k nové soustavě, kdy zavedeme proměnnou f = v2 -řj a počátek souřadné soustavy
umístíme do středu hmotnosti, tj. bude v ní platit m, řj + m2 v2 =0 . Potom
řj =--S_f   ,   f2=    ^    f (5.42)
m, + m, m, + ir^
a Lagrangeova funkce je
L=mf2+G^   ,   m = ^-  . (5.43)
2 r m, +m2
36
V tuto chvíli je dobré si uvědomit, že trajektorie bude rovinná - síla je radiální, zachovává se moment hybnosti, který je kolmý k průvodiči. Budeme proto mít v polárních souřadnicích v rovině trajektorie
L = ^V*-) + 5!S!l  . (5.44)
P
Lagrangeovy rovnice jsou
d í    -\ -2   G m m, d /     2 .\ _
—(mp) - m/V +    ^2=0   ,  — (m/7>) = 0
(5.45)
Souřadnice q> je cyklická, zachovává se proto s ní sdružená zobecněná hybnost pp=m/?2 q> . Tato zobecněná hybnost je z - tovou (a při naší volbě roviny trajektorie z = 0také jedinou) složkou Lz = L=konst. zachovávajícího se momentu hybnosti, máme tedy
m/?2 cp = L = konst. (5.46)
Obecný výraz pro moment hybnosti ve válcových souřadnicích je
L = -m zpg)Íp + m(z/?-/7ž)éř, + mp2(pez .
Vhodná volba souřadné soustavy je velice důležitá. Rozepsáním derivace a dosazením z Lagrangeových rovnic (5.45) se přesvědčíme, že se energie zachovává (to samozřejmě plyne z už toho, že Lagrangeova funkce explicitně nezávisí na čase)
L2      Girij ir^
dE           „   m/.2     2 .2\   Gmm, m.2 -= 0   ,   E=— /72+/7>2--^JL = _p2+.
dt 2V 7       /?       2 2m/72
(5.47)
Z rovnice (5.47) dostáváme
dt    I m
f
E +
Gm, nij
V2
2 2
m p
(5.48)
a po integraci implicitní závislost p = p(i)
dp
1_ m
E +
Girij m2
P )
1/2
+ konst.
(5.49)
2 2
m p
Změníme-li parametrizaci podle
d#7:
m/7
-dt
dostáváme rovnici trajektorie, tj. vztah mezi souřadnicemi p a <p
37
Je vidět, že pro charakter řešení má velký význam tzv. efektivní potenciální energie
p 2mp
Její průběh vystihuje následující tabulka:
p -> 0 Ueff -> oo
L2        /t t   x m(Gm.m2)2
___(Ueff)n "
Gmn\n^   v     /min 2 Ľ
p^-oo Ueff->-0
Z tabulky i obrázku je jasně vidět zásadní rozdíl pro kladné a záporné hodnoty celkové energie (nulová hladina je dána volbou nulové hodnoty potenciální energie v nekonečnu): pro E>0 je pohyb prostorově nekonečný, pro E<0 se pohyb odehrává v omezené oblasti.
Integrál v (5.50) můžeme analyticky vyjádřit, takže máme
L   Gmm, ir^ ~p L
<p = arccos-
2mE +
Gmm, rr^ Y
|V2
+ konst.
(5.52)
38
Pokud bychom chtěli zachovat q> jako pravou anomálii, zvolili bychom konstantu rovnu 71 . Ve většině fyzikálních textu je ale konstanta pokládána rovna nule, čehož se v této chvíli přidržíme i my. Zavedeme-li značení
1 + -
2EĽ
|V2
Gmnqnij I m(Gmim2)
je rovnicí trajektorie rovnice kuželosečky s ohniskem v počátku souřadnic
— = 1 + ecos^ P
(5.53)
(5.54)
s parametrem p a excentricitou e. Z (5.53) vidíme, že pro E<0 je e<l , jedná se tedy o elipsu.
Při nejmenší možné energii, která je rovna minimální efektivní potenciální energii je e = 0 a elipsa přechází na kružnici. Ze známých vztahů pro elipsu máme
Girij iri.
, b
l-ez      2|E| (i_e2)V2 (2m|E|)1/
K minimální a maximální hodnotě p dospějeme buď uvážením vlastností elipsy, nebo řešením rovnice (body, kde výraz pod odmocninou v integrálu (5.50) nabývá nulových hodnot) Ueff (>o) = E:
,1/2
(5.55)
Pu
t(l-e)
Pu
a(l + e) .
(5.56)
+ e 1-e Přepíšeme-li si (5.46) na 2mdA=Ldt (dA je plošný element) a integrujeme přes celou periodu T, dostáváme 2 m A= LT a protože k=n a b , dostáváme třetí Keplerův zákon
■ Att2
m
Att2
GnTjm2       G(nTj + m2) Při E>0 je e>l a trajektorií je větev hyperboly.
(5.57)
39
a(e - 1)
x
Konečně pro E = 0 je e = l a trajektorií je parabola. Odpovídá to zvláštnímu případu, kdy v nekonečnu je rychlost nulová (je-li v nekonečnu celková i potenciální energie rovna nule, musí být nulová i kinetická energie).
6. Pohyb v centrálním poli - rozptyl dvou částic
6.1   Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu
Hned od začátku budeme předpokládat, že počítáme v těžišťové soustavě a řešíme tedy
ekvivalentní úlohu - odchýlení jedné částice s hmotností m=m1 rc^jirc^ +m2) v poli U(/?)
nepohybujícího se středu silového působení (umístěného ve středu hmotnosti). U potenciálu předpokládáme dostatečně rychlý (co je dostatečně ukáže až konkrétní výpočet) pokles k nule v nekonečnu. Také hned od počátku počítáme s pohybem v rovině x - y, osu z válcové soustavy souřadnic volíme tedy ve směru zachovávajícího se momentu hybnosti. Geometrie úlohy je znázorněna na obrázku, b je srážkový parametr, %=\7T-2(pf\ je úhel rozptylu. Jak
X
40
uvidíme, trajektorie je vždy symetrická kolem přímky spojující počátek O a bod A, kde se částice přestane přibližovat a začne vzdalovat od počátku. Částice se nerozptyluje (% = 0) při
(p0=?r/2 a obrací směr pohybu {% = 7i;) při čelní srážce pro odpudivou sílu {<p0 = 0) nebo při
těsném oběhu pro přitažlivou sílu ((p0=7t).
Lagrangeova funkce ve válcových souřadnicích je
L = ^(p2+p2<p2)-U(p)   . (6.1)
Zachovává se energie
a moment hybnosti
E=-(p2+p2<p2)+\j(p) (6.2)
L = mp2 <pez   . (6.3)
Konstanty určíme z počátečních hodnot při t —»-oo , kdy předpokládáme
lim x=oo   ,   lim y=b   ,   lim x=-voD   ,   lim ý=0 .
Máme tak
2
E = — lim (x2 + ý2) = -H^ss-   ,   L=mlim (xý-xy) = mbv    . (6.4)
Z výrazů pro energii a velikost momentu hybnosti máme
d<p L dt mp2
(6.5)
^ = +í-(E-U(p))-4^r   > (6-6) dt      [mv '   mp j
horní znaménko platí pro první část trajektorie (přibližování oo^ pmin ), spodní znaménko pro
druhou část trajektorie (vzdalování pmin —»oo), kde pmin je kořenem rovnice
b2 2XJ(p)
2
p mi
Hodnotu ^0 získáme ze vztahů (6.5) a (6.6) jako
OD
dp
2   "O  • (6-7)
P m^
<pQ=h
-w  • (6.8)
\     P      mv I
41
Základní charakteristiku rozptylu - diferenciální účinný průřez - získáme následující úvahou. V experimentu zjišťujeme závislost počtu rozptýlených částic na úhlu rozptylu. Předpokládáme tedy rozptyl na počátku homogenního svazku částic, n bude počet částic ve svazku procházejících jednotkovou ploškou za jednotku času, a zjišťujeme počet částic d N
rozptýlených za jednotku času do úhlového intervalu Diferenciální účinný
průřez (má skutečně rozměr plochy) je definován jako podíl
dN
da
(6.9)
Rozptýlený úhel závisí (při pevné energii) na hodnotě srážkového parametru. Je tedy počet částic rozptýlených do daného úhlového intervalu dán počtem částic se srážkovým parametrem v intervalu (b(^),b(^) + db(^)), tj. počtem částic, které za jednotku času
mezikružím omezeným tímto intervalem
dN = n2;rbdb   =>   do" = 2^bdb . Přejdeme teď k vyjádření der pomocí úhlu rozptylu s uvážením výrazu pro element prostorového úhlu. Máme
db (Z)
db
dz
dz  ,   2^sin^d^ = dQ ,
(6.10)
takže dostáváme výraz pro diferenciální účinný průřez v závislosti na úhlu rozptylu
der:
db {z)
dz
dQ
(6.11)
Absolutní hodnota je ve vyjádření proto, že (a bývá to obvyklé) funkce b(z) je klesající.
Také může nastat situace, že do jednoho intervalu úhlů rozptylu přispívá více intervalů srážkového parametru - potom je potřeba sečíst odpovídající výrazy.
42
Skutečnost, že „účinný průřez" dobře vystihuje charakter počítané veličiny je ilustrována na jednoduchém příkladu z obrázku. Částice se odráží na absolutně tuhé kouli poloměru R (tj. potenciál má tvar U(r<R) = oo aU(r>R) = 0).Z geometrie úlohy máme
b = Rsin<»n = Rsin ——— = Rcos— 0 2 2
Dosazení do (6.11) dává
Rcos
X
do-
sin^
R • x
— sin— 2 2
R
dQ = —dQ 4
Integrací přes  celý prostorový úhel (j"dQ=4;r) dostáváme celkový účinný průřez
<7 = jda = ftR2 - tedy skutečně průřez neprostupné koule, který „vidí" dopadající svazek částic.
6.2   Rutherfordův účinný průřez
Popisujeme rozptyl dvou  nabitých  částic, které na  sebe působí  silou danou Coulombovým potenciálem
Q1Q2
U(r)
(6.12)
kde Qj a Q2 jsou elektrické náboje částic. Z předchozích částí můžeme využít většinu výsledků, protože pohyb (v rovině z = 0) je popsán Lagrangeovou funkcí
Q1Q2
m/ .2 2 .2\ L = y(P +P <P )
(6.13)
Pro stručnost budeme značit cc = Qi Q2/(4^£-0), konstanta a má rozměr energie krát délka. Dosazením Coulombova potenciálu do (6.8) dostáváme
(p0=b
b a
bmv^ C
dp
P bmr
2a
,1/2
P1    mvl p,
-dx
bmv.
, 1/2
Ún-
or
vbmvo=y
Integrál je elementární
43
<p0 = arccos—
a bmví
1 +
f a ^ vbmvo=y
2l V2 •
Teď už snadno vyjádříme b2 jako funkci <p0
a
tg>0
a po substituci q>0 = (n - %)/?■
a
Derivujeme (6.14) vzhledem k x
db 1
a	2 _	a	sin^
	sin3^ 2	Umv2^	sin4^ 2
(6.14)
dl 2
a po dosazení do (6.11) dostáváme Rutherfordův vztah pro diferenciální účinný průřez
f
da
a
Y
2mv
dQ
^ J sin
X
(6.15)
6.3   Popis v laboratorní soustavě a soustavě středu hmotnosti
Výpočty prováděné v soustavě středu hmotnosti (zkráceně cms) jsou většinou podstatně jednodušší. Potřebujeme-li však srovnání s experimentem, je třeba převést získané výsledky do soustavy laboratorní. Tento převod není triviální záležitostí. Máme-li v laboratorní soustavě počáteční rychlosti („v nekonečnech") částic v*j a v2, jsou jejich rychlosti v cms
(označme v = Vj - v2)
»
m,
m.
mj +n\ w     m, +n\
takže       + p2^ = m. vj^ +m2 v2^ = 0. Po rozptylu se velikosti výsledných rychlostí (opět
„nekonečně vzdálených částic") v cms co do velikosti nezmění, jenom zamíří jinými - stále však opačnými - směry
»
mj+m,
-vn,
(o)
-vn,
44
je jednotkový vektor ve směru rychlosti první částice. Rychlosti v laboratorní soustavě
získáme přičtením rychlosti středu hmotnosti (rr^ vj +10^ v2)/(vc\ +m2) . Zobrazení hybností po rozptylu v laboratorní soustavě je na obrázku, kde jednotlivé zadávané vektory jsou
C
Prakticky důležitý je případ, kdy jedna částice je (například ir^) je v laboratorní soustavě
v klidu. Potom úhly rozptylu jednotlivých částic souvisí s úhlem rozptylu v cms poměrně jednoduchým vztahem. Tento vztah dostaneme z překresleného obecného obrázku na případ s jednou částicí v klidu. Levý obrázek odpovídá m, <m2, pravý obrázek opačnému případu.
Z geometrie trojúhelníků dostaneme
mj+mjCos^ 2
45
Druhý vztah plyne okamžitě z aOBC , první vztah je dán tangentovou větou (obrázek), když uvážíme A0/0C = m1/m2 .
Z první rovnice v (6.16) dostaneme
m, . i „ cos^ =--L sin 6/j ±
™2
coséj
1-
L Y
2^
-|V2
sin
přitom pro mi<m2 ^ _______ ^ .. _t j________
vedená pod úhlem z bodu A protíná kružnici dva průsečíky C a C7. Derivováním získáme
m,
(odpovídající
ir^ jsou možné
—z l_      v    2 ^
je vztah x^9\ jednoznačný (odpovídající znaménko je plus) - přímka 9X z bodu A protíná kružnici v jediném bodě C, pro m,
^   Dfrivnvánítn yícVámp
2-^-cos6> ±-
™i r
( Y
1+ cos(26>)
r    .    x 2 -|V2
24
m,
L I— —i J
V případě, že jedné hodnotě 9X odpovídají dvě hodnoty úhlu x ■> Je třeba klesající větev odečítat od rostoucí. Konečně se tedy dostáváme k výsledku
f Y
Cos(26>)
m.
sin
^sinéj dé?j
dQz =
2-^-cos6> +-ni, r
1+
1-
Y
24
1/2
sin2
dQ^   m,<m2 0<<9j<;z"
1+ cos(2^)
r 9 nl/2
ŕ™ Y
(6.17)
1-
m.
■dí^ mi>m2 0<^<^max
sin2^
46
kde é?max =arcsin(m2/m1) . Jak jsme již uvedli, převod výsledků do laboratorní soustavy je
nutný pro případné porovnání s experimenty. Tento jednoduchý příklad ukazuje, jak výhodné je počítání v soustavě středu hmotnosti.
7. Pohyb v centrálním poli - harmonický oscilátor
Potenciál má tvar U (r) = (k/2)r2. Jak již víme, je výhodné zvolit osu z kartézských
nebo válcových souřadnic ve směru zachovávajícího se vektoru momentu hybnosti. Lagrangeova funkce je pak
2
L = -(x2 + y2)--— (x2 + y2) (7.1)
nebo
Hl/ .2        2 -2\     m&> 2
L = -(p2+p2<p2)--— p2
1/?
Zvolili j sme standardní označení co=(k/m)   . Lagrangeovy rovnice j sou
(7.2)
d		dh
dt	[dXj	dx
d		dh
dt		dy
0
mx + mco x = 0 ,
my + mco y = 0
(7.3)
nebo
dt
ÔL
ôp J ôp
dt
ÔL
yd<p) dep
0
0
mp - mpcp2 + mco2 p = 0
mp2 <p + 2mp <p = 0 .
(7.4)
Rovnice (7.3) dokážeme snadno integrovat (homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty)
x(t) = Asin(fó>t + a)   ,   y(t) = Bsin(řyt + 0)   . (7.5)
Trochu překvapivě je integrace rovnic v polárních souřadnicích, které odrážejí symetrii problému obtížnější. Rovnici pro úhel jsme nemuseli rozepisovat, i tak je vidět, že první integrál je mp2 <^> = L=konst. Dosazení do rovnice pro radiální souřadnici dává
p + co p
2 ^
m p
0
(7.6)
47
Než budeme hledat řešení této rovnice, všimněme si, že velikost momentu hybnosti pro řešení (7.5) je h=moo ABsin(a-/?) . Pro a = j3 se oscilátor pohybuje po přímce, L=0 a rovnice pro radiální souřadnici přejde pochopitelně na rovnici lineárního oscilátoru. Energie pro reseni (7.5) je E = (m/2)řy2(A2 + B2) . Rozdíl E2 - oo2 L2 je pro tato řešení vždy nezáporný
2t2   vsí aŕ
4
( A2 - B2 )2 + 4 A2 B2 cos2(a- 0)
Nulové hodnoty nabývá při pohybu po kružnici (B = A, /3=a-?r/2).
Jednou z možností řešení rovnice (7.6) je vynásobit rovnici 2p, výslednou rovnici pak můžeme zapsat jako
f
dt
-2 2 2
p + oo p +
r2 >
2 2
m p j
0 .
Je to rovnice zachování energie, kterou jsme již studovali, takže máme
dp
m
E2 2 - oo p
2 2
m p
1/2
(7.7)
Integrál spočteme a dostáváme
P
moo
r	/-         \ 2	1/2
< 1 +		cos(2<»t) >
(7.8)
Pro L=Lmax=E/ť» dostáváme pohyb po kružnici poloměru p = (E/moo2y . Integrál pro uhlovou souřadnici dostaneme dosazením (7.8) do mp2 (p = h, takže
(P-
Loo2
dt
1 +
Lť»V
1/2
COS
(2(Dt)
Integrál spočteme a dostáváme
f		s \2	V2
E	1-		tg(»t) ►
<-		—	
Loo		V E J _	
(7.9)
Samozřejmě pro L=Lmax=E/ť» dostáváme <p = oot
48
8. Pohyb v neinerciální souřadné soustavě
8.1   Transformace z inerciální do neinerciální soustavy
Inerciální soustavu označíme K0. V této soustavě bude Lagrangeova funkce jedné částice ve vnějším poli
L = |v02-U   . (8.1)
Soustava K; se bude pohybovat vůči Kq rychlostí V(t) a soustava K bude kolem počátku souřadnic soustavy K; rotovat s úhlovou rychlostí ň(t) . Označíme-li průvodič společného počátku soustav K7 a K jako R(t) a souřadnice bodu v soustavě K jako x" (t) , máme
r0(t) = Ř(t) + x°(t)eo(t)   , (8.2) kde |ea (t)j je rotující báze soustavy K. Je tedy
df
v0=—2-+xaea + xaea=V + v + nxr   . (8.3) dt
Značení je zřejmé z definice neinerciální soustavy
V = Ř   ,   é„=Qxé„   ,   ř=xaBa   ,   v = x"é„   ,   xaÍa=ňxr . Dosazením z (8.3) do (8.1) dostáváme
L = -v2+mv-(ňxf) + -(ňxr)\mV-—+ -V2-U(r)   . (8.4) 2 V      '   2V      ' dt    2 W
Označili jsme
— = v + £2xr . dt
Odečtením totální derivace libovolné funkce F   souřadnic a času od lagrangiánu dostáváme
ekvivalentní lagrangián, který dává stejné Lagrangeovy rovnice. Zvolíme
t
F =yjV2(t)dt + mV-ř
a výsledná Lagrangeova funkce bude
L = ^v2+mv-(Qxf) + y(Qxf)2-mÁ-f-U(f)   . (8.5)
Označili jsme zrychlení K; vůči Kq jako Á=dV/dt. Parciální derivace potřebné pro Lagrangeovy rovnice získáme nejlépe z diferenciálu Lagrangeovy funkce
dL = mv-dv + m^Qxf )-dv + mv-^Qxdf) + m^Qxf ^Qxdf ^ - mÁ-dr - VU - df
49
a po úpravách a soustředění výrazů u dva df tak máme
dh
dw
mv + m
(ňxf) ,
ÔT
Lagrangeova rovnice je tedy
dv
(3 L r — = m|vxň| + m (Qxr)xQ
(8.6)
mA-VU
m— = - VU - m A+ m dt
f d£^
r x-
V
dt
+ 2m|vxQj + m (Qxr)xQ
(8.7)
Předposlední člen na pravé straně je Coriolisova síla, poslední člen síla odstředivá. Odstředivá síla leží v rovině natažené na Q a f, přitom je kolmá na Q a míří směrem od osy rotace. 8.2   Rovnoměrně rotující souřadná soustava V tomto případě bude Lagrangeova funkce
L = -^v2+mv-(Qxf) + -(Qxf)2-U(f)
což povede k Lagrangeově rovnici
dv
m-
dt
VU+2m(vxQ) + m (ňxř)xQ
(8.8)
(8.9)
Zobecněná hybnost je
p = mv + m(Qxř) (8.10) a energie (počítána jako Hamiltonova funkce, ale vyjádřená pomocí souřadnic a rychlostí)
E = p-v-L = yv2-y(Qxf)2+U   . (8.11)
Rychlosti v inerciální soustavě a v rovnoměrně rotující soustavě jsou spojeny vztahem (8.3) s V = 0, je tedy možno psát (8.10) jako p = mv0 = p0. Jsou tedy hybnosti v soustavě Ki Kq stejné. Platí to i pro moment hybnosti
M=fxp = mfx v + ^Qxf) = mf xv0 = r x p0 = M0 .
Pro porovnání energií dosadíme za v do (8.11) a máme
E=^(v0-Qxf)2-^(Qxf)2+U=^v02+U-mv0.(Qxf) .
Záměnou pořadí vektorů ve smíšeném součinu dostaneme konečně
v-(ňxdr) = (vxň)-df a (ňxr)-(ňxdr) = [(ňxr)xň
•df
50
E = E0-M0Q   . (8.12)
Tento nenápadný vztah je základem pro zobrazování pomocí jaderné magnetické resonance. 8.3   Pohyby v gravitačním poli Země ovlivněné její rotací
Odchylka od vertikály při volném pádu. Potenciální energie je U = -mg- r . Řešení budeme hledat poruchovou metodou. Abychom vyznačili opravy různého řádu malosti, nahradíme nejprve v Lagrangeově rovnici Cl^AQ, , takže máme
dv dt
g +2^(vxň) + ^2(Qxf)xQ .
(8.13)
Řešení budeme hledat ve tvaru f = f ^ + A + A2 +... a v = v*0^ + A v ^ + A2 + .... Po dosazení a porovnání členů u stejných mocnin A dostáváme soustavu rovnic
dv(0)    -      dv«   _(0) ň 2vv' xí2
dt
dv<") dt
g
dt
2v(n~1)xQ +
(ňxf<-2))
(8.14)
xQ   ,   n = 2,3,
Není obtížné spočítat první členy, takže pro f = f ^ +f ^ dostáváme
f = h + v0t +^gt2 +^gx^t3 + v0xQt2
(8.15)
počáteční poloha a rychlost jsou h a v0. Zvolíme-li směr osy z po kolmici k zemskému povrchu vzhůru, směr osy x (na severní polokouli) po poledníku k rovníku a směr osy y po rovnoběžce na východ, máme g=-gez, Q = -Qcos/léx+ Qsin/léz (A je zeměpisná šířka).
Dostáváme tak v tomto přiblížení pro nulovou počáteční rychlost odchylku od vertikály východním směrem
51
ť
x = 0   ,   y= — gQcos/l= — 3 3
g J
g Qcos/l
(8.16)
Foucaultovo kyvadlo. Uspořádání je na obrázku. Zvolíme sférickou souřadnou soustavu s počátkem v bodě závěsu O. Oproti standardní volbě je azimutální úhel odpočítáván od záporného směru osy z a polární úhel od osy y k ose x. Soustava s jednotkovými vektory
|er ,eff ,8^,} tak zůstává pravotočivá. Podstatné vektory pro popis jsou
f = lér   ,  f = -Tér   ,   g = -géz = gcos<9ér - gsm0€e (8.17)
Q = Q[-cos/léx + sin/léz] =
-Q^(cos/lsiné'sin^ + cosé'sin/l)ér + (cos/icosé?sin<^-siné?sin/l)ér -cos^cos/lé?
Pro úplnost uvádíme převodní vztah od standardní kartézské soustavy k naší sférické
er = sin<9sin<^ex + sin<9cos<^ey - cos<9ez e0 = cos(9sin^ex + cos<9cos<^ey + sin<9ez &v =      cos<pex - sin<pey
a výrazy pro časovou derivaci vektorů sférické báze
der A^ - • /i- de„ dt       9 * dt
0ST + (pcosOŠ
dt
Rychlost a zrychlení jsou pak f = l^e^ + ^sin^e^,
[O1 +<p2 sin2#)ér + [O-qř sin^cosé^e^ + (žŕ^costf + ^sinŕ?)^
f = 1
Pohybové rovnice jsou
(8.18)
(8.19)
-<^sin<9er - (pcos0<S0   . (8.20)
(8.21)
52
9 H—sin<9 = sin<9cos<9<^2 - 2Q<^sin#(cos/lsin#sin<^ + cos#sin/l) ,
1                                               x (8.22) <9cos<9(<£> - Qsin/l) = Qsin<9sin<^cos/l<9 - — ú\\6q) .
Předpokládáme, že <9<?cl a čp<^9 (tedy jedná se o kmity s malou amplitudou a perioda stáčení roviny kmitů je velká ve srovnání s periodou kyvadla). Potom se rovnice (8.22) v prvním přiblížení zjednoduší na
0 + 2-0 = 0   s   ^ = Qsůa  . (8.23)
Na rovníku ke stáčení roviny kmitů nedochází, na pólu je periodou jeden den.
9. Hamiltonova formulace mechaniky
9.1   Hamiltonovy rovnice
Úplný diferenciál Lagrangeovy funkce (tedy funkce souřadnic a rychlostí) je
dL = —dq"+—dq"+—dt=p dq" + p dq"+—dt , dqa   4     dqa   4      dt        Va  4     Va  4 dt
(9.1)
kde jsme dosadili pa z definice zobecněné hybnosti a pa z Lagrangeových rovnic. Dále napíšeme
p„dq«=d(p„q«)-q"dp« a po dosazení do (9.1) a vhodném uspořádání dostáváme
d(p«q"-L) = -p«dq«+q«dp„-£|dt .
(9.2)
Výraz v závorce na levé straně je Hamiltonova funkce (podle diferenciálů na pravé straně chápána jako funkce souřadnic a hybností)
H(q,p,t)=p„q"-L(q,q,t)   . (9.3)
Diferenciál této je
dH =-dq" +-dp +-dt
dqa dpa dt
(9.4)
Porovnáním (9.2) a (9.4) dostáváme jednak
dt
q.p
dh dt
(9.5)
q.q
a především Hamiltonovy rovnice
53
dq" dU
dn
(9.6)
dt     dpa dt dqa
Pokud Lagrangeova funkce závisí na nějakém parametru A, který například charakterizuje vnější pole, přidáme na pravé straně příslušný diferenciál. Obdobně jako v případě času v (9.5) je potom
dA
q.p
dh
d A
(9.7)
q.q
Lagrangeovy a Hamiltonovy funkce částice v potenciálovém poli mají ve třech nejčastěji užívaných souřadných soustavách tvar
L = -?(x2 + y2 + z2)-U(x,y,z)
L = Y(p2+P2 ^2 + ž2)-U(p,^,z)
H
H
1
2m 1
Px + Py + Pz2 +U(x,y,z)
2m
2   i   P*>   i 2
L = —(ŕ2+r2#2+r2sin2#^2)-U(r,#,^) H
1
p2+%^
2 v '      v        ' 2m
9.2    Poissonovy závorky
Počítejme úplnou časovou derivaci nějaké funkce f (t ,q, p
d_f__d_f_    df_.a    df .
Dosadíme-li do (9.8) z Hamiltonových rovnic (9.6), dostáváme
df    df    df dU     df dU
2 2-2/1
r sin 9
+ U (p,q>,z) + \]{r,e,<p)
(9.8)
+
dt     dt     dqadpa dpadqa
Jako Poissonovu závorku dvou funkcí f a g definujeme výraz
rf -i\ dí dg dí dg 1   g|    dpadqa dqadpa
Můžeme tedy (9.9) pomocí Poissonovy závorky zapsat jako
dt     6>t    1 1 Snadno ověříme platnost řady vztahů (c je konstanta)
{fg} = -{gf}   ,   {fc} = 0   ,  |{fg} =
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.12)
{f1+f2g} = {flg} + {f2g}  , {(f1f2)g}=f1{f2g}+f2{f1g}
54
(9.13)
dpa   '   ^>a> dq< zejména
{qV} = 0   ,   {Pop,} = 0   ,   {Poq'} = #   • (9.14)
Relace (9.14) velmi připomínají kvantově mechanické vztahy pro komutátory operátorů souřadnic a hybností, není to náhodná shoda. Relativně nejpracnější na počítání je ověření Jacobiho identity
{f{gh}} + {g{hf}} + {h{fg}} = 0  . (9.15)
Této velmi důležité vlastnosti Poissonových závorek využijeme při důkazu následujícího tvrzení: Jsou-li f a g integrály pohybu, je integrálem pohybu i jejich Poissonova závorka { f g j. Počítejme
A{fg)=|{fg} + jh{fg}j = {f g} + {f^}-{f{gH}}-jg{Hf}}:
df_
dt
+ {Hf} g  +   f f + {Hg}
dg
dt
a skutečně tedy
vdt
v dt
A
J
dt
(9.16)
9.3   Hamiltonova - Jacobiho rovnice
Lagrangeovy rovnice jsme odvozovali tak, že jsme hledali trajektorii mezi dvěma pevnými body, pro kterou nabývá účinek
s=j
Ldt
(9.17)
minimální hodnoty. Variace účinku je
dqa
dh    d dh
dqa    dt dqa
5qa dt
(9.18)
Podívejme se teď na vztah (9.18) jinak. Předpokládejme, že vycházíme z pevného bodu (tj. 8qa (t0) = 0 a že se pohyb děje po skutečné trajektorii (tj. jsou splněny Lagrangeovy rovnice),
přitom končí v různých bodech q". Účinek se pro koncové body lišící se o ôqa (t) bude lišit o hodnotu
55
d\
SS=—óqa = paóqa . dqa "
Proto tedy, chápeme-li účinek jako funkci souřadnic koncového bodu, můžeme psát
dS
(9.19)
Z definice účinku (9.17) máme přímo
dqc
dS dt
(9.20)
Úplnou časovou derivaci můžeme však také zapsat jako
dS    dS    dS .« dS
-=-+-qa = — +p qc
dt     dt    dqa        dt "
(9.21)
(9.22)
Porovnáním (9.21) a (9.22) dostáváme
as
dt
(9.23)
nebo se zavedením Hamiltonovy funkce
f = h(m-.p.)
(9.24)
Do tohoto vztahu můžeme dosadit za pa ze (9.20) a dostáváme tak nelineární parciální diferenciální rovnici - (Hamiltonovu - Jacobiho)
dS_ dt
f
+ H
t,q",
v
dS_
dqa
J
0 .
(9.25)
Elementárním příkladem je rovnice pro volnou částici zapsaná v kartézských souřadnicích
dS 1
■ + -
dt 2m
fdS^	2	fdS^	2	ÍÔS)
	+		+	
[dXj				{dzj
o ,
jejímž    řešením    je    například     S = px x+ py y+ pz z-( p2 + p2 + p2)t/(2m) nebo
S = p^/x2 + y2 + z2-p2t/(2m).
Důležité jsou případy, kdy je možné v Hamiltonově - Jacobiho rovnici separovat ve vhodně zvolené souřadné soustavě proměnné. Jako příklad uvedeme hamiltonián ve sférických souřadnicích s potenciální energií
U=a(r) + _k_i ,
tedy
56
2m
v dľ J
(O-
+ a r +
2mr'
2mb(#)
1
2mr2sin2<9
Kdcp j
(9.26)
Řešení budeme hledat ve tvaru (z rovnice (9.26) vidíme, že souřadnice ^ je cyklická)
S0 = P^-^) + Sr(r) + S,(é?) , (9.27) kde pv a ^0 jsou konstanty a funkce Sr (r),Sél(é') jsou řešením obyčejných diferenciálních rovnic
	Y
á8	y
dSr	Y
dr	y
2mb(#)
sin2#
(9.28)
+ a(r)
P
2mr/
E .
Zatím máme v rovnicích čtyři konstanty E,/i, pv,^0. Další dvě získáme při integraci (jsou ve výrazu implicitně obsaženy zápisem neurčitých integrálů)
9.4    Maupertuisův princip
Napíšeme diferenciál funkce S = S (q,t) a dosadíme z (9.20) a (9.24), takže
dS=—dq"+—dt=p dq"-Hdt
dqa dt       ť" 4
a po integraci
S = j(p„dq"-Hdt) . V případě, že se energie zachovává (H = E = konst.)
S = S0(q)-Et   ,   S0(q) = jp„dq" . Uvažujme Lagrangeovu funkci
potom budou hybnosti
L = -a0,(q)qV-U(q)   > K
ôh _ dqÁ
(9.30)
(9.31)
(9.32)
a zachovávající se energie
57
(q)
dg" dg75 dt dt
U(q) •
Odsud
dt
ag/?dq"dq^ 2(E-U)
1/2
(9.33)
Dále
p dq"=a   ^dq"=a /Q" dq/?dt = 2(E-U)dt
(9.34)
Nakonec tedy dosazením (9.34) a (9.33) do výrazu pro S0(q) dostáváme vyjádření „zkráceného" (myšleno odečtením členu E t) účinku
S0={[2(E-U)aa/?dq"dq^]V2   . (9.35) Pro jednu částici je kinetická energie
dl
™ ni T = —
2
vdty
kde dl je element délky trajektorie. Obecný výraz (9.35) se zjednoduší na
S0=J[2m(E-U)]1/2dl . (9.36) Kdybychom chtěli podobnost s Fermatovým principem zesílit, podělíme obě strany konstantním členem ^2mE a můžeme psát
ô
^/2mE
j[ndl = 0
(9.37)
kde „index lomu" je definován jako
i-íí.
E
1/2
(9.38)
V optice nabitých částic má tento výraz (alespoň pro elektrostatická pole) přesně význam indexu lomu prostředí. Z Maupertuisova variačního principu (9.37) dostaneme rovnici trajektorie. Při variaci
S^E-U
dl
-^•Jř^i_ + VĚ^U^.dJf dr      2JE-XJ dl
v dl
cU
1
f
■ô?    .- ,
dř      2^/E-U dl
df "ďT
■ sř[ = o
58
jsme použili užitečného obratu
dl2=df-dř  =>  dl<Wl = dř-<Wř
Rovnice trajektorie tedy je
2^E -U — VE"U
df
dl^v dl,
dr
Označíme sílu F = -d\J /dr a jednotkový tečný vektor ke trajektorii f = df/dl. Provedeme naznačenou derivaci a dostáváme
d2ř F-(F-ř)ř
—T = —T-T-   ■ (9-39)
dl2 2(E-U)
Výraz v čitateli na pravé straně rovnice (9.39) je normálová složka síly Fn = F-(F-f)f. Musí tedy i vektor na levé straně mít tuto orientaci. Skutečně také
d2f   dr n
dl2    dl R
(9.40)
kde R je poloměr křivosti trajektorie a n je jednotkový vektor hlavní normály. Zapíšeme-li ještě dvojnásobek kinetické energie jako T = 2(E-U) = mv2, dostáváme známy vztah Newtonovy mechaniky
mv2
R     Fn   . (9.41)
Označme podle obrázku a^t t+Atj rovinu určenou koncovým bodem B (t) polohového vektoru f (t) a jednotkovými vektory f(t) a f(t + At). Tato rovina se přimyká ke křivce C v okolí bodu B (t) tím lépe, čím je At menší. Limitním případem rovin a^t t+Atjpro At^-Oje tzv. o skulační rovina o"(t). Vzhledem k tomu, že při At^Ovektory r(t)a r(t + At) splynou, je třeba najít jiný vhodný vektor, který spolu s bodem B(t) a vektorem r(t) určuje rovinu cr(t). Tuto vlastnost má vektor r(t) . Jednotkový vektor je pak n = fj fj. Zopakujme ještě vztahy
pro jednotkové vektory - tečný, normály a binormály
df   df dl     _      df   df dl    v _      _   _ _ ,n
— =--= vr   ,  — =--= —n   ,   v = rxn   . (9.42)
dt    dl dt dt    dl dt R
59
10. Pohyb tuhého tělesa 10.1 Tuhé těleso
Tuhé těleso definujeme jako soustavu hmotných částic, jejichž vzdálenosti se nemění. Vztahy budeme počítat pro diskrétní soustavy, ale přechod ke spojitému rozložení je snadný
-> j>{...}dv . (ío.i)
a
Většinou můžeme uvažovat o soustavě složené z identických částic, potom v sumaci nepíšeme index částice. Základní popis se děje v kartézské inerciální (laboratorní) souřadné soustavě XYZ pomocí kartézské souřadné soustavy Xj Xj Xg pevně spojené s tělesem - její počátek O umístíme do hmotného středu tělesa.3 Souřadnice bodu O jsou v inerciální soustavě zadány průvodičem R, orientace soustavy Xj Xj Xg vůči inerciální soustavě pomocí
tří úhlů. Představuje tedy tuhé těleso mechanickou soustavu se šesti stupni volnosti. Souřadnice obecného bodu tělesa P v inerciální soustavě jsou zadány průvodičem f, v soustavě spojené s tělesem průvodičem f. Malé posunutí bodu P o dr je složeno
z posunutí celého tělesa společně s počátkem O, tj. d R a rotace tělesa kolem počátku o malý
úhel d(p, tj. d(pxv
3 Z praktického hlediska budeme v této kapitole užívat značení X=X1,y = X2,Z = X3 a pozměníme sčítací pravidlo - sečítá se vždy, když člen obsahuje veličiny se stejnými indexy (nemusí být tedy jeden „nahoře" a druhý „dole". Máme tak pro skalární součin vektorů a-b = ajbj  a pro složky vektorového součinu
a xb J = £ikl ak bj . Také se sečítá, je-li veličina ve druhé mocnině, protože X2 = Xj Xj.
60
Zavedením příslušných rychlostí
dt "ďľ
dostáváme z předchozího vztahu
dR ~~ďt
-V
á<p
Q
(10.2)
v=V + Qxf
(10.3)
Vektor V udává rychlost translačního pohybu tělesa jako celku, Q je úhlová rychlost rotace tuhého tělesa. Pokud umístíme počátek souřadné soustavy spojené s tělesem místo do
hmotného středu do jiného bodu 0'(00/=a), zůstane pochopitelně f stejné a bude
Ŕ=R+a a r' =r-&. Dosazení do (10.3) dává v=V + Qxa+ Qxf;, což ale máme zapsat
v nové soustavě také jako složení translačního a rotačního pohybu, tedy v=V/+Q/xf/. Porovnáním obou výrazů dostaneme transformační vztah
r'=f-a   ,  V'=V + Qxa   ,   Q' = Q   . (10.4)
Tento vztah popisuje dvě důležité skutečnosti: Především Q je stejné pro všechny soustavy s rovnoběžnými souřadnými osami, můžeme proto dobře mluvit o úhlové rychlosti tělesa jako
takové. Dále je vidět, že pokud v některém okamžiku VQ = 0, platí to i pro libovolně
zvolený bod O' .4
10.2     Tensor setrvačnosti
Dosadíme-li ve výrazu pro kinetickou energii (v je rychlost v inerciální soustavě)
4 V případě, že V • Q ^ 0 , můžeme řešením rovnice Q X (V + Qxá) = 0 (neznámou je vektor a ) najít takové polohy bodu O', že V; || Q , tj. translační pohyb se děje podél osy otáčení.
61
mv
ze vztahu (10.3), dostáváme
T = lf(v + ňxf)=lfv^+ImV.(ňxf) + IB(ňxfy .
V prvním členu je V pro všechny částice stejné, takže s označením celkové hmotnosti pomocí M bude tento člen
^ 2
Úpravou druhého členu dostáváme
2mV.(Qxf) = 2mf.(VxQ) = (VxQ).Ř;m   ,   Š» = J>ř .
Umístíme-li počátek souřadné soustavy do středu hmotnosti, je výše uvedený člen nulový. Ve třetím členu rozepíšeme druhou mocninu
(Qxř)-(Qxř) = ř|(Qxf)xQ =ř- fQ2-Q(f-Q)
QV
(Q-f)2
Kinetická energie tuhého tělesa bude tedy
„   MV2 1
— t-Yrn
2 2^
QV
(Q-f)2
(10.5)
Při zápisu v kartézských složkách dostaneme pro rotační část energie postupně ~Zm Q2r2-(Q-f)   =-^m[QiQi x2 - Q; ^Slk\
m[Qi Qk 4 *i2 - Q Qk \ ]=í\ Z m[xi2
Definujeme tensor momentů setrvačnosti (krátce tensor setrvačnosti)
Iik=Zm(^4-^^)  • (10-6) Tensor setrvačnosti je z definice symetrický tensor druhého řádu
(10.7)
a jako takový může být vhodnou volbou orientace souřadných os přiveden k diagonálnímu tvaru
(V   0 OYQ^
lik = Iki
I^QjQ^^   Q2 Q3)
0   I2 0 v0   0 I3,
Q2 yQ3 j
\ Qj + I2 Q2 + I3 Q3
(10.8)
Hlavní momenty setrvačnosti mají tu vlastnost, že součet libovolných dvou z nich je větší nebo nejméně roven zbývajícímu - například
62
I1+I2=£m(y2 + z2 + z2 + x2)>£m(x2 + y2) = I3 .
Pokud počátek souřadné soustavy spojené s tělesem neleží ve hmotném středu, je tensor setrvačnosti po dosazení f' = f-a
Lk = Zm(*i/2 3k " *l\) = T.m(^2 S^ ~ * **) + Zm(ai2 3k " ai ak) -
24aiZm^+aiZmxk+akZmxi ,
a protože ^ mf = 0, dostáváme
i4 = iik + Zm(ai^-aiak) • (10-9)
Při Ij =I2 ^I3 mluvíme o symetrickém setrvačníku, jsou-li si všechny hlavní momenty rovny,
jde o sférický setrvačník.
Závěrem napíšeme Lagrangeovu funkci tuhého tělesa jako
MV
1
2 +-iik^í\-u
(10.10)
Potenciální energie je funkcí tří složek vektoru R a tří úhlů, které charakterizují orientaci soustavy x. ^ Xg vůči soustavě XYZ .
10.3 Moment hybnosti tuhého tělesa
Moment hybnosti počítáme v soustavě, kde počátek je spojen s hmotným středem tuhého tělesa. Je tedy
M =^Tmřx(Qxř) = ]Tm[r2Q-(ř-Q)f nebo ve složkách
Mi==XXxi2qí -xkQkxi]=I]m[xi24Qk -xkfik^]=nkE+2^ -^\] •
Srovnáním posledního výrazu s definicí tensoru setrvačnosti (10.6) vidíme, že
M; = IikQk   . (10.11)
Pokud budou osy Xj Xj Xg orientovány podél hlavních os setrvačnosti tělesa, je pak
(10.12)
Pokud na tuhé těleso nepůsobí vnější síly, moment setrvačnosti se zachovává. Všimněme si případu symetrického setrvačníku z obrázku. Osa Xg je osou symetrie. Osu ^ zvolíme tak, že
ÍM11			0	0^	q;
M2	=	0	I2	0	
M3,		0 v	0	!3,	A,
63
f s
je kolmá k rovině vytvořené vektorem M a okamžitou polohou osy x, . Potom je M2=0 a
podle (10.12) musí být Q2=0. To ovšem znamená, že vektory M , Q a e3 leží v jedné
rovině, takže rychlosti bodů na ose Xg v~Qxe3 jsou kolmé k této rovině. Osa symetrického
setrvačníku rotuje kolem směru M po plášti kuželu (regulární precese), zároveň setrvačník rotuje kolem osy symetrie. Úhlová rychlost této rotace je jednoduše
(10.13)
íh =—- = —cose/ .
I3 I3
Úhlovou rychlost precese získáme rozkladem Q do směrů e3 a M . První projekce nevede k žádnému posunu osy Xg, takže rychlost precese je určena druhou projekcí. Z obrázku
M,
M siné*
siné/ = —- —-—-
Q„    L Q„     L Q
odkud
1 p
P I,
1
(10.14)
10.4 Pohybové rovnice tuhého tělesa
Již jsme zmiňovali, že tuhé těleso má šest stupňů volnosti. Obecný popis musí tedy být vyjádřen pomocí šesti nezávislých rovnic. Budou to rovnice určující časovou derivaci dvou vektorů - hybnosti a momentu hybnosti (v české literatuře často nazývané první a druhá impulzová věta). První rovnici dostaneme snadno sečtením pohybových rovnic jednotlivých
částic p = f , kde p je hybnost částice a f na ni působící síla. Zavedením celkové hybnosti P = ^ p = ^ m v = M V a celkové síly F = ^ f můžeme psát
64
-j—= F   . (10.15) dt
Ve výrazu pro sílu můžeme sečítat pouze vnější síly, vzájemné silové působení částic tělesa se vyruší. Je-li U potenciální energie tělesa ve vnějším poli, můžeme sílu získat derivováním potenciální energie podle souřadnic hmotného středu. Při translačním pohybu se mění
průvodiče f všech částic o stejnou hodnotu SR, takže
óu=y—.stJy— \sŔ=-(yí)óŕ=-fóŕ .
dt        ^    dt J v '
Kinetickou energii translačního pohybu můžeme psát obvyklým způsobem jako T = MV2/2, takže rovnice (10.15) jsou Lagrangeovy rovnice pro Lagrangeovu funkci souřadnic a rychlosti hmotného středu tuhého tělesa
*°í-?í = 0 . (10.16) dt dV dR
Při odvození výrazu pro časovou derivaci momentu hybnosti budeme předpokládat, že soustavu XYZ jsme zvolili tak (vzhledem ke Galileiho principu relativity to neomezí obecnou platnost výsledku), aby v ní byl v daném okamžiku hmotný střed tuhého tělesa v klidu, tj. aby
V = 0 a tedy v = t = r . Máme pak
— = —2jrxp = 2jrxp+2jrxp = 2jmvxv + 2jrx i
S označením momentu sil (opět stačí uvažovat vnější síly)
K = ^fxf (10.17)
dostáváme rovnice
dM
dt
K   . (10.18)
Oba momenty závisí na volbě počátku souřadnic, vůči kterému jsou počítány. Ve vztazích (10.17) a (10.18) je tímto počátkem hmotný střed tělesa. Také rovnice (10.18) můžeme chápat jako Lagrangeovy rovnice
ddL   ^ = 0  . (10.19)
dt dQ dq)
Kinetickou energii jsme již pomocí úhlové rychlosti vyjádřili. Pro změnu potenciální energie při otočení tělesa o úhel 8<p máme
65
Ô\J = -£ f • ôx = -£ f-(^xf) = ^-^f x f =-K-Jtp ,
takže skutečně
K--—- — d(p d(p
Při posunutí počátku souřadné soustavy o vektor ä* budeme mít po dosazení f = r/+a do (10.17)
K = ^r x f =^ř; x f+^a x f ,
takže
K = K'+axF . (10.20) Ze vztahu (10.20) vyplývá například, že pokud je F = 0 („dvojice sil"), nezávisí moment sily na vztažném bodě. Dále je z tohoto vztahu vidět, že pokud jsou vektory K a F navzájem kolmé, je možné vždy najít takový vektor a, že bude K7nulovým vektorem a K = axF . Působení všech sil je tedy možno nahradit působením jediné síly. Najdeme-li nějaký určitý vektor a, pak přirozeně můžeme působiště posouvat podél přímky dané směrem síly (
á + aF^xF=áxF . Typickým příkladem je tuhé těleso v homogenním poli.
10.5 Eulerovy úhly a Eulerovy rovnice
Při konkrétním výpočtu představuje problém to, že máme rotační část kinetické energie vyjádřenu pomocí úhlových rychlostí rotace kolem souřadných os soustavy spojené s tuhým tělesem (x-^Xg), zatímco pohybové rovnice (10.19) jsou zapsány v pevné soustavě XYZ a také potenciální energie bude spíše vyjadřována v této pevné soustavě. Jednou z možností je vyjádřit úhlové rychlosti Q pomocí časových derivací úhlů, charakterizujících natočení XjXjXg vůči XYZ, tj. zavedení Eulerových úhlů. Druhou možností je pak zapsat pohybové
rovnice v rotující souřadné soustavě - Eulerovy rovnice.
Nejprve zavedeme Eulerovy úhly. Podle obrázku ztotožníme počátky obou souřadných soustav. Rovina Xj ^ protíná rovinu XY v přímce ON, kterou budeme nazývat uzlovou
přímkou. Tato přímka je zřejmě kolmá jak k ose Z , tak k ose Xg. Kladnou orientaci zvolíme
ve směru vektorového součinu ezxé3. Pro popis natočení x^Xg vůči XYZ zvolíme tři úhly:
úhel 6* od Z k Xg, úhel cp mezi X a N a úhel y/ mezi N a x,, přitom kladná orientace cp a
y/ je dána pravotočivostí rotace kole Z a x,. Úhel 9 se mění od nuly do n, zbývající dva
úhly od nuly do 2%. Je zajímavé povšimnout si, že 9 a cp-Ttjl představují polární a
66
azimutální úhel Xg v soustavě XYZ, zatímco 9 a njl-if/ představují polární a azimutální úhel Z v soustavě x, ^ x3.
Nyní je možné vyjádřit průměty uhlových rychlostí 9 ,<p,y/ do os soustavy x^Xg.
Úhlová rychlost 9 míří podél uzlové přímky a její složky jsou tedy
9x=9cosy/  ,   92=-9úm//  ,   93=0 . Úhlová rychlost q> míří podél osy Z a má složky
q\ = (psin9simj/   ,   (p2 = (psm9cosy/   ,   (p3=(pcos9 . Konečně y/ min podél osy Xg, takže y/x = y/2 =0, y/3 =y/. Můžeme tak zapsat výsledné výrazy pro složky vektoru Q
Qj = (pú\\9smi// + 9 cosi// ,
Q2 = (psm9cosy/ - 9siny/ , (10.21) Q3 = (pcos9 + i// .
Dosadíme-li do výrazu pro rotační část kinetické energie symetrického setrvačníku
Trot=|(Q2+Q2) + |Q32 ,
dostáváme
Trot =Í(^2sin2# + ^2) + Í^cos# + y/)2   . (10.22)
Známou úlohou je rotační pohyb v homogenním gravitačním poli symetrického setrvačníku s pevným spodním bodem („vlček"), který učiníme společným počátkem obou souřadných soustav. Střed hmotnosti leží na ose setrvačníku ve vzdálenosti 1 od počátku, jak je znázorněno na obrázku. Lagrangeova funkce je
_ 1,+Ml
-[ý>2 sin2<9 + <92) + —(^cos<9 + \j/f - M g 1 cos<9  . (10.23)
67
Souřadnice y/ a q> jsou cyklické, máme tak hned dvě zachovávající se veličiny
<3L
p =-= I3 (V+<^cosé?) = konst. = M3 ,
dy/
p = — = (ij sin2é?+I3 cos26M<^ + I3 y/cos9 = konst. = M2 dep   v '
(10.24)
Označili jsme I^Ij+Ml2. Poněvadž Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, zachovává se také energie
í
2 v '2 Z rovnic (10.24) vypočteme y/ a cp
V T
E=^(^2sin2# + #2) + ^(^cos# + y/)2 + Mglcos# = konst.   . (10.25)
M7 -M3 cos<9
<P = — 1—H-        >  ¥ = —
l[ún20 I
Mq        . M7 -M, cos<9
—--cosé*——.—i-
l/sin2#
(10.26)
Tyto hodnoty pak dosadíme do (10.25). Dostáváme tak obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu pro úhel 9
Eeff =^Č2+Ueff(č)
kde
M
Eeff=E-^-Mgl   , Ueff(č):
(Mz -M3 cosé*)2 21/ sin20
(10.27)
-Mgl(l-cos0)   . (10.28)
Možné jsou takové hodnoty úhlu 9, kdy Eeff >Ueff (é?) . Protože však (s výjimkou zvláštního případu MZ=M3 funkce Ueff (é?) jde do nekonečna jak při »0, tak při 9^>7ta někde v intervalu [0,^"] nabývá minima, bude se pohyb odehrávat v omezeném intervalu úhlů
68
91<9<92. Charakter trajektorie ještě závisí na tom, zda (p mění znaménko, což je podle
(10.26) dáno výrazem Mz -M3 cos<9. Je-li tento výraz kladný v celém dovoleném intervalu
úhlů 9, vypadá trajektorie podobně obrázku a). Mění-li znaménko pro nějaké 9 z dovoleného intervalu, má trajektorie podobu obrázku b). Nabývá-li výraz nulové hodnoty v krajním bodě intervalu, např. 92, vypadá trajektorie jako na obrázku c).
Nyní přejdeme k druhému způsobu popisu - k Eulerovým rovnicím. Označíme časovou změnu vektoru S vzhledem k pevné soustavě XYZ jako ds/dt. Pokud se vektor v rotující souřadné soustavě x, ^ x3 nemění, je celá změna v soustavě XYZ způsobena pouze rotací, tj.
dS
dt
QxS
Obecně musíme přidat na pravou stranu možnou změnu vektoru S vzhledem k rotující soustavě
M = ^í + QxS   . (10.29) dt dt
Pohybové rovnice (10.15) a (10.18) přepíšeme takto na
d'P    -   -    -       d'M    -   - -
-+ QxP = F   , -+ QxM = K   . (10.30)
dt dt
Napíšeme-li rovnice ve složkách - průmětech do os soustavy Xj Xj Xg, je pro derivace vzhledem
k této soustavě samozřejmě
69
ď S _d(grS)_dS1
1 dt dt
dt
a podobně pro další dvě složky. Máme takž (10.30) dvě soustavy rovnic (píšeme P = M V)
M
M
M
dV
dt
L + Q2V3-Q3V2
dV.
dt
dV3 ~ď7
2 + n3v1-n1v3
j
\
J
+ n1v2-n2v1
(10.31)
I1^L + (l3-I2)^2^3=K1 ,
i2^ + (i1-i3)q3q1 = k2 , (io.32) i3^- + (i2-i1)ííiíí2 = k3 .
Jako příklad uvažme volný pohyb ( K = 0) symetrického (I2 = Ij) setrvačníku. Ze třetí rovnice (10.32) máme Q3=konst. První dvě rovnice dávají
Qj=-ť»Q2   ,  Cl2 = a>Q1   ,   a> = ——^-
li
Q3 = konst.
Tuto soustavu snadno vyřešíme
Qj = Acos(řyt + a)   ,   Q2 = Asin(řyt + a)
ll.Mechanika pružných těles
11.1 Tensor deformace
Při definici tuhého tělesa se předpokládalo, že vzdálenosti mezi částicemi tvořícími těleso se nemění. Připustíme teď malé změny těchto vzdáleností způsobené vnějšími silami (deformace tělesa). Uvažujme dvě částice tělesa v blízkých polohách A a B, tj. vzdálené o Ar0=ľB—ľA. Po deformaci zaujmou částice dvě nové, ale stále blízké polohy A7 a B7, tj.
Af = fg+uB —(fA+ů*A)=Ařg + Au . Posunutí jednotlivých bodů může být konečné, ale vzdálenosti jednotlivých bodu se mění jen málo, můžeme tedy v rozvoji Au ponechat jen první člen
70
A A
Axi = axoí +T— Ax0k
Pro kvadrát délkového elementu pak máme
a,2 i     .       „ <3u. .     .        du. du. .
AI =AxiAxi= Ax^ Ax^ + 2—*- Ax^ Ax^ + Ax^ A^
ox,^ ox,^ ax.
Tento výraz můžeme zapsat jako
AI2   = +   2U;k  AXg;   AXgk ,
kde uik =uki je symetrický tensor druhého řádu - tensor deformace
(11.1)
1
f
<3u;    <3u,,    <3u, <3u,
(11.2)
d\    5xj    5xj Sx,^
Jako u každého symetrického tensoru můžeme zvolit takovou souřadnou soustavu, že je tensor diagonální
	uv'	0	0
uik =	0	(2) uv'	0
	0	0	uv
V takové soustavě pak
Axf + Ax2 + Ax2 = (i + 2u(1))Ax02 + (l + 2u(2)) Ax2, + (l + 2u(3)) A 4 Relativní prodloužení (zkrácení) v jednotlivých hlavních směrech je
AXj    - AXg;
:(l-2u«)V2
■ W1
0)
(11.3)
Přibližný vztah platí tehdy, jsou-li deformace malé - to znamená prakticky ve všech případech. (Vidíme také, proč ve výrazech (11.1) a (11.2) vystupuje dvojka.) Pro malé deformace je možné zanedbat kvadratický člen v (11.2), takže tensor malé deformace je
71
ak=±í-^- + ^l   . (11.4)
Pro změnu objemu při deformaci máme
V = Ax, Ax, Ax, = (l+2u(1))V2 (l + 2u(2))V2 (l + 2u(3))V2 Ax^ Ax^ Ax^ «
(l + u«+u(2)+u(3))v0 .
Stopa (součet diagonálních elementů) je ale invariantem, takže platí
u*1) +u*2) +u*3) = un +u22 +u33 = Tr(uik) .
Máme tedy (v libovolné soustavě) vyjádřenu relativní změnu objemu pružného tělesa jako
V-V    AV      / \
Vv =TrM ' <1L5)
11.2 Tensor napětí
Při deformacích se objevují síly, které působí proti deformaci - snaží se vrátit těleso do původního stavu. Těmto silám říkáme vnitřní napětí. Jsou to molekulární síly, které působí jen v bezprostředním okolí. Z hlediska makroskopické teorie můžeme uvažovat jen o působení sousedních částic - na vybraný objemový element pružného tělesa působí okolní části tělesa pouze povrchem vybrané části. Síla působící na objem je součtem sil působících na elementy
daného objemu j*F dV . Síly vzájemného působení jednotlivých elementů uvnitř zvoleného
objemu se díky zákonu akce a reakce ruší, výsledné síla je tedy dána jen působení okolí objemu. Protože však toto působení se děje jen styčným povrchem, musíme být schopni převést uvedený objemový integrál na plošný. Bude to zobecnění známé Gaussovy věty, kdy objemový integrál skaláru, vyjádřeného jako divergence nějakého vektoru F =d<ji/dxi
převedeme na plošný integrál F ďV = j^ dajd^ ďV = <£ ť7; n; dS , kde n je jednotkový vektor vnější normály. Budeme tedy předpokládat
(11.6)
a je pak
lFidv=l^dv=i<r^dS ■ (1L7)
Ze vztahu (11.7) vidíme, že crik nk dS je i - tá složka síly, působící na plošný element ndS . Například na jednotkovou plošku kolmou k ose x působí k ní kolmá (ve směru osy x) síla <rxx
72
a tečné (ve směru osy y resp. z) síly <xyx resp. <xzx. Pokud jde o znaménko <xik nk dS , je to
síla, kterou působí okolí na uvažovaný objem (i když je n vnější normála). Takže síla, kterou působí vnitřní napětí na povrch celého pružného tělesa je
-c|)<7iknkdS .
Tensor <xik se nazývá tensor napětí. Je stejně jako tensor deformace symetrický, ale to je třeba
ještě dokázat (u tensoru deformace plynula symetrie přímo z definice). Důkaz vychází z požadavku, aby také moment hybnosti sil působících na vybraný objem byl vyjádřen jako integrál po povrchu. Máme
M:
: fv(FiXk-FkXi)dV:
u v
<9<x,
l^x.
d
0"n X; dv
r;iT;--^kiT—
dV
dV
^s(^íi *k-<ra ^)nidS - Jv(°"ik-^)dv
S v ' J v
Použili jsme jednak zobecněnou Gaussovu větu v prvním členu a pak dosazení d\/dxl =Skl a d^/dx^ =Sn ve druhém členu. Vynulování příspěvku objemového integrálu
vyžaduje symetrii tensoru napětí
^ik=^i • (11-8) Symetrii tensoru napětí můžeme ukázat názorně na příkladu krychličky hrany a. Podíváme-li se na ni v rovině Xj Xj, vidíme dvojice sil, které by mohly krychli roztáčet: na pravé stěně
(první index je složka síly, druhý složka normály) je síla a2l a2, na horní stěně <Jna2. Pro
kompensaci musí být <r21 = <r12
4
73
Tensor napětí má velmi jednoduchý tvar v případě, když je těleso ze všech stran rovnoměrně stlačováno (hydrostatická komprese). Na plošný element působí síla (tlak míří ve směru vnitřní normály) — pn;dS. Tuto sílu však máme pomocí tensoru napětí vyjádřenu jako
erik nk dS . Zapíšeme tedy uměle n; = ôik nk a porovnáním dostaneme
<rik=-pSik   ■ (H.9) Při rovnováze musí být součet síly vnitřních napětí (11.6) a hustoty vnějších objemových sil roven nule f;
der-.
—+i=0 .
(11.10)
V homogenním gravitačním poli je f; = p g;, kde hustota p je zadaná funkce, zanedbávají se tedy její změny způsobené vnitřními napětími. Vnější síly působící na element povrchu tělesa P dS musí být vykompensovány silou vnitřních napětí, kterými působí element povrchu tělesa na okolí. Platí tak na povrchu tělesa P; dS — erik nk dS = 0. Můžeme tedy tuto rovnost považovat za okrajovou podmínku pro rovnice rovnováhy
(11.11)
Pomocí vnějších povrchových sil můžeme spočítat střední hodnotu tensoru napětí, aniž musíme řešit rovnice rovnováhy. Máme
der-.
deru
<9x, <9x,
dV
d
<9x.
8\ <9X;
dV:
£(o-n n, x,-a* n, xi)dS - J^(erik +o"ki)dV = £(P; x, + Pk xi)dS - 2 J^erik dV . Pro střední hodnotu tensoru napětí pak
^=v/vť7ikdv=^£(PiXk+PkXi)dS • (1L12)
11.3 Hookův zákon
Pro odvození zobecněné formy Hookova zákona bude vhodné vyjít z termodynamického popisu pružného tělesa. Druhá věta termodynamická říká, že změna vnitřní energie tělesa je rovna tělesem přijatému teplu zmenšenému o tělesem vykonanou práci
dU=TdS-dR . Vztahujeme-li veličiny dU , dS a dR na jednotkový objem, budeme psát
dil = TdG-d9:l  . (11.13)
74
Uvažujme práci, kterou vykonají vnitřní napětí, změní-li se vektor posunutí uvnitř tělesa o malou  hodnotu   Uj^Uj+Ju;   ,   í5u;|s=0.  Práce konaná v elementu  objemu dVje
S9idV = F; ôu{ dV , celková práce tedy bude integrálem
f m
J v
dV
-Su.dV
d
a,,, Su., dV
(j) (7ik Ju; nk dS
cr:ir——LdV
v Ik d\ dôu
'-dV .
'v Ik d\
Podle předpokladu je první integrál po povrchu roven nule, druhý integrál upravíme s využitím symetrie tensoru deformace
2
f mdv
J v
'v   1 d\
dôu dôu, -+ k
dV
1_ 2
Dostali jsme tak
<9u <9u,
--T "
dV = -Jvť7ik JuikdV .
Dosazením (11.14) do (11.13) dostáváme
díl = Tde + ť7ilrduil
(11.14)
(11.15)
Při hydrostatickém stlačení je dostáváme po dosazení ze vztahu (11.9) do (11.15) výraz
dil = TdG-pdu;i .
Po vynásobení objemem V0 a dosazením za duH z (11.5) dostane předešlý tvar známou tvář
dU=TdS-pdV . (11.16) Pokračujeme však s veličinami vztaženými na jednotkový objem. Volná energie je £ = il-TG, takže
dS = -6dT + í7ikduik   , 6:
6>T
du.
(11.17)
Volná energie (při konstantní teplotě) nedeformovaného tělesa nemůže mít členy, které by vedly k přítomnosti vnitřních napětí, musí být tedy až druhého řádu v uik . Tvar kvadratického
členu je velmi závislý na symetrii tělesa. Obecný tvar (provedeme přiřazení ik^a, tj. 11^1,22^2,33^3,23^4,31^5,12^6)
^Qklm Uik Ulm = ~7^^ap Ua Ufi      ' \/3=^/3a
75
připouští 21 koeficientů (krystal s triklinickou mřížkou) - symetrická matice 6x6 má 21 nezávislých prvků. Krystal s kubickou mřížkou je charakterizován třemi koeficienty
S =    + ^Cxxxx (ux2x + Uyy + Uyy) + Cxxyy (uxx uyy +uxxuzz +uyy uzz) +
2Cxyxy(Uxy+u2z+Uyz) ■
Nás zajímá nejvíce případ izotropního pružného tělesa. Tam máme dva nezávislé koeficienty, což souvisí se dvěma možnostmi, jak napsat pomocí tensoru deformace skalární veličinu
druhého řádu v uik : druhá mocnina součtu diagonálních prvků (uu )2 a součet druhých mocnin
všech prvků uik uik . Pro volnou energii tedy
1
S = So +-^un + //Uik
(11.18)
A a ju jsou tzv. Laméovy koeficienty. Zapíšeme tensor deformace tak, že vydělíme bezestopou část
1s
+ ^ikun
(11.19)
a výraz pro volnou energii se změní na
S = S0 + M
1
3~lk
+ -Kun
2 11
(11.20)
Srovnání (11.18) a (11.20) dává K = A + 2/j/3 . Kvadratická forma (11.20) musí být kladná, aby měl volná energie při nulové deformaci minimum. Je-li tedy tenzor deformace s nulovou stopou, musí být ju> 0 , má-li diagonální tvar, musí být K > 0. Diferenciál volné energie je
d# = Kuu du,, +2/U
% --4un
Uvážíme, že
1 ,
% --4un
3
a zapíšeme dun = Sik duik , tím získáme pro diferenciál výraz v potřebném tvaru
5 Pro matici ortogonální transformace mámeOT 0 = 1 =>• O^ 0lk =Oi; 0lk =Sik . Pro stopu matice tedyUj'j =0^ Ujj 0H = Ujj Oj; 0H = Ujj í5^j = Uj j    a   přirozeně   i   druhá   mocnina  je   skalár. Dále
Uik Uik =QTj Ujl Qk °im U™ Onk = Oji Omi Qk 0nk Ujl Umn = ^ 3n Ujl Umn =Ujl Ujl ■
76
	í       L 1	
Kuik + 2//		duik
d£
který srovnáním s (11.17) umožní vyjádřit tensor napětí pomocí tensoru deformace
Kuik + 2/J
uik -T^ik ull
3 Ik
(11.21)
Spočteme-li stopy obou stran (11.21), máme an =3KuH a pak již můžeme vyjádřit tensor deformace pomocí tensoru napětí
1
2jLl
1 s       , 1
uik= — óikau+ —
(11.22)
Tensor deformace je pro malé deformace lineární funkcí tensoru napětí - to je slovní vyjádření Hookova zákona.
Pro hydrostatické  stlačení je   <Jik=— póik.  Je tedy relativní změna objemu
u;i = — p/K . Pro malé hodnoty u;i a p můžeme psát
1       ufí       1 AV       1 dV K~    p ~   V  p V6>pT
Vyjádření volné energie můžeme rychle najít následující úvahou: je to kvadratická funkce složek tensoru deformace, podle Eulerovy věty o homogenních funkcích musí být uik d$/dxiik = 2$ a protože tensor napětí je crik =d$ jduik , máme
S^So+^ikUik
(11.23)
11.4 Homogenní deformace
Aproximace, kdy předpokládáme, že tensor napětí je konstantní v celém objemu pružného tělesa umožní vyřešit analyticky řadu i prakticky užitečných úloh. Nejčastěji zmiňovanou úlohou je prosté natažení (stlačení) tyče (orientované pro určitost podle osy z) silou působící na obou koncích. Okrajové podmínky na těchto koncích dávají <rzi n; = p
neboli <rzz = p . Protože na bocích je <riknk=0 pro n kolmé na nz, jsou všechny ostatní
složky tensoru napětí nulové. Z Hookova zákona dostáváme
Uxx=Uyy
1
1
2ju 3K
1
zz g
1 1
+
3K ju
(11.24)
Objevují se tak známé veličiny - Youngův modul E, charakterizující relativní prodloužení
1
9K// 3K + //
(11.25)
77
a Poissonův poměr o, udávající poměr relativního zúžení k relativnímu prodloužení tyče
1 3K-2//
Uxx=Uyy
0"U,
2 3K + //
Vztahy (11.18), (11.21) a (11.22) vyjádřeny pomocí nových koeficientů jsou
3 = 3o +
2(l + o")
O- 2
l-2ť7
1K     l + O"
11.5 Rovnice rovnováhy pro izotropní tělesa
Dosadíme do rovnice (11.10) z (11.27)
Ecr du (l + er)(l-2er) d\ ' l + o"
Pro malé deformace
<3u. <3u.
— + ■
Takže rovnice rovnováhy získá tvar
E     d2 u.
-r + -
5 u,
■ + f = 0
2(l+o-) d\    2(l+o-)(l-2o-) dx, dx. Ve vektorovém značení bude mít rovnice tvar
1 \     2(l + o") -
Aú +-V(V-ú) =--*-'-f .
l-2o"  V     ' E
S využitím identity6
Aú = v(V-u)-Vx(Vxú)
můžeme rovnici (11.29) zapsat jako
^\    l-2o" - a     (l + o")(l-2o") -
VÍV-u)--—^Vx Vxu =-i-^—r-^f
1     >   2 1-a)     1      7 Eíl-o")
(11.26)
(11.27)
(11.28)
(11.29)
(11.30)
6 V jiném značení V • ú = divu , V x ú = rotu , v( V • u ) = grad divu , V x ( V x u ) = rot rotu a Au=(V-V)ú .
78
Předpokládejme, že vnější objemové síly tvořeny homogenním polem nebo nejsou vůbec přítomny. Potom aplikace operátoru divergence (skalární vynásobení V- zleva) na rovnici (11.29) dává (divergence a laplacián komutují)
A(V-u) = 0   , (11.31)
to znamená, že divu  udávající změnu objemu při deformaci je harmonickou funkcí.
S využitím (11.31) dává aplikace laplaciánu na (11.29) (gradient a laplacián komutují)
AAú = 0   , (11.32)
to znamená, že vektor deformace splňuje biharmonickou rovnici.
11.6 Tensor deformace ve sférických souřadnicích
Ve většině předchozích vztahů jsme pracovali s kartézskými souřadnicemi. Pro řadu
úloh je však s ohledem na symetrii vhodnější užití jiných souřadných soustav - většinou však
ortogonálních. Můžeme buď přepsat vztahy do kovariatního tvaru, to však vyžaduje zavedení
pojmů z tensorového počtu, nebo přepočítat vztahy z kartézské soustavy do konkrétní
soustavy s křivočarými souřadnicemi. Tento postup si ukážeme pro sférické souřadnice, které
s kartézskými souvisí vztahy
x = r sin<9cos<^   ,   y = r sin<9sin<^   ,   z = rcos<9 ,
Přitom 0<r<oo, 0<6<7r a 0<(p<2?r. Napíšeme diferenciál průvodiče v kartézských i
sférických souřadnicích
df = dxex +dyey +dzez = dr |^sin<9(cos<^éx + sin<^ey) + cos<9ez +
ľá0 cos#(cos<^éx + sin<^ey)-sin<9éz J + r sin<9d<^-sin<^ex +cos^ey^| .
Získali jsme tak vyjádření jednotkových vektorů ve sférické souřadné soustavě pomocí vektorů kartézské soustavy
er = siné?(cos<^ex + sin<^ey) + cosé?éz ,
e& = cosé?(cos<^éx + sin<^ey)-siné?é , (11.33) Íp = -sin^ex+cos^ey
a zápis pro df
df = dr ě*r + r d(9<S0 + r sin#d#?e    . (11.34) Snadno se přesvědčíme, že vektory |er ,e0 ,8^,} tvoří pravotočivou ortonormální bázi. Výraz
pro vzdálenost dvou infinitesimálně blízkých bodů v kartézské a sférické soustavě je dl2=dx2+dy2+dz2   ,   dl2 = dr2 + r2 d#2 + r2 sin2#d#>2 .
79
(11.35)
Pro diferenciál obecného vektoru (v našem případě posunutí) ve sférické soustavě u = ur er +u0q0+ uve potřebujeme znát, jak se mění vektory báze. Z (11.33) dostáváme
der = d0e0 + siné?d#?ě    ,   de^ = -dé?er + cosé'd^é^ ,
de^ =-siné'd^éj. - cosé'd^e^ .
Je tedy
df + du = (dr + dur -siné'u^d^éj. + (r dé'+du^+ur dé'-cosé'u^d^e^ +
(r siné'd^+du^ + siné?ur d^ + cosé^u^d^e^ .
Zavedeme značení d\ =dr , dl2 = rd<9, dl3 =r sin<9d<^ . Potom bude
(df+dú^dljdl;+2uikdl;dlk ,
(11.36)
kde un=urr,u12=uro = ué
vektoru posunutí
(11.37)
Pro výpočet musíme nejprve vyjádřit diferenciály složek
,     du        du        du        du        1 du 1 du
dur =—T-dr + —r-d6 + —T-d<p = —T-d\ +--T-dl2 +--T-dl3
dv        d9        dg)        dv        r d9        r sin<9 d<p
a podobně pro další dvě složky. Budeme-li pak zanedbávat členy (du)2, dostáváme pro složky tensoru deformace ve sférických souřadnicích
duT dv
•*6>6>
1 du0 ur
r dO
1    du u, u
u   =--^+cotg(9_^+^
r sin<9 d<p r r
U- = 2
_ 1_
V-2
dug ug | 1 duľ dv    r    r d9
1
1 di±+d%_Uy
r sin<9 dcp    dr r
(11.38)
1 du   ,    1    dug u
--—H-----cotg (9 —
r d9   r sin<9 <3#? r
Jako příklad uveďme výpočet napětí v kulové skořepině (s vnitřním poloměrem P^ a vnějším
poloměrem P^), na kterou působí zevnitř tlak Pj a zvnějšku tlak p2. Symetrie úlohy vede
k tomu, že vektor posunutí má pouze radiální složku a ta závisí jen na radiální souřadnici - je
proto rotace vektoru posunutí rovna nule Vxú = 0 a jak plyne z rovnice (11.30), divergence
musí být konstantní V • ú = konst. Tedy
1 d(r2ur) b
——--        = konst. = 3 a   =>   u =ar+— .
r2    dr 1 r2
Z rovnic (11.38) máme pro diagonální (jediné nenulové) složky tensoru deformace
2b
u„ = a
r
80
Z Hookova zákona (11.27) pak
E
Ea     2Eb 1
n          r, -.      \                           n Ľ,a (7rr =7--7-7 (l-í7)Urr +aUnn+<JUmm \ =---
"    (l + cr)(l-2cr)LV      J "       99       wJ   \-2cj    1 +
<j r~
ľ, r,.     s. -i     Ea      Eb 1
=7-77-7   (l-0")11^ + ť7Urr + (TUmm     =--1---ä
^   (1 + ít)(1-2í7)LV      ; ^       "       wJ   l-2<7   l + o-r3 E r, -i     Ea Eb
Cmm=7-77-7  (1-0" )Umm+ť7Ur r+ť7Uflfl   =--1---
W     (l + 0")(l-2í7)LV        ^  W " ^J     l-2ť7     l + <7
Konstanty a a b spočítáme z okrajových podmínek
r=R,
Pl
takže
Ea  _p1R13-p2R23 2Eb_Pv13R23(p1-p2)
3    r> i
12.Mechanika tekutin
12.1 Rovnice kontinuity
Považujeme kapalinu (pro stručnost bude mluvit o kapalině, velká většina výsledků se týká i plynů) za spojité prostředí. „Malý objemový element" je dostatečně velký, aby obsahoval značný počet molekul - v tomto smyslu je třeba chápat pojmy jako „částice kapaliny". Pohyb částice kapaliny je pohyb malého objemového elementu, chápaný jako pohyb bodové částice kapaliny. Matematický popis pohybového stavu kapaliny je dán funkcemi, které určují rozložení rychlosti v = v(x,y,z,t) kapaliny a dvě termodynamické
veličinu - mohou jimi být například hustota /? = /?(x, y, z,t) a tlak p= p(x, y, z,t). Další termodynamické veličiny lze určit pomocí stavové rovnice. Veličiny v,/?, p nepopisují pohybový stav nějaké částice kapaliny, ale stav kapaliny v určitém bodě prostoru v určitém čase.
Vezměme nějaký objem V0 prostoru. Množství kapaliny v tomto objemu (tj. hmotnost objemu) je ľ pďV , kde p je hustota kapaliny. Objem V0 je ohraničen uzavřenou plochou
(povrchem) S0. Elementem povrchu d f (absolutní hodnota vektoru d f je plocha elementu povrchu a směr je tohoto vektoru je směrem vnější normály), proteče za jednotku času
81
množství kapaliny rovné pvdf (tedy tato veličina je kladná, když kapaliny v objemu ubývá). Celkové množství kapaliny vytékající za jednotku času z objemu V0 je á> p\df .
Porovnání tohoto výrazu s úbytkem celkového množství v objemu dává
-— f/?dV = (j)/?vdf   . (12.1) dt
% s0
Povrchový integrál převedeme na objemový a časovou derivaci můžeme vnést do integrálu (integrační oblast je pevně daná), musíme však vyznačit znaménkem parciální derivace, že teď derivujeme pouze podle času, nikoliv podle prostorových proměnných
fdp } — + div/?v dV = 0 . [dt        " )
Tato rovnost musí platit pro libovolně zvolený objem V0, musí být roven nule integrand. Dostáváme tak rovnici kontinuity
^ + div/?v = 0  . (12.2) dt
Vektor
í = pv (12.3) se nazývá vektorem hustoty toku kapaliny. Rovnici (12.2) lze rozepsat na
op
——+ /?divv +v-grad/? = 0  . (12.4) dt
12.2 Eulerova rovnice
Na vybraný objem kapaliny působí síla -d) pdf . Přejdeme k vyjádření této síly
J s0
pomocí objemového integrálu
-<j)pdf = -1 grad p dV .
So %
Znamená to, že na každý objemový element kapaliny působí okolní kapalina silou -gradpdV, na jednotkový objem tedy působí síla -grad p. Hmotnost jednotkového objemu je hustota, zapíšeme tedy druhý Newtonův zákon pro tento jednotkový objem jako
ď v
p— =-grad p   . (12.5) dt
Čárkou u znaménka derivace zdůrazňujeme, že se nejedná o časovou změnu rychlosti v pevném bodě prostoru, ale změnu rychlosti pohybujícího se daného jednotkového objemu
82
kapaliny (zde by se dalo už užít zkratky - pohybující se částice kapaliny). Přírůstek rychlosti takové částice dv se skládá ze dvou částí: změny rychlosti v daném bodě za čas dt a z rozdílu rychlostí (v jednom a tomtéž časovém okamžiku) v sousedních bodech vzdálených o df. První změna je jednoduše
druhá pak
Sečtením obou částí
d v = —dt
1 dt
j/- dv, dv , dv , ,w d2v = —dxH--dy H--dz = (dr -gradjv
dx       dy dz
ď v = — dt + fdf -grád) v dt      v ;
a dosazením do (12.5) dostáváme Eulerovu rovnici
(3v 1
— + (v-grad)v =--gradp   .. (12.6)
Nachází-li se kapalina v poli objemových sil, objeví se tato síla na pravé straně Newtonova zákona a také v Eulerově rovnici. Jde-li o homogenní gravitační pole, dostáváme rozšířením rovnice (12.6)
(3v 1
— + (v-grad)v =--gradp + g   . (12.7)
Při odvození Eulerovy rovnice se neuvažuje ani o vnitřním tření (viskozite), ani o tepelné výměně mezi částicemi kapaliny - pojednáváme tak zatím jen o ideální kapalině.
Uvažované proudění bez tepelné výměny zachovává coby adiabatický děj entropii pohybujícího se elementu (s je entropie vztažená k jednotce hmotnosti kapaliny)
ď s
dt
0   . (12.8)
Obdobným postupem jako u rychlosti dojdeme k
ds
+ v-grads = 0 (12.9) dt
a spojením s rovnicí kontinuity (12.2) pak
a(Ps)
+ div(/?sv) = 0  . (12.10)
83
Pokud je podle častého předpokladu v nějakém počátečním okamžiku entropie v celém objemu kapaliny konstantní, zůstává podle (12.8) konstantní i při dalším pohybu. Takový pohyb se nazývá isoentropický. Eulerovu rovnici můžeme potom upravit. V termodynamice máme pro entalpii (W =U + p V ) vztah (upravená druhá věta)
dw = Tds + 0dp ,
kde w je entalpie jednotkové hmotnosti a 0 = 1/p specifický objem. Pro s = konst. máme
dw = —dp   =>  — gradp = gradw P P
a Eulerovu rovnici (12.6) zapíšeme jako
— +(v-grad) v =-gradw  . (12.11)
Využití identity
gradv2 = v x rotv + (v • grad) v
umožní zapsat (12.11) ve tvaru
dv   ^ I v2^
WH--
2
--v x rotv = - grad
dt
(12.12)
Aplikací operátoru rotace na předchozí vztah dostáváme tvar Eulerovy rovnice, který obsahuje pouze rychlost
d
—rotv = rotí v x rotv) . (12.13) dt y J
Jako vždy u řešení diferenciálních rovnic v konkrétních případech potřebujeme znát okrajové podmínky. Například na nepropustných pevných stěnách musí být normálová složka rychlosti kapaliny rovna nule vn = 0.
Poněvadž pohyb kapaliny je popsán pěti veličinami (tři složky vektoru rychlosti a například hustota a tlak), potřebujeme pět rovnic. Ty pro ideální kapalinu skutečně máme: tři z Eulerovy rovnice, rovnici kontinuity a rovnici, vyjadřující skutečnost, že pohyb je adiabatický děj. 12.3 Bernoulliho rovnice
Při ustáleném proudění je dv/dt = 0, takže rovnici (12.12) můžeme psát jako
7 Pro libovolnou funkci f platí rotgrad f =0.
84
grad
• + w
v x rotv
(12.14)
Zavedeme pojem proudové linie (krátce proudnice) jako křivky, jejíž tečnou v každém bodě je rychlost kapaliny. Pokud rychlost kapaliny známe, je proudnice definována soustavou diferenciálních rovnic
dx   dy dz
(12.15)
Jednotkový vektor tečný k proudnici označíme í . Podle definice je rovnoběžný s vektorem rychlosti, takže vynásobíme-li skalárně tímto vektorem obě strany rovnice (12.14),
dostaneme
d_
dl
--h W
v2 j
0
Podél proudnice tedy platí
+ w = konst.
(12.16)
Konstanta je obecně pro různé proudnice různá. Pokud však je proudění nevírové, tj. platí rotv = 0, je pravá strana (12.14) rovna nule a máme jedinou konstantu pro všechny proudnice.9
Za přítomnosti homogenního gravitačního pole g můžeme s uvážením g = grad(g-r) zobecnit (12.16) na Bernoulliho rovnici
--h w - g • f = konst.
2
(12.17)
Jednoduchou aplikací rovnice je určit výtokovou rychlost a nejvyšší možné převýšení u sifonu z obrázku. Hustota kapaliny je p a osu souřadnic z orientujeme vzhůru, takže -g-r = g z. Předpokládáme nevírové proudění, takže můžeme psát
Derivace ve směru je průmětem gradientu do tohoto směru: d f jdi = í • grad f . Připomeňme, že pro nestlačitelnou kapalinu můžeme psát entalpii jako W= p//?.
85
c
2 p
— + — + g Zc
2 p
2(Pp-Pc)
p
+ 2g(zD-zc) + v]
1/2
Dosadíme-li teď pD = pc = patm a zD-zc=d+h2 , dostáváme
vc =V2g(d+h2) + vD • Je-li plocha dna válcové nádoby SD a plocha trubice sifonu Sc, máme z rovnice kontinuity SD vD = Sc vc a za obvyklých podmínek, kdy SD » Sc můžeme ve výrazu pro výtokovou rychlost zanedbat rychlost poklesu hladiny, takže je
vc=72g(d+h2) .
Dále porovnejme hodnoty v bodech B a C, tedy
-f + —+ gzB=4- + — + gzc 2     p 2 p
Pc+P
2 2 VC"VB
Pg(zB-Zc)
g^vu ťi^.^~ ,B - ,c ^ ťc - patm, je maximální možná hodnota hj
_ Patm
Musí být pB > 0 a protože vB = vc a p
(hi)
Pg
(d+h,)
12.4 Malé odbočení k termodynamice
U řady rovnic využíváme toho, že popisují adiabatické (při konstantní entropii) nebo isotermické (při konstantní teplotě) děje. Připomeneme proto, jak spolu prostřednictvím Legendrových transformací souvisí různé termodynamické potenciály - jmenovitě vnitřní energie U, volná (Helmholtzova) energie F, entalpie W a volná (Gibbsova) energie O. Proměnnými jsou teplota T, entropie S, tlak p a objem V.
86
Obdobně můžeme postupovat i s potenciály, vztaženými na jednotku hmotnosti kapaliny. Pouze je třeba vzít v úvahu vztah mezi specifickým objemem t> a hustotou p
1 a dP
o=—  =>  do = —z- ,
P P
takže dostáváme následující diagram:
12.5 Tok energie a hybnosti
Energie a hybnost jednotkového objemu kapaliny jsou
2
e = /?Y+/?u   ,  p = p\   , (12.18)
kde u je vnitřní energie jednotkové hmotnosti. Budeme počítat časové změny dt/dt a dp/dt tak, abychom je mohli zapsat jako divergenci nějakého vektoru toku energie resp.
87
divergenci nějakého (symetrického) tensoru toku hybnosti. Při úpravách využijeme řadu dříve odvozených vztahů. S využitím rovnice kontinuity (12.2) a Eulerovy rovnice (12.6) máme
p\      v vp     _ u\ v2 —— =--—+ov--= —
dt
v 2 j
v2 d p     _ <3v
--— + p\--
2 dt dt
- div(p v) - v • grad p - p v • (v • grad) v
Poslední člen přepíšeme v-(v-grad) v = (l/2) v-grad v2 a podle termodynamického vztahu pro entalpii dw=Tds + dp//7 napíšeme místo gradientu tlaku grad p = p grad w-p T grad s , takže
dfpy2^
dt
v 2 j
-—div( p v ) - p v • grad
f
WH--
2
+ /?Tv-grads .
Dále
d(pu)   d(pw-p)      dp     dw  dp ,. ,  ^     ^ ds
—-- = —--- = w--vp---— = -wdiv (pw ) + pT— .
dt dt dt      dt    dt v    ; dt
Při poslední úpravě jsme z výrazu dw=Tds+ p/pdosadilipdw/dt = pTds/dt + dp/dt. S využitím rovnice (12.9) je pak
d(pu)
dt
wdiv(/? v) - pT v • grads
Složením výrazů pro oba členy v hustotě energie dostáváme
d_f py1 dt
+ pu
,2\
w+-
div(pv )-pv-grad
,2^
w+-
nebo konečně
dt -— + div i = 0 dt
P
^v2 ' —+u 2
--hw
2
(12.19)
Integrujeme-li rovnice přes určitý objem kapaliny a užijeme Gaussovu větu, dostáváme
--JedV = (|j-ndS   . (12.20)
Ôty g
Vektor j je tedy vektorem hustoty toku energie. Na první pohled překvapivá entalpie místo vnitřní energie má snadné vysvětlení. Rozepsání výrazu pw=pu + p dává
j> j-ndS = <j)ev-ňdS + <j) pv-ndS ,
s s s
kde první člen representuje energii (kinetickou a vnitřní) bezprostředně nesenou kapalinou procházející hranicí z objemu. Druhý člen vyjadřuje práci kapaliny uvnitř objemu při překonávání tlakových sil. Oba členy se samozřejmě na úbytku energie v objemu projevují. Pro změnu hybnosti (budeme počítat ve složkách)
88
dostaneme po dosazení z rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice
ôp _   d(p\)       ôv{ _      ôv{    1 ôp
dpi _        dv;   ôp     ô(p\) _   ôp d(/?v;vk)
ôt ô\   5xj    1   ô\        5Xj ô\
Zapíšeme-li v prvním členu ôp/ôxl=ôik ôp/ô\ , můžeme zapsat výsledek jako
(12.21)
Tensor ITik se nazývá tensorem hustoty toku hybnosti. V integrálním tvaru je
tá složka hybnosti nesená kapalinou procházející za jednotku času jednotkovou ploškou kolmou k ose \. Hustota toku ploškou kolmou k rychlosti je p + py1, hustota toku ve směru
kolmém k rychlosti je pouze tlak, tedy p. 12.6 Navierova - Stokesova rovnice
V předchozím odstavci jsme spojením rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice zapsali rovnici (12.21) pro tok hybnosti
Pro tensor hustoty toku hybnosti jsme odvodili výraz ITik = -<xik + p\ vk , kde tensor napětí
byl dán tlakem <jik= - pSik a obsahoval tu část toku hybnosti, která nesouvisela s přímým
přenosem hybnosti společně s pohybující se kapalinou. Tensor napětí ale může mít obecnější tvar
kde pomocí aik budeme popisovat nevratnou část přenosu hybnosti - tření mezi jednotlivými
pohybujícími se vrstvami kapaliny. Tvar tohoto tensoru můžeme určit z následujících úvah: v kapalině pohybující se jako celek je tensor nulový - musí tedy záviset na jen na derivacích
dt d\
(12.23)
89
složek rychlosti podle souřadnic a to lineárně, neboť tyto derivace nejsou příliš velké. Při rotaci jsou sice derivace nenulové, ale kapalina se pohybuje jako celek - musí tedy tensor obsahovat jen kombinace, které pro rotaci vymizí. Takže obecný tvar viskózního tensoru napětí je
f
■■1
dy <3v.
2 , dy »ik
--<5L 1
(12.24)
d\   dxi   3 1 dxl
kde ?] a C, jsou na rychlosti nezávislé koeficienty viskozity (z výpočtu změn kinetické energie vyplývá, že aby tato vlivem tření pouze ubývala, musí být oba koeficienty kladné). Koeficienty ovšem závisí například na teplotě, obvykle však předpokládáme, že jsou v celém objemu kapaliny konstantní. Dostáváme potom zobecnění Eulerovy rovnice, tj. Navierovu -Stokesovu rovnici
<3v
P
dt
(v-grád)1
-gradp + 77 Av + Í ^+-^-Jgrad(divv) .
(12.25)
Pro nestlačitelnou tekutinu se rovnice výrazně zjednoduší (je nejenom p = konst., ale z rovnice kontinuity také divv = 0) na
— + (v-grad)v = —-gradp + i/Av , dt  y       J p
(12.26)
kde jsme označili kinematickou viskozitu v = rj/p. Pokud se kapalina pohybuje mezi statickými pevnými povrchy, je rychlost viskózni kapaliny na povrchu rovna nule. Pokud se povrch pohybuje nějakou rychlostí, má tuto rychlost i kapalina. Ukažme na řešení triviálním příkladu: stacionární proudění mezi dvěma rovinnými deskami y = 0 a y = h , horní deska se
pohybuje ve směru x rychlostí u , v tomto směru působí i gradient tlaku dp/dx. Rychlost má
U
jedinou složku vx =v(y). Z (12.26) dostáváme
<3p 3v n <3p — + 77—7 = 0  , —í-
dx      dy dy
0
90
Z druhé rovnice plyne, že tlak závisí pouze na souřadnici x. V první rovnici odečítáme funkci pouze x od funkce pouze y - to lze splnit jen tehdy, jsou-li oba výrazy stejné konstanty
dP_„
dx
a je tak
1 dP  2 ,
v =---y +by + c
2rj dx Třecí síla na stěnách je
dy
y=0
h dp rj\\ 2d7 ~h~
77
d2v
dy2
v(0) = 0   ,   v(h) = u
1 dp   ,    , s. y
v =---y( y-h) + u —
2r/ dx   v      ; h
ť7xy(h) = -?7
<3v_
dy
y=h
h dp rj\\ 2~ďx~ ~h~
13. Vlny
13.1 Gravitační vlny
Volný povrch kapaliny (tj. neomezovaný stěnou nebo stykem s jinou kapalinou) v homogenním gravitačním poli je v rovnováze rovinný. Pokud v nějakém místě vyvedeme povrch z rovnováhy, vznikne v kapalině pohyb, který se bude po povrchu šířit jako vlna. Protože je tento pohyb ovlivňován přítomností gravitačního pole, mluvíme o gravitačních vlnách. V zásadě jde o povrchové vlny, spodní vrstvy jsou ovlivňovány tím méně, čím jsou hlouběji pod povrchem. Budeme předpokládat, že rychlost pohybu částic kapaliny způsobená vlněním je natolik malá, že je možné v Eulerově rovnici zanedbat člen (vgradv)v ve
srovnání s členem dv/dt. Co tento předpoklad znamená? Během periody kmitů r urazí částice dráhu řádu amplitudy vlny a, je tedy jejich rychlost v~a/r. Samotná rychlost znatelně změní ve vzdálenosti řádu vlnové délky a po uběhnutí času řádu periody, je tedy dv/dx-v/A~a/(Aľ) a d\/dt~\/ľ~a/ľ2 a
lW    <9v a a a
v-gradv«c—  =>•--<?c—  =>•   a«.A .
v        ;     dt r Ar ŕ
Předpokládáme tedy, že amplituda vln je mnohem menší než jejich vlnová dálka, což je velmi
přijatelný předpoklad. Náš předpoklad umožňuje považovat proudění za potenciální
y = gmáy/  . (13.1)
Dále budeme považovat kapalinu za nestlačitelnou, takže Eulerova rovnice vede k
dy/
-pgz-p-
dt
(13.2)
91
Jako obvykle jsme zvolili osu z kolmo vzhůru a rovinu x - y za rovnovážný povrch kapaliny. Vertikální výchylku (tj. odečítanou podél osy z) povrchu kapaliny budeme značit C, ,
v rovnováze je tedy <^ = 0. Působí-li na povrch konstantní tlak p=p0, můžeme potenciál
posunout o na souřadnicích nezávislou hodnotu y/^-y/- p0t/p a(13.2) přejde na
dy/
dt
0
(13.3)
Předpoklad malé výchylky nám umožňuje položit vertikální složku rychlosti rovnu časové změně souřadnice C, , tj. zanedbat ve výrazu
dz
dt
<(x,y,t)
dt    dx      dy y
poslední dva členy na pravé straně. Máme tak
dy/
dz
dC     1 d2y/
dt
g dt2
(13.4)
kde poslední rovnost vznikla parciální derivací podle času vztahu (13.3). Poslední aproximací, kterou nám umožní malé výchylky je, že derivace nebudeme počítat na deformovaném povrchu z = £, ale na rovnovážném povrchu z = 0 (provedeme Taylorův rozvoj a ponecháme
jen první, tj. lineární členy). Rovnice kontinuity divv = 0 a rovnost obou výrazů pro vz v (13.4) dávají tedy konečnou dvojici rovnic pro potenciál
Ay/ = 0  , (13.5)
^ dy/    1 d2i//^ dz    g dť
0
(13.6)
z=0
v ^       6   vi j
Kapalina bude naplňovat bazén nekonečně rozlehlý v rovině x - y, dno bazénu bude v rovině z = —h . Budeme hledat řešení homogenní v souřadnici y („rovinná vlna")
^(x,z) = cos(kx-ŕyt) f (z) ,
kde a> je kruhová frekvence, k = 2^r/A vlnový vektor a A je vlnová délka. Po substituci do (13.5) dostaneme rovnici
d2f
dz2
ťf=0
a vybereme řešení, které na dně bazénu splňuje podmínku nulovosti normálové složky rychlosti. Z obecného řešení
92
y/ = [Aexp(kz) + Bexp(-kz)]cos(kx-ť»t)
vybere podmínka
d y/ dz
0
z=-h
konkrétní řešení úlohy
y/ = Acosh[k(z + h)]cos(kx-ŕyt)   . (13.7)
Dosazením tohoto výrazu do rovnice (13.6) dostáváme vztah mezi frekvencí a vlnovým vektorem (dispersní relaci)
o> = [gktanh(hk)]V2   . (13.8) Z dispersní relace máme pro fázovou a grupovou rychlost
o _ g
xV2
-tanh(hk)
áco _ 1 dk ~ 2
-tanh(hk)
1/2
1 +
2hk
sinh(2hk)
(13.9)
V limitních případech, kdy hloubka je mnohem větší (hk»l) nebo mnohem menší (hk«cl)
než vlnová délka dostáváme
10
h » A : cf = 2cg h «: A  :  cf = cg =
2n
1/2
V2
V pevném bodě (x, z) se vektor rychlosti rovnoměrně otáčí s úhlovou rychlostí a>
v. =—— = -k Acosh[k(z + h)]sin(kx-ryt) ,
dy/ dx dy/
(13.10)
v, =-^—= k Asinh[k(z + h)]cos(kx-řyt) .
13.2 Zvukové vlny
Zvukové vlny jsou jednoduchým příkladem pohybu s malými amplitudami ve stlačitelné kapalině - plynu. Malé amplitudy znamenají zároveň malé rychlosti pohybu částice plynu (znovu připomínáme, že „částice" zde znamená množství plynu vyplňujícího nějaký
velmi malý objem), takže v Eulerově rovnici můžeme zanedbat člen (v-V)v. Také změny hustoty a tlaku budou malé, takže budeme psát proměnné p a p jako
10 Platí Umtanhx = 1, lim——— = 0 a limtan^X = l, lim-
3 sinh x
*°sinhx
93
P = Po + P      >    P = P0+P     , (13.11)
Kde p0 ,p0 jsou konstantní rovnovážné hodnoty tlaku a hustoty kapaliny a p' ,p' jejich malé změny ( p' «: p0 , p' «;/?0). Budeme tedy považovat v, p' ,p' za veličiny malé prvního řádu členy vyššího řádu v rovnici kontinuity a Eulerově rovnici zanedbáme. Z úplných rovnic
^ + V.(pv)=0   ,  ^ + (v-V)v = -^P (13.12) dt      y    J dt   1    ' p
tak dostáváme
dp'
-^- + /?0V-v=0 (13.13)
dt
dv Vp;
— + -^ = 0  . (13.14)
dt p0
Jak uvidíme po výpočtu, podmínkou pro to, aby linearizované rovnice byly dobrou aproximací je, aby rychlost pohybu částic kapaliny v byla malá ve srovnání s rychlostí zvukové vlny c.
Zvuková vlna, tak jako každý děj v ideální kapalině, je děj adiabatický. Můžeme proto změnu tlaku spojit se změnou hustoty
p'   . (13.15)
V rovnici kontinuity (13.13) pak p' vyjádříme pomocí p' a takto vzniklý vztah
M + v.v = 0 (13.16)
dt        dp0 s
společně s (13.14) tvoří čtyři rovnice pro čtyři neznámé v,p;. Protože už nemůže dojít k záměně, vynecháme v dalším psaní indexů 0 u rovnovážných hodnot tlaku a hustoty. Napíšeme-li teď rychlost jako gradient potenciálové funkce
y=Vy/  , (13.17)
dostáváme z (13.14)
p'=-^  ■ (13.18)
dt
Dosazení (13.18) do (13.16) pak vede k vlnové rovnici
|^-c2Ay/ = 0  , (13.19) dt
94
kde rychlost zvukové vlny je dána vztahem
op dp
y/2
(13.20)
Z termodynamiky víme, že platí vztah mezi adiabatickým a isotermickým dějem
11
dp op
Cy dp
dp dp
(13.21)
takže (13.20) můžeme zapsat jako (Poissonova konstanta k udává poměr měrných tepelných kapacit při stálém tlaku a stálém objemu)
k
Ze stavové rovnice ideálního plynu
dp dp
p _ RT
y/2
(13.22)
p /LI
(R je universální plynová konstanta a ju molekulární hmotnost) pak dostáváme pro rychlost zvuku výraz
RT
y/2
k-
Vlnovou rovnici (13.19) pro rovinnou vlnu
d2y/ 1 d2y/ ~ďt2~~^2~ďtr
převedeme substitucí <^= x-ct, 77 = x+ct na
d2y/
(13.23)
(13.24)
ďq dč,
0
Provedeme-li nejprve integraci vzhledem ke č,, dostáváme dy//drj = G^Tj), provedeme-li nejprve integraci vzhledem k 77, dostáváme dy/jd^ = F {^~), F a G jsou libovolné funkce.
Vztah získáme postupnými úpravami
d(p,S)
d(p,S)
dp dp
d(p,T)
d{p,S)
5(p,T)
TdS dT	v dP	= ^dp_
TdS	dp	T      °V dPT
dT	v	
95
Druhou integrací pak dostáváme řešení, jejichž součet (rovnice je lineární) je obecným řešením vlnové rovnice s rovinnou symetrií
i//(x,t) = f (x-ct) + g(x+ct) ,
12
f a g jsou libovolné funkce se spojitou první derivací.
Uvažujme řešení i// = f (x-ct) . Podle (13.17) a (13.18) dostáváme
(13.25)
dl//   d f
4 = x-ct
dw        d f
-p-= pc —
ôt d£
^ = x-ct
Podělením obou výrazů dostáváme v= p'/(/?c) . Dosazením za p; z (13.15) dostáváme pak
v = c
P_ P
(13.26)
Je tedy skutečně rychlost částice tekutiny mnohem menší než rychlost zvuku. 13.3 Vlny v pružném prostředí
Pohybovou rovnici získáme předpokladem, že zrychlení bodu pružného tělesa násobené hustotou položíme rovno síle dané vnitřními napětími
daílr
(13.27)
Není to samozřejmé - takovou rovností totiž předpokládáme, že rychlost bodu v pružného
tělesa je rovna u, tedy parciální derivaci posunutí tohoto bodu podle času. Zejména u krystalických látek se složitější strukturou elementární buňky nebo s větším počtem defektů je to rovnost jen přibližná. Dosadíme do pravé strany (13.27) z rovnice rovnováhy (11.29) a dostáváme
E E
pu
-Au +
-gradídivú
(13.28)
2(1 +er)        2(l + er)(l-2er) Budeme-li nejprve uvažovat o pohybu, kde posunutí závisí pouze na jediné souřadnici (zvolíme x) a čase. Potom z rovnice (13.28) dostáváme
d2ux dx2
d2u.
1 d2ux c2 dt2
1 d2u
0
E 1-0-
dx1
c dť
/?(l+o-)(l-2o-)
1/2
V2
2p(l+cr)
(13.29)
12 Podobně můžeme postupovat u řešení vlnové rovnice se sféricky symetrickým řešením, kdy dostáváme i//(x,t)= f (r-ct)/r + g(r +ct)/r .
96
Zavedení rychlosti podélného q a příčného ct vlnění dovoluje přepsat obecnou rovnici (13.28) na
d2u
¥ = C'AU + lt| -
ct2 Aú + (c2 — c2) gradfdivú
(13.30)
Rozložíme výchylku do dvou částí, odpovídajících příčnému a podélnému vlnění
ú^új+Uj   ,   divut=0   ,   rotUj=0 (13.31) Dosazením do (13.30) a působením operátoru div dostáváme
Vú,
div
dt
2 ^Au,
0
a podobně působením operátoru rot
rot
d2u
dt
r-ct2M
o .
13
Je-li divergence i rotace vektoru rovna nule, musí být tento vektor nulovým vektorem , proto můžeme předchozí vztahy napsat jako vlnové rovnice
d2u,
dt
c, Aú, = 0
2 1 ""l
(13.32)
d2u
t „2
6>t
c2Aú=0 .
2        ~t "~t
(13.33)
13 Každý vektor lze rozložit na součet nevírového a nezřídlového vektoru.
97