Cvičení č. 2 (Stabilita galaktických disků, Toomreovo kritérium):
Obecná část:
A. Gravitační nestabilita ve 3D homogenním prostředí. Jeansovo kritérium.
a) Odvoďte disperzní relaci pro slabé gravitační poruchy ve 3D homogenním plynném prostředí (viz např. BT*, str. 286-290).
b) Z této relace dále odvoďte Jeansovo kritérium pro gravitační nestabilitu (BT, str. 290-291).
c) Napište (neodvozujte) analogické kritérium neutrální stability pro hvězdný systém (rovnice 5-30 v BT), graficky naznačte disperzní relaci pro hvězdný systém (obr. 5-1 v BT) a srovnejte s disperzní relací pro plynné prostředí, odvozenou v bodě a).
B. Gravitační nestabilita ve stejnoměrně rotující 2D ploše.
a) Napište (neodvozujte) disperzní relaci pro slabé gravitační poruchy v plynné 2D ploše s konstantní plošnou hustotou, rotující s konstantní úhlovou frekvencí (rovnice 5-92 na str. 312 v BT). Srovnejte důsledky této relace s těmi, jež vyplývají z relace odvozené v bodě A.a). Vycházejte přitom z textu na str. 313 v BT (text mezi rovnicemi 5-92 a 5-93).
b) Napište podmínku, za které je výše uvedená plocha stabilní na všech vlnových délkách (rovnice 5-93 v BT) a srovnejte ji s analogickými podmínkami pro stejnoměrně rotující 2D hvězdný systém (rovnice 5-97) a 3D izotermální plynný disk (rovnice 5-98).
C. Gravitační nestabilita v diferenciálně rotujícím 2D disku.
a) Napište (neodvozujte) disperzní relaci pro slabé a osově symetrické poruchy v plynném, diferenciálně rotujícím 2D disku (rovnice 6-47 na str. 362 v BT).
b) Napište rovnici neutrální stability a odvoďte z ní, za jaké podmínky bude výše uvedený disk stabilní na všech vlnových délkách. Definujte Toomreův parametr Q pro plynné i hvězdné prostředí (rovnice 6-49 a 6-53) a vysvětlete, jakou hraje roli v dynamice galaktických disků (viz text na str. 363 v BT).
c) Načrtněte křivku neutrální stability pro plynný a hvězdný disk (obr. 6-13 na str. 364 v BT). Definujte a interpretujte vlnovou délku ^crjt (rovnice 6-50), která je v obr. 6-13 použita.
Aplikace:
1. Vyjádřete křivku neutrální stability pro plyn jako závislost Q = f (AAcrjt). Pro jaké AACrit má tato křivka maximum ?
2. S pomocí výše zjištěné závislosti určete interval nestabilních vlnových délek pro Q = 0, 0.8 a 1.
3. Odhadněte Q, Ä.crjt a nej nestabilnější vlnovou délku hvězdného disku v okolí Slunce.
* BT = Binney & Tremaine (Galactic Dynamics, 1987).