Jméno: Hodnocení: 1. 2. 3. 4. Teorie Celkem A. Písemka z lineární algebry I, leden 2005 — početní část Max. počet bodů 12 1. Najděte všechny dvojice parametrů a, b G M, pro které je množina řešení soustavy rovnic x + y + az = 1 x + ay + 1z = 1 x + y + 'iz = b o neznámých x, y, z G R (a) prázdná, (b) nekonečná. V druhém případě soustavu vyřešte. 2. Vypočtěte determinant matice A /2 1 1 ' 1 2 1 1 tvaru 2005 x 2005. 1 1 2 Vi 1 1 ... 2/ 3. V R4 jsou dány podprostory U a V. Najděte bázi U n V a bázi t/ + V, jestliže U = [(1,1, 0, -1)T, (0,1,1, -2)T], V = [(0,1, -1,1), (1, 3, 0, -2)] Výpočet doprovoďte slovním komentářem. I3 je lineární zobrazení takové, že 95(1, 1,0, 0)T (1,-1, Í)T, ¥,(0,1,1, 0)5 (3 Ďody) (3 Ďody) (3 body) (1,1,1)T, 4. 95 : R4 - 95(1,0,0,1)T = (2,4,2)T, 95(0,0,1,0)T = (0,3,0)T. Najděte hodnoty zobrazení 95 na vektorech standardní báze ei, &2, ^3, &a- Najděte bázi Ker 95 a bázi Im95. Výpočet doprovoďte slovním komentářem. (3 body) Teoretická část Max. počet bodů 10 1. Napište definici součtu U + V dvou podprostorů ve vektorovém prostoru W. (1 bod) 2. Napište jeden axiom vektorového prostoru, který není splněn pro množinu V = R, pole R, součet x © y = x + y a násobení skalárem a © x = a~1x. Ukažte, proč není splněn. (1 bod) 3. Napište přesnou formulaci věty, která dává do souvislosti hodnost matice a řešitelnost soustavy Ax = b. (1 bod) 4. C2 je vektorový prostor nad R. Napište nějakou jeho bázi, která obsahuje vektor (1 + i, i) (1 bod) 5. V prostoru R3 [x] polynomů stupně nejvýše 3 s reálnými koeficienty napište souřadnice polynomu x2 + x +1 v bázi a = (x2 + x3, x3 + x, 1, x2 + 1). (1 bod) 6. Podle definice najděte matici přechodu (id)^j0, od báze a = (^1,^2, ^3) k bázi ß = (vi +V2, «2, «1 +«2 + ^3)• (1 bod,) 7. Napište matici lineárního zobrazení 95 : R2[x] ß = (1, x, x2, x3), (p' je derivace polynomu p.) £3 [x], f (p) = (x2 + í)p'(x) v bázích a = (l,x, x2) a (1 bod,) 8. Nechť 95 : U —> V je lineární. Jestliže, 95(1*1), 95(1*2), • • •,