Domácí úkoly ke cvičení č. 5
1. Mejme teleso (R, +, •) všech reálných čísel. Uvažme množinu RR, to jest množinu všech zobrazení f : R — R. Na teto množine RR definujme binární operaci 0 : RR x RR — RR předpisem:
pro každa dve zobrazení f, g : R — R:
(Vx G R)((f 0 g)(x) = f (x) + g (x)).
Dýle definujme vnejsí operaci © : R x RR — RR predpisem: pro každe r G R a pro každe žobražení f : R — R:
(Vx G R)((r © f )(x) = rf (x)).
Overte, že pak struktura (RR, 0, ©) tvorí vektorový prostor nad tele-
sem (R, +, •).
2. V každe ž nísledujících uloh je dano císelne teleso (T, +, •), množina v, binarní operace 0 : v x v — v a vnejsí operace © : T x v — v. Pokažde rožhodnete, žda potom (v, 0, ©) tvorí vektoroví prostor nad telesem (T, +, •), a sve tvržení overte nebo žduvodnete.
a) Je díno teleso (R, +, •) realních císel, množina S (R) = {{a™}^ : (Vn G N)(an G R)} vsech posloupností reílných císel, binarní operace 0 : S (R) x S (R) — S (R) je definovana pro libovolne posloupnosti {an}^c©1 a {bn}Í^L1 reílných císel predpisem
a vnejsí operace © : R x S (R) — S (R) je definovana pro každe r G R a pro každou posloupnost {an}^=1 realních císel predpisem
r © K}ľ=1 = {r^an}ľ=1.
b) Je dano teleso (R, +, •) reúlnúch císel, množina RZ vsech žobražení Y : Z — R, binarní operace 0 : RZ x RZ — RZ je definovana pro libovolní žobražení y, ô : Z — R predpisem
(Vm G Z) ((y 0 ô)(m) = y (m) + ô(m))
1
a vnější operace © : M x MZ — MZ je definována pro každé r G M a pro každé zobrazení 7 : Z — M predpíšem
(Vm G Z) ((r © 7)(m) = r-7(—m)).
c) Je dano telešo (M, +, •) reálních Cíšel, množina MM všech zobrazení (/? : M — M, binární operace 0 : MM x MM — MM je definovana pro libovolná zobrazení (/?,^ : M — M predpíšem
(Vx G M)(((^ 0 = <p(x) + ^(x))
a vnejší operace © : M x MM — MM je definovana pro každe r G M a pro každe zobrazení (/? : M — M predpíšem
(Vx G M)((r © <^)(x) = |r|^(x)).
d) Je díno telešo (C, +, •) komplexních cíšel, množina CM všech žobra-žení ů : M — C, binírní operace 0 : CM x CM — CM je definovína pro libovolní žobražení ů, Z : M — C predpišem
(Vx G M) ((ů 0 Z )(x) = ů(x) + Z (x))
a vnejší operace © : C x CM — CM je definovana pro každe c G C a pro každe žobražení ů : M — C predpišem
(Vx G M) ((c © ů)(x) = č-ů(x)).
3. O každe ž níšledujících podmnožin w C MM rožhodnete, žda še jedna o vektoroví podproštor vektoroveho proštoru (MM, 0, ©) nad telešem (M, +, •) popšaneho v ulože 1, a šve tvržení overte nebo žduvodnete.
a)	w=		:M	— M | ( Vx	G M)(f (|x|) = 0)}
b)	w=		:M	— M | ( Vx	G M)(f (—x) = —f (x))}
c)	w=		:M	— M | ( Vc	G Z)(f (c)f (—c) = 0)}
d)	w=		:M	— M | ( Vx	G M)(f (—|x|) < f (|x|))}
e)	w=		:M	— M | ( Vx	G M)(f (x + 1) = f (x))}
2
f) w ={ f : M — M | (Vs,í e M)(f(í) ^ 0)}
g) w = {f : M - M | (Vs,í e M)(s < í => f (s) ^ f (í))}
h) w = {f : M — M | (3n e N)(Vx e M)(f (x) < nx2)}
i) w = {f : M — M | (3n e N)(Vx e M)(|f (x)| < n|x|)}
j) w = {f : M — M | (3n e N)(Vx e M)(|x| ^ n      f (x) = 0)}
4. V každé z následujících úloh jsou dána tři zobrazení f, g, h : M — M. Pokaždé rozhodnete, zda se jedná o lineárne nezávislé vektory ve vektorovém prostoru (MM, 0, ©) nad telesem (M, +, •) popsanem v úloze 1.
a)   f (x) = (vx2 + 1)2, g (x) = (Vx2 — 1)2, h(x) = x2 + 1 sin x, g(x) = sin(x + |), h(x) = sin(x + 31)
c) f (x) = 1 + x2, g(x) = 1 — x2, h(x) = (1 + x)2
d) f (x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = cos2x
e) f (x) = (x — 1)2, g(x) = (x — 2)2, h(x) = x2 — 2 sin x, g(x) = sin2x, h(x) = sin x
a)	f(x)
b)	f(x)
c)	f(x)
d)	f(x)
e)	f(x)
f)	f(x)
g)	f(x)
h)	f(x)
i)	f(x)
j)	f(x)
os2 |
Jde-li o linearne nezavisle vektory, dokazte to. V opacnem prípade vyjadrete nekterú z techto trí vektoru ve tvaru linearní kombinace zbúvajících dvou vektoru.
3