Domácí úkoly ke cvičení č. 8
1. V každé z následujících úloh jsou dány vektorové prostory (V, +, •) a (W, +, •) nad tymž Číselným télesem (T, +, •) a dále je dúno zobrazení (/? : V — W. Pokažde rozhodnete, zda potom zobrazení (/? je lineúrním zobrazením vektoroveho prostoru (V, +, •) do vektoroveho prostoru (W, +, •). Sví tvrzení overte nebo zduvodnete.
a) Je dan vektoroví prostor (RZ, +, •) vsech zobrazení f : Z — R nad telesem (R, +, •), kde operace sčítaní + : RZ x RZ — RZ je pro libovolna zobrazení f, g : Z — R dana predpisem
(Vc G Z)((f + g)(c) = f (c)+ g(c))
a vnejsí operace skalarního nísobení • : R x RZ — RZ je pro libovolne r G R a pro libovolne zobrazení f : Z — R dína predpisem
(Vc G Z)((rf )(c) = rf (c)).
Díle pak je dín vektoroví prostor (RN, +, •) vsech zobrazení h : N — R nad telesem (R, +, •), kde príslusna operace scítaní + : RN x RN — RN je pro libovolní zobrazení h, k : N — R dana predpisem
(Vm G N)((h + k)(m) = h(m) + k(m))
a vnejsí operace skalírního nasobení • : R x RN — RN je pro libovolníe r G R a pro libovolníe zobrazení h : N — R díana predpisem
(Vm G N)((r-h)(m) = r^h(m)).
Nakonec je zadíno zobrazení (/? : RZ — RN, ktere je pro libovolne zobrazení f : Z — R dano predpisem
(Vn G N)(^(f )(n) = £ n=_ n v f (i)).
1
b) Je dán vektorový prostor (S (C), +, ©), kde S (C) = {{an}c^)=í : (Vn G N)(an G C)} je množina vsech posloupností komplexních čísel, nad telesem (C, +, •), pricemž operace sCítání + : S (C) x S (C) — S (C) je pro libovolne posloupnosti {an}^=1 a {bn}^Li komplexních císel dána predpisem
a vnejsí operace skalírního nísobení © : C x S (C) — S (C) je pro libovolne z G C a pro libovolnou posloupnost {an}^L1 komplexních císel dana predpisem
Z ©K}~1 = {Z•fln}S=1-
Díle je dan vektoroví prostor (S (C), +, ©), kde S (C) = {{an}^=1 : (Vn G N)(an G C)} je opet množina vsech posloupností komplexních císel, nad telesem (C, +, •), pricemž operace scítaní + : S (C) x S (C) — S (C) je pro libovolne posloupnosti {an}^=1 a {bn}^L1 komplexních císel dína opet predpisem
a vnejsí operace skalarního nísobení © : C x S (C) — S (C) je pro libovolne z G C a pro libovolnou posloupnost {an}^L1 komplexních císel tentokrát dana predpisem
Z © K}ľ=1 = {Z•«n}ľ=1-
Nakonec je žadano žobražení (/? : S (C) — S (C), které je iden-tickím žobražením na množine S (C) vsech posloupností komplexních císel. To žnamena, že toto žobražení (/? je pro libovolnou posloupnost {an}^cL1 komplexních císel dano predpisem
c) Jsou díny tytež vektorove prostory (S(C), +, ©) a (S(C), +, ©) nad telesem (C, +, •) jako v ílože b). Žobražení (/? : S (C) — S (C) je vsak tentokrat žadíno pro libovolnou posloupnost {an}^L1 komplexních císel odlisním predpisem
2
2. Nechť zobrazení ů : M4 — M5 je lineárním zobrazením vektorového prostoru (M4, +, •) do vektoroveho prostoru (M5, +, •), ktere je na vektorech báze a = (f, f2, f3, f4) vektoroveho prostoru (M4, +, •), kde
fi = (1,0,0,0), f2 = (1,-1,0,0):
;i, -i, -i, 0), f4 = (i,-i -1, i),
zadáno obrazy těchto vektorů
0(fi) = (i, 3, 2, 7, 4),0(f2) = (i, 4,9, 5, 3),
^(fs) = (i, 5,4, 9, 2),0(fO = (i, 4, 5, 7,3).
Najděte matici A typů 5/4 nad R takovou, aby pro libovolná vektor      x2, x3, x4) G R4 a pro jeho obraz        , x2,x3,x4)) G R5,
^((xi,x2,x3,x4)) = (2/1,2/2,//3,//4,//5) platilo
///A
/5
=A
\£4/
3. Necht' zobrazení ^ : R4 —> R3 je linearním zobrazením vektoroveho prostorů (R4, +, •) do vektoroveho prostorů (R3, +, •), ktere je na vektorech baze // = (gi, g2, g3, g4) vektoroveho prostorů (R4, +, •), kde
gi = (i, 2, 2, 2), g2 = (0, i, 2, 2), g3 = (0, 0, i, 2), g4 = (0,0, 0, i),
zadano obrazy techto vektorů
^(gi) = (i, -5,4),^(g2) = (i, 2, -3),
^(g3) = (2, -3, i), ^(g4) = (-3, i, 2).
Urcete jadro Ker ^ a obraz Im^ linearního zobrazení Najdete nejake baze vektorových podprostorů Ker ^ a Im
3