Test z Diskrétní matematiky 25. 10. 2011
Skupina A
Jméno a příjmení Sem. skup. 1 2 3 4 5 Součet
Doba k vypracování testu je 60 minut. Každý příklad je hodnocen 2 body.
Pro odpovědi využijte volného prostoru mezi příklady.
1. a) Rozhodněte, zda formule ϕ = (∀x, y)(x ≤ y → (∃z)(y + z = x)) je
pravdivá v R, Z, resp. N a své tvrzení zdůvodněte.
b) Napište negaci formule ϕ a upravte ji na tvar, kde se symbol negace
bude vyskytovat nanejvýš u podformulí neobsahujících logickou spojku.
2. Vypište výčtem prvků množinu A splňující P(∅) ⊆ A ⊆ P({∅}), {∅} ∈ A.
3. Pro množinu A a systém množin Ai, i ∈ I dokažte
A ×
i∈I
Ai =
i∈I
(A × Ai).
4. Ukažte, že zobrazení f : Z → Z, f(x) = x3
+ 1 je injektivní, ale není
surjektivní.
5. Spočítejte předpis složeného zobrazení f ◦ g a inverzního zobrazení f−1
pro f, g : R → R, f(x) = 3x − 2, g(y) = y2
.