Domácí úloha z 27. listopadu 2014 (odevzdává se 4. prosince 2014)
Je dán typ Q = {a}, kde a je unární operační symbol. Na množině přirozených čísel N je dána struktura f2-algebry unární operací : N —> N, která je pro libovolné n G N dána předpisem
1. Ukažte, že pro libovolnou kongruenci ~ na f2-algebře N platí: jestliže m ~ n pro nějaké m, n G N, m > n, pak také m ~ 1.
2. Popište všechny kongruence na f2-algebře N.
1. Nejprve ukažte indukcí vzhledem k íi, že pokud m,n,u G N splňují m > n > u a m ~ n, pak také m — u ^ n — u. Dále ukažte, že jestliže pro m e N platí u ~ 1, pak také pro každé v G N, f < u platí f ~ 1. Nakonec označte k — m — n a vydělte číslo m — l číslem k se zbytkem, tedy m — 1 = A;g + r, 0 < r < k, q, r G Z, a ukažte, že z předchozího plyne m~r+laľ+l~l.
2. Pokud pro zvolenou kongruenci ~ existuje přirozené číslo n, pro které neplatí n ~ 1, zvolte nejmenší takové.]
[Návod:
1