M6520 (podzim 2014) — bonusové úlohy
Není-li stanoveno jinak, dostává první, kdo odevzdá správně vyřešený úkol, uvedený počet bodů, každý další vždy o bod méně než předchozí. Bude-li řešení neúplné, bude bodové hodnocení sníženo.
1. (2 b.) Dokažte, že v poaloupnoati (2"—3)%Li je nekonečně mnoho náaobků 5 a nekonečně mnoho náaobků 13, ale žádný náaobok 65.
2. (2 b.) Dokažte, že v libovolné posloupnosti (a„)^_0, kde an — a„_i + 40™! pro n > 0, je nekonečně mnoho násobků čísla 2013.
3. (3 b.) Dokažte, že pro každé liché prvočíslo p existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n, splňujících p | n ■ 2™ + 1.
4. (2 b. — nutný i algoritmus) Najděte nejmenší prvočíslo větší než 3 tvaru n ■ 2™ + 1.
5. (3 b.) Dokažte, že existuje nekonečně mnoho lichých přirozených čísel k s vlastností, že čísla 22" + k jsou složená pro všechna n G N.
6. (5 b.) Dokažte, že pro každé celé číslo k ^ 1 existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n s vlastností, že číslo 22 + k je složené.
7. (3 b.) Dokažte, že pro všechna lichá n C N platí n | 2"!-J-r
8. (2 b.) Dokažte, že pro všechna n e N \ {1} je číslo i(24n+2 + 1) složené.
9. (4 b.) Dokažte, že pro každé a G N, 1 < a < 100 existuje n e N, n < 6 tak, že a2  +1 je složené. (V případě, že podstatná část výpočtů bude provedena počítačem, budou uděleny max. 2 body).
10. (3 b.) Buď n > 3 libovolné liché přirozené číslo. Dokažte, že vždy existuje prvočíslo p dělící 2^™) — 1 a nedělící n.
11. (3 b.) Určete nejmenší n e N takové, že 22011 | 17™ - 1.
12. (3 b.) Buď k tvaru 22 + 1 (pro n e N). Dokažte, že k je prvočíslo, právě když k dělí 3^fe_1^2 + 1.
13. (3 b.) Najděte všechny dvojice prvočísel p, q splňující pq \ 5P + 59.
14. (5 b.) Dokažte, že pro a, b, n e N platí: n! | bn~1a(a + b)(a + 2b) ■ ■ ■ (a + (n - 1)6).