Domácí úkol z 25. září 2014
1. Dokončete důkaz věty Theorem 7.7:
Předpokládejme, že a je řádný (celý) ideál pořádku O v imaginárním kvadratickém tělese, přičemž diskriminant O je D. Tedy a = [a,/3], přičemž lze předpokládat, že r = ^ má kladnou imaginární složku. Pak existuje jediná trojice a, b, c £ Z taková, že a > 0, (a, 6, c) = 1 a ar2+6r+c = 0. Na přednášce jsme ukázali, že v tom případě primitivní pozitivně definitní kvadratická forma f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 má diskriminant D, že O = [l,ar], že -/V(A) = —^ a že třída forem v C{D) obsahující formu f(x,y) se zobrazí na třídu ideálů v C (O) obsahující ideál a. Dokažte, že forma f(x, y) vyjadřuje přirozené číslo m = n (a).
[Návod: využijte toho, že A C C]
2. Dokažte, že forma f(x, y) z předchozí úlohy splňuje pro každé x, y G Z rovnost
7V(ax - /3y)
n(a)
Odtud plyne,že inverzní zobrazení ke konstruovanému izomorfismu C{D) —> C {O) lze definovat takto: třída ideálů obsahující řádný (celý) ideál a = [a,/3] se zobrazí na třídu forem obsahující formu —^j^j^--