Diskrétní deterministické modely – cvičné písemky
1. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 1) =
2x(t) + 4
x(t) − 1
.
2. Najděte obecné řešení systému rovnic
x(t + 1) = −x(t) + y(t)
y(t + 1) = 2y(t) +t.
3. Uvažujte autonomní rovnici druhého řádu
x(t + 1) = rx(t) 1 −
x(t − 1)
K
;
parametry r a K jsou kladné. Najděte všechny její rovnovážné body a vyšetřete jejich
stabilitu.
Uvedenou rovnici interpretujte.
Řešení:
1. x(t) =
4(1 + x0)(−3)t − (4 − x0)2t
(1 + x0)(−3)t + (4 − x0)2t
= 1−
2(4 − x0)
4 − x0 + (1 + x0) −3
2
t +
3(1 + x0)
1 + x0 + (4 − x0) −2
3
t
2. x(t) = 2tA + (−1)tB − 1
2t − 1
4,
y(t) = 3 · 2tA − t − 1,
podrobněji:
x(t) = 1
3 3x0 − y0 + 1
2 t0 − 1
4 (−1)t−t0 + 1
3 y0 + t0 + 1)2t−t0 − 1
2t − 1
4,
y(t) = y0 + t0 + 1)2t−t0 − t − 1
3. Rovnovážné body jsou x∗
1 = 0 a x∗
2 = K
r − 1
r
.
• 0 < r < 1 ⇒ x∗
1 je stabilní, x∗
2 je nestabilní
• 1 < r < 2 ⇒ x∗
1 je nestabilní, x∗
2 je stabilní
• 2 < r ⇒ x∗
1 oba rovnovážné body jsou nestabilní
Rovnice může modelovat vývoj velikosti populace, u níž vnitrodruhová konkurence působí
se zpožděním jedné generace. Parametr r je vnitřní koeficient růstu (maximální možný
přírůstek velikosti populace, růstový koeficient populace bez vnitrodruhové konkurence,
biotický potenciál modelované populace), parametr K vyjadřuje kapacitu (úživnost) prostředí;
ta závisí na růstovém koeficientu a je 1 −
1
r
-násobkem parametru K.
1
1. Najděte řešení počáteční úlohy
x(t + 1)2
− (2 + t)x(t + 1)x(t) + 2tx(t)2
= 0, x(1) = 1.
2. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 2) − x(t) = 2t
t sin
π
2
t .
3. Uvažujte autonomní systém
H(t + 1) = rH(t) exp − aP(t) ,
P(t + 1) = cH(t) 1 − exp − aP(t) ;
parametry r, a a c jsou kladné. Najděte rovnovážný bod systému s oběma souřadnicemi
kladnými a vyšetřete jeho stabilitu.
Řešení:
1. Dvě řešení: x1(t) = 2t−1, x2(t) = (t − 1)!
2. x(t) = A + (−1)tB + 1
252t(8 − 5t) sin π
2 t
3. • r ≤ 1 rovnovážný bod uvnitř prvního kvadrantu neexistuje
• r > 1 rovnovážný bod
1
ac
r ln r
r − 1
,
ln r
a
je nestabilní
2