Procvičovací úkol č.7 - Zadání
Příklad č.l Ve 12-ti náhodně vybraných internetových obchodech byly zjištěny následující ceny deskriptoru artefaktů (v Kč): 102,99,106,103,96,98,100,105,103,98,104,107. Těchto 12 hodnot považujeme za realizace náhodného výběru X1}..., X12 z rozložení, které má střední hodnotu fi a rozptyl a2. Pomocí R určete nestranné bodové odhady
1. neznámé střední hodnoty /i,
2. neznámého rozptylu a2
3. neznámé směrodatné odchylky a. Všechny výsledky interpretujte !!! :)
Příklad č.2: Pět mužů zjistilo a zapsalo svou hmotnost (v kg) a výšku (v cm):
Číslo muže	1      2      3      4 5
Hmotnost Výška	76    86    73    84 79 170   177   169   174 175
1. Najděte pomocí R nestranné bodové odhady
(a) střední hodnoty hmotnosti a střední hodnoty výšky
(b) rozptylu hmotnosti a rozptylu výšky
(c) kovariance hmotnosti a výšky.
2. Najděte pomocí R asymptotický bodový odhad koeficientu korelace hmotnosti a výšky.
3. Všechny zjištěné hodnoty řádně interpretujte, včetně stanovení typu závislosti mezi náh. veličinami.
4. Vytvořte a řádně popište histogramy pro hmotnost a výšku. Do každého histogramu zaznamenejte také křivku hustoty normálního rozložení s parametry fi =výběrový průměr, a2 =výběrový rozptyl.
Nápověda: Příkaz pro nalezeni kovariance náh. veličin XaY má tvar cov(X, Y), příkaz pro nalezení keoficientu korelace náhodnách veličin má tvar cor(X,Y).
hmotnost vyska
i-1-1-1-1 °   i-1-1-1-1
70     75     80     85     90 168        172 176
1
Příklad č.3: Dokončení z hodiny: Při kontrolních zkouškách životnosti 16-ti žárovek byl stanoven odhad m = 3000 h střední hodnoty jejich životnosti. Z dřívějších zkoušek je známo, že životnost žárovky se řídí normálním rozložením se směrodatnou odchylkou o = 20 h. Vypočtěte pomocí R:
(a) 99 % empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti;
(d, h) = (2987.1; 3012.9)
(b) 90 % levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti;
(2993.6, oo)
(c) 95 % pravostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti.
(-00,3008.2)
Výsledky řádně interpretujte a vždy okomentujte, proč jste k výpočtu zvolili vámi vybraný IS.
Příklad č.4: Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno šest selat a po dobu půl roku jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenávány průměrné denní přírůstky hmotnosti v Dg. Z dřívějších pokusů je známo, že v populaci mívají takové přírůstky normální rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se měnívají. Přírůstky v Dg: 62, 54, 55, 60, 53, 58.
(a) Najděte 95% empirický levostranný interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu fi při neznámém rozptylu a2.
(54.06; oo)
(b) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozptyl a2.
(2.23; 8.77)
Výsledky řádně interpretujte a vždy okomentujte, proč jste k výpočtu zvolili vámi vybraný IS.
Příklad č.5 - Dobrovolný :)
Vyjděte z pivotovy statistiky T = —-— a odvoďte tvar pro 100(1 — a)% oboustranný interval
spolehlivosti. Postup je analogický postupu uvedenému na hodině. Odvození proveďte ručně a napište mi postup odvození.
2
Nápověda:
• Není-li uveden typ intervalu, je tím myšlen interval oboustranný
• Tvary intervalů spolehlivosti:
1. IS pro /i, když a2 známe
(a) Oboustranný:
(b) Levostranný:
(c) Pravostranný:
a a [d, h) = (m--T=iti_a/2,m--i=ua/2)
cr
(d, oo) = (m---=ui^a, oo)
\/n
o
(—00, h) = (—00, m---j=uc
Pozn: ua je a kvantil standardizovaného normálního rozloženi. 2. IS pro     když a2 neznáme
(a) Oboustranný:
5 s (d, h) = (m--^=íi_a/2(n - 1), m---=ta/2(n - 1))
(b) Levostranný:
g
(d, 00) = (m---=£]_a(n — 1), 00)
(c) Pravostranný:
(—00, h) = (—00, m---i=ta{n — 1))
s
Jn
Pozn: ta{n — 1) je a kvantil studentova rozdělení o n — 1 stupních volnosti. 3. IS pro o-2, když /i známe
(a) Oboustranný:
Xta/2(n) xl/2{n)
(b) Levostranný:
(c) Pravostranný:
(Aoo) = ( ,0O)
(-°0'ft) = (-0°'       Xiin) > Pozn: Xa(n) Je a kvantil x2 rozdělení o n stupních volnosti. 4. IS pro o-2, když // neznáme (a) Oboustranný:
(A h\ - (     (n~1)g2 í^-1)^
('  ] {xla/2(n-iyXl/2(n-l)
3
(b) Levostranný:
(a     \     <  (n~1)g2 \
(<i'°0) = (x?->-i)'°0)
(c) Pravostranný:
í       M    í (n-l)s\
(-oo.íi) = (-°°,~r^—^)
Pozn: Xa(n ~ -O Íe a kvantíl \2 rozděleni o n — 1 stupních volnosti.
4