1   8-Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálního rozložení
Vyjádření k domácímu úkolu
• interpretace koeficientu korelace: r = 0.8 —> vysoký stupeň PŘÍMÉ LINEÁRNÍ závislosti
• u testování hypotéz nezapomínejte stanovit Hq,Hi, a psát celkový závěr příkladu!!!
• testování pomocí IS: H0 : fi = c —> H0 nezamítáme, pokud c G IS.
Stará látka
• přehled testů - rozdat
• Testování hypotéz
— datový soubor reálných dat
— máme předpoklady o datovém souboru: o charakteristikách, o rozložení náh. veličiny, o nezávislosti dvou náh.veličin
— zatím jsme ověřovali předpoklady o charakteristikách jednovýběrových dat (/i, a) z normálního rozložení
— postup testování hypotéz
* Formulace problému
* stanovení H0
* stanovení H\
■ oboustranná
• pravostranná
• levostranná
* volba hl.významnosti a = pst, že H0 zamítáme, i když platí.
* provedení měření
* testování hypotéz
• Kritický obor
• IS
• p-hodnota
* rozhodnutí o zamítnutí Hq
* INTERPRETACE VÝSLEDKŮ
— chyba 1.druhu: H0 platí a přesto ji zamítneme
— chyba 2.druhu: H0 neplatí a přesto ji nezamítneme
• kritický obor
— stanovíme To
— stanovíme kritický obor W - tvar podle typu alternativy
1
— H0 zamítáme, pokud T0 G W.
• IS:
— z Hq známe konstantu c
— stanovíme IS - tvar podle alternativy: A/IS: 0/0, L/P, P/L
— Hq zamítáme, pokud c ^ IS
• p-hodnota
— stanovíme T0
— stanovíme p-hodnotu podle typu alternativy
— Hq zamítáme, pokud p < a.
Nová látka Párové testy:
• data z dvourozměrného normálního rozložení
• porovnání rozdílů párových součástí objektu, párových orgánů člověka
• porovnání délky uší, výšky/šířky očí, nadočnicového oblouku, sjetost pneumatik, zkoumání podobných rysů dvojčat atp.
• Nechť (Xi, Yi)... (Xn, Yn) je náh. výběr z dvourozměrného normálního rozložení, přičemž n > 2. Střední hodnota znaku X je      střední hodnota znaku Y je /x2.
• H0 : //i = fi2 : //i - /x2 = O
• i^i : /xi 7^ /x2 : /xi - /x2 O
• utvoříme rozdíly Z\ = X\ — Y\... Zn = Xn — Yn.
• Zi,... Zn je datový soubor z normálního rozložení —y získáváme jednovýběrový datový soubor
• aplikujeme jednovýběrový test o střední hodnotě /x, když a2 neznáme.
• Příklad z domácího úkolu (víz příloha skenl)
Testování normality
• normalita dat je velmi důležitá vlastnosti datového souboru
• pro mnoho parametrických testů je předpoklad normality důležitým základem
— jednovýběrové testy
— párové testy
— dvouvýběrové testy, ...
• testování normality datového souboru
2
— Testujeme nulovú hypotézu: H0: Datový soubor/data pochází z normálního rozložení
— alternativní hypotéza: H0 : Data nepochází z normálního rozložení
— testování provádíme
1. graficky
(a) histogram + křivka hustoty teoretického normálního rozložení s odhadem střední hodnoty fi = mean(data) a odhadem rozptylu a2 = (sd(data))2 + křivka hustoty odhadnutá z dat density(vektor_dat).
(b) krabicový graf - více než normalitu testuje vyšikmenost dat boxplotQ
(c) Q-Q graf příkazy qqnorm(vektor_dat) a qqline(vektor_dat)
0-0 graf 0-0 graf
-3-2-10123 -3-2-10123
teoreticky kvantil teoreticky kvantil
Obrázek 1: a)vlevo-body leží na přímce —> data jsou z normálního rozložení; b)-vpravo - body neleží na přímce —> data nejsou z normálního rozložení
2. početně - testováním
(a) Shairo-Wilkův test
* je vhodný pro testování souborů o menších rozsahů (n < 30)
* shapiro.test() knihovna stat
(b) Kolmogorův-Smirnovův test
(c) Lillie-Forsův test
* modifikace K-S testu
* lillie.test() knihovna nortest
(d) Anderson-Darlingův test
* ad.test() knihovna nortest
(e) Pearsonův %2 test
* pearson.test knihovna nortest
— vždy je vhodné provést alespoň dva testy normality
• ODTEĎ PŘED KAŽDÝM TESTOVÁNÍM POMOCÍ PARAMETRICKÝCH TESTŮ MUSÍME OVĚŘIT NORMALITU DAT
3
Testy o dvou nezávislých náhodných výběrech
Nechť Xu ... Xlni je náhodný výběr z rozložení JV(/íl5 crf) a X21 ... X2ri2 je na něm nezávislý náhodný výběr z rozložení iV(/i2,o|), přičemž nx > 2 a n2 > 2. Označme Mi,M2 výběrové průměry a S^Sf výběrové rozptyly a
o2     (Wl - 1)£2 + (», - 1)S2
«1 + "2 - 2
je vážený průměr výběrových rozptylů.
1. Pivotová statistika
r   W-^)-Q.i-w) ,r,;
V  «1 «2
slouží k řešení úloh o //i — /i2, když er2 a čt| známe.
2. Pokud o"2 = o\ = o"2, pak pivotová statistika
a: = ---—-— ~ x (wi + «2 - 2)
slouží k řešení úloh o neznámém společném roztylu a2.
3. Pokud af = g\ = o"2, pak pivotová statistika
(Mx - M2) - (Ml - »2) 1 =-, -~ t[iii + n2 — Z)
s*y ň + i
slouží k řešení úloh o     - /x2, když a2, ct2 neznáme, ale víme, že jsou shodné.
4. Pivotová statistika
2 - ir(m-l,n2-l)
slouží k řešení úloh o -
1
2
4
Intervaly spolehlivosti
1. IS pro ni — /x2, když o\,o\ známe (využití statistiky U) (a) Oboustranný IS (d, h):
mi - m2 - \l--h — Ui-a/2 5 rri! - m2 - \--1--ua/2
Tli        Tin ' V Tl\ Ho
(b) Levostranný IS (d;oo):
(c) Pravostranný IS (—oo;h):
T2 „2
mi — m2 — \--1--ui—a'> 00
V ni n2
—00; mi — mn — \ — H---ua
V ni n2
2. IS pro /ix — /x2, když o\^o\ neznáme, ale víme, že jsou shodné (využití statistiky T) (a) Oboustranný IS (d, h):
m1-m2- s*\l— + —h-a/2(ni + n2 -2);m1-m2- s*\ — + —ta/2(ni + n2 n\     n2       ' V ni n2
(b) Levostranný IS (d;oo):
m1 — m2 — s*\l--1--ti-a(ni + n2 - 2) ; 00
ni n2
(c) Pravostranný IS (—oo;h):
11. ^.
-00 ; mi — m2 — s*W--1--ta{ni + n2 — 2)
V "1 n2
3. IS pro společný neznámý rozptyl a2 (využití pivotové statistiky K)
(a) Oboustranný IS (d,h):
í    (m + n2 - 2)sl {ni+n2-2)sl \
\xl_a/2(ni + n2 - 2) ' X2a/2(ni + n2 - 2) j
(b) Levostranný IS (d, 00)
(m+n2-2)sl
■ 00
(c) Pravostranný IS (—oo;h)
(ni + n2 — 2)s
' xl(n1+n2 - 2)
2
4. IS pro podíl rozptylů ^7 (využití pivotové statistiky F)
5
(a) Oboustranný IS (d, h):
sil si . si/*2
2
.^1-0/2(^1 -l,n2-l) ' FQ/2(ni - l,n2 (b) Levostranný IS (d; 00)
.ŕi-afai - l,n2 - 1)
(c) Pravostranný IS (—oo;h)
si/s2
Fa(ni -1,712-1),
6
Dvouvýběrové testy - Kritické obory
1. Nechť Xn,... Xini je náhodný výběr z iV(/xi, af), a X2i,... X2ri2 Je na něm nezávislý náhodný výběr z rozložení iV(/x2, čt2), přičemž ni > 2, ?x2 > 2 a čt2, a| známe. Nechť c je konstanta.
• Testujeme H0 : /ii — /x2 = c oproti iJn : /xi — /x2 7^ c, případně H12 : /xi — /x2 < c? či
#13 : /il - /i2 > C.
• Takovýto test se nazývá dvouvýběrový z-test
• Realizace testové statistiky:
_ (mi - m2) - c
• kritický obor pro oboustrannou alternativu Hnm. W = (—oo;ua/2) U (wi_a/2, 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu iJi2:     = (—oo;ua)
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (iti_a; 00)
2. Nechť X11,... Xlni je náhodný výběr z iV(/xi, o"2), a X2i,... X2n2 je na něm nezávislý náhodný výběr z rozložení N(fi2,a2), přičemž rxi > 2, ?x2 > 2 a o"2 neznáme. Nechť c je konstanta.
• Testujeme Hq : /xi — /x2 = c oproti iJn : /xi — /x2 7^ c, případně iJi2 : /xi — /x2 < c, či #13 : /xi - /x2 > c.
• Takovýto test se nazývá dvouvýběrový t-test
• Realizace testové statistiky:
_ (mi - m2) - c *o —-/
s /T7T
*Y ni n2
• kritický obor pro oboustrannou alternativu Hum. W = (—00; ta/2(rii+n2 —2)} U (íi-a/2(«-i + n2 - 2), 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu H\2. W = (—00; ta(ni + ?x2 — 2)}
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (£i_a(?Xi + n2 — 2); 00)
3. Nechť X11}... Xlni je náhodný výběr z iV(/xi, a2), a X2i,... X2ri2 je na něm nezávislý náhodný výběr z rozložení iV(/x2, o"2), přičemž ni > 2, ?x2 > 2.
2 2
• Testujeme H0 : ^| = 1 oproti Fn : || 7^ 1.
• Takovýto test se nazývá F-test.
• Realizace testové statistiky:
• kritický obor pro oboustrannou alternativu Hum. W = (0; Fa/2(rii — 1, ?x2 — 1)} U (#i-a/2(«-i — l,n2 - l),oo)
7
• kritický obor pro levostrannou alternativu H12: W = (0; Fa(ni — l,n2 — 1)}
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (Fi_a(ni — l,n2 — 1); oo)
8