Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta
(neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)
Frank Wilcoxon (1892 – 1965): Americký statistik a chemik
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení s hustotou φ(x), která je symetrická
kolem mediánu x0,50, tj.
φ(x0,50 + x) = φ(x0,50 - x). Nechť c je reálná konstanta.
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = c
proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ c nebo
proti levostranné alternativě H1: x0,50 < c nebo
proti pravostranné alternativě H1: x0,50 > c.
Postup provedení testu:
a) Utvoříme rozdíly Di = Xi – c, i = 1, ..., n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen
počet nenulových hodnot.)
b) Absolutní hodnoty │Di│uspořádáme vzestupně podle velikosti a spočteme pořadí Ri.
c) Zavedeme statistiky
∑
>
++
=
0D
iW
i
RS , což je součet pořadí přes kladné hodnoty Di,
∑
<
−−
=
0D
iW
i
RS , což je součet pořadí přes záporné hodnoty Di.
Přitom platí, že součet SW
+
+ SW
=
n(n+1)/2.
Je-li H0 pravdivá, pak E(SW
+
) = n(n+1)/4 a D(SW
+
) = n(n+1)(2n+1)/24.
d) Testová statistika = min(SW
+
, SW
)
pro oboustrannou alternativu,
= SW
+
pro levostrannou alternativu,
= SW
pro
pravostrannou alternativu.
e) H0 zamítáme na hladině významnosti α, když testová statistika je menší nebo rovna
tabelované kritické hodnotě.
Asymptotická varianta jednovýběrového Wilcoxonova testu:
Pro n ≥ 30 lze využít asymptotické normality statistiky SW
+
.
Platí-li H0, pak
( )
( ) 24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
W
W
WW
0
S
SD
SES
U ++
++
+
++
−
=
−
= ≈ N(0,1).
Kritický obor:
pro oboustrannou alternativu W = ( )∞∪−∞− α−α−
,uu, 2/12/1
,
pro levostrannou alternativu W = ( α−
−∞− 1
u, ,
pro pravostrannou alternativu W = )∞α−
,u1
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když WU0 ∈ .
Příklad: U 12 náhodně vybraných zemí bylo zjištěno procento populace starší 60 let:
4,9 6,0 6,9 17,6 4,5 12,3 5,7 5,3 9,6 13,5 15,7 7,7.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián procenta populace starší 60 let je 12 proti oboustranné alternativě.
Řešení:
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = 12 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ 12.
Vypočteme rozdíly pozorovaných hodnot od čísla 12: -7,1 -6,0 -5,1 5,6 -7,5 0,3 -6,3 -6,7 -2,4 1,5 3,7 -4,3.
Absolutní hodnoty těchto rozdílů uspořádáme vzestupně podle velikosti. Kladné rozdíly přitom označíme červeně:
usp. │ xi – 12│ 0,3 1,5 2,4 3,7 4,3 5,1 5,6 6 6,3 6,7 7,1 7,5
pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
SW
+
= 1 + 2 + 4 + 7 =14,
SW
=
3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 64,
n = 12, α = 0,05, tabelovaná kritická hodnota pro n = 12 a α = 0,05 je 13,
testová statistika = min(SW
+
, SW
)
= min(14,64) = 14.
Protože 14 > 13, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že na hladině významnosti 0,05 se nepodařilo
prokázat, že aspoň v polovině zemí by se podíl populace nad 60 let odlišoval od 12 %.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 12 případy. Do proměnné procento
napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 12.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam
proměnných rozdil, Druhý seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (populace_nad_60)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
procento & konst 12 14,00000 1,961161 0,049861
Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW+
(zde označena T), hodnotu
asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. V tomto případě je p-hodnota 0,049861,
tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05. Tento výsledek je
v rozporu s výsledkem, ke kterému jsme dospěli při přesném výpočtu. Je to způsobeno tím, že
není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky SW+
, tj. n ≥ 30.
Párový Wilcoxonův test
(nerametrická obdoba párového t-testu)
Nechť (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) je náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení.
Testujeme H0: x0,50 - y0,50 = c proti H1: x0,50 - y0,50 ≠ c (resp. proti jednostranným alternativám).
Utvoříme rozdíly Zi = Xi – Yi, i = 1, ..., n a testujeme hypotézu o mediánu z0,50, tj. H0: z0,50 = c
proti H1: z0,50 ≠ c.
Příklad: K zjištění cenových rozdílů mezi určitými dvěma druhy zboží bylo náhodně vybráno 15 prodejen a byly zjištěny ceny zboží A a ceny
zboží B: (11,10), (14,11), (11,9), (13,9), (11,9), (10,9), (12,10), (10,8), (12,11), (11,9), (13,10), (14,10), (14,12), (19,15), (14,12). Na hladině
významnosti 0,05 je třeba testovat hypotézu, že medián cenových rozdílů činí 3 Kč.
Řešení:Testujeme H0: z0,50 = 3 proti oboustranné alternativě H1: z0,50 ≠ 3, kde z0,50 je medián rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr
Z1 = X1 – Y1, … Z15 = X15 – Y15.Vypočteme rozdíly mezi cenou zboží A a cenou zboží B, čímž úlohu převedeme na jednovýběrový test.
Výpočty uspořádáme do tabulky:
č. prodejny cena zboží A cena zboží B rozdíl |rozdíl-medián| pořadí
1 11 10 1 2 12
2 14 11 3 0 -
3 11 9 2 1 5,5
4 13 9 4 1 5,5
5 11 9 2 1 5,5
6 10 9 1 2 12
7 12 10 2 1 5,5
8 10 8 2 1 5,5
9 12 11 1 2 12
10 11 9 2 1 5,5
11 13 10 3 0 -
12 14 10 4 1 5,5
13 14 12 2 1 5,5
14 19 15 4 1 5,5
15 14 12 2 1 5,5
(Tučně jsou vytištěna pořadí pro kladné hodnoty rozdíl - medián.)
SW
+
= 5,5 + 5,5 + 5,5 = 16,5,
SW
=
12 + 5,5 + 5,5 + 12 + 5,5 + 5,5 + 12 + 5,5 + 5,5 + 5,5 = 74,5,
n = 13, α = 0,05, tabelovaná kritická hodnota = 17, testová statistika = min(SW
+
, SW
)
= min(16,5; 74,5) = 16,5. Protože 16,5 ≤ 17, H0 zamítáme
na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými A, B, rozdíl, konst a 15 případy. Do
proměnných A, B napíšeme ceny zboží A a B, do proměnné rozdíl uložíme rozdíl cen A a B a do
proměnné konst uložíme číslo 3.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam
proměnných rozdil, 2. seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (ceny zbozi)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
rozdil & konst 15 16,50000 2,026684 0,042696
Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 16,5, asymptotická testová statistika
(označená jako Z) nabývá hodnoty 2,026684, odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,042696,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme.
Příklad (na asymptotickou variantu Wilcoxonova testu):
30 náhodně vybraných osob mělo nezávisle na sobě bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného
signálu uplyne právě 1 minuta. Byly získány následující výsledky (v sekundách):
53 48 45 55 63 51 66 56 50 58 61 51 64 63 59 47 46 58 52 56 61 57 48 62 54 49 51 46 53
58.
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián rozložení, z něhož daný náhodný
výběr pochází, je 60 sekund proti oboustranné alternativě (nulová hypotéza vlastně tvrdí, že polovina osob
délku jedné minuty podhodnotí a druhá nadhodnotí).
Řešení:
Testujeme H0: x0,50 = 60 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ 60.
Obvyklým způsobem stanovíme statistiku SW
+
= 55.
Asymptotická testová statistika:
( )
( )
65,3
55S
SD
SES
U
24
)130.2)(130(30
4
)130(30
24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
W
W
WW
0
−=
−
=
−
=
−
= ++
+
++
++
+
++
Kritický obor:
W = ( ) ( ) ( )∞∪−∞−=∞∪−∞−=∞∪−∞− α−α−
,96,196,1,,uu,,uu, 975,0975,02/12/1
.
Testová statistika se realizuje v kritickém oboru, tedy H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti
0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že pravděpodobnost nadhodnocení jedné minuty není
stejná jako pravděpodobnost podhodnocení.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 30 případy. Do proměnné odhad
napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 60.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam
proměnných odhad, 2. seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (odhad minuty)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
odhad & konst 30 55,00000 3,650880 0,000261
Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 55, asymptotická testová statistika
(označená jako Z) nabývá hodnoty 3,65088, odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,000261,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme.
Dvouvýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta
(neparametrická obdoba dvouvýběrového t-testu)
Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení,
jejichž distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím. Označme x0,50 medián prvního
rozložení a y0,50 medián druhého rozložení. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu, že
distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli mediány jsou shodné proti alternativě, že
jsou rozdílné, tj.
H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti H1: x0,50 - y0,50 ≠ 0.
Postup provedení testu:
a) Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme vzestupně podle velikosti.
b) Zjistíme součet pořadí hodnot X1, ..., Xn a označíme ho T1.
Součet pořadí hodnot Y1, ..., Ym označíme T2.
c) Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 – T1 , U2 = mn + m(m+1)/2 - T2.
Přitom platí U1 + U2 = mn.
d) Pokud min(U1,U2) ≤ tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m, n a dané α), pak
nulovou hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí zamítáme na hladině významnosti α.
V tabulkách: n = min{m,n} a m = max{m,n}.
Asymptotická varianta dvouvýběrového Wilcoxonova testu:
Pro velká n, m (n, m > 30) lze využít asymptotické normality statistiky U1.
Platí-li H0, pak
12
)1nm(mn
2
mn
1
0
U
U ++
−
= ≈ N(0,1), kde U1 = min(U1,U2).
Kritický obor:
pro oboustrannou alternativu W = ( )∞∪−∞− α−α−
,uu, 2/12/1
,
pro levostrannou alternativu W = ( α−
−∞− 1
u, ,
pro pravostrannou alternativu W = )∞α−
,u1
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když WU0 ∈ .
Předpoklady použití dvouvýběrového Wilcoxonova testu:
- dané dva náhodné výběry jsou nezávislé
- rozložení, z nichž dané dva náhodné výběry pocházejí, jsou spojitá
- distribuční funkce těchto rozložení se mohou lišit pouze posunutím
- sledovaná veličina má aspoň ordinální charakter
Příklad:
Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se zkoušel nový způsob hnojení, zbylých
šest bylo ošetřeno starým způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její hektarový výnos.
Je třeba zjistit, zda nový způsob hnojení má týž vliv na průměrné hektarové výnosy pšenice jako
starý způsob hnojení.
hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55
hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50
Test proveďte na hladině významnosti 0,05.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti oboustranné alternativě H1: x0,50
- y0,50 ≠ 0.
usp. hodnoty 44 45 48 49 50 51 52 53 54 55
pořadí x-ových hodnot 4 6 7 10
pořadí y-ových hodnot 1 2 3 5 8 9
T1 = 4 + 6 + 7 + 10 = 27, T2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 9 = 28
U1 = 4.6 + 4.5/2 - 27 = 7, U2 = 4.6 + 6.7/2 - 28 = 17
Kritická hodnota pro α = 0,05, min(4,6) = 4, max(4,6) = 6 je 2. Protože min(7,17) = 7 > 2,
nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že nový způsob hnojení má na
hektarové výnosy pšenice stejný vliv jako starý způsob.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné vynos napíšeme zjištěné hodnoty a do
proměnné hnojeni napíšeme 4x číslo 1 pro nový způsob hnojení a 6x číslo 2 pro starý způsob hnojení.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK – Proměnné – Seznam závislých
proměnných vynos, Nezáv. (grupov.) proměnná hnojeni – OK – M-W U test.
Upozornění: Ve STATISTICE je dvouvýběrový Wilcoxonův test uveden pod názvem Mannův – Whitneyův test.
Mann-Whitneyův U test (vynos)
Dle proměn. hnojeni
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
skup. 1
Sčt poř.
skup. 2
U Z Úroveň p Z
upravené
Úroveň p N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
2*1str.
přesné p
vynos 27,00000 28,00000 7,000000 1,066004 0,286423 1,066004 0,286423 4 6 0,352381
Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky
min(U1, U2) označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U0 (označená Z), asymptotická p-hodnota pro U0 a přesná
p-hodnota (ozn. 2*1str. přesné p – ta se používá pro rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,352381,
tedy H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná:vynos
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2
hnojeni
42
44
46
48
50
52
54
56
vynos
Je zřejmé, že výnosy při starém způsobu hnojení jsou vesměs nižší než při novém způsobu a také vykazují mnohem větší
variabilitu.