Cvičení 10: Korelační analýza
Příklad 1.: Zjišťovalo se, kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve matek prvorodiček
(veličina X) a u jejich novorozenců (veličina Y) těsně po porodu. Byly získány tyto výsledky:
Číslo matky 1 2 3 4 5 6
xi 40 64 34 15 57 45
yi 33 46 23 12 56 40
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, vypočtěte výběrový korelační koeficient, sestrojte
95% interval spolehlivosti pro korelační koeficient a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu o nezávislosti výsledků obou měření.
Návod: Otevřeme datový soubor kyselina_mlecna.sta. Obvyklým způsobem zobrazíme
dvourozměrný tečkový diagram, s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou normalitu dat.
Grafy – Bodové grafy – vypneme lineární proložení - Proměnné X, Y – OK – Detaily - Elipsa
normální – OK. Ve vzniklém grafu upravíme měřítka na vodorovné a svislé ose:
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
X
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y
Testování hypotézy o nezávislosti:
První možnost – pomocí testové statistiky T: Statistiky – Základní statistiky/tabulky –
Korelační matice – OK – 1 seznam proměn. – X, Y – OK – na záložce Možnosti vybereme
Zobrazit detailní tabulku výsledků – Výpočet.
Korelace (Tabulka3)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
Y
42,50000 17,39828
35,00000 15,89969 0,934832 0,873912 5,265339 0,006232 6 -1,30823 0,854311 6,696994 1,022943
Ve výstupní tabulce je mj. hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r=0,9348, tzn. že
mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost), hodnota testové statistiky (t = 5,2653) a phodnotu
pro test hypotézy o nezávislosti (p=0,006232), H0 tedy zamítáme na hladině
významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že mezi oběma
koncentracemi existuje závislost.
Druhá možnost – pomocí intervalu spolehlivosti pro ρ: Statistiky – Analýza síly testu –
Odhad intervalu – Jedna korelace, t-test – OK – Pozorované R: -0,9348, N: 6, zaškrtneme
Fisherovo Z (původ.) – Vypočítat.
Odhad intervalu
Jedna korelace,
t-test
Hodnota
Pozorovaný korel. koef. R
Korelace dle nulové hypotézy (Ró0)
Oboustranná p-hodnota
Velikost vz. ve skup. (N)
Interval spolehlivosti
Meze spolehlivosti (Fisher. Z původní):
Ró:
Dolní mez
Horní mez
0,9348
0,0000
0,0033
6,0000
0,9500
0,5106
0,9930
95% interval spolehlivosti pro ρ má tedy meze 0,5106 a 0,9930, nepokrývá hodnotu 0
a tudíž hypotézu o nezávislosti veličin X, Y zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Třetí možnost – pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru: Pokud známe výběrový
koeficient korelace a rozsah výběru, můžeme test nezávislosti veličin X, Y provést pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Korelace – zadáme n a r, zaškrtneme Výpočet p
z r – Výpočet.
Příklad k samostatnému řešení: V náhodném výběru 10 dvoučlenných domácností byl
zjišťován měsíční příjem (veličina X, v tisících Kč) a vydání za potraviny (veličina Y,
v tisících Kč).
xi 15 21 34 35 39 42 58 64 75 90
yi 3 4,5 6,5 6 7 8 9 8 9,5 10,5
Vypočtěte výběrový koeficient korelace. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y. Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro ρ. (Data jsou
uložena v souboru prijem_vydani.sta).
Výsledek: r12 = 0,9405, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05, s pravděpodobností aspoň
0,95 platí: 0,7623 < ρ < 0,9862
Příklad 2.: V psychologickém výzkumu bylo vyšetřeno 426 hochů a 430 dívek. Ve skupině
hochů činil výběrový koeficient korelace mezi verbální a performační složkou IQ 0,6033, ve
skupině dívek činil 0,5833. Za předpokladu dvourozměrné normality dat testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že korelační koeficienty se neliší.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme 0,6033, do políčka N1
napíšeme 426, do políčka r2 napíšeme 0,5833, do políčka N2 napíšeme 430 - Výpočet.
Dostaneme p-hodnotu 0,6528, tedy nezamítáme nulovou hypotézu o shodě dvou koeficientů
korelace na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad k samostatnému řešení: Načtěte datový soubor IQ.sta. Za předpokladu
dvourozměrné normality dat (orientačně ověřte pomocí dvourozměrného tečkového
diagramu) testujte na hladině významnosti 0,1 hypotézu, že korelační koeficienty mezi
verbální a performační složkou IQ jsou stejné u dětí z města a venkova.
Výsledek: p = 0,0784, tedy s rizikem omylu nejvýše 10 % jsme prokázali, že korelační
koeficienty se liší.
Příklad na mnohonásobnou a parciální korelaci (příklad je převzat ze skript Michálek
Jaroslav, Osecký Pavel, Pešek Josef, Rod Jan, Vondráček Jiří: Biometrika, SNTL Praha 1982)
Během 30 let od roku 1913 do roku 1942 byly na 20 vybraných farmách ve Švédsku v oblasti
Kalmar sledovány následující čtyři náhodné veličiny:
Y … průměrný výnos pšenice z podzimní setby (v kg/ha)
X1 … průměrná teplota vzduchu během předchozí zimy (říjen – březen) v oblasti Kalmar (ve
°C)
X2 … průměrná teplota vzduchu během vegetačního období (duben – září) v oblasti Kalmar
(ve °C)
X3 … celkové srážky během vegetačního období, počítané jako průměr ze tří různých
meteorologických stanic (v mm)
Data jsou uložena v souboru psenice.sta.
Úkol 1.: Měli bychom předpokládat, že náhodný vektor (Y, X1, X2, X3)’ se řídí
čtyřrozměrným normálním rozložením, tedy naše data jsou realizacemi náhodného výběru
rozsahu 30 z tohoto normálního rozložení. Přesvědčíme se alespoň o jednorozměrné normalitě
sledovaných proměnných.
Normalitu proměnných Y, Xl, X2, X3 posuďte Andersonovým - Darlingovým testem s hladinou
významnosti 0,05.
Řešení:
A-D test je dostupný v modulu Rozdělení & simulace, Proložení dat rozděleními. Dostaneme
tyto výsledky:
AD stat. AD p-hodn.
Y
X1
X2
X3
0,322445 0,920115
0,493906 0,751739
0,185603 0,993464
0,405985 0,841766
Na hladině významnosti 0,05 nelze ani v jednom případě zamítnout hypotézu o normalitě.
Úkol 2.: Pomocí dvourozměrných tečkových diagramů znázorněte závislost mezi všemi
dvojicemi náhodných veličin..
Řešení:
Grafy – Maticové grafy – Proměnné – Vybrat vše – OK
Maticový graf
psenice.sta 4v*30c
Y
X1
X2
X3
Úkol 3.: Vypočtěte výběrové korelační koeficienty pro všechny dvojice náhodných veličin a
na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o nezávislosti. Najděte 95% intervaly
spolehlivosti pro všech šest korelačních koeficientů.
Řešení:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam proměnných –
Proměnné 1-4 – OK – na záložce Možnosti zaškrtneme Zobrazit r, úrovně p, počty N a
zaškrtneme Zobrazit dlouhá jména proměnných – Výpočet
Korelace (psenice)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X1 X2 X3
Y: výnos
X1: zimni teploty
X2: letni teploty
X3: srazky
1,0000 ,5962 ,4188 ,4542
p= --- p=,001 p=,021 p=,012
,5962 1,0000 ,6703 ,3205
p=,001 p= --- p=,000 p=,084
,4188 ,6703 1,0000 ,1370
p=,021 p=,000 p= --- p=,471
,4542 ,3205 ,1370 1,0000
p=,012 p=,084 p=,471 p= ---
Vidíme, že korelační koeficient mezi:
a) výnosem a zimní teplotou je 0,5962, p-hodnota je 0,001, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X1;
b) výnosem a letní teplotou je 0,4188, p-hodnota je 0,021, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X2;
c) výnosem a srážkami je 0,4542, p-hodnota je 0,012, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X3;
d) zimní teplotou a letní teplotou je 0,6703, p-hodnota je 0,000, tedy na hladině významnosti
0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X1 a X2;
e) zimní teplotou a srážkami je 0,3205, p-hodnota je 0,084, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X1 a X3;
f) letní teplotou a srážkami je 0,137, p-hodnota je 0,471, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X2 a X3.
Meze intervalů spolehlivosti pro koeficienty korelace získáme pomocí modulu Analýza síly
testu.
Např. koeficient korelace mezi výnosem a zimní teplotou se s pravděpodobností přibližně
0,95 nachází v intervalu (0,3; 0,79).
Úkol 4.: Vypočtěte všechny výběrové parciální korelační koeficienty mezi Y a ostatními
proměnnými a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o jejich nevýznamnosti.
Řešení:
Postup ukážeme na výpočtu 21 X.X,Yr , tj. při zkoumání závislosti výnosu na zimních teplotách
při vyloučení vlivu letních teplot a na výpočtu 1.2 XX,Yr , tj. při zkoumání závislosti výnosu na
letních teplotách při vyloučení vlivu zimních teplot.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Zobrazit r, úrovně p, počty N a zaškrtneme Zobrazit dlouhá jména proměnných,
na záložce Detaily zvolíme Parciální korelace – 1. seznam proměnných Y, X1, druhý seznam
proměnných X2 – OK
Parciální korelace (psenice.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X1
Y: výnos
X1: zimni teploty
1,0000 ,4682
p= --- p=,010
,4682 1,0000
p=,010 p= ---
Vidíme, že výběrový parciální korelační koeficient 211 X.X,Yr je 0,4682, p-hodnota je 0,01, tedy
na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti 21 X.X,Yρ .
Analogicky 1. seznam proměnných Y, X2, druhý seznam proměnných X1 – OK
Parciální korelace (psenice.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X2
Y: výnos
X2: letni teploty
1,0000 ,0322
p= --- p=,868
,0322 1,0000
p=,868 p= ---
V tomto případě výběrový parciální korelační koeficient 12 X.X,Yr je 0,0322, p-hodnota je 0,868,
tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nevýznamnosti 12 X.X,Yρ .
Interpretace: Výběrový korelační koeficient 5962,0r 1X,Y = , což je podstatně více než
4188,0r 2X,Y = . Mohlo by to znamenat, že vliv zimních teplot na výnosy pšenice je vyšší než
vliv letních teplot. Pokud zkoumáme závislost Y na X1 při vyloučení vlivu X2, dostaneme
výběrový parciální korelační koeficient 0,4682, což je poněkud nižší než 0,5962. Ovšem když
zkoumáme závislost Y na X2 při vyloučení vlivu X1, dostaneme výběrový parciální korelační
koeficient 0,0322, což je zcela nevýznamná korelace.
Stejným způsobem vypočteme a prozkoumáme další parciální korelační koeficienty. Pro
kontrolu: 31 X.X,Yr = 0,534, p = 0,033, 32 X.X,Yr = 0,4041, p = 0,03, 13 X.X,Yr = 0,346, p = 0,066,
23 X.X,Yr = 0,4412, p = 0,017, ( )321 X,X.X,Yr = 0,388, p = 0,041, ( )312 X,X.X,Yr = 0,0756, p = 0,702,
( )213 X,X.X,Yr = 0,3519, p = 0,066.
Z těchto výsledků vyplývá, že na výnosy mají silný vliv zimní teploty a srážky, zatímco vliv
letních teplot je způsoben silnou korelací mezi zimními a letními teplotami.
Úkol 5.: Vypočtěte výběrový koeficient mnohonásobné korelace mezi výnosy a ostatními
proměnnými a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o jeho nevýznamnosti.
Řešení:
Statistiky – Vícenásobná regrese – Proměnné – Závislá proměnná Y, seznam nezáv.
proměnných X1, X2, X3 – OK – OK.
Koeficient ( )321 X,X,X,Yr najdeme v záhlaví výstupní tabulky pod označením Vícenás. R =
0,6602.
Hodnota testové statistiky pro test nevýznamnosti koeficientu mnohonásobné korelace
( )321 X,X,X,Yρ je 6,6963, počet stupňů volnosti čitatele je 3, jmenovatele 26, odpovídající phodnota
je 0,001691, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že výnosy
pšenice nejsou závislé na zimních teplotách, letních teplotách a srážkách.
Upozornění: Povšimněte si, že všechny výběrové párové korelační koeficienty veličiny Y
s ostatními proměnnými jsou v absolutní hodnotě menší než výběrový koeficient
mnohonásobné korelace: 1X,Yr = 0,5962, 2X,Yr = 0,4188, 3X,Yr = 0,4542, zatímco ( )331 X,X,X,Yr =
0,6602.