Proudění v otevřených
korytech
Zdeněk Máčka
Z8308 Fluviální geomorfologie (9)
Vodní toky proudící voda
Rychlost proudění (m.s-1):
• bodová
• svislicová
• střední profilová 𝑣𝑣 =
𝑄𝑄
𝐴𝐴
interakce:
• mezi částicemi (molekulami) vody
• vodou a pevným podkladem (korytem)
• vodou a plaveninami a rozpuštěnými látkami
• vodou a biotou
Průtok:
• objemový (m3.s-1)
• hmotnostní (kg.s-1)
rovnice spojitosti (kontinuity)
Q = konst. v1.S1 = v2.S2
A … plocha průtočného profilu (m2)
V … rychlost proudění (m/s)
Ustálené a neustálené proudění
Ustálené /steady/: Q = konst.
Neustálené /unsteady/: Q = f(t)
Rovnoměrné /uniform/: v = konst. (tvar, drsnost a sklon koryta konst.)
Nerovnoměrné /non-uniform,varied/: v = f(y)
V potocích a řekách:
neustálené
když ustálené, tak nerovnoměrné
rovnoměrné se v přírodě prakticky nevyskytuje, abstrakce užitečná pro
výpočty
Turbulentní proudění
𝜏𝜏 = 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖
d𝑣𝑣
d𝑦𝑦
𝜏𝜏 = 𝜖𝜖
d𝑣𝑣
d𝑦𝑦
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
∑ (𝑣𝑣 − 𝑣𝑣̅)2𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
𝑁𝑁
τ … tečné napětí (N/m2)
μ … dynamická viskozita, ε … vírová viskozita
dv/dy … rychlostní gradient
v … rychlost proudění
y … délka
turbulence – vznik vírů, jejich růst a rozpad; v
daném bodě se mění směr a rychlost proudění
Laminární proudění
𝜏𝜏 = 𝜇𝜇
d𝑣𝑣
d𝑦𝑦
Reynoldsovo číslo
setrvačnost podporuje turbulenci, viskozita podporuje laminární
proudění
𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑣𝑣𝑣𝑣𝜌𝜌
𝜇𝜇
nebo 𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝜈𝜈
kritické Reynoldsovo číslo – rozděluje turbulentní a laminární
proudění; vysoká hodnota ukazuje na turbulenci, nízká na laminární
proudění
Ve vodních tocích je přechod v rozsahu Re 500 až 2000 (580)
bezrozměrná veličina
vodní toky – charakteristický rozměr je hydraulický
rádius (R)
R pro potrubí:
𝑅𝑅 =
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
=
𝜋𝜋𝑑𝑑2/4
𝜋𝜋𝑑𝑑
=
𝑑𝑑
4
čili
𝑑𝑑 = 4𝑅𝑅
v potrubích je kritické Re = 2000
v širokých korytech R ≈ D
𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝜐𝜐
D = průměrná hloubka
Při takto definovaném Re má kritické Re pro vodní
toky hodnotu 500 (2000/4)
v … rychlost (m/s)
L … charakteristický rozměr (délka) (m)
ρ … hustota tekutiny
μ … dynamická viskozita (N.s/m2)
υ … kinematická viskozita (m2/s)
Hydraulicky hladké a drsné povrchy
Mezní vrstva /boundary layer/
dno| | proudění neovlivněno dnem
Ve vodních tocích sahá mezní vrstva až k hladině
Vznik mezní vrstvy kolem ostré, hladké desky
ReL ≈ 107
L = charakteristická délka (délka desky)
V = rychlost neovlivněná překážkou
x = vzdálenost od okraje desky
δ = tloušťka mezní vrstvy
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥 =
𝑣𝑣𝑣𝑣
𝜈𝜈
přechod typů proudění: Rex ≈ 500 000
laminární (vazká) podvrstva
𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑘𝑘
𝐷𝐷
relativní drsnost
k = absolutní drsnost (m)
D = hloubka vody (m)
Reynoldsovo číslo třecí
𝑅𝑅𝑒𝑒∗ =
𝑣𝑣∗ 𝑘𝑘
𝜈𝜈
𝑣𝑣∗ = třecí rychlost
𝑅𝑅𝑅𝑅∗ < 5 hladké dno
𝑅𝑅𝑅𝑅∗ 5-70 přechod
𝑅𝑅𝑅𝑅∗ > 70 drsné dno
𝑣𝑣∗ =
𝜏𝜏
𝜌𝜌
Spád a sklon
Spád: rozdíl výšek (H) mezi dvěma průtočnými profily
Sklon: 𝑖𝑖 =
𝐻𝐻
𝐿𝐿
Sklon lze vyjádřit jako:
• sklon dna (i0)
• sklon hladiny (i)
• sklon energetické čáry (ie) (1-D energetická rovnice)
V anglicky psané literatuře se
sklon označuje symbolem: s
Energie ve vodních tocích a Bernoulliho rovnice
Voda vstupující do povodí má potenciál konat
(geomorfologickou) práci
Potenciální energie
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
Kinetická energie
𝐾𝐾𝐾𝐾 =
1
2
𝑀𝑀𝑣𝑣2
Bernoulliho rovnice
Vyjadřuje zákon zachování energie v proudící ideální kapalině
KE + PE = konst.
Podél vodního toku:
𝑝𝑝
𝜌𝜌𝑔𝑔
+
𝑣𝑣2
2𝑔𝑔
+ 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.
PE, KE … potenciální, kinetická energie (J)
M … hmotnost (kg)
h … výška nad referenční hladinou (hladina oceánu,
soutok dvou řek, …)
g … gravitační zrychlení (m/s2)
v … rychlost (m/s)
tlaková
hladina
rychlostní
hladina
polohová
hladina
konst.+ + =
1-D energetická rovnice
𝑧𝑧1 + 𝐷𝐷1 +
𝑣𝑣1
2
2𝑔𝑔
= 𝑧𝑧2 + 𝐷𝐷2 +
𝑣𝑣2
2
2𝑔𝑔
+ ℎ𝑙𝑙
znázornění členů 1-D energetické rovnice pro
nerovnoměrné proudění
z = výška (m)
D = průměrná hloubka vody (m)
v = průměrná rychlost (m/s)
g = gravitační zrychlení (m/s2)
hl = head loss
Froudovo číslo: říční, kritické a bystřinné proudění
Měrná energie profilu
𝐸𝐸𝑠𝑠 = 𝐷𝐷 +
𝑣𝑣2
2𝑔𝑔
Froudovo číslo
𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝑣𝑣
𝑔𝑔𝑔𝑔
Vyjadřuje poměr síly setrvačnosti ke gravitační síle
Fr < 1 podkritické (pomalé, klidné) ŘÍČNÍ
Fr = 0 kritické
Fr > 1 nadkritické (rychlé, peřejnaté) BYSTŘINNÉ